2025년 9월 고2 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 9월 모의고사는 20번, 28번 등 수열 파트에서 귀납적 추론 능력을 까다롭게 요구하며 시간 안배에 실패한 학생들이 많았을 것입니다. 단순히 공식을 암기한 학생들은 풀기 어려운, 조건 해석과 논리적 추론이 필요한 문항들이 다수 배치되어 변별력을 확보하려는 의도가 엿보입니다. 특히 그래프의 개형을 추론하고 여러 조건을 통합적으로 분석해야 하는 29번, 30번 문항은 최근 수능에서 강조되는 사고력 측정 문항들과 그 결을 같이하므로, 킬러 문항에 대한 깊이 있는 분석과 복습이 반드시 필요합니다. 이번 시험을 통해 본인의 약점을 정확히 파악하고, 남은 기간 개념을 문제에 적용하는 훈련에 집중해야 할 것입니다.

• 15번 — 이차함수와 직선의 교점을 n에 대한 식으로 표현하고, 원점을 포함한 삼각형의 넓이 S_n을 구한 뒤 시그마 합을 계산하는 통합형 문제입니다. 많은 학생들이 교점의 좌표를 구하는 과정에서 복잡한 식에 압도되어 계산 실수를 하거나 시간을 허비하는 경향이 있습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 원점과 두 점으로 이루어진 삼각형의 넓이를 신발끈 공식을 활용해 1/2|x₁y₂ - x₂y₁|로 간단히 표현하는 것입니다. 교점의 x좌표를 α, β라 할 때, 근과 계수의 관계를 이용하면 S_n을 n에 대한 깔끔한 다항식으로 정리할 수 있어 시그마 계산이 한결 수월해집니다.
  
• 20번 — 모든 항이 자연수라는 조건과 an ≤ a3라는 강력한 제약 조건 하에, 홀수/짝수 케이스로 나뉘는 귀납적으로 정의된 수열의 첫째 항을 추론하는 문제입니다. 대부분의 학생들이 a₁부터 순서대로 대입하며 접근하려다 경우의 수가 너무 많아 길을 잃기 쉽습니다. 이 문제의 함정은 순방향 추론이 아닌 역방향 추론을 요구한다는 점입니다. a₄+a₅ ≤ 24 라는 구체적인 조건에서 출발하여 a₄가 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 가능한 a₃의 값을 역으로 추적해 나가는 것이 핵심입니다. 이 과정에서 (나) 조건(an ≤ a3)을 필터로 사용하여 불가능한 경우들을 제거해 나가야 정답에 도달할 수 있습니다.
  
• 21번 — 원 C₁에 내접하는 사각형과, 그 일부인 삼각형 BCD에 내접하는 원 C₂가 얽힌 복잡한 기하 문제입니다. 출제 의도는 사인법칙, 코사인법칙 등 배운 개념을 종합적으로 활용하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 해석하기 어려워하는 부분은 '선분 AC가 원 C₂의 넓이를 이등분한다'는 조건입니다. 이는 단순히 넓이 계산을 하라는 뜻이 아니라, 직선 AC가 원 C₂의 중심을 지난다는 결정적인 기하학적 힌트입니다. 삼각형의 내심(내접원의 중심)은 각의 이등분선의 교점이므로, 결국 AC가 ∠BCD의 이등분선임을 파악하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  
• 28번 — 세 항씩 묶어 새로운 규칙을 부여한, 구조가 독특한 수열 문제입니다. a₃n-₂, a₃n-₁, a₃n이 등차수열을 이루고, 이들의 합인 b_n은 등비수열을 이룬다는 조건을 해석하는 것이 관건입니다. 복잡한 첨자(index) 때문에 많은 학생들이 규칙을 파악하는 데 혼란을 겪습니다. 이 문제의 돌파구는 (가) 조건으로부터 b_n = a₃n-₂ + a₃n-₁ + a₃n = 3a₃n-₁ 이라는 관계식을 이끌어내는 것입니다. b_n이 공비 3인 등비수열이므로, 각 묶음의 중앙항인 a₃n-₁ 역시 공비가 3인 등비수열을 이룬다는 사실을 깨달으면, 주어진 합의 조건을 이용해 수열의 항들을 구체적으로 계산해 나갈 수 있습니다.
  
• 29번 — 절댓값 함수와 삼각함수가 합성된 함수의 대칭성, 그리고 또 다른 합성함수의 실근 개수를 동시에 만족하는 미지수를 찾는 고난도 문항입니다. (가) 조건에서 f(g(x))가 x=3에 대해 대칭이라는 것을 g(x)가 x=3에 대해 대칭이라고 착각하는 것이 가장 흔한 오답 패턴입니다. 핵심은 합성함수의 대칭성을 정확히 이해하는 것입니다. g(x)는 주기함수이므로, x=3이 g(x) 그래프의 대칭축(최대 또는 최소가 되는 지점)이 되어야 f(g(x))의 대칭성이 성립합니다. (나) 조건 g(f(x))=3은 sin(πf(x)/a)=0으로 변환되므로, 결국 V자 형태의 그래프 f(x)가 정수 'a'의 배수가 되는 지점이 몇 개인지를 세는 문제로 귀결됩니다. 두 조건을 연립하여 자연수 a, b의 순서쌍을 꼼꼼히 찾아야 합니다.
  
• 30번 — 이차함수 f(x)와 일차함수 g(x)의 대소 관계에 따라 새롭게 정의된 함수 h(x)의 극한 조건을 해석하는 문제입니다. (가) 조건 'lim h(x)가 수렴하는 α값이 2뿐이다'라는 표현이 매우 생소하고 까다롭습니다. 이는 h(x)의 좌극한과 우극한이 달라질 가능성이 있는 지점, 즉 f(x)=g(x)가 되는 지점이 오직 x=2 한 곳이라는 의미입니다. 여기서 더 나아가, 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로, x=2에서 f(x)와 g(x)가 그냥 만나는 것이 아니라 '접해야만' 한다는 사실을 추론하는 것이 이 문제의 핵심입니다. (나) 조건은 h(x)가 불연속이 되는 모든 지점에서 |h(x)-1|의 극한은 존재해야 한다는 의미로, 불연속점에서의 좌극한과 우극한 값 사이의 관계식을 제공하는 결정적 힌트입니다.