2012년 09월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 30번 로그함수 그래프와 정사각형 개수 세기 문제에서 많은 수험생이 상당한 시간을 소요했을 것으로 보입니다. 전반적인 계산량은 평이했으나, 15번(로그함수와 내분점), 21번(삼차함수와 절댓값 함수의 교점), 29번(도형의 넓이와 미분)처럼 두 가지 이상의 개념을 융합하여 문제 해결 능력을 측정하는 문항들이 중상위권 변별력을 확보했습니다. 특히 9번(등비급수와 도형)과 29번(넓이를 함수로 표현 후 미분) 유형은 수능에서 꾸준히 고난도로 출제되는 단골 유형이므로, 도형의 성질을 파악하고 이를 수식으로 정확히 변환하는 연습을 반드시 해두어야 합니다.

문항 분석

• 9번

  — 도형의 닮음을 이용해 등비급수의 합을 구하는 전형적인 킬러 문항입니다. 첫째항 S₁의 넓이를 구할 때, 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 빼는 방식으로 정확히 계산하는 것이 관건입니다. 많은 학생들이 공비를 구할 때 길이의 비를 그대로 사용하거나, 복잡한 도형 넓이 계산 과정에서 실수를 범하는 경향이 있습니다. 힌트는 공비는 큰 원과 두 번째 단계의 작은 원의 '지름의 비'를 찾아 '넓이의 비'로 전환(제곱)하는 것이 가장 빠르고 정확합니다.
  

• 14번

  — 이 문제는 기울어진 원기둥의 단면을 평면에 정사영시키는 문제입니다. 출제 의도는 공간도형의 위치 관계를 파악하고 정사영의 기본 원리(S' = S cosθ)를 적용할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 원기둥이 기울어져 있다는 사실에 당황하여, 정사영을 내릴 평면과 단면이 이루는 각(θ)을 잘못 설정하는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 원기둥의 밑면 중심이 원점이고 다른 밑면이 z=10 평면과 (0,0,10)에서 '접한다'는 조건입니다. 이를 통해 원기둥의 축 벡터(기울어진 단면의 법선벡터)를 구하고, 이 벡터와 z축(정사영시킬 평면의 법선벡터)이 이루는 각을 찾아내는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 15번

  — 로그함수의 그래프, 선분의 내분점, 수열의 극한 개념이 복합적으로 얽혀있는 준킬러 문항입니다. 학생들이 점 A_n의 좌표는 쉽게 설정하지만, 점 B_n의 좌표를 구하는 과정에서 막히는 경우가 많습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 '점 C_n이 x축 위의 점'이라는 조건입니다. 선분 A_nB_n을 1:2로 내분하는 점 C_n의 y좌표가 0임을 이용하여 점 B_n의 y좌표를 n에 대한 식으로 표현하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 20번

  — 전형적인 삼각함수를 활용한 도형의 극한 문제로, 각 변의 길이를 θ에 대한 식으로 표현하는 능력이 핵심입니다. 출제 의도는 복잡한 도형에서 필요한 길이와 각을 삼각함수로 표현하고, θ→0+ 일 때의 극한값을 계산하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 PQ의 길이를 구하기 위해 너무 복잡한 보조선을 긋거나 좌표를 도입하여 계산의 늪에 빠지는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 삼각형 OAP에서 사인법칙을 적용하여 AP의 길이를 먼저 θ로 표현하는 것입니다. 그 후, 직선 AP와 작은 원의 교점을 구하는 과정에서 근과 계수의 관계나 할선 정리를 떠올리면 PQ의 길이를 훨씬 간단하게 유도할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 삼차함수와 절댓값 함수의 그래프 교점 개수를 묻는 문제로, 그래프 개형 추론 능력이 핵심입니다. 대부분의 학생들이 '접하는' 상황을 떠올리지만, 삼차함수의 극대 또는 극소점에서 접하는 경우만 생각하다가 다른 접점의 가능성을 놓치는 실수를 합니다. 이 문제의 함정은 바로 그 지점입니다. 힌트는 y=6x³-x 그래프와 직선 y=x-a 또는 y=-(x-a)가 접하는 두 가지 경우를 모두 고려해야 한다는 점입니다. 각 경우에 대해 판별식이 아닌 '접점에서의 함숫값과 미분계수가 같다'는 조건을 이용해 a값을 찾아야 합니다.
  

• 27번

  — 공간 상의 두 구와 평면의 위치 관계를 정확히 파악해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 움직이는 점 P에 의해 결정되는 접평면과, 그 평면이 다른 구와 만나서 생기는 단면(원)의 넓이가 언제 최대가 되는지를 묻는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 점 P의 위치를 특정하기 어려워 헤매는 것입니다. 단면원의 넓이가 최대가 되려면, 단면원의 중심(구의 중심에서 평면에 내린 수선의 발)과 구의 중심 사이의 거리가 최소가 되어야 합니다. 즉, 구 x²+y²+z²=16의 중심인 원점에서 평면까지의 거리가 최소가 되는 순간을 찾아야 합니다. 이 거리는 점 P가 구 S 위의 점들 중 원점에서 가장 '먼' 지점에 있을 때 최소가 되므로, 원점과 구 S의 중심 (1,1,1)을 잇는 직선이 구 S와 만나는 두 점 중 원점에서 더 먼 점이 바로 P가 되어야 한다는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
  

• 29번

  — 도형으로 정의된 넓이를 t에 대한 함수 S(t)로 표현하고, 이를 미분하여 S'(1)을 구하는 고난도 미적분 문제입니다. 가장 큰 허들은 원 C의 방정식을 t에 대한 식으로 나타내는 것입니다. 원이 O(0,0), A(t,0), B(t,t²)을 지난다는 조건에서 원의 중심이 선분 OA와 선분 OB의 수직이등분선의 교점임을 파악하는 것이 결정적입니다. S(t)는 포물선 아랫부분의 정적분 값에서 원이 차지하는 활꼴 넓이를 빼서 구해야 하므로, 계산 과정이 매우 복잡하여 끝까지 집중력을 잃지 않는 것이 중요합니다.
  

• 30번

  — 로그함수의 그래프와 격자점(정사각형) 개수 세기 문제로, 최고난도 문항에 해당합니다. '두 함수의 그래프와 모두 만나는' 정사각형의 개수를 세는 것이 핵심인데, 꼭짓점의 좌표만 생각하면 조건을 만족하는 일부 정사각형을 누락하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 문제 해결의 실마리는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점 좌표를 (k, m)으로 설정하고, 이 정사각형이 y=log_ax 그래프와 만나기 위한 조건을 부등식으로 표현하는 것입니다. 즉, x가 [k, k+1] 범위에 있을 때 log_ax의 함숫값 범위와 y가 [m, m+1] 범위가 교집합을 가져야 합니다. 이 조건을 y=log₃x와 y=log₇x에 대해 모두 만족시키는 자연수 (k, m) 쌍의 개수를 세어야 합니다.