정적분으로 정의된 함수곡선 밖의 점에서 그은 접선공간벡터의 내적과 기하학적 의미여사건과 포함-배제의 원리를 이용한 확률 계산이차곡선의 정의 활용전개도를 이용한 공간도형 문제 해결표본평균의 정규분포 근사삼차함수의 그래프와 성질 추론함수의 곱의 연속성 조건수열의 귀납적 정의와 역추적정적분과 함수의 관계도형에서의 무한등비급수 활용조건부 확률의 이해극한값으로부터 함수 정보 파악

총평

이번 10월 학평 나형은 30번 문항이 정적분과 절댓값 기호를 활용해 다항함수를 추론하는, 그야말로 킬러의 품격을 제대로 보여준 시험이었습니다. 전반적으로 삼차함수의 성질을 다양한 조건(극한, 근, 극값)을 통해 깊이 있게 묻는 21번, 27번 같은 문항들이 까다로웠고, 이는 수능에서도 가장 중요하게 다루는 테마이므로 반드시 복습해야 합니다. 또한 14번(함수의 곱의 연속성)과 29번(수열의 역추적)처럼 특정 유형에 대한 확실한 개념 정립이 되어있지 않으면 시간을 많이 뺏기거나 함정에 빠지기 쉬운 준킬러 문항들이 곳곳에 배치되어, 시간 관리 능력이 등급을 갈랐을 것으로 보입니다.

문항 분석

14번
— 이 문항의 핵심은 '불연속 함수와 연속 함수의 곱이 연속이 될 조건'을 정확히 알고 있느냐입니다. 함수 g(x)는 x=-2와 x=2에서 불연속인데, f(x)g(x)가 실수 전체에서 연속이 되려면 f(x)가 바로 그 불연속 지점에서 함숫값 0을 가져야 하죠. 즉, f(-2)=0, f(2)=0 입니다. 하지만 문제에서 묻는 것은 f(x-a)g(x)가 '한 점에서만' 불연속이 되는 경우입니다. 이는 f(x-a)가 g(x)의 불연속점 두 곳 중 한 곳만 '치유'하고, 다른 한 곳은 그대로 두어야 한다는 의미입니다. 따라서 f(x-a)의 두 근이 각각 -2와 2가 되는 경우를 나누어 생각하는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.
18번
— 이웃한 수의 곱이 '모두' 6의 배수가 되어야 한다는 조건을 다루는 문제입니다. 출제 의도는 여사건, 즉 '6의 배수가 아닌 곱이 하나라도 있는 경우'를 생각하게 유도하는 것이지만, 이 접근이 더 복잡할 수 있습니다. 오히려 '6의 배수가 되려면 짝수와 3의 배수가 반드시 필요하다'는 점에 착안하여 숫자들을 {1}, {2}, {3, 6, 18} 과 같이 성질에 따라 그룹핑하는 것이 해결의 실마리입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 '곱이 6의 배수가 아니다'라는 조건을 '홀수만 이웃한다'라고 단순화하여 3의 배수인 홀수(3)를 고려하지 못하는 경우입니다. 3과 6, 18을 어떻게 배치해야 모든 이웃한 곱이 6의 배수가 될지를 기준으로 케이스를 나누는 것이 결정적입니다.
19번
— 전형적인 무한등비급수 도형 문제입니다. 이런 유형은 첫째항(S₁)과 공비(r)만 구하면 끝납니다. 첫째항은 마름모 D₁BE₁F₁의 넓이에서 부채꼴 BE₁D₁의 넓이를 빼서 구해야 하는데, 마름모의 한 변의 길이를 구하기 위해 삼각형의 닮음을 이용해야 합니다. 공비를 구할 때는 전체 도형과 두 번째 도형의 '닮음비'를 찾는 것이 가장 빠릅니다. 삼각형 ABC와 삼각형 F₁E₁C의 닮음비를 구하면, 그것이 길이의 비가 됩니다. 넓이의 비는 길이의 비의 제곱이라는 사실을 절대 잊지 마세요. 계산 과정에서 특수각(60°)을 활용한 삼각비 계산이 많으므로, 여기서 실수하지 않도록 주의해야 합니다.
21번
— 삼차함수 f(x)의 그래프 개형을 조건에 맞게 추론하는 능력을 평가하는 문제입니다. (가) 조건에서 실근이 α, β 뿐이라는 것은 f(x)가 x=α 또는 x=β에서 x축에 접한다는 의미입니다. 최고차항 계수가 1이므로, (x-α)²(x-β) 또는 (x-α)(x-β)² 형태가 됩니다. (나) 조건에서 극솟값이 -4라고 했으므로, 두 가지 개형 중 극솟값을 갖는 그래프를 선택하고, 미분을 통해 극소점의 x좌표를 α와 β로 표현하여 f(극소점)=-4라는 식을 세우는 것이 풀이의 핵심입니다. <보기>의 각 명제를 판단할 때, 이 관계식을 바탕으로 α와 β 사이의 관계를 정확히 유도해내야 하며, 특히 ㄷ은 f(0)=16이라는 구체적인 값을 대입하여 α, β 값을 직접 찾아야 하는 계산 문제입니다.
27번
— 극한으로 주어진 조건을 해석하여 삼차함수 f(x)의 인수와 계수를 결정하는 문제입니다. (가) 조건에서 x→0일 때 분모가 x인데 극한값이 0이라는 것은, 분자 f(x)-3 역시 x→0일 때 0으로 가야 하고(f(0)=3), 심지어 f'(0)=0이어야 함을 의미합니다. f(0)=3, f'(0)=0 이 두 가지가 이 문제를 푸는 가장 결정적인 정보입니다. (나) 조건은 함수 y=f(x)와 직선 y=-1의 교점이 2개, 즉 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만난다는 뜻입니다. f'(0)=0 이므로 x=0에서 극값을 갖는데, 이 극값이 -1이거나 또는 다른 극점에서 -1에 접하는 두 가지 경우를 그래프로 그려보며 f(0)=3 조건을 만족하는 유일한 상황을 찾아내는 것이 관건입니다.
29번
— a₅=5라는 구체적인 항의 값에서부터 역으로 첫째항 a₁을 추적해나가는 수열 문제입니다. an+1로부터 an을 구할 때는 an이 홀수였는지 짝수였는지에 따라 두 갈래로 나뉩니다. 예를 들어 an+1 = k 라면, an = k-3 (an이 홀수였을 경우) 또는 an = 2k (an이 짝수였을 경우) 두 가지 가능성이 생깁니다. 각 단계에서 이렇게 구해진 an이 '홀수' 또는 '짝수'라는 원래의 가정을 만족하는지 반드시 검증해야 합니다. 이 검증 과정을 거치지 않으면 존재하지 않는 경우의 수가 생겨 오답으로 이어지기 쉽습니다. a₅에서 a₁까지 거꾸로 내려가면서 가능한 모든 경우를 나뭇가지처럼 그려보고, 마지막에 a₁이 짝수라는 초기 조건에 맞는 값들만 모두 더하는 끈기가 필요합니다.
30번
— 이 시험의 최고난도 문항으로, 여러 가지 미적분 개념을 종합적으로 활용해야 합니다. (나) 조건의 두 극한식은 f(x)와 g(x)의 인수에 대한 결정적인 정보를 줍니다. lim [f(x)/x] = 0은 f(x)가 x²을 인수로 가짐을, lim [g(x)/(x-a)] = 0은 g(x)가 (x-a)²을 인수로 가짐을 의미합니다. (가) 조건 f(0)=g(0)과 최고차항 계수가 1이라는 점을 종합하면 f(x)=x²(x-p), g(x)=(x-a)²(x-q) 형태로 둘 수 있고, f(0)=g(0)=0 이므로 g(x)는 x를 인수로 가져야 합니다. 따라서 g(x)=x(x-a)²로 확정됩니다. (다) 조건의 정적분 값은 g(x)-f(x)라는 새로운 함수의 0부터 a까지의 정적분 값이 36이라는 것입니다. 마지막으로 구해야 할 값은 |f(x)-g(x)|의 정적분인데, 이는 두 함수의 그래프가 만드는 넓이를 의미합니다. (다) 조건과 비교하여 두 함수의 그래프 위치 관계를 추론하는 것이 문제 해결의 마지막 열쇠입니다.
미적분 21번
— 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 개수를 함수 f(n)으로 정의하고, 그 함수의 함숫값에 대한 조건을 분석하는 문제입니다. 이 유형의 핵심은 '접선의 개수'가 '접점의 개수'와 같고, 이는 곧 접점의 x좌표 t에 대한 방정식의 '서로 다른 실근의 개수'와 같다는 논리적 연결고리를 이해하는 것입니다. 접선의 방정식을 세워 점 (a, 0)을 대입한 후, t에 대한 방정식을 `k(t) = a` 꼴로 변형하여 함수 k(t)의 그래프와 직선 y=a의 교점 개수를 파악하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다. 학생들이 자주 하는 실수는 복잡한 지수함수가 포함된 방정식의 근의 개수를 판별식으로 접근하려 하거나, 그래프 개형을 그리지 않고 대수적으로만 풀려고 시도하는 것입니다. 반드시 미분을 통해 함수의 증감과 극값을 조사하여 그래프를 그려야만 f(n)의 값을 정확히 결정할 수 있습니다.
확률과 통계 28번
— 서로 다른 모양과 무늬를 가진 7개의 조각으로 주어진 도형을 채우는 경우의 수 문제입니다. 이 문제의 첫 단추는 어떤 조각을 기준으로 삼을 것인지 결정하는 것입니다. 모양이 유일한 정사각형(◇) 조각을 4개의 칸 중 어디에 배치할지 먼저 결정하는 것이 가장 효율적인 접근법입니다. 그 후 남은 3개의 정사각형 칸을 6개의 직각삼각형 조각으로 채워야 하는데, 여기서 결정적인 아이디어는 각 칸을 나누는 대각선의 방향(／ 또는 ＼)을 먼저 결정하는 것입니다. 대각선 방향이 정해지면 6개의 삼각형 자리가 생기고, 여기에 무늬가 다른 조각들(☆ 1개, ○ 1개, 무지 4개)을 배열하는 순열 문제로 바뀌게 됩니다. 단순히 조각을 끼워 맞추려 하면 경우를 중복해서 세거나 빠뜨리기 쉬우니, '자리 결정 → 방향 결정 → 조각 배열'의 단계적 사고가 필수적입니다.
기하 29번
— 두 개의 구 위를 움직이는 점 P, Q에 대한 벡터 |PQ|의 최댓값을 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 벡터를 시점이 원점(O)이 되도록 분해하는 것, 즉 |PQ|^2 = |OQ - OP|^2 = |OQ|^2 - 2(OQ · OP) + |OP|^2 으로 전개하는 데 있습니다. |OP|는 2로 일정하므로, 결국 |OQ|가 최대가 되고 내적 OQ · OP가 최소(음의 방향으로 절댓값이 최대)가 되는 순간을 찾아야 합니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 P와 Q가 단순히 각 구의 중심을 이은 직선 위에서 가장 멀리 떨어져 있을 것이라고 속단하는 것입니다. 내적 값이 최소가 되려면 두 벡터 OQ와 OP가 서로 반대 방향을 가리켜야 한다는 기하학적 상황을 정확히 포착해야 합니다. 따라서 Q는 원점에서 가장 먼 점, P는 벡터 OQ와 반대 방향에 위치한 점일 때 |PQ|가 최대가 됩니다.
미적분 30번
— 두 함수 f(x), g(x)가 정적분을 포함한 여러 조건으로 얽혀있는, 전형적인 미적분 킬러 문항입니다. (나) 조건의 적분 안쪽 `f(t+1)e^t - f'(t)e^t + g(t)` 라는 복잡한 식의 형태에서 곱의 미분법 `(h(t)e^t)'` 꼴을 떠올리는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다. (나) 식을 x에 대해 미분하고, (가) 식 `g(x+1)-g(x)` 와 연관 지어 f와 g 사이의 관계식을 도출해야 합니다. 많은 학생들이 이 복잡한 식을 보고 어떤 변형을 해야 할지 몰라 접근조차 못 하는 경우가 많습니다. 최종 목표인 `∫f(x)dx`를 구하기 위해, (나) 식의 정적분을 이용하여 `∫g(x)dx` 와의 관계를 찾고, (가) 조건을 통해 `∫g(x)dx`의 값을 구간별로 쪼개어 계산하는 전략이 필요합니다. 이 문제는 미분, 부분적분, 함수 관계 추론 등 미적분의 모든 핵심 도구를 종합적으로 사용해야 풀 수 있습니다.