수학ETF	2025_고2_9월	기출문제
	1~30

[eqn: 2^{3} TIMES 4^{ - {{1} over {2}}}]의 값은?

④

[eqn: 4 = 2^2]이므로

[eqn: 2^{3} TIMES 4^{ - {{1} over {2}}} = 2^{3} TIMES (2^{2})^{ - {{1} over {2}}}][eqn: = 2^{3} TIMES 2^{-1}][eqn: = 2^{3} - 1][eqn: = 2^{2}][eqn: = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{x -> inf} {{3 x + 2} over {(x + 1)^2 - x^2}}]의 값은?

③

[eqn: lim _{x -> inf} {{3 x + 2} over {(x + 1)^2 - x^2}}][eqn: = lim _{x -> inf} {{3 x + 2} over {(x^2 + 2 x + 1) - x^2}}][eqn: = lim _{x -> inf} {{3 x + 2} over {2 x + 1}}]

분모와 분자의 최고차항이 모두 [eqn: 1]차식이므로 극한값은 최고차항의 계수의 비와 같다.

[eqn: lim _{x -> inf} {{3 x + 2} over {2 x + 1}} = {3} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

공차가 [eqn: 5]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_{1} + a_{3} = 16]일 때, [eqn: a_{4}]의 값은?

⑤

등차수열의 성질에 의하여 [eqn: a_{1} + a_{3} = 2a_{2}]이다.

[eqn: 2a_{2} = 16]이므로 [eqn: a_{2} = 8]

공차가 [eqn: 5]이므로

[eqn: a_{4} = a_{2} + 2 TIMES 5 = 8 + 10 = 18]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

[eqn: {3} over {2} pi < theta < 2 pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos theta = {1} over {3}]일 때, [eqn: tan theta]의 값은?

①

[eqn: {3} over {2} pi < theta < 2 pi]이므로 [eqn: theta]는 제[eqn: 4]사분면의 각이고, [eqn: tan theta < 0]이다.

[eqn: 1 + tan^2 theta = {1} over {cos^2 theta}], [eqn: 1 + tan^2 theta = {1} over {LEFT ( {1} over {3} RIGHT )^2} = 9], [eqn: tan^2 theta = 8]

[eqn: tan theta < 0]이므로 [eqn: tan theta = - 2 sqrt {2}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - 2 sqrt {2}]	② [eqn: - sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {2}]

함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)+ lim _{x -> 3+} {} f(x)]의 값은?

②

주어진 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서

[eqn: x]가 [eqn: 1]보다 작은 쪽에서 [eqn: 1]에 한없이 가까워질 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 1]에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim_{x rightarrow 1-} f(x) = 1]

[eqn: x]가 [eqn: 3]보다 큰 쪽에서 [eqn: 3]에 한없이 가까워질 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: -2]에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim_{x rightarrow 3+} f(x) = -2]

∴ [eqn: lim_{x rightarrow 1-} f(x) + lim_{x rightarrow 3+} f(x) = 1 + (-2) = -1]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

반지름의 길이가 [eqn: 6]이고 넓이가 [eqn: 15 pi]인 부채꼴의 중심각의 크기는?

⑤

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 중심각의 크기를 [eqn: theta], 넓이를 [eqn: S]라 하자.

[eqn: r = 6], [eqn: S = 15 pi]이므로 부채꼴의 넓이 공식 [eqn: S = {1} over {2} r^{2} theta]에 대입하면

[eqn: 15 pi = {1} over {2} TIMES 6^{2} TIMES theta], [eqn: 15 pi = 18 theta], [eqn: theta = {15 pi } over {18} = {5} over {6} pi]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: { pi } over {6}]	② [eqn: { pi } over {3}]	③ [eqn: { pi } over {2}]

④ [eqn: {2} over {3} pi]	⑤ [eqn: {5} over {6} pi]

[eqn: 0 < a < 1]인 상수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: y = log_{a} x]위에 두 점 [eqn: rmA`it LEFT ( 2,log _{a} 2 RIGHT )], [eqn: rmB`it LEFT ( 4,log _{a} 4 RIGHT )]가 있다. 직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: - {1} over {4}]일 때, [eqn: a]의 값은?

②

두 점 [eqn: rmA LEFT ( 2, log_{a} 2 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 4, log_{a} 4 RIGHT )]를 지나는 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는

[eqn: {log_{a} 4 - log_{a} 2} over {4 - 2} = {log_{a} 2} over {2}]

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: - {1} over {4}]이므로 [eqn: {log_{a} 2} over {2} = - {1} over {4}], [eqn: log_{a} 2 = - {1} over {2}]

로그의 정의에 의해 [eqn: a^{- {1} over {2}} = 2]

양변을 [eqn: -2]제곱하면 [eqn: a = 2^{-2} = {1} over {4}]

이는 [eqn: 0 < a < 1]을 만족한다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 일반항이 [eqn: a_{n} = {1} over {(3 n - 2) (3 n + 1)}]일 때, [eqn: sum_{k = 1}^{8} a_{k}]의 값은?

④

[eqn: a_{k} = {1} over {(3 k - 2) (3 k + 1)} = {1} over {3} LEFT ( {1} over {3 k - 2} - {1} over {3 k + 1} RIGHT )]

[eqn: sum_{k = 1}^{8} a_{k} = {1} over {3} sum_{k = 1}^{8} LEFT ( {1} over {3 k - 2} - {1} over {3 k + 1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {3} LEFT { LEFT ( 1 - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {4} - {1} over {7} RIGHT ) + cdots + LEFT ( {1} over {22} - {1} over {25} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( 1 - {1} over {25} RIGHT )][eqn: = {1} over {3} TIMES {24} over {25} = {8} over {25}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {6} over {25}]	③ [eqn: {7} over {25}]

④ [eqn: {8} over {25}]	⑤ [eqn: {9} over {25}]

부등식 [eqn: log ( x - 1 ) + log ( x + 2 ) le 1]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은?

①

진수의 조건에 의하여 [eqn: x - 1 > 0]이고 [eqn: x + 2 > 0]이므로

[eqn: x > 1]

주어진 부등식에서 [eqn: log ( x - 1 ) ( x + 2 ) le log 10]

밑이 [eqn: 10]으로 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: ( x - 1 ) ( x + 2 ) le 10], [eqn: x^{2} + x - 12 le 0], [eqn: ( x + 4 ) ( x - 3 ) le 0]

[eqn: -4 le x le 3]

진수 조건과 연립하면

[eqn: 1 < x le 3]

이를 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 2], [eqn: 3]이므로 그 합은

[eqn: 2 + 3 = 5]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: y = sin {x} over {2} + {sqrt {3}} over {2}][eqn: LEFT ( 0 le x < 4 pi RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

①

그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 0]이므로

[eqn: sin {x} over {2} + {sqrt {3}} over {2} = 0], [eqn: sin {x} over {2} = - {sqrt {3}} over {2}]

주어진 [eqn: x]의 범위가 [eqn: 0 le x < 4 pi]이므로 [eqn: {x} over {2}]의 범위는 [eqn: 0 le {x} over {2} < 2 pi]이다.

이 범위에서 방정식을 만족하는 [eqn: {x} over {2}]의 값은

[eqn: {x} over {2} = {4} over {3} pi]또는 [eqn: {x} over {2} = {5} over {3} pi]

양변에 [eqn: 2]를 곱하여 [eqn: x]의 값을 구하면

[eqn: x = {8} over {3} pi]또는 [eqn: x = {10} over {3} pi]

따라서 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: {8} over {3} pi], [eqn: {10} over {3} pi]이다.

선분 [eqn: rmAB]의 길이는 두 [eqn: x]좌표의 차이이므로

[eqn: {10} over {3} pi - {8} over {3} pi = {2} over {3} pi]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {2} over {3} pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {4} over {3} pi]

④ [eqn: {5} over {3} pi]	⑤ [eqn: 2 pi]

함수 [eqn: f(x) = log_{2} (x + a) + b]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: f(15)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

②

주어진 그래프에서 함수 [eqn: y = f(x)]는 두 점 [eqn: (3, 0)], [eqn: (0, -2)]를 지난다.

[eqn: f(3) = 0]이므로 [eqn: log_{2} (3 + a) + b = 0]

[eqn: f(0) = -2]이므로 [eqn: log_{2} a + b = -2]

두 식을 연립하여 빼면

[eqn: log_{2} (3 + a) - log_{2} a = 2]에서 [eqn: a = 1]

[eqn: a = 1]을 [eqn: log_{2} a + b = -2]에 대입하면 [eqn: log_{2} 1 + b = -2], [eqn: b = -2]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 다음과 같다.

[eqn: f(x) = log_{2} (x + 1) - 2]

구하고자 하는 [eqn: f(15)]의 값은

[eqn: f(15) = log_{2} (15 + 1) - 2], [eqn: f(15) = log_{2} 16 - 2 = 4 - 2 = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

공차가 [eqn: - 4]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: S_{12} = 0]일 때, [eqn: S_{n}]의 최댓값은?

③

등차수열의 합 공식에 의해

[eqn: S_{12} = {12 LEFT ( 2a_{1} + 11 TIMES (-4) RIGHT )} over {2} = 0], [eqn: a_{1} = 22]

[eqn: S_{n}]을 구하면 [eqn: S_{n} = {n LEFT ( 44 - 4(n-1) RIGHT )} over {2}], [eqn: S_{n} = -2 LEFT ( n - 6 RIGHT )^{2} + 72]

따라서 [eqn: n = 6]일 때 최댓값 [eqn: 72]를 갖는다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 60]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 78]	⑤ [eqn: 84]

[eqn: 1]이 아닌 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가
[eqn: a^{3} = b^{2}], [eqn: log_{a} c = log_{b} c + 1]
을 만족시킬 때, [eqn: log_{c} ab]의 값은?

⑤

[eqn: a^{3} = b^{2}]에서 [eqn: b = a^{3 over 2}]이다.

[eqn: log_{a} c = log_{b} c + 1]에 대입하면

[eqn: log_{a} c = log_{a^{3 over 2}} c + 1], [eqn: log _{a} c= {2} over {3} `log _{a} c+1], [eqn: log_{a} c = 3]

따라서 [eqn: c = a^{3}]이다.

[eqn: log_{c} ab = log_{a^{3}} (a CDOT a^{3 over 2})][eqn: = log_{a^{3}} a^{5 over 2}][eqn: = {{5 over 2} over 3}][eqn: = {5 over 6}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^2 - 12 n + 27]의 [eqn: n]제곱근 중 음의 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: sum_{n = 2}^{20} f(n)]의 값은?

④

[eqn: A(n) = n^2 - 12n + 27 = (n - 3)(n - 9)]라 하자.

실수 [eqn: A(n)]의 [eqn: n]제곱근 중 음의 실수인 것의 개수 [eqn: f(n)]은 [eqn: n]의 홀짝성과 [eqn: A(n)]의 부호에 따라 결정된다.

[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: A(n) > 0]이면 [eqn: f(n) = 1]이고 [eqn: A(n) le 0]이면 [eqn: f(n) = 0]이다.

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: A(n) < 0]이면 [eqn: f(n) = 1]이고 [eqn: A(n) ge 0]이면 [eqn: f(n) = 0]이다.

[eqn: A(n) = (n - 3)(n - 9)]의 부호를 구간별로 나누어 [eqn: f(n) = 1]이 되는 [eqn: n]의 값을 구한다.

[eqn: n < 3]일 때, [eqn: A(n) > 0]이므로 짝수인 [eqn: n = 2]에서 [eqn: f(2) = 1]이다.

[eqn: 3 < n < 9]일 때, [eqn: A(n) < 0]이므로 홀수인 [eqn: n = 5, 7]에서 [eqn: f(5) = 1], [eqn: f(7) = 1]이다.

[eqn: n > 9]일 때, [eqn: A(n) > 0]이므로 짝수인 [eqn: n = 10, 12, 14, 16, 18, 20]에서 [eqn: f(n) = 1]이다.

그 외의 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n) = 0]이다.

따라서 [eqn: f(n) = 1]을 만족하는 [eqn: n]은 [eqn: 2, 5, 7, 10, 12, 14, 16, 18, 20]으로 총 [eqn: 9]개이다.

[eqn: sum_{n = 2}^{20} f(n) = 9]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f(x) = x^{2} - nx - 2n^{2}]
이라 하자. 곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = x + n]이 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm A _{it n rm} rm O`rmB _{it n rm}]의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k = 1}^{4} S_{k}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

⑤

곡선 [eqn: y = x^{2} - nx - 2n^{2}]과 직선 [eqn: y = x + n]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x^{2} - nx - 2n^{2} = x + n]

[eqn: x^{2} - (n+1)x - n(2n+1) = 0]

[eqn: (x+n) left ( x - (2n+1) right ) = 0]

[eqn: x = -n] 또는 [eqn: x = 2n+1]

따라서 두 교점의 좌표를 각각 [eqn: rmA _{itn} it(-n,0)], [eqn: rmB _{itn} LEFT ( it2n+1,`3n+1 RIGHT )]이라 할 수 있다.

삼각형 [eqn: rmA_{n}OB_{n}]에서 선분 [eqn: rmOA_{n}]을 밑변으로 하면

밑변의 길이는 [eqn: left | -n right | = n]이고 높이는 점 [eqn: rmB _{itn}]의 [eqn: y]좌표인 [eqn: 3n+1]이다.

그러므로 삼각형 [eqn: rmA_{n}OB_{n}]의 넓이 [eqn: S_{n}]은

[eqn: S_{n} = {1} over {2} times n times (3n+1) = {1} over {2} (3n^{2} + n)]

[eqn: sum_{k=1}^{4} S_{k} = sum_{k=1}^{4} {1} over {2} (3k^{2} + k)][eqn: = {1} over {2} left ( 3 sum_{k=1}^{4} k^{2} + sum_{k=1}^{4} k right )]

[eqn: = {1} over {2} left ( 3 times {4 times 5 times 9} over {6} + {4 times 5} over {2} right )][eqn: = {1} over {2} (3 times 30 + 10)][eqn: = {1} over {2} times 100 = 50]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{log` _{{1} over {3}} `x&``` LEFT ( 0<x LEQ 1 RIGHT )#log` _{3} `x&``` LEFT ( x>1 RIGHT )}}]
에 대하여 방정식 [eqn: f(x) + f(3 x) = 3]의 모든 실근의 합은?

③

함수 [eqn: f(x)]의 정의에 따라 [eqn: x]의 범위를 나누어 방정식 [eqn: f(x)+f(3x)=3]을 푼다.

[eqn: x]의 범위를 [eqn: 0 < x leq {1} over {3}], [eqn: {1} over {3} < x leq 1], [eqn: x > 1]로 나눈다.

(ⅰ) [eqn: 0 < x leq {1} over {3}]일 때

[eqn: f(x) = log_{1 over 3} x = -log_{3} x]

[eqn: 0 < 3x leq 1]이므로 [eqn: f(3x) = log_{1 over 3} (3x) = -log_{3} (3x) = -1 - log_{3} x]

[eqn: f(x) + f(3x) = -log_{3} x - 1 - log_{3} x = 3]

[eqn: -2log_{3} x = 4]에서 [eqn: log_{3} x = -2]

∴ [eqn: x = 3^{-2} = {1} over {9}]

이는 [eqn: 0 < x leq {1} over {3}]을 만족한다.

(ⅱ) [eqn: {1} over {3} < x leq 1]일 때

[eqn: f(x) = log_{1 over 3} x = -log_{3} x]

[eqn: 3x > 1]이므로 [eqn: f(3x) = log_{3} (3x) = 1 + log_{3} x]

[eqn: f(x) + f(3x) = -log_{3} x + 1 + log_{3} x = 3]

[eqn: 1 = 3]이므로 해가 없다.

(ⅲ) [eqn: x > 1]일 때

[eqn: f(x) = log_{3} x]

[eqn: 3x > 3 > 1]이므로 [eqn: f(3x) = log_{3} (3x) = 1 + log_{3} x]

[eqn: f(x) + f(3x) = log_{3} x + 1 + log_{3} x = 3]

[eqn: 2log_{3} x = 2]에서 [eqn: log_{3} x = 1]

∴ [eqn: x = 3]

이는 [eqn: x > 1]을 만족한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 모든 실근은 [eqn: {1} over {9}], [eqn: 3]이다.

모든 실근의 합은 [eqn: {1} over {9} + 3 = {28} over {9}]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {8} over {3}]	② [eqn: {26} over {9}]	③ [eqn: {28} over {9}]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: {32} over {9}]

실수 [eqn: t ( t > 1 )]에 대하여 직선 [eqn: x = t]가 두 곡선 [eqn: y = x^2], [eqn: y = sqrt{x}]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmA ( 1 , 1 )]에 대하여 삼각형 [eqn: rmAPQ]의 넓이를 [eqn: S ( t )]라 할 때, [eqn: lim_{t -> 1+} {S ( t )} over {( t - 1 )^2}]의 값은?

③

점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: ( t , t^2 )], 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: ( t , sqrt{t} )]

[eqn: t > 1]이므로 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는 [eqn: t^2 - sqrt{t}]

점 [eqn: rmA ( 1 , 1 )]에서 직선 [eqn: x = t]까지의 거리는 [eqn: t - 1]

삼각형 [eqn: rmAPQ]의 넓이 [eqn: S ( t )]는 [eqn: S ( t ) = {1} over {2} ( t^2 - sqrt{t} ) ( t - 1 )]

구하는 극한값은

[eqn: lim_{t -> 1+} {S ( t )} over {( t - 1 )^2} = lim_{t -> 1+} {{1} over {2} ( t^2 - sqrt{t} ) ( t - 1 )} over {( t - 1 )^2}][eqn: = lim_{t -> 1+} {t^2 - sqrt{t}} over {2 ( t - 1 )}]

[eqn: = lim_{t -> 1+} {sqrt{t} ( t sqrt{t} - 1 )} over {2 ( t - 1 )}][eqn: = lim_{t -> 1+} {sqrt{t} ( sqrt{t} - 1 ) ( t + sqrt{t} + 1 )} over {2 ( sqrt{t} - 1 ) ( sqrt{t} + 1 )}]

[eqn: = lim_{t -> 1+} {sqrt{t} ( t + sqrt{t} + 1 )} over {2 ( sqrt{t} + 1 )}][eqn: = {1 TIMES ( 1 + 1 + 1 )} over {2 ( 1 + 1 )} = {3} over {4}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수
[eqn: f(x) = a cos LEFT ( b x - { pi } over {4} RIGHT )]
가 [eqn: 0 le x le pi]에서 최댓값 [eqn: 4], 최솟값 [eqn: - 2 sqrt {2}]를 가질 때, [eqn: a + b]의 값은?

④

[eqn: bx - { pi } over {4} = t]라 하면, [eqn: 0 le x le pi]에서 [eqn: t]의 범위는 [eqn: - { pi } over {4} le t le b pi - { pi } over {4}]

만약 [eqn: b pi - { pi } over {4} < 0]이면 [eqn: cos t]의 최솟값은 [eqn: t = - { pi } over {4}]일 때 [eqn: {sqrt {2}} over {2}]가 되어 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 양수가 되므로 모순이다.

따라서 [eqn: t]의 범위는 [eqn: 0]을 반드시 포함하며, [eqn: cos t]의 최댓값은 [eqn: 1]이 된다.

[eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: 4]이므로 [eqn: a = 4]

[eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: - 2 sqrt {2}]이므로 [eqn: cos t]의 최솟값은 [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]

만약 [eqn: t]의 최댓값이 [eqn: pi]이상이 되면 [eqn: cos t]의 최솟값은 [eqn: - 1]이 되어 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: - 4]가 되므로 모순이다.

따라서 주어진 범위에서 [eqn: cos t]가 [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]를 최솟값으로 가지려면 [eqn: t]의 최댓값은 [eqn: {3 pi } over {4}]이어야 한다.

[eqn: b pi - { pi } over {4} = {3 pi } over {4}], [eqn: b pi = pi], [eqn: b = 1], [eqn: a + b = 4 + 1 = 5]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA LEFT ( ita,`3 ^{a} +b RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( ita+3,`3 ^{a+3} +b RIGHT )]가 있다. 직선 [eqn: y = x]위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmoverline {AP} + overline {BP}]의 최솟값은 [eqn: 55]이다. 곡선 [eqn: y = log_{3} LEFT ( x - a - b RIGHT )]위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: a + 3]이고 [eqn: {bar{rmAC}} =a+55]일 때, [eqn: a + b]의 값은?

②

점 [eqn: rmA]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmA']라 하면 [eqn: rmA' LEFT ( it3 ^{a} +b,`a RIGHT )]이다.

[eqn: rmoverline {AP} + overline {BP}]의 최솟값은 [eqn: rmoverline {A'B}]의 길이와 같으므로 [eqn: rmoverline {A'B} = 55]이다.

[eqn: {bar{rmA prime B}} ^{2} = LEFT ( a+3-3 ^{a} -b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3 ^{a+3} +b-a RIGHT ) ^{2} =55 ^{2}]

점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: a + 3]이므로 [eqn: a + 3 = log_{3} LEFT ( x - a - b RIGHT )]에서 [eqn: x = 3^{a + 3} + a + b]이다.

즉, [eqn: rmC`it LEFT ( 3 ^{a+3} +a+b,a+3 RIGHT )]이다.

[eqn: {bar{rmAC}} =a+55]이므로 양변을 제곱하면 다음과 같다.

[eqn: {bar{rmAC}} ^{2} = LEFT ( 3 ^{a+3} +b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a+3-3 ^{a} -b RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a+55 RIGHT ) ^{2}]

계산의 편의를 위해 [eqn: X = 3^{a + 3} + b], [eqn: Y = a + 3 - 3^{a} - b]로 치환하면 두 식은 다음과 같다.

[eqn: LEFT ( X - a RIGHT )^{2} + Y^{2} = 55^{2}], [eqn: X^{2} + Y^{2} = LEFT ( a + 55 RIGHT )^{2}]

아래 식에서 위 식을 빼면 다음과 같다.

[eqn: X^{2} - LEFT ( X - a RIGHT )^{2} = LEFT ( a + 55 RIGHT )^{2} - 55^{2}]

[eqn: 2aX - a^{2} = a^{2} + 110a], [eqn: 2aX = 2a^{2} + 110a]

[eqn: a > 0]이므로 양변을 [eqn: 2a]로 나누면 [eqn: X = a + 55]이다.

이를 [eqn: X^{2} + Y^{2} = LEFT ( a + 55 RIGHT )^{2}]에 대입하면 [eqn: Y^{2} = 0]이 되어 [eqn: Y = 0]이다.

치환한 식에 대입하여 연립방정식을 세운다.

[eqn: 3^{a + 3} + b = a + 55], [eqn: a + 3 - 3^{a} - b = 0] 즉, [eqn: 3^{a} + b = a + 3]

위 두 식을 빼면 다음과 같다.

[eqn: 3^{a + 3} - 3^{a} = 52], [eqn: 27 TIMES 3^{a} - 3^{a} = 52], [eqn: 26 TIMES 3^{a} = 52], [eqn: 3^{a} = 2]

따라서 [eqn: a = log_{3} 2]이다.

이를 [eqn: 3^{a} + b = a + 3]에 대입하면 [eqn: 2 + b = log_{3} 2 + 3]이 되어 [eqn: b = log_{3} 2 + 1 = log_{3} 6]이다.

최종적으로 [eqn: a + b]의 값을 구한다.

[eqn: a + b = log_{3} 2 + log_{3} 6 = log_{3} 12]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: log_{3} 6]	② [eqn: log_{3} 12]	③ [eqn: log_{3} 18]

④ [eqn: log_{3} 24]	⑤ [eqn: log_{3} 30]

모든 항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+1} = {cases{{a _{n} +3} over {2}&``` LEFT ( a _{n} 이``홀수인``경우 RIGHT )#{3} over {2} a _{n}&``` LEFT ( a _{n} 이``짝수인``경우 RIGHT )}}]이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} le a_{3}]이다.

[eqn: a_{4} + a_{5} le 24]가 되도록 하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합은?

①

조건 (나)에 의해 [eqn: a_{4} le a_{3}]이어야 한다.

만약 [eqn: a_{3}]이 짝수라면 [eqn: a_{4} = {3} over {2} a_{3} > a_{3}]이 되어 모순이므로, [eqn: a_{3}]은 반드시 홀수이다.

[eqn: a_{n} le a_{3}]이므로 [eqn: a_{2} le a_{3}]이다.

[eqn: a_{2}]가 홀수이면 [eqn: a_{3} = {a_{2} + 3} over {2}]에서 [eqn: a_{2} = 2a_{3} - 3]이다.

[eqn: 2a_{3} - 3 le a_{3}]에서 [eqn: a_{3} le 3]이므로, 가능한 홀수는 [eqn: a_{3} = 3]뿐이다.

[eqn: a_{2}]가 짝수이면 [eqn: a_{3} = {3} over {2} a_{2}]에서 [eqn: a_{2} = {2} over {3} a_{3}]이다.

[eqn: a_{2}]가 자연수이므로 [eqn: a_{3}]은 [eqn: 3]의 배수인 홀수이다.

경우 1) [eqn: a_{3} = 3]인 경우

[eqn: a_{2}]가 홀수이면 [eqn: a_{2} = 3]이고, 이때 [eqn: a_{1} = 3](홀수) 또는 [eqn: a_{1} = 2](짝수)이다.

[eqn: a_{2}]가 짝수이면 [eqn: a_{2} = 2]이고, 이때 [eqn: a_{1} = 1](홀수)이다.

[eqn: a_{4} = {3 + 3} over {2} = 3]이고 [eqn: a_{5} = {3 + 3} over {2} = 3]이므로 [eqn: a_{4} + a_{5} = 6 le 24]를 만족한다.

따라서 [eqn: a_{1} in LEFT { 1, 2, 3 RIGHT }]이다.

경우 2) [eqn: a_{3} > 3]인 경우

[eqn: a_{3}]은 [eqn: 3]의 배수인 홀수이고 [eqn: a_{2} = {2} over {3} a_{3}](짝수)이다.

[eqn: a_{1} le a_{3}]조건을 확인한다.

[eqn: a_{1}]이 홀수이면 [eqn: a_{1} = 2a_{2} - 3 = {4} over {3} a_{3} - 3]이다.

[eqn: {4} over {3} a_{3} - 3 le a_{3}]에서 [eqn: a_{3} le 9]이므로, 가능한 값은 [eqn: a_{3} = 9]뿐이다.

[eqn: a_{3} = 9]이면 [eqn: a_{2} = 6]이고, [eqn: a_{1} = 9](홀수) 또는 [eqn: a_{1} = 4](짝수)이다.

[eqn: a_{4} = {9 + 3} over {2} = 6]이고 [eqn: a_{5} = {3} over {2} TIMES 6 = 9]이므로 [eqn: a_{4} + a_{5} = 15 le 24]를 만족한다.

따라서 [eqn: a_{1} in LEFT { 4, 9 RIGHT }]이다.

경우 3) [eqn: a_{3} > 9]인 경우

[eqn: a_{1}]은 짝수이어야 하므로 [eqn: a_{1} = {2} over {3} a_{2} = {4} over {9} a_{3}]이다.

[eqn: a_{1}]이 자연수이므로 [eqn: a_{3}]은 [eqn: 9]의 배수인 홀수이다.

[eqn: a_{3} = 27]이면 [eqn: a_{2} = 18], [eqn: a_{1} = 12]이다.

[eqn: a_{4} = {27 + 3} over {2} = 15]이고 [eqn: a_{5} = {15 + 3} over {2} = 9]이므로 [eqn: a_{4} + a_{5} = 24 le 24]를 만족한다.

따라서 [eqn: a_{1} = 12]이다.

[eqn: a_{3} = 45]이면 [eqn: a_{2} = 30], [eqn: a_{1} = 20]이다.

[eqn: a_{4} = {45 + 3} over {2} = 24]이고 [eqn: a_{5} = {3} over {2} TIMES 24 = 36]이므로 [eqn: a_{4} + a_{5} = 60 > 24]가 되어 모순이다.

[eqn: a_{3} ge 45]이면 항상 [eqn: a_{4} + a_{5} > 24]이므로 더 이상 해가 없다.

모든 가능한 [eqn: a_{1}]의 값은 [eqn: 1, 2, 3, 4, 9, 12]이다.

모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합은 [eqn: 1 + 2 + 3 + 4 + 9 + 12 = 31]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 31]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 43]

④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 55]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: {sqrt {21}} over {3}]인 원 [eqn: C_{1}]에 내접하고 [eqn: rmoverline {AB} = 2, overline {AC} = sqrt {7}]인 사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 선분 [eqn: rmAC]가 삼각형 [eqn: rmBCD]에 내접하는 원 [eqn: C_{2}]의 넓이를 이등분할 때, 원 [eqn: C_{2}]의 반지름의 길이는? (단, [eqn: rmoverline {BC} > overline {CD}])

①

선분 [eqn: rmAC]가 삼각형 [eqn: rmBCD]에 내접하는 원 [eqn: C_{2}]의 넓이를 이등분하므로 선분 [eqn: rmAC]는 원 [eqn: C_{2}]의 중심을 지난다.

원 [eqn: C_{2}]의 중심은 삼각형 [eqn: rmBCD]의 내심이므로 선분 [eqn: rmAC]는 [eqn: rmangle BCD]의 이등분선이다.

즉, [eqn: rmangle BCA = angle ACD]이므로 호 [eqn: rmAB]와 호 [eqn: rmAD]의 길이가 같고, [eqn: rmoverline{AB} = overline{AD} = 2]이다.

[eqn: rmangle BCA = angle ACD = theta]라 하면 삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: rm{overline{AB}} over {sin theta} = 2 times {sqrt{21}} over {3}]

[eqn: sin theta = {2} over {2 times {sqrt{21}} over {3}} = {3} over {sqrt{21}} = {sqrt{21}} over {7}]

[eqn: cos theta = sqrt{1 - sin^{2} theta} = sqrt{1 - {21} over {49}} = {2 sqrt{7}} over {7}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{AB}^{2} = overline{AC}^{2} + overline{BC}^{2} - 2 times overline{AC} times overline{BC} times cos theta]

[eqn: rm4 = 7 + overline{BC}^{2} - 2 times sqrt{7} times overline{BC} times {2 sqrt{7}} over {7}]

[eqn: rmoverline{BC}^{2} - 4 overline{BC} + 3 = 0]

[eqn: rm(overline{BC} - 1)(overline{BC} - 3) = 0]

∴ [eqn: rmoverline{BC} = 1] 또는 [eqn: rmoverline{BC} = 3]

마찬가지로 삼각형 ACD에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{AD}} ^{2} = {bar{AC}} ^{2} + {bar{CD}} ^{2} -2 TIMES {bar{AC}} TIMES {bar{CD}} TIMES cos theta]

[eqn: rm 4=7+ {bar{CD}} ^{2} -2 TIMES sqrt {7} TIMES {bar{CD}} TIMES {2 sqrt {7}} over {7}]

[eqn: rm {bar{CD}} ^{2} -4 {bar{CD}} +3=0], [eqn: rm(overline{CD} - 1)(overline{CD} - 3) = 0]

∴ [eqn: rmoverline{CD} = 1] 또는 [eqn: rmoverline{CD} = 3]

[eqn: rmoverline{BC} > overline{CD}]이므로 [eqn: rmoverline{BC} = 3], [eqn: rmoverline{CD} = 1]이다.

사각형 [eqn: rmABCD]가 원 [eqn: C_{1}]에 내접하므로 [eqn: rmangle BAD + angle BCD = 180^{circ}]이다.

삼각형 [eqn: rmABD]와 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{BD}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{AD}} ^{2} -2 TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{AD}} TIMES cos( ANGLE rmBAD)]

[eqn: rm =8-8cos(180 ^{CIRC } - ANGLE rmBCD)=8+8cos( ANGLE rmBCD)] ……①

[eqn: rm {bar{BD}} ^{2} = {bar{BC}} ^{2} + {bar{CD}} ^{2} -2 TIMES {bar{BC}} TIMES {bar{CD}} TIMES cos( ANGLE rmBCD)]

[eqn: rm =10-6cos( ANGLE rmBCD)] ……②

①, ②에서 [eqn: rm 8+8cos( ANGLE rmBCD)=10-6cos( ANGLE rmBCD)]

[eqn: rm 14cos( ANGLE rmBCD)=2]

∴ [eqn: rmcos(angle BCD) = {1} over {7}]

[eqn: rm sin( ANGLE BCD)= sqrt {1-cos ^{2} ( ANGLE rmBCD)} = sqrt {1- {1} over {49}} = {4 sqrt {3}} over {7}]

②에 의해 [eqn: rm {bar{BD}} ^{2} =10-6 TIMES {1} over {7} = {64} over {7}]이므로 [eqn: rmoverline{BD} = {8 sqrt{7}} over {7}]이다.

삼각형 BCD의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: rm S= {1} over {2} TIMES {bar{BC}} TIMES {bar{CD}} TIMES sin( ANGLE rmBCD)= {1} over {2} TIMES 3 TIMES 1 TIMES {4 sqrt {3}} over {7} = {6 sqrt {3}} over {7}]

원 [eqn: C_{2}]의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: rm S= {1} over {2} it r(rm {bar{BC}} + {bar{CD}} + {bar{BD}} )]이므로

[eqn: {6 sqrt{3}} over {7} = {1} over {2} r left ( 3 + 1 + {8 sqrt{7}} over {7} right ) = r left ( {14 + 4 sqrt{7}} over {7} right )]

[eqn: r= {6 sqrt {3}} over {7} TIMES {7} over {14+4 sqrt {7}} = {21 sqrt {3} -6 sqrt {21}} over {21} = sqrt {3} - {2} over {7} sqrt {21}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: sqrt {3} - {2} over {7} sqrt {21}]	② [eqn: sqrt {3} - {5} over {21} sqrt {21}]	③ [eqn: sqrt {3} - {4} over {21} sqrt {21}]

④ [eqn: 2 sqrt {3} - {5} over {9} sqrt {21}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3} - {4} over {9} sqrt {21}]

방정식 [eqn: 25^{x} = LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^{x - 9}]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

방정식의 밑을 [eqn: 5]로 통일하면 다음과 같다.

[eqn: 25^{x} = ( 5^{2} )^{x} = 5^{2x}], [eqn: LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^{x - 9} = ( 5^{-1} )^{x - 9} = 5^{-x + 9}]

주어진 방정식은 다음과 같이 정리된다.

[eqn: 5^{2x} = 5^{-x + 9}]

밑이 같으므로 지수가 같아야 한다.

[eqn: 2x = -x + 9], [eqn: 3x = 9], [eqn: x = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

두 수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b_{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: sum_{k = 1}^{10} LEFT ( 2 a_{k} - b_{k} RIGHT ) = 80], [eqn: sum_{k = 1}^{10} b_{k} = 30]
일 때, [eqn: sum_{k = 1}^{10} a_{k}]의 값을 구하시오.

[eqn: 55]

시그마의 성질에 의하여

[eqn: sum_{k = 1}^{10} LEFT ( 2 a_{k} - b_{k} RIGHT ) = 2 sum_{k = 1}^{10} a_{k} - sum_{k = 1}^{10} b_{k}], [eqn: 2 sum_{k = 1}^{10} a_{k} - 30 = 80]

[eqn: 2 sum_{k = 1}^{10} a_{k} = 110], [eqn: sum_{k = 1}^{10} a_{k} = 55]

따라서 정답은 [eqn: 55]이다.

[eqn: log_{3} 25 TIMES LEFT ( log_{5} 9 + log_{25} 3 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

[eqn: log_{3} 25 = log_{3} 5^{2} = 2 log_{3} 5], [eqn: log_{5} 9 = log_{5} 3^{2} = 2 log_{5} 3], [eqn: log _{25} 3=log _{5 ^{2}} 3= {1} over {2} `log _{5} 3]

주어진 식에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

[eqn: log_{3} 25 TIMES LEFT ( log_{5} 9 + log_{25} 3 RIGHT )][eqn: = 2 log_{3} 5 TIMES LEFT ( 2 log_{5} 3 + {1 over 2} log_{5} 3 RIGHT )]

[eqn: = 2 log_{3} 5 TIMES {5 over 2} log_{5} 3][eqn: = 5 TIMES log_{3} 5 TIMES log_{5} 3]

이때 [eqn: log_{3} 5 TIMES log_{5} 3 = 1]이므로

[eqn: = 5 TIMES 1 = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = 8, overline {BC} = 12]이고 [eqn: rmangle B > { pi } over {2}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 12 sqrt {15}]일 때, 선분 [eqn: rmAC]의 길이를 구하시오.

[eqn: 16]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 12 sqrt {15}]이므로

[eqn: rm{1} over {2} TIMES overline {AB} TIMES overline {BC} TIMES sin B = 12 sqrt {15}]에서 [eqn: sin B = {sqrt {15}} over {4}]

[eqn: angle B > { pi } over {2}]이므로 [eqn: cos B < 0]

[eqn: cos B = - sqrt {1 - sin^{2} B} = - sqrt {1 - {15} over {16}} = - {1} over {4}]

코사인법칙에 의하여

[eqn: rm {bar{AC}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{BC}} ^{2} -2 TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{BC}} TIMES cosB]

[eqn: rm {bar{AC}} ^{2} =8 ^{2} +12 ^{2} -2 TIMES 8 TIMES 12 TIMES LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) =256]

[eqn: rmoverline {AC} > 0]이므로 [eqn: rmoverline {AC} = 16]

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

첫째항이 양수인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.
[eqn: a_{2} = - 54], [eqn: 6 S_{1} + S_{2} + S_{4} = 0]
일 때, [eqn: a_{5}]의 값을 구하시오.

[eqn: 432]

등비수열의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하자.

[eqn: a_{2} = -54]에서 [eqn: ar = -54]

[eqn: 6S_{1} + S_{2} + S_{4} = 0]에 [eqn: S_{n}]을 대입하면

[eqn: 6a + (a + ar) + (a + ar + ar^{2} + ar^{3}) = 0]

[eqn: a(r^{3} + r^{2} + 2r + 8) = 0]

[eqn: a > 0]이므로 양변을 [eqn: a]로 나누면

[eqn: r^{3} + r^{2} + 2r + 8 = 0], [eqn: (r + 2)(r^{2} - r + 4) = 0]

[eqn: r^{2} - r + 4 = 0]은 실근을 갖지 않으므로 실수 [eqn: r]은 [eqn: r = -2]

[eqn: ar = -54]에 대입하면 [eqn: a = 27]

[eqn: a_{5} = ar^{4} = 27 TIMES (-2)^{4} = 432]

따라서 정답은 [eqn: 432]이다.

두 자연수 [eqn: a , b]에 대하여 [eqn: 0 le x le 8]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f(x) = a sin { pi } over {4} x + b]
이다. 집합 [eqn: LEFT { x|f(x)=n,n은``자연수 RIGHT]의 모든 원소의 합이 [eqn: 22]일 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

함수 [eqn: f(x) = a sin left ( {pi} over {4} x right ) + b]의 주기는 [eqn: {2pi} over { {pi} over {4} } = 8]이다.

[eqn: 0 leq x leq 8]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: x = 2]일 때 [eqn: a+b]이고, 최솟값은 [eqn: x = 6]일 때 [eqn: -a+b]이다.

또한 [eqn: f(0) = b], [eqn: f(4) = b], [eqn: f(8) = b]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: f(x) = n]의 해는 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y = n]의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

(ⅰ) [eqn: n = a+b]일 때, 교점은 [eqn: x = 2] 하나이므로 해의 합은 [eqn: 2]이다.

(ⅱ) [eqn: b < n < a+b]일 때, 교점은 [eqn: 2]개이고 [eqn: x = 2]에 대하여 대칭이므로 해의 합은 [eqn: 2 times 2 = 4]이다.

이때 만족하는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: (a+b) - b - 1 = a - 1]개이므로 모든 해의 합은 [eqn: 4(a-1)]이다.

(ⅲ) [eqn: n = b]일 때, 교점은 [eqn: x = 0], [eqn: x = 4], [eqn: x = 8]이므로 해의 합은 [eqn: 0 + 4 + 8 = 12]이다.

(ⅳ) [eqn: -a+b < n < b]일 때, 교점은 [eqn: 2]개이고 [eqn: x = 6]에 대하여 대칭이므로 해의 합은 [eqn: 2 times 6 = 12]이다.

(ⅴ) [eqn: n = -a+b]일 때, 교점은 [eqn: x = 6] 하나이므로 해의 합은 [eqn: 6]이다.

만약 [eqn: -a+b > 0] 즉, [eqn: a < b]라 하면

[eqn: -a+b < n < b]인 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b - (-a+b) - 1 = a - 1]개이므로 이 구간에서 모든 해의 합은 [eqn: 12(a-1)]이다.

[eqn: n = -a+b]일 때 해의 합은 [eqn: 6]이므로 전체 해의 합은 [eqn: 2 + 4(a-1) + 12 + 12(a-1) + 6 = 16a + 4]이다.

[eqn: 16a + 4 = 22]에서 [eqn: 16a = 18]이므로 조건을 만족하는 자연수 [eqn: a]가 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: -a+b leq 0] 즉, [eqn: a geq b]이다.

이때 [eqn: f(x) = n]을 만족하는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 1 leq n leq a+b]의 범위에 존재하므로

[eqn: 1 leq n < b]인 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: b - 1]개이므로 이 구간에서 모든 해의 합은 [eqn: 12(b-1)]이다.

전체 해의 합은 [eqn: 2 + 4(a-1) + 12 + 12(b-1) = 4a + 12b - 2]이다.

[eqn: 4a + 12b - 2 = 22]에서 [eqn: 4a + 12b = 24]이고

즉, [eqn: a + 3b = 6]이다.

[eqn: a], [eqn: b]는 자연수이므로 이를 만족하는 값은 [eqn: a = 3], [eqn: b = 1]이다.

따라서 [eqn: a^{2} + b^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10]이다.

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.

모든 항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b_{n} RIGHT }]을
[eqn: b_{n} = a_{3 n - 2} + a_{3 n - 1} + a_{3 n}]
이라 할 때, 두 수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b_{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{3 n - 2} + a_{3 n} = 2 a_{3 n - 1}]이다.

(나) 수열 [eqn: LEFT { b_{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이다.

[eqn: sum_{k = 1}^{14} a_{k} = 500]일 때, [eqn: a_{13}]의 값을 구하시오.

[eqn: 98]

조건 (가)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{3n-2} + a_{3n} = 2a_{3n-1}]이므로

[eqn: b_{n} = a_{3n-2} + a_{3n-1} + a_{3n} = 3a_{3n-1}]

조건 (나)에서 수열 [eqn: left { b_{n} right }]은 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이므로

[eqn: b_{n} = b_{1} times 3^{n-1} = 3a_{2} times 3^{n-1} = a_{2} times 3^{n}]

[eqn: sum_{k=1}^{14} a_{k} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + a_{13} + a_{14} = 500] ……①

[eqn: b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} = {3a_{2}(3^{4}-1)} over {3-1} = 120a_{2}]

[eqn: n=5]일 때 [eqn: b_{5} = 3a_{14} = a_{2} times 3^{5}]에서 [eqn: a_{14} = 81a_{2}]

①에 대입하면

[eqn: 120a_{2} + a_{13} + 81a_{2} = 500]

[eqn: 201a_{2} + a_{13} = 500]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 모든 항이 자연수이므로 [eqn: a_{2}]와 [eqn: a_{13}]도 자연수이다.

(ⅰ) [eqn: a_{2} = 1]일 때

[eqn: 201 + a_{13} = 500]에서 [eqn: a_{13} = 299]

[eqn: a_{14} = 81]이고 [eqn: a_{13} + a_{15} = 2a_{14}]이므로

[eqn: a_{15} = 2 times 81 - 299 = -137]

이는 [eqn: a_{15}]가 자연수라는 조건에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: a_{2} = 2]일 때

[eqn: 402 + a_{13} = 500]에서 [eqn: a_{13} = 98]

[eqn: a_{14} = 162]이고 [eqn: a_{13} + a_{15} = 2a_{14}]이므로

[eqn: a_{15} = 2 times 162 - 98 = 226]

이는 [eqn: a_{15}]가 자연수라는 조건을 만족한다.

(ⅲ) [eqn: a_{2} geq 3]일 때

[eqn: 201a_{2} geq 603]이므로 [eqn: a_{13} < 0]이 되어 자연수라는 조건에 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: a_{13} = 98]이다.

따라서 정답은 [eqn: 98]이다.

두 함수
[eqn: f(x) = {3} over {a} |x - 3| - b], [eqn: g(x) = sin { pi } over {b} x + 3]
이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 자연수 [eqn: a, b]의 순서쌍 [eqn: (a, b)]에 대하여 [eqn: 2 a + b]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M TIMES m]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: y = f(g(x))]의 그래프는 직선 [eqn: x = 3]에 대하여 대칭이다.

(나) [eqn: 0 le x le 6]일 때, 함수 [eqn: y = g(f(x))]의 그래프가 직선 [eqn: y = 3]과 만나는 점의 개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: 133]

조건 (가)에서 함수 [eqn: y=f(g(x))]의 그래프가 직선 [eqn: x=3]에 대하여 대칭이다.

[eqn: f(g(x)) = {3} over {a} left | sin {pi} over {b} x right | - b]이므로, 함수 [eqn: h(x) = left | sin {pi} over {b} x right |]의 그래프가 직선 [eqn: x=3]에 대하여 대칭이어야 한다.

함수 [eqn: y = sin {pi} over {b} x]의 주기는 [eqn: {2pi} over { {pi} over {b} } = 2b]이므로, 함수 [eqn: h(x) = left | sin {pi} over {b} x right |]의 주기는 [eqn: b]이다.

함수 [eqn: h(x)]의 그래프는 [eqn: x = {k} over {2} b] ([eqn: k]는 정수)인 직선에 대하여 대칭이므로, [eqn: 3 = {k} over {2} b]를 만족하는 정수 [eqn: k]가 존재해야 한다.

즉, [eqn: kb = 6]이고 [eqn: b]는 자연수이므로 [eqn: b]는 [eqn: 6]의 양의 약수인 [eqn: 1, 2, 3, 6]이다.

조건 (나)에서 [eqn: g(f(x)) = 3]이므로

[eqn: sin left ( {pi} over {b} f(x) right ) + 3 = 3]에서 [eqn: sin left ( {pi} over {b} f(x) right ) = 0]이다.

[eqn: {pi} over {b} f(x) = n pi] ([eqn: n]은 정수) ∴ [eqn: f(x) = nb] ……①

[eqn: 0 leq x leq 6]에서 함수 [eqn: f(x) = {3} over {a} left | x-3 right | - b]의 그래프는 꼭짓점이 [eqn: (3, -b)]이고, [eqn: x=0]과 [eqn: x=6]에서 최댓값 [eqn: f(0)=f(6)={9} over {a} - b]를 갖는다.

①을 만족하는 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이 되려면 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=nb]의 교점이 [eqn: 3]개여야 한다.

[eqn: n=-1]일 때, 직선 [eqn: y=-b]는 꼭짓점 [eqn: (3, -b)]를 지나므로 교점이 [eqn: 1]개이다.

교점이 추가로 [eqn: 2]개 더 존재하려면 [eqn: n=0]일 때 직선 [eqn: y=0]과 서로 다른 두 점에서 만나고, [eqn: n geq 1]일 때는 만나지 않아야 한다.

따라서 [eqn: 0 leq {9} over {a} - b < b]가 성립해야 한다.

[eqn: b leq {9} over {a} < 2b]에서 [eqn: a, b]가 자연수이므로 [eqn: {9} over {2b} < a leq {9} over {b}]이다.

(ⅰ) [eqn: b=1]일 때, [eqn: {9} over {2} < a leq 9]이므로 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 5, 6, 7, 8, 9]이다.

이때 [eqn: 2a+b]의 값은 각각 [eqn: 11, 13, 15, 17, 19]이다.

(ⅱ) [eqn: b=2]일 때, [eqn: {9} over {4} < a leq {9} over {2}]이므로 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 3, 4]이다.

이때 [eqn: 2a+b]의 값은 각각 [eqn: 8, 10]이다.

(ⅲ) [eqn: b=3]일 때, [eqn: {3} over {2} < a leq 3]이므로 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 2, 3]이다.

이때 [eqn: 2a+b]의 값은 각각 [eqn: 7, 9]이다.

(ⅳ) [eqn: b=6]일 때, [eqn: {3} over {4} < a leq {3} over {2}]이므로 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1]이다.

이때 [eqn: 2a+b]의 값은 [eqn: 8]이다.

(ⅰ)~(ⅳ)에서 [eqn: 2a+b]의 최댓값 [eqn: M = 19], 최솟값 [eqn: m = 7]이다.

∴ [eqn: M times m = 19 times 7 = 133]

따라서 정답은 [eqn: 133]이다.

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f ( x )]와 함수 [eqn: g ( x ) = {1} over {3} x + a]에 대하여 함수
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{g LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )#g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) <g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )}}]
가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: (가)][eqn: lim _{x -> alpha -} h ( x ) != lim _{x -> alpha +} h ( x )]를 만족시키는 실수 [eqn: alpha]의 값은 [eqn: 2]뿐이다.

[eqn: (나)]모든 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: lim _{x -> k} | h ( x ) - 1 |]의 값이 존재한다.

[eqn: h ( 0 ) = {7} over {3}]일 때, [eqn: h ( 5 )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 25]

조건 (가)에서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x = 2]에서만 극한값이 존재하지 않으므로 [eqn: x = 2]에서 불연속이다.

[eqn: f(x) = g(x)]인 [eqn: x]의 값을 [eqn: c]라 하면

[eqn: lim_{x -> c} (g(x) + f(x)) = 2g(c)], [eqn: lim_{x -> c} (g(x) - f(x)) = 0]이므로

[eqn: h(x)]가 [eqn: x = c]에서 연속이려면 [eqn: 2g(c) = 0], 즉 [eqn: g(c) = 0]이어야 한다.

이차방정식 [eqn: f(x) - g(x) = 0]의 실근이 없거나 중근을 가지면 [eqn: h(x)]는 모든 실수에서 연속이 되어 조건 (가)에 모순이다.

따라서 [eqn: f(x) - g(x) = 0]은 서로 다른 두 실근을 가져야 하며, 불연속점은 [eqn: x = 2] 하나뿐이므로 두 근은 [eqn: x = 2]와 [eqn: x = beta] ([eqn: beta neq 2])이다.

이때 [eqn: x = beta]에서는 [eqn: h(x)]가 연속이어야 하므로 [eqn: g(beta) = 0]이다.

[eqn: x = 2]에서 [eqn: h(x)]의 좌극한과 우극한은 각각 [eqn: 0], [eqn: 2g(2)] 또는 [eqn: 2g(2)], [eqn: 0]이다.

조건 (나)에서 [eqn: lim_{x -> 2} left | h(x) - 1 right |]의 값이 존재하므로

[eqn: left | 2g(2) - 1 right | = left | 0 - 1 right | = 1]

[eqn: 2g(2) - 1 = 1] 또는 [eqn: 2g(2) - 1 = -1]

[eqn: g(2) = 1] 또는 [eqn: g(2) = 0]

[eqn: x = 2]에서 불연속이므로 [eqn: g(2) neq 0] ∴ [eqn: g(2) = 1]

[eqn: g(x) = {1} over {3}x + a]이므로 [eqn: g(2) = {2} over {3} + a = 1]에서 [eqn: a = {1} over {3}]

[eqn: g(x) = {1} over {3}x + {1} over {3}]이고 [eqn: g(beta) = 0]이므로 [eqn: beta = -1]

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: p] ([eqn: p > 0])라 하면

[eqn: f(x) - g(x) = p(x - 2)(x + 1)]

[eqn: x = 0]일 때 [eqn: f(0) - g(0) = -2p < 0]이므로 [eqn: f(0) < g(0)]

[eqn: h(0) = g(0) - f(0) = - (f(0) - g(0)) = 2p]

[eqn: h(0) = {7} over {3}]이므로 [eqn: 2p = {7} over {3}]에서 [eqn: p = {7} over {6}]

[eqn: f(x) - g(x) = {7} over {6}(x - 2)(x + 1)]

[eqn: x = 5]일 때 [eqn: f(5) - g(5) = {7} over {6} times 3 times 6 = 21 > 0]이므로 [eqn: f(5) > g(5)]

∴ [eqn: h(5) = g(5) + f(5) = 2g(5) + (f(5) - g(5))]

[eqn: g(5) = {5} over {3} + {1} over {3} = 2]이므로

[eqn: h(5) = 2 times 2 + 21 = 25]

따라서 정답은 [eqn: 25]이다.