2012년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

19번 다항식 문제에서 f(x)와 g(x)의 관계를 파악하다가 시간을 허비한 학생들이 많았을 겁니다. 이번 9월 학력평가는 고1 수학 (상) 범위의 핵심 개념들을 꼼꼼하게 점검하는 문항들로 구성되었으며, 특히 다항식, 복소수, 이차함수 단원에서 깊이 있는 이해를 요구하는 문제들이 눈에 띕니다. 단순히 공식을 암기한 학생과 원리를 이해한 학생의 점수 차가 컸을 시험으로, 30번처럼 함수 그래프 위에 도형의 성질을 결합하여 해석하는 능력은 향후 수능 고난도 문항 해결의 초석이 되므로 반드시 완벽하게 정복해야 합니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문항은 다항식의 항등식과 나머지 정리의 원리를 논리적으로 추론하는 능력을 평가합니다. 출제 의도는 'A=BQ+R' 꼴의 나눗셈 정리를 단순 계산이 아닌, 인수의 관점에서 구조적으로 파악할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 (가), (나), (다) 빈칸을 순서대로 채우려다 복잡한 식 전개에 매몰되는 함정에 빠지기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 'x²+2x-1=0의 근이 (x²+x+1)P(x)=1의 근이 된다'는 문장에서 (x²+x+1)P(x)-1 = (x²+2x-1)Q(x) 라는 항등식을 세우는 것입니다. 이 구조를 이해하면 P(x)의 최소 차수 조건까지 자연스럽게 연결됩니다.
  

• 18번

  — 오각기둥의 부피를 구하기 위해 전개도를 입체도형으로 재구성하는 공간지각 능력과 다항식 계산 능력을 동시에 요구하는 문제입니다. 핵심은 전개도에서 밑면의 모양과 넓이, 그리고 기둥의 높이를 정확히 찾아내는 것입니다. 학생들은 흔히 어느 부분이 밑면인지 혼동하거나, 오각형인 밑면의 넓이를 구하는 과정에서 실수하는 경향이 있습니다. 이 문제의 힌트는 전개도에서 직사각형들의 한 변의 길이인 'x+1'이 바로 오각기둥의 높이가 된다는 점을 파악하는 것입니다. 밑면인 오각형은 직사각형 하나와 직각삼각형 두 개로 분리하여 넓이를 x에 대한 식으로 표현한 뒤, '부피 = 밑넓이 × 높이 = 108' 이라는 방정식을 세워 해결해야 합니다.
  

• 19번

  — 두 다항식 f(x)와 g(x)가 서로의 나눗셈 과정에서 나머지로 순환적으로 등장하는, 매우 까다로운 구조의 문제입니다. 출제 의도는 나머지 정리에서 가장 중요한 '나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 반드시 작다'는 대원칙을 끝까지 추적하며 식을 세울 수 있는지를 묻는 것입니다. 대부분의 학생들은 조건 (가)와 (나)를 연립하려고 시도하다가 f(x)와 g(x)의 관계가 명확히 보이지 않아 헤매게 됩니다. 이 문제의 결정적 실마리는 f(x)가 2차식이므로 (가)에서 나머지 g(x)는 1차 이하, 그리고 (나)에서 나머지인 f(x)-x²-2x는 g(x)보다 차수가 낮아야 한다는 점입니다. 이 차수 관계를 이용하면 f(x)의 이차항과 일차항의 계수가 확정되고, g(x)의 형태까지 추론할 수 있게 됩니다.
  

• 21번

  — 광고 효익이라는 생소한 소재를 활용하여, 문장의 정보를 정확히 수학적 언어로 번역하고 비례식을 세워 해결하는 능력을 평가하는 문항입니다. 핵심은 'x% 증가'라는 표현을 곱셈으로 (1+x/100)을 곱하는 것으로 올바르게 모델링하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 2차 광고에서 3차 광고로 넘어갈 때 광고 비용을 '처음 비용 p' 기준으로 생각하여 잘못된 식을 세우는 것입니다. 3차 광고 비용은 '2차 광고 비용'에서 x% 증가한 것임을 놓치면 안 됩니다. 문제 해결의 첫 단추는 1차, 2차, 3차 광고의 비용(P)과 판매량(A)을 각각 p와 x에 대한 식으로 명확하게 표로 정리하는 것입니다. 그 후 R₁, R₃를 정의에 따라 계산하고 주어진 비례식 R₁/R₃ = 20/3을 풀면 x에 대한 방정식을 얻을 수 있습니다.
  

• 28번

  — 하나의 큰 원 안에 세 개의 원이 내접 및 외접하는 상황을 기하학적, 대수적으로 동시에 해석해야 하는 복합 문제입니다. 출제 의도는 원의 접선 조건, 특히 중심 사이의 거리가 반지름의 합 또는 차와 같다는 성질을 이용하여 식을 세우고, 이를 곱셈 공식의 변형과 연결시키는 능력입니다. 시각적인 복잡함에 압도되어 원들의 반지름(r₁, r₂, r₃) 사이의 관계식을 제대로 세우지 못하는 것이 흔한 오답 패턴입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 네 원의 중심이 모두 한 직선 위에 있다는 조건입니다. 이로부터 큰 원의 지름이 세 작은 원의 지름의 합과 같다는 관계식(2r₁+2r₂+2r₃=16)을 도출할 수 있습니다. 여기에 문제에 주어진 넓이 관계식을 이용하면 r₁²+r₂²+r₃²의 값을 구할 수 있고, 최종적으로 곱셈 공식 (a+b+c)²을 이용하여 답을 구할 수 있습니다.
  

• 수학 30번

  — 이차함수와 직선으로 둘러싸인 영역 내부에 정사각형이 놓이는 상황을 좌표를 이용해 분석하는 해석기하의 종합 문제입니다. 정사각형의 기하학적 성질(네 변의 길이가 같고, 이웃한 변이 수직)을 좌표와 방정식으로 표현하는 것이 핵심입니다. 학생들은 정사각형의 네 꼭짓점 A, B, C, D의 좌표를 최소한의 미지수로 설정하는 첫 단계부터 어려움을 겪는 경우가 많습니다. 이 문제 해결의 실마리는 변 AB와 변 CD가 직선 y=x와 평행하므로 기울기가 1이라는 점, 그리고 변 AD와 변 BC는 y=x와 수직이므로 기울기가 -1이라는 점을 이용하는 것입니다. 점 A의 좌표를 (t, t²)로 설정하고 기울기 조건을 이용하여 나머지 점들의 좌표를 t에 대해 표현한 후, 두 변의 길이가 같다는 조건(AB=AD)을 이용해 t값을 구하는 것이 정석적인 접근법입니다.