2026년 5월 고3 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 5월 학평은 15번 정적분 문항에서 계산의 늪에 빠지거나 22번의 생소한 정삼각형 조건 앞에서 당황한 학생들이 많았을 겁니다. 전반적인 난이도는 평이했으나, 변별력을 가르는 문항들은 함수의 그래프를 능숙하게 다루고 조건들을 기하학적으로 해석하는 능력을 집중적으로 요구했습니다. 특히 14번, 22번처럼 그래프의 대칭성과 평행이동 관계를 꿰뚫어 보는 훈련은 실제 수능 고득점을 위해 반드시 필요하며, 단순 계산이 아닌 개념에 기반한 문제 해결 전략을 체화해야 합니다.

• 14번 — 이 문제는 삼각방정식의 해를 그래프의 교점으로 해석하는 능력을 묻고 있습니다. 핵심은 y=sinx 그래프의 주기성과 대칭성을 활용하여 A, B, C, D 네 점의 x좌표 사이의 관계를 식으로 표현하는 것입니다. 많은 학생들이 C, D의 x좌표를 단순히 π를 기준으로 표현하려다 실수를 하는데, y=-√1-k² 이라는 조건이 y=k와 어떤 관계인지(sin²x+cos²x=1을 떠올려보세요!) 파악하는 것이 결정적 실마리입니다. 두 직선의 y좌표가 원점 대칭 관계에 있다는 것을 눈치채면, 점들의 관계가 훨씬 명확하게 보일 겁니다.
  
• 15번 — 정적분으로 정의된 함수 g(t)의 최댓값을 묻는 문제로, 도함수 g'(t)의 부호를 파악하는 것이 핵심입니다. 출제 의도는 정적분의 위끝, 아래끝에 변수가 있을 때 양변을 미분하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 g(t)의 식을 보고 압도되어 섣불리 적분을 시도하거나, α(t), β(t)를 t에 대한 식으로 구하려고 하는 것입니다. 그럴 필요 없이, g'(t) = |f(β(t))|-(β(t)+t) - {|f(α(t))|-(α(t)+t)} 라는 식을 유도한 뒤, f(x)와 직선 y=x+t의 교점 정의에 따라 f(β(t))=β(t)+t, f(α(t))=α(t)+t 임을 이용해 g'(t)를 간단히 하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  
• 21번 — 구간별로 정의된 함수 g(x)가 실수 전체에서 미분가능할 조건을 이용해 3차 함수 f(x)를 추론하는 문제입니다. 미분가능 조건은 '연속'과 '좌/우 미분계수 일치' 두 가지를 모두 만족해야 한다는 점이 핵심입니다. g(p)=kf(0), g'(p)=kf'(-p) 라는 두 조건을 정확히 식으로 세워야 합니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 (나) 조건인 'g(x)=0의 실근 합이 2p'라는 것을 f(x)의 근과 kf(x-p)의 근을 각각 구해 더하는 과정에서, p를 기준으로 나뉜 g(x)의 정의역을 고려하지 않는 것입니다. x<p 범위의 근과 x≥p 범위의 근을 따로 생각해야만 올바른 식을 세울 수 있습니다.
  
• 22번 — 지수함수와 로그함수 그래프 위의 세 점이 정삼각형을 이룬다는 조건은 매우 생소하게 느껴질 수 있지만, 본질은 그래프의 평행이동과 대칭성, 그리고 정삼각형의 기하학적 성질을 결합하는 능력입니다. (가) 조건에서 직선 AB의 기울기가 1이라는 것은 점 A(x₁, y₁)와 B(x₂, y₂)에 대해 y₂-y₁ = x₂-x₁ 임을 의미하며, 이는 2^(x₂+1)+k - (2^(x₁+1)+k) = x₂-x₁ 으로 이어집니다. 이 식을 보고 막막해하는 학생들이 많지만, 한 변의 길이가 2√2이고 기울기가 1인 선분을 생각하면 x좌표의 차이와 y좌표의 차이가 각각 2라는 것을 바로 알 수 있습니다. 이것이 문제 해결의 결정적 힌트이며, C점의 좌표를 A, B와 연관 지어 로그 함수에 대입하는 것이 다음 단계입니다.
  
• 미적분 30번 — 역함수 g(x)와 관련된 복잡한 함수 h(x)의 미분가능성을 다루는 문제입니다. 최고차항 계수가 1인 3차 함수 f(x)가 역함수를 가지므로 f'(x)≥0 이라는 조건을 먼저 떠올려야 합니다. (가) 조건에서 g(k)=0 이므로 f(0)=k 라는 관계를 바로 유추할 수 있습니다. 이 문제의 가장 큰 함정은 h(x)-|g(x)| 라는 함수가 x=k에서 미분가능하다는 조건을 해석하는 부분입니다. x=k 근방에서 g(x)의 부호가 바뀌므로, 절댓값을 풀 때 경우를 나누어 좌/우 미분계수를 구하고 같다고 놓아야 합니다. 이 과정에서 g'(k) 즉, 1/f'(g(k)) = 1/f'(0)의 값을 구할 수 있으며, 이것이 f(x)의 식을 특정하는 결정적인 단서가 됩니다.
  
• 확률과 통계 30번 — 공과 카드를 상자에 나누어 담는 복합적인 경우의 수 문제입니다. 출제 의도는 중복조합, 분할, 그리고 복잡한 조건에 대한 케이스 분류 능력을 종합적으로 평가하는 것입니다. (가) 조건에서 1번 상자와 8번 상자에 들어갈 카드의 개수가 제한되므로, 이 두 상자에 들어갈 카드를 먼저 배정하는 것이 좋습니다. 가장 큰 함정은 (나) 조건의 해석입니다. 'n이 적힌 상자에는 n의 배수가 적힌 카드가 들어 있거나 공이 n개 이상 들어 있다'는 것은 '또는' 조건이므로, 여사건을 활용하는 것이 더 효율적일 수 있습니다. 즉, 전체 경우의 수에서 (나) 조건을 만족하지 않는 경우(예: 2번 상자에 2의 배수 카드도 없고 공도 2개 미만인 경우)를 빼는 전략을 고려해봐야 합니다. 공은 구별하지 않으므로 공을 나누는 것은 중복조합(H)을, 카드는 구별되므로 카드를 나누는 것은 분할/분배의 개념을 사용해야 합니다.