2012년 3월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

19번 정육각형 넓이 비 문제는 복잡한 그림에 압도되어 시작조차 못한 학생들이 많았을 겁니다. 이 시험은 중등 기하의 핵심 개념(피타고라스, 닮음, 원의 성질)을 깊이 있게 이해하고 응용할 수 있는지를 집중적으로 점검하고 있습니다. 단순히 공식을 암기한 학생들은 18번, 27번, 29번과 같은 문제에서 큰 어려움을 겪었을 것이며, 계산 과정에서의 실수를 유발하는 문항도 다수 포함되어 시간 관리 능력 또한 중요했습니다. 특히 14번 이차함수 그래프 해석이나 30번처럼 새로운 정의를 이해하고 적용하는 능력은 고2, 고3 과정과 수능에서 더욱 정교하게 다루어지는 핵심 역량이므로, 이번 기회에 자신의 약점을 확실히 파악하고 넘어가야 합니다.

문항 분석

• 18번

  — 이 문제의 핵심은 '삼각형의 내각의 이등분선 정리'를 직사각형 내부의 두 삼각형, 즉 △ABD와 △CDB에 각각 적용하는 것입니다. 많은 학생들이 이 정리를 직사각형 전체에 어떻게 적용할지 고민하다 시간을 허비하거나, 하나의 삼각형에만 적용하고 풀이가 막히는 실수를 합니다. 문제 해결의 첫 단추는 피타고라스 정리를 이용해 대각선 BD의 길이를 구하는 것입니다. 그 후, △ABD에서 `AB:AD = BP:PD`라는 비례식을 세워 BP와 PD의 길이를 구하는 것이 결정적 실마리가 됩니다.
  

• 19번

  — 시각적으로 가장 위협적인 문항이었을 겁니다. 핵심 출제 의도는 '새롭게 만들어진 외부 삼각형의 정체를 파악하고, 이를 통해 넓이 비를 구하는 것'입니다. 대부분 학생들은 거대한 정육각형 A'B'C'D'E'F'의 한 변의 길이를 직접 구하려다 복잡한 계산의 늪에 빠집니다. 이 문제의 실마리는 작은 정육각형의 한 변의 길이를 `a`로 설정한 뒤, 외부에 생긴 △BB'C와 같은 삼각형 하나에 집중하는 것입니다. 이 삼각형의 내각이 120도임을 파악하고, 변의 길이가 `a`인 이등변삼각형이라는 것을 깨닫는 순간, 큰 정육각형과의 관계가 명확해지며 문제가 풀리기 시작합니다.
  

• 21번

  — 실생활 활용 문제 중에서도 난도가 높은 문항으로, '상황을 좌표평면 위에 정확히 모델링'하는 능력이 관건입니다. A섬을 원점(0,0)으로 설정하는 것이 일반적이지만, 구조선의 출발점, 실종 선박의 위치, 그리고 '시간(t)'이라는 변수를 이용해 각 객체의 위치를 t에 대한 식으로 표현하는 과정에서 실수가 잦습니다. 이 문제의 결정적 힌트는, `t`시간 후 구조선의 위치를 `(-170 + 40t, 0)`으로, 실종 선박의 위치를 `(0, 30)`으로 설정하고, 두 지점 사이의 거리가 탐지 가능 거리인 50km가 된다는 점을 이용해 `(거리)² = 50²` 이라는 t에 대한 이차방정식을 세우는 것입니다.
  

• 단답형 27번

  — 벨트 길이를 구하는 이 고전적인 유형의 핵심은 '직선 구간'과 '곡선 구간'을 분리하여 계산하는 것입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 직선 구간인 공통접선의 길이는 구했지만, 원에 감긴 곡선 부분(호의 길이)을 어떻게 구할지 몰라 헤매는 경우입니다. 문제 해결의 첫 단추는 두 원의 중심을 잇고, 접점을 지나며 중심선에 수직인 보조선을 그어 직각삼각형을 만드는 것입니다. 이 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 직선 구간의 길이를, 삼각비를 이용해 중심각을 알아내면 곡선 구간인 호의 길이를 구할 수 있습니다.
  

• 단답형 29번

  — 종이접기 문제는 '접기 전과 후의 도형은 합동'이라는 절대 원칙을 이용하는 것이 핵심입니다. 학생들은 보통 어떤 길이를 미지수 `x`로 두어야 할지 몰라 시작부터 막힙니다. 이 문제에서는 접혀서 사라진 변의 길이를 새로운 그림에 표시하는 것이 중요합니다. 즉, C'D의 길이는 원래 CD의 길이인 24와 같다는 사실을 이용해야 합니다. 가장 효율적인 실마리는 △DM C'에 주목하는 것입니다. DM=12, DC'=24이므로 피타고라스 정리를 이용해 MC'의 길이를 구할 수 있고, 접었으므로 MC' = MC 입니다. 이를 통해 BC의 길이를 알아내고, 다시 다른 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용하면 접힌 선의 길이를 구할 수 있습니다.
  

• 단답형 30번

  — 수능형 문제의 초기 버전이라 할 수 있는, '새로운 정의(공식)의 이해 및 적용' 능력을 묻는 문항입니다. 출제 의도는 복잡한 파푸스의 정리를 증명하라는 것이 아니라, 주어진 부피 공식의 구조를 파악하고, 문제의 상황에 맞게 각 변수(`a, b, c` 등)가 무엇을 의미하는지 정확히 대입하는 능력을 보는 것입니다. 많은 학생들이 공식의 형태에 압도되어 포기하지만, 실마리는 매우 간단합니다. 회전축 `l`에서 직사각형까지의 거리가 3이고, 직사각형의 넓이가 23이라는 정보를 주어진 공식 `V = 2π * (a+b)/2 * (b-a)c`와 어떻게 연결할지 고민해보세요. `(a+b)/2`는 회전축에서 직사각형의 중심까지의 거리를, `(b-a)c`는 직사각형의 넓이를 의미한다는 것을 간파하는 것이 핵심입니다.