수학ETF	2024_고2_6월	기출문제
	1~30

[eqn: root {3} of {4} times 2^{1 over 3}]의 값은?

④

거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸어 지수법칙을 적용한다.

[eqn: 4 = 2^{2}]이므로 [eqn: root {3} of {4} = root {3} of {2^{2}} = 2^{2 over 3}]

지수법칙에 의해

[eqn: root {3} of {4} times 2^{1 over 3} = 2^{2 over 3} times 2^{1 over 3}][eqn: = 2^{2 over 3 + 1 over 3}][eqn: = 2^{1}] ∴ [eqn: 2]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: log_{3}24+log_{3}{3} over {8}]의 값은?

②

로그의 성질에 의해

[eqn: log_{3}24 + log_{3}{3} over {8} = log_{3} left ( 24 times {3} over {8} right )][eqn: = log_{3}9][eqn: = log_{3}3^{2}][eqn: = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

중심각의 크기가 [eqn: {3} over {4} pi]이고 호의 길이가 [eqn: {2} over {3} pi]인 부채꼴의 반지름의 길이는?

⑤

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

중심각의 크기가 [eqn: {3} over {4} pi], 호의 길이가 [eqn: {2} over {3} pi]이므로

부채꼴의 호의 길이 공식 [eqn: l = r theta]에서

[eqn: {2} over {3} pi = r times {3} over {4} pi], [eqn: r = {2} over {3} times {4} over {3}] ∴ [eqn: r = {8} over {9}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {4} over {9}]	② [eqn: {5} over {9}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {7} over {9}]	⑤ [eqn: {8} over {9}]

[eqn: 0 leq x leq pi]일 때, 방정식 [eqn: 2cos x+1=0]의 해는?

④

방정식 [eqn: 2 cos x + 1 = 0]에서 [eqn: 2 cos x = -1], [eqn: cos x = -{1} over {2}]

[eqn: 0 leq x leq pi]에서 [eqn: cos x < 0]이므로 [eqn: x]는 제[eqn: 2]사분면의 각이다.

[eqn: cos {pi} over {3} = {1} over {2}]이므로 [eqn: x = pi - {pi} over {3} = {2} over {3} pi]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {pi} over {6}]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: {pi} over {3}]

④ [eqn: {2} over {3} pi]	⑤ [eqn: {5} over {6} pi]

다음은 상용로그표의 일부이다.

위의 표를 이용하여 [eqn: log 43.5]의 값을 구한 것은?

①

주어진 상용로그표에서 수 [eqn: 4.3]과 열 [eqn: 5]가 만나는 곳의 값이 [eqn: .6385]이므로

[eqn: log 4.35 = 0.6385]

[eqn: log 43.5 = log (4.35 times 10)][eqn: = log 4.35 + log 10][eqn: = 0.6385 + 1][eqn: = 1.6385]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1.6385]	② [eqn: 1.6395]	③ [eqn: 1.6474]

④ [eqn: 2.6385]	⑤ [eqn: 2.6395]

반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: sin A = {1} over {4}]일 때, [eqn: rmoverline {BC}]의 값은?

③

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 [eqn: R = 6]이다.

사인법칙에 의해 [eqn: rm {{bar{rm BC}}} over {sinA} =2itR]

주어진 조건에서 [eqn: sin A = {1} over {4}]이므로

[eqn: {{bar{rmBC}}} over {{1} over {4}} =2 TIMES 6] ∴ [eqn: {bar{rmBC}} =12 TIMES {1} over {4} =3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: {pi} over {2} < theta < pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos theta = - {3} over {4}]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

⑤

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]이므로

[eqn: sin^{2} theta = 1 - cos^{2} theta][eqn: = 1 - left ( - {3} over {4} right )^{2}][eqn: = 1 - {9} over {16} = {7} over {16}]

이때 [eqn: {pi} over {2} < theta < pi]에서 [eqn: theta]는 제[eqn: 2]사분면의 각이므로 [eqn: sin theta > 0]

∴ [eqn: sin theta = {sqrt{7}} over {4}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - {sqrt{7}} over {4}]	② [eqn: - {sqrt{3}} over {4}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {sqrt{3}} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt{7}} over {4}]

함수 [eqn: y=log_{3}(x+a)+b]의 그래프가 점 [eqn: (5,`0)]을 지나고 점근선이 직선 [eqn: x=-4]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

①

함수 [eqn: y = log_{3}(x+a) + b]의 점근선은 진수 부분이 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]의 값이므로 [eqn: x = -a]이다.

점근선이 직선 [eqn: x = -4]이므로

[eqn: -a = -4] ∴ [eqn: a = 4]

따라서 함수는 [eqn: y = log_{3}(x+4) + b]이다.

이 함수의 그래프가 점 [eqn: (5, 0)]을 지나므로

[eqn: 0 = log_{3}(5+4) + b], [eqn: 0 = log_{3}9 + b], [eqn: 0 = 2 + b] ∴ [eqn: b = -2]

따라서 [eqn: a+b = 4 + (-2) = 2]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y=tan ax+b]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

②

주어진 그래프에서 점근선의 방정식이 [eqn: x = -2pi], [eqn: x = 2pi], [eqn: x = 6pi]이므로 함수의 주기는 [eqn: 2pi - (-2pi) = 4pi]이다.

함수 [eqn: y = tan ax + b]의 주기는 [eqn: {pi} over {left | a right |}]이므로

[eqn: {pi} over {left | a right |} = 4pi]에서 [eqn: left | a right | = {1} over {4}]이다.

그래프에서 [eqn: x]가 증가할 때 [eqn: y]도 증가하는 모양이므로 [eqn: a > 0]이다.

∴ [eqn: a = {1} over {4}]

또한, 그래프가 [eqn: y]축과 점 [eqn: (0,`2)]에서 만나므로

[eqn: 2 = tan ( a times 0 ) + b]에서 [eqn: b = 2]이다.

∴ [eqn: ab = {1} over {4} times 2 = {1} over {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

함수 [eqn: y=5^{x}+1]의 역함수의 그래프가 점 [eqn: (4,`log _{5} a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

③

함수 [eqn: y = 5^{x} + 1]의 역함수의 그래프가 점 [eqn: (4,`log _{5} a)]를 지나므로, 원래 함수 [eqn: y = 5^{x} + 1]의 그래프는 점 [eqn: (log _{5} a,`4)]를 지난다.

따라서 [eqn: x = log_{5} a], [eqn: y = 4]를 대입하면 [eqn: 4 = 5^{log_{5} a} + 1]

로그의 성질 [eqn: a^{log_{a} b} = b]에 의해 [eqn: 5^{log_{5} a} = a]이므로 [eqn: 4 = a + 1]

∴ [eqn: a = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y=4^{x}-6]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프가 원점을 지나고 점근선이 직선 [eqn: y=-2]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

④

함수 [eqn: y = 4^{x} - 6]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프의 식은

[eqn: y = 4^{x-a} - 6 + b]

이 함수의 점근선은 직선 [eqn: y = -6 + b]이고, 조건에서 점근선이 직선 [eqn: y = -2]이므로 [eqn: -6 + b = -2] ∴ [eqn: b = 4]

또한, 이 그래프가 원점 [eqn: (0, 0)]을 지나므로 [eqn: x = 0], [eqn: y = 0], [eqn: b = 4]를 대입하면

[eqn: 0 = 4^{-a} - 6 + 4], [eqn: 4^{-a} = 2], [eqn: 2^{-2a} = 2^{1}]

지수법칙에 의해 [eqn: -2a = 1]이므로 [eqn: a = -{1} over {2}]

∴ [eqn: ab = left ( -{1} over {2} right ) times 4 = -2]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

실수 [eqn: k]에 대하여 함수
[eqn: f(x)=2cos^{2}x+2sinx+k]
의 최댓값이 [eqn: {15} over {2}]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은?

③

[eqn: cos^{2}x = 1 - sin^{2}x]이므로

[eqn: f(x) = 2(1 - sin^{2}x) + 2sinx + k][eqn: = -2sin^{2}x + 2sinx + k + 2]

[eqn: sinx = t]라 하면 [eqn: -1 leq t leq 1]이고, 주어진 함수는

[eqn: y = -2t^{2} + 2t + k + 2][eqn: = -2 left ( t^{2} - t + {1} over {4} right ) + {1} over {2} + k + 2]

[eqn: = -2 left ( t - {1} over {2} right )^{2} + k + {5} over {2}]

[eqn: -1 leq t leq 1]이므로 [eqn: t = {1} over {2}]일 때 최댓값 [eqn: k + {5} over {2}]를 갖는다.

최댓값이 [eqn: {15} over {2}]이므로 [eqn: k + {5} over {2} = {15} over {2}] ∴ [eqn: k = 5]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: t = -1]일 때 최솟값을 가지므로 최솟값은

[eqn: -2(-1)^{2} + 2(-1) + 5 + 2 = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

부등식 [eqn: 2^{2x+3}+2 leq 17 times 2^{x}]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는?

③

주어진 부등식 [eqn: 2^{2x+3}+2 leq 17 times 2^{x}]에서

[eqn: 8 times (2^{x})^{2} - 17 times 2^{x} + 2 leq 0]

[eqn: 2^{x} = t] ([eqn: t > 0])라 하면

[eqn: 8t^{2} - 17t + 2 leq 0], [eqn: (8t - 1)(t - 2) leq 0] ∴ [eqn: {1} over {8} leq t leq 2]

[eqn: t = 2^{x}]이므로 [eqn: 2^{-3} leq 2^{x} leq 2^{1}]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: -3 leq x leq 1]

따라서 이를 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]이므로 개수는 [eqn: 5]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log_{a}(x^{2}+ax+a+8)]이 정의되기 위한 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은? [[eqn: 4]점]

①

로그가 정의되기 위한 조건을 적용한다.

밑의 조건에서

[eqn: a > 0], [eqn: a neq 1] ……①

진수의 조건에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: x^{2} + ax + a + 8 > 0]

이 성립해야 하므로 이차방정식 [eqn: x^{2} + ax + a + 8 = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = a^{2} - 4(a+8) < 0]에서 [eqn: -4 < a < 8] ……②

①, ②에서 공통 범위를 구하면

[eqn: 0 < a < 8] ([eqn: a neq 1])

이를 만족하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이므로 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

좌표평면에서 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>2)]와 직선 [eqn: x=-2]가 만나는 두 점 중 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmA], [eqn: y]좌표가 음수인 점을 [eqn: rmB]라 하고, 두 동경 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB]가 나타내는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. [eqn: 2cosalpha=3sinbeta]일 때, [eqn: r(sinalpha+cosbeta)]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: x]축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

③

원 [eqn: x^{2}+y^{2}=r^{2}]과 직선 [eqn: x=-2]의 교점을 구하기 위해 [eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: 4+y^{2}=r^{2}]에서 [eqn: y^{2}=r^{2}-4]

[eqn: r>2]이므로 [eqn: y= +- sqrt{r^{2}-4}]

점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표는 양수, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표는 음수이므로

[eqn: rmA`it(-2, sqrt {r ^{2} -4} )], [eqn: rmB`it(-2,- sqrt {r ^{2} -4} )]

동경 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB]가 나타내는 각의 크기가 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 삼각함수의 정의에 의해

[eqn: cosalpha = {-2} over {r}], [eqn: sinalpha = {sqrt{r^{2}-4}} over {r}]

[eqn: cosbeta = {-2} over {r}], [eqn: sinbeta = {-sqrt{r^{2}-4}} over {r}]

조건 [eqn: 2cosalpha=3sinbeta]에 대입하면

[eqn: 2 left ( {-2} over {r} right ) = 3 left ( {-sqrt{r^{2}-4}} over {r} right )], [eqn: {-4} over {r} = {-3sqrt{r^{2}-4}} over {r}]

[eqn: r>0]이므로 양변에 [eqn: r]을 곱하여 정리하면

[eqn: 4 = 3sqrt{r^{2}-4}] ∴ [eqn: sqrt{r^{2}-4} = {4} over {3}]

구하는 값은 [eqn: r(sinalpha+cosbeta)]이므로

[eqn: r(sinalpha+cosbeta) = r left ( {sqrt{r^{2}-4}} over {r} + {-2} over {r} right )][eqn: = sqrt{r^{2}-4} - 2]

[eqn: = {4} over {3} - 2 = -{2} over {3}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -{8} over {3}]	② [eqn: -{5} over {3}]	③ [eqn: -{2} over {3}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

그림과 같이 사각형 [eqn: rmrmABCD]가 한 원에 내접하고
[eqn: rmoverline{AB} = 4], [eqn: rmoverline{AD} = 5], [eqn: rmoverline{BD} = sqrt{33}]
이다. 삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이가 [eqn: 2 sqrt{6}] 일 때, [eqn: rmoverline{BC} times overline{CD}]의 값은?

①

삼각형 [eqn: rmABD]에서 코사인법칙에서

[eqn: cos A = {4^{2} + 5^{2} - (sqrt{33})^{2}} over {2 times 4 times 5} = {16 + 25 - 33} over {40} = {8} over {40} = {1} over {5}]

[eqn: sin^{2} A = 1 - cos^{2} A = 1 - left ( {1} over {5} right )^{2} = {24} over {25}]

[eqn: 0 < A < pi]이므로 [eqn: sin A > 0]이다. [eqn: sin A = {2 sqrt{6}} over {5}]

사각형 [eqn: rmABCD]가 원에 내접하므로 [eqn: A + C = pi]에서 [eqn: C = pi - A]이다.

[eqn: sin C = sin ( pi - A ) = sin A = {2 sqrt{6}} over {5}]

삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이가 [eqn: 2 sqrt{6}]이므로

[eqn: rm{1} over {2} times overline{BC} times overline{CD} times sin C = 2 sqrt{6}]에서 [eqn: rmoverline{BC} times overline{CD} = 10]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: {21} over {2}]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: {23} over {2}]	⑤ [eqn: 12]

그림과 같이 상수 [eqn: k(5<k<6)]에 대하여 직선 [eqn: y=-x+k]가 두 곡선
[eqn: y=-log_{3}x+4], [eqn: y=3^{-x+4}]
과 만나는 네 점을 [eqn: x]좌표가 작은 점부터 차례로 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmbarAD`-rmbarBC`=4 sqrt {2}]일 때, [eqn: k]의 값은?

②

두 함수 [eqn: y = -log_{3}x+4]와 [eqn: y = 3^{-x+4}]는 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이다.

직선 [eqn: y = -x+k]도 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이므로, 직선 [eqn: y = -x+k]와 두 곡선의 교점들은 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭을 이룬다.

지수함수 [eqn: y = 3^{-x+4}]와 직선 [eqn: y = -x+k]의 두 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < beta])라 하면

두 교점은 [eqn: ( alpha ,`- alpha +k)], [eqn: ( beta ,`- beta +k)]이다.

이 점들을 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: (- alpha +k,` alpha )], [eqn: (- beta +k,` beta )]는 로그함수 [eqn: y = -log_{3}x+4]와 직선 [eqn: y = -x+k]의 교점이다.

그래프의 개형과 [eqn: 5 < k < 6] 조건에 의해 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - beta+k < - alpha+k < alpha < beta]를 만족한다.

네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]는 [eqn: x]좌표가 작은 점부터 차례로 나열한 것이므로

[eqn: rmA`it(- beta +k,` beta )], [eqn: rmB`it(- alpha +k,` alpha )], [eqn: rmC`it( alpha ,`- alpha +k)], [eqn: rmD`it( beta ,`- beta +k)]이다.

선분 [eqn: rmAD]와 선분 [eqn: rmBC]의 길이를 구하면

[eqn: {bar{rmAD}} = sqrt {( beta -(- beta +k)) ^{2} +(- beta +k- beta ) ^{2}} = sqrt {2} (2 beta -k)]

[eqn: {bar{rmBC}} = sqrt {( alpha -(- alpha +k)) ^{2} +(- alpha +k- alpha ) ^{2}} = sqrt {2} (2 alpha -k)]

[eqn: rmoverline{AD} - overline{BC} = 4sqrt{2}]이므로

[eqn: sqrt{2}(2 beta - k) - sqrt{2}(2 alpha - k) = 4sqrt{2}], [eqn: 2sqrt{2}( beta - alpha) = 4sqrt{2}]

∴ [eqn: beta - alpha = 2]

점 [eqn: ( alpha ,`- alpha +k)]와 [eqn: ( beta ,`- beta +k)]는 곡선 [eqn: y = 3^{-x+4}] 위의 점이므로

[eqn: 3^{- alpha+4} = - alpha+k] ……① [eqn: 3^{- beta+4} = - beta+k] ……②

[eqn: beta = alpha + 2]를 ②에 대입하면

[eqn: 3^{- alpha+2} = - alpha - 2 + k] ……③

①에서 ③을 빼면

[eqn: 3^{- alpha+4} - 3^{- alpha+2} = 2], [eqn: 3^{- alpha+2}(3^{2} - 1) = 2], [eqn: 8 times 3^{- alpha+2} = 2]

[eqn: 3^{- alpha+2} = {1} over {4}], [eqn: - alpha+2 = log_{3} left ( {1} over {4} right ) = -2log_{3}2]

∴ [eqn: alpha = 2 + 2log_{3}2]

①에 의해 [eqn: k]의 값을 구하면

[eqn: k = alpha + 3^{- alpha+4} = alpha + 9 times 3^{- alpha+2}]

[eqn: k = 2 + 2log_{3}2 + 9 times {1} over {4} = {17} over {4} + 2log_{3}2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {19} over {4}+log_{3}2]	② [eqn: {17} over {4}+2log_{3}2]	③ [eqn: {17} over {4}+log_{3}5]

④ [eqn: {9} over {2}+2log_{3}2]	⑤ [eqn: {9} over {2}+log_{3}5]

실수 [eqn: k(0 leq k leq 2pi)]에 대하여 [eqn: -pi leq x leq k]에서 부등식
[eqn: sin x + cos {pi over 8} < 0]
을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: -pi - alpha < x < alpha]가 되도록 하는 [eqn: k]의 최댓값은?

④

부등식 [eqn: sin x + cos {pi} over {8} < 0]에서 [eqn: sin x < -cos {pi} over {8}]

[eqn: cos {pi} over {8} = sin left ( {pi} over {2} - {pi} over {8} right ) = sin {3pi} over {8}]이므로 [eqn: sin x < -sin {3pi} over {8}]

[eqn: -pi leq x leq 0]에서 [eqn: sin x = -sin {3pi} over {8}]인 [eqn: x]의 값은

[eqn: x = -pi + {3pi} over {8} = -{5pi} over {8}] 또는 [eqn: x = -{3pi} over {8}]

따라서 [eqn: -pi leq x leq 0]에서 부등식의 해는

[eqn: -{5pi} over {8} < x < -{3pi} over {8}]

이는 주어진 해의 형태 [eqn: -pi - alpha < x < alpha]와 일치하며, 이때 [eqn: alpha = -{3pi} over {8}]이다.

[eqn: x > 0]에서 부등식 [eqn: sin x < -sin {3pi} over {8}]을 만족하는 해가 추가되지 않아야 하므로

[eqn: x > 0]에서 [eqn: sin x = -sin {3pi} over {8}]인 최소의 양수 [eqn: x]를 구하면

[eqn: x = pi + {3pi} over {8} = {11pi} over {8}]

[eqn: x > {11pi} over {8}]이면 [eqn: sin x < -sin {3pi} over {8}]이 되어 해가 추가되므로

[eqn: k leq {11pi} over {8}]이어야 한다. 따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: {11pi} over {8}]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {5 over 8}pi]	② [eqn: {7 over 8}pi]	③ [eqn: {9 over 8}pi]

④ [eqn: {11 over 8}pi]	⑤ [eqn: {13 over 8}pi]

두 상수 [eqn: a], [eqn: k]([eqn: 1<a<4], [eqn: 0<k<1])에 대하여 직선 [eqn: y=4]가 두 곡선 [eqn: y=a^{1-x}], [eqn: y=4^{1-x}]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 직선 [eqn: y=k]가 두 곡선 [eqn: y=a^{1-x}], [eqn: y=4^{1-x}]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. 사각형 [eqn: rmADCB]가 넓이가 [eqn: {15} over {2}]인 평행사변형일 때, [eqn: 4ak]의 값은?

⑤

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 좌표를 구하기 위해 [eqn: y=4]와 [eqn: y=k]를 각각 대입한다.

[eqn: y=4]일 때, [eqn: 4 = 4^{1-x}]에서 [eqn: x = 0]이므로 [eqn: rmB(0,`4)]

[eqn: 4 = a^{1-x}]에서 [eqn: 1-x = log_{a} 4]이므로 [eqn: x = 1 - log_{a} 4] ∴ [eqn: rmA(1-log _{a} 4,`4)]

[eqn: y=k]일 때, [eqn: k = 4^{1-x}]에서 [eqn: 1-x = log_{4} k]이므로 [eqn: x = 1 - log_{4} k] ∴ [eqn: rmD(1-log _{4} k,`k)]

[eqn: k = a^{1-x}]에서 [eqn: 1-x = log_{a} k]이므로 [eqn: x = 1 - log_{a} k] ∴ [eqn: rmC(1-log _{a} k,`k)]

사각형 [eqn: rmADCB]가 평행사변형이므로 선분 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rmDC]는 평행하고 길이가 같다.

선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: 0 - (1 - log_{a} 4) = log_{a} 4 - 1]

선분 [eqn: rmDC]의 길이는 [eqn: (1 - log_{a} k) - (1 - log_{4} k) = log_{4} k - log_{a} k]

두 길이가 같으므로 [eqn: log_{a} 4 - 1 = log_{4} k - log_{a} k]

[eqn: log_{a} 4 + log_{a} k = 1 + log_{4} k]

[eqn: log_{a} (4k) = log_{4} (4k)]

[eqn: 1 < a < 4]이므로 [eqn: a neq 4]이고, 위 등식이 성립하려면 진수가 [eqn: 1]이어야 하므로 [eqn: 4k = 1]이다. ∴ [eqn: k = {1} over {4}]

평행사변형 [eqn: rmADCB]의 높이는 [eqn: 4 - k = 4 - {1} over {4} = {15} over {4}]이다.

평행사변형의 넓이가 [eqn: {15} over {2}]이므로

[eqn: (log_{a} 4 - 1) times {15} over {4} = {15} over {2}], [eqn: log_{a} 4 - 1 = 2], [eqn: log_{a} 4 = 3], [eqn: a^{3} = 4]

∴ [eqn: a = 4^{1 over 3} = 2^{2 over 3}]

따라서 [eqn: 4ak = 4 times 2^{2 over 3} times {1} over {4} = 2^{2 over 3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2^{1 over 3}]	② [eqn: 2^{5 over 12}]	③ [eqn: 2^{1 over 2}]

④ [eqn: 2^{7 over 12}]	⑤ [eqn: 2^{2 over 3}]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]이고 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 세 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]가
[eqn: rmoverline{DE} = overline{EB}], [eqn: rmoverline{CD} : overline{DE} = 1 : sqrt{2}], [eqn: rmangle COE = {pi} over {2}]
를 만족시킨다. [eqn: rmcos(angle OBE)]의 값은? (단, 점 [eqn: rmD]는 점 [eqn: rmB]가 아니다.)

④

원의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.

[eqn: rmoverline{DE} = overline{EB}]이므로 호 [eqn: rmDE]와 호 [eqn: rmEB]의 길이가 같고, 중심각의 크기도 같다.

[eqn: rmangle DOE = angle EOB = theta]라 하면

삼각형 [eqn: rmOEB]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{EB}} ^{2} =1 ^{2} +1 ^{2} -2 TIMES 1 TIMES 1 TIMES cos theta =2-2cos theta]

[eqn: rmangle COE = {pi} over {2}]이고 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]가 순서대로 위치해 있으므로 [eqn: rmangle COD = {pi} over {2} - theta]이다.

삼각형 [eqn: rmOCD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rmCD}} ^{2} =1 ^{2} +1 ^{2} -2 TIMES 1 TIMES 1 TIMES cos LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =2-2sin theta]

[eqn: rmoverline{CD} : overline{DE} = 1 : sqrt{2}]에서 [eqn: rmsqrt{2} overline{CD} = overline{DE}]이고 [eqn: rmoverline{DE} = overline{EB}]이므로

[eqn: rm 2 {bar{CD}} ^{2} = {bar{EB}} ^{2}]

[eqn: 2 ( 2 - 2 sin theta ) = 2 - 2 cos theta], [eqn: 4 - 4 sin theta = 2 - 2 cos theta]

∴ [eqn: cos theta = 2 sin theta - 1] ……①

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]이므로 ①을 대입하면

[eqn: sin^{2} theta + ( 2 sin theta - 1 )^{2} = 1], [eqn: 5 sin^{2} theta - 4 sin theta = 0], [eqn: sin theta ( 5 sin theta - 4 ) = 0]

[eqn: 0 < theta < {pi} over {2}]이므로 [eqn: sin theta = {4} over {5}]이고, ①에 의해 [eqn: cos theta = {3} over {5}]이다.

[eqn: rm {bar{EB}} ^{2} =2-2cos theta =2-2 TIMES {3} over {5} = {4} over {5}]이므로 [eqn: rmoverline{EB} = {2 sqrt{5}} over {5}]이다.

삼각형 [eqn: rmOBE]는 [eqn: rmoverline{OB} = overline{OE} = 1]인 이등변삼각형이다.

점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmEB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmrmH]라 하면

[eqn: rmoverline{BH} = {1} over {2} overline{EB} = {sqrt{5}} over {5}]

직각삼각형 [eqn: rmOBH]에서

[eqn: rmcos ( angle OBE ) = {overline{BH}} over {overline{OB}} = {{sqrt{5}} over {5}} over {1} = {sqrt{5}} over {5}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {sqrt{14}} over {10}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3 sqrt{2}} over {10}]

④ [eqn: {sqrt{5}} over {5}]	⑤ [eqn: {sqrt{22}} over {10}]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수
[eqn: f(x)=3^{x}-n]
의 그래프가 함수 [eqn: y=f^{-1}(x)]의 그래프와 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표 중 큰 값을 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: k leq g(n) < k+1]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]를 [eqn: h(n)]이라 할 때, [eqn: h(n) < h(n+1)]을 만족시키는 [eqn: 100] 이하의 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

②

함수 [eqn: f(x) = 3^{x} - n]은 밑이 [eqn: 1]보다 크므로 증가하는 함수이다.

증가하는 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y = f^{-1}(x)]의 그래프의 교점은 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = x]의 교점과 같다.

따라서 [eqn: 3^{x} - n = x]에서 [eqn: 3^{x} - x = n]이다.

[eqn: F(x) = 3^{x} - x]라 하면, [eqn: x > 0]에서 [eqn: x]의 값이 커질 때 [eqn: 3^{x}]의 증가량이 [eqn: x]의 증가량보다 크므로 [eqn: F(x)]는 증가하는 함수이다.

방정식 [eqn: F(x) = n]의 두 실근 중 큰 값이 [eqn: g(n)]이므로 [eqn: F(g(n)) = n]이다.

[eqn: h(n)]은 [eqn: k leq g(n) < k+1]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]이므로 [eqn: h(n)]은 [eqn: g(n)]의 정수부분이다.

[eqn: h(n) < h(n+1)]을 만족시키려면 [eqn: g(n)]의 정수부분이 [eqn: n]에서 [eqn: n+1]로 커질 때 증가해야 하므로, 어떤 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: g(n) < k leq g(n+1)]이 성립해야 한다.

[eqn: F(x)]가 증가하는 함수이므로 [eqn: F(g(n)) < F(k) leq F(g(n+1))]이다.

[eqn: F(g(n)) = n], [eqn: F(g(n+1)) = n+1]이므로 [eqn: n < F(k) leq n+1]이다.

[eqn: n]과 [eqn: F(k) = 3^{k} - k]는 모두 자연수이므로 [eqn: F(k) = n+1]이다.

∴ [eqn: n = 3^{k} - k - 1]

[eqn: n]은 [eqn: 2] 이상의 자연수이므로 [eqn: k geq 2]이다.

[eqn: k = 2]일 때, [eqn: n = 3^{2} - 2 - 1 = 6]

[eqn: k = 3]일 때, [eqn: n = 3^{3} - 3 - 1 = 23]

[eqn: k = 4]일 때, [eqn: n = 3^{4} - 4 - 1 = 76]

[eqn: k = 5]일 때, [eqn: n = 3^{5} - 5 - 1 = 237]

[eqn: n]은 [eqn: 100] 이하의 자연수이므로 조건을 만족시키는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 6], [eqn: 23], [eqn: 76]이다.

따라서 모든 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 6 + 23 + 76 = 105]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 103]	② [eqn: 105]	③ [eqn: 107]

④ [eqn: 109]	⑤ [eqn: 111]

[eqn: (5^{2-sqrt{3}})^{2+sqrt{3}}] 의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

지수법칙에 의해

[eqn: (5^{2-sqrt{3}})^{2+sqrt{3}} = 5^{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})}]

지수를 계산하면

[eqn: (2-sqrt{3})(2+sqrt{3}) = 2^{2} - (sqrt{3})^{2} = 4 - 3 = 1]

따라서 [eqn: 5^{1} = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

방정식 [eqn: log_{4}(x-1)=3]의 해를 구하시오.

[eqn: 65]

로그의 진수 조건에서 [eqn: x-1 > 0]이므로 [eqn: x > 1]이다.

방정식 [eqn: log_{4}(x-1)=3]을 로그의 정의를 이용하여 지수 꼴로 나타내면

[eqn: x-1 = 4^{3}], [eqn: x-1 = 64] ∴ [eqn: x = 65]

이는 진수 조건 [eqn: x > 1]을 만족한다.

따라서 정답은 [eqn: 65]이다.

[eqn: 0 leq x leq 6]에서 함수 [eqn: y = log_{1 over 3} (x+3) + 30]의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 29]

함수 [eqn: y = log_{1 over 3} (x+3) + 30]의 밑이 [eqn: {1} over {3}]이고 [eqn: 0 < {1} over {3} < 1]이므로 이 함수는 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값은 감소한다.

따라서 [eqn: x]의 값이 최소일 때 [eqn: y]의 값은 최대가 된다.

주어진 범위가 [eqn: 0 leq x leq 6]이므로 [eqn: x = 0]일 때 최댓값을 갖는다.

[eqn: x = 0]을 대입하면

[eqn: y = log_{1 over 3} (0+3) + 30][eqn: = log_{3^{-1}} 3 + 30][eqn: = -1 + 30][eqn: = 29]

따라서 정답은 [eqn: 29]이다.

함수 [eqn: y=6cos left ( x+ {pi} over {2} right ) +k]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {5} over {6} pi ,`9 RIGHT )]를 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

삼각함수의 성질에 의해 [eqn: cos left ( x+ {pi} over {2} right ) = -sin x]이므로 주어진 함수는

[eqn: y = -6sin x + k]

이 함수의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {5} over {6} pi ,`9 RIGHT )]를 지나므로

[eqn: 9 = -6sin left ( {5} over {6} pi right ) + k]

이때 [eqn: sin left ( {5} over {6} pi right ) = sin left ( pi - {pi} over {6} right ) = sin left ( {pi} over {6} right ) = {1} over {2}]이므로

[eqn: 9 = -6 times {1} over {2} + k], [eqn: 9 = -3 + k] ∴ [eqn: k = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {}^{n+1}sqrt{8}] 이 어떤 자연수의 네제곱근이 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 22]

어떤 자연수를 [eqn: N]이라 하면, [eqn: {}^{n+1}sqrt{8}]이 [eqn: N]의 네제곱근이므로

[eqn: left ( ^{n+1}sqrt{8} right )^{4} = N]

[eqn: {}^{n+1}sqrt{8} = 8^{ {1} over {n+1} } = 2^{ {3} over {n+1} }]이므로

[eqn: left ( 2^{ {3} over {n+1} } right )^{4} = 2^{ {12} over {n+1} } = N]

[eqn: N]이 자연수이므로 [eqn: 2^{ {12} over {n+1} }]이 자연수가 되어야 한다.

따라서 [eqn: {12} over {n+1}]는 음이 아닌 정수이어야 한다.

이때 [eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: n+1 geq 2]이고, [eqn: {12} over {n+1}]는 자연수이어야 한다.

즉, [eqn: n+1]은 [eqn: 12]의 양의 약수 중 [eqn: 2] 이상의 정수이다.

[eqn: 12]의 양의 약수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 12]이므로

[eqn: n+1 = 2, 3, 4, 6, 12]

∴ [eqn: n = 1, 2, 3, 5, 11]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 1 + 2 + 3 + 5 + 11 = 22]

따라서 정답은 [eqn: 22]이다.

[eqn: 1]보다 큰 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가
[eqn: log_{a}b=81], [eqn: log_{c}sqrt{a}=log_{sqrt{b}}c]
를 만족시킬 때, [eqn: log_{c}b]의 값을 구하시오.

[eqn: 18]

조건 [eqn: log_{c}sqrt{a} = log_{sqrt{b}}c]에서 로그의 성질에 의해

[eqn: {1} over {2} log_{c}a = 2 log_{b}c]

양변에 [eqn: 2]를 곱하면 [eqn: log_{c}a = 4 log_{b}c] ……①

밑변환 공식에 의해 [eqn: log_{c}a = {log_{b}a} over {log_{b}c}]이고, [eqn: log_{a}b = 81]에서 [eqn: log_{b}a = {1} over {81}]이므로 [eqn: log_{c}a = {1} over {81 log_{b}c}]

이를 ①에 대입하면

[eqn: {1} over {81 log_{b}c} = 4 log_{b}c], [eqn: 4 (log_{b}c)^{2} = {1} over {81}], [eqn: (log_{b}c)^{2} = {1} over {324}]

[eqn: b > 1], [eqn: c > 1]이므로 [eqn: log_{b}c > 0]

∴ [eqn: log_{b}c = {1} over {18}]

구하는 값은 [eqn: log_{c}b]이므로 밑변환 공식에 의해

[eqn: log_{c}b = {1} over {log_{b}c} = 18]

따라서 정답은 [eqn: 18]이다.

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: x geq 0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{a LEFT ( 4-x ^{2} RIGHT )&``` LEFT ( 0 LEQ x<3 RIGHT )#b`log` _{2} ` {x} over {3} -5a&``` LEFT ( x GEQ 3 RIGHT )}}]
이다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: rmbarAB`=10]이고 [eqn: f(b) = 2b]일 때, [eqn: 5a+b]의 값을 구하시오.

[eqn: 144]

[eqn: 0 leq x < 3]일 때, [eqn: f(x) = 0]이 되는 [eqn: x]의 값을 구하면

[eqn: a(4-x^{2}) = 0]에서 [eqn: a > 0]이므로 [eqn: x^{2} = 4]

[eqn: 0 leq x < 3]이므로 [eqn: x = 2]

따라서 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 2,`0 RIGHT )]을 지난다.

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 중 한 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2]이고 [eqn: rmoverline{AB} = 10]이므로 다른 한 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2 + 10 = 12] 또는 [eqn: 2 - 10 = -8]이다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x geq 0]에서 정의되므로 다른 한 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 12]이다. 즉, [eqn: f(12) = 0]이다.

[eqn: x = 12]는 [eqn: x geq 3]인 범위에 속하므로

[eqn: f(12) = b log_{2} {12} over {3} - 5a = b log_{2} 4 - 5a = 2b - 5a = 0]

∴ [eqn: 5a = 2b] ……①

[eqn: f(b) = 2b]를 만족하는 [eqn: b]의 값을 구하기 위해 범위를 나누어 생각한다.

(ⅰ) [eqn: 0 < b < 3]일 때

[eqn: f(b) = a(4-b^{2}) = 2b]

①에서 [eqn: a = {2} over {5} b]이므로 대입하면

[eqn: {2} over {5} b (4-b^{2}) = 2b]

[eqn: b > 0]이므로 양변을 [eqn: 2b]로 나누면

[eqn: {1} over {5} (4-b^{2}) = 1]에서 [eqn: b^{2} = -1]

이를 만족하는 실수 [eqn: b]는 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: b geq 3]일 때

[eqn: f(b) = b log_{2} {b} over {3} - 5a = 2b]

①에서 [eqn: 5a = 2b]이므로 대입하면

[eqn: b log_{2} {b} over {3} - 2b = 2b], [eqn: b log_{2} {b} over {3} = 4b]

[eqn: b > 0]이므로 양변을 [eqn: b]로 나누면 [eqn: log_{2} {b} over {3} = 4]

로그의 정의에 의해 [eqn: {b} over {3} = 2^{4} = 16] ∴ [eqn: b = 48]

이는 [eqn: b geq 3]을 만족한다.

따라서 ①에서 [eqn: 5a = 2 times 48 = 96]이므로 [eqn: 5a + b = 96 + 48 = 144]

따라서 정답은 [eqn: 144]이다.

그림과 같이 [eqn: rmoverline{AC} > 2sqrt{7}]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmD]가 [eqn: rmoverline{CD} = 2sqrt{7}], [eqn: rmcos(angle BDA) = {sqrt{7}} over {4}]을 만족시킨다. 삼각형 [eqn: rmABC]와 삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R_{1}], [eqn: R_{2}]라 하자. [eqn: R_{1} : R_{2} = 4 : 3]일 때, [eqn: rmoverline{BC} + overline{BD}]의 값을 구하시오.

[eqn: 28]

삼각형 [eqn: rmrmABD]에서 사인법칙에 의해

[eqn: rm {{bar{rmAB}}} over {sin( ANGLE rmBDA)} =2R _{2}]

[eqn: rmcos( angle BDA) = {sqrt{7}} over {4}]이므로 [eqn: rmsin( angle BDA) = sqrt{1 - left ( {sqrt{7}} over {4} right )^{2}} = {3} over {4}]

[eqn: rm {bar{AB}} =it2R _{2} TIMES {3} over {4} = {3} over {2} R _{2}] ……①

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: rm {{bar{rmAB}}} over {sinC} =2R _{1}]

[eqn: rm sin`it C= {{bar{rm AB}}} over {it2R _{1}}]

①을 대입하면 [eqn: sin`it C= it {1} over {2R _{1}} TIMES {3} over {2} R _{2} = {3} over {4} TIMES {R _{2}} over {R _{1}}]

[eqn: R_{1} : R_{2} = 4 : 3]에서 [eqn: {R_{2}} over {R_{1}} = {3} over {4}]이므로

[eqn: sin C = {3} over {4} times {3} over {4} = {9} over {16}]

선분 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: D]에 대하여 [eqn: rmangle BDC = pi - angle BDA]이므로

[eqn: rm sin( ANGLE BDC)=sin( pi - ANGLE rmBDA)=sin( ANGLE rmBDA)= {3} over {4}]

[eqn: rm cos( ANGLE BDC)=cos( pi - ANGLE rmBDA)=-cos( ANGLE rmBDA)=- {sqrt {7}} over {4}]

삼각형 [eqn: rmBDC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmBD}}} over {sinC} = {{bar{rmBC}}} over {sin( ANGLE rmBDC)}]

[eqn: rm{overline{BD}} over {{9} over {16}} = {overline{BC}} over {{3} over {4}}]

[eqn: rmoverline{BD} = {3} over {4} overline{BC}]이므로 [eqn: {bar{rmBC}} =4k], [eqn: {bar{rmBD}} =3k] ([eqn: k > 0])라 하면

삼각형 [eqn: rmBDC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = {bar{BD}} ^{2} + {bar{CD}} ^{2} -2 TIMES {bar{BD}} TIMES {bar{CD}} TIMES cos( ANGLE rmBDC)]

[eqn: (4k)^{2} = (3k)^{2} + (2sqrt{7})^{2} - 2 times 3k times 2sqrt{7} times left ( -{sqrt{7}} over {4} right )]

[eqn: 16k^{2} = 9k^{2} + 28 + 21k], [eqn: 7k^{2} - 21k - 28 = 0], [eqn: k^{2} - 3k - 4 = 0]

[eqn: (k-4)(k+1) = 0], [eqn: k > 0]이므로 [eqn: k = 4]

따라서 [eqn: rmoverline{BC} = 16], [eqn: rmoverline{BD} = 12]이므로

[eqn: rmoverline{BC} + overline{BD} = 16 + 12 = 28]

따라서 정답은 [eqn: 28]이다.

[eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: k]에 대하여 함수
[eqn: f(x)= left | 2 sin {pi} over {k} x + {1} over {2} right |]
이 다음 조건을 만족시킨다.

실수 [eqn: t] ([eqn: 0 leq t leq 2k])에 대하여 [eqn: t leq x leq t+1]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: {1} over {2}]이 되도록 하는 [eqn: t]의 값은 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]뿐이다.

[eqn: k alpha + beta]의 값을 구하시오. (단, [eqn: alpha < beta])

[eqn: 47]

함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: {1} over {2}]이 되려면 [eqn: t LEQ x LEQ t+1]에서 [eqn: f(x) leq {1} over {2}]이어야 하고, [eqn: f(x) = {1} over {2}]인 [eqn: x]가 구간 내에 적어도 하나 존재해야 한다.

[eqn: f(x) leq {1} over {2}]에서 [eqn: left | 2 sin {pi} over {k} x + {1} over {2} right | leq {1} over {2}]이므로

[eqn: - {1} over {2} leq 2 sin {pi} over {k} x + {1} over {2} leq {1} over {2}], [eqn: -1 leq 2 sin {pi} over {k} x leq 0]

∴ [eqn: - {1} over {2} leq sin {pi} over {k} x leq 0] ……①

[eqn: 0 leq x leq 2k]에서 [eqn: 0 leq {pi} over {k} x leq 2pi]이므로 ①을 만족하는 [eqn: {pi} over {k} x]의 범위는

[eqn: pi leq {pi} over {k} x leq {7pi} over {6}] 또는 [eqn: {11pi} over {6} leq {pi} over {k} x leq 2pi]

∴ [eqn: k leq x leq {7k} over {6}] 또는 [eqn: {11k} over {6} leq x leq 2k]

[eqn: t LEQ x LEQ t+1]이 위 범위에 완전히 포함되어야 하므로, 각 구간의 길이인 [eqn: {k} over {6}]은 [eqn: 1] 이상이어야 한다.

즉, [eqn: {k} over {6} geq 1]에서 [eqn: k geq 6]이다.

(ⅰ) [eqn: k > 6]일 때

[eqn: k LEQ x LEQ {7} over {6} k]의 길이가 [eqn: 1]보다 크므로, 이 구간에서 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: {1} over {2}]이 되도록 하는 [eqn: t]는 [eqn: t = k], [eqn: t+1 = {7k} over {6}] (즉, [eqn: t = {7k} over {6} - 1])의 [eqn: 2]개가 존재한다.

마찬가지로 구간 [eqn: {11} over {6} k LEQ x LEQ 2k]에서도 [eqn: t = {11k} over {6}], [eqn: t = 2k - 1]의 [eqn: 2]개가 존재하여 조건을 만족하는 [eqn: t]는 총 [eqn: 4]개가 되므로 모순이다.

(ⅱ) [eqn: k = 6]일 때

구간은 [eqn: 6 leq x leq 7] 또는 [eqn: 11 leq x leq 12]가 된다.

각 구간의 길이가 정확히 [eqn: 1]이므로, 길이가 [eqn: 1]인 구간 [eqn: t LEQ x LEQ t+1]이 포함되려면 [eqn: t = 6] 또는 [eqn: t = 11]이어야 한다.

이때 [eqn: t]의 값이 [eqn: 2]개뿐이므로 주어진 조건을 만족한다.

따라서 [eqn: k = 6]이고, [eqn: alpha < beta]이므로 [eqn: alpha = 6], [eqn: beta = 11]이다.

구하는 값은 [eqn: k alpha + beta = 6 times 6 + 11 = 47]

따라서 정답은 [eqn: 47]이다.