함수의 그래프 개형 추론수열의 귀납적 정의와 조건 해석정적분의 활용 (속도, 거리)함수의 극한과 연속성등차수열과 등비수열의 융합포물선의 정의평면벡터의 내적이면각과 정사영수열의 귀납적 정의 및 조건 해석미분가능성과 연속성정적분의 활용 (넓이, 거리)삼각함수의 극한과 도형의 활용등차/등비수열의 성질역함수와 합성함수의 미분다항함수의 미분과 그래프 추론수열의 귀납적 정의와 규칙성 파악정적분의 활용사인법칙과 코사인법칙조건부확률경우의 수 (순열, 조합, 분할)정규분포

총평

이번 7월 학평은 22번 문항에서 주기와 축소 개념을 결합한 새로운 함수 g(x)의 그래프를 추론하는 과정이 가장 큰 변별력을 갈랐을 것으로 보입니다. 전반적으로 수열 파트(15, 21번)에서 등차/등비수열의 기본 성질에 숨겨진 조건을 찾아내야 하는 문항들이 까다롭게 출제되어 시간 안배에 실패한 학생들이 많았을 거예요. 특히 21번처럼 자연수, 정수 조건을 활용해 가능성을 좁혀나가는 유형은 최근 평가원에서 꾸준히 강조하는 문제 해결 능력이므로, 단순히 공식만 암기해서는 안 된다는 것을 명심해야 합니다. 기하 과목은 29, 30번에서 벡터의 내적과 공간도형의 이면각 등 핵심 개념을 깊이 있게 이해하고 있는지를 측정하는, 완성도 높은 문항들로 구성되었습니다.

문항 분석

12번
— 두 함수의 곱으로 정의된 새로운 함수가 실수 전체에서 연속일 조건을 묻는 문제입니다. 출제 의도는 불연속 함수와 다항함수의 곱이 연속이 될 때, 다항함수가 어떤 인수를 가져야 하는지 이해하는 것입니다. 많은 학생들이 불연속점인 x=3에서 함숫값이 0이 되어야 한다는 것(f(3)=0)까지만 생각하고 넘어가는데, 이 문제에서는 극한값까지 0으로 만들어야 하므로 f'(3)=0 조건까지 필요하다는 점이 함정입니다. 문제의 핵심 실마리는 '극한값이 존재하고 그 값이 함숫값과 같아야 한다'는 연속의 정의를 끝까지 파고드는 것입니다.
15번
— 도함수의 근이 등차수열을 이룬다는 조건으로부터 원함수인 사차함수의 대칭성을 간파하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. f'(x)의 근이 -k, 0, k 꼴이므로 f(x)가 우함수(y축 대칭)임을 빠르게 파악해야 합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 g(x)=|f'(x)|-f'(x)의 의미를 직관적으로 해석하지 못하고 복잡한 계산에 매몰되는 것입니다. 이 함수는 f'(x)가 0보다 작거나 같을 때 -2f'(x)가 되고, 아닐 땐 0이 되는 함수임을 이해하면 적분 계산이 훨씬 수월해집니다. 결국 이 문제는 사차함수 그래프의 개형과 특징에 대한 깊은 이해를 요구합니다.
21번
— 등차수열의 세 항이 등비수열을 이룬다는 '등비중항' 개념을 활용하여 공차 d와 첫째항 a₁ 사이의 관계식을 유도하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 조건 (가), (나)와 '모든 항이 자연수'라는 조건을 종합하여 미지수 k의 범위를 좁혀나가는 과정입니다. 많은 학생들이 (k²-5k+3)d = (k+1)a₁ 라는 관계식까지는 구하지만, a₁/d ≤ 1 이라는 부등식을 활용하여 k값을 3, 4, 5로 한정하고, 그중 자연수 해가 나오는 k=5를 찾아내는 논리적 추론 과정에서 어려움을 겪습니다. 결정적 힌트는 k에 대한 이차부등식을 풀어 가능한 자연수 k 후보를 모두 테스트하는 것입니다.
22번
— 주기적으로 반복되지만 매 주기마다 크기가 축소되는 형태의 복잡한 조각 함수(piecewise function)를 다루는 문항입니다. 이 문제의 출제 의도는 그래프의 개형을 정확히 그리고, 직선 y=n과의 교점 개수를 규칙적으로 셀 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 각 구간별 함수의 최댓값이 12/(k+1)로 변하는 것을 놓치고 교점 개수를 잘못 세는 것입니다. 문제를 풀어낼 결정적 실마리는 n=1부터 12까지 각각의 y=n 직선에 대해, 어느 주기(k값)까지 교점이 발생할 수 있는지를 부등식 12/(k+1) ≥ n 을 통해 체계적으로 분석하고 합산하는 것입니다. 끈기와 꼼꼼함이 요구되는 최고난도 문항입니다.
기하 28번
— 포물선의 정의와 삼각형의 넓이 비를 융합한 문제입니다. 이 문제를 좌표와 연립방정식으로 접근하려 하면 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 출제 의도는 포물선의 가장 중요한 성질, 즉 '포물선 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같다'를 활용하는 것입니다. 두 삼각형 FCA와 FDB는 초점 F를 공유하므로 높이가 같습니다. 따라서 넓이의 비는 밑변의 길이 비와 동일합니다. 점 A, B, C, D에서 준선 x=-1에 수선의 발을 내리고, 포물선의 정의를 이용해 선분의 길이를 x좌표로 표현하면, 넓이 비 조건을 m에 대한 간단한 식으로 변환할 수 있습니다. 기하 문제는 정의를 먼저 떠올리는 습관이 결정적입니다.
기하 29번
— 두 평면 PDB와 CDB가 이루는 이면각의 크기를 묻는, 전형적인 공간도형 문제입니다. 이면각을 직접 구하기 위해 교선 DB에 수직인 두 직선을 찾는 것은 매우 까다롭습니다. 이럴 때 가장 강력한 도구는 '정사영'입니다. 삼각형 PDB의 평면 CDB 위로의 정사영 넓이를 구하면 cosθ = (정사영 넓이) / (원본 넓이) 공식을 바로 적용할 수 있습니다. 문제 해결의 실마리는 점 P의 위치를 정확히 파악하는 것입니다. 선분 AM 위의 점 P라는 조건과 PN ⊥ DB라는 조건을 활용하여 점 P의 좌표 또는 위치 벡터를 구하고, 여기서 평면 CDB에 내린 수선의 발 H를 찾으면 정사영의 넓이를 계산할 수 있습니다.
기하 30번
— 원 위를 움직이는 점 P에 대한 벡터 내적(OC · OP)의 최댓값을 구하는 문제입니다. 내적의 최대·최소 문제는 기하학적 해석이 핵심입니다. OC · OP를 최대로 만드는 점 P는 벡터 OC 방향으로 가장 멀리 뻗어 나간 점이라는 것을 직관적으로 이해해야 합니다. 풀이의 결정적 아이디어는 원 위의 벡터 OP를 원의 중심 M을 경유하도록 OP = OM + MP로 분해하는 것입니다. 이렇게 하면 OC · OP = OC · OM + OC · MP가 되고, OC · OM은 고정된 값이므로 OC · MP가 최대일 때 전체 내적이 최대가 됩니다. 두 벡터의 내적이 최대가 되는 경우는 두 벡터가 같은 방향일 때이므로, 점 Q는 중심 M에서 벡터 OC 방향으로 반지름만큼 더 나아간 점이 됩니다. 이 Q의 위치를 찾는 것이 모든 계산의 시작점입니다.
미적분 28번
— 반지름이 주어진 원에 내접하는 이등변삼각형에서 출발하여, 수선과 현 등을 이용해 만들어지는 두 삼각형의 넓이를 삼각함수로 표현하고 그 극한값을 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 f(θ)와 g(θ)를 구성하는 모든 변의 길이를 θ와 원의 반지름을 이용해 표현하는 것입니다. 많은 학생들이 g(θ)의 넓이를 구하는 과정에서 변 CE와 DE의 길이를 θ로 표현하는 데 어려움을 겪습니다. 결정적 힌트는 원주각과 중심각의 성질, 그리고 직각삼각형을 적극적으로 활용하는 것입니다. 예를 들어, 선분 AB가 지름은 아니지만 현 AB의 길이를 사인법칙으로 구할 수 있고, 점 B를 지나고 AB에 수직인 직선이 원과 만나는 점 D의 위치를 파악하면 삼각형 BDE가 직각삼각형임을 이용할 수 있습니다. 복잡해 보일수록 기본 도형의 성질(사인법칙, 피타고라스 정리 등)로 돌아가는 것이 중요합니다.
미적분 29번
— 미분가능한 삼차함수 g(x)와 그 역함수 g⁻¹(x)를 이용하여 새로운 함수 h(x)를 정의하고, 이 h(x)가 실수 전체에서 미분가능할 조건을 찾는 문제입니다. 출제 의도는 합성함수 미분법, 역함수 미분법, 그리고 구간별로 정의된 함수가 특정 지점에서 미분가능할 조건(연속이고 좌미분계수=우미분계수)을 종합적으로 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 가장 흔히 저지르는 실수는 h(x)의 미분가능성을 따질 때 x=0과 x=1에서 연속 조건만 확인하거나, 미분계수를 구할 때 합성함수 미분법을 제대로 적용하지 못하는 것입니다. 이 문제 해결의 실마리는 (f∘g⁻¹)(x)의 도함수를 정확히 구하는 것, 즉 (f'(g⁻¹(x))) * (g⁻¹)'(x)를 계산하는 것입니다. 여기서 (g⁻¹)'(x)는 역함수 미분법에 따라 1/g'(g⁻¹(x)) 이므로, g(x)와 g'(x)에 대한 정보가 필요합니다. f(x)가 주어져 있으므로, h(x)가 x=0, 1에서 연속이고 미분계수가 같다는 두 가지 조건을 연립하여 g(x)의 미정계수 a, b를 찾아내야 합니다.
미적분 30번
— 자연로그와 이차함수가 결합된 함수 g(x)와, 그 절댓값 그래프와 상수함수 그래프의 교점 개수를 나타내는 함수 h(t)의 조건을 해석하는 종합 추론 문제입니다. 출제 의도는 함수의 극값, 그래프의 개형, 불연속점의 의미를 파악하고 이를 정적분 계산과 연결하는 최상위권 변별력 문항입니다. (가) 조건 'g(x)는 x=0에서 극솟값을 갖는다'를 통해 g'(0)=0임을 이용하여 f(x)의 계수 사이 관계를 파악하는 것이 첫 단계입니다. 가장 큰 함정은 (나) 조건 'h(t)가 불연속인 k의 개수가 7개'라는 것을 어떻게 해석해야 할지 막막하다는 점입니다. 결정적 힌트는 y=|g(x)|의 그래프를 그려보는 것입니다. 교점의 개수가 변하는 지점, 즉 h(t)가 불연속이 되는 지점은 y=t가 y=|g(x)|의 극값 또는 x축에 접하는 순간입니다. 불연속점이 7개라는 것은 y=|g(x)| 그래프에서 y값이 특별한 의미를 갖는 지점이 총 7개라는 뜻이며, 이를 통해 g(x)의 극댓값과 x축의 위치 관계를 추론할 수 있습니다. 이 관계를 통해 f(x)를 확정하고 나면, 마지막 정적분 계산은 부분적분법을 이용해 마무리할 수 있습니다.
확률과 통계 29번
— 조건부확률 문제로, '두 수의 곱의 약수의 개수가 3 이하'라는 사건(E)의 의미를 정확히 해석하는 것이 관건입니다. 약수의 개수가 1개(곱=1), 2개(곱=소수), 3개(곱=소수의 제곱)인 경우로 나누어 생각해야 합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 카드의 개수가 숫자별로 다르다는 점을 간과하고 경우의 수를 잘못 세는 것입니다. 예를 들어 (3,3)을 뽑는 경우는 ₃C₂=3가지이지 1가지가 아닙니다. 문제 해결의 실마리는 조건에 해당하는 모든 카드 조합을 누락 없이 찾은 뒤, 그 조합들 중에서 '두 수의 합이 짝수'인 경우만 다시 세어 조건부확률의 정의에 대입하는 것입니다.
확률과 통계 30번
— 여러 제약 조건이 걸린 복잡한 분배 문제입니다. 이 문제의 핵심은 가장 조건이 까다로운 학생 A의 경우를 먼저 확정하고, 그에 따라 남은 공과 학생들에게 적용되는 새로운 제약 조건을 분석하는 것입니다. 많은 학생들이 가능한 모든 경우를 나누려다 길을 잃기 쉽습니다. 결정적 실마리는 학생 A가 받을 수 있는 공의 개수(w_A+b_A)가 홀수이고, 다른 학생들은 A보다 많은 공을 받을 수 없다는 (다) 조건을 활용하여 A의 케이스를 (W:1, B:2), (W:2, B:3) 등으로 좁히고, 각 시나리오가 나머지 조건들을 만족하는지 역으로 검증하는 것입니다. 특히 A가 공을 가져간 후 남은 공의 색깔 종류가 줄어드는 상황이 다른 학생들의 분배에 어떤 영향을 미치는지 파악하는 것이 중요합니다.