함수의 미분 가능성(절댓값, 곱함수)정적분으로 정의된 함수삼각함수와 원의 성질(사인법칙, 코사인법칙)로그함수와 지수함수의 그래프 추론수열의 점화식과 규칙성쌍곡선의 정의와 기하학적 활용벡터의 내적과 기하학적 의미공간도형과 정사영함수의 미분가능성삼차함수 그래프 추론절댓값 함수의 해석수열의 귀납적 정의삼각함수의 극한과 도형역함수의 성질과 미분함수의 미분가능성과 연속성절댓값을 포함한 함수의 그래프 추론수열의 귀납적 정의와 합사인법칙과 코사인법칙의 활용원의 방정식과 접선경우의 수와 포함-배제의 원리이산확률변수의 기댓값과 분산

총평

이번 10월 학평은 22번 문항의 해석에서 많은 학생들의 희비가 엇갈렸을 겁니다. 단순히 계산만 복잡한 것이 아니라, 주어진 조건 |x(x-2)|g(x) = x(x-2)(|f(x)|-a) 에서 g(x)의 미분가능성을 추론해내는 과정은 평가원이 선호하는 논리적 사고력의 정수를 보여주었죠. 전반적으로 수열(14번), 정적분으로 정의된 함수(15번), 도형과 삼각함수(21번) 등 까다로운 준킬러 문항들이 균형 있게 배치되어 시간 안배 능력이 등급을 갈랐을 것입니다. 이러한 문제 구성은 수능에서 마주할 고난도 문항에 대한 훌륭한 예방주사이니, 각 문제에 담긴 개념의 연결고리를 복기하는 것이 중요합니다.

문항 분석

12번
— 이 문제는 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 성질을 이용해 두 삼각형의 넓이를 t에 대한 식으로 표현하고, 그 극한값을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 도형의 넓이를 구하는 과정에서 필요한 변의 길이나 높이를 삼각비와 피타고라스 정리를 이용해 능숙하게 표현할 수 있는지를 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 삼각형 PBA의 넓이 T(t)를 구하는 과정에서 높이를 설정하는 데 어려움을 겪거나, 복잡한 식을 정리하다가 계산 실수로 오답을 고르는 패턴을 보입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 원의 중심 O, 접점 A, 원 밖의 점 P를 연결하여 직각삼각형 OAP를 만드는 것입니다. 이 직각삼각형에서 모든 길이와 각에 대한 정보를 t로 표현하는 것이 풀이의 첫 단추입니다.
14번
— 이 문제는 수열과 도형이 결합된 빈칸 추론 유형으로, 각 점의 좌표를 일일이 구하려 하면 함정에 빠지기 쉽습니다. 출제 의도는 Pn과 Pn+1 사이의 관계를 기하학적으로 파악하여 점화식을 세우는 능력을 보는 것입니다. 학생들이 흔히 하는 실수는 복잡한 좌표 계산에 매몰되어 PnQn과 Pn+1Qn+1 사이의 닮음 관계나 길이의 비를 놓치는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 직선 l의 기울기가 1/2라는 점을 이용해 PnQn의 기울기가 -2임을 파악하고, 이를 통해 (가)에 들어갈 길이의 비를 찾는 것입니다. 이 관계만 파악하면 (나)와 (다)는 등비수열의 합 공식을 이용해 자연스럽게 해결됩니다.
15번
— 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 연속성을 묻는 문항으로, 최고차항 계수가 4인 삼차함수 f(x)의 특징을 추론하는 것이 핵심입니다. 이 문제의 함정은 '연속이 되도록 하는 실수 c의 개수가 1개'라는 조건을 어떻게 해석하느냐에 있습니다. 많은 학생들이 연속 조건식만 세우고 그 방정식의 해가 왜 1개만 존재해야 하는지에 대한 깊은 고민 없이 넘어갑니다. 결정적 힌트는 g(x)의 연속 조건식 ∫c to x f(t)dt + 5 = ∫0 to x f(t)dt - 13/3 을 정리했을 때 나오는 ∫0 to c f(t)dt = -28/3 이라는 방정식의 실근 c가 오직 하나라는 점입니다. 이는 F(c) = -28/3 (단, F'(x)=f(x))를 만족하는 c가 하나뿐임을 의미하며, 이를 통해 삼차함수를 적분한 사차함수 F(x)의 개형, 특히 극값의 위치를 특정할 수 있습니다.
21번
— 예각삼각형과 외접원, 각의 이등분선이 결합된 고난도 기하 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해서는 사인법칙, 각의 이등분선 정리, 원주각의 성질 등 여러 기하 개념을 유기적으로 연결해야 합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 보조선을 긋거나 어떤 삼각형에 주목해야 할지 판단하는 것입니다. 특히 점 D가 각 A의 이등분선과 외접원의 교점이라는 사실에서 현 BD와 현 CD의 길이가 같다는 성질(BD=CD)을 이끌어내지 못하면 문제 해결이 힘들어집니다. 첫 단추는 삼각형 ABC에서 각의 이등분선 정리를 적용하고, 그 다음 삼각형 ABD와 삼각형 ADC가 같은 외접원을 공유한다는 점을 이용해 사인법칙을 적용하는 것입니다. 이를 통해 변들의 관계를 식으로 표현하면 k값을 구할 수 있습니다.
22번
— 최고난도 문항으로, 주어진 등식을 해석하여 함수 g(x)의 정체를 밝히고, 그 g(x)의 미분가능성 조건을 이용해 삼차함수 f(x)를 결정하는 문제입니다. 출제 의도는 절댓값 기호가 포함된 함수의 미분가능성 조건을 깊이 있게 이해하고 있는지를 평가하는 것입니다. 가장 큰 함정은 주어진 등식의 양변을 x(x-2)로 성급하게 나누는 것입니다. x=0, x=2일 때의 상황을 고려하지 않으면 g(x)의 연속성과 미분가능성 조건을 제대로 활용할 수 없습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 g(x)가 x=0과 x=2에서 미분가능하려면, 우변의 분자 부분인 |f(x)|-a가 x=0과 x=2를 인수로 가져야 한다는 점, 즉 |f(0)|=a 이고 |f(2)|=a 임을 간파하는 것입니다. 이 조건을 만족하는 삼차함수 f(x)의 개형을 추론하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
기하 29번
— 쌍곡선의 정의와 삼각형의 각의 이등분선 정리를 융합한, 기하 과목의 고난도 문항입니다. 출제 의도는 쌍곡선의 정의(|PF'|-|PF|=주축의 길이)를 단순히 공식으로만 외우는 것이 아니라, 다른 도형의 성질과 결합하여 미지의 길이를 추론하는 데 활용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 4PR=3RF 라는 비율 조건을 어떻게 사용해야 할지 몰라 막막함을 느낍니다. 이 문제의 결정적 실마리는 점 R이 ∠FQP의 이등분선 위에 있다는 사실을 포착하고, 삼각형 FQP에 '각의 이등분선 정리'를 적용하는 것입니다. 이를 통해 FQ:PQ = FR:PR 이라는 비례식을 얻을 수 있고, 주어진 조건과 결합하면 FQ와 PQ의 관계를 파악하여 쌍곡선의 정의를 이용할 수 있는 발판을 마련하게 됩니다.
기하 30번
— 공간도형의 여러 조건들을 해석하여 두 평면이 이루는 각을 구하고, 이를 이용해 정사영의 넓이를 계산하는 최종 보스급 문항입니다. 이 문제의 핵심은 (가) ∠AEH = ∠DAH 와 (나) ∠CED=90° 라는 두 조건을 기하학적으로 완벽하게 해석하여 공간상의 점들의 위치 관계를 확정하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (가) 조건을 해석하는 것인데, 이 각이 같다는 것으로부터 어떤 기하학적 결론을 이끌어내야 할지 파악하기 어렵습니다. 문제 해결의 힌트는 (가) 조건이 평면 ADE 상에서 삼각형 ADH와 AEH의 관계를 규정한다는 점에 있습니다. 이 조건과 (나) 조건을 종합하면, 점 H가 선분 DE 위에 놓이게 되고, 삼각형 ADH가 직각삼각형이라는 사실까지 유도할 수 있습니다. 이 관계를 파악하면 정사영을 구해야 하는 두 평면 AHD와 ABD의 이면각을 계산할 수 있게 됩니다.
미적분 28번
— 삼각형의 넓이를 삼각함수로 표현하고 그 극한값을 구하는, 전형적인 도형 극한 문제입니다. 출제 의도는 주어진 도형의 길이와 각을 모두 매개변수 θ로 표현하는 능력과, sinθ, tanθ 등에 대한 극한 기본 공식(θ→0일 때 sinθ≈θ, tanθ≈θ)을 능숙하게 사용하는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 f(θ)와 g(θ)를 구성하는 각 변의 길이를 θ로 표현하는 과정이 복잡하다는 점입니다. 특히 점 F의 위치를 잡는 것이 까다로울 수 있습니다. 이 문제의 실마리는 '각의 이등분선 정리'와 '사인 법칙'을 적극적으로 활용하는 것입니다. 삼각형 ABE와 삼각형 DFC에서 필요한 변의 길이를 사인 법칙을 이용해 θ에 대한 식으로 나타내고, 최종적으로 극한을 계산할 때 0으로 가는 요소들을 정확히 소거하는 것이 중요합니다.
미적분 29번
— 주기가 있는 sin 함수와 절댓값, 정적분이 결합된 문제입니다. (가) 조건 ∫sin(ax)dx ≥ 1/a 은 sin 함수의 한 주기 적분값이 0임을 고려할 때, 적분 구간이 함수의 양수 부분에 치우쳐 있음을 암시합니다. 가장 핵심적인 부분은 (나) 조건입니다. ∫|f(x)+t|dx = ∫|f(x)-t|dx 라는 식은 기하학적으로 y=f(x) 그래프와 y=-t, y=t라는 두 직선 사이의 넓이 관계를 의미합니다. 이 식이 0<t<1인 모든 t에 대해 성립하려면, f(x)의 그래프가 특정 구간 내에서 대칭적인 형태를 가져야만 합니다. 이 대칭성을 만족시키는 sin(ax) 그래프의 형태를 [0, 3π/a] 구간에서 추론해내는 것이 이 문제를 푸는 결정적 열쇠입니다.
미적분 30번
— 분수함수 형태의 f(x)와 그 역함수 f⁻¹(x)에 대한 복합적인 추론 문제입니다. f'(x)≠0 조건은 f(x)가 극값을 갖지 않는 증가 또는 감소함수임을 의미합니다. (가) 조건 g(2)=h(0)은 f(2) - f⁻¹(2) = g(f(0)) = f(f(0)) - f⁻¹(f(0)) 으로 변환되며, f(x)가 기함수(f(-x)=-f(x))임을 이용하면 f(0)=0이므로 f(2) - f⁻¹(2) = 0, 즉 f(2)=2 라는 중요한 관계식을 얻게 됩니다. 많은 학생들이 (나) 조건의 g'(2)와 h'(2)를 계산하는 과정에서 복잡한 미분(역함수 미분, 합성함수 미분)에 막혀 시간을 허비합니다. 이 문제의 핵심은 (가)에서 얻은 f(2)=2, f⁻¹(2)=2 라는 정보를 (나)의 미분 식에 대입하여 a와 b에 대한 연립방정식을 깔끔하게 만들어내는 것입니다.
확률과 통계 29번
— 중복순열 문제에 '모든 숫자가 한 개 이상씩 포함'되고, '특정 자리의 수가 같다'는 두 가지 까다로운 조건이 붙어 있습니다. 이 문제의 핵심은 포함-배제의 원리를 정확히 적용하여 조건을 만족하는 경우의 수를 세는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 여사건을 잘못 설정하거나 복잡한 케이스 분류 과정에서 중복 또는 누락이 발생하는 것입니다. 문제를 풀어낼 실마리는 먼저 '일의 자리와 백의 자리가 같다'는 조건을 기준으로 케이스를 나누는 것입니다. (1,1), (2,2), (3,3)으로 같은 세 가지 경우로 나눈 뒤, 각각의 경우에 대해 나머지 4자리를 채울 때 1, 2, 3이 모두 포함되도록 하는 경우의 수를 포함-배제의 원리를 이용해 계산하는 것이 가장 체계적이고 정확한 접근법입니다.
확률과 통계 30번
— 확률변수 X의 확률분포가 직접 주어지지 않고, P(X=4), P(X=16), E(X)라는 단편적인 정보들을 통해 전체 분포를 역으로 추론해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 주어진 조건들을 연립하여 각 근원사건의 확률을 구해내는 능력과 확률, 기댓값, 분산의 정의를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. 가장 큰 함정은 조건 (가)의 의미를 파악하지 못하는 것입니다. X=4는 4번 모두 숫자 1이 나오는 경우이고, X=16은 4번 모두 숫자 4가 나오는 경우입니다. 따라서 P(X=4) = (p₁)^4, P(X=16) = (p₄)^4 이므로, 조건 (가)는 p₁과 p₄ 사이의 관계식을 제공합니다. 이 관계식과 E(X)=9, 그리고 모든 확률의 합은 1이라는 기본 성질을 연립하면 각 숫자가 나올 확률(p₁, p₂, p₃, p₄)을 모두 결정할 수 있습니다.