수학ETF	2024_고2_11월	기출문제
	1~30

[eqn: ( root { 3 } of { 4 } )^{2} times 2^{2 over 3}]의 값은?

③

주어진 식의 밑을 [eqn: 2]로 통일하여 지수법칙을 적용한다.

[eqn: ( root { 3 } of { 4 } )^{2} times 2^{2 over 3}][eqn: = ( 4^{1 over 3} )^{2} times 2^{2 over 3}][eqn: = 4^{2 over 3} times 2^{2 over 3}][eqn: = ( 2^{2} )^{2 over 3} times 2^{2 over 3}][eqn: = 2^{4 over 3} times 2^{2 over 3}]

지수법칙에 의해

[eqn: = 2^{4 over 3 + 2 over 3}][eqn: = 2^{6 over 3}][eqn: = 2^{2}][eqn: = 4]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_{x rightarrow 2} {f(x)-f(2)} over {x^{2}-4} = 3]을 만족시킬 때, [eqn: f'(2)]의 값은?

⑤

주어진 극한식의 분모를 인수분해하면

[eqn: lim from {x -> 2} {f(x)-f(2)} over {x^{2}-4} = lim from {x -> 2} {f(x)-f(2)} over {(x-2)(x+2)}]

[eqn: = lim from {x -> 2} left ( {f(x)-f(2)} over {x-2} times {1} over {x+2} right )]

미분계수의 정의에 의해 [eqn: lim from {x -> 2} {f(x)-f(2)} over {x-2} = f'(2)]이므로

[eqn: lim from {x -> 2} left ( {f(x)-f(2)} over {x-2} times {1} over {x+2} right ) = f'(2) times {1} over {4}]

주어진 조건에서 이 값이 [eqn: 3]이므로

[eqn: f'(2) times {1} over {4} = 3] ∴ [eqn: f'(2) = 12]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: y = cos {pi} over {4} x]의 주기는?

④

함수 [eqn: y = cos ax]의 주기는 [eqn: {2pi} over {left | a right |}]이다.

함수 [eqn: y = cos {pi} over {4} x]에서 [eqn: x]의 계수가 [eqn: {pi} over {4}]이므로

주기는 [eqn: {2pi} over {{pi} over {4}} = 8]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow -1-} f(x) + lim_{x rightarrow 0+} f(x)]의 값은?

④

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: x -> -1-]일 때 [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 3]에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim from {x -> -1-} f(x) = 3]

또한, [eqn: x -> 0+]일 때 [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 1]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim from {x -> 0+} f(x) = 1]

∴ [eqn: lim from {x -> -1-} f(x) + lim from {x -> 0+} f(x) = 3 + 1 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x > {1} over {2}]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: {3} over {2x+1} < f(x) < {3} over {2x-1}]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_{x rightarrow infty} xf(x)]의 값은?

①

[eqn: x > {1} over {2}]이므로 [eqn: x > 0]이다.

주어진 부등식의 각 변에 [eqn: x]를 곱하면

[eqn: {3x} over {2x+1} < x f(x) < {3x} over {2x-1}]

이때

[eqn: lim from {x -> inf} {3x} over {2x+1} = lim from {x -> inf} {3} over {2 + {1} over {x}} = {3} over {2}]

[eqn: lim from {x -> inf} {3x} over {2x-1} = lim from {x -> inf} {3} over {2 - {1} over {x}} = {3} over {2}]

이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여

[eqn: lim from {x -> inf} x f(x) = {3} over {2}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

첫째항이 양수이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{2} times a_{4} = 72]
일 때, [eqn: a_{3}]의 값은?

②

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a_{1}], 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: d = 3]이다.

등차중항의 성질에 의해 [eqn: a_{2} = a_{3} - 3], [eqn: a_{4} = a_{3} + 3]이므로

[eqn: a_{2} times a_{4} = (a_{3} - 3)(a_{3} + 3) = 72]

[eqn: a_{3}^{2} - 9 = 72]

[eqn: a_{3}^{2} = 81]

∴ [eqn: a_{3} = 9] 또는 [eqn: a_{3} = -9]

이때 [eqn: a_{3} = a_{1} + 2d = a_{1} + 6]이므로

[eqn: a_{3} = 9]일 때 [eqn: a_{1} = 3]

[eqn: a_{3} = -9]일 때 [eqn: a_{1} = -15]

조건에서 첫째항이 양수이므로 [eqn: a_{1} = 3]이고 [eqn: a_{3} = 9]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

함수
[eqn: f(x) = left { matrix { x-a & left ( x leq 2 right ) # x^{2}+bx+a & left ( x > 2 right ) } right .]
가 [eqn: x=2]에서 미분가능할 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

③

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 미분가능하려면 [eqn: x=2]에서 연속이고 미분계수가 존재해야 한다.

먼저 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: lim from {x -> 2-} f(x) = lim from {x -> 2+} f(x) = f(2)]

[eqn: lim from {x -> 2-} (x-a) = 2-a]

[eqn: lim from {x -> 2+} (x^{2}+bx+a) = 4+2b+a]

[eqn: 2-a = 4+2b+a]

[eqn: 2a+2b = -2]

[eqn: a+b = -1] ……①

또한 [eqn: x=2]에서 미분계수가 존재하므로 좌미분계수와 우미분계수가 같다.

[eqn: x < 2]일 때 [eqn: f'(x) = 1]

[eqn: x > 2]일 때 [eqn: f'(x) = 2x+b]

[eqn: x=2]에서의 좌미분계수는 [eqn: 1], 우미분계수는 [eqn: 4+b]이므로

[eqn: 1 = 4+b] ∴ [eqn: b = -3]

[eqn: b = -3]을 ①에 대입하면

[eqn: a - 3 = -1] ∴ [eqn: a = 2]

따라서 [eqn: f(2) = 2 - a = 2 - 2 = 0]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: S _{n} = {1} over {n+1}]일 때, [eqn: a_{1} + a_{5}]의 값은?

⑤

수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의해 [eqn: a_{1} = S_{1}]이고 [eqn: n geq 2]일 때 [eqn: a_{n} = S_{n} - S_{n-1}]이다.

[eqn: a_{1} = S_{1} = {1} over {1+1} = {1} over {2}]

[eqn: a_{5} = S_{5} - S_{4} = {1} over {5+1} - {1} over {4+1} = {1} over {6} - {1} over {5} = -{1} over {30}]

∴ [eqn: a_{1} + a_{5} = {1} over {2} + left ( -{1} over {30} right ) = {15} over {30} - {1} over {30} = {14} over {30} = {7} over {15}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {4} over {15}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {7} over {15}]

[eqn: 0 < a < 5]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=log _{`2} `(x+a)+1]은 닫힌구간 [eqn: [a,`5]]에서 최솟값 [eqn: 3]을 갖는다. [eqn: f(a+4)]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x) = log_{2}(x+a)+1]은 밑이 [eqn: 2]이고 [eqn: 2 > 1]이므로 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: f(x)]의 값도 증가하는 증가함수이다.

닫힌구간 [eqn: [a, 5]]에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = a]일 때 최솟값을 가지므로

[eqn: f(a) = log_{2}(a+a)+1 = log_{2}(2a)+1 = 3]

[eqn: log_{2}(2a) = 2]

[eqn: 2a = 2^{2} = 4]

∴ [eqn: a = 2]

이때 [eqn: a = 2]는 조건 [eqn: 0 < a < 5]를 만족한다.

따라서 함수 [eqn: f(x) = log_{2}(x+2)+1]이므로

[eqn: f(a+4)=f(2+4)=f(6)=log _{2} (6+2)+1=log _{2} 8+1=4]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 2+log_{2}5]	③ [eqn: 3+log_{2}3]

④ [eqn: 2+log_{2}7]	⑤ [eqn: 5]

공비가 [eqn: 0]이 아닌 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{3} + 2a_{4} = 0], [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k} = 33]
일 때, [eqn: a_{1}]의 값은?

③

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: a_{3} + 2a_{4} = 0]에서

[eqn: ar^{2} + 2ar^{3} = 0], [eqn: ar^{2}(1 + 2r) = 0]

이때 [eqn: r neq 0]이고, [eqn: a = 0]이면 [eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} = 33]을 만족하지 않으므로 [eqn: ar^{2} neq 0]이다.

[eqn: 1 + 2r = 0] ∴ [eqn: r = - {1} over {2}]

[eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} = 33]에서 등비수열의 합 공식에 의해

[eqn: {a left ( 1 - r^{5} right )} over {1 - r} = 33]

[eqn: r = - {1} over {2}]를 대입하면

[eqn: {a left ( 1 - left ( - {1} over {2} right )^{5} right )} over {1 - left ( - {1} over {2} right )} = 33]에서 [eqn: a = 48]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 40]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 56]

[eqn: cos left ( {3} over {2} pi - theta right ) times tan theta = {8} over {3}]일 때, [eqn: cos theta]의 값은?

②

삼각함수의 성질에 의해 [eqn: cos left ( {3} over {2} pi - theta right ) = -sin theta]이고 [eqn: tan theta = {sin theta} over {cos theta}]이므로

주어진 식은 [eqn: -sin theta times {sin theta} over {cos theta} = {8} over {3}], [eqn: - {sin^{2} theta} over {cos theta} = {8} over {3}]

[eqn: sin^{2} theta = 1 - cos^{2} theta]이므로

[eqn: - {1 - cos^{2} theta} over {cos theta} = {8} over {3}], [eqn: -3(1 - cos^{2} theta) = 8 cos theta]

[eqn: 3 cos^{2} theta - 8 cos theta - 3 = 0], [eqn: (3 cos theta + 1)(cos theta - 3) = 0]

이때 [eqn: -1 leq cos theta leq 1]이므로 [eqn: cos theta = - {1} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{2n} = sum_{k=1}^{2n-1} (k-a_{k})]
를 만족시킬 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}]의 값은?

①

주어진 식 [eqn: a_{2n} = sum from {k=1} to {2n-1} (k-a_{k})]에서 우변을 분리하면

[eqn: a_{2n} = sum from {k=1} to {2n-1} k - sum from {k=1} to {2n-1} a_{k}]

[eqn: - sum from {k=1} to {2n-1} a_{k}]를 좌변으로 이항하면 [eqn: sum from {k=1} to {2n-1} a_{k} + a_{2n} = sum from {k=1} to {2n-1} k]

좌변은 [eqn: sum from {k=1} to {2n} a_{k}]이므로 [eqn: sum from {k=1} to {2n} a_{k} = sum from {k=1} to {2n-1} k]

구하고자 하는 값은 [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k}]이므로 위 식에 [eqn: n=5]를 대입하면

[eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = sum from {k=1} to {9} k], [eqn: sum from {k=1} to {9} k = {9 times 10} over {2} = 45]

∴ [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = 45]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 45]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 51]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 57]

좌표평면에서 직선 [eqn: y=x+1] 위의 [eqn: x]좌표가 양수인 점 [eqn: rmP]에 대하여 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta(0 < theta < 2pi)]라 하자. 각의 크기 [eqn: theta]를 나타내는 동경과 각의 크기 [eqn: 7theta]를 나타내는 동경이 일치할 때, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: x]축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

⑤

두 동경이 일치할 조건에서

[eqn: 7 theta - theta =2n`pi] ([eqn: n]은 정수)

[eqn: 6 theta =2n`pi]에서 [eqn: theta = {n`pi} over {3}]

[eqn: 0 < theta < 2pi]이므로 [eqn: theta]가 될 수 있는 값은 [eqn: {pi} over {3}], [eqn: {2pi} over {3}], [eqn: pi], [eqn: {4pi} over {3}], [eqn: {5pi} over {3}]이다.

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 양수이고 직선 [eqn: y=x+1] 위에 있으므로 [eqn: y]좌표도 양수이다.

즉, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이므로 [eqn: 0 < theta < {pi} over {2}]이다.

∴ [eqn: theta = {pi} over {3}]

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x]라 하면 점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: y=x+1] 위에 있으므로 [eqn: rmP(itx,x+1)]이고, 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 직선의 기울기는 [eqn: tan theta]이므로

[eqn: {x+1} over {x} = tan {pi} over {3} = sqrt{3}]

[eqn: x+1 = sqrt{3}x]에서 [eqn: (sqrt{3}-1)x = 1]

∴ [eqn: x = {1} over {sqrt{3}-1} = {sqrt{3}+1} over {2}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {sqrt{3}-1} over {2}]	② [eqn: {2sqrt{3}-1} over {4}]	③ [eqn: {sqrt{3}} over {2}]

④ [eqn: {2sqrt{3}+1} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt{3}+1} over {2}]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은?

(가) [eqn: x geq - {1} over {2}]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: (sqrt{2x+1}-1) times f(x) = x^{2} + ax + b]
이다. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

(나) [eqn: f(4) = 2]

②

조건 (가)에서 [eqn: x neq 0]일 때

[eqn: f(x) = {x^{2} + ax + b} over {sqrt{2x+1}-1}]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=0]에서도 연속이다.

즉, [eqn: lim from {x -> 0} f(x) = f(0)]이 성립한다.

[eqn: lim from {x -> 0} {x^{2} + ax + b} over {sqrt{2x+1}-1}]에서 [eqn: x -> 0]일 때 (분모) [eqn: -> 0]이므로 극한값이 존재하려면 (분자) [eqn: -> 0]이어야 한다.

[eqn: lim from {x -> 0} (x^{2} + ax + b) = 0]에서 [eqn: b = 0]

[eqn: b = 0]을 대입하면

[eqn: f(x) = {x^{2} + ax} over {sqrt{2x+1}-1} = {x(x+a)} over {sqrt{2x+1}-1}]

조건 (나)에서 [eqn: f(4) = 2]이므로

[eqn: f(4) = {16 + 4a} over {sqrt{9}-1} = {16 + 4a} over {2} = 8 + 2a = 2]

[eqn: 2a = -6] ∴ [eqn: a = -3]

따라서 [eqn: x neq 0]일 때 [eqn: f(x) = {x(x-3)} over {sqrt{2x+1}-1}]이다.

[eqn: f(0) = lim from {x -> 0} f(x) = lim from {x -> 0} {x(x-3)} over {sqrt{2x+1}-1}]

분모, 분자에 [eqn: sqrt{2x+1}+1]을 곱하여 정리하면

[eqn: f(0) = lim from {x -> 0} {x(x-3)(sqrt{2x+1}+1)} over {(2x+1)-1}]

[eqn: = lim from {x -> 0} {x(x-3)(sqrt{2x+1}+1)} over {2x}]

[eqn: = lim from {x -> 0} {(x-3)(sqrt{2x+1}+1)} over {2}]

[eqn: = {(-3) times 2} over {2} = -3]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -7]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

자연수 [eqn: n(n geq 2)]에 대하여 [eqn: sin` {n} over {5} pi]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: sum_{n=2}^{10} f(n)]의 값은?

⑤

어떤 실수 [eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수는

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: a]의 부호에 관계없이 [eqn: 1]이다.

[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: a > 0]이면 [eqn: 2], [eqn: a = 0]이면 [eqn: 1], [eqn: a < 0]이면 [eqn: 0]이다.

[eqn: a = sin {n} over {5} pi]라 하면

[eqn: n = 2]일 때, [eqn: n]은 짝수이고 [eqn: a = sin {2} over {5} pi > 0]이므로 [eqn: f(2) = 2]

[eqn: n = 3]일 때, [eqn: n]은 홀수이므로 [eqn: f(3) = 1]

[eqn: n = 4]일 때, [eqn: n]은 짝수이고 [eqn: a = sin {4} over {5} pi > 0]이므로 [eqn: f(4) = 2]

[eqn: n = 5]일 때, [eqn: n]은 홀수이므로 [eqn: f(5) = 1]

[eqn: n = 6]일 때, [eqn: n]은 짝수이고 [eqn: a = sin {6} over {5} pi < 0]이므로 [eqn: f(6) = 0]

[eqn: n = 7]일 때, [eqn: n]은 홀수이므로 [eqn: f(7) = 1]

[eqn: n = 8]일 때, [eqn: n]은 짝수이고 [eqn: a = sin {8} over {5} pi < 0]이므로 [eqn: f(8) = 0]

[eqn: n = 9]일 때, [eqn: n]은 홀수이므로 [eqn: f(9) = 1]

[eqn: n = 10]일 때, [eqn: n]은 짝수이고 [eqn: a = sin 2 pi = 0]이므로 [eqn: f(10) = 1]

∴ [eqn: sum _{n=2} ^{10} f(n)][eqn: = 2 + 1 + 2 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 9]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: 1]보다 크고 [eqn: 100]보다 작은 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]이
[eqn: log _{`n} `4 TIMES LEFT ( {4} over {log _{`m} `2} +log _{`2} `n RIGHT ) =8]
을 만족시킬 때, [eqn: m+n]의 최댓값은?

④

주어진 식의 좌변을 밑이 [eqn: 2]인 로그로 변환하면

[eqn: log_{n} 4 = {log_{2} 4} over {log_{2} n} = {2} over {log_{2} n}], [eqn: {4} over {log_{m} 2} = 4 log_{2} m]

이므로 주어진 방정식은

[eqn: {2} over {log_{2} n} times left ( 4 log_{2} m + log_{2} n right ) = 8]

양변을 [eqn: 2]로 나누고 정리하면

[eqn: {4 log_{2} m + log_{2} n} over {log_{2} n} = 4], [eqn: 4 log_{2} m + log_{2} n = 4 log_{2} n]

[eqn: 4 log_{2} m = 3 log_{2} n], [eqn: log_{2} m^{4} = log_{2} n^{3}]

∴ [eqn: m^{4} = n^{3}]

[eqn: m], [eqn: n]은 자연수이므로 어떤 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: m = k^{3}], [eqn: n = k^{4}] 꼴이어야 한다.

[eqn: 1 < m < 100], [eqn: 1 < n < 100]이므로

[eqn: 1 < k^{3} < 100]이고 [eqn: 1 < k^{4} < 100]이다.

이를 만족하는 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

(ⅰ) [eqn: k = 2]일 때

[eqn: m = 2^{3} = 8], [eqn: n = 2^{4} = 16]이므로 [eqn: m+n = 24]

(ⅱ) [eqn: k = 3]일 때

[eqn: m = 3^{3} = 27], [eqn: n = 3^{4} = 81]이므로 [eqn: m+n = 108]

따라서 [eqn: m+n]의 최댓값은 [eqn: 108]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 96]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 104]

④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 112]

[eqn: a > pi]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수
[eqn: f(x)=cos ^{2} x-sin`x-1]
이 구간 [eqn: (pi, a]]에서 최솟값을 갖도록 하는 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: p]라 하자. 구간 [eqn: (pi, p]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: p times M]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x)]를 정리하면

[eqn: f(x) = cos^{2}x - sin x - 1][eqn: = (1 - sin^{2}x) - sin x - 1][eqn: = -sin^{2}x - sin x]

[eqn: sin x = t]라 하면

[eqn: f(x) = -t^{2} - t = - left ( t + {1} over {2} right )^{2} + {1} over {4}]

구간 [eqn: ( pi, a ]]에서 [eqn: x]가 [eqn: pi]에 한없이 가까워질 때 [eqn: t]는 [eqn: 0]보다 작은 값을 가지며 [eqn: 0]에 한없이 가까워지므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: 0]에 한없이 가까워진다.

[eqn: pi < x < 2 pi]일 때 [eqn: t = sin x < 0]이므로 [eqn: t]의 범위는 [eqn: [-1, 0)]이고, [eqn: f(x) = -t(t+1) geq 0]이다.

구간 [eqn: ( pi, a ]]에서 [eqn: f(x)]가 최솟값을 가지려면 [eqn: f(x)]의 하한인 [eqn: 0]을 함숫값으로 가져야 한다.

[eqn: f(x) = 0]이 되려면 [eqn: t = 0] 또는 [eqn: t = -1]이어야 한다.

[eqn: x > pi]에서 [eqn: t = -1]이 되는 최소의 [eqn: x]는 [eqn: {3} over {2} pi]이다.

따라서 [eqn: a geq {3} over {2} pi]이어야 구간 [eqn: ( pi, a ]]에서 [eqn: f(x)]가 최솟값 [eqn: 0]을 가질 수 있다.

그러므로 [eqn: a]의 최솟값 [eqn: p = {3} over {2} pi]이다.

구간 [eqn: ( pi, p ]] 즉, [eqn: ( pi, {3} over {2} pi ]]에서 [eqn: sin x = t]의 범위는 [eqn: [-1, 0)]이다.

[eqn: f(x) = - left ( t + {1} over {2} right )^{2} + {1} over {4}]는 [eqn: t = - {1} over {2}]일 때 최댓값 [eqn: {1} over {4}]을 갖는다.

[eqn: t = - {1} over {2}]인 [eqn: x = {7} over {6} pi]가 구간 [eqn: ( pi, {3} over {2} pi ]]에 속하므로 최댓값 [eqn: M = {1} over {4}]이다.

[eqn: ∴ p times M = {3} over {2} pi times {1} over {4} = {3} over {8} pi]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {3} over {8} pi]	② [eqn: {pi} over {2}]	③ [eqn: {5} over {8} pi]

④ [eqn: {3} over {4} pi]	⑤ [eqn: {7} over {8} pi]

그림과 같이 [eqn: 1]보다 큰 두 실수 [eqn: a], [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y=a^{x}+k]와 직선 [eqn: y=3x+2]가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만난다. 점 [eqn: rmB]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=log_{a}(x-k)]와 만나는 점을 [eqn: rmC], 직선 [eqn: y=3x+2]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmoverline {AB} = overline {AD}]이고 [eqn: rmoverline {BC} = overline {CD}]일 때, [eqn: a times k]의 값은? (단, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표보다 크다.)

②

두 함수 [eqn: y = a^{x} + k]와 [eqn: y = log_{a}(x-k)]는 서로 역함수 관계이므로 두 곡선은 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이다.

점 [eqn: rmB]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선은 직선 [eqn: y = x]와 수직이므로, 점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: rmB]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점이다.

점 [eqn: rmB]는 직선 [eqn: y = 3x+2] 위의 점이므로 [eqn: rmB(itp,3p+2)]라 하면 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: rmC(it3p+2,p)]이다.

직선 [eqn: y = 3x+2]가 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: rmD]의 좌표는 [eqn: rmD(0,2)]이다.

[eqn: rmoverline {BC} = overline {CD}]이므로 [eqn: rmoverline {BC}^{2} = overline {CD}^{2}]에서

[eqn: (3p+2 - p)^{2} + (p - (3p+2))^{2} = (3p+2 - 0)^{2} + (p - 2)^{2}]

[eqn: 2(2p+2)^{2} = (3p+2)^{2} + (p-2)^{2}]

[eqn: 8p^{2} + 16p + 8 = 10p^{2} + 8p + 8]

[eqn: 2p^{2} - 8p = 0], [eqn: 2p(p-4) = 0]

그래프에서 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 양수이므로 [eqn: p = 4]

∴ [eqn: rmB(4, 14)]

[eqn: rmoverline {AB} = overline {AD}]이고 세 점 [eqn: rmD, A, B]는 직선 [eqn: y = 3x+2] 위에 있으므로 점 [eqn: rmA]는 선분 [eqn: rmBD]의 중점이다.

∴ [eqn: rmA(2, 8)]

두 점 [eqn: rmA(2, 8)], [eqn: rmB(4, 14)]는 곡선 [eqn: y = a^{x} + k] 위의 점이므로

[eqn: a^{2} + k = 8] ……①, [eqn: a^{4} + k = 14] ……②

②에서 ①을 빼면 [eqn: a^{4} - a^{2} - 6 = 0], [eqn: (a^{2} - 3)(a^{2} + 2) = 0]

[eqn: a > 1]이므로 [eqn: a^{2} = 3]에서 [eqn: a = sqrt{3}]

①에 대입하면 [eqn: 3 + k = 8]에서 [eqn: k = 5]

∴ [eqn: a times k = 5 sqrt{3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 4 sqrt{2}]	② [eqn: 5 sqrt{3}]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 7 sqrt{5}]	⑤ [eqn: 8 sqrt{6}]

그림과 같이 [eqn: rmoverline{AB} = 2], [eqn: rmoverline{BC} = 4]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmD]를 지나는 원을 [eqn: C] 라 하고, 원 [eqn: C] 가 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmE]라 하자. 점 [eqn: rmB]를 포함하지 않는 두 호 [eqn: rmAD], [eqn: rmDE]의 길이가 같고 [eqn: rmoverline{BD} = sqrt{6}] 일 때, 원 [eqn: C] 의 넓이는? (단, [eqn: rmoverline{AC} < overline{BC}] 이고, 점 [eqn: rmD]는 점 [eqn: rmA]도 아니고 점 [eqn: rmC]도 아니다.)

③

호 [eqn: rmAD]와 호 [eqn: rmDE]의 길이가 같으므로 원주각의 성질에 의해 [eqn: rmangle ABD = angle DBE]이다.

[eqn: rmangle ABD = angle DBE = theta]라 하면, 선분 [eqn: rmBD]는 삼각형 [eqn: rmABC]의 [eqn: rmangle B]의 이등분선이다.

각의 이등분선 정리에 의해 [eqn: rmoverline{AD} : overline{DC} = overline{AB} : overline{BC} = 2 : 4 = 1 : 2]이다.

[eqn: rm {bar{AD}} =itk], [eqn: rm {bar{DC}} =it2k] ([eqn: k > 0])라 하면, 삼각형 [eqn: rmABD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: k^{2} = 2^{2} + ( sqrt{6} )^{2} - 2 times 2 times sqrt{6} times cos theta = 10 - 4 sqrt{6} cos theta] ……①

삼각형 [eqn: rmDBC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: (2k)^{2} = ( sqrt{6} )^{2} + 4^{2} - 2 times sqrt{6} times 4 times cos theta = 22 - 8 sqrt{6} cos theta] ……②

①의 양변에 [eqn: 4]를 곱하면 [eqn: 4k^{2} = 40 - 16 sqrt{6} cos theta]이고, 이를 ②와 연립하면

[eqn: 40 - 16 sqrt{6} cos theta = 22 - 8 sqrt{6} cos theta]

[eqn: 8 sqrt{6} cos theta = 18]

∴ [eqn: cos theta = {18} over {8 sqrt{6}} = {3 sqrt{6}} over {8}]

[eqn: sin^{2} theta = 1 - cos^{2} theta = 1 - left ( {3 sqrt{6}} over {8} right )^{2} = 1 - {54} over {64} = {10} over {64}]에서 [eqn: sin theta = {sqrt{10}} over {8}]이다.

[eqn: cos theta]의 값을 ①에 대입하면

[eqn: k^{2} = 10 - 4 sqrt{6} times {3 sqrt{6}} over {8} = 10 - 9 = 1]이므로 [eqn: k = 1]이다.

따라서 [eqn: rmoverline{AD} = 1]이다.

원 [eqn: C] 는 삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원이므로 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 사인법칙에 의해

[eqn: 2R = {overline{AD}} over {sin theta} = {1} over {{sqrt{10}} over {8}} = {8} over {sqrt{10}}]

∴ [eqn: R = {4} over {sqrt{10}}]

원 [eqn: C] 의 넓이는 [eqn: pi R^{2} = pi times left ( {4} over {sqrt{10}} right )^{2} = {16} over {10} pi = {8} over {5} pi]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {6} over {5} pi]	② [eqn: {7} over {5} pi]	③ [eqn: {8} over {5} pi]

④ [eqn: {9} over {5} pi]	⑤ [eqn: 2 pi]

실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f(x)= LEFT { {matrix{(x-1)(x-a)&(x<1)#0&``````````````(1 LEQ x<2)#1&(x GEQ 2)}} RIGHT .]
라 하자. 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: t]까지 변할 때의 평균변화율을 [eqn: g(t)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a=1]일 때, [eqn: g(1)=-1]이다. ㄴ. 함수 [eqn: g(t)]의 최댓값이 [eqn: 1]일 때, [eqn: g(2)={1} over {2}]이다. ㄷ. [eqn: g(k)=g(k+1)=g(k+2)]를 만족시키는 [eqn: 0 < k < 2]인 실수 [eqn: k]가 존재할 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=-{3} over {2}]은 서로 다른 두 점에서 만난다.

④

[eqn: f(0) = (0-1)(0-a) = a]이므로 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 평균변화율 [eqn: g(t)]는 [eqn: g(t) = {f(t) - f(0)} over {t - 0} = {f(t) - a} over {t}]

구간에 따라 [eqn: g(t)]를 구하면

[eqn: g(t) = left { matrix { {(t-1)(t-a)-a} over {t} & left ( 0 < t < 1 right ) # {-a} over {t} & left ( 1 leq t < 2 right ) # {1-a} over {t} & left ( t geq 2 right ) } right .]

즉, [eqn: g(t) = left { matrix { t - a - 1 & left ( 0 < t < 1 right ) # -{a} over {t} & left ( 1 leq t < 2 right ) # {1-a} over {t} & left ( t geq 2 right ) } right .] ……①

ㄱ. [eqn: a=1]일 때, ①에 의해 [eqn: g(1) = {-1} over {1} = -1]이다. (참)

ㄴ. [eqn: g(t)]의 최댓값이 [eqn: 1]이 되기 위한 [eqn: a]의 값을 구해보자.

[eqn: t geq 2]에서 [eqn: g(t) = {1-a} over {t}]는 [eqn: t=2]일 때 최댓값 [eqn: {1-a} over {2}]를 갖는다.

이 값이 [eqn: 1]이라 가정하면 [eqn: {1-a} over {2} = 1]에서 [eqn: a = -1]이다.

[eqn: a = -1]을 ①에 대입하면

[eqn: g(t) = left { matrix { t & left ( 0 < t < 1 right ) # {1} over {t} & left ( 1 leq t < 2 right ) # {2} over {t} & left ( t geq 2 right ) } right .]

이때 [eqn: 0 < t < 1]에서 [eqn: g(t) < 1]이고, [eqn: 1 leq t < 2]에서 [eqn: g(t) leq 1]이며, [eqn: t geq 2]에서 [eqn: g(t) leq 1]이므로 최댓값은 [eqn: 1]이 성립한다.

따라서 [eqn: a = -1]이고, [eqn: g(2) = {2} over {2} = 1]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: 0 < k < 2]에서 [eqn: g(k) = g(k+1) = g(k+2)]를 만족하는 [eqn: k]를 찾는다.

[eqn: k+2 > 2]이므로 [eqn: g(k+2) = {1-a} over {k+2}]이다.

(ⅰ) [eqn: 0 < k < 1]인 경우:

[eqn: 1 < k+1 < 2]이므로 [eqn: g(k+1) = {-a} over {k+1}]이다.

[eqn: g(k+1) = g(k+2)]에서 [eqn: {-a} over {k+1} = {1-a} over {k+2}]

[eqn: -a(k+2) = (1-a)(k+1)]

[eqn: -ak - 2a = k + 1 - ak - a]

[eqn: k = -a - 1] ……②

또한 [eqn: g(k) = g(k+1)]에서 [eqn: k - a - 1 = {-a} over {k+1}]

②를 대입하면 [eqn: (-a-1) - a - 1 = {-a} over {-a-1+1}]

[eqn: -2a - 2 = 1] ∴ [eqn: a = -{3} over {2}]

이때 [eqn: k = - left ( -{3} over {2} right ) - 1 = {1} over {2}]이므로 [eqn: 0 < k < 1]을 만족한다.

(ⅱ) [eqn: 1 leq k < 2]인 경우:

[eqn: k+1 geq 2]이므로 [eqn: g(k+1) = {1-a} over {k+1}]이다.

[eqn: g(k+1) = g(k+2)]에서 [eqn: {1-a} over {k+1} = {1-a} over {k+2}]

[eqn: k+1 neq k+2]이므로 [eqn: 1-a = 0], 즉 [eqn: a=1]이다.

[eqn: a=1]이면 [eqn: g(k+1) = g(k+2) = 0]이고, [eqn: g(k) = {-1} over {k} = 0]이어야 하나 이를 만족하는 실수 [eqn: k]는 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a = -{3} over {2}]이다.

이때 [eqn: x < 1]에서 [eqn: f(x) = (x-1) left ( x + {3} over {2} right )]이므로

[eqn: f(x) = -{3} over {2}]에서 [eqn: x^{2} + {1} over {2} x - {3} over {2} = -{3} over {2}]

[eqn: x^{2} + {1} over {2} x = 0], [eqn: x left ( x + {1} over {2} right ) = 0]

∴ [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = -{1} over {2}]

두 근 모두 [eqn: x < 1]을 만족하므로 서로 다른 두 점에서 만난다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

따라서 정답은 ④이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

첫째항이 [eqn: 2] 이상인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n+1} = left { matrix { {1} over {2} a_{n} & left ( a_{n} geq 1 right ) # {1} over {2} left ( a_{n} + a_{1} right ) & left ( a_{n} < 1 right ) } right .]
을 만족시킬 때, [eqn: a_{5} + 2a_{6} = 2]가 되도록 하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합은?

③

주어진 점화식에 따라 [eqn: a_{1}]의 값의 범위를 나누어 [eqn: a_{5}]와 [eqn: a_{6}]을 구한다.

[eqn: a_{1} geq 2]이므로 [eqn: a_{2} = {1} over {2} a_{1} geq 1]이다.

[eqn: a_{3} = {1} over {2} a_{2} = {1} over {4} a_{1}]

[eqn: a_{3}]의 값의 범위에 따라 경우를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: a_{3} geq 1], 즉 [eqn: a_{1} geq 4]인 경우

[eqn: a_{4} = {1} over {2} a_{3} = {1} over {8} a_{1}]

[eqn: a_{4}]의 값의 범위에 따라 경우를 나눈다.

① [eqn: a_{4} geq 1], 즉 [eqn: a_{1} geq 8]인 경우

[eqn: a_{5} = {1} over {2} a_{4} = {1} over {16} a_{1}]

[eqn: a_{5}]의 값의 범위에 따라 경우를 나눈다.

([eqn: a]) [eqn: a_{5} geq 1], 즉 [eqn: a_{1} geq 16]인 경우

[eqn: a_{6} = {1} over {2} a_{5} = {1} over {32} a_{1}]

[eqn: a_{5} + 2a_{6} = {1} over {16} a_{1} + 2 times {1} over {32} a_{1} = {1} over {8} a_{1} = 2]

∴ [eqn: a_{1} = 16]이고, 이는 [eqn: a_{1} geq 16]을 만족한다.

([eqn: b]) [eqn: a_{5} < 1], 즉 [eqn: 8 leq a_{1} < 16]인 경우

[eqn: a_{6} = {1} over {2} left ( a_{5} + a_{1} right ) = {1} over {2} left ( {1} over {16} a_{1} + a_{1} right ) = {17} over {32} a_{1}]

[eqn: a_{5} + 2a_{6} = {1} over {16} a_{1} + 2 times {17} over {32} a_{1} = {9} over {8} a_{1} = 2]

∴ [eqn: a_{1} = {16} over {9}]이고, 이는 [eqn: 8 leq a_{1} < 16]을 만족하지 않는다.

② [eqn: a_{4} < 1], 즉 [eqn: 4 leq a_{1} < 8]인 경우

[eqn: a_{5} = {1} over {2} left ( a_{4} + a_{1} right ) = {1} over {2} left ( {1} over {8} a_{1} + a_{1} right ) = {9} over {16} a_{1}]

[eqn: 4 leq a_{1} < 8]이므로 [eqn: a_{5} = {9} over {16} a_{1} geq {9} over {4} > 1]이다.

[eqn: a_{6} = {1} over {2} a_{5} = {9} over {32} a_{1}]

[eqn: a_{5} + 2a_{6} = {9} over {16} a_{1} + 2 times {9} over {32} a_{1} = {9} over {8} a_{1} = 2]

∴ [eqn: a_{1} = {16} over {9}]이고, 이는 [eqn: 4 leq a_{1} < 8]을 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a_{3} < 1], 즉 [eqn: 2 leq a_{1} < 4]인 경우

[eqn: a_{4} = {1} over {2} left ( a_{3} + a_{1} right ) = {1} over {2} left ( {1} over {4} a_{1} + a_{1} right ) = {5} over {8} a_{1}]

[eqn: 2 leq a_{1} < 4]이므로 [eqn: a_{4} = {5} over {8} a_{1} geq {5} over {4} > 1]이다.

[eqn: a_{5} = {1} over {2} a_{4} = {5} over {16} a_{1}]

[eqn: a_{5}]의 값의 범위에 따라 경우를 나눈다.

① [eqn: a_{5} geq 1], 즉 [eqn: {16} over {5} leq a_{1} < 4]인 경우

[eqn: a_{6} = {1} over {2} a_{5} = {5} over {32} a_{1}]

[eqn: a_{5} + 2a_{6} = {5} over {16} a_{1} + 2 times {5} over {32} a_{1} = {5} over {8} a_{1} = 2]

∴ [eqn: a_{1} = {16} over {5}]이고, 이는 [eqn: {16} over {5} leq a_{1} < 4]를 만족한다.

② [eqn: a_{5} < 1], 즉 [eqn: 2 leq a_{1} < {16} over {5}]인 경우

[eqn: a_{6} = {1} over {2} left ( a_{5} + a_{1} right ) = {1} over {2} left ( {5} over {16} a_{1} + a_{1} right ) = {21} over {32} a_{1}]

[eqn: a_{5} + 2a_{6} = {5} over {16} a_{1} + 2 times {21} over {32} a_{1} = {13} over {8} a_{1} = 2]

∴ [eqn: a_{1} = {16} over {13}]이고, 이는 [eqn: 2 leq a_{1} < {16} over {5}]를 만족하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 [eqn: a_{1}]의 값은 [eqn: 16], [eqn: {16} over {5}]이다.

모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합은 [eqn: 16 + {16} over {5} = {96} over {5}]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {92} over {5}]	② [eqn: {94} over {5}]	③ [eqn: {96} over {5}]

④ [eqn: {98} over {5}]	⑤ [eqn: 20]

방정식 [eqn: left ( sqrt{3} right )^{x-2} = 27]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

방정식의 양변의 밑을 [eqn: 3]으로 같게 하면

[eqn: left ( sqrt{3} right )^{x-2} = left ( 3^{{1} over {2}} right )^{x-2} = 3^{{x-2} over {2}}], [eqn: 27 = 3^{3}]이므로

[eqn: 3^{{x-2} over {2}} = 3^{3}]

밑이 같으므로 지수를 비교하면

[eqn: {x-2} over {2} = 3], [eqn: x - 2 = 6], [eqn: x = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

반지름의 길이가 [eqn: 8]이고 넓이가 [eqn: 28 pi]인 부채꼴의 호의 길이가 [eqn: a pi]일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 호의 길이를 [eqn: l], 넓이를 [eqn: S]라 하면 [eqn: r = 8], [eqn: S = 28 pi]이다.

부채꼴의 넓이 공식 [eqn: S = {1} over {2} r l]에서

[eqn: 28 pi = {1} over {2} times 8 times l], [eqn: 28 pi = 4l], [eqn: l = 7 pi]

부채꼴의 호의 길이가 [eqn: a pi]이므로

[eqn: a pi = 7 pi], [eqn: a = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim_{x rightarrow infty} {f(x)-2x^{3}} over {x^{2}} = lim_{x rightarrow 0} {f(x)} over {x} = 3]
일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 34]

[eqn: lim from {x -> inf} {f(x) - 2x^{3}} over {x^{2}} = 3]에서 분모가 [eqn: 2]차식이고 극한값이 [eqn: 0]이 아닌 상수이므로 분자 [eqn: f(x) - 2x^{3}]은 최고차항의 계수가 [eqn: 3]인 [eqn: 2]차식이다.

따라서 [eqn: f(x) - 2x^{3} = 3x^{2} + ax + b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면

[eqn: f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} + ax + b]

[eqn: lim from {x -> 0} {f(x)} over {x} = 3]에서 극한값이 존재하고 [eqn: x -> 0]일 때 (분모) [eqn: -> 0]이므로 (분자) [eqn: -> 0]이다.

[eqn: lim from {x -> 0} f(x) = f(0) = 0]이므로 [eqn: b = 0]

[eqn: f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} + ax]이므로

[eqn: lim from {x -> 0} {f(x)} over {x} = lim from {x -> 0} {2x^{3} + 3x^{2} + ax} over {x}]

[eqn: = lim from {x -> 0} (2x^{2} + 3x + a) = a]

[eqn: a = 3]이므로 [eqn: f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} + 3x]

∴ [eqn: f(2) = 2 times 2^{3} + 3 times 2^{2} + 3 times 2 = 16 + 12 + 6 = 34]

따라서 정답은 [eqn: 34]이다.

[eqn: log_{left | a right |} ( -a^{2} - 4a + 21 )]이 정의되도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하시오.

[eqn: 6]

로그가 정의되기 위한 밑의 조건과 진수의 조건을 각각 구한다.

밑의 조건에서 [eqn: left | a right | > 0], [eqn: left | a right | neq 1]이므로

[eqn: a neq 0], [eqn: a neq -1], [eqn: a neq 1] ……①

진수의 조건에서 [eqn: -a^{2} - 4a + 21 > 0]이므로

[eqn: a^{2} + 4a - 21 < 0], [eqn: (a+7)(a-3) < 0] ∴ [eqn: -7 < a < 3] ……②

①, ②에서 구하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: -6], [eqn: -5], [eqn: -4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: 2]이다.

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

첫째항이 [eqn: 1]이고 모든 항이 양수인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 [eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( sqrt {a _{k}} - sqrt {a _{k+1}} RIGHT ) = {n-1} over {n}]
을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{k}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 385]

주어진 식의 좌변을 전개하면

[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( sqrt {a _{k}} - sqrt {a _{k+1}} RIGHT )# = LEFT ( sqrt {a _{1}} - sqrt {a _{2}} RIGHT ) + LEFT ( sqrt {a _{2}} - sqrt {a _{3}} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( sqrt {a _{n-1}} - sqrt {a _{n}} RIGHT )]

[eqn: = sqrt{a_{1}} - sqrt{a_{n}}]

[eqn: a_{1} = 1]에서 [eqn: sqrt{a_{1}} = 1]이므로

[eqn: 1 - sqrt{a_{n}} = {n-1} over {n}]

[eqn: sqrt{a_{n}} = 1 - {n-1} over {n} = {1} over {n}]

양변을 제곱하면 [eqn: a_{n} = {1} over {n^{2}}] [eqn: left ( n geq 2 right )]

[eqn: n=1]일 때 [eqn: a_{1} = 1]이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} = {1} over {n^{2}}]

구하는 값은 [eqn: sum from {k=1} to {10} {1} over {a_{k}}]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {10} {1} over {a_{k}} = sum from {k=1} to {10} k^{2}][eqn: = {10 times 11 times 21} over {6}][eqn: = 385]

따라서 정답은 [eqn: 385]이다.

실수 [eqn: t(t > 1)]에 대하여 곡선 [eqn: y = {2t} over {x}]와 직선 [eqn: y = - {1} over {t} x + 3]이 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: lim _{t -> 1+} {} {{bar{rmOB}} - {bar{rmOA}}} over {t-1} =k]라 할 때, [eqn: 30 times k^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표보다 크다.)

[eqn: 54]

곡선 [eqn: y = {2t} over {x}]와 직선 [eqn: y = - {1} over {t} x + 3]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: {2t} over {x} = - {1} over {t} x + 3]에서

양변에 [eqn: tx]를 곱하여 정리하면

[eqn: x^{2} - 3tx + 2t^{2} = 0], [eqn: (x - t)(x - 2t) = 0]

[eqn: x = t] 또는 [eqn: x = 2t]

점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표가 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표보다 크고 [eqn: t > 1]이므로

[eqn: rmA(itt,2)], [eqn: rmB(it2t,1)]이다.

원점 [eqn: rmO]에 대하여

[eqn: {bar{rmOA}} =it sqrt {t ^{2} +4}], [eqn: {bar{rmOB}} =it sqrt {4t ^{2} +1}]이므로

[eqn: lim _{t -> 1+} {} {{bar{rmOB}} - {bar{rmOA}}} over {t-1}][eqn: = lim from {t -> 1+} {sqrt{4t^{2} + 1} - sqrt{t^{2} + 4}} over {t - 1}]

[eqn: = lim from {t -> 1+} {(4t^{2} + 1) - (t^{2} + 4)} over {(t - 1)(sqrt{4t^{2} + 1} + sqrt{t^{2} + 4})}]

[eqn: = lim from {t -> 1+} {3(t^{2} - 1)} over {(t - 1)(sqrt{4t^{2} + 1} + sqrt{t^{2} + 4})}]

[eqn: = lim from {t -> 1+} {3(t - 1)(t + 1)} over {(t - 1)(sqrt{4t^{2} + 1} + sqrt{t^{2} + 4})}]

[eqn: = lim from {t -> 1+} {3(t + 1)} over {sqrt{4t^{2} + 1} + sqrt{t^{2} + 4}}]

[eqn: = {3 times 2} over {sqrt{5} + sqrt{5}} = {6} over {2 sqrt{5}} = {3} over {sqrt{5}}]

∴ [eqn: k = {3} over {sqrt{5}}]

[eqn: 30 times k^{2} = 30 times {9} over {5} = 54]

따라서 정답은 [eqn: 54]이다.

공차가 자연수인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. 어떤 자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: a_{k} + a_{k+1} + a_{k+2} = 21], [eqn: S_{k+4} = 11]
이 성립할 때, [eqn: a_{k+6}]의 값을 구하시오.

[eqn: 22]

등차수열 [eqn: a_{n}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{k} + a_{k+1} + a_{k+2} = 21]에서 등차중항의 성질에 의해

[eqn: 3a_{k+1} = 21] ∴ [eqn: a_{k+1} = 7]

첫째항을 [eqn: a_{1}]이라 하면 [eqn: a_{k+1} = a_{1} + kd = 7]이므로

[eqn: a_{1} = 7 - kd] ……①

[eqn: S_{k+4} = 11]에서 등차수열의 합 공식에 의해

[eqn: {k+4} over {2} left ( 2a_{1} + (k+3)d right ) = 11]

①을 대입하면

[eqn: {k+4} over {2} left ( 2(7 - kd) + (k+3)d right ) = 11]

[eqn: {k+4} over {2} left ( 14 - 2kd + kd + 3d right ) = 11]

[eqn: (k+4) left ( 14 - d(k-3) right ) = 22] ……②

[eqn: k], [eqn: d]는 자연수이므로 [eqn: k+4]는 [eqn: 5] 이상의 자연수이다.

[eqn: 22]의 약수 중 [eqn: 5] 이상인 수는 [eqn: 11], [eqn: 22]이므로

(ⅰ) [eqn: k+4 = 11]일 때

[eqn: k = 7]이고 ②에 대입하면

[eqn: 11 left ( 14 - 4d right ) = 22], [eqn: 14 - 4d = 2] ∴ [eqn: d = 3]

[eqn: d]는 자연수이므로 조건을 만족한다.

(ⅱ) [eqn: k+4 = 22]일 때

[eqn: k = 18]이고 ②에 대입하면

[eqn: 22 left ( 14 - 15d right ) = 22], [eqn: 14 - 15d = 1] ∴ [eqn: d = {13} over {15}]

[eqn: d]는 자연수라는 조건에 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: k = 7], [eqn: d = 3]이다.

[eqn: a_{k+1} = a_{8} = 7]이므로

[eqn: a_{k+6} = a_{13} = a_{8} + 5d = 7 + 5 times 3 = 22]

따라서 정답은 [eqn: 22]이다.

[eqn: 0 leq x leq 2pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: LEFT ( sin`x- {1} over {4} k RIGHT ) LEFT ( sin`x+ {1} over {4} k ^{2} - {3} over {4} k RIGHT ) =0]
의 서로 다른 해의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 곱을 구하시오.

[eqn: 48]

주어진 방정식은 [eqn: left ( sin x - {1} over {4} k right ) left ( sin x + {1} over {4} k^{2} - {3} over {4} k right ) = 0] 이므로

[eqn: sin x = {1} over {4} k] 또는 [eqn: sin x = -{1} over {4} k^{2} + {3} over {4} k] 이다.

[eqn: 0 leq x leq 2 pi] 에서 함수 [eqn: y = sin x] 의 그래프와 직선 [eqn: y = a] 의 교점의 개수는 다음과 같다.

[eqn: a = 1] 또는 [eqn: a = -1] 이면 [eqn: 1]개

[eqn: -1 < a < 1] 이고 [eqn: a neq 0] 이면 [eqn: 2]개

[eqn: a = 0] 이면 [eqn: 3]개

[eqn: a > 1] 또는 [eqn: a < -1] 이면 [eqn: 0]개

[eqn: A = {1} over {4} k], [eqn: B = -{1} over {4} k^{2} + {3} over {4} k] 라 하면

주어진 방정식의 서로 다른 해의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 두 방정식 [eqn: sin x = A] 와 [eqn: sin x = B] 의 해의 합집합의 원소의 개수가 [eqn: 2]이어야 한다.

[eqn: k] 는 정수이므로 각 경우를 나누어 확인한다.

(ⅰ) [eqn: k leq -5] 일 때, [eqn: A < -1], [eqn: B < -1] 이므로 해의 개수는 [eqn: 0]

(ⅱ) [eqn: k = -4] 일 때, [eqn: A = -1], [eqn: B = -7] 이므로 해의 개수는 [eqn: 1 + 0 = 1]

(ⅲ) [eqn: k = -3] 일 때, [eqn: A = -{3} over {4}], [eqn: B = -{9} over {2}] 이므로 해의 개수는 [eqn: 2 + 0 = 2]

(ⅳ) [eqn: k = -2] 일 때, [eqn: A = -{1} over {2}], [eqn: B = -{5} over {2}] 이므로 해의 개수는 [eqn: 2 + 0 = 2]

(ⅴ) [eqn: k = -1] 일 때, [eqn: A = -{1} over {4}], [eqn: B = -1] 이므로 해의 개수는 [eqn: 2 + 1 = 3]

(ⅵ) [eqn: k = 0] 일 때, [eqn: A = 0], [eqn: B = 0] 이므로 해의 개수는 [eqn: 3]

(ⅶ) [eqn: k = 1] 일 때, [eqn: A = {1} over {4}], [eqn: B = {1} over {2}] 이므로 해의 개수는 [eqn: 2 + 2 = 4]

(ⅷ) [eqn: k = 2] 일 때, [eqn: A = {1} over {2}], [eqn: B = {1} over {2}] 이므로 해의 개수는 [eqn: 2]

(ⅸ) [eqn: k = 3] 일 때, [eqn: A = {3} over {4}], [eqn: B = 0] 이므로 해의 개수는 [eqn: 2 + 3 = 5]

(ⅹ) [eqn: k = 4] 일 때, [eqn: A = 1], [eqn: B = -1] 이므로 해의 개수는 [eqn: 1 + 1 = 2]

(ⅺ) [eqn: k geq 5] 일 때, [eqn: A > 1], [eqn: B < -1] 이므로 해의 개수는 [eqn: 0]

따라서 조건을 만족하는 정수 [eqn: k] 의 값은 [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: 2], [eqn: 4] 이다.

모든 정수 [eqn: k] 의 값의 곱은 [eqn: (-3) times (-2) times 2 times 4 = 48] 이다.

따라서 정답은 [eqn: 48]이다.

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { x`|`x != -a,`x는``실수 RIGHT }]에서 정의된 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{bx} over {x+a}&``` LEFT ( x<`-a,`-a<x<1 RIGHT )#f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]
이라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: y = left | g(x) right |]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 개수를 [eqn: h(t)]라 할 때, 함수 [eqn: h(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 임의의 두 양수 [eqn: t_{1}], [eqn: t_{2}]에 대하여

[eqn: t_{1} < t_{2}]이면 [eqn: h(t_{1}) geq h(t_{2})]이다.

(나) 함수 [eqn: h(t)]는 [eqn: t=0], [eqn: t=alpha], [eqn: t=beta(0 < alpha < beta)]에서만 불연속이며 [eqn: h(0)=alpha], [eqn: h(alpha)=beta-1]이다.

[eqn: f(a-b)]의 값을 구하시오.

[eqn: 75]

[eqn: x < 1]일 때 [eqn: g(x) = {bx} over {x+a} = b - {ab} over {x+a}]이다.

[eqn: a], [eqn: b]가 양수이므로 이 유리함수의 점근선은 [eqn: x = -a], [eqn: y = b]이다.

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로 [eqn: lim from {x -> 1-} g(x) = g(1)]에서 [eqn: f(1) = {b} over {1+a}]이다.

조건 (가)에서 [eqn: t_{1} < t_{2}]이면 [eqn: h(t_{1}) geq h(t_{2})]이므로, [eqn: t>0]일 때 [eqn: t]가 커짐에 따라 교점의 개수 [eqn: h(t)]는 증가할 수 없다.

[eqn: y = left | g(x) right |]의 [eqn: x < 1]인 구간을 살펴보면, [eqn: x -> -inf]일 때 [eqn: left | g(x) right | -> b]이므로 [eqn: t=b]를 기준으로 교점의 개수가 변한다.

[eqn: t > b]일 때 유리함수 부분에서 교점이 [eqn: 2]개, [eqn: t leq b]일 때(단, [eqn: t > {b} over {1+a}]) 교점이 [eqn: 1]개 발생하여 [eqn: t]가 [eqn: b]보다 커질 때 교점이 [eqn: 1]개 증가한다.

전체 교점의 개수 [eqn: h(t)]가 증가하지 않으려면, [eqn: x geq 1]인 구간의 이차함수 [eqn: y = left | f(x) right |]에서 [eqn: t]가 [eqn: b]보다 커질 때 교점이 [eqn: 1]개 감소해야 한다.

이는 이차함수 [eqn: f(x)]의 꼭짓점의 [eqn: y]좌표가 [eqn: -b]이고, 대칭축 [eqn: x=v]가 [eqn: v > 1]임을 의미한다.

따라서 [eqn: f(x) = (x-v)^{2} - b] ([eqn: v > 1])로 놓을 수 있다.

이제 [eqn: t geq 0]에 따른 [eqn: h(t)]를 구해보자.

[eqn: f(1) = {b} over {1+a}]이고 [eqn: 0 < {b} over {1+a} < b]이다.

[eqn: t=0]일 때: [eqn: x=0]과 [eqn: f(x)=0]의 두 근에서 만나므로 [eqn: h(0) = 3]이다.

[eqn: 0 < t < {b} over {1+a}]일 때: 유리함수 부분에서 [eqn: 2]개, 이차함수 부분에서 [eqn: 4]개의 교점을 가지므로 [eqn: h(t) = 6]이다.

[eqn: t = {b} over {1+a}]일 때: 유리함수 부분에서 [eqn: 1]개, 이차함수 부분에서 [eqn: 4]개(경계점 [eqn: x=1] 포함)의 교점을 가지므로 [eqn: h(t) = 5]이다.

[eqn: {b} over {1+a} < t < b]일 때: 유리함수 부분에서 [eqn: 1]개, 이차함수 부분에서 [eqn: 3]개의 교점을 가지므로 [eqn: h(t) = 4]이다.

[eqn: t = b]일 때: 유리함수 부분에서 [eqn: 1]개, 이차함수 부분에서 [eqn: 2]개의 교점을 가지므로 [eqn: h(t) = 3]이다.

[eqn: t > b]일 때: 유리함수 부분에서 [eqn: 2]개, 이차함수 부분에서 [eqn: 1]개의 교점을 가지므로 [eqn: h(t) = 3]이다.

조건 (나)에서 [eqn: h(t)]의 불연속점은 [eqn: t=0], [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: 0 < alpha < beta])의 [eqn: 3]개뿐이므로, 위 결과에서 불연속점은 [eqn: t=0], [eqn: {b} over {1+a}], [eqn: b]이다.

따라서 [eqn: alpha = {b} over {1+a}], [eqn: beta = b]이다.

[eqn: h(0) = alpha]에서 [eqn: alpha = 3]이다.

[eqn: h(alpha) = beta - 1]에서 [eqn: h(3) = beta - 1]이다.

[eqn: alpha = {b} over {1+a} = 3]이므로 [eqn: h(3) = h left ( {b} over {1+a} right ) = 5]이다.

[eqn: 5 = beta - 1]에서 [eqn: beta = 6]이다.

[eqn: beta = b]이므로 [eqn: b = 6]이다.

[eqn: {6} over {1+a} = 3]에서 [eqn: 1+a = 2] ∴ [eqn: a = 1]

[eqn: f(x) = (x-v)^{2} - 6]이고 [eqn: f(1) = 3]이므로 [eqn: (1-v)^{2} - 6 = 3]이다.

[eqn: (1-v)^{2} = 9]에서 [eqn: v > 1]이므로 [eqn: v = 4]이다.

∴ [eqn: f(x) = (x-4)^{2} - 6]

구하는 값은 [eqn: f(a-b) = f(1-6) = f(-5)]이다.

[eqn: f(-5) = (-5-4)^{2} - 6 = 81 - 6 = 75]

따라서 정답은 [eqn: 75]이다.