2013년 09월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

29번 삼각함수 극한과 30번 정적분 문항의 난이도는 역시 명불허전이었습니다. 특히 30번은 함수 g(x)의 정의를 해석하고 적절한 치환적분을 떠올리는 과정이 매우 까다로워 최상위권 학생들도 시간을 많이 소요했을 것입니다. 전반적으로 18번 무한등비급수, 29번 삼각함수 극한 등 기존 수능에서 자주 보이던 유형들이 다수 출제되었지만, 계산 과정이 복잡하거나 도형 해석에 깊이를 요구하여 체감 난이도를 높였습니다. 결국 수능 고득점의 관건은 이처럼 익숙한 킬러 유형을 얼마나 빠르고 정확하게 정복하느냐에 달려있음을 명확히 보여주는 시험이니, 기출 분석을 통해 문제 해결 전략을 체화하는 것이 무엇보다 중요합니다.

문항 분석

• 15번

  — 두 구의 위치 관계, 특히 '원점에서 접한다'는 조건을 해석하는 것이 핵심입니다. 출제 의도는 구의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 구하고, 두 구의 중심 사이의 거리가 반지름의 합과 같다는 접선 조건을 이용하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 두 번째 구의 방정식을 표준형으로 바꾸는 과정에서 실수를 하거나, '원점에서 접한다'는 조건을 단순히 원점을 지난다고만 해석하여 중심을 잇는 직선이 원점을 지난다는 사실을 놓치는 함정에 빠집니다. 결정적 실마리는 두 구의 중심을 C1, C2라 할 때, 벡터 OC2가 벡터 OC1의 실수배 관계에 있다는 점을 파악하는 것입니다.
  

• 16번

  — 이 문제는 프랙탈 도형의 넓이를 등비급수로 해결하는 전형적인 유형이지만, 공비를 구하는 과정이 관건입니다. 핵심 개념은 당연히 등비급수의 합 공식과 도형의 닮음비 활용이죠. 많은 학생들이 첫째항은 구하지만, 두 번째 도형과 첫 번째 도형의 '넓이비'를 구해야 하는데 '길이비'를 공비로 착각하는 실수를 합니다. 이 문제 해결의 결정적 실마리는 [그림 1]의 비어있는 부채꼴에 내접하는 작은 원의 반지름을 구하는 것입니다. 큰 원의 중심, 작은 원의 중심, 그리고 부채꼴의 꼭짓점을 연결하여 만들어지는 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용하면 길이비를 쉽게 찾을 수 있습니다.
  

• 18번

  — 전형적인 프랙탈 도형의 무한등비급수 문제로, 첫째항(S1)의 넓이와 공비(r)를 정확히 구하는 것이 관건입니다. 출제 의도는 닮음을 이용해 공비를 찾고, 무한등비급수 합 공식을 적용하는 능력을 묻는 것입니다. 학생들은 주로 두 번째 정팔각형의 한 변의 길이를 구하는 과정에서 헤매는 경우가 많습니다. 복잡한 도형 때문에 닮음비를 직관적으로 찾기 어렵고, 좌표를 도입하거나 보조선을 긋는 과정에서 계산이 꼬이기 쉽습니다. 이 문제의 실마리는 첫 번째 그림(R1)의 내부에 있는 평행사변형의 꼭짓점들이 두 번째 정팔각형의 꼭짓점이 된다는 점을 이용하는 것입니다. 큰 정팔각형의 중심을 원점으로 두고 꼭짓점의 좌표를 설정하면, 작은 정팔각형의 한 변의 길이를 비교적 쉽게 구할 수 있고, 이것이 공비를 찾는 가장 빠른 길입니다.
  

• 21번

  — 매개변수로 표현된 함수의 최솟값을 구하고, 그 결과를 이용해 수열의 합을 계산하는 복합적인 문제입니다. 출제 의도는 매개변수 미분법(dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt))을 정확히 계산하고, 도함수를 활용해 극소이자 최소인 지점을 찾는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 dy/dx = 0 이 되는 t값을 찾은 후, 이 값이 문제에서 주어진 x의 범위(x ≥ e)를 만족하는지 확인하지 않는 것입니다. 또한, an과 bn을 n에 대한 식으로 정리하고 bn/an의 합을 구하는 과정에서 계산이 복잡해 실수가 발생하기 쉽습니다. 이 문제를 푸는 결정적 힌트는 dy/dx를 계산하여 분자가 0이 되는 t값을 n에 대한 식으로 표현하고, 이 t값을 x=e^t에 대입하여 x=an을 구하는 것입니다. 그 후 bn/an을 계산하면 식이 간단한 형태로 약분되어 등차수열의 합으로 귀결됩니다.
  

• 수학 28번

  — 정적분을 포함한 함수, 즉 '정적분으로 정의된 함수' 문제입니다. 이런 유형은 '양변 미분'과 '적절한 값 대입'이라는 두 가지 핵심 도구를 사용해야 풀립니다. 이 문제에서 학생들이 저지르기 쉬운 실수는 ∫f(t)dt를 상수로 취급하는 나머지, x∫f(t)dt 항까지 덩달아 상수로 착각하는 것입니다. 이 항은 x에 대한 함수이므로, 미분할 때 반드시 곱의 미분법을 적용해야 합니다. 문제 해결의 첫걸음은 주어진 등식의 양변을 x에 대해 미분하는 것입니다. 미분 후 정리된 식과, 처음 주어진 식에 x=0 또는 x=1을 대입하여 얻은 식을 연립하면 f(x)와 상수의 값을 결정할 수 있습니다.
  

• 수학 29번

  — 규칙적으로 확장되는 도형에서 최단 경로의 수를 구하는 문제로, 수열의 점화식을 세우는 능력이 핵심입니다. 그림이 복잡해 보이지만, [그림 k]에서 [그림 k+1]로 넘어갈 때 경로의 수가 어떻게 변하는지에 대한 규칙성만 찾으면 됩니다. 많은 학생들이 복잡한 그림에 압도되어 모든 경로를 직접 세려고 하다가 실수를 하거나 시간을 낭비합니다. 이 문제의 결정적 힌트는 An에서 Bn까지 가는 경로의 수를 an이라 정의하고, an과 an+1 사이의 관계식을 찾는 것입니다. An+1에서 Bn+1까지 가는 경로는 크게 두 가지로 나눌 수 있습니다. (1) An을 거쳐 Bn까지 간 후, 추가된 경로를 따라가는 경우 (2) An을 거치지 않고, 새로 추가된 블록 내에서만 움직이는 경우. 이 구조를 파악하면 점화식을 세울 수 있고, 이를 통해 일반항을 구할 수 있습니다.
  

• 수학 30번

  — 지수, 이차부등식, 수열의 합 개념이 복합적으로 얽혀있는 최고난도 문항입니다. 문제의 핵심은 복잡해 보이는 지수부등식을 '치환'을 통해 익숙한 이차부등식으로 바꾸는 것입니다. 2^k = X로 치환하면 X에 대한 이차부등식이 되는데, 여기서 인수분해가 될 것이라는 믿음을 갖는 것이 중요합니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 부등식의 해를 구한 뒤, 그 해를 만족하는 '자연수 k'의 합 an을 구하는 과정에서 n에 대한 식으로 깔끔하게 정리하지 못하는 것입니다. 이 문제 해결의 실마리는 2^k = X로 치환하여 (X-2^n)(X-4^n) ≤ 0 꼴로 인수분해하는 것입니다. 이를 통해 2^n ≤ 2^k ≤ 4^n 이라는 결과를 얻고, 다시 k의 범위 n ≤ k ≤ 2n을 도출할 수 있습니다. 이 범위의 자연수 k의 합 an은 등차수열의 합 공식을 이용해 구하면 됩니다.
  

• 미적분 28번

  — 공간좌표에서 직선과 평면의 수직 관계, 그리고 이등변삼각형의 성질을 종합적으로 이용해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 직선의 방향벡터가 평면의 법선벡터가 됨을 이해하고, 점과 직선 사이의 거리, 점과 점 사이의 거리 공식을 활용하여 미지수를 구하는 능력입니다. 가장 큰 함정은 '이등변삼각형'이라는 조건에서 어느 두 변의 길이가 같은지 섣불리 단정하는 것입니다. AB=BC, BC=CA, CA=AB 세 가지 경우를 모두 고려해야 하지만, 문제의 기하학적 구조를 파악하면 한 가지 경우로 좁힐 수 있습니다. 점 A가 평면 α 위의 점이고 점 C가 평면 α에 수직인 직선 l 위의 점이므로, AC의 길이는 점 C와 평면 α 사이의 거리보다 항상 깁니다. 결정적 실마리는 점 A가 직선 l과 평면 α의 교점이므로, 삼각형 ABC에서 변 AC와 변 AB의 길이가 같아져야만(AC=AB) 이등변삼각형이 될 수 있다는 사실을 기하학적으로 간파하는 것입니다. 이 조건을 이용하면 점 C의 좌표를 쉽게 특정할 수 있습니다.
  

• 미적분 29번

  — 삼각함수를 이용하여 도형의 넓이를 θ에 대한 식으로 표현하고, 그 식의 극한값을 구하는 문제입니다. 수능 킬러 문항의 단골 유형이죠. 출제 의도는 사인법칙, 코사인법칙 등 다양한 기하학적 도구를 활용하여 복잡한 도형의 변의 길이와 각을 θ로 표현하는 능력과, 삼각함수 극한의 기본 공식(lim sinθ/θ = 1)을 응용하는 능력을 동시에 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 삼각형 BCD의 넓이 S(θ)를 구하기 위해 필요한 변의 길이(BC, CD)와 끼인각(∠BCD)을 모두 θ로 나타내는 과정입니다. 여러 삼각형을 넘나들며 각도와 변의 관계를 추적해야 해서 길을 잃기 쉽습니다. 문제 해결의 첫 단추는 삼각형 ABC가 직각삼각형임을 이용하여 AC=sinθ, BC=cosθ를 구하는 것입니다. 그 다음, 삼각형 ACD에서 사인법칙을 적용하여 변 CD의 길이를 θ로 표현하는 것이 결정적인 실마리가 됩니다.
  

• 미적분 30번

  — 구간별로 다르게 정의된 함수와 정적분으로 주어진 조건을 해석하여 새로운 정적분의 값을 구하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 함수의 연속성, 치환적분, 부분적분 등 미적분의 핵심 개념을 깊이 있게 이해하고 종합적으로 적용하는 능력을 평가하는 것입니다. 이 문제의 함정은 g(e^(x-1)) + 5 라는 복잡한 형태의 함수 정의에 있습니다. 이 부분을 어떻게 처리하여 주어진 정적분 값과 연결할지 파악하기가 매우 어렵습니다. 또한, 구하고자 하는 값인 ∫f(lnx)dx 역시 바로 계산하기 힘든 형태라 적절한 변수 치환을 떠올려야 합니다. 결정적 실마리는 주어진 정적분 ∫[0 to 2] g(x)dx를 구간에 따라 ∫[0 to 1] g(x)dx + ∫[1 to 2] g(x)dx로 나누는 것입니다. 두 번째 적분 구간인 [1, 2]에서 x = e^(t-1) 과 같은 형태의 치환을 시도하여 적분 변수를 바꾸면, 주어진 조건과 구하고자 하는 값 사이의 연결고리를 찾을 수 있습니다.