2013년 10월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

17번 분수방정식 문제에서 분모가 0이 되는 조건을 놓쳐 그래프 해석에 실패한 학생들이 많았을 겁니다. 이번 시험은 단순히 공식을 적용하는 것을 넘어, 함수의 그래프 관계를 추론하거나(17번), 정적분의 정의를 변형하여 미분계수와의 연관성을 파악하는(20번) 등 개념의 깊이를 묻는 문항들이 돋보였습니다. 특히 29번, 30번과 같이 공간도형이나 해석기하에서 최적화 문제를 다루는 방식은 평가원이 선호하는 유형이므로, 기하적 상황을 좌표나 벡터로 능숙하게 변환하는 훈련이 반드시 필요합니다. 계산량은 적당했지만, 개념의 허점을 파고드는 함정들이 많아 상위권 변별력을 확보하려는 출제 의도가 엿보입니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문제는 분수방정식의 실근 개수를 함수 그래프의 교점을 통해 추론하는 능력을 평가합니다. 핵심은 `g(x){g(x)/f(x) - 1} = 0`의 근이 `g(x)=0` 또는 `g(x)=f(x)`를 만족하는 x값이라는 점을 파악하되, 반드시 분모인 `f(x) ≠ 0` 조건을 고려해야 한다는 것입니다. 많은 학생들이 `f(x)=0`이 되는 지점, 즉 x=-2, 3을 근에서 제외해야 한다는 사실을 간과하여 오답을 선택하기 쉽습니다. 문제 해결의 실마리는 조건 (나), (다)를 이용해 f(x)와 g(x)의 그래프 개형을 그리고, 교점과 g(x)의 근 중에서 f(x)의 근과 겹치는 것을 제외하는 것입니다.
  

• 18번

  — 정육면체 내부의 점에서 직선에 내린 수선의 발과 관련된 길이를 구하는, 전형적인 공간도형 문제입니다. 출제 의도는 공간좌표계를 설정하여 벡터의 내적이나 정사영을 이용해 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 공간지각에만 의존하여 어림짐작으로 풀려고 하거나, 좌표 설정 시 원점을 잘못 잡아 계산이 복잡해지는 경우입니다. 가장 결정적인 실마리는 점 E를 원점(0,0,0)으로 두고 각 꼭짓점의 좌표를 설정하는 것입니다. 그 후, 직선 LD의 방향벡터를 구하고 점 M에서 직선 LD에 내린 수선의 발 N의 좌표를 매개변수로 표현하여, 벡터 MN과 직선 LD의 방향벡터가 수직이라는 조건(내적이 0)을 이용하면 N의 좌표를 확정하고 MN의 길이를 구할 수 있습니다.
  

• 19번

  — 무한등비급수와 도형의 결합은 수능 단골 유형이죠. 이 문제의 핵심은 '닮음'을 이용하여 공비를 찾는 것입니다. 많은 학생들이 첫 번째 원의 넓이는 잘 구하지만, 두 번째 작은 정사각형과 그 안의 원을 찾는 과정에서 헤매곤 합니다. 흔히 저지르는 실수는 넓이의 비가 아닌 길이의 비를 공비로 착각하는 것입니다. 결정적 실마리는 큰 정사각형의 대각선과 내접원의 관계를 파악하여, 두 번째 정사각형의 대각선 길이를 첫 번째 정사각형의 변의 길이로 표현하는 데 있습니다. 여기서 닮음비가 나오고, 넓이의 비인 공비를 구할 수 있습니다.
  

• 20번

  — 급수와 정적분의 관계를 묻는 문항이지만, 일반적인 리만 합 형태가 아니어서 학생들을 당황시키기 충분했습니다. 이 문제의 핵심 출제 의도는 평균값 정리를 이용하여 주어진 식을 미분계수와 관련된 정적분 형태로 변형할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 대부분의 학생들은 `f(b)-f(a)` 형태를 보고 섣불리 망원급수(telescoping series)로 착각하거나, 익숙한 정적분 정의 `Σ f(x_k)Δx` 꼴로 억지로 바꾸려다 시간을 허비하는 실수를 합니다. 문제 해결의 힌트는 `f(2k/n) - f((2k-2)/n)`를 평균값 정리를 이용해 `f'(c_k) * (2/n)` 꼴로 근사하는 것입니다. 이렇게 변형하면 주어진 극한식은 결국 `∫ f'(x) dx` 형태의 정적분으로 귀결되어, 미적분의 기본정리를 통해 쉽게 값을 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 두 원 위를 움직이는 점 P, Q에 대한 벡터 합의 크기 최댓값을 묻는 문제입니다. 기하학적 벡터의 합과 분해에 대한 깊은 이해를 요구합니다. 학생들이 저지르기 쉬운 실수는 단순히 각 벡터의 크기가 최대일 때 전체 합 벡터의 크기도 최대일 것이라고 단정하는 것입니다. 이는 두 벡터의 방향을 고려하지 않은 치명적인 오류입니다. 이 문제를 푸는 결정적 아이디어는 기준점을 이용한 벡터 분해입니다. `AP + AQ`를 `(AC₃ + C₃P) + (AC₄ + C₄Q)` 와 같이 각 원의 중심을 경유하도록 분해하면, `(AC₃ + AC₄) + (C₃P + C₄Q)`로 정리됩니다. 여기서 `AC₃ + AC₄`는 고정된 벡터이므로, 전체 벡터의 크기는 두 변동 벡터 `C₃P`와 `C₄Q`의 합이 고정 벡터와 같은 방향일 때 최대가 됩니다.
  

• 28번

  — 수직선 위 운동 문제는 '위치'와 '거리'의 차이를 명확히 구분하는 것이 핵심입니다. 두 점 P, Q '사이의 거리'가 최대가 되는 순간을 찾아야 하므로, 각 점의 위치 함수 x_P(t), x_Q(t)를 구한 뒤 그 차이의 절댓값, 즉 |x_P(t) - x_Q(t)|의 최댓값을 구하는 문제입니다. 많은 학생들이 속도 그래프나 각 점의 위치 자체에만 집중하는 실수를 합니다. 이 문제의 실마리는 두 점의 위치 차이를 새로운 함수 h(t) = x_P(t) - x_Q(t)로 설정하는 것입니다. 그 후, 주어진 범위 내에서 h(t)의 최댓값과 최솟값을 모두 구해 절댓값이 가장 큰 순간을 찾으면 그것이 바로 두 점 사이의 최대 거리가 됩니다.
  

• 29번

  — 주기함수와 방정식의 실근 개수 또는 합을 묻는 문제는 그래프를 그려 규칙성을 파악하는 것이 정석입니다. 출제 의도는 주기성과 대칭성을 복합적으로 활용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 단순히 [0, 4) 구간의 해를 구해서 주기의 개수만큼 곱하는 실수를 해서는 안 됩니다. 각 주기마다 해의 값이 달라지기 때문이죠. 결정적 힌트는 먼저 한 주기, 즉 [0, 4) 내에서 f(x)=5의 해를 정확히 찾는 것입니다. 3^x=5와 3-(x-4)²=5를 각각의 범위에서 풀어 해를 구한 뒤, 주기 f(x+4)=f(x)를 이용해 [0, 40] 범위의 모든 해들이 어떤 규칙(등차수열)을 이루는지 파악하여 그 합을 구해야 합니다.
  

• 30번

  — 두 수열의 포함 관계를 다루는 이 문제는 조건을 수식으로 정확하게 번역하는 능력이 관건입니다. '수열 {b_n}의 모든 항이 수열 {a_n}의 항이 되도록' 이라는 문장을 보고 막연하게 숫자 몇 개를 대입하다가 길을 잃기 쉽습니다. 이 문제의 핵심은 '모든 자연수 n에 대하여 b_n = a_k를 만족하는 자연수 k가 존재한다'는 것입니다. 이 관계를 일반항으로 표현하면 `6 * p^(n-1) = 6 + (k-1)p`가 됩니다. 이 식이 '모든 n'에 대해 성립해야 한다는 점이 결정적 실마리입니다. 특히 n=2일 때의 식 `6(p-1) = (k-1)p`를 분석하면, p가 6(p-1)의 약수여야 하고, p와 p-1은 서로소이므로 p가 6의 약수라는 결론을 이끌어낼 수 있습니다. 여기서부터 가능한 p값을 추려내고 조건을 만족하는지 확인하면 됩니다.
  

• 기하 29번

  — 공간에서 구가 두 평면에 동시에 접하는 상황을 다루는 문제입니다. 공간벡터와 구, 평면의 방정식에 대한 종합적인 이해를 요구합니다. 출제 의도는 두 평면의 교선과 법선벡터, 그리고 구의 중심과 접점의 기하학적 관계를 파악하여 삼각형의 넓이를 구하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 두 평면 α, β의 위치 관계를 시각화하고, 삼각형 CPQ의 넓이를 구하기 위해 필요한 `∠PCQ`를 알아내는 과정입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 벡터 CP와 CQ가 각각 평면 α, β의 법선벡터와 평행하고 그 크기는 구의 반지름 √3과 같다는 사실을 이용하는 것입니다. 따라서 `∠PCQ`는 두 평면의 법선벡터가 이루는 각과 같으며, 이는 두 평면이 이루는 이면각과 관련이 있습니다.
  

• 기하 30번

  — 직사각형 내부의 동점 P에 의해 결정되는 수직이등분선이 만드는 선분 QR의 길이의 최솟값을 구하는 해석기하 문제입니다. 좌표평면 위에서 점과 직선의 방정식을 능숙하게 다루고, 이를 미분을 통해 최적화하는 능력을 측정합니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 점 P의 좌표를 미지수(예: (2, t))로 설정한 후, 선분 AP의 수직이등분선의 방정식을 구하는 과정에서 계산이 복잡해져 길을 잃는 것입니다. 이 문제의 핵심은 P의 좌표를 `(2, t)` (단, `0 < t ≤ 2√3`)로 설정하고, AP의 중점과 기울기를 이용해 수직이등분선의 방정식을 t에 대한 식으로 정확히 표현하는 것입니다. 그 후, 이 직선의 y절편(Q)과 x절편(R)을 t로 나타내고, 선분 QR의 길이(또는 길이의 제곱)를 t에 대한 함수로 만든 뒤, 미분을 통해 최솟값을 구하면 해결됩니다.