삼차함수의 그래프 추론정적분으로 정의된 함수사인법칙과 코사인법칙함수의 연속성과 미분계수타원의 정의포물선의 정의수열의 합(Σ) 계산삼차함수의 그래프 개형 추론미분계수와 함수의 극한함수의 연속성도형과 극한수열의 합과 일반항의 관계삼차함수의 그래프와 성질수열의 합 (Σ)함수의 연속성과 미분가능성그래프 개형 추론조건부 경우의 수 계산원의 성질과 삼각함수

총평

이번 3월 학평은 22번 정적분으로 정의된 함수 문항에서 많은 학생들이 길을 잃었을 겁니다. 단순히 공식을 암기한 학생들은 손도 대기 어려웠을 것이고, 도함수의 부호 변화가 극값의 존재와 어떻게 연결되는지 근본적인 원리를 파고든 학생만이 해결의 실마리를 찾았을 것입니다. 전반적으로 14번, 15번, 21번 등에서 볼 수 있듯, 여러 개념을 복합적으로 엮어 사고의 깊이를 측정하려는 평가원의 최근 출제 경향을 충실히 반영하고 있습니다. 특히 기하 문제의 난도가 높았으므로, 사인/코사인 법칙을 자유자재로 활용하며 도형의 숨겨진 성질을 찾아내는 훈련을 꾸준히 해야 수능에서 좋은 결과를 얻을 수 있습니다.

문항 분석

14번
— 이 문제는 최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 이를 변형한 g(x)=f(x)+|f'(x)|의 조건을 해석하는 능력을 묻고 있습니다. 학생들이 가장 먼저 주목해야 할 부분은 (가) 조건의 f(0)=g(0)=0 입니다. 이 식에서 |f'(0)|=0, 즉 f'(0)=0 이라는 결정적인 단서를 얻어내야 합니다. 많은 학생들이 이 부분을 놓치고 복잡한 계산에 빠져 시간을 허비하는 실수를 합니다. 문제 해결의 실마리는 f(0)=0과 f'(0)=0을 통해 f(x)가 x²을 인수로 가짐을 파악하고, 이를 바탕으로 (나), (다) 조건을 만족하는 그래프 개형을 추론하는 것입니다.
15번
— 전형적인 고난도 삼각함수와 도형 문제입니다. 코사인법칙으로 AC의 길이를 구하는 것은 시작에 불과하며, 핵심은 '각의 이등분선'과 '외접원'이라는 두 키워드를 어떻게 엮어내느냐에 있습니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 각의 이등분선 길이 공식이나 내분점 공식에만 매달리는 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 점 E가 외접원 위의 점이라는 사실을 이용하는 것입니다. 각의 이등분선이 원과 만날 때, 이등분된 각에 대한 원주각의 성질에 의해 호의 길이가 같아지고, 따라서 현의 길이인 EA와 EC가 같다는 사실을 발견해야 'ㄴ'과 'ㄷ'을 해결할 수 있습니다.
20번
— 원점을 지나는 직선 y=mx와 절댓값이 포함된 꺾인 그래프 f(x)의 교점 개수 g(m)을 분석하는 문제입니다. 출제 의도는 불연속 함수 g(m)과 이차함수 h(x)의 곱 g(x)h(x)가 실수 전체에서 연속이 될 조건을 이해하고 있는지를 확인하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 교점의 개수가 변하는 경계가 되는 m의 값을 일부 누락하는 것입니다. 직선이 그래프의 '꺾이는 점'을 지날 때와 그래프의 일부와 '평행할 때'의 m 값을 모두 찾아야 합니다. 문제 해결의 힌트는 g(m)이 불연속이 되는 지점들을 정확히 찾고, '연속함수 x 불연속함수'가 연속이 되려면 불연속 지점에서 연속함수의 함숫값이 0이어야 한다는 원리를 적용하는 것입니다.
21번
— 두 삼각형의 외접원 반지름을 비교하는 복합 도형 문제입니다. AC:BD=1:2, AC//BD라는 조건에서 등변사다리꼴을 떠올릴 수 있지만, 함정입니다. 이 문제의 핵심은 평행선과 외접원이라는 조건들을 어떻게 식으로 변환하느냐 입니다. 많은 학생들이 각 삼각형에 개별적으로 사인법칙이나 코사인법칙을 적용하다가 관계식을 찾지 못해 헤매게 됩니다. 이 문제의 실마리는 공통 변인 AB와 ∠CAB에 집중하는 것입니다. 두 삼각형 ABC와 ABD에서 각각 코사인법칙을 사용하여 변의 길이를 ∠CAB로 표현하고, 사인법칙을 이용하여 두 반지름의 비를 구하는 방향으로 전략을 세워야 합니다.
22번
— 정적분으로 정의된 함수 g(x)가 '극값을 갖지 않는다'는 조건을 해석하는 것이 이 문제의 모든 것입니다. g'(x) = (x²-4)(|f(x)|-a) 라는 도함수를 구한 뒤, 극값이 없다는 것은 g'(x)의 부호 변화가 일어나지 않아야 함을 의미합니다. 학생들이 가장 쉽게 빠지는 함정은 g'(x)=0 이라고 생각하는 것입니다. 부호 변화가 없다는 것은 g'(x)가 항상 0 이상이거나 항상 0 이하라는 뜻입니다. 결정적 힌트는 (x²-4)가 x=-2와 x=2에서 부호가 바뀌므로, |f(x)|-a 역시 정확히 동일한 지점인 x=-2, x=2에서 부호가 바뀌어 그 변화를 상쇄시켜야 한다는 점입니다. 이로부터 |f(-2)|=a, |f(2)|=a 라는 핵심 관계식을 유도할 수 있습니다.
기하 29번
— 하나의 그림 안에 타원과 쌍곡선이 공존할 때, 각각의 정의를 정확히 적용하여 연립하는 능력을 묻는 전형적인 킬러 문항입니다. 출제 의도는 점 P가 타원과 쌍곡선 위의 점이라는 사실로부터 두 개의 거리 관계식을 세우고, 이를 이용해 구하고자 하는 삼각형의 둘레를 표현하는 것입니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 쌍곡선의 초점과 주축을 설정하는 과정에서 혼란을 겪는 것입니다. 문제에서 주어진 정보를 바탕으로 PF₁+PF₂=6 (타원의 정의)과 |PF₃-PF₁|=6 (쌍곡선의 정의) 이라는 두 핵심 식을 세우는 것이 첫 단추입니다. 이 두 식을 연립하여 PF₃와 PF₂의 관계를 찾아내면, 구하고자 하는 둘레(PF₃+PF₂+F₂F₃)를 c에 대한 식으로 간단히 표현할 수 있습니다.
기하 30번
— 타원과 포물선의 정의를 모두 활용해야 풀리는 복합적인 문제입니다. 특히 (나) 조건식의 형태가 매우 생소하여, 식을 변형하여 기하학적 의미를 읽어내는 능력이 핵심입니다. 출제 의도는 (나) FP-F'Q = PQ-FF' 라는 식을 FP-PQ = F'Q-FF' 로 이항하고, 포물선의 정의(FP=PQ)를 적용하여 F'Q=FF'라는 결정적인 기하학적 관계를 이끌어내는 것입니다. 이 관계를 파악하지 못하면 문제 해결이 거의 불가능합니다. 이 실마리를 찾은 후에는, (가) 조건의 코사인 값을 이용해 F', F, P 세 점으로 이루어진 삼각형에 코사인법칙을 적용하고, 타원의 정의(PF+PF'=12)를 연립하여 미지수 c와 k를 구해야 합니다.
미적분 29번
— 도형의 극한 문제 중에서도 계산 과정이 상당히 복잡한 준킬러 문항입니다. 출제 의도는 접선의 방정식을 구하고, 원의 중심 좌표를 미지수로 설정한 뒤, '원과 직선이 접한다'는 조건(원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같다)과 '원이 특정 점을 지난다'는 조건을 연립하여 원의 정보를 알아내는 것입니다. 학생들이 가장 많이 헤매는 부분은 원 C_n의 중심 좌표를 설정하고 방정식을 세우는 과정입니다. 이 문제의 Hint는 원의 중심을 (a, b)로 두고, 중심에서 직선 l_n까지의 거리와 중심에서 점 Q_n(0, 2n²)까지의 거리가 같다는 식을 세우는 것입니다. 이 식과, 중심이 P_n을 지나고 l_n에 수직인 직선 위에 있다는 사실을 연립하면 중심 좌표를 n에 대한 식으로 표현할 수 있습니다.
미적분 30번
— 삼차함수의 비율 관계라는 강력한 도구를 알고 있다면 계산을 크게 줄일 수 있는, 실력 차이가 극명하게 드러나는 문항입니다. 출제 의도는 f(x)=f(a_n)의 근의 관계를 파악하는 것입니다. a_n은 극대가 되는 지점이므로, 방정식 f(x)=f(a_n)은 x=a_n에서 중근을 갖고 다른 한 실근 b_n을 갖습니다. 여기서 무작정 a_n과 b_n을 n에 대해 구하려고 하면 계산 지옥에 빠지게 됩니다. 이 문제의 결정적 실마리는 '삼차방정식의 근과 계수의 관계'를 활용하는 것입니다. f(x)-f(a_n)=0의 세 근의 합은 a_n + a_n + b_n 이고, 이는 원래 함수 f(x)의 x³의 계수와 x²의 계수로부터 바로 알 수 있습니다. 즉, 2a_n + b_n = n+3n² 이라는 간단한 관계식을 얻어내면 극한값 계산이 매우 수월해집니다.
확률과 통계 30번
— 여러 조건이 붙은 중복순열 문제입니다. (가) '숫자 1은 한 번 이상 나온다'와 (나) '이웃한 두 수의 차는 모두 2 이하이다'라는 두 조건을 동시에 만족시켜야 합니다. 이 문제의 핵심 출제 의도는 복잡한 제한 조건을 가진 경우의 수를 체계적으로 분류하거나, 여사건을 효과적으로 활용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 (나) 조건을 잘못 해석하여 '1과 4는 이웃할 수 없다'는 사실을 놓치거나, 여사건을 계산할 때 중복되는 경우를 제대로 처리하지 못하는 것입니다. 이 문제를 푸는 가장 좋은 실마리는 전체 경우의 수에서 (가)의 여사건(1이 없는 경우)과 (나)의 여사건(1과 4가 이웃하는 경우)을 빼는 포함-배제의 원리를 적용하는 것입니다. 이때, (1이 없으면서 1과 4가 이웃하는 경우)는 없으므로 단순히 두 여사건의 경우의 수를 더해서 빼주면 됩니다.