2013년 07월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 7월 학력평가 A형은 30번 프랙탈 문제에서 닮음비를 찾는 과정이 다소 까다로워 시간 안배에 실패한 학생들이 많았을 겁니다. 전체적으로 복잡한 계산보다는 기본 개념을 정확히 이해하고 적용하는 능력을 중점적으로 평가했으며, 특히 수열 파트에서 규칙성을 찾아 일반항을 추론하는 27번 같은 문항은 사고의 유연성을 요구했습니다. 이러한 문제 유형은 수능에서 준킬러 문항으로 변형되어 출제될 가능성이 높으므로, 단순히 공식을 암기하기보다 개념이 문제에 어떻게 녹아드는지 파악하는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문제는 '이웃하지 않게'라는 조건이 붙은 확률 문제입니다. 출제 의도는 조합을 이용하여 전체 경우의 수와 특정 사건의 경우의 수를 정확히 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 5명을 먼저 앉히고 그 사이사이에 빈자리를 배치하려다 실수를 하거나, 9개의 자리에 사람을 배치하는 것이 아니라 6명(남학생 2조, 여학생 1조, 빈자리 3개)을 원형으로 배열하는 구조를 파악하지 못해 헤맬 수 있습니다. 결정적 실마리는 남학생 2명, 여학생 2명을 각각 한 묶음으로 보고, 이 3개의 묶음과 3개의 빈자리를 원형으로 배열하는 상황으로 문제를 재구성하는 것입니다.
  

• 18번

  — 도함수의 부호를 통해 원함수의 증가와 감소를 추론하는, 매우 중요한 유형의 문제입니다. 출제 의도는 g(x) = f'(x)/x 의 그래프를 보고 f(x)의 개형을 유추하는 능력을 평가하는 데 있습니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 g(x)의 부호가 곧 f'(x)의 부호라고 착각하는 것입니다. x의 부호에 따라 f'(x)의 부호가 g(x)와 같거나 반대가 된다는 점을 놓치기 쉽습니다. 예를 들어, 열린 구간 (b, 0)에서는 x < 0 이고 g(x) > 0 이므로, f'(x) = x * g(x) < 0 이 되어 f(x)는 감소합니다. 이처럼 각 구간별로 x의 부호를 반드시 함께 고려하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
  

• 21번

  — 삼각함수를 이용하여 도형의 길이를 표현하고 극한값을 구하는 전형적인 고난도 문항입니다. 이 문제를 풀기 위해서는 원의 성질, 사인 법칙 등 다양한 기하학적 지식을 총동원하여 PQ의 길이를 θ에 대한 식으로 나타내야 합니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 보조선을 긋고 필요한 각도와 길이를 찾아내는 과정 자체입니다. 힌트는 삼각형 OPB가 이등변삼각형이라는 점과, 원 C2의 반지름이 점 B에서 선분 OP까지의 거리라는 사실을 이용하는 것입니다. 이를 통해 BQ의 길이를 θ로 표현하고, 피타고라스 정리나 사인 법칙을 적용하면 PQ의 길이를 구할 수 있습니다.
  

• 27번

  — 입체도형의 겉넓이 변화 규칙을 찾아 수열의 일반항 a_n을 구하는 문제입니다. 이 문제의 함정은 단순히 블록 개수만 보고 겉넓이를 추측하려는 것입니다. 블록이 추가될 때, 새롭게 노출되는 면의 개수와 기존 면 중에서 가려지는 면의 개수를 정확히 계산해야 합니다. 결정적 실마리는 T_n에서 T_{n+1}로 넘어갈 때, 겉넓이의 '변화량'이 어떤 규칙을 갖는지 파악하는 것입니다. a_{n+1} - a_n (계차)을 계산해보면 (n+2)²개의 블록이 추가되면서 생기는 겉넓이 변화가 일정 규칙을 따름을 발견할 수 있고, 이를 통해 a_n의 일반항을 구할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 상용로그의 '지표' 개념을 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. log(N)의 지표가 n이라는 것은 n ≤ log(N) < n+1, 즉 10^n ≤ N < 10^{n+1} 임을 의미하며, 이는 자연수 N의 자릿수와 직결됩니다. 문제에 주어진 5개 상용로그 값들의 지표의 합이 12라는 조건을 식으로 표현해야 합니다. log(2x), log(4x), ..., log(10x)는 log2+logx, log4+logx, ... 형태로 변형할 수 있으므로, 결국 5개의 logx 항과 상수들의 합으로 지표를 표현하게 됩니다. x값의 범위에 따라 logx의 정수 부분이 어떻게 변하는지를 기준으로 구간을 나누어 각 구간에서 조건을 만족하는 x의 개수를 세는 것이 문제 해결의 핵심 전략입니다.
  

• 30번

  — 프랙탈 도형에서 넓이의 무한등비급수 합을 구하는 문제입니다. 첫째항 S₁은 정사각형 R₁의 넓이이므로 1로 쉽게 구할 수 있습니다. 이 문제의 성패는 공비(r)를 얼마나 정확하고 빠르게 구하느냐에 달려있습니다. 공비는 넓이의 비이므로, 정사각형 R₁과 R₂의 '닮음비'의 제곱을 구해야 합니다. R₂는 정삼각형에 내접하는 원에 다시 내접하는 정사각형이므로, R₁의 한 변의 길이(1)로부터 시작하여 순차적으로 정삼각형의 높이, 내접원의 반지름, 그리고 R₂의 한 변의 길이를 삼각비와 도형의 성질을 이용해 유도해내야 합니다. 특히 정삼각형의 높이와 내접원의 반지름 사이의 관계(2:1)를 이용하면 계산을 단축할 수 있는 결정적 힌트가 됩니다.
  

• 기하 28번

  — 타원의 정의와 도형의 평행이동 및 회전이 결합된 최고난도 복합 문제입니다. 출제 의도는 단순 공식 암기를 넘어, 기하학적 상황의 변화를 좌표를 통해 추적하고 계산할 수 있는지를 묻는 것입니다. 대부분의 학생들은 정삼각형이 미끄러짐 없이 회전할 때 꼭짓점 C의 좌표를 구하는 과정에서 계산의 복잡함에 압도당했을 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 전체 움직임을 '변 AB를 축으로 한 회전'과 '변 BC를 축으로 한 회전' 두 단계로 나누어 생각하는 것입니다. 각 단계별로 회전의 중심이 되는 꼭짓점의 좌표를 먼저 구하고, 그 점을 기준으로 점 C가 얼마나 이동하는지를 순차적으로 계산해야 합니다.
  

• 미적분 29번

  — 닮음을 이용한 무한등비급수 문제로, 수능에서도 꾸준히 출제되는 킬러 유형입니다. 이 문제의 핵심은 첫 번째 정사각형(R1)의 넓이(S1)와 두 정사각형의 닮음비(공비)를 정확히 구해내는 것입니다. 많은 학생들이 복잡한 도형 속에서 두 번째 정사각형(R2)의 한 변의 길이를 구하는 데 어려움을 겪습니다. 정삼각형, 내접원, 그리고 그 안에 내접하는 정사각형 사이의 기하학적 관계를 파악해야 하기 때문입니다. 문제 해결의 첫 단추는 정삼각형의 높이와 내접원의 반지름 사이의 관계를 이용해 내접원의 중심 좌표와 반지름을 구하는 것입니다. 그 후, 원에 내접하는 정사각형의 성질을 이용하면 공비를 유도해낼 수 있습니다.
  

• 수학I 30번

  — 상용로그의 '가수(mantissa)'의 정의와 주기성을 깊이 있게 이해해야 풀 수 있는 문제입니다. 출제 의도는 log(k^n) = n*log(k)의 값을 계산했을 때, 그 값의 소수 부분(가수)이 어떤 패턴을 보이는지 파악하는 능력을 평가하는 것입니다. log(k) = 1.08 이 주어졌으므로, log(k^n) = n * 1.08 입니다. 여기서 학생들이 흔히 하는 실수는 정수 부분의 변화를 놓치고 소수 부분만 계산하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 n*1.08 = n + 0.08n 이므로, log(k^n)의 가수는 0.08n의 소수 부분과 같다는 것을 간파하는 것입니다. 0.08 = 2/25 이므로, 0.08n의 소수 부분은 n이 1부터 25까지 변할 때 서로 다른 값을 갖고, 그 이후로는 주기가 25인 패턴을 반복하게 됩니다. 따라서 n=1부터 25까지의 가수들을 모두 더하면 됩니다.