2012년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

19번 기하 문제에서 대칭이동을 활용한 최단거리 아이디어를 떠올리지 못했다면 상당한 시간을 낭비했을 시험입니다. 전반적으로 고1 수학(상), (하)의 핵심 개념들을 빠짐없이 점검하고 있으며, 특히 함수와 도형의 방정식을 결합한 문항들의 비중이 눈에 띕니다. 단순히 공식을 암기한 학생보다는 그래프를 그리고 기하학적 의미를 해석하는 능력을 갖춘 학생에게 유리했을 것이며, 이러한 통합적 사고력은 결국 수능 고난도 문항을 해결하는 데 가장 중요한 역량이므로 이번 시험을 통해 자신의 약점을 반드시 보완해야 합니다.

문항 분석

• 13번

  — 이 문제는 절댓값을 포함한 방정식의 실근 개수를 묻고 있습니다. 출제 의도는 y = |x²-2| 의 그래프와 y = -x+k 라는 직선의 교점이 3개가 되는 순간을 기하학적으로 찾으라는 것입니다. 많은 학생들이 x의 범위를 나누어 대수적으로 풀려다가 계산 실수에 빠지거나, '서로 다른 세 실근'이라는 조건을 놓치고 직선이 뾰족점(cusp)을 지나는 경우만 생각하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 |x²-2| 그래프(아래로 볼록한 이차함수를 x축 아래 부분을 접어 올린 W자 모양)를 정확히 그린 후, 기울기가 -1인 직선을 위아래로 움직여보며 직선이 곡선에 접하는 순간을 포착하는 것입니다.
  

• 16번

  — 노트북과 데스크톱의 생산 개수를 각각 x, y로 두고 주어진 조건을 부등식으로 표현하는, 소위 '부등식의 영역'을 활용한 최대/최소 문제입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 조립과정과 검수과정의 최대 시간을 뒤바꿔서 부등식을 세우거나, x와 y가 '컴퓨터의 대수'이므로 음이 아닌 정수여야 한다는 조건을 간과하는 것입니다. 이 문제 해결의 첫 단추는 '1.5x + y ≤ 13', '2x + 0.5y ≤ 9' 라는 핵심 제약 조건과 이익을 나타내는 식 '10x + 5y'를 정확히 설정하는 것입니다. 이후 두 직선의 교점과 각 직선의 x, y절편으로 만들어지는 영역의 꼭짓점들에서 최댓값이 나온다는 사실을 이용하면 해결할 수 있습니다.
  

• 19번

  — 두 직선 도로를 경유하여 다시 돌아오는 최단거리 문제는 '대칭이동' 개념을 모르면 풀이가 매우 힘든 전형적인 기하 문제입니다. 출제 의도는 좌표평면을 설정하고, 정류소 A를 두 직선 도로에 대해 각각 대칭이동시켜 최단 경로를 직선 거리로 바꾸어 생각할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰려 하거나 복잡한 삼각비를 이용하려다 길을 잃습니다. 힌트는 한 도로를 x축, 45°를 이루는 다른 도로를 y=x 직선으로 설정하는 것입니다. 그 후 A점을 x축에 대해 대칭시킨 점 A'과 y=x에 대해 대칭시킨 점 A''을 구하고, 두 점 A'과 A'' 사이의 거리가 바로 구하고자 하는 B와 C 사이의 거리가 아니라 전체 최단 경로의 길이임을 이해하는 것이 중요합니다. 문제에서 요구하는 것은 B와 C 사이의 거리이므로, A'A''을 잇는 직선의 방정식을 구해 x축 및 y=x와의 교점(각각 B, C)을 찾아 두 점 사이의 거리를 구해야 합니다.
  

• 21번

  — 0이 아닌 세 복소수 α, β, γ에 대한 추상적인 조건이 주어져 학생들을 당황시키기 좋은 문제입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 두 조건 (가) α+β+γ=0 과 (나) 1/α+1/β+1/γ=0 을 보고, α, β, γ를 세 근으로 하는 삼차방정식을 떠올리는 것입니다. (나) 식을 통분하면 αβ+βγ+γα=0 이 되므로, 결국 세 복소수는 z³ - (α+β+γ)z² + (αβ+βγ+γα)z - αβγ = 0, 즉 z³ - k = 0 (k=αβγ) 형태 방정식의 근이라는 것을 추론해야 합니다. 많은 학생들이 α=a+bi 등으로 놓고 연립방정식을 풀려다가 미궁에 빠집니다. z³=k의 세 근의 관계(서로 120°씩 회전)를 파악하는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.
  

• 27번

  — 이차함수 그래프 위의 점 P(a, b)가 특정 구간을 움직일 때, a와 b에 대한 다른 식(a+b+3)의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 종속변수 관계를 이용하여 문자를 하나로 통일하고, 제한된 범위 내에서 이차함수의 최대/최소를 구할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 점 P가 A부터 C까지 움직일 때, 독립변수 a의 범위가 0부터 2까지(A의 x좌표부터 C의 x좌표까지)로 제한된다는 사실을 놓치는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 점 P(a,b)가 y=x²-3x+2 위의 점이므로 b = a²-3a+2 임을 이용하여, 구하고자 하는 식 a+b+3을 a에 대한 이차식 a²-2a+5로 바꾸는 것입니다. 그 후, 제한된 범위 [0, 2]에서 이 새로운 이차함수의 꼭짓점과 양 끝점의 함숫값을 비교하면 됩니다.
  

• 30번

  — 평면도형(직사각형)을 접었을 때 생기는 입체 구조에서 점과 직선 사이의 거리를 묻는, 공간지각 능력과 좌표 해석 능력을 동시에 요구하는 최고난도 문항입니다. 이 문제를 풀기 위해서는 먼저 주어진 조건을 이용해 점 B, C, D, E의 좌표를 설정해야 합니다. 가장 큰 함정은 점 C를 선분 BE를 축으로 하여 접었을 때의 새로운 점 C'의 3차원 좌표를 구하는 과정입니다. 이 과정이 매우 복잡하고 계산 실수가 발생하기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 점 C'에서 대각선 BD에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 벡터나 복잡한 3차원 공식 대신 삼각형의 넓이나 피타고라스 정리를 여러 번 적용하여 기하학적으로 접근하는 것입니다. 예를 들어, 삼각형 BC'D의 넓이를 두 가지 방법으로 표현하여 높이 C'H를 구하는 전략을 세울 수 있습니다.