2013년 04월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 4월 학력평가 A형은 18번 무한등비급수 도형 문제에서 시간을 얼마나 단축했는지가 등급을 갈랐을 겁니다. 전반적으로 수열, 로그, 행렬 등 수학I 파트의 주요 개념을 깊이 있게 물어보는 문항들이 많았고, 특히 20번처럼 수열의 합(Sn)과 일반항(an)의 관계를 이용해 점화식을 유도하는 과정은 매우 전형적이면서도 계산 실수를 유발하기 좋은 문제입니다. 29번 상용로그의 지표와 가수 문제는 최근 수능 트렌드와는 다소 거리가 있지만, 로그의 정의와 성질을 근본적으로 이해하고 있는지를 묻는 좋은 문항이므로 원리만큼은 확실히 짚고 넘어가야 합니다. 결국 수능 고득점은 이처럼 익숙한 개념을 낯선 상황에 얼마나 유연하게 적용하는지에 달려있습니다.

문항 분석

• 16번

  — 도형과 무한등비급수 문제는 첫째항(S₁)과 공비를 정확히 구하는 것이 관건입니다. 출제 의도는 닮음을 이용하여 공비를 찾고, 첫째항의 넓이를 여러 도형의 합으로 정확히 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 두 번째 정사각형(A₂B₂C₂D₂)의 한 변의 길이를 구하는 과정에서 좌표를 도입하거나 닮음비를 찾는 데 어려움을 겪습니다. 결정적 실마리는 큰 정사각형의 한 변의 길이가 2라는 점을 이용해 주요 점들의 좌표를 설정하고, 직선의 방정식을 세워 교점 B₂의 좌표를 구하는 것입니다. 이 좌표로부터 두 번째 정사각형의 변의 길이를 알아내면 공비는 쉽게 해결됩니다.
  

• 18번

  — 이 문항은 분수방정식의 실근 개수를 그래프 해석을 통해 추론하는 문제입니다. 핵심 출제 의도는 단순히 두 그래프의 교점을 찾는 것을 넘어, 분모가 0이 되는 무연근을 제외하고, 제곱근의 정의에 따라 근호 안의 값이 0 이상이어야 한다는 정의역까지 고려할 수 있는지를 종합적으로 묻는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 f(x) - g(x) ≠ 0 이라는 조건을 간과하여 f(x)=g(x)의 교점까지 실근의 개수에 포함시키는 것입니다. 문제를 해결할 첫 단추는 주어진 방정식을 {f(x)}² = g(x) 또는 f(x) = -g(x)로 변형하되, 반드시 g(x) ≥ 0인 범위에서만 해를 찾고, 최종적으로 f(x) = g(x)인 경우는 제외하는 것입니다.
  

• 20번

  — 수열의 합 Sn과 일반항 an 사이의 관계(an = Sn - Sn-1)를 이용하여 주어진 점화식을 변형하는 문제입니다. 이 유형의 핵심은 Sn이 포함된 식에서 an에 대한 식으로 바꾸는 능력을 측정하는 것이죠. 학생들이 가장 많이 헤매는 부분은 4Sn+1 = 3an+1 + 10an 이라는 식을 an, an+1, an+2 사이의 관계로 바꾸는 과정입니다. 여기서 n 대신 n+1을 대입한 식을 원래 식에서 빼는 아이디어를 떠올리지 못하면 문제 해결이 어렵습니다. 이 과정을 거쳐 an+2 = p*an+1 + q*an 형태의 3항 점화식을 얻었다면, 그 이후에는 an+1 - α*an = bn 형태의 등비수열로 치환하여 푸는 정해진 패턴으로 연결됩니다.
  

• 21번

  — 시간에 대한 변화율 문제는 문제 속 변수들을 시간 t에 대한 함수로 인식하고 관계식을 세우는 것이 핵심입니다. 이 문제의 출제 의도는 피타고라스 정리를 이용하여 각 선분의 길이에 대한 관계식을 세우고, 이를 시간에 대해 미분(음함수 미분법)하여 순간변화율을 구할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는, AQ=4라는 특정 순간의 값을 미분하기 전에 식에 대입해버리는 것입니다. 이렇게 하면 변수가 상수로 취급되어 올바른 변화율을 구할 수 없습니다. 힌트는 선분 BQ의 길이를 x, AQ의 길이를 y로 설정하고, AP+PB=20 이라는 조건과 피타고라스 정리를 이용해 x와 y에 대한 항등식을 먼저 만드는 것입니다. 그 후에 양변을 t에 대해 미분해야 합니다.
  

• 28번

  — 곡선의 접선 중 기울기가 최소가 되는 상황을 다루는, 도함수의 활용 심화 문제입니다. 핵심은 '기울기의 최소'라는 말을 보고 '도함수의 최솟값'을 떠올리는 것이며, 이는 이계도함수(f''(x))를 활용하여 해결해야 한다는 것을 의미합니다. 많은 학생들이 접선의 기울기, 즉 f'(x) 자체를 하나의 새로운 함수로 보고 이 함수의 최솟값을 구해야 한다는 사실을 놓치고, 엉뚱하게 원래 함수 f(x)의 극값을 찾으려 합니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 f'(x)를 구한 뒤, 다시 한번 미분하여 f''(x)=0이 되는 x값을 찾는 것입니다. 이 지점이 바로 접선의 기울기가 최소 또는 최대가 되는 변곡점이며, 문제의 조건(x>0)에 맞는 x값을 찾아 접선의 방정식을 완성하면 됩니다.
  

• 29번

  — 구분구적법을 이용하여 정적분의 값을 구하는 문제입니다. 복잡해 보이는 도형의 넓이의 합을 리미트와 시그마를 이용해 표현하고, 이를 정적분으로 변환할 수 있는지를 묻는 것이 출제 의도입니다. 학생들은 n번째가 아닌 k번째 사각형(Sₖ)의 넓이를 n과 k에 대한 식으로 정확하게 표현하는 데서 가장 큰 어려움을 겪습니다. 특히 변의 길이를 설정할 때 인덱스를 잘못 사용하거나 좌표를 잘못 설정하는 실수가 잦습니다. 문제 해결의 첫 단추는 점 B를 원점(0,0)으로 두는 것입니다. 그러면 점 Pₖ의 좌표는 (k/n, 0)이 되고, 이를 이용해 사다리꼴 APₖQₖD의 넓이 Sₖ를 k와 n에 대한 식으로 표현할 수 있습니다. 그 후 lim Σ (Sₖ/n) 형태를 ∫f(x)dx 꼴로 바꾸어 계산하면 됩니다.
  

• 30번

  — 절댓값을 포함한 함수가 실수 전체에서 미분가능할 조건을 묻는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 함수 g(x)=|f(x)-k|가 미분가능하려면, f(x)-k=0이 되는 모든 지점에서 그래프가 x축에 접해야 한다는 것, 즉 f'(x)=0을 동시에 만족해야 한다는 사실을 이해하는 것입니다. 대부분의 학생들은 절댓값 함수가 뾰족점에서 미분 불가능하다는 사실은 알지만, 그 뾰족점이 생기지 않을 조건이 바로 '접하는 상황'이라는 것을 연결 짓지 못합니다. 이 문제를 푸는 결정적 힌트는 'y=f(x)의 그래프가 직선 y=k와 접한다'라고 문제의 조건을 재해석하는 것입니다. 따라서 f'(x)=0을 만족하는 x값, 즉 f(x)의 모든 극점에서의 함숫값(극댓값, 극솟값)이 바로 가능한 k값이 됩니다.