2012년 10월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

29번 조합 문제에서 시간을 얼마나 썼느냐가 이번 시험의 등급을 갈랐을 겁니다. 위에서 본 모양과 옆에서 본 모양을 동시에 만족시키는 입체도형의 경우의 수를 세는 문제는, 차분하게 기준을 잡고 세어 나가지 않으면 늪에 빠지기 쉬운 유형이죠. 전반적으로 미적분, 기하, 확률과 통계의 주요 개념들을 충실하게 물어보고 있으며, 특히 20번, 21번, 27번처럼 도형과 극한, 삼각함수를 결합한 문항들의 비중이 높다는 점이 눈에 띕니다. 이러한 도형 해석 능력은 수능 고난도 문항의 기본기이므로, 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어 도형의 성질을 자유자재로 활용하는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 13번

  — 이 문제는 조건부확률의 정의 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)를 정확히 이해하고 있는지를 묻습니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 '여자 승객을 선택했을 때'라는 조건(사건 B)의 전체 경우의 수를 잘못 설정하는 것입니다. B역에서 하차한 승객은 고려 대상이 아니며, B역에서 C역으로 이동하는 총 승객 수가 조건부확률의 분모가 된다는 점을 명심해야 합니다. 결정적 실마리는 B역에서 C역으로 가는 시점의 '총 여자 승객 수'와 'A역에서 탑승한 여자 승객 수'를 정확히 계산하는 것에서 시작됩니다.
  

• 16번

  — 지수함수와 로그함수가 역함수 관계, 즉 직선 y=x에 대해 대칭이라는 점이 문제 해결의 핵심입니다. 두 사각형 OAPB와 PCQD가 합동이라는 조건은 점 P와 Q의 관계에 대한 결정적인 정보를 담고 있습니다. 점 P의 좌표를 (p, q)라고 두면, y=x 대칭성에 의해 점 Q의 좌표는 (q, p)가 됩니다. 합동 조건을 좌표를 이용해 식으로 표현하면 점 P, Q의 구체적인 위치와 상수 a의 값을 찾아낼 수 있습니다. 많은 학생들이 합동 조건을 어떻게 수식으로 옮겨야 할지 몰라 헤매는 경향이 있습니다.
  

• 18번

  — 3차원 공간에서 점과 직선 사이의 거리를 구하는 문제입니다. 출제 의도는 공간좌표를 설정하여 벡터나 직선의 방정식을 활용할 수 있는지를 묻는 것이죠. 가장 결정적인 실마리는 문제의 점 A, B, C를 다루기 쉬운 좌표로 옮기는 것입니다. 예를 들어, C를 원점으로 두거나 A를 원점으로 두면 계산이 훨씬 수월해집니다. 많은 학생들이 공간지각만으로 풀려고 하다가 길을 잃거나, 혹은 수선의 발 H를 직선 AP 위에 설정하고 CH 벡터와 AP 벡터가 수직이라는 조건을 이용하는 정석적인 풀이 과정에서 계산 실수를 범하기 쉽습니다.
  

• 21번

  — 전형적인 도형과 등비급수 문제입니다. 이 유형의 핵심은 '첫째항(l₁)'과 '공비(r)'를 정확하게 구하는 것입니다. 첫째항 l₁은 원 O₁과 직선 y = (1/√3)x의 관계를 이용해 구할 수 있는데, 직선의 기울기가 tan(30°)임을 이용하면 중심각을 쉽게 파악할 수 있습니다. 공비는 두 번째 원 O₂의 반지름 l₁과 첫 번째 원 O₁의 반지름 1 사이의 비율, 즉 닮음비를 통해 찾아야 합니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 호의 길이의 비를 구해야 하는데 반지름의 비를 그대로 공비로 착각하는 것입니다. 호의 길이는 반지름과 중심각에 모두 비례한다는 점을 잊지 마세요.
  

• 28번

  — 규칙적으로 생성되는 점들의 이동 거리의 극한값을 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 점 P₀, P₁, P₂, P₃, ... 가 이동하는 경로의 길이에 숨겨진 규칙을 찾는 것입니다. 정삼각형의 성질과 평행선의 성질을 이용하면 삼각형 ABC와 새롭게 만들어지는 작은 삼각형들 사이에 닮음 관계가 성립함을 알 수 있습니다. BP₀의 길이를 x로 설정하고 P₀P₁, P₁P₂, P₂P₃ 등의 길이를 x에 대한 식으로 표현하다 보면, 등비수열의 합이 나타나는 것을 발견할 수 있습니다. 결정적인 실마리는 각 선분의 길이가 이전 선분의 길이와 어떤 관계를 맺는지, 그리고 그 과정에서 어떤 기하학적 성질(주로 닮음)이 사용되는지를 파악하는 것입니다.
  

• 29번

  — 삼차함수 f(x)의 성질을 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 도함수의 성질로부터 원시함수의 특징을 유추할 수 있는지를 평가하는 것입니다. (가) 조건 f'(x) = f'(-x)는 도함수 f'(x)가 우함수(y축 대칭)임을 의미합니다. 이차함수인 도함수가 우함수라는 것은 f'(x) = 3x² + c 꼴이라는 뜻이며, 이를 적분한 원함수 f(x) = x³ + cx + D는 (0, D)에 대해 점대칭인 기함수 형태를 y축으로 평행이동한 그래프가 됩니다. (나) 조건에서 x=1일 때 극솟값 0을 갖는다는 것은 f'(1)=0과 f(1)=0이라는 두 가지 정보를 제공하며, 이를 이용해 미정계수를 모두 결정할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 이 문제는 수열의 정의를 직접적으로 주지 않고, '최소 시행 횟수'라는 절차적 정의를 통해 수열 a_n을 추론하도록 요구합니다. 핵심은 4n개의 동전을 목표 상태(앞-뒤-앞-뒤...)로 만들기 위한 가장 효율적인 뒤집기 전략을 찾는 것입니다. 4개(n=1), 8개(n=2) 등 작은 경우부터 직접 시뮬레이션하며 패턴을 찾아야 합니다. 예를 들어, a₁=2는 (앞,앞,앞,앞) -> (앞,뒤,뒤,앞) -> (앞,뒤,앞,뒤)의 과정을 거칩니다. 이 과정을 분석하면, 시행 횟수가 n에 대한 식으로 표현됨을 알 수 있습니다. 많은 학생들이 복잡한 상황에 겁을 먹고 규칙 찾기를 포기하지만, n=1, n=2의 경우를 차분히 분석하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
  

• 기하 28번

  — 벡터 내적의 최대최소는 기하학적 의미를 떠올리면 쉽게 풀리는 대표적인 유형입니다. BA·BP를 |BA||BP|cosθ로 해석하여 각도의 범위를 따지는 것보다, 종점 P를 분해하는 것이 이 문제의 핵심입니다. 결정적 실마리는 벡터 BP를 '고정된 벡터'와 '변하는 벡터'의 합, 즉 BP = BC + CP로 쪼개는 것입니다. 이렇게 하면 BA·BP = BA·BC + BA·CP 가 되는데, BA·BC는 상수이므로 결국 BA·CP의 최대최소만 구하면 됩니다. 점 P는 중심이 C인 구 위의 점이므로, BA·CP는 두 벡터가 같은 방향일 때 최대, 반대 방향일 때 최소가 된다는 사실을 이용하면 문제가 해결됩니다.
  

• 조합 29번

  — 위에서 본 모양(평면도)과 옆에서 본 모양(측면도)이 주어졌을 때, 가능한 입체도형의 가짓수를 세는 고난도 카운팅 문제입니다. 이 문제의 핵심은 기준을 어떻게 잡고 체계적으로 접근하느냐에 있습니다. 결정적 힌트는 평면도를 기준으로 각 열(column)에 쌓을 수 있는 블록의 개수를 먼저 파악하고, 그 다음 측면도 조건을 만족시키도록 각 행(row)의 높이를 조절하는 것입니다. 예를 들어, 평면도에서 1열에 3개의 블록이 있다면, 이 3개를 3개의 행에 어떻게 분배할지를 결정하고, 동시에 측면도의 높이 제한(예: 1행의 최대 높이는 2)을 만족시키는 조합을 찾아야 합니다. 각 열이 독립적이지 않고 서로 영향을 주기 때문에 신중한 접근이 필요합니다.
  

• 기하 30번

  — 공간좌표에 놓인 정육면체를 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이를 구하는 문제입니다. 출제 의도는 공간도형에 대한 이해를 바탕으로 평면과 입체의 교선을 정확히 찾고, 그 교선으로 이루어진 다각형의 넓이를 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 평면의 방정식 x+y+2z=6이 정육면체의 각 모서리들과 만나는 점의 좌표를 찾는 것입니다. 이렇게 꼭짓점들을 모두 구하면 단면이 어떤 다각형인지 알 수 있고, 그 후에는 벡터의 외적을 이용하거나, 단면을 xy평면으로 정사영시킨 후 코사인 법칙을 이용하여 원래 넓이를 역으로 추적하는 방법으로 풀 수 있습니다.