2025년 10월 고2 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 10월 학력평가는 30번 문항에서 평균변화율과 함수의 연속성을 결합하여 학생들의 종합적 사고력을 깊이 있게 측정하려 한 점이 가장 인상적입니다. 단순히 공식을 암기한 학생들은 17번, 21번, 29번처럼 여러 경우를 나누어 끈질기게 추론해야 하는 문항에서 시간을 많이 소요했거나 함정에 빠졌을 가능성이 높습니다. 이처럼 복합적인 조건 해석과 논리적 추론 능력은 최근 수능 수학의 핵심 기조이므로, 이번 시험을 통해 자신의 약점을 파악하고 기출문제를 풀 때도 '왜?'라는 질문을 던지며 조건의 의미를 곱씹는 훈련을 해야 합니다.

• 16번 — 최고차항의 계수가 1인 두 이차함수라는 조건과 극한값이 0이라는 사실을 어떻게 연결할지가 관건입니다. 분모인 {f(x)}²가 x=1에서 (x-1)² 인수를 가지므로, 극한값이 0이 되려면 분자 f(x+3)g(x)는 (x-1)³ 이상의 인수를 가져야 한다는 점을 간파해야 합니다. 많은 학생들이 g(x)가 (x-1)을 인수로 가질 것이라고만 단순하게 생각하여 f(x)의 또 다른 인수를 결정하는 데 어려움을 겪었을 것입니다. 분모와 분자의 차수(인수의 개수) 관계를 정확히 따지는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  
• 17번 — 등차수열 문제지만 두 개의 조건, 특히 부등식 조건과 절댓값 조건을 동시에 만족하는 자연수 a₁, k를 찾는 과정이 매우 까다로운 문항입니다. |a₁-aₖ| = 2(k-1)로 정리한 뒤, aₖ = ±(k-1)/2 라는 관계식을 얻어내는 것이 첫 번째 단계입니다. 이후 aₖ의 부호에 따라 a₁의 범위를 나누어(케이스 분류) 모순이 없는 조합을 찾아야 합니다. 계산 과정에서 여러 해답 후보가 나올 수 있는데, 모든 조건을 만족하는 유일한 해를 찾는 끈기가 필요하며, 이 과정에서 시간을 많이 뺏길 수 있습니다.
  
• 20번 — 등비수열이라는 명확한 조건이 있지만, (가) 조건에서 공비 r이 다른 항들(a₄, a₅)로 표현된다는 점이 생소했을 것입니다. 핵심은 공비 r이 '상수'라는 사실을 이용하여 r = a₄+a₅-1 이라는 관계식을 세우는 것입니다. 이후 (나) 조건의 등비수열 합 공식을 a₁과 r로 표현하고, 두 식을 연립하여 r³ 값을 구하는 방향으로 나아가야 합니다. aₙ > a₁ 이라는 조건으로부터 a₁의 부호에 따른 r의 범위를 추론하는 과정에서 실수가 발생하기 쉬우니 주의해야 합니다.
  
• 21번 — 방정식 f(x)f(x-k)=0의 실근은 'f(x)=0의 실근들의 집합'과 '그 집합을 k만큼 평행이동한 집합'의 합집합이라는 것을 이해하는 것이 문제의 핵심입니다. 실근의 개수가 3개가 되려면, 원래 f(x)=0이 두 실근을 갖고(집합 S의 원소 2개), 평행이동 시켰을 때(집합 Sₖ) 하나의 근이 겹쳐야(|S ∩ Sₖ|=1) 한다는 결론에 도달해야 합니다. 이를 위해 정수 a의 값에 따라 f(x)=0의 실근 개수가 어떻게 변하는지부터 꼼꼼히 분석하는 것이 풀이의 시작점입니다.
  
• 29번 — 점화식의 형태가 aₙ의 부호에 따라 달라지는, 전형적인 추론형 수열 문제입니다. a₁ > 6이라는 초기 조건에서부터 a₂, a₃, a₄, a₅... 를 차례대로 계산하며 규칙을 발견해야 합니다. 핵심은 a₅ = a₁-2, a₉ = a₁-4, a₁₃ = a₁-6 과 같이 4개의 항을 주기로 규칙성(a_{4k+1} = a₁-2k)이 나타난다는 것을 파악하는 것입니다. 이 규칙을 발견하지 못하고 무작정 계산만 하려 했다면 풀이가 매우 길어지거나 길을 잃기 쉽습니다. 주어진 조건(a₁+a₅+a₉+a₁₃=13)은 이 규칙성을 이용하여 a₁ 값을 확정하라는 결정적인 힌트입니다.
  
• 30번 — 평균변화율로 정의된 함수 g(t)와 원래 함수 f(x)의 곱으로 만들어진 h(t)의 연속성을 묻는 최고난도 문항입니다. h(t)가 실수 전체에서 연속이 되려면, f(t) 또는 g(t)가 불연속이 될 수 있는 모든 지점에서 연속 조건을 만족해야 합니다. f(t)가 불연속인 t=-4와, f(t+k) 때문에 g(t)가 불연속이 될 수 있는 t=-4-k 지점에서 '불연속인 함수의 연속성' 개념(불연속점 × 0 = 0)을 적용하는 것이 결정적 실마리입니다. 이 두 지점에서의 연속 조건을 식으로 세우면 미지수 a와 k 값을 연쇄적으로 결정할 수 있습니다.