수학ETF	25_고1_10월	기출문제
	1 ~ 30

두 다항식
[eqn: A = 2x^{2} + xy - 2y], [eqn: B = x^{2} + xy + y]
에 대하여 [eqn: A - B]는?

④

주어진 다항식 [eqn: A], [eqn: B]를 [eqn: A - B]에 대입하여 동류항끼리 계산하면

[eqn: A - B = (2x^{2} + xy - 2y) - (x^{2} + xy + y)]

[eqn: = 2x^{2} + xy - 2y - x^{2} - xy - y][eqn: = x^{2} - 3y]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -x^{2} - xy]	② [eqn: -x^{2} - 3y]	③ [eqn: x^{2} - xy]

④ [eqn: x^{2} - 3y]	⑤ [eqn: x^{2} + y]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: (1, 0)], [eqn: (2, -3)] 사이의 거리는?

②

두 점 [eqn: (1, 0)], [eqn: (2, -3)] 사이의 거리는

[eqn: sqrt{(2 - 1)^{2} + (-3 - 0)^{2}}][eqn: = sqrt{1^{2} + (-3)^{2}}][eqn: = sqrt{1 + 9}][eqn: = sqrt{10}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: sqrt{10}]	③ [eqn: sqrt{11}]

④ [eqn: 2 sqrt{3}]	⑤ [eqn: sqrt{13}]

두 행렬 [eqn: A= LEFT ( {matrix{2&`````0#3&``-1}} RIGHT )], [eqn: B= LEFT ( {matrix{1&`````2#0&`````2}} RIGHT )]에 대하여 행렬 [eqn: A+2B]의 모든 성분의 합은?

③

행렬 [eqn: 2B]는

[eqn: 2B = 2 left ( matrix { 1 & 2 # 0 & 2 } right ) = left ( matrix { 2 & 4 # 0 & 4 } right )]

이므로 행렬 [eqn: A+2B]는

[eqn: A+2B = left ( matrix { 2 & 0 # 3 & -1 } right ) + left ( matrix { 2 & 4 # 0 & 4 } right ) = left ( matrix { 4 & 4 # 3 & 3 } right )]

따라서 행렬 [eqn: A+2B]의 모든 성분의 합은

[eqn: 4 + 4 + 3 + 3 = 14]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

등식
[eqn: x^{2}+ax-1=(x-1)(x+b)+3x]
가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

①

주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면

[eqn: (x-1)(x+b)+3x = x^{2} + bx - x - b + 3x]

[eqn: = x^{2} + (b+2)x - b]

이 식이 [eqn: x^{2}+ax-1]과 같아야 하고, 주어진 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면

[eqn: a = b+2] ……① [eqn: -1 = -b] ……②

②에서 [eqn: b = 1]

이것을 ①에 대입하면 [eqn: a = 1+2 = 3]

∴ [eqn: a+b = 3+1 = 4]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

좌표평면 위의 점 [eqn: LEFT ( 3,`a RIGHT )]를 점 [eqn: LEFT ( 8,`8 RIGHT )]로 옮기는 평행이동에 의하여 점 [eqn: LEFT ( 5,`5 RIGHT )]가 점 [eqn: LEFT ( b,`2 RIGHT )]로 옮겨질 때, [eqn: a+b]의 값은?

①

주어진 평행이동을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하는 것이라 하면

점 [eqn: (3, a)]가 점 [eqn: (8, 8)]로 옮겨지므로

[eqn: 3+m = 8], [eqn: a+n = 8]

∴ [eqn: m = 5], [eqn: n = 8-a] ……①

이 평행이동에 의하여 점 [eqn: (5, 5)]가 점 [eqn: (b, 2)]로 옮겨지므로

[eqn: 5+m = b], [eqn: 5+n = 2]

∴ [eqn: m = b-5], [eqn: n = -3] ……②

①, ②에서

[eqn: 5 = b-5]이므로 [eqn: b = 10]

[eqn: 8-a = -3]이므로 [eqn: a = 11]

∴ [eqn: a+b = 11+10 = 21]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

다항식 [eqn: (4x-ay+2)^{2}]의 전개식에서 [eqn: x^{2}]의 계수와 [eqn: y]의 계수가 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

다항식 [eqn: (4x-ay+2)^{2}]을 전개하면

[eqn: 16x ^{2} +a ^{2} y ^{2} +4-8axy-4ay+16x]

이 전개식에서 [eqn: x^{2}]의 계수는 [eqn: 16]이고, [eqn: y]의 계수는 [eqn: -4a]이다.

문제의 조건에서 [eqn: x^{2}]의 계수와 [eqn: y]의 계수가 같으므로

[eqn: 16 = -4a] ∴ [eqn: a = -4]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 2]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B]의 [eqn: (i, j)] 성분을 각각 [eqn: a_{ij}], [eqn: b_{ij}]라 할 때,
[eqn: a_{ij} = i + 2j] [eqn: (i=1, 2, j=1, 2)],
[eqn: b_{ij} = i times j] [eqn: (i=1, 2, j=1, 2)]
이다. 행렬 [eqn: AB]의 [eqn: (2, 1)] 성분은?

⑤

행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i, j)] 성분 [eqn: a_{ij} = i + 2j]이므로

[eqn: a_{21} = 2 + 2 times 1 = 4]

[eqn: a_{22} = 2 + 2 times 2 = 6]

행렬 [eqn: B]의 [eqn: (i, j)] 성분 [eqn: b_{ij} = i times j]이므로

[eqn: b_{11} = 1 times 1 = 1]

[eqn: b_{21} = 2 times 1 = 2]

행렬 [eqn: AB]의 [eqn: (2, 1)] 성분은 행렬 [eqn: A]의 [eqn: 2]행과 행렬 [eqn: B]의 [eqn: 1]열의 성분을 각각 곱하여 더한 값이므로

[eqn: a_{21} times b_{11} + a_{22} times b_{21} = 4 times 1 + 6 times 2 = 16]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 16]

연립방정식
[eqn: {cases{x-y=-3&#x ^{2} -6x+4y=11&}}]
의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]라 할 때, [eqn: alpha+beta]의 값은?

③

주어진 연립방정식을

[eqn: x-y=-3] ……①, [eqn: x^{2}-6x+4y=11] ……② 라 하면

①에서 [eqn: y=x+3] ……③

③을 ②에 대입하면

[eqn: x^{2}-6x+4(x+3)=11], [eqn: x^{2}-2x+1=0], [eqn: (x-1)^{2}=0]

[eqn: x=1]

[eqn: x=1]을 ③에 대입하면

[eqn: y=1+3=4]

따라서 [eqn: alpha=1], [eqn: beta=4]이므로 [eqn: alpha+beta=1+4=5]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^{3}-(a+1)x^{2}+(a-3)x+8]을 [eqn: x-a]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: a]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

⑤

다항식 [eqn: P(x) = x^{3}-(a+1)x^{2}+(a-3)x+8]이라 하면

나머지 정리에 의해 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-a]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: P(a)]이므로 [eqn: P(a) = a]

[eqn: P(a) = a^{3} - (a+1)a^{2} + (a-3)a + 8]

[eqn: = a^{3} - a^{3} - a^{2} + a^{2} - 3a + 8][eqn: = -3a + 8]

즉, [eqn: -3a + 8 = a]에서 [eqn: 4a = 8] ∴ [eqn: a = 2]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. [eqn: a times b]가 [eqn: 4]의 약수 또는 [eqn: 12]의 배수가 되는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]의 개수는?

④

한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이므로 [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 1] 이상 [eqn: 6] 이하의 자연수이다.

(ⅰ) [eqn: a times b]가 [eqn: 4]의 약수인 경우

[eqn: 4]의 약수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4]이므로

[eqn: a times b = 1]일 때, 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 1)]의 [eqn: 1]개

[eqn: a times b = 2]일 때, 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 2)], [eqn: (2, 1)]의 [eqn: 2]개

[eqn: a times b = 4]일 때, 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 4)], [eqn: (2, 2)], [eqn: (4, 1)]의 [eqn: 3]개

따라서 [eqn: a times b]가 [eqn: 4]의 약수가 되는 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는 [eqn: 1 + 2 + 3 = 6]이다.

(ⅱ) [eqn: a times b]가 [eqn: 12]의 배수인 경우

[eqn: a times b]의 최댓값은 [eqn: 6 times 6 = 36]이므로 [eqn: 12]의 배수는 [eqn: 12], [eqn: 24], [eqn: 36]이다.

[eqn: a times b = 12]일 때, 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (2, 6)], [eqn: (3, 4)], [eqn: (4, 3)], [eqn: (6, 2)]의 [eqn: 4]개

[eqn: a times b = 24]일 때, 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (4, 6)], [eqn: (6, 4)]의 [eqn: 2]개

[eqn: a times b = 36]일 때, 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (6, 6)]의 [eqn: 1]개

따라서 [eqn: a times b]가 [eqn: 12]의 배수가 되는 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는 [eqn: 4 + 2 + 1 = 7]이다.

(ⅰ), (ⅱ)의 두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 합의 법칙에 의해 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는

[eqn: 6 + 7 = 13]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

점 [eqn: LEFT ( m,`-m RIGHT )]과 직선 [eqn: 3x+y+3=0] 사이의 거리를 [eqn: d_{1}], 점 [eqn: (0, 5)]와 직선 [eqn: 3x+y+3=0] 사이의 거리를 [eqn: d_{2}]라 하자. [eqn: d_{1} < d_{2}]가 되도록 하는 정수 [eqn: m]의 개수는?

①

점 [eqn: (m, -m)]과 직선 [eqn: 3x+y+3=0] 사이의 거리 [eqn: d_{1}]은

[eqn: d_{1} = {left | 3m - m + 3 right |} over {sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = {left | 2m + 3 right |} over {sqrt{10}}]

점 [eqn: (0, 5)]와 직선 [eqn: 3x+y+3=0] 사이의 거리 [eqn: d_{2}]는

[eqn: d_{2} = {left | 3 times 0 + 5 + 3 right |} over {sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = {8} over {sqrt{10}}]

[eqn: d_{1} < d_{2}]이므로

[eqn: {left | 2m + 3 right |} over {sqrt{10}} < {8} over {sqrt{10}}], [eqn: left | 2m + 3 right | < 8], [eqn: -8 < 2m + 3 < 8]

[eqn: -11 < 2m < 5] ∴ [eqn: -{11} over {2} < m < {5} over {2}]

이를 만족하는 정수 [eqn: m]은 [eqn: -5], [eqn: -4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]이므로 그 개수는 [eqn: 8]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

실수 [eqn: a]에 대하여 복소수 [eqn: z]를 [eqn: z=a^{2}+(1+i)a-6(2+i)]라 하자. [eqn: z^{2}]이 실수가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}])

④

복소수 [eqn: z]를 실수부분과 허수부분으로 정리하면

[eqn: z = a^{2} + (1+i)a - 6(2+i)][eqn: = a^{2} + a + ai - 12 - 6i]

[eqn: = (a^{2} + a - 12) + (a - 6)i]

[eqn: z^{2}]이 실수가 되려면 [eqn: z]는 실수이거나 순허수이어야 한다.

즉, [eqn: z]의 허수부분이 [eqn: 0]이거나 실수부분이 [eqn: 0]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: z]가 실수인 경우

허수부분이 [eqn: 0]이므로 [eqn: a - 6 = 0] ∴ [eqn: a = 6]

(ⅱ) [eqn: z]가 순허수(또는 [eqn: 0])인 경우

실수부분이 [eqn: 0]이므로

[eqn: a^{2} + a - 12 = 0], [eqn: (a + 4)(a - 3) = 0] ∴ [eqn: a = -4] 또는 [eqn: a = 3]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: z^{2}]이 실수가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값은 [eqn: -4], [eqn: 3], [eqn: 6]이므로 그 합은

[eqn: -4 + 3 + 6 = 5]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -4]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: {cases{x ^{2} GEQ 4n ^{2}&#x ^{2} -nx-6n ^{2} LEQ 0&}}]
을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 10]이 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값은?

③

첫 번째 부등식 [eqn: x^{2} geq 4n^{2}]에서

[eqn: x^{2} - 4n^{2} geq 0], [eqn: (x + 2n)(x - 2n) geq 0]

[eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: x leq -2n] 또는 [eqn: x geq 2n] ……①

두 번째 부등식 [eqn: x^{2} - nx - 6n^{2} leq 0]에서

[eqn: (x + 2n)(x - 3n) leq 0]

[eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: -2n leq x leq 3n] ……②

①, ②의 공통 범위를 구하면

[eqn: x = -2n] 또는 [eqn: 2n leq x leq 3n]

이때 [eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: x = -2n]은 정수이고,

[eqn: 2n leq x leq 3n]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는

[eqn: 3n - 2n + 1 = n + 1]

따라서 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 총 개수는 [eqn: 1 + (n + 1) = n + 2]

정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 10]이므로

[eqn: n + 2 = 10] ∴ [eqn: n = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA LEFT ( -3,`2 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 2,`6 RIGHT )]이 있다. [eqn: rmoverline {PQ} = 1]인 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmoverline {AP} + overline {QB}]의 최솟값은? (단, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

④

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표보다 작고 [eqn: rmoverline {PQ} = 1]이므로 점 [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: x]축의 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점이다.

점 [eqn: rmB LEFT ( 2,`6 RIGHT )]을 [eqn: x]축의 음의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rmB']이라 하면

[eqn: rmB' LEFT ( 1,`6 RIGHT )]이고 [eqn: rmoverline {QB} = overline {PB'}]이다.

따라서 [eqn: rmoverline {AP} + overline {QB} = overline {AP} + overline {PB'}]이다.

점 [eqn: rmA LEFT ( -3,`2 RIGHT )]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmA']이라 하면

[eqn: rmA' LEFT ( -3,`-2 RIGHT )]이고 [eqn: rmoverline {AP} = overline {A'P}]이다.

[eqn: rmoverline {AP} + overline {PB'} = overline {A'P} + overline {PB'} geq overline {A'B'}]이므로 구하는 최솟값은 선분 [eqn: rmA'B']의 길이와 같다.

[eqn: rmoverline {A'B'} = sqrt { (1 - (-3))^{2} + (6 - (-2))^{2} } = sqrt { 16 + 64 } = sqrt { 80 } = 4 sqrt { 5 }]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 2 sqrt {17}]	② [eqn: 6 sqrt {2}]	③ [eqn: 2 sqrt {19}]

④ [eqn: 4 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {21}]

세 이차정사각행렬 [eqn: A= LEFT ( {matrix{0&`````0#6&`````0}} RIGHT )], [eqn: B], [eqn: C]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: AB = CA = O]

(나) 행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합이 [eqn: 3]이고, 행렬 [eqn: C] 의 [eqn: (1, 1)] 성분과 [eqn: (2, 1)] 성분이 같다.

[eqn: BC = A]일 때, 행렬 [eqn: C]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: O]는 영행렬이다.)

②

[eqn: B = left ( matrix { b_{11} & b_{12} # b_{21} & b_{22} } right )], [eqn: C = left ( matrix { c_{11} & c_{12} # c_{21} & c_{22} } right )]라 하면

조건 (가)에서 [eqn: AB = O]이므로

[eqn: left ( matrix { 0 & 0 # 6 & 0 } right ) left ( matrix { b_{11} & b_{12} # b_{21} & b_{22} } right ) = left ( matrix { 0 & 0 # 6b_{11} & 6b_{12} } right ) = left ( matrix { 0 & 0 # 0 & 0 } right )]

따라서 [eqn: b_{11} = 0], [eqn: b_{12} = 0]이다.

즉, [eqn: B = left ( matrix { 0 & 0 # b_{21} & b_{22} } right )]이다.

조건 (나)에서 행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합이 [eqn: 3]이므로

[eqn: b_{21} + b_{22} = 3] ……①

조건 (가)에서 [eqn: CA = O]이므로

[eqn: left ( matrix { c_{11} & c_{12} # c_{21} & c_{22} } right ) left ( matrix { 0 & 0 # 6 & 0 } right ) = left ( matrix { 6c_{12} & 0 # 6c_{22} & 0 } right ) = left ( matrix { 0 & 0 # 0 & 0 } right )]

따라서 [eqn: c_{12} = 0], [eqn: c_{22} = 0]이다.

즉, [eqn: C = left ( matrix { c_{11} & 0 # c_{21} & 0 } right )]이다.

조건 (나)에서 행렬 [eqn: C]의 [eqn: (1, 1)] 성분과 [eqn: (2, 1)] 성분이 같으므로 [eqn: c_{11} = c_{21}]이다.

[eqn: c_{11} = c_{21} = c]라 하면, [eqn: C = left ( matrix { c & 0 # c & 0 } right )]이다.

조건 (다)에서 [eqn: BC = A]이므로

[eqn: left ( matrix { 0 & 0 # b_{21} & b_{22} } right ) left ( matrix { c & 0 # c & 0 } right ) = left ( matrix { 0 & 0 # b_{21}c + b_{22}c & 0 } right ) = left ( matrix { 0 & 0 # (b_{21} + b_{22})c & 0 } right )]

이 행렬이 [eqn: A = left ( matrix { 0 & 0 # 6 & 0 } right )]와 같으므로

[eqn: (b_{21} + b_{22})c = 6]이다.

①에 의해 [eqn: 3c = 6]이므로 [eqn: c = 2]이다.

따라서 [eqn: C = left ( matrix { 2 & 0 # 2 & 0 } right )]이다.

행렬 [eqn: C]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2 + 0 + 2 + 0 = 4]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: 1]학년 학생 [eqn: 3]명, [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명, [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 1]명이 있다. 이 [eqn: 6]명의 학생 중에서 [eqn: 5]명의 학생을 선택하고 이 [eqn: 5]명의 학생이 모두 한 번씩 발표하도록 순서를 정하려고 할 때, [eqn: 1]학년 학생끼리는 연속해서 발표하지 않도록 순서를 정하는 경우의 수는? (단, 발표는 한 명씩 한다.)

⑤

[eqn: 6]명의 학생 중 [eqn: 5]명을 선택하므로 선택되지 않는 [eqn: 1]명의 학생의 학년에 따라 경우를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 1]명이 선택되지 않는 경우

[eqn: 1]학년 학생 [eqn: 3]명 중 [eqn: 2]명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: {}{}_{{3}} C _{{2}} = 3]

선택된 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명과 [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 1]명을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]

이 [eqn: 3]명의 학생 사이사이와 양 끝의 [eqn: 4]개의 자리에 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명을 나열하는 경우의 수는 [eqn: {}{}_{{4}} P _{{2}} = 12]

∴ [eqn: 3 times 6 times 12 = 216]

(ⅱ) [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 1]명이 선택되지 않는 경우

[eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명 중 [eqn: 1]명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: {}{}_{{2}} C _{{1}} = 2]

선택된 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 1]명과 [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 1]명을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]

이 [eqn: 2]명의 학생 사이사이와 양 끝의 [eqn: 3]개의 자리에 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 3]명을 나열하는 경우의 수는 [eqn: {}{}_{{3}} P _{{3}} = 6]

∴ [eqn: 2 times 2 times 6 = 24]

(ⅲ) [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 1]명이 선택되지 않는 경우

선택된 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]

이 [eqn: 2]명의 학생 사이사이와 양 끝의 [eqn: 3]개의 자리에 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 3]명을 나열하는 경우의 수는 [eqn: {}{}_{{3}} P _{{3}} = 6]

∴ [eqn: 1 times 2 times 6 = 12]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 모든 경우의 수는

[eqn: 216 + 24 + 12 = 252]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 228]	② [eqn: 234]	③ [eqn: 240]

④ [eqn: 246]	⑤ [eqn: 252]

양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 0 leq x leq a]에서 이차함수 [eqn: f(x)=-2x^{2}+16x-7]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 0]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

④

이차함수 [eqn: f(x)]를 표준형으로 변형하면

[eqn: f(x) = -2(x^{2} - 8x) - 7 = -2(x-4)^{2} + 25]

그래프는 위로 볼록하고 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (4, 25)]이다.

구간 [eqn: 0 leq x leq a]에서 최댓값과 최솟값을 구하기 위해 [eqn: a]의 범위를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: 0 < a < 4]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 이 구간에서 증가하므로 최댓값은 [eqn: f(a) = -2a^{2} + 16a - 7], 최솟값은 [eqn: f(0) = -7]이다.

최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 0]이므로

[eqn: -2a^{2} + 16a - 7 - 7 = 0], [eqn: a^{2} - 8a + 7 = 0]

[eqn: (a-1)(a-7) = 0]

[eqn: 0 < a < 4]이므로 [eqn: a = 1]

(ⅱ) [eqn: 4 leq a leq 8]일 때

구간에 꼭짓점이 포함되므로 최댓값은 [eqn: f(4) = 25]이다.

대칭축이 [eqn: x=4]이므로 [eqn: f(0) = f(8) = -7]에서 최솟값은 [eqn: f(0) = -7]이다.

최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 25 - 7 = 18 neq 0]이므로 조건을 만족하는 [eqn: a]는 없다.

(ⅲ) [eqn: a > 8]일 때

구간에 꼭짓점이 포함되므로 최댓값은 [eqn: f(4) = 25]이다.

[eqn: f(a) < f(0)]이므로 최솟값은 [eqn: f(a) = -2a^{2} + 16a - 7]이다.

최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 0]이므로

[eqn: 25 - 2a^{2} + 16a - 7 = 0], [eqn: -2a^{2} + 16a + 18 = 0]

[eqn: a^{2} - 8a - 9 = 0], [eqn: (a+1)(a-9) = 0]

[eqn: a > 8]이므로 [eqn: a = 9]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족하는 모든 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 9]이므로 그 합은 [eqn: 10]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {17} over {2}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {19} over {2}]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: {21} over {2}]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^{3}+(2a+3)x^{2}+(3a+5)x+a+3]이 [eqn: (x+b)(x+c)^{2}]으로 인수분해되도록 하는 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

②

[eqn: P(x) = x^{3}+(2a+3)x^{2}+(3a+5)x+a+3]이라 하면

[eqn: P(-1) = -1 + (2a+3) - (3a+5) + a + 3 = 0]이므로 조립제법을 이용하면

[eqn: P(x) = (x+1)(x^{2}+(2a+2)x+a+3)]

이 다항식이 [eqn: (x+b)(x+c)^{2}]으로 인수분해되려면 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: x^{2}+(2a+2)x+a+3]이 [eqn: x+1]을 인수로 가질 때

[eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 1 - (2a+2) + a + 3 = 0], [eqn: -a + 2 = 0] ∴ [eqn: a = 2]

[eqn: a=2]를 대입하면 [eqn: x^{2}+6x+5 = (x+1)(x+5)]이므로

[eqn: P(x) = (x+5)(x+1)^{2}]

이때 [eqn: b=5], [eqn: c=1]이므로 [eqn: a+b+c = 2+5+1 = 8]

(ⅱ) [eqn: x^{2}+(2a+2)x+a+3]이 완전제곱식일 때

이차방정식 [eqn: x^{2}+(2a+2)x+a+3=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = (a+1)^{2} - (a+3) = 0]

[eqn: a^{2}+a-2 = 0], [eqn: (a+2)(a-1) = 0] ∴ [eqn: a = -2] 또는 [eqn: a = 1]

[eqn: a=-2]일 때, [eqn: x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}]이므로

[eqn: P(x) = (x+1)(x-1)^{2}]

이때 [eqn: b=1], [eqn: c=-1]이므로 [eqn: a+b+c = -2+1-1 = -2]

[eqn: a=1]일 때, [eqn: x^{2}+4x+4 = (x+2)^{2}]이므로

[eqn: P(x) = (x+1)(x+2)^{2}]

이때 [eqn: b=1], [eqn: c=2]이므로 [eqn: a+b+c = 1+1+2 = 4]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a+b+c]의 최댓값은 [eqn: M=8], 최솟값은 [eqn: m=-2]이다.

∴ [eqn: M+m = 8 + (-2) = 6]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식 [eqn: f(x)]와 모든 항의 계수가 실수인 두 다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(x)]를 [eqn: P(x)]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: Q(x)]이고 나머지는 [eqn: P(x)+left { Q(x) right }^{2}]이다.

(나) [eqn: f(x)]를 [eqn: Q(x)]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: P(x)]이고 나머지는 [eqn: P(x)+left { Q(x) right }^{2}]이다.

[eqn: P(0)=-2], [eqn: Q(0)=1]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?

⑤

이 문제의 핵심은 다항식의 나눗셈에서 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작다는 성질을 이용하여 두 다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]의 차수를 결정하는 것이다.

조건 (가), (나)에서 [eqn: f(x) = P(x)Q(x) + P(x) + left { Q(x) right }^{2}]이다. ……①

조건 (나)에서 [eqn: f(x)]를 [eqn: Q(x)]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: P(x) + left { Q(x) right }^{2}]이므로 [eqn: P(x) + left { Q(x) right }^{2}]의 차수는 [eqn: Q(x)]의 차수보다 작아야 한다.

[eqn: Q(x)]의 차수를 [eqn: n]이라 하면 [eqn: P(x) + left { Q(x) right }^{2}]의 차수는 [eqn: n-1] 이하이다.

이때 [eqn: P(x) = -left { Q(x) right }^{2} + R(x)] (단, [eqn: R(x)]의 차수는 [eqn: n-1] 이하)로 놓을 수 있으므로 [eqn: P(x)]의 차수는 [eqn: 2n]이다.

①에서 [eqn: f(x) = P(x)Q(x) + R(x)]이므로 [eqn: f(x)]의 차수는 [eqn: P(x)]의 차수와 [eqn: Q(x)]의 차수의 합인 [eqn: 2n + n = 3n]이다.

[eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식이므로 [eqn: 3n = 3]에서 [eqn: n = 1]이다.

따라서 [eqn: Q(x)]는 일차식이고, [eqn: R(x)]는 상수이다.

[eqn: R(x) = c] ([eqn: c]는 상수)라 하면 [eqn: P(x) + left { Q(x) right }^{2} = c]에서 [eqn: P(x) = -left { Q(x) right }^{2} + c]이다.

[eqn: P(0) = -2], [eqn: Q(0) = 1]이므로

[eqn: P(0) = -left { Q(0) right }^{2} + c]에서 [eqn: -2 = -1 + c]

∴ [eqn: c = -1]

[eqn: Q(x) = mx + 1] ([eqn: m]은 [eqn: 0]이 아닌 실수)이라 하면

[eqn: P(x) = -left ( mx + 1 right )^{2} - 1]이다.

[eqn: f(x) = P(x)Q(x) - 1 = left { -left ( mx + 1 right )^{2} - 1 right } left ( mx + 1 right ) - 1]에서 [eqn: f(x)]의 최고차항은 [eqn: -m^{2} x^{2} times mx = -m^{3} x^{3}]이다.

[eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: -m^{3} = 1]에서 [eqn: m^{3} = -1]이다.

[eqn: m]은 실수이므로 [eqn: m = -1]이다.

따라서 [eqn: Q(x) = -x + 1], [eqn: P(x) = -left ( -x + 1 right )^{2} - 1]이다.

[eqn: f(x) = P(x)Q(x) - 1]이므로

[eqn: f(2)=P(2)Q(2)-1=1]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: a]에 대하여 좌표평면 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA LEFT ( it2a,`0 RIGHT )], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 다음 조건을 만족시킨다.

삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표는 [eqn: (0, 2)]이다.

[eqn: rmoverline{AB} = overline{AC}]

다음은 [eqn: {bar{rmBC}} =2 sqrt {a ^{2} +1}] 일 때, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합을 구하는 과정이다. (단, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표보다 크다.)

선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM LEFT ( itb,`c RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라 하면, 점 [eqn: rmG(0, 2)]는 선분 [eqn: rmAM]을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로

[eqn: b = -a], [eqn: c= {BOX{```(가)```}}]이다.

[eqn: rmoverline{AB} = overline{AC}]이고 직선 [eqn: rmAM]의 기울기가 [eqn: -{1} over {a}]이므로

직선 [eqn: rmBC]의 방정식은

[eqn: y= {BOX{```(나)```}} ` TIMES ` LEFT { x- LEFT ( -a RIGHT ) RIGHT } +` {BOX{```(가)```}}] 이다.

점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면

점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: {BOX{```(나)```}} ` TIMES LEFT ( k+a RIGHT ) +` {BOX{```(가)```}}]이다.

[eqn: rmoverline{BM} = {1} over {2} overline{BC}]이고 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표가 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표보다 크므로 [eqn: k= {BOX{```(다)```}}] 이다.

따라서 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합은 (라) 이다.

위의 (가), (라)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(a)], [eqn: g(a)]라 할 때, [eqn: f(p) times g(q)]의 값은?

③

점 [eqn: rmG LEFT ( 0,`2 RIGHT )]는 선분 [eqn: rmAM]을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로

[eqn: rmM LEFT ( itb,`c RIGHT )]에 대하여 [eqn: {2b + 2a} over {3} = 0], [eqn: {2c + 0} over {3} = 2]

[eqn: b = -a], [eqn: c = 3] ∴ (가) [eqn: = 3]

[eqn: rmoverline{AB} = overline{AC}]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]는 이등변삼각형이고, 선분 [eqn: rmAM]과 선분 [eqn: rmBC]는 서로 수직이다.

직선 [eqn: rmAM]의 기울기가 [eqn: -{1} over {a}]이므로 직선 [eqn: rmBC]의 기울기는 [eqn: a]이다. ∴ (나) [eqn: = a]

점 [eqn: rmB]의 좌표를 [eqn: (k, a(k+a)+3)]이라 하면

[eqn: rm {bar{BM}} = {1} over {2} {bar{BC}} = sqrt {ita ^{2} +1}]이므로

[eqn: {bar{rm BM it}} ^{2} =(k-(-a)) ^{2} + LEFT { a(k+a)+3-3 RIGHT } ^{2}][eqn: =(k+a) ^{2} +a ^{2} (k+a) ^{2} =(a ^{2} +1)(k+a) ^{2}]

[eqn: (a^{2}+1)(k+a)^{2} = a^{2}+1]에서 [eqn: (k+a)^{2} = 1]

[eqn: k = -a +- 1]

점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표가 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표보다 크므로 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 선분 [eqn: rmBC]의 중점 [eqn: rmM]의 [eqn: x]좌표보다 크다.

즉, [eqn: k > -a]이므로 [eqn: k = -a + 1] ∴ (다) [eqn: = -a + 1]

점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: a(-a+1+a) + 3 = a + 3]이므로

점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합은 [eqn: (-a+1) + (a+3) = 4]이다.

∴ (라) [eqn: = 4]

따라서 [eqn: p = 3], [eqn: q = 4], [eqn: f(a) = a], [eqn: g(a) = -a + 1]이므로

[eqn: f(p) times g(q) = f(3) times g(4) = 3 times (-3) = -9]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -10]	② [eqn: -{19} over {2}]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -{17} over {2}]	⑤ [eqn: -8]

좌표평면 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 원점 [eqn: rmO]를 지나는 원 [eqn: C_{1}]이 있다. 원 [eqn: C_{1}]을 원점 [eqn: rmO]에 대하여 대칭이동한 원을 [eqn: C_{2}]라 할 때, 두 원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]가 다음 조건을 만족시킨다. 삼각형 [eqn: rmOPQ]의 외접원의 중심이 선분 [eqn: rmPQ] 위에 있도록 하는 원 [eqn: C_{1}] 위의 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: C_{2}] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmoverline{PQ}=6]이다. 원 [eqn: C_{2}]가 [eqn: x]축과 만나는 점 중 [eqn: rmO]가 아닌 점을 [eqn: rmB]라 할 때, 원 [eqn: C_{2}] 위의 점 [eqn: rmB]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자. 직선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: {1} over {2}]일 때, 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리는?

①

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (a, b)] ([eqn: a > 0], [eqn: b > 0])라 하면

원 [eqn: C_{1}]은 중심이 [eqn: rmA LEFT ( ita,`b RIGHT )]이고 원점 [eqn: rmO]를 지나므로 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하면 [eqn: r = sqrt{a^{2}+b^{2}}]이다.

원 [eqn: C_{2}]는 원 [eqn: C_{1}]을 원점 [eqn: rmO]에 대하여 대칭이동한 원이므로 중심은 [eqn: rmA' LEFT ( it-a,`-b RIGHT )]이고 반지름의 길이는 [eqn: r]이다.

삼각형 [eqn: rmOPQ]의 외접원의 중심이 선분 [eqn: rmPQ] 위에 있으므로 삼각형 [eqn: rmOPQ]는 [eqn: rmangle POQ = 90^{circ}]인 직각삼각형이다.

점 [eqn: rmQ]를 원점 [eqn: rmO]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ']이라 하면 [eqn: rmQ']은 원 [eqn: C_{1}] 위의 점이다.

이때 [eqn: rmO]는 선분 [eqn: rmQQ']의 중점이고, [eqn: rmangle POQ = 90^{circ}]이므로 선분 [eqn: rmPO]는 선분 [eqn: rmQQ']의 수직이등분선이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmPQQ']은 [eqn: rmoverline{PQ} = overline{PQ'}]인 이등변삼각형이다.

한편, 원 [eqn: C_{1}] 위의 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmO], [eqn: rmQ']에 대하여 [eqn: rmangle POQ' = 90^{circ}]이므로 선분 [eqn: rmPQ']은 원 [eqn: C_{1}]의 지름이다.

즉, [eqn: {bar{rmPQ prime }} =2r]이므로 [eqn: {bar{rmPQ}} =2r]이다.

[eqn: rmoverline{PQ} = 6]이므로 [eqn: 2r = 6]에서 [eqn: r = 3]이다.

즉, [eqn: a^{2} + b^{2} = 9] ……①

원 [eqn: C_{2}]의 방정식은 [eqn: (x+a)^{2} + (y+b)^{2} = 9]이다.

원 [eqn: C_{2}]가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 0]이므로

[eqn: (x+a)^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2}]에서 [eqn: (x+a)^{2} = a^{2}]

[eqn: x+a = a] 또는 [eqn: x+a = -a]

[eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = -2a]

점 [eqn: rmB]는 원점이 아니므로 [eqn: rmB LEFT ( it-2a,`0 RIGHT )]이다.

원 [eqn: C_{2}]의 중심 [eqn: rmA' LEFT ( it-a,`-b RIGHT )]와 점 [eqn: rmB LEFT ( it-2a,`0 RIGHT )]을 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {0 - (-b)} over {-2a - (-a)} = {b} over {-a}]이다.

점 [eqn: rmB]에서의 접선 [eqn: l]은 선분 [eqn: rmA'B]와 수직이므로 직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: {a} over {b}]이다.

직선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: {1} over {2}]이므로 [eqn: {a} over {b} = {1} over {2}]에서 [eqn: b = 2a] ……②

②를 ①에 대입하면 [eqn: a^{2} + 4a^{2} = 9]에서 [eqn: 5a^{2} = 9]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = {3} over {sqrt{5}}]이다.

직선 [eqn: l]은 점 [eqn: rmB LEFT ( it-2a,`0 RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: y = {1} over {2}(x+2a)], 즉 [eqn: x - 2y + 2a = 0]이다.

점 [eqn: rmA LEFT ( ita,`2a RIGHT )]와 직선 [eqn: l]: [eqn: x - 2y + 2a = 0] 사이의 거리를 [eqn: d]라 하면 [eqn: d = {left | a - 4a + 2a right |} over {sqrt{1^{2} + (-2)^{2}}} = {left | -a right |} over {sqrt{5}} = {a} over {sqrt{5}}]

[eqn: a = {3} over {sqrt{5}}]이므로 [eqn: d = {3} over {5}]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {3} over {5}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {11} over {15}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {15}]

직선 [eqn: y=(5-2k)x+2]와 직선 [eqn: y=x+3]이 서로 평행할 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

두 직선이 서로 평행하려면 기울기가 같고 [eqn: y]절편이 달라야 한다.

직선 [eqn: y=(5-2k)x+2]의 기울기는 [eqn: 5-2k]이고, 직선 [eqn: y=x+3]의 기울기는 [eqn: 1]이므로

[eqn: 5-2k = 1], [eqn: 2k = 4], [eqn: k = 2]

이때 두 직선의 [eqn: y]절편은 각각 [eqn: 2], [eqn: 3]으로 다르므로 평행 조건을 만족한다.

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

등식 [eqn: {} _{n} rm C _{2} = _{3} rm P _{2} TIMES itn]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

조합과 순열의 계산 공식에 의해

[eqn: {} _{n} rm C _{2} =it {n(n-1)} over {2}], [eqn: rm{}{}_{{3}} P _{{2}} = 3 times 2 = 6]이므로

주어진 등식에 대입하면 [eqn: {n(n-1)} over {2} = 6 times n]

[eqn: n]은 [eqn: n geq 2]인 자연수이므로 양변을 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: {n-1} over {2} = 6], [eqn: n - 1 = 12] ∴ [eqn: n = 13]

따라서 정답은 [eqn: 13]이다.

두 행렬 [eqn: A= LEFT ( {matrix{4&`````3#3&`````4}} ` RIGHT )], [eqn: B= LEFT ( {matrix{8&`````2#2&`````8}} RIGHT )]에 대하여 [eqn: pA-B=q LEFT ( {matrix{0&`````1#1&`````0}} RIGHT )]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 상수이다.)

[eqn: 6]

주어진 식의 좌변을 계산하면

[eqn: pA - B = p left ( matrix { 4 & 3 # 3 & 4 } right ) - left ( matrix { 8 & 2 # 2 & 8 } right )][eqn: = left ( matrix { 4p & 3p # 3p & 4p } right ) - left ( matrix { 8 & 2 # 2 & 8 } right )][eqn: = left ( matrix { 4p - 8 & 3p - 2 # 3p - 2 & 4p - 8 } right )]

우변을 계산하면

[eqn: q left ( matrix { 0 & 1 # 1 & 0 } right ) = left ( matrix { 0 & q # q & 0 } right )]

두 행렬이 서로 같으므로

[eqn: 4p - 8 = 0] ……①, [eqn: 3p - 2 = q] ……②

①에서 [eqn: 4p = 8]이므로 [eqn: p = 2]

②에 [eqn: p = 2]를 대입하면 [eqn: q = 3 times 2 - 2 = 4]

∴ [eqn: p+q = 2 + 4 = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 6]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 홀수가 되도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 144]

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수 중 홀수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]의 [eqn: 3]개이고, 짝수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]의 [eqn: 3]개이다.

양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 홀수가 되려면 양 끝에 놓인 카드가 모두 홀수여야 한다.

홀수 [eqn: 3]개 중 [eqn: 2]개를 선택하여 양 끝에 나열하는 경우의 수는

[eqn: {}{}_{{3}} P _{{2}} = 3 times 2 = 6]

양 끝에 놓인 [eqn: 2]장의 카드를 제외한 나머지 [eqn: 4]장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: 4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24]

구하는 경우의 수는 두 경우의 수를 곱한 값이므로

[eqn: 6 times 24 = 144]

따라서 정답은 [eqn: 144]이다.

[eqn: x]에 대한 사차방정식 [eqn: (2x^{2}+kx)^{2}+10(2x^{2}+kx)+16=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 18]

공통부분을 치환하여 이차방정식을 푼 뒤, 원래의 [eqn: x]에 대한 이차방정식의 판별식을 이용하여 실근의 개수를 파악한다.

[eqn: 2x^{2}+kx = t]라 하면 주어진 방정식은

[eqn: t^{2}+10t+16=0], [eqn: (t+2)(t+8)=0]

∴ [eqn: t=-2] 또는 [eqn: t=-8]

즉, [eqn: x]에 대한 두 이차방정식

[eqn: 2x^{2}+kx+2=0] ……①, [eqn: 2x^{2}+kx+8=0] ……②

를 얻는다.

두 이차방정식 ①, ②의 판별식을 각각 [eqn: D_{1}], [eqn: D_{2}]라 하면

[eqn: D_{1} = k^{2}-16], [eqn: D_{2} = k^{2}-64]

이때 항상 [eqn: D_{1} > D_{2}]이다.

주어진 사차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면, 두 이차방정식 ①, ② 중 하나는 서로 다른 두 실근을 갖고 다른 하나는 서로 다른 두 허근을 가져야 한다. (상수항이 다르므로 ①과 ②는 공통근을 가질 수 없다.)

[eqn: D_{1} > D_{2}]이므로 ①이 서로 다른 두 실근을 갖고, ②가 서로 다른 두 허근을 가져야 한다.

따라서 [eqn: D_{1} > 0]이고 [eqn: D_{2} < 0]이어야 하므로

[eqn: k^{2}-16 > 0]에서 [eqn: k^{2} > 16]

[eqn: k^{2}-64 < 0]에서 [eqn: k^{2} < 64]

∴ [eqn: 16 < k^{2} < 64]

[eqn: k]는 자연수이므로 [eqn: 4 < k < 8]을 만족하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이다.

모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 5+6+7=18]이다.

따라서 정답은 [eqn: 18]이다.

상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}+kx-{1} over {2}k^{2}+3k=0]이 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 갖는다. [eqn: alpha ^{2} -k`beta=12]일 때, [eqn: alpha^{2}+beta^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 20]

이차방정식 [eqn: x^{2}+kx-{1} over {2}k^{2}+3k=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta = -k], [eqn: alpha beta = -{1} over {2}k^{2} + 3k] ……①

또한 [eqn: alpha]가 이차방정식의 근이므로

[eqn: alpha^{2}+k alpha-{1} over {2}k^{2}+3k=0]

즉, [eqn: alpha^{2} = -k alpha + {1} over {2}k^{2} - 3k] ……②

주어진 조건 [eqn: alpha^{2}-k beta=12]에 ②를 대입하면

[eqn: (-k alpha + {1} over {2}k^{2} - 3k) - k beta = 12], [eqn: -k(alpha + beta) + {1} over {2}k^{2} - 3k = 12]

①의 [eqn: alpha + beta = -k]를 대입하면

[eqn: -k(-k) + {1} over {2}k^{2} - 3k = 12], [eqn: {3} over {2}k^{2} - 3k - 12 = 0]

[eqn: k^{2} - 2k - 8 = 0], [eqn: (k-4)(k+2) = 0]

∴ [eqn: k = 4] 또는 [eqn: k = -2]

이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로 판별식 [eqn: D]에 대하여

[eqn: D = k^{2} - 4 left ( -{1} over {2}k^{2} + 3k right ) > 0], [eqn: 3k^{2} - 12k > 0], [eqn: 3k(k-4) > 0]

∴ [eqn: k < 0] 또는 [eqn: k > 4]

따라서 조건을 만족하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: -2]이다.

[eqn: k = -2]를 ①에 대입하면

[eqn: alpha + beta = 2], [eqn: alpha beta = -8]이므로

[eqn: alpha^{2} + beta^{2} = (alpha + beta)^{2} - 2 alpha beta][eqn: = 2^{2} - 2 times (-8) = 20]

따라서 정답은 [eqn: 20]이다.

원 [eqn: O]가 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나고, [eqn: y]축과 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]에서 만난다. 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]와 원 [eqn: O]가 다음 조건을 만족시킬 때, 사각형 [eqn: rmACBD]의 넓이를 구하시오. (단, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 작고, 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표는 점 [eqn: rmD]의 [eqn: y]좌표보다 작다.)

(가) 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:4]로 내분하는 점은 선분 [eqn: rmCD]의 중점이다.

(나) 원 [eqn: O]가 직선 [eqn: 4x-3y+13=0]에 접한다.

[eqn: 40]

원 [eqn: O]의 중심을 [eqn: (a, b)], 반지름의 길이를 [eqn: r] ([eqn: r > 0])이라 하면

원의 방정식은 [eqn: (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}]

원 [eqn: O]가 [eqn: x]축과 만나는 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 0]이므로

[eqn: (x-a)^{2} + b^{2} = r^{2}]에서 [eqn: x = a +- sqrt{r^{2}-b^{2}}]

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표가 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 작으므로

[eqn: rmA(ita- sqrt {r ^{2} -b ^{2}} ,0)], [eqn: rmB(ita+ sqrt {r ^{2} -b ^{2}} ,0)]

원 [eqn: O]가 [eqn: y]축과 만나는 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]이므로

[eqn: a^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}]에서 [eqn: y = b +- sqrt{r^{2}-a^{2}}]

점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표가 점 [eqn: rmD]의 [eqn: y]좌표보다 작으므로

[eqn: rm C( it 0,`b- sqrt {r ^{2} -a ^{2}} )], [eqn: rmD(it0,`b+ sqrt {r ^{2} -a ^{2}} )]

선분 [eqn: rmCD]의 중점의 좌표는 [eqn: (0, b)]

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:4]로 내분하는 점의 좌표를 구하면

[eqn: left ( {1 times (a + sqrt{r^{2}-b^{2}}) + 4 times (a - sqrt{r^{2}-b^{2}})} over {1+4}, {1 times 0 + 4 times 0} over {1+4} right )]

즉, [eqn: left ( a - {3} over {5} sqrt{r^{2}-b^{2}}, 0 right )]

조건 (가)에서 이 두 점이 일치하므로

[eqn: b = 0] ……①, [eqn: a - {3} over {5} sqrt{r^{2}-b^{2}} = 0] ……②

①을 ②에 대입하면 [eqn: a - {3} over {5} r = 0]에서 [eqn: r = {5} over {3} a]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: a > 0]

따라서 원 [eqn: O]의 중심은 [eqn: (a, 0)]이고 반지름의 길이는 [eqn: {5} over {3} a]

조건 (나)에서 원 [eqn: O]가 직선 [eqn: 4x-3y+13=0]에 접하므로 원의 중심 [eqn: (a, 0)]과 직선 사이의 거리는 반지름의 길이와 같아야 하므로

[eqn: {left | 4a - 3 times 0 + 13 right |} over {sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}} = {5} over {3} a], [eqn: {left | 4a + 13 right |} over {5} = {5} over {3} a]

[eqn: 3 left | 4a + 13 right | = 25a]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: 4a + 13 > 0]

[eqn: 3(4a + 13) = 25a], [eqn: 12a + 39 = 25a], [eqn: 13a = 39] ∴ [eqn: a = 3]

[eqn: a = 3]을 대입하면 [eqn: r = 5]이고 [eqn: b = 0]

네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 좌표를 구하면

[eqn: rmA(-2, 0)], [eqn: rmB(8, 0)], [eqn: rmC(0, -4)], [eqn: rmD(0, 4)]

사각형 [eqn: rmACBD]의 두 대각선 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmCD]는 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축 위에 있으므로

선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: 8 - (-2) = 10]이고, 선분 [eqn: rmCD]의 길이는 [eqn: 4 - (-4) = 8]

두 대각선이 직교하므로 사각형 [eqn: rmACBD]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times 10 times 8 = 40]

따라서 정답은 [eqn: 40]이다.

그림과 같이 정사각형 [eqn: rmABCD]를 밑면으로 하는 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 선분 [eqn: rmAD] 위의 점 [eqn: rmP]와 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rmoverline{AP}=overline{BQ}=overline{BF}]가 되도록 잡고, 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmEH]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR], 점 [eqn: rmQ]에서 선분 [eqn: rmFG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmS]라 하자. 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]의 부피를 [eqn: V_{1}], 직육면체 [eqn: rmABQP-EFSR]의 부피를 [eqn: V_{2}]라 하자.
[eqn: rm(overline{AB}+overline{BF}) times overline{SD}^{2} = {35} over {4}], [eqn: V_{1}+V_{2} = {15} over {4}]
일 때, [eqn: rm(overline{AB}+overline{BF})^{3} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmoverline{AB} > overline{BF}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 133]

[eqn: {bar{rmAB}} =a], [eqn: {bar{rmBF}} =b]라 하면

직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]의 밑면은 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형이고 높이는 [eqn: b]이므로 [eqn: V_{1} = a^{2}b]

직육면체 [eqn: rmABQP-EFSR]의 밑면 [eqn: rmABQP]는 가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: a], [eqn: b]인 직사각형이고 높이는 [eqn: b]이므로

[eqn: V_{2} = ab^{2}]

[eqn: V_{1} + V_{2} = {15} over {4}]에서

[eqn: a^{2}b + ab^{2} = ab(a+b) = {15} over {4}] ……①

점 [eqn: rmD]에서 밑면 [eqn: rmrmEFGH]에 내린 수선의 발은 [eqn: rmH]이므로 삼각형 [eqn: rmSDH]는 직각삼각형이다.

피타고라스 정리에 의해 [eqn: {bar{rmSD}} ^{2} = {bar{rmSH}} ^{2} + {bar{rmDH}} ^{2}]

이때 [eqn: {bar{rmDH}} =b]이고, 밑면 [eqn: rmEFGH]는 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형이다.

점 [eqn: rmS]는 선분 [eqn: rmFG] 위의 점이고 [eqn: {bar{rmFS}} = {bar{rmBQ}} =b]이므로 [eqn: {bar{rmSG}} =a-b]이다.

직각삼각형 [eqn: rmSGH]에서 [eqn: {bar{rmSH}} ^{2} = {bar{rmSG}} ^{2} + {bar{rmGH}} ^{2} =(a-b) ^{2} +a ^{2}]

∴ [eqn: {bar{rmSD}} ^{2} =(a-b) ^{2} +a ^{2} +b ^{2} =2a ^{2} -2ab+2b ^{2}]

[eqn: rm ( {bar{AB}} + {bar{BF}} ) TIMES {bar{SD}} ^{2} = {35} over {4}]에서

[eqn: (a+b) times (2a^{2} - 2ab + 2b^{2}) = {35} over {4}]

[eqn: 2(a+b)(a^{2} - ab + b^{2}) = {35} over {4}], [eqn: 2(a^{3} + b^{3}) = {35} over {4}]

[eqn: a^{3} + b^{3} = {35} over {8}] ……②

곱셈공식에 의해

[eqn: (a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)]

①, ②에서

[eqn: (a+b)^{3} = {35} over {8} + 3 times {15} over {4} = {35} over {8} + {90} over {8} = {125} over {8}]

[eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이므로 [eqn: p = 8], [eqn: q = 125]

∴ [eqn: p+q = 133]

따라서 정답은 [eqn: 133]이다.

두 상수 [eqn: p(p>0)], [eqn: q]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)={1} over {2}(x-p)^{2}+q]가 있다. 함수 [eqn: f(x)]와 양수 [eqn: m]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)=-f(x-m)]이라 할 때, 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]가 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta(alpha<beta)]를 갖는다. 함수 [eqn: h(x)]를
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x LEQ alpha``또는``x GEQ beta RIGHT )#g LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( alpha<x<beta RIGHT )}}]
라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: h(x)=t]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2] 이상이면서 서로 다른 모든 실근의 합이 [eqn: 4p+2m]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 범위는 [eqn: g(p)<t<5]이다.

[eqn: f(m)+g(m)=-4]일 때, [eqn: m times (p-q)]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

이차함수 [eqn: f(x) = {1} over {2}(x-p)^{2} + q]의 꼭짓점은 [eqn: (p, q)]이고 아래로 볼록하다.

[eqn: g(x) = -f(x-m) = -{1} over {2}(x-p-m)^{2} - q]의 꼭짓점은 [eqn: (p+m, -q)]이고 위로 볼록하다.

방정식 [eqn: f(x) = g(x)]에서

[eqn: {1} over {2}(x-p)^{2} + q = -{1} over {2}(x-p-m)^{2} - q]

[eqn: (x-p)^{2} + (x-p-m)^{2} + 4q = 0]

[eqn: x-p = X]라 하면 [eqn: X^{2} + (X-m)^{2} + 4q = 0]

[eqn: 2X^{2} - 2mX + m^{2} + 4q = 0] ……①

이 이차방정식의 두 근을 [eqn: X_{1}], [eqn: X_{2}] ([eqn: X_{1} < X_{2}])라 하면 [eqn: alpha = p + X_{1}], [eqn: beta = p + X_{2}]이다.

근과 계수의 관계에서 [eqn: X_{1} + X_{2} = m]이므로

[eqn: alpha + beta = 2p + m]이다.

함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x leq alpha] 또는 [eqn: x geq beta]에서 [eqn: f(x)]이고, [eqn: alpha < x < beta]에서 [eqn: g(x)]이다.

방정식 [eqn: h(x) = t]의 서로 다른 실근의 합이 [eqn: 4p+2m]이 되려면, [eqn: f(x)=t]의 두 근과 [eqn: g(x)=t]의 두 근을 모두 가져야 한다.

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=p]에 대하여 대칭이므로 [eqn: f(x)=t]의 두 근의 합은 [eqn: 2p]이고,

[eqn: g(x)]는 [eqn: x=p+m]에 대하여 대칭이므로 [eqn: g(x)=t]의 두 근의 합은 [eqn: 2(p+m) = 2p+2m]이다.

따라서 [eqn: h(x)=t]가 서로 다른 [eqn: 4]개의 실근을 가질 때 모든 실근의 합이 [eqn: 4p+2m]이 된다.

방정식 ①에서 두 근의 합은 [eqn: m > 0]이므로 [eqn: left | X_{1} right | < left | X_{2} right |]이다.

[eqn: h(alpha) = f(alpha) = {1} over {2}X_{1}^{2} + q]이고 [eqn: h(beta) = f(beta) = {1} over {2}X_{2}^{2} + q]이므로 [eqn: h(alpha) < h(beta)]이다.

[eqn: h(x)]의 그래프에서 직선 [eqn: y=t]와 [eqn: 4]점에서 만나기 위한 [eqn: t]의 범위는 [eqn: h(beta) < t < -q]이다.

주어진 조건에서 이 범위가 [eqn: g(p) < t < 5]이므로

[eqn: -q = 5]에서 [eqn: q = -5]이고, [eqn: h(beta) = g(p)]이다.

[eqn: g(p) = -{1} over {2}(p-p-m)^{2} - q = -{1} over {2}m^{2} + 5]

[eqn: h(beta) = f(beta) = {1} over {2}(beta-p)^{2} - 5]

[eqn: h(beta) = g(p)]에서 [eqn: {1} over {2}(beta-p)^{2} - 5 = -{1} over {2}m^{2} + 5]

[eqn: (beta-p)^{2} = 20 - m^{2}] ……②

[eqn: beta-p = X_{2}]는 방정식 ①의 근이고 [eqn: q = -5]이므로

[eqn: 2(beta-p)^{2} - 2m(beta-p) + m^{2} - 20 = 0]

②를 대입하면

[eqn: 2(20-m^{2}) - 2m(beta-p) + m^{2} - 20 = 0]

[eqn: 20 - m^{2} - 2m(beta-p) = 0]

[eqn: (beta-p)^{2} - 2m(beta-p) = 0]

[eqn: beta-p > 0]이므로 [eqn: beta-p = 2m]이다.

이를 ②에 대입하면

[eqn: (2m)^{2} = 20 - m^{2}]

[eqn: 5m^{2} = 20]

[eqn: m > 0]이므로 [eqn: m = 2]이다.

조건 [eqn: f(m) + g(m) = -4]에서 [eqn: m=2], [eqn: q=-5]를 대입하면

[eqn: f(2) = {1} over {2}(2-p)^{2} - 5]

[eqn: g(2) = -{1} over {2}(2-p-2)^{2} + 5 = -{1} over {2}p^{2} + 5]

[eqn: f(2) + g(2) = {1} over {2}(4 - 4p + p^{2}) - 5 - {1} over {2}p^{2} + 5 = 2 - 2p]

[eqn: 2 - 2p = -4], [eqn: 2p = 6] ∴ [eqn: p = 3]

따라서 [eqn: m times (p-q) = 2 times (3 - (-5)) = 2 times 8 = 16]이다.