2013년 3월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

단답형 29번 문항은 '반올림'이라는 익숙한 소재를 부등식으로 변환하여 부정방정식의 해를 찾는, 중등 과정에서 보기 드문 유형으로 최상위권을 변별하는 역할을 톡톡히 했습니다. 전체적으로 중학교 수학, 특히 평면도형 파트의 깊이 있는 이해를 요구하는 문항(15, 19, 21, 30번)들이 대거 포진하여, 단순 공식 암기를 넘어 보조선을 긋고 숨겨진 성질을 꿰뚫어 보는 능력을 측정하고자 한 시험입니다. 이 시험에서 다루는 도형에 대한 직관과 논리적 추론 능력은 향후 고1 '도형의 방정식' 단원과 수능 수학의 기하 문제 해결력에 직접적인 영향을 미치므로, 오답 문항에 대한 철저한 분석이 필수적입니다.

문항 분석

• 15번

  — 삼각형의 중점연결정리와 닮음비, 그리고 넓이비의 관계를 복합적으로 묻는 문항입니다. 많은 학생들이 점 P를 무게중심으로 착각하거나, BF:FC=1:2라는 핵심 조건을 어떻게 활용해야 할지 몰라 헤매는 경우가 많습니다. 이 문제 해결의 결정적 실마리는 점 E를 지나고 선분 DF에 평행한 보조선을 긋는 것입니다. 이 보조선 하나로 숨어있던 닮음 삼각형들이 드러나고, 이를 통해 BP:PE의 비율을 찾아내면 넓이비를 이용해 답을 구할 수 있습니다.
  

• 19번

  — 삼각형의 합동 조건과 원에 내접하는 사각형의 성질(원주각)을 융합한 문제입니다. '네 점 A, B, D, E가 한 원 위에 있다'는 조건을 보고, 사각형 ABDE가 원에 내접하며 '같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다'는 성질을 즉시 떠올리는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 △ABC와 △ADE의 합동 조건에서 얻어낸 정보(대응변, 대응각)와 원주각의 성질을 어떻게 연결해야 할지 몰라 시간을 허비하는 것입니다. 호 BE에 대한 원주각인 ∠BAE와 ∠BDE가 같다는 사실을 이용하면 문제가 풀리기 시작합니다.
  

• 20번

  — 두 집단의 평균과 분산이 주어졌을 때, 전체 집단의 분산을 계산하는 통계 문제입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 단순히 두 집단의 분산을 산술평균 내는 것입니다. 분산은 평균을 중심으로 데이터가 흩어진 정도를 나타내므로, 각 집단의 평균과 전체 평균이 다를 경우 이를 보정해주어야 합니다. 이 문제의 정석적인 접근법은 분산의 정의, 즉 '(편차 제곱의 평균)' 또는 '(제곱의 평균) - (평균의 제곱)' 공식을 이용하는 것입니다. 각 집단의 '자료값의 제곱의 총합'을 먼저 구한 뒤, 이를 합쳐 전체 10명의 '제곱의 총합'을 구하고 전체 평균을 이용해 분산을 계산하는 것이 가장 안전하고 확실한 길입니다.
  

• 21번

  — 원에 내접하는 정사각형의 성질, 원주각, 삼각형의 합동 등 다양한 기하 개념을 총동원해야 하는 고난도 증명형 문제입니다. <보기>의 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 순차적으로 다음 단계의 힌트가 되는 경우가 많다는 것을 인지해야 합니다. 특히 ㄴ(∠PBA = ∠DBE)을 증명하는 것이 이 문제의 핵심인데, 단순히 그림이 비슷해 보인다고 참으로 가정하고 넘어가면 논리적 오류에 빠지게 됩니다. 힌트는 ∠PBE = 45°와 정사각형의 대각선이 이루는 각인 ∠ABD = 45°를 이용해, 공통된 각(∠ABE)을 기준으로 각을 분해하고 재구성하여 두 각이 같음을 보이는 것입니다.
  

• 단답형 29번

  — '소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하면 5'라는 일상적인 표현을 '4.5 ≤ a/b < 5.5'라는 수학적 부등식으로 번역하는 능력이 문제 해결의 전부라 할 수 있습니다. 많은 학생들이 이 조건을 a/b ≈ 5 정도로만 어림짐작하여 접근하다가 해를 찾지 못하는 함정에 빠집니다. 일단 정확한 부등식을 세웠다면, 주어진 등식 2a - 5b = 23과 연립하여 미지수 하나(a 또는 b)를 소거해야 합니다. 그러면 남은 미지수에 대한 범위가 나오고, 그 범위 안의 유일한 자연수 값을 찾아내는 것이 최종 목표입니다.
  

• 단답형 30번

  — 도형을 자르고 재배치하여 새로운 도형을 만드는, 이른바 '기하 퍼즐' 유형의 문제입니다. 각 조각의 넓이를 개별적으로 구하려고 시도하면 매우 복잡해지며, 이것이 출제자가 파놓은 함정입니다. 이 문제의 핵심 원리는 '넓이 보존의 법칙'입니다. 즉, 조각들의 넓이의 합은 원래 도형의 넓이와 같습니다. 따라서 [그림1]의 오각형 ABCDE의 넓이를 먼저 구하면, 그것이 곧 [그림3]에서 만들어진 새로운 정사각형의 넓이가 됩니다. 이 넓이를 이용해 새 정사각형의 한 변의 길이를 구하는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.