이번 3월 학력평가 A형은 30번 등차수열 합의 절댓값 문항에서 많은 학생들이 시간을 썼을 겁니다. T20 = T21 이라는 조건이 S20 = -S21 임을 의미한다는 것을 빠르게 간파하는 것이 관건이었죠. 전반적으로 수열과 극한 단원에서 변별력 있는 문항들이 다수 출제되었으며, 특히 16번 무한등비급수 도형 문제나 21번 도형과 극한의 융합 문제는 계산 과정에서 실수를 유발하기 좋게 설계되었습니다. 비록 행렬이나 상용로그의 지표와 같은 개념은 현재 수능 범위에서 제외되었지만, 점화식을 해석하고(15번), 함수의 그래프를 분석하며(29번), 수열의 합의 특징을 파악하는(30번) 능력은 현재 수능에서도 가장 중요한 핵심 역량이니 반드시 복습해두어야 합니다.

문항 분석

10번
— 도형과 무한등비급수 문제는 첫째항(S₁)과 공비(r)만 구하면 끝나는, 어떻게 보면 단순한 문제입니다. 출제 의도는 복잡해 보이는 도형의 닮음 관계를 정확히 파악하여 공비를 찾아낼 수 있는지를 묻는 것이죠. 많은 학생들이 선분 A₁C₁의 중점이 A₂가 되고, 호 A₁B₂와 호 C₁B₂의 길이가 같다는 조건을 어떻게 활용해야 할지 몰라 헤맸을 겁니다. 이 조건이 바로 두 번째 반원의 지름(A₂B₂)의 길이를 첫 번째 지름(A₁B₁)에 대한 비율로 나타낼 수 있는 결정적 실마리(Hint)입니다. 넓이의 비는 길이의 비의 제곱이라는 사실을 잊지 마세요.
15번
— 이 문제는 주어진 점화식을 통해 계차수열 {b_n}의 규칙을 파악하는 것이 핵심입니다. 출제 의도는 b_n = a_{n+1} - a_n 으로 치환했을 때, b_{n+2} = b_n + 1 이라는 규칙을 발견하고, 이를 통해 b_n의 홀수항과 짝수항이 각각 공차가 1인 등차수열을 이룬다는 것을 추론하는 데 있습니다. 많은 학생들이 b_n을 하나의 일반항으로 구하려다 시간을 허비하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 b1, b2, b3, b4... 를 직접 몇 개 나열해보고 홀수 번째 항과 짝수 번째 항의 규칙성을 따로따로 발견하는 것입니다.
16번
— 도형과 무한등비급수가 결합된 전형적인 킬러 문항입니다. 첫째항 S1의 넓이를 구하는 것은 어렵지 않지만, 공비를 구하는 과정에서 많은 학생들이 길을 잃습니다. 이 문제의 핵심은 두 번째 반원의 지름 A2B2의 길이를 첫 번째 지름 A1B1의 길이와의 관계를 통해 구해내는 것입니다. 삼각형 A1C1B1이 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이라는 점을 이용해 A1C1의 길이를 구하고, A2가 A1C1의 중점이라는 사실을 활용하는 것이 문제 해결의 결정적 열쇠입니다. 공비는 길이의 비의 제곱이라는 사실을 잊지 마세요.
17번
— 실생활 활용 문제는 문장을 수식으로 바꾸는 능력을 평가하는 것이 핵심입니다. 승용차와 버스의 이동 경로와 속력이 다르게 주어졌지만, 'A 지점을 동시에 출발하여 B 지점에 동시에 도착했다'는 문장이 모든 것을 해결하는 열쇠죠. 즉, (승용차의 총 소요 시간) = (버스의 총 소요 시간) 이라는 등식 하나만 세우면 됩니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 버스의 이동을 하나의 식으로 처리하려는 것인데, A→C 구간과 C→B 구간의 속력이 다르므로 시간을 각각 계산해서 더해야 합니다. 이 간단한 원칙만 지키면 v에 대한 방정식을 쉽게 얻을 수 있습니다.
21번
— 삼각함수 극한 도형 문제의 성패는 '모든 길이를 θ로 표현하는 것'에 달려있습니다. 이 문제의 출제 의도는 원의 접선, 직각삼각형 등 다양한 기하학적 성질을 이용하여 필요한 길이들을 θ에 대한 삼각함수로 표현하고, 극한값을 계산하는 능력을 종합적으로 측정하는 것입니다. 가장 큰 함정은 점 R의 위치를 잡는 것입니다. 점 R은 'P에서의 접선'과 'BQ'의 교점이라는 사실을 놓치면 문제를 풀 수 없습니다. 삼각형 PRQ의 넓이를 구하기 위해 밑변과 높이를 설정할 때, B를 원점으로 생각하고 각 점의 좌표를 θ로 표현하는 것이 가장 효과적인 해결의 실마리가 될 수 있습니다.
27번
— 상용로그의 '지표'라는 개념에 대한 깊은 이해를 요구하는 문제입니다. f(x)가 log(x)의 정수 부분임을 인지하고, 2f(m) - f(2m) = 1 이라는 등식이 어떤 의미를 갖는지 해석하는 것이 관건입니다. 많은 학생들이 f(2m)이 f(m) 또는 f(m)+1 이라는 막연한 생각만으로 접근하다가 실패합니다. 이 문제의 결정적 힌트는 f(m) = k 라고 두었을 때, 주어진 등식이 성립하려면 반드시 f(2m) = 2k-1 이어야 한다는 점입니다. 즉, log(2m)의 지표가 log(m)의 지표 k보다 커져야만 하며, 이는 2m이 m과 자릿수가 달라지는 순간, 즉 5 * 10^k ≤ m < 10^{k+1} 범위에 있을 때만 가능하다는 것을 추론해야 합니다.
28번
— 원에 내접하는 사각형 문제는 사인법칙과 코사인법칙을 자유자재로 활용하는 능력을 평가하기 위해 출제됩니다. '선분 AB가 원의 지름'이라는 조건은 이 문제의 가장 중요한 힌트입니다. 이로부터 우리는 ∠ACB와 ∠ADB가 모두 90도임을 즉시 알아채야 합니다. 여기서부터 모든 계산이 시작됩니다. 학생들이 자주 저지르는 실수는 AD=CD라는 조건을 어떻게 써야 할지 몰라 막히는 것인데, 이는 삼각형 ACD에서 코사인법칙을 적용하거나, 같은 길이에 대한 원주각이 같다는 성질을 이용하라는 신호입니다. 둘레의 길이가 주어졌으므로, 각 변의 길이를 하나의 삼각함수(예: sin∠ABC 또는 sin∠BAC)로 통일하여 표현한 뒤 방정식을 세우는 방향으로 접근해야 합니다.
29번
— 등차수열의 합의 절댓값을 다루는 이 문제는 부호 변화를 추적하는 꼼꼼함을 요구합니다. 출제 의도는 등차수열의 합 Sₙ이 n에 대한 이차함수 꼴이라는 점과, 절댓값으로 인해 그래프가 어떻게 변하는지를 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. T₁₆ < T₁₇, T₁₇ > T₁₈ 이라는 조건이 이 문제의 핵심인데, 이는 n=17에서 수열 {Tₙ}이 극대 혹은 최댓값을 갖는다는 의미입니다. 첫째항이 50이고 공차가 정수이므로 수열 {aₙ}은 어느 시점부터 음수가 됩니다. 결정적 실마리는 Sₙ의 부호가 언제 바뀌는지, 그리고 aₙ의 부호가 언제 바뀌는지를 파악하는 것입니다. Tₙ = |Sₙ| 이므로, S₁₇이 0에 가장 가깝거나, a₁₇과 a₁₈ 사이에서 aₙ의 부호가 바뀌는 지점일 가능성이 높다는 것을 추론해야 합니다.
30번
— 합성함수의 연속성, 특히 불연속이 될 조건을 묻는 문제는 수능에서도 킬러 문항으로 자주 등장하는 단골 주제입니다. 출제 의도는 합성함수 (f∘g)(x)가 x=a에서 불연속이 되는 메커니즘을 정확히 이해하고 있는지를 확인하는 것입니다. g(x)는 모든 실수에서 연속인 이차함수이므로, (f∘g)(x)가 x=2에서 불연속이 되려면 속함수인 g(x)의 함숫값, 즉 g(2)가 겉함수 f(x)의 불연속점 중 하나가 되어야 합니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 g(2)가 f의 불연속점(1, 2, 3)이 되는 경우만 생각하고 끝내는 것입니다. 하지만 엄밀히는 x→2일 때 g(x)의 극한값이 f의 불연속점으로 가는 경우도 따져야 하지만, 이 문제는 g(x)가 연속함수이므로 g(2)의 함숫값만 고려하면 충분합니다. 따라서, f(x)가 불연속인 지점 x=1, 2, 3을 찾아내고, g(2)의 값이 이들 중 하나가 되도록 하는 k값을 찾는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.