수학ETF	2025_고2_10월	기출문제
	1~30

[eqn: LEFT ( 3^{sqrt {2} - 1} RIGHT )^{sqrt {2} + 1}]의 값은?

③

지수법칙에 의하여

[eqn: (3^{sqrt{2}-1})^{sqrt{2}+1} = 3^{(sqrt{2}-1)(sqrt{2}+1)}][eqn: = 3^{(sqrt{2})^{2}-1^{2}}][eqn: = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 9]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {{f(1 + h) - f(1)} over {3 h}} = 2]일 때, [eqn: f prime (1)]의 값은?

①

미분계수의 정의에 의해

[eqn: lim_{h->0} {f(1+h)-f(1)} over {3h} = {1} over {3} lim_{h->0} {f(1+h)-f(1)} over {h} = {1} over {3} f'(1)]

주어진 조건에서 [eqn: {1} over {3} f'(1) = 2]이므로 [eqn: f'(1) = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

세 수 [eqn: a, 4, b]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a TIMES b]의 값은?

④

세 수 [eqn: a], [eqn: 4], [eqn: b]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 [eqn: 4]는 [eqn: a]와 [eqn: b]의 등비중항이다.

등비중항의 성질에 의해 [eqn: 4^{2} = a times b] ∴ [eqn: a times b = 16]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x -> - 1 - } f(x) + lim _{x -> 2 + } f(x)]의 값은?

⑤

주어진 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서

[eqn: x rightarrow -1-]일 때 [eqn: f(x)]는 [eqn: 2]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim_{x rightarrow -1-} f(x) = 2]

[eqn: x rightarrow 2+]일 때 [eqn: f(x)]는 [eqn: 3]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim_{x rightarrow 2+} f(x) = 3]

∴ [eqn: lim_{x rightarrow -1-} f(x) + lim_{x rightarrow 2+} f(x) = 2 + 3 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: pi < theta <{ 3 } over { 2 } pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan theta = { sqrt {5} } over { 2 }]일 때, [eqn: cos theta]의 값은?

①

[eqn: 1 + tan^{2} theta = {1} over {cos^{2} theta}]이므로 [eqn: 1 + left ( {sqrt{5}} over {2} right )^{2} = {1} over {cos^{2} theta}]

[eqn: 1 + {5} over {4} = {9} over {4} = {1} over {cos^{2} theta}], [eqn: cos^{2} theta = {4} over {9}]

이때 [eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]에서 [eqn: theta]는 제[eqn: 3]사분면의 각이므로 [eqn: cos theta < 0]이다. ∴ [eqn: cos theta = - {2} over {3}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT ( x-2a RIGHT ) ^{2}&``` LEFT ( x<a RIGHT )#x ^{2} -3x+6&``` LEFT ( x GEQ a RIGHT )}}]
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=a]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim_{x -> a-} f(x) = lim_{x -> a+} f(x) = f(a)]이어야 한다.

[eqn: lim_{x -> a-} f(x) = lim_{x -> a-} (x-2a)^{2} = (a-2a)^{2} = a^{2}]

[eqn: lim_{x -> a+} f(x) = f(a) = a^{2} - 3a + 6]이므로

[eqn: a^{2} = a^{2} - 3a + 6], [eqn: a = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: sum _{k = 1}^{5} LEFT ( k^2 + 2 k - 4 RIGHT ) - sum _{k = 1}^{5} ( 2 k + 5 )]의 값은?

⑤

[eqn: sum_{k=1}^{5} (k^{2}+2k-4) - sum_{k=1}^{5} (2k+5)][eqn: = sum_{k=1}^{5} left { (k^{2}+2k-4) - (2k+5) right }]

[eqn: = sum_{k=1}^{5} (k^{2}-9)][eqn: = sum_{k=1}^{5} k^{2} - sum_{k=1}^{5} 9][eqn: = 55 - 45 = 10]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: log_{3} a = 2 log_{a} sqrt{3}]을 만족시키는 모든 [eqn: a]의 값의 합은? (단, [eqn: a]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이다.)

①

[eqn: log_{3}a = 2log_{a}sqrt{3}]에서 우변을 정리하면

[eqn: 2log _{a} sqrt {3} =2log _{a} 3 ^{{1} over {2}} =2 TIMES {1} over {2} `log _{a} 3=log _{a} 3]

따라서 주어진 방정식은 [eqn: log_{3}a = log_{a}3]

밑의 변환 공식에 의해 [eqn: log_{a}3 = {1} over {log_{3}a}]이므로

[eqn: log_{3}a = {1} over {log_{3}a}], [eqn: (log_{3}a)^{2} = 1]

[eqn: log_{3}a = 1] 또는 [eqn: log_{3}a = -1]

[eqn: log_{3}a = 1]에서 [eqn: a = 3]

[eqn: log_{3}a = -1]에서 [eqn: a = 3^{-1} = {1} over {3}]

[eqn: a]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이므로 구하는 모든 [eqn: a]의 값은 [eqn: 3], [eqn: {1} over {3}]이다.

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 3 + {1} over {3} = {10} over {3}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {10} over {3}]	② [eqn: {11} over {3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {13} over {3}]	⑤ [eqn: {14} over {3}]

[eqn: 3 tan ( pi + theta ) = 2 sin LEFT ( { pi } over {2} + theta RIGHT )]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

③

[eqn: tan(pi + theta) = tan theta], [eqn: sin left ( {pi} over {2} + theta right ) = cos theta]이므로

주어진 식은 [eqn: 3 tan theta = 2 cos theta]이다.

[eqn: tan theta = {sin theta} over {cos theta}]이므로 [eqn: 3 {sin theta} over {cos theta} = 2 cos theta]

양변에 [eqn: cos theta]를 곱하면 [eqn: 3 sin theta = 2 cos^{2} theta]

[eqn: cos^{2} theta = 1 - sin^{2} theta]이므로 [eqn: 3 sin theta = 2 (1 - sin^{2} theta)]

[eqn: 2 sin^{2} theta + 3 sin theta - 2 = 0], [eqn: (2 sin theta - 1)(sin theta + 2) = 0]

이때 [eqn: -1 leq sin theta leq 1]이므로 [eqn: sin theta + 2 neq 0]이다.

∴ [eqn: sin theta = {1} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> inf} (x - 1) f(x) = 12]일 때, [eqn: lim _{x -> inf} {{LEFT ( x^2 - 1 RIGHT ) f(x)} over {3x + 1}}]의 값은?

④

주어진 식을 변형하면

[eqn: lim_{x rightarrow infty} {(x^{2}-1)f(x)} over {3x+1} = lim_{x rightarrow infty} {(x-1)(x+1)f(x)} over {3x+1}]

[eqn: = lim_{x rightarrow infty} left { (x-1)f(x) times {x+1} over {3x+1} right }]

이때 [eqn: lim_{x rightarrow infty} (x-1)f(x) = 12]이고, [eqn: lim_{x rightarrow infty} {x+1} over {3x+1} = {1} over {3}]이므로

[eqn: lim_{x rightarrow infty} left { (x-1)f(x) times {x+1} over {3x+1} right } = 12 times {1} over {3} = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

부등식
[eqn: log_{2} LEFT ( x^{2} - x RIGHT ) < 1 - log_{{1} over {2}} x]
를 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: alpha < x < beta]일 때, [eqn: alpha + beta]의 값은?

②

로그의 진수 조건에서

[eqn: x^{2}-x > 0]이고 [eqn: x > 0]이므로

[eqn: x(x-1) > 0]에서 [eqn: x < 0] 또는 [eqn: x > 1]

[eqn: x > 0]과의 공통 범위를 구하면

[eqn: x > 1] ……①

주어진 부등식에서 밑을 [eqn: 2]로 통일하면

[eqn: log_{2}(x^{2}-x) < 1 - log_{2^{-1}} x], [eqn: log_{2}(x^{2}-x) < 1 + log_{2} x]

[eqn: log_{2}(x^{2}-x) < log_{2} 2 + log_{2} x], [eqn: log_{2}(x^{2}-x) < log_{2} 2x]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: x^{2}-x < 2x], [eqn: x^{2}-3x < 0], [eqn: x(x-3) < 0]

[eqn: 0 < x < 3] ……②

①, ②에서 공통 범위를 구하면

[eqn: 1 < x < 3]

따라서 [eqn: alpha = 1], [eqn: beta = 3]이므로

[eqn: alpha + beta = 1 + 3 = 4]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

실수 [eqn: t ( t > 0 )]에 대하여 곡선 [eqn: y = x^{2} - 3 x]와 직선 [eqn: y = t x]가 만나는 점 중 원점 [eqn: rmO]가 아닌 점을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: lim _{t -> 0+} {} {{bar{rmOP}} - {bar{rmOH}}} over {t ^{2}}]의 값은?

③

곡선 [eqn: y=x^{2}-3x]와 직선 [eqn: y=tx]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x^{2}-3x=tx]에서 [eqn: x^{2}-(t+3)x=0]

[eqn: x(x-(t+3))=0]

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=t+3]

점 [eqn: rmP]는 원점이 아니므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (t+3, t(t+3))]이다.

점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발 [eqn: rmH]의 좌표는 [eqn: (t+3, 0)]이다.

[eqn: t>0]이므로 [eqn: t+3>0]이다.

[eqn: rm {bar{OH}} =itt+3]

[eqn: {bar{rm OP it}} = sqrt {(t+3) ^{2} +t ^{2} (t+3) ^{2}} =(t+3) sqrt {1+t ^{2}}]

따라서 구하는 극한값은

[eqn: lim _{t -> 0+} {} {{bar{rmOP}} - {bar{rmOH}}} over {t ^{2}}][eqn: = lim_{t rightarrow 0+} {(t+3)sqrt{1+t^{2}} - (t+3)} over {t^{2}}]

[eqn: = lim_{t rightarrow 0+} {(t+3)(sqrt{1+t^{2}} - 1)} over {t^{2}}]

[eqn: = lim_{t rightarrow 0+} {(t+3)(sqrt{1+t^{2}} - 1)(sqrt{1+t^{2}} + 1)} over {t^{2}(sqrt{1+t^{2}} + 1)}]

[eqn: = lim_{t rightarrow 0+} {(t+3)(1+t^{2}-1)} over {t^{2}(sqrt{1+t^{2}} + 1)}][eqn: = lim_{t rightarrow 0+} {(t+3)t^{2}} over {t^{2}(sqrt{1+t^{2}} + 1)}]

[eqn: = lim_{t rightarrow 0+} {t+3} over {sqrt{1+t^{2}} + 1}][eqn: = {3} over {1+1} = {3} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: y = tan a x]의 그래프와 직선 [eqn: y = b]가 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 모든 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: x_{n}]이라 하자. [eqn: x_{4} - x_{2} = 6 pi]이고 [eqn: x_{1} = pi]일 때, [eqn: a TIMES b]의 값은?

②

함수 [eqn: y = tan ax]의 주기는 [eqn: {pi} over {a}]이다.

함수 [eqn: y = tan ax]의 그래프와 직선 [eqn: y = b]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표 [eqn: x_{n}]은

[eqn: x_{n} = x_{1} + (n-1) {pi} over {a}]이다.

[eqn: x_{4} - x_{2} = 6 pi]이므로 [eqn: left ( x_{1} + {3 pi} over {a} right ) - left ( x_{1} + {pi} over {a} right ) = 6 pi]

[eqn: {2 pi} over {a} = 6 pi], [eqn: a = {1} over {3}]

[eqn: x_{1} = pi]이고 [eqn: tan a x_{1} = b]이므로

[eqn: b = tan left ( {1} over {3} times pi right ) = tan {pi} over {3} = sqrt{3}]

∴ [eqn: a times b = {1} over {3} times sqrt{3} = {sqrt{3}} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {sqrt{3}} over {9}]	② [eqn: {sqrt{3}} over {3}]	③ [eqn: sqrt{3}]

④ [eqn: 3 sqrt{3}]	⑤ [eqn: 9 sqrt{3}]

수열 [eqn: { LEFT { a_{n} RIGHT } }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: S_{n} = {1} over {n}]일 때, [eqn: a_{1} + sum_{k = 2}^{7} {1} over {LEFT ( k - 1 RIGHT ) TIMES a_{k}}}]의 값은?

⑤

[eqn: S_{n} = {1} over {n}]에서 [eqn: a_{1} = S_{1} = 1]

[eqn: n geq 2]일 때,

[eqn: a_{n} = S_{n} - S_{n-1} = {1} over {n} - {1} over {n-1} = {n-1-n} over {n(n-1)} = - {1} over {n(n-1)}]

따라서 [eqn: k geq 2]일 때,

[eqn: (k-1) times a_{k} = (k-1) times left ( - {1} over {k(k-1)} right ) = - {1} over {k}]이므로

[eqn: {1} over {(k-1) times a_{k}} = -k]

∴ [eqn: a_{1} + sum_{k=2}^{7} {1} over {(k-1) times a_{k}} = 1 + sum_{k=2}^{7} (-k)]

[eqn: = 1 - (2+3+4+5+6+7)][eqn: = 1 - 27 = -26]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -34]	② [eqn: -32]	③ [eqn: -30]

④ [eqn: -28]	⑤ [eqn: -26]

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n - 12]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f ( n )]이라 하자. [eqn: f ( n ) + f ( 2 n ) = 1]을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

③

[eqn: f(n)]은 [eqn: n-12]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수이고, [eqn: f(2n)]은 [eqn: 2n-12]의 [eqn: 2n]제곱근 중 실수인 것의 개수이다.

[eqn: 2n]은 항상 짝수이므로 [eqn: f(2n)]의 값은 [eqn: 2n-12]의 부호에 따라 결정된다.

(ⅰ) [eqn: n < 6]일 때

[eqn: 2n-12 < 0]이므로 [eqn: f(2n) = 0]이다.

[eqn: f(n)+f(2n)=1]에서 [eqn: f(n)=1]이어야 한다.

[eqn: n-12 < 0]이므로 [eqn: f(n)=1]이 되려면 [eqn: n]은 홀수이어야 한다.

[eqn: 2] 이상 [eqn: 6] 미만의 홀수는 [eqn: n=3], [eqn: n=5]이다.

(ⅱ) [eqn: n = 6]일 때

[eqn: 2n-12 = 0]이므로 [eqn: f(12) = 1]이다.

[eqn: n-12 = -6 < 0]이고 [eqn: n=6]은 짝수이므로 [eqn: f(6) = 0]이다.

[eqn: f(6)+f(12) = 0+1 = 1]이므로 [eqn: n=6]은 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅲ) [eqn: n > 6]일 때

[eqn: 2n-12 > 0]이므로 [eqn: f(2n) = 2]이다.

[eqn: f(n)+f(2n)=1]에서 [eqn: f(n)=-1]이어야 하는데, 개수는 음수가 될 수 없으므로 조건을 만족시키는 [eqn: n]은 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 6]이다.

모든 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 3+5+6=14]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

최고차항의 계수가 1 인 두 이차함수 [eqn: f(x), g(x)]가
[eqn: f(1)=0, lim _{x -> 1} {} {f(x+3) TIMES g(x)} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} =0]
을 만족시킬 때, [eqn: f(5) + g(5)]의 값은?

④

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)=0]이므로

[eqn: f(x) = (x-1)(x-a)]라 하면

[eqn: f(x+3) = (x+2)(x+3-a)]

주어진 극한에서

[eqn: lim_{x -> 1} {f(x+3) times g(x)} over {left { f(x) right }^{2}} = lim_{x -> 1} {(x+2)(x+3-a) times g(x)} over {(x-1)^{2}(x-a)^{2}} = 0]

[eqn: x -> 1]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 수렴하므로 분자도 [eqn: 0]으로 수렴해야 한다.

이때 극한값이 [eqn: 0]이 되려면 분자는 [eqn: (x-1)^{3}]을 인수로 가져야 한다.

그런데 [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로 [eqn: g(x)]가 가질 수 있는 [eqn: (x-1)]의 인수는 최대 [eqn: 2]개이다.

따라서 [eqn: (x+2)(x+3-a)]가 [eqn: (x-1)]을 인수로 가져야 하므로 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 3(4-a) = 0]에서 [eqn: a = 4]

이때 [eqn: f(x) = (x-1)(x-4)]이고 [eqn: f(x+3) = (x+2)(x-1)]이다.

[eqn: lim_{x -> 1} {(x+2)(x-1) times g(x)} over {(x-1)^{2}(x-4)^{2}} = lim_{x -> 1} {(x+2) times g(x)} over {(x-1)(x-4)^{2}} = 0]

위 극한값이 [eqn: 0]이 되려면 [eqn: g(x)]는 [eqn: (x-1)^{2}]을 인수로 가져야 한다.

[eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로 [eqn: g(x) = (x-1)^{2}]

따라서 [eqn: f(5) = 4 times 1 = 4], [eqn: g(5) = 4^{2} = 16]이므로

[eqn: f(5) + g(5) = 4 + 16 = 20]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

첫째항이 자연수이고 공차가 [eqn: - 2]인 등차수열 [eqn: { LEFT { a_{n} RIGHT } }]과 자연수 [eqn: k]가
[eqn: a_{4} TIMES a_{5} le 0 , ~~ LEFT | a_{1} - a_{k} RIGHT | = 4 LEFT | a_{k} RIGHT |]
를 만족시킬 때, [eqn: a_{1} + k]의 값은?

①

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a_{1}]이라 하면 공차가 [eqn: -2]이므로 일반항은

[eqn: a_{n} = a_{1} + (n-1) times (-2) = a_{1} - 2n + 2]

[eqn: a_{4} times a_{5} leq 0]에서

[eqn: (a_{1} - 6)(a_{1} - 8) leq 0]

[eqn: 6 leq a_{1} leq 8]

[eqn: a_{1}]은 자연수이므로 [eqn: a_{1}]은 [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8] 중 하나이다.

조건 [eqn: left | a_{1} - a_{k} right | = 4 left | a_{k} right |]에서

[eqn: a_{1} - a_{k} = a_{1} - left ( a_{1} - 2(k-1) right ) = 2(k-1)]이므로

[eqn: left | 2(k-1) right | = 4 left | a_{k} right |]

[eqn: k]는 자연수이므로 [eqn: k geq 1]이고 [eqn: 2(k-1) geq 0]이다.

따라서 [eqn: 2(k-1) = 4 left | a_{1} - 2k + 2 right |]

즉, [eqn: k-1 = 2 left | a_{1} - 2k + 2 right |] ……①

(ⅰ) [eqn: a_{1} = 6]일 때

①에 대입하면 [eqn: k-1 = 2 left | 8 - 2k right | = 4 left | 4 - k right |]

[eqn: k leq 4]이면 [eqn: k-1 = 16 - 4k]에서 [eqn: 5k = 17]이므로 [eqn: k = {17} over {5}] (자연수가 아님)

[eqn: k > 4]이면 [eqn: k-1 = 4k - 16]에서 [eqn: 3k = 15]이므로 [eqn: k = 5]

(ⅱ) [eqn: a_{1} = 7]일 때

①에 대입하면 [eqn: k-1 = 2 left | 9 - 2k right |]

[eqn: k leq 4]이면 [eqn: k-1 = 18 - 4k]에서 [eqn: 5k = 19]이므로 [eqn: k = {19} over {5}] (자연수가 아님)

[eqn: k geq 5]이면 [eqn: k-1 = 4k - 18]에서 [eqn: 3k = 17]이므로 [eqn: k = {17} over {3}] (자연수가 아님)

(ⅲ) [eqn: a_{1} = 8]일 때

①에 대입하면 [eqn: k-1 = 2 left | 10 - 2k right | = 4 left | 5 - k right |]

[eqn: k leq 5]이면 [eqn: k-1 = 20 - 4k]에서 [eqn: 5k = 21]이므로 [eqn: k = {21} over {5}] (자연수가 아님)

[eqn: k > 5]이면 [eqn: k-1 = 4k - 20]에서 [eqn: 3k = 19]이므로 [eqn: k = {19} over {3}] (자연수가 아님)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: a_{1} = 6], [eqn: k = 5]이다.

∴ [eqn: a_{1} + k = 6 + 5 = 11]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

함수 [eqn: f ( x ) = sin ( x + a )]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: 3 pi]보다 작은 모든 양수 [eqn: a]의 값의 합은?

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,`pi RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f ( x )]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M , m]이라 할 때, [eqn: 2 | M | = | m |]이다.

⑤

[eqn: 0 leq x leq pi]에서 [eqn: a leq x+a leq a+pi]이다.

구간의 길이가 [eqn: pi]이므로 양 끝점의 함숫값은 [eqn: sin(a)]와 [eqn: sin(a+pi) = -sin(a)]이다.

구간 내에 [eqn: sin(x+a) = 1]이 되는 [eqn: x]가 존재하면 최댓값은 [eqn: M = 1]이다.

조건 [eqn: 2 left | M right | = left | m right |]에서 [eqn: left | m right | = 2]가 되어 최솟값은 [eqn: m geq -1]이어야 하므로 모순이다.

따라서 구간 내에 [eqn: sin(x+a) = 1]이 되는 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

구간 내에 [eqn: sin(x+a) = -1]이 되는 [eqn: x]가 존재하면 최솟값은 [eqn: m = -1]이다.

조건 [eqn: 2 left | M right | = left | m right |]에서 [eqn: left | M right | = {1} over {2}]이다.

구간 내에 [eqn: sin(x+a) = 1]이 되는 [eqn: x]가 존재하지 않으므로 최댓값 [eqn: M]은 양 끝점의 함숫값 중 큰 값인 [eqn: left | sin(a) right |]이다.

∴ [eqn: left | sin(a) right | = {1} over {2}]에서 [eqn: sin(a) = +- {1} over {2}]

[eqn: 0 < a < 3pi]에서 [eqn: sin(a) = +- {1} over {2}]를 만족하는 [eqn: a]는

[eqn: a = {pi} over {6}, {5pi} over {6}, {7pi} over {6}, {11pi} over {6}, {13pi} over {6}, {17pi} over {6}]이다.

(ⅰ) [eqn: a = {pi} over {6}]일 때, [eqn: x+a]의 범위는 [eqn: {pi} over {6} leq x+a leq {7pi} over {6}]이므로 [eqn: x+a = {pi} over {2}]에서 [eqn: M = 1]이 되어 모순이다.

(ⅱ) [eqn: a = {5pi} over {6}]일 때, [eqn: x+a]의 범위는 [eqn: {5pi} over {6} leq x+a leq {11pi} over {6}]이므로 [eqn: x+a = {3pi} over {2}]에서 [eqn: m = -1]이고 [eqn: M = {1} over {2}]가 되어 조건을 만족한다.

(ⅲ) [eqn: a = {7pi} over {6}]일 때, [eqn: x+a]의 범위는 [eqn: {7pi} over {6} leq x+a leq {13pi} over {6}]이므로 [eqn: x+a = {3pi} over {2}]에서 [eqn: m = -1]이고 [eqn: M = {1} over {2}]가 되어 조건을 만족한다.

(ⅳ) [eqn: a = {11pi} over {6}]일 때, [eqn: x+a]의 범위는 [eqn: {11pi} over {6} leq x+a leq {17pi} over {6}]이므로 [eqn: x+a = {5pi} over {2}]에서 [eqn: M = 1]이 되어 모순이다.

(ⅴ) [eqn: a = {13pi} over {6}]일 때, [eqn: x+a]의 범위는 [eqn: {13pi} over {6} leq x+a leq {19pi} over {6}]이므로 [eqn: x+a = {5pi} over {2}]에서 [eqn: M = 1]이 되어 모순이다.

(ⅵ) [eqn: a = {17pi} over {6}]일 때, [eqn: x+a]의 범위는 [eqn: {17pi} over {6} leq x+a leq {23pi} over {6}]이므로 [eqn: x+a = {7pi} over {2}]에서 [eqn: m = -1]이고 [eqn: M = {1} over {2}]가 되어 조건을 만족한다.

따라서 조건을 만족하는 모든 양수 [eqn: a]의 값은 [eqn: {5pi} over {6}], [eqn: {7pi} over {6}], [eqn: {17pi} over {6}]이다.

이들의 합은 [eqn: {5pi} over {6} + {7pi} over {6} + {17pi} over {6} = {29} over {6} pi]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {25} over {6} pi]	② [eqn: {13} over {3} pi]	③ [eqn: {9} over {2} pi]

④ [eqn: {14} over {3} pi]	⑤ [eqn: {29} over {6} pi]

그림과 같이 기울기가 [eqn: 1]인 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y = 2^{x}]과 서로 다른 두 점 [eqn: rmA, B]에서 만나고, 곡선 [eqn: y = 2^{x - 1} + 1]과 서로 다른 두 점 [eqn: rmC, D]에서 만난다. 점 [eqn: rmB]가 선분 [eqn: rmAD]를 [eqn: 3 : 1]로 내분할 때, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는? (단, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표보다 크고, 점 [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표보다 크다.)

②

곡선 [eqn: y = 2^{x-1} + 1]은 곡선 [eqn: y = 2^{x}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.

직선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: 1]이므로 곡선 [eqn: y = 2^{x}]과 직선 [eqn: l]의 교점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점은 곡선 [eqn: y = 2^{x-1} + 1]과 직선 [eqn: l]의 교점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]와 일치한다.

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x _{rmA}], [eqn: x _{rmB}], [eqn: x _{rmC}], [eqn: x _{rmD}]라 하면

[eqn: x _{rmA} <x _{rmB}]이고 [eqn: x _{rmC} <x _{rmD}]이므로 점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rmC]로, 점 [eqn: rmB]가 점 [eqn: rmD]로 평행이동된다.

따라서 [eqn: x _{rmD} =x _{rmB} +1]이다.

점 [eqn: rmB]가 선분 [eqn: rmAD]를 [eqn: 3:1]로 내분하므로

[eqn: x _{rmB} = {3 TIMES x _{rmD} +1 TIMES x _{rmA}} over {3+1}]

[eqn: x _{rmB} = {3(x _{rmB} +1)+x _{rmA}} over {4}]

[eqn: 4x _{rmB} =3x _{rmB} +3+x _{rmA}]

[eqn: x _{rmA} =x _{rmB} -3]

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y = 2^{x}] 위의 점이고 직선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: 1]이므로

[eqn: {2 ^{x _{rmB}} -2 ^{x _{rmA}}} over {x _{rmB} -x _{rmA}} =1]

[eqn: x _{rmB} -x _{rmA} =3]이므로

[eqn: 2 ^{x _{rmB}} -2 ^{x _{rmB} -3} =3], [eqn: 2 ^{x _{rmB}} LEFT ( 1- {1} over {8} RIGHT ) =3], [eqn: {7} over {8} TIMES 2 ^{x _{rmB}} =3], [eqn: 2 ^{x _{rmB}} = {24} over {7}]

∴ [eqn: x _{rmB} =log _{2} {24} over {7}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: log` _{2} ` {23} over {7}]	② [eqn: log` _{2} ` {24} over {7}]	③ [eqn: log` _{2} ` {25} over {7}]

④ [eqn: log` _{2} ` {26} over {7}]	⑤ [eqn: log` _{2} ` {27} over {7}]

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_{10}]의 값은?

(가) [eqn: 2]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n} >a _{1}], [eqn: a _{n} = LEFT ( a _{4} +a _{5} -1 RIGHT ) TIMES a _{n-1}]
이다.

(나) [eqn: sum _{n = 1}^{3} a_{n} = {6} over {a_{1} - a_{2}}}]

③

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하면

조건 (가)에서 [eqn: a_{n} = (a_{4} + a_{5} - 1) times a_{n-1}]이므로

공비 [eqn: r = a_{4} + a_{5} - 1]이다.

[eqn: r = ar^{3} + ar^{4} - 1]

[eqn: ar^{3}(1+r) = r+1] ……①

조건 (가)에서 [eqn: n`geq`2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} > a_{1}]이므로

[eqn: a_{2} > a_{1}]에서 [eqn: ar > a], 즉 [eqn: a(r-1) > 0]

[eqn: a_{3} > a_{1}]에서 [eqn: ar^{2} > a], 즉 [eqn: a(r^{2}-1) > 0]

조건 (나)에서 [eqn: sum_{n=1}^{3} a_{n} = {6} over {a_{1} - a_{2}}]이므로

[eqn: a(1+r+r^{2}) = {6} over {a(1-r)}]

[eqn: a^{2}(1-r)(1+r+r^{2}) = 6]

[eqn: a^{2}(1-r^{3}) = 6] ……②

[eqn: a^{2} > 0]이므로 [eqn: 1-r^{3} > 0], 즉 [eqn: r < 1]이다.

[eqn: r < 1]이면 [eqn: r-1 < 0]이므로 [eqn: a(r-1) > 0]에서 [eqn: a < 0]이다.

[eqn: a < 0]이고 [eqn: a(r^{2}-1) > 0]이므로 [eqn: r^{2}-1 < 0], 즉 [eqn: -1 < r < 1]이다.

①에서 [eqn: r \neq -1]이므로 양변을 [eqn: r+1]로 나누면

[eqn: ar^{3} = 1] ……③

[eqn: a < 0]이므로 [eqn: r^{3} < 0], 즉 [eqn: -1 < r < 0]이다.

③에서 [eqn: a = {1} over {r^{3}}]을 ②에 대입하면

[eqn: left ( {1} over {r^{3}} right )^{2} (1-r^{3}) = 6]

[eqn: {1-r^{3}} over {r^{6}} = 6]

[eqn: 6r^{6} + r^{3} - 1 = 0]

[eqn: (2r^{3} + 1)(3r^{3} - 1) = 0]

[eqn: r^{3} < 0]이므로 [eqn: r^{3} = -{1} over {2}]이다.

이때 [eqn: a = {1} over {r^{3}} = -2]이다.

∴ [eqn: a_{10} = ar^{9} = a(r^{3})^{3} = -2 times left ( -{1} over {2} right )^{3} = -2 times left ( -{1} over {8} right ) = {1} over {4}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-2 ^{x+3} +a&``` LEFT ( x<0 RIGHT )#2 ^{-x+6} +a-12&``` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]
이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은?

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x) TIMES f(x - k) = 0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 [eqn: 4]이하의 양수 [eqn: k]가 존재한다.

③

방정식 [eqn: f(x) times f(x-k) = 0]의 실근은 [eqn: f(x) = 0] 또는 [eqn: f(x-k) = 0]을 만족하는 [eqn: x]의 값이다.

[eqn: f(x) = 0]의 실근의 개수를 구해보자.

(ⅰ) [eqn: x < 0]일 때,

[eqn: -2^{x+3} + a = 0]에서 [eqn: 2^{x+3} = a]

[eqn: x < 0]에서 [eqn: 0 < 2^{x+3} < 8]이므로 [eqn: 0 < a < 8]일 때 오직 하나의 실근 [eqn: x = log_{2} a - 3]을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: x geq 0]일 때,

[eqn: 2^{-x+6} + a - 12 = 0]에서 [eqn: 2^{-x+6} = 12 - a]

[eqn: x geq 0]에서 [eqn: 0 < 2^{-x+6} leq 64]이므로 [eqn: 0 < 12 - a leq 64], 즉 [eqn: -52 leq a < 12]일 때 오직 하나의 실근 [eqn: x = 6 - log_{2} (12-a)]를 갖는다.

[eqn: f(x) = 0]의 실근이 [eqn: 1]개 이하이면 [eqn: f(x-k) = 0]의 실근도 [eqn: 1]개 이하이므로 전체 실근의 개수가 [eqn: 3]개가 될 수 없다.

따라서 [eqn: f(x) = 0]은 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 [eqn: 0 < a < 8]이어야 한다.

이때 두 실근을 [eqn: alpha = log_{2} a - 3], [eqn: beta = 6 - log_{2} (12-a)]라 하면 [eqn: alpha < 0 leq beta]이므로 [eqn: alpha < beta]이다.

[eqn: f(x-k) = 0]의 실근은 [eqn: x = alpha + k], [eqn: x = beta + k]이다.

방정식 [eqn: f(x) times f(x-k) = 0]의 서로 다른 실근은 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: alpha + k], [eqn: beta + k]이고, [eqn: k > 0]이므로 [eqn: alpha < alpha + k], [eqn: beta < beta + k], [eqn: alpha < beta]이다.

서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되려면 [eqn: alpha + k = beta]이어야 한다.

[eqn: k = beta - alpha = 6 - log_{2} (12-a) - (log_{2} a - 3) = 9 - log_{2} (a(12-a))]

조건에서 [eqn: 0 < k leq 4]이므로

[eqn: 0 < 9 - log_{2} (a(12-a)) leq 4]

[eqn: 5 leq log_{2} (a(12-a)) < 9]

[eqn: 32 leq a(12-a) < 512]

[eqn: a^{2} - 12a + 32 leq 0]에서 [eqn: (a-4)(a-8) leq 0] ∴ [eqn: 4 leq a leq 8]

[eqn: a^{2} - 12a + 512 > 0]에서 [eqn: (a-6)^{2} + 476 > 0]이므로 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 성립한다.

따라서 [eqn: 4 leq a leq 8]이고, [eqn: 0 < a < 8]이므로 [eqn: 4 leq a < 8]이다.

이를 만족하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이므로 그 합은 [eqn: 4 + 5 + 6 + 7 = 22]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 28]

[eqn: log_{3} 54 - log_{3} 2]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

로그의 성질에 의하여

[eqn: log_{3}54 - log_{3}2 = log_{3}left ( {54} over {2} right )]

[eqn: = log_{3}27][eqn: = log_{3}3^{3}][eqn: = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

중심각의 크기가 [eqn: {2} over {5} pi]이고 호의 길이가 [eqn: 4 pi]인 부채꼴의 넓이는 [eqn: a pi]이다. [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 20]

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 호의 길이가 [eqn: 4 pi], 중심각의 크기가 [eqn: {2} over {5} pi]이므로

[eqn: 4 pi = r times {2} over {5} pi]에서 [eqn: r = 10]

부채꼴의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = {1} over {2} r l]에서 [eqn: S = {1} over {2} times 10 times 4 pi = 20 pi]

이때 부채꼴의 넓이가 [eqn: a pi]이므로 [eqn: a = 20]

따라서 정답은 [eqn: 20]이다.

함수 [eqn: y = log ( x - 2 )]의 그래프의 점근선과 함수 [eqn: y = 2^{x} + 5]의 그래프의 점근선이 만나는 점의 좌표가 [eqn: ( a , b )]일 때, [eqn: a + b]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

함수 [eqn: y=log(x-2)]의 점근선의 방정식은 진수가 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]의 값이므로 [eqn: x-2=0]에서 [eqn: x=2]이다.

함수 [eqn: y=2^{x}+5]의 점근선의 방정식은 [eqn: y=5]이다.

두 점근선 [eqn: x=2], [eqn: y=5]가 만나는 점의 좌표는 [eqn: (2, 5)]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=5]이다.

∴ [eqn: a+b = 2+5 = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

등차수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: S_{11} = 88]이고 [eqn: a_{5} = 3]일 때, [eqn: a_{7}]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: S_{11} = {11(2a + 10d)} over {2} = 11(a + 5d) = 88]에서

[eqn: a + 5d = 8] ……①

[eqn: a_{5} = a + 4d = 3] ……②

①에서 ②를 빼면

[eqn: d = 5]

[eqn: a_{7} = a + 6d = (a + 5d) + d = 8 + 5 = 13]

따라서 정답은 [eqn: 13]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = a | x - 2 |]가
[eqn: lim _{x -> k +} {f(x) - f(k)} over {x - k} - lim _{x -> k -} {f(x) - f(k)} over {x - k} = 6]
을 만족시킬 때, [eqn: f(a + k)]의 값을 구하시오.

[eqn: 9]

함수 [eqn: f(x) = a left | x-2 right |]에 대하여 [eqn: x neq 2]일 때 [eqn: f(x)]는 미분가능하므로

[eqn: lim_{x rightarrow k+} {f(x)-f(k)} over {x-k} = lim_{x rightarrow k-} {f(x)-f(k)} over {x-k}]이다.

따라서 [eqn: lim_{x rightarrow k+} {f(x)-f(k)} over {x-k} - lim_{x rightarrow k-} {f(x)-f(k)} over {x-k} = 6]을 만족시키려면 [eqn: k=2]이어야 한다.

[eqn: k=2]일 때,

[eqn: lim_{x rightarrow 2+} {f(x)-f(2)} over {x-2} = lim_{x rightarrow 2+} {a(x-2)} over {x-2} = a]

[eqn: lim_{x rightarrow 2-} {f(x)-f(2)} over {x-2} = lim_{x rightarrow 2-} {-a(x-2)} over {x-2} = -a]

이므로

[eqn: a - (-a) = 6]에서 [eqn: 2a = 6]

∴ [eqn: a = 3]

따라서 [eqn: f(x) = 3 left | x-2 right |]이고, [eqn: a+k = 3+2 = 5]이므로

[eqn: f(a+k) = f(5) = 3 left | 5-2 right | = 9]

따라서 정답은 [eqn: 9]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = 6]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여
[eqn: 2 sin A = sin B], [eqn: cos C = {4} over {5}]
일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 구하시오.

[eqn: 12]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 사인법칙에 의해

[eqn: sin A = {a} over {2R}], [eqn: sin B = {b} over {2R}]

[eqn: 2 sin A = sin B]이므로 [eqn: 2 times {a} over {2R} = {b} over {2R}], [eqn: b = 2a]

[eqn: cos C = {4} over {5}]이므로

[eqn: sin C = sqrt{1 - cos^{2} C} = sqrt{1 - left ( {4} over {5} right )^{2}} = {3} over {5}]

코사인법칙에 의해

[eqn: c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab cos C]

[eqn: 6^{2} = a^{2} + (2a)^{2} - 2 times a times 2a times {4} over {5}], [eqn: 36 = 5a^{2} - {16} over {5} a^{2}]

[eqn: 36 = {9} over {5} a^{2}], [eqn: a^{2} = 20]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 2sqrt{5}]이고 [eqn: b = 4sqrt{5}]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면 [eqn: S = {1} over {2} ab sin C]

[eqn: S = {1} over {2} times 2sqrt{5} times 4sqrt{5} times {3} over {5} = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,`2 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f ( x )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: {f ( 0 )} over {f ( 2 )}]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: f ( x )]는 [eqn: x = 1]에서만 불연속이고, [eqn: lim _{x -> 1} f ( x ) = 3 f ( 2 )]이다.

(나) [eqn: 0 le x le 2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f ( x ) neq 2]이고, [eqn: f ( 0 ) + f ( 2 ) = 4]이다.

[eqn: 5]

조건 (나)에서 [eqn: f(0)+f(2)=4]이고 [eqn: f(0) neq 2], [eqn: f(2) neq 2]이므로 [eqn: f(0)]과 [eqn: f(2)] 중 하나는 [eqn: 2]보다 크고 다른 하나는 [eqn: 2]보다 작다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]을 제외한 닫힌구간 [eqn: [0, 2]]에서 연속이므로 구간 [eqn: [0, 1)]과 [eqn: (1, 2]]에서 각각 연속이다.

만약 [eqn: lim_{x -> 1} f(x) > 2]라 하면, [eqn: f(0) < 2] 또는 [eqn: f(2) < 2]이므로 사잇값 정리에 의해 구간 [eqn: (0, 1)] 또는 [eqn: (1, 2)]에서 [eqn: f(c)=2]인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다.

이는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) neq 2]라는 조건에 모순이다.

만약 [eqn: lim_{x -> 1} f(x) < 2]라 하면, [eqn: f(0) > 2] 또는 [eqn: f(2) > 2]이므로 사잇값 정리에 의해 구간 [eqn: (0, 1)] 또는 [eqn: (1, 2)]에서 [eqn: f(c)=2]인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다.

이 역시 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: lim_{x -> 1} f(x) = 2]이다.

조건 (가)에서 [eqn: lim_{x -> 1} f(x) = 3f(2)]이므로 [eqn: 3f(2) = 2]에서 [eqn: f(2) = {2} over {3}]이다.

조건 (나)에서 [eqn: f(0)+f(2)=4]이므로 [eqn: f(0) = 4 - {2} over {3} = {10} over {3}]이다.

∴ [eqn: {f(0)} over {f(2)} = {{10} over {3}} over {{2} over {3}} = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: {a_{n}}]에 대하여 [eqn: 12 LEFT ( a_{14} + a_{15} RIGHT )]의 값을 구하시오.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{{1} over {a _{n}} -1&``` LEFT ( a _{n} >0 RIGHT )#-a _{n}&``` LEFT ( a _{n LEQ 0} RIGHT )}}]
이다.

(나) [eqn: a_{1} > 6]이고, [eqn: a_{1} + a_{5} + a_{9} + a_{13} = 13]이다.

[eqn: 28]

[eqn: a_{1} = k] ([eqn: k > 6])라 하면

[eqn: a_{1} > 0]이므로 [eqn: a_{2} = {1} over {k} - 1 = {1-k} over {k}]

[eqn: k > 6]이므로 [eqn: a_{2} < 0]에서 [eqn: a_{3} = -a_{2} = {k-1} over {k}]

[eqn: k > 6]이므로 [eqn: a_{3} > 0]에서 [eqn: a_{4} = {1} over {a_{3}} - 1 = {k} over {k-1} - 1 = {1} over {k-1}]

[eqn: k > 6]이므로 [eqn: a_{4} > 0]에서 [eqn: a_{5} = {1} over {a_{4}} - 1 = (k-1) - 1 = k-2]

마찬가지로

[eqn: a_{5} > 0]이므로 [eqn: a_{6} = {1} over {k-2} - 1 = {3-k} over {k-2}]

[eqn: k > 6]이므로 [eqn: a_{6} < 0]에서 [eqn: a_{7} = -a_{6} = {k-3} over {k-2}]

[eqn: k > 6]이므로 [eqn: a_{7} > 0]에서 [eqn: a_{8} = {1} over {a_{7}} - 1 = {k-2} over {k-3} - 1 = {1} over {k-3}]

[eqn: k > 6]이므로 [eqn: a_{8} > 0]에서 [eqn: a_{9} = {1} over {a_{8}} - 1 = (k-3) - 1 = k-4]

같은 방법으로

[eqn: a_{13} = k-6]

조건 (나)에서 [eqn: a_{1} + a_{5} + a_{9} + a_{13} = 13]이므로

[eqn: k + (k-2) + (k-4) + (k-6) = 13]

[eqn: 4k - 12 = 13]

∴ [eqn: k = {25} over {4}]

[eqn: k > 6]을 만족하므로 [eqn: a_{1} = {25} over {4}]이다.

[eqn: a_{13} = {25} over {4} - 6 = {1} over {4}]

[eqn: a_{13} > 0]이므로 [eqn: a_{14} = {1} over {a_{13}} - 1 = 4 - 1 = 3]

[eqn: a_{14} > 0]이므로 [eqn: a_{15} = {1} over {a_{14}} - 1 = {1} over {3} - 1 = -{2} over {3}]

∴ [eqn: 12(a_{14} + a_{15}) = 12 left ( 3 - {2} over {3} right ) = 12 times {7} over {3} = 28]

따라서 정답은 [eqn: 28]이다.

세 양수 [eqn: a, b, c]에 대하여 함수
[eqn: f(x)= {cases{(x+4)(x+a)&```(x<`-4,~-4<x<0)#```````````````````````b&```(x=-4)#-x ^{2} +6x+c&```(x GEQ 0)}}]
이 있다. 상수 [eqn: k(k > 4)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: t]에서 [eqn: t + k]까지 변할 때의 평균변화율을 [eqn: g(t)]라 하고, [eqn: f(t) TIMES g(t)]의 값을 [eqn: h(t)]라 하자. 두 함수 [eqn: f(x), h(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h(t)]가 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) [eqn: f(k) = b]

[eqn: f(c - a - b)]의 값을 구하시오.

[eqn: 50]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-4]와 [eqn: x=0]에서 불연속일 수 있다.

[eqn: h(t) = f(t) g(t) = {1} over {k} f(t) left ( f(t+k) - f(t) right )]

함수 [eqn: h(t)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: t=-4]에서도 연속이다.

[eqn: lim_{t rightarrow -4} f(t) = 0]이므로 [eqn: lim_{t rightarrow -4} h(t) = 0]이다.

[eqn: h(-4) = {1} over {k} f(-4) left ( f(k-4) - f(-4) right ) = {1} over {k} b left ( f(k-4) - b right ) = 0]

[eqn: b > 0]이므로 [eqn: f(k-4) = b]이다.

조건 (나)에서 [eqn: f(k) = b]이고 [eqn: k > 4]이므로 [eqn: k-4 > 0]이다.

[eqn: x geq 0]에서 [eqn: f(x) = -x^{2}+6x+c]이므로

[eqn: f(k-4) = -(k-4)^{2} + 6(k-4) + c = b]

[eqn: f(k) = -k^{2} + 6k + c = b]

두 식을 연립하면

[eqn: -k^{2} + 8k - 16 + 6k - 24 + c = -k^{2} + 6k + c]

[eqn: 8k - 40 = 0] ∴ [eqn: k = 5]

[eqn: f(5) = -25 + 30 + c = c + 5 = b] ……①

함수 [eqn: h(t)]는 [eqn: t+k = -4], 즉 [eqn: t = -4-k = -9]에서도 연속이어야 한다.

[eqn: lim_{t rightarrow -9} f(t+5) = lim_{x rightarrow -4} f(x) = 0]이므로

[eqn: lim_{t rightarrow -9} h(t) = {1} over {5} f(-9) left ( 0 - f(-9) right ) = - {1} over {5} left { f(-9) right }^{2}]

[eqn: h(-9) = {1} over {5} f(-9) left ( f(-4) - f(-9) right ) = {1} over {5} f(-9) left ( b - f(-9) right )]

두 값이 같아야 하므로

[eqn: - {1} over {5} left { f(-9) right }^{2} = {1} over {5} f(-9) left ( b - f(-9) right )]

[eqn: f(-9) b = 0]

[eqn: b > 0]이므로 [eqn: f(-9) = 0]이다.

[eqn: f(-9) = (-9+4)(-9+a) = -5(-9+a) = 0] ∴ [eqn: a = 9]

함수 [eqn: h(t)]는 [eqn: t+k = 0], 즉 [eqn: t = -5]에서도 연속이어야 한다.

[eqn: f(-5) = (-5+4)(-5+9) = -4]

[eqn: lim _{t -> -5 ^{-}} {} h(t)= {1} over {5} f(-5) LEFT ( lim _{x -> 0 ^{-}} {} f(x)-f(-5) RIGHT )][eqn: = {1} over {5} TIMES (-4) TIMES LEFT ( 36-(-4) RIGHT ) =-32]

[eqn: lim _{t -> -5 ^{+}} {} h(t)= {1} over {5} f(-5) LEFT ( lim _{x -> 0 ^{+}} {} f(x)-f(-5) RIGHT )][eqn: = {1} over {5} TIMES (-4) TIMES LEFT ( c-(-4) RIGHT )]

두 값이 같아야 하므로

[eqn: -32 = - {4} over {5} (c+4)]

[eqn: c+4 = 40] ∴ [eqn: c = 36]

①에 의해 [eqn: b = 36 + 5 = 41]이다.

따라서 [eqn: f(c-a-b) = f(36-9-41) = f(-14)]이고,

[eqn: -14 < -4]이므로

[eqn: f(-14) = (-14+4)(-14+9) = (-10) times (-5) = 50]

따라서 정답은 [eqn: 50]이다.