2012년 6월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 복소수 문제에서 -32를 만들기 위해 (1+i)를 몇 번이나 곱해야 할지 고민하다가 시간을 허비한 학생들이 많았을 겁니다. 이 시험은 단순히 공식을 암기했는지를 넘어, 17번의 음수 제곱근 조건이나 19번의 추상적인 집합의 성질처럼 개념의 본질을 정확히 꿰뚫고 있는지를 묻는 문항들로 변별력을 확보했습니다. 특히 다항식의 최대공약수/최소공배수(28번)나 복소수의 연산(30번)처럼 고1 과정에서 깊이 있게 다루는 개념들은 수능에서 고난도 문항의 재료로 얼마든지 활용될 수 있으니, 지금 확실하게 다져놓는 것이 중요합니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문제의 핵심은 (가) 조건인 '음수의 제곱근' 성질을 정확히 해석하는 데 있습니다. 많은 학생들이 sqrt(a)sqrt(b) = -sqrt(ab) 일 때 a<0, b<0 이라는 것은 외우지만, 나눗셈 형태인 sqrt(b)/sqrt(a) = -sqrt(b/a)가 성립할 조건이 분모 a<0, 분자 b>0 임을 놓치는 함정에 빠집니다. 이 조건을 통해 a와 b의 부호를 먼저 확정한 뒤, (나) 조건의 절댓값 기호를 부호에 맞게 풀어내는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 19번

  — 사칙연산에 대해 닫혀 있다는 추상적인 조건을 구체적인 성질로 바꾸는 능력을 요구하는, 최상위권 변별용 문항입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 이 집합 A가 유리수 전체 집합(Q)이나 실수 전체 집합(R)일 것이라고 성급하게 단정하는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 집합에 0과 1의 존재를 증명하는 것에서 시작됩니다. A에 0이 아닌 원소 a가 존재한다면, 닫혀 있다는 성질에 의해 a/a=1도 반드시 A의 원소여야 하고, a-a=0 역시 A의 원소임을 논리적으로 이끌어내야 합니다.
  

• 20번

  — 주어진 함수 방정식을 통해 다항식 f(x)의 형태를 추론하는 문제입니다. f(x+1) = f(x) + x² 라는 조건에 x=0, 1, 2 등을 순서대로 대입하여 f(1), f(2) 값을 구하려 하면 계산이 복잡해지고 길을 잃기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 힌트는 '차수'에 있습니다. f(x)를 n차 다항식이라 가정하면, f(x+1)-f(x)는 (n-1)차 다항식이 됩니다. 우변이 2차식이므로, f(x)는 3차 다항식임을 간파하고 f(x) = ax³+... 형태로 설정한 후 계수를 비교하는 것이 가장 효율적인 접근법입니다.
  

• 단답형 28번

  — 두 다항식의 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM) 사이의 관계를 이용하는 문제입니다. 가장 중요한 공식은 '두 다항식의 곱 = (최대공약수) × (최소공배수)' 입니다. 많은 학생들이 이 공식을 떠올리지 못하고, 각 다항식을 직접 인수분해하려다 미정계수 a 때문에 막히는 경우가 많습니다. 우선 최대공약수가 두 다항식 모두의 인수라는 점을 이용하여 조립제법이나 직접 나눗셈을 통해 계수 간의 관계식을 찾고, 그 다음 위 핵심 공식을 적용하여 나머지 미지수를 구하는 순서로 접근해야 합니다.
  

• 단답형 29번

  — 입체도형의 기하학적 성질과 무리수 계산을 결합한 문제입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 정삼각형인 옆면의 높이를 사각뿔 전체의 높이(OH)로 착각하는 것입니다. 이 문제를 풀기 위한 실마리는 피타고라스 정리를 두 번 적용하는 것입니다. 먼저, 밑면인 정사각형의 넓이를 이용해 한 변의 길이와 대각선의 길이를 구합니다. 그 후, [사각뿔의 높이(OH), 밑면 대각선 길이의 절반, 옆면의 모서리(OA)]로 이루어진 직각삼각형을 찾아내 피타고라스 정리를 적용하면 높이를 구할 수 있습니다.
  

• 단답형 30번

  — 복소수의 곱셈 규칙과 정수의 소인수분해 개념을 융합한 고난도 문제입니다. 최종 결과가 -32, 즉 실수라는 점에 주목해야 합니다. 이는 곱셈 과정에 포함된 허수 단위 i가 모두 사라져야 함을 의미합니다. 학생들은 2i나 1+i를 어떻게 처리해야 할지 막막해하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 열쇠는 (2i)² = -4, (1+i)² = 2i, (1+i)⁴ = -4 와 같이 복소수를 여러 번 곱했을 때 실수가 되거나 순허수가 되는 패턴을 파악하는 것입니다. -32를 (-1) × 2⁵ 로 소인수분해하고, 각 주사위 눈이 이 인수를 어떻게 만들어낼 수 있는지 경우를 나누어 체계적으로 세는 것이 중요합니다.