함수의 그래프 추론미분가능성과 연속성정적분으로 정의된 함수수열의 귀납적 정의사인법칙과 코사인법칙3차 및 4차 함수의 성질벡터의 내적과 기하학적 해석타원의 정의와 접선삼차함수의 그래프 개형 추론함수의 연속성과 미분가능성수열의 귀납적 정의와 추론사인 법칙과 코사인 법칙절댓값을 포함한 함수의 해석합성함수의 극값지수/로그 함수의 대칭성과 역함수중복조합과 여사건

총평

이번 9월 모의평가는 22번 문항의 복잡한 해석에서 많은 학생들의 희비가 엇갈렸을 겁니다. 단순히 공식을 암기한 학생들은 손도 대기 어려웠을 것이고, 함수의 연속성과 미분계수의 정의를 깊이 있게 이해하고 연결하는 능력이 당락을 갈랐습니다. 전반적으로 준킬러 문항들의 계산량이 많아 시간 관리가 관건이었으며, 특히 14번, 15번, 21번처럼 여러 개념을 복합적으로 활용해야 하는 문항들은 실제 수능에서도 변별력을 가르는 핵심 유형으로 자리 잡을 것이 분명해 보입니다. 기출문제 분석을 넘어, 조건 하나하나가 그래프 개형에 어떤 영향을 미치는지 추론하는 연습을 집중적으로 해야 합니다.

문항 분석

14번
— 최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 이를 이용해 새롭게 정의된 함수 g(x)의 미분가능성을 묻는 문제입니다. 출제 의도는 f(x)의 그래프 개형을 조건(f'(0)=f'(2)=0)을 통해 추론하고, 이를 바탕으로 g(x)가 x=0에서 미분가능할 조건을 따져 p값을 찾는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 <보기> ㄷ에서 p≥2일 때 정적분의 값을 판단할 때, f(x) 그래프의 대칭성과 넓이 관계를 직관적으로만 판단하여 부호를 틀리는 경우입니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 g(x)가 x=0에서 미분가능하려면 연속 조건과 좌/우 미분계수 일치 조건을 모두 만족해야 한다는 점을 이용해 f(x)와 f'(x)에 대한 관계식을 세우는 것입니다.
15번
— 절댓값 범위에 따라 점화식이 3가지로 나뉘는 수열 문제입니다. a5+a6=0이라는 조건과 Σak>0 조건을 동시에 만족하는 a1 값들을 찾는 것이 핵심이죠. 이 문제의 가장 큰 함정은 a5의 값의 범위에 따라 a6을 결정하는 세 가지 케이스를 나누어 역추적하는 과정의 복잡성입니다. 하나의 케이스라도 놓치거나, 각 단계에서 계산 실수를 하면 오답으로 직결됩니다. 문제 해결의 첫 단추는 a6 = -a5 관계를 점화식에 대입하여 가능한 a5 값 후보들을 먼저 모두 구하는 것입니다. 그 후, 각각의 a5 값에서 출발하여 a1까지 거슬러 올라가며 모든 경로를 빠짐없이 탐색해야 합니다.
21번
— 지수함수와 로그함수가 직선과 만나는 점을 이용한 기하 문제입니다. 출제 의도는 두 함수 y=a^(x-1)과 y=log_a(x-1)이 y=x-1이라는 직선에 대해 대칭 관계임을 파악하고, 이를 기하학적으로 활용하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 두 곡선이 역함수 관계라는 점만 보고 y=x 대칭으로 착각하여 A, B의 좌표를 잘못 설정하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 힌트는 두 교점 A, B가 y=-x+4 위에 있으면서 동시에 대칭축인 y=x-1 위에도 있다는 사실을 이용하는 것이 아니라, 두 점 A, B의 중점이 대칭축 y=x-1 위에 있다는 사실을 활용하는 것입니다. AB=2√2라는 거리 정보를 이용하면 A, B의 좌표를 확정할 수 있습니다.
22번
— 최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 새로운 함수 g(x)의 연속성, 그리고 g(x)=0의 실근에 대한 조건을 종합적으로 추론하는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 g(x) 정의에 포함된 극한식 lim h->0+ [|f(x+h)-f(x-h)|/h]가 2|f'(x)|와 같다는 것을 파악하는 것입니다. 이를 모르면 문제에 접근조차 할 수 없습니다. g(x) = f(x-3) * 2|f'(x)|가 실수 전체에서 연속이 되려면, |f'(x)|가 미분 불가능한 지점, 즉 f'(x)=0인 지점에서 좌변의 f(x-3)이 0이 되어 불연속 요소를 상쇄시켜야 한다는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다. 즉, f'(α)=0 이면 f(α-3)=0 이라는 관계식을 찾아내야 합니다.
기하 28번
— 타원의 접선, 평행선, 그리고 타원의 정의를 복합적으로 활용하여 삼각형의 둘레를 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 단순히 좌표를 계산하는 것을 넘어 각 요소의 기하학적 의미를 파악하는 데 있습니다. 학생들은 점 P(2,3)에서의 접선의 방정식을 구한 뒤, 점 F'과 Q, S의 좌표를 모두 구하려다 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 삼각형 SRF'의 둘레를 SR + RF' + F'S 로 분해하고, 타원의 정의(QF+QF'=2a)와 평행선의 성질을 이용해 둘레의 길이를 QF'과 관련된 식으로 간결하게 표현하는 것입니다.
기하 29번
— 평면도형을 접어 올려 입체도형을 만드는 상황에서 두 평면이 이루는 각의 코사인 값을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 공간좌표를 설정하고, 점과 평면 사이의 관계를 벡터를 이용해 해석하는 능력입니다. 많은 학생들이 P와 Q의 초기 위치(접기 전)를 삼각함수로 표현하는 단계부터 어려움을 겪습니다. 이 문제의 힌트는 정사각형 ABCD를 xy평면에 두고, 점 P와 Q의 초기 좌표를 원의 매개변수 표현(반지름과 각도)으로 설정하는 것입니다. 접어 올린 후 P와 Q의 z좌표가 각각 PG=√3, QH=2√3이 되므로, 세 점 P, C, Q의 공간좌표를 모두 구하면 평면 PCQ의 법선벡터를 계산할 수 있습니다.
기하 30번
— 벡터의 내적의 최솟값을 구하는 문제로, 각 점의 기하학적 조건을 해석하는 능력이 관건입니다. 점 P와 Q는 각각 중심이 A, B인 원 위의 점이라는 것을 파악하는 것이 첫 단계입니다. 학생들은 AP·AQ를 성분으로 계산하려다 복잡한 식에 갇히는 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 핵심은 AQ 벡터를 AP + PQ 또는 AO + OQ 등으로 분해하여 내적을 기하학적으로 해석하는 것입니다. 특히 AP·OC ≥ √2/2 라는 조건은 점 P가 원 위에서 움직일 수 있는 범위를 제한하는 결정적 힌트이며, 내적의 최솟값은 두 벡터가 이루는 각이 가장 클 때(즉, 방향이 거의 반대일 때) 발생한다는 점을 이용해야 합니다.
미적분 29번
— 이차함수 f(x)와 지수함수가 합성된 g(x)={f(x)+2}e^f(x)의 극대, 극소 조건을 분석하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 g(x)의 도함수 g'(x) = f'(x){f(x)+3}e^f(x)의 부호 변화를 정확히 읽어내는 것입니다. e^f(x)는 항상 양수이므로, g(x)의 극점은 f'(x)=0 또는 f(x)=-3 이 되는 지점에서 발생합니다. f(x)가 이차함수이므로 f'(x)=0인 지점은 단 하나(꼭짓점)입니다. 문제에서 주어진 극값의 위치(x=a에서 최댓값, x=b, x=b+6에서 최솟값) 정보를 통해, 이차함수 f(x)의 그래프와 직선 y=-3의 위치 관계를 추론해야 합니다. 두 최솟값의 x좌표가 6만큼 차이 난다는 것은 f(x)=-3의 두 실근의 차가 6이라는 의미이며, 이는 이차함수의 대칭축을 결정하는 결정적인 단서가 됩니다.
미적분 30번
— 삼차함수 f(x)와 주기함수 g(x)에 대한 복합적인 추론 문제입니다. (가) 조건의 극한값 lim sin(πf(x))/x = 0 에서 f(0)이 정수라는 사실을 이끌어내는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 많은 학생들이 이 부분을 놓치고 헤매기 쉽습니다. 또한, g(x)가 주기가 1인 주기함수이고 실수 전체에서 연속이므로 g(0)=g(1), 즉 f(0)=f(1)이라는 조건을 얻을 수 있습니다. 이 두 가지 조건(f(0)=정수, f(0)=f(1))과 최고차항 계수가 9라는 사실을 결합하면 f(x)의 형태를 f(x) = 9x²(x-1) + C 또는 f(x) = 9x(x-1)² + C (C는 정수) 두 가지로 좁힐 수 있습니다. (나) 조건인 극댓값과 극솟값의 곱이 5라는 것을 이용해 두 후보 중 올바른 함수 f(x)를 확정하고 C값을 구하는 것이 이 문제의 핵심 흐름입니다.
확률과 통계 29번
— 두 이산확률변수 X, Y의 확률분포표가 주어지고, X의 분산 V(X)를 이용해 V(Y)를 구하는 문제입니다. 출제 의도는 분산의 정의 V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2를 이용하는 계산 능력을 묻는 것이지만, 단순히 Y의 분산을 처음부터 계산하는 것이 아니라 X와 Y의 관계를 파악하여 효율적으로 계산할 수 있는지를 평가합니다. 학생들이 빠지기 쉬운 함정은 Y의 기댓값과 제곱의 기댓값을 구하기 위해 확률분포표를 이용해 직접 계산하려다 복잡한 식에 갇히는 것입니다. 이 문제의 실마리는 E(Y)와 E(X), E(Y^2)과 E(X^2) 사이의 관계를 식으로 먼저 표현하는 것입니다. P(Y=y)와 P(X=x)의 관계를 잘 살펴보면 E(Y) = E(X) - 1/10, E(Y^2) = E(X^2) - 1/10 과 같은 관계식을 유도할 수 있고, 이를 통해 V(Y)를 V(X)에 대한 식으로 간단히 표현할 수 있습니다.
확률과 통계 30번
— 네 명의 학생에게 14개의 사인펜을 나누어주는 경우의 수 문제로, 여러 제약 조건이 결합된 중복조합의 심화 유형입니다. 이 문제의 핵심은 (다) 조건 '적어도 한 학생은 짝수 개를 받는다'를 해결하기 위해 전체 경우의 수에서 '모든 학생이 홀수 개를 받는 경우'를 빼는 여사건의 아이디어를 적용하는 것입니다. 가장 큰 함정은 (나) 조건 '9개 이하'를 처리하는 과정입니다. 전체 경우에서 특정 학생이 10개 이상을 받는 경우를 제외할 때, 포함-배제의 원리를 적용해야 하는데 이 과정이 복잡하여 실수가 발생하기 쉽습니다. 문제 해결의 첫 단추는 (가) 조건에 따라 각 학생이 받을 사인펜의 개수를 a,b,c,d (a,b,c,d≥1)로 두고, 이를 a'+b'+c'+d'=10 (a',b',c',d'≥0)의 중복조합 문제로 변환하는 것입니다.