수학ETF	2026년_고3_5월	기출문제
	1~22
	대수, 미적분

[eqn: 2^{1 over 3} times root {3} of {32}] 의 값은?

④

[eqn: 32 = 2^{5}]이므로 [eqn: root {3} of {32} = 2^{5 over 3}]

주어진 식을 지수법칙을 이용하여 정리하면

[eqn: 2^{1 over 3} times root {3} of {32} = 2^{1 over 3} times 2^{5 over 3} = 2^{{1 over 3} + {5 over 3}} = 2^{2} = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

곡선 [eqn: y = x^{3} + 2x - 1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,`2 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는?

⑤

[eqn: f(x) = x^{3} + 2x - 1]이라 하면 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2]

점 [eqn: (1, 2)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: x=1]에서의 미분계수와 같으므로 [eqn: f'(1) = 3 times 1^{2} + 2 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: {d} over {dx} f(x) = 3x^{2} - 5]이고 [eqn: f(0) = 1]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

③

[eqn: {d} over {dx} f(x) = 3x^{2} - 5]이므로 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: f(x) = int (3x^{2} - 5) dx = x^{3} - 5x + C] (단, [eqn: C] 는 적분상수)

[eqn: f(0) = 1]이므로 [eqn: C = 1]

따라서 [eqn: f(x) = x^{3} - 5x + 1]이므로 [eqn: f(1) = 1 - 5 + 1 = -3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ -2,`2 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow -1-} f(x) + lim_{x rightarrow 1+} f(x)]의 값은?

⑤

함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프에서

[eqn: x -> -1-]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 3]에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim from {x -> -1-} f(x) = 3]

[eqn: x -> 1+]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 2]에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim from {x -> 1+} f(x) = 2]

따라서 [eqn: lim from {x -> -1-} f(x) + lim from {x -> 1+} f(x) = 3 + 2 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

원점을 지나는 곡선 [eqn: y=2^{x-a}+b]의 점근선이 직선 [eqn: y=-4]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

①

지수함수 [eqn: y=2^{x-a}+b]의 점근선은 직선 [eqn: y=b]이다.

조건에서 점근선이 직선 [eqn: y=-4]이므로 [eqn: b=-4]

곡선 [eqn: y=2^{x-a}-4]가 원점 [eqn: (0, 0)]을 지나므로

[eqn: 0=2^{-a}-4]에서 [eqn: 2^{-a}=4=2^{2}], [eqn: -a=2] ∴ [eqn: a=-2]

따라서 [eqn: a+b=-2+(-4)=-6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 2]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = a sin bx + 1]의 주기가 [eqn: 3 pi]이고 최댓값과 최솟값의 차가 [eqn: 6]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x) = a sin bx + 1]의 주기가 [eqn: 3 pi]이고 [eqn: b > 0]이므로 [eqn: {2 pi} over {b} = 3 pi]에서 [eqn: b = {2} over {3}]

또한 [eqn: a > 0]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: a+1], 최솟값은 [eqn: -a+1]이다.

최댓값과 최솟값의 차가 [eqn: 6]이므로

[eqn: (a+1) - (-a+1) = 6], [eqn: 2a = 6] ∴ [eqn: a = 3]

따라서 [eqn: a+b = 3 + {2} over {3} = {11} over {3}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {11} over {3}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {13} over {3}]

④ [eqn: {14} over {3}]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_{a}^{x} f(t)dt = x^{2} - 3ax + 2]
를 만족시킨다. [eqn: f(0) > 0]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

주어진 등식 [eqn: int_{a}^{x} f(t)dt = x^{2} - 3ax + 2]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f(x) = 2x - 3a] ……①

주어진 등식의 양변에 [eqn: x = a]를 대입하면

[eqn: 0 = a^{2} - 3a^{2} + 2]에서 [eqn: 2a^{2} = 2] ∴ [eqn: a = -1] 또는 [eqn: a = 1]

조건에서 [eqn: f(0) > 0]이고 ①에서 [eqn: f(0) = -3a]이므로

[eqn: -3a > 0] ∴ [eqn: a < 0]

따라서 [eqn: a = -1]이고 [eqn: f(x) = 2x + 3]이다.

[eqn: f(2) = 2 times 2 + 3 = 7]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

첫째항이 음수인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]이
[eqn: a_{1} times a_{5} = 36], [eqn: a_{3} + 2a_{4} = 2]
를 만족시킬 때, [eqn: a_{2}]의 값은?

③

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_{1} times a_{5} = a_{1} times a_{1} r^{4} = (a_{1} r^{2})^{2} = a_{3}^{2} = 36]

이때 [eqn: a_{1} < 0]이고 [eqn: r^{2} geq 0]이므로 [eqn: a_{3} = a_{1} r^{2} leq 0]

∴ [eqn: a_{3} = -6]

[eqn: a_{3} + 2a_{4} = 2]에서 [eqn: a_{4} = a_{3} r = -6r]이므로

[eqn: -6 - 12r = 2] ∴ [eqn: r = - {2} over {3}]

[eqn: a_{3} = a_{2} r]에서 [eqn: -6 = a_{2} times left ( - {2} over {3} right )]

∴ [eqn: a_{2} = 9]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = (x^{2} + x)f(x)]
라 하자. [eqn: lim_{h rightarrow 0} {g(1+h)-4} over {h} = 9]일 때, [eqn: f(1) times f'(1)]의 값은?

①

[eqn: lim from {h -> 0} {g(1+h)-4} over {h} = 9]에서 [eqn: h -> 0]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 수렴하므로 극한값이 존재하려면 분자도 [eqn: 0]으로 수렴해야 한다.

다항함수 [eqn: g(x)]는 연속이므로 [eqn: lim from {h -> 0} left ( g(1+h)-4 right ) = g(1)-4 = 0] ∴ [eqn: g(1) = 4]

이를 극한식에 대입하면 미분계수의 정의에 의해 [eqn: lim from {h -> 0} {g(1+h)-g(1)} over {h} = g'(1) = 9]

[eqn: g(x) = (x^{2} + x)f(x)]의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: g(1) = 2f(1) = 4] ∴ [eqn: f(1) = 2]

[eqn: g(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: g'(x) = (2x+1)f(x) + (x^{2}+x)f'(x)]

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: g'(1) = 3f(1) + 2f'(1)], [eqn: 9 = 3 times 2 + 2f'(1)]에서 [eqn: 2f'(1) = 3] ∴ [eqn: f'(1) = {3} over {2}]

따라서 [eqn: f(1) times f'(1) = 2 times {3} over {2} = 3]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: 9]

각 [eqn: A]가 예각인 삼각형 [eqn: rmABC]가 다음 조건을 만족시킬 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이는?

(가) [eqn: rmoverline{AB}=4], [eqn: rmoverline{AC}=15]

(나) 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: 24]이다.

②

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 24]이므로

[eqn: rm{1} over {2} times overline{AB} times overline{AC} times sin A = 24]에서 [eqn: {1} over {2} times 4 times 15 times sin A = 24]

[eqn: 30 sin A = 24] ∴ [eqn: sin A = {4} over {5}]

각 [eqn: A]가 예각이므로 [eqn: cos A > 0]이고

[eqn: cos A = sqrt{1 - sin^{2} A} = sqrt{1 - left ( {4} over {5} right )^{2}} = {3} over {5}]

코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{BC}^{2} = overline{AB}^{2} + overline{AC}^{2} - 2 times overline{AB} times overline{AC} times cos A]

[eqn: = 4^{2} + 15^{2} - 2 times 4 times 15 times {3} over {5} = 169]

[eqn: rmoverline{BC} > 0]이므로 [eqn: rmoverline{BC} = 13]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의해 [eqn: {{bar{rmBC}}} over {sinA} =2R]

[eqn: {13} over {{4} over {5}} = 2R] ∴ [eqn: R = {65} over {8}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {15} over {2}]	② [eqn: {65} over {8}]	③ [eqn: {35} over {4}]

④ [eqn: {75} over {8}]	⑤ [eqn: 10]

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{1}]의 값의 합은?

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{-2a _{n}&``` LEFT ( a _{n} <0 RIGHT )#a _{n} -3&``` LEFT ( a _{n} GEQ 0 RIGHT )}}]
이다.

(나) [eqn: a_{3} = a_{1} + 4]

④

(ⅰ) [eqn: a_{1} < 0]일 때

[eqn: a_{2} = -2a_{1} > 0]이므로 [eqn: a_{3} = a_{2} - 3 = -2a_{1} - 3]

조건 (나)에서 [eqn: a_{3} = a_{1} + 4]이므로 [eqn: -2a_{1} - 3 = a_{1} + 4]에서 [eqn: 3a_{1} = -7] ∴ [eqn: a_{1} = - {7} over {3}] (조건 만족)

(ⅱ) [eqn: a_{1} geq 0]일 때

[eqn: a_{2} = a_{1} - 3]

① [eqn: 0 leq a_{1} < 3]일 때

[eqn: a_{2} < 0]이므로 [eqn: a_{3} = -2a_{2} = -2(a_{1} - 3) = -2a_{1} + 6]

조건 (나)에서 [eqn: -2a_{1} + 6 = a_{1} + 4]에서 [eqn: 3a_{1} = 2] ∴ [eqn: a_{1} = {2} over {3}] (조건 만족)

② [eqn: a_{1} geq 3]일 때

[eqn: a_{2} geq 0]이므로 [eqn: a_{3} = a_{2} - 3 = a_{1} - 6]

조건 (나)에서 [eqn: a_{1} - 6 = a_{1} + 4]에서 [eqn: -6 = 4]이므로 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합은 [eqn: - {7} over {3} + {2} over {3} = - {5} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {4} over {3}]

④ [eqn: - {5} over {3}]	⑤ [eqn: -2]

시각 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가
[eqn: v(t)=3t^{2}-11t+8]
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 바뀐다. ㄴ. 점 [eqn: rmP]의 가속도가 [eqn: 1]이 되는 순간 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 2]이다. ㄷ. 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: 6]이다.

②

ㄱ. [eqn: v(t) = 3t^{2} - 11t + 8 = (3t-8)(t-1)]

[eqn: v(t) = 0]에서 [eqn: t = 1] 또는 [eqn: t = {8} over {3}]

[eqn: t=1]의 좌우에서 [eqn: v(t)]의 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 바뀐다. (참)

ㄴ. 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: a(t)]라 하면

[eqn: a(t) = v'(t) = 6t - 11]

[eqn: a(t) = 1]에서 [eqn: 6t - 11 = 1] ∴ [eqn: t = 2]

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면

[eqn: x(t) = int from {0} to {t} (3s^{2} - 11s + 8) ds = t^{3} - {11} over {2} t^{2} + 8t]

[eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: x(2) = 8 - 22 + 16 = 2] (참)

ㄷ. 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int from {0} to {2} left | v(t) right | dt = int from {0} to {1} v(t) dt - int from {1} to {2} v(t) dt]

[eqn: = left [ t^{3} - {11} over {2} t^{2} + 8t right ] _{0}^{1} - left [ t^{3} - {11} over {2} t^{2} + 8t right ] _{1}^{2}]

[eqn: = {7} over {2} - left ( 2 - {7} over {2} right ) = 5] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

따라서 정답은 ②이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(28)]의 값은?

(가) [eqn: 0 leq x leq 12]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: ( sqrt{2x+1} - 1 ) times f(x) = ax]
이다. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

(나) 모든 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: k]에서 [eqn: k+12]까지 변할 때의 평균변화율은 [eqn: {1} over {2}]이다.

②

조건 (가)에서 [eqn: 0 < x leq 12]일 때

[eqn: f(x) = {ax} over {sqrt{2x+1} - 1} = {ax( sqrt{2x+1} + 1 )} over {2x} = {a} over {2} ( sqrt{2x+1} + 1 )]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=0]에서도 연속이다.

[eqn: f(0) = lim from {x -> 0+} f(x) = lim from {x -> 0+} {a} over {2} ( sqrt{2x+1} + 1 ) = a]

조건 (나)에서 모든 실수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: {f(k+12) - f(k)} over {12} = {1} over {2}]에서 [eqn: f(k+12) = f(k) + 6] ……①

①에 [eqn: k=0]을 대입하면 [eqn: f(12) = f(0) + 6]

[eqn: f(12) = {a} over {2} ( sqrt{25} + 1 ) = 3a]이고 [eqn: f(0) = a]이므로 [eqn: 3a = a + 6] ∴ [eqn: a = 3]

따라서 [eqn: 0 leq x leq 12]에서 [eqn: f(x) = {3} over {2} ( sqrt{2x+1} + 1 )]이다.

①에 [eqn: k=16], [eqn: k=4]를 차례로 대입하면

[eqn: f(28) = f(16) + 6 = f(4) + 12]

[eqn: f(4) = {3} over {2} ( sqrt{9} + 1 ) = 6]이므로 [eqn: f(28) = 6 + 12 = 18]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=sin`x][eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ 2pi RIGHT )]가 직선 [eqn: y = k]와 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 직선 [eqn: y = - sqrt{1 - k^{2}}]과 만나는 두 점을 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmoverline{CD} - overline{AB} = {2} over {9} pi]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는? (단, [eqn: k]는 [eqn: 0 < k < 1]인 상수이다.)

③

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha] ([eqn: 0 < alpha < {pi} over {2}])라 하면 [eqn: sin alpha = k]이다.

삼각함수 그래프의 대칭성에 의해 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: pi - alpha]이므로 [eqn: rmoverline{AB} = (pi - alpha) - alpha = pi - 2 alpha]

직선 [eqn: y = - sqrt{1 - k^{2}}]에 [eqn: k = sin alpha]를 대입하면

[eqn: y = - sqrt{1 - sin^{2} alpha} = - sqrt{cos^{2} alpha}]

[eqn: 0 < alpha < {pi} over {2}]에서 [eqn: cos alpha > 0]이므로 [eqn: y = - cos alpha]

[eqn: sin x = - cos alpha]를 만족하는 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표는 삼각함수의 각 변환 공식 [eqn: sin left ( {3} over {2} pi +- alpha right ) = - cos alpha]에 의해

각각 [eqn: {3} over {2} pi - alpha], [eqn: {3} over {2} pi + alpha]이므로

[eqn: rmoverline{CD} = left ( {3} over {2} pi + alpha right ) - left ( {3} over {2} pi - alpha right ) = 2 alpha]

주어진 조건 [eqn: rmoverline{CD} - overline{AB} = {2} over {9} pi]에서 [eqn: 2 alpha - (pi - 2 alpha) = {2} over {9} pi]

[eqn: 4 alpha = {11} over {9} pi] ∴ [eqn: alpha = {11} over {36} pi]

따라서 [eqn: rmoverline{AB} = pi - 2 times {11} over {36} pi = {7} over {18} pi]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {13} over {36} pi]	② [eqn: {3} over {8} pi]	③ [eqn: {7} over {18} pi]

④ [eqn: {29} over {72} pi]	⑤ [eqn: {5} over {12} pi]

[eqn: p > 1]인 상수 [eqn: p]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = x^{2} - px]가 있다. 실수 [eqn: t][eqn: (t>-p)]에 대하여 함수 [eqn: y = left | f(x) right |]의 그래프와 직선 [eqn: y = x + t]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표 중 가장 작은 값을 [eqn: alpha(t)], 가장 큰 값을 [eqn: beta(t)]라 하자. 열린구간 [eqn: (-p,` INF )]에서 정의된 함수
[eqn: g(t) = int_{alpha(t)}^{beta(t)} left { left | f(x) right | - (x + t) right } dx]
의 최댓값이 [eqn: {1} over {2}]일 때, [eqn: p]의 값은?

⑤

방정식 [eqn: left | x^{2} - px right | = x + t]에서

(ⅰ) [eqn: x leq 0] 또는 [eqn: x geq p]일 때

[eqn: x^{2} - px = x + t]에서 [eqn: x^{2} - (p+1)x - t = 0] ……①

(ⅱ) [eqn: 0 < x < p]일 때

[eqn: -x^{2} + px = x + t]에서 [eqn: x^{2} - (p-1)x + t = 0] ……②

[eqn: -p < t < 0]일 때,

①의 두 근을 [eqn: X_{1}], [eqn: X_{2}] ([eqn: X_{1} < X_{2}])라 하면 두 근의 곱이 [eqn: -t > 0]이고 합이 [eqn: p+1 > 0]이므로 두 근 모두 양수이다.

따라서 [eqn: x leq 0]인 근은 없고, [eqn: x geq p]인 근은 [eqn: X_{2}] 하나 존재한다.

②의 두 근을 [eqn: x_{3}], [eqn: x_{4}] ([eqn: x_{3} < x_{4}])라 하면 두 근의 곱이 [eqn: t < 0]이므로 양수인 근 [eqn: x_{4}] 하나가 [eqn: 0 < x < p]에 존재한다.

이때 [eqn: alpha(t) = x_{4}], [eqn: beta(t) = X_{2}]이고, 구간 [eqn: (x_{4}, X_{2})]에서 곡선 [eqn: y = left | f(x) right |]는 직선 [eqn: y = x + t]보다 항상 아래에 있거나 만나므로 [eqn: g(t) leq 0]이다.

[eqn: t geq 0]일 때,

①의 두 근 [eqn: X_{1}], [eqn: X_{2}] ([eqn: X_{1} < X_{2}])에 대하여 두 근의 곱이 [eqn: -t leq 0]이므로 [eqn: X_{1} leq 0], [eqn: X_{2} geq p]이다.

따라서 [eqn: alpha(t) = X_{1}], [eqn: beta(t) = X_{2}]이다.

[eqn: g(t) = int_{X_{1}}^{X_{2}} left { left | x^{2} - px right | - (x + t) right } dx]

[eqn: = int_{X_{1}}^{X_{2}} left { x^{2} - (p+1)x - t right } dx - 2 int_{0}^{p} (x^{2} - px) dx]

[eqn: = - {1} over {6} (X_{2} - X_{1})^{3} - 2 times left ( - {1} over {6} p^{3} right )]

①에서 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: (X_{2} - X_{1})^{2} = (p+1)^{2} + 4t]이므로

[eqn: g(t) = - {1} over {6} left { (p+1)^{2} + 4t right } ^{ {3} over {2} } + {p^{3}} over {3}]

[eqn: t geq 0]에서 [eqn: g(t)]는 감소함수이므로 [eqn: t = 0]일 때 최댓값을 갖는다.

[eqn: g(0) = - {1} over {6} (p+1)^{3} + {p^{3}} over {3} = {p^{3} - 3p^{2} - 3p - 1} over {6}]

[eqn: g(t)]의 최댓값이 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: {p^{3} - 3p^{2} - 3p - 1} over {6} = {1} over {2}]에서 [eqn: p^{3} - 3p^{2} - 3p - 4 = 0]

[eqn: (p-4)(p^{2} + p + 1) = 0]

[eqn: p > 1]이므로 [eqn: p = 4]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

반지름의 길이가 [eqn: 8]이고 중심각의 크기가 [eqn: {3} over {4} pi]인 부채꼴의 넓이는 [eqn: a pi]이다. [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 24]

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 중심각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: r = 8], [eqn: theta = {3} over {4} pi]이므로 부채꼴의 넓이는

[eqn: {1} over {2} r^{2} theta = {1} over {2} times 8^{2} times {3} over {4} pi = 24 pi]

부채꼴의 넓이가 [eqn: a pi]이므로

[eqn: a pi = 24 pi]에서 [eqn: a = 24]

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{7} a_{2k} = sum_{k=1}^{7} left ( k^{2} - a_{2k-1} right )]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{14} a_{k}]의 값을 구하시오.

[eqn: 140]

주어진 식 [eqn: sum from {k=1} to {7} a_{2k} = sum from {k=1} to {7} left ( k^{2} - a_{2k-1} right )]의 우변을 시그마의 성질을 이용하여 분리하면

[eqn: sum from {k=1} to {7} a_{2k} = sum from {k=1} to {7} k^{2} - sum from {k=1} to {7} a_{2k-1}]

[eqn: - sum from {k=1} to {7} a_{2k-1}]을 좌변으로 이항하여 정리하면

[eqn: sum from {k=1} to {7} a_{2k-1} + sum from {k=1} to {7} a_{2k} = sum from {k=1} to {7} k^{2}]

좌변의 두 시그마를 하나로 합치면

[eqn: sum from {k=1} to {7} left ( a_{2k-1} + a_{2k} right ) = sum from {k=1} to {7} k^{2}]

이때 좌변은 수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 제[eqn: 1]항부터 제[eqn: 14]항까지의 합이므로

[eqn: sum from {k=1} to {14} a_{k} = sum from {k=1} to {7} k^{2}]

자연수의 거듭제곱의 합 공식에 의해

[eqn: sum from {k=1} to {7} k^{2} = {7 times 8 times 15} over {6} = 140]

따라서 정답은 [eqn: 140]이다.

방정식
[eqn: log_{2} (x-4) = log_{1 over 2} (x-6) + 3]
을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

로그의 진수 조건에서

[eqn: x-4 > 0]이고 [eqn: x-6 > 0]이므로 [eqn: x > 6] ……①

주어진 방정식에서 밑을 [eqn: 2]로 통일하면

[eqn: log_{2} (x-4) = -log_{2} (x-6) + 3]

[eqn: log_{2} (x-4) + log_{2} (x-6) = 3]

[eqn: log_{2} (x-4)(x-6) = 3]

로그의 정의에 의해

[eqn: (x-4)(x-6) = 2^{3}]

[eqn: x^{2} - 10x + 16 = 0]

[eqn: (x-2)(x-8) = 0]

[eqn: x = 2] 또는 [eqn: x = 8]

①에 의해 [eqn: x > 6]이므로 [eqn: x = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^{3}-3ax^{2}+40a^{2}=0]의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 1]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: f(x) = x^{3}-3ax^{2}+40a^{2}]이라 하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2}-6ax = 3x(x-2a)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = 2a]

[eqn: a > 0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 0]에서 극대, [eqn: x = 2a]에서 극소이다.

[eqn: f(0) = 40a^{2} > 0]이므로 [eqn: x > 0]에서 방정식 [eqn: f(x) = 0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 1]이려면 극솟값이 [eqn: 0]이어야 한다.

[eqn: f(2a) = 8a^{3} - 12a^{3} + 40a^{2} = 0]에서

[eqn: -4a^{2}(a - 10) = 0]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 10]

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.

첫째항이 [eqn: 8]인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 수열 [eqn: left { b_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} b_{k}]의 값을 구하시오.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: b _{n} = {cases{-2a _{n}&``` LEFT ( a _{n} LEQ 0 RIGHT )#a _{n}&``` LEFT ( a _{n} >0 RIGHT )}}]
이다.

(나) [eqn: b_{3} + b_{5} = 2b_{4} + 6], [eqn: b_{4} + b_{6} = 2b_{5}]

[eqn: 155]

등차수열 [eqn: a_{n}]의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_{n} = 8 + (n-1)d]이다.

조건 (나)의 [eqn: b_{3} + b_{5} = 2b_{4} + 6]에서 [eqn: b_{3}], [eqn: b_{4}], [eqn: b_{5}]는 등차수열을 이루지 않으므로 [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}], [eqn: a_{5}]의 부호가 모두 같을 수 없다.

첫째항이 양수이므로 [eqn: d < 0]이고, [eqn: n=3], [eqn: 4], [eqn: 5] 부근에서 [eqn: a_{n}]의 부호가 바뀐다.

(ⅰ) [eqn: a_{3} > 0], [eqn: a_{4} leq 0]일 때

[eqn: b_{3} = a_{3}], [eqn: b_{4} = -2a_{4}], [eqn: b_{5} = -2a_{5}]이므로 [eqn: b_{3} + b_{5} = 2b_{4} + 6]에 대입하면

[eqn: a_{3} - 2a_{5} = -4a_{4} + 6]

[eqn: (8+2d) - 2(8+4d) = -4(8+3d) + 6]에서 [eqn: 6d = -18] ∴ [eqn: d = -3]

[eqn: d = -3]일 때 [eqn: a_{3} = 2 > 0], [eqn: a_{4} = -1 leq 0]이므로 가정을 만족한다.

이때 [eqn: a_{5} = -4], [eqn: a_{6} = -7]이므로 [eqn: b_{4} = 2], [eqn: b_{5} = 8], [eqn: b_{6} = 14]가 되어 [eqn: b_{4} + b_{6} = 2b_{5}]를 만족한다.

(ⅱ) [eqn: a_{4} > 0], [eqn: a_{5} leq 0]일 때

[eqn: b_{4} = a_{4}], [eqn: b_{5} = -2a_{5}], [eqn: b_{6} = -2a_{6}]이므로 [eqn: b_{4} + b_{6} = 2b_{5}]에 대입하면

[eqn: a_{4} - 2a_{6} = -4a_{5}]

[eqn: (8+3d) - 2(8+5d) = -4(8+4d)]에서 [eqn: 9d = -24] ∴ [eqn: d = - {8} over {3}]

[eqn: d = - {8} over {3}]일 때 [eqn: a_{4} = 8 + 3 times left ( - {8} over {3} right ) = 0]이 되어 [eqn: a_{4} > 0]이라는 가정에 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: d = -3]이고 [eqn: a_{n} = 11 - 3n]이다.

[eqn: n leq 3]일 때 [eqn: a_{n} > 0]이므로 [eqn: b_{n} = a_{n} = 11 - 3n]

[eqn: n geq 4]일 때 [eqn: a_{n} leq 0]이므로 [eqn: b_{n} = -2a_{n} = 6n - 22]

[eqn: sum from {k=1} to {10} b_{k} = sum from {k=1} to {3} b_{k} + sum from {k=4} to {10} b_{k}]

[eqn: sum from {k=1} to {3} b_{k} = 8 + 5 + 2 = 15]

[eqn: sum from {k=4} to {10} b_{k} = sum from {k=4} to {10} (6k - 22) = {7(2 + 38)} over {2} = 140]

∴ [eqn: sum from {k=1} to {10} b_{k} = 15 + 140 = 155]

따라서 정답은 [eqn: 155]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 있다.
양수 [eqn: p]와 실수 [eqn: k][eqn: LEFT ( k!=0 RIGHT )]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x<p RIGHT )#kf LEFT ( x-p RIGHT )&``` LEFT ( x GEQ p RIGHT )}}]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 모든 실근의 합이 [eqn: 2p]이다.

함수 [eqn: g(x)]의 극값 중 가장 큰 값이 [eqn: {3 sqrt{3}} over {2}]일 때, [eqn: f(4)]의 값을 구하시오.

[eqn: 55]

조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=p]에서 연속이므로

[eqn: lim from {x -> p-} g(x) = lim from {x -> p+} g(x)]에서 [eqn: f(p) = kf(0)]

[eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: f(p)=0]

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이므로 [eqn: f(x) = x(x-p)(x- alpha)]라 하자.

방정식 [eqn: g(x)=0]의 실근은

[eqn: x < p]일 때 [eqn: f(x)=0]에서 [eqn: x=0], [eqn: x= alpha] (단, [eqn: alpha < p])

[eqn: x geq p]일 때 [eqn: kf(x-p)=0]에서 [eqn: x-p=0], [eqn: x-p=p], [eqn: x-p= alpha]

즉, [eqn: x=p], [eqn: x=2p], [eqn: x=p+ alpha] (단, [eqn: p+ alpha geq p]에서 [eqn: alpha geq 0])

조건 (나)에서 서로 다른 모든 실근의 합이 [eqn: 2p]가 되도록 [eqn: alpha]의 범위를 나누어 확인하면

(ⅰ) [eqn: alpha < 0]일 때

실근은 [eqn: x=0], [eqn: alpha], [eqn: p], [eqn: 2p]이므로

[eqn: 0 + alpha + p + 2p = 2p]에서 [eqn: alpha = -p]

(ⅱ) [eqn: 0 leq alpha < p]일 때

[eqn: alpha = 0]이면 실근은 [eqn: x=0], [eqn: p], [eqn: 2p]이고 합은 [eqn: 3p neq 2p]이므로 모순.

[eqn: alpha neq 0]이면 실근은 [eqn: x=0], [eqn: alpha], [eqn: p], [eqn: 2p], [eqn: p+ alpha]이므로

[eqn: 0 + alpha + p + 2p + p + alpha = 2p]에서 [eqn: alpha = -p] (조건에 모순)

(ⅲ) [eqn: alpha geq p]일 때

[eqn: alpha = p]이면 실근은 [eqn: x=0], [eqn: p], [eqn: 2p]이고 합은 [eqn: 3p neq 2p]이므로 모순.

[eqn: alpha neq p]이면 실근은 [eqn: x=0], [eqn: p], [eqn: 2p], [eqn: p+ alpha]이므로

[eqn: 0 + p + 2p + p + alpha = 2p]에서 [eqn: alpha = -2p] (조건에 모순)

따라서 [eqn: alpha = -p]이고 [eqn: f(x) = x(x-p)(x+p) = x^{3} - p^{2}x]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=p]에서 미분가능하므로 [eqn: g'(p-) = g'(p+)]에서 [eqn: f'(p) = kf'(0)]

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - p^{2}]이므로 [eqn: 2p^{2} = -kp^{2}] ∴ [eqn: k = -2]

[eqn: g(x) = left { matrix { x^{3} - p^{2}x & left ( x < p right ) # -2 left { (x-p)^{3} - p^{2}(x-p) right } & left ( x geq p right ) } right .]

[eqn: g'(x) = left { matrix { 3x^{2} - p^{2} & left ( x < p right ) # -6(x-p)^{2} + 2p^{2} & left ( x > p right ) } right .]

[eqn: g'(x)=0]에서 [eqn: x < p]일 때 [eqn: x = - {p} over {sqrt{3}}], [eqn: x > p]일 때 [eqn: x = p + {p} over {sqrt{3}}]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = - {p} over {sqrt{3}}], [eqn: x = p + {p} over {sqrt{3}}]에서 극대이므로 극댓값은 각각

[eqn: g left ( - {p} over {sqrt{3}} right ) = {2 sqrt{3}} over {9} p^{3}], [eqn: g left ( p + {p} over {sqrt{3}} right ) = {4 sqrt{3}} over {9} p^{3}]

극값 중 가장 큰 값이 [eqn: {3 sqrt{3}} over {2}]이므로

[eqn: {4 sqrt{3}} over {9} p^{3} = {3 sqrt{3}} over {2}]에서 [eqn: p^{3} = {27} over {8}] ∴ [eqn: p = {3} over {2}]

따라서 [eqn: f(x) = x^{3} - {9} over {4} x]이므로 [eqn: f(4) = 64 - 9 = 55]

따라서 정답은 [eqn: 55]이다.

다음 조건을 만족시키는 곡선 [eqn: y=2^{x+1}+k] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x-k)+1] 위의 점 [eqn: rmC]가 존재하도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합을 [eqn: S] 라 하자.

(가) 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: 1]이다.

(나) 삼각형 [eqn: rmABC]는 한 변의 길이가 [eqn: 2sqrt{2}]인 정삼각형이다.

[eqn: 2^{-S+{2} over {3}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 9]

점 [eqn: rmA(itx _{1} ,y _{1} )], [eqn: rmB(itx _{2} ,y _{2} )] ([eqn: x_{1} < x_{2}])라 하면 직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: 1]이고 선분 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 2sqrt{2}]이므로

[eqn: x_{2} - x_{1} = 2], [eqn: y_{2} - y_{1} = 2]

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 곡선 [eqn: y = 2^{x+1} + k] 위에 있으므로

[eqn: y_{2} - y_{1} = 2^{x_{2}+1} - 2^{x_{1}+1} = 2^{x_{1}+3} - 2^{x_{1}+1} = 6 times 2^{x_{1}} = 2]에서 [eqn: 2^{x_{1}} = {1} over {3}] ∴ [eqn: x_{1} = -log_{2} 3]

따라서 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rmA(it-log _{2} 3, {2} over {3} +k)], [eqn: rmB(it2-log _{2} 3, {8} over {3} +k)]이고, 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rmM(it1-log _{2} 3, {5} over {3} +k)]

정삼각형 [eqn: rmABC]의 한 변의 길이가 [eqn: 2sqrt{2}]이므로 높이 [eqn: rmMC]의 길이는 [eqn: rmbarMC`= {sqrt {3}} over {2} TIMES 2 sqrt {2} = sqrt {6}]

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: 1]이므로 선분 [eqn: rmAB]의 수직이등분선 [eqn: rmMC]의 기울기는 [eqn: -1]이다.

점 [eqn: rmM]에서 거리가 [eqn: sqrt{6}]이고 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위의 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: rmC(it1-log _{2} 3± sqrt {3} , {5} over {3} +k -+ sqrt {3} )] (복호동순)

점 [eqn: rmC]가 곡선 [eqn: y = log_{2}(x-k) + 1] 위에 있으므로

[eqn: {5} over {3} + k -+ sqrt{3} = log_{2}(1 - log_{2} 3 +- sqrt{3} - k) + 1]

[eqn: t = 1 - log_{2} 3 +- sqrt{3} - k]라 하면 [eqn: k = 1 - log_{2} 3 +- sqrt{3} - t]이므로

[eqn: {5} over {3} + (1 - log_{2} 3 +- sqrt{3} - t) -+ sqrt{3} = log_{2} t + 1]

[eqn: {5} over {3} - t = log_{2} t + log_{2} 3 = log_{2}(3t)]

이 방정식에서 좌변 [eqn: y = {5} over {3} - t]는 감소함수이고 우변 [eqn: y = log_{2}(3t)]는 증가함수이므로 실근은 오직 하나 존재한다.

[eqn: t = {2} over {3}]를 대입하면 [eqn: {5} over {3} - {2} over {3} = 1], [eqn: log_{2} left ( 3 times {2} over {3} right ) = 1]이므로 [eqn: t = {2} over {3}]

[eqn: 1 - log_{2} 3 +- sqrt{3} - k = {2} over {3}]에서 [eqn: k = {1} over {3} - log_{2} 3 +- sqrt{3}]

모든 실수 [eqn: k]의 값의 합 [eqn: S]는

[eqn: S = left ( {1} over {3} - log_{2} 3 + sqrt{3} right ) + left ( {1} over {3} - log_{2} 3 - sqrt{3} right ) = {2} over {3} - 2log_{2} 3]

따라서 [eqn: 2^{-S+{2} over {3}} = 2^{-({2} over {3} - 2log_{2} 3)+{2} over {3}} = 2^{2log_{2} 3} = 9]

따라서 정답은 [eqn: 9]이다.

[eqn: 7]개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?

③

[eqn: 7]개의 문자 중 [eqn: a]가 [eqn: 3]개, [eqn: b]가 [eqn: 3]개, [eqn: c]가 [eqn: 1]개이므로

구하는 경우의 수는 [eqn: {7!} over {3! times 3!} = {7 times 6 times 5 times 4} over {3 times 2 times 1} = 140]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 70]	② [eqn: 105]	③ [eqn: 140]

④ [eqn: 175]	⑤ [eqn: 210]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 배반사건이고
[eqn: P(A cup B) = {5} over {8}], [eqn: P(A) = {3} over {8}]
일 때, [eqn: P(B ^{C} `)]의 값은?

④

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 배반사건이므로

[eqn: P(A cup B) = P(A) + P(B)]

주어진 값을 대입하면 [eqn: {5} over {8} = {3} over {8} + P(B)]에서 [eqn: P(B) = {2} over {8} = {1} over {4}]

여사건의 확률에 의해 [eqn: P(B^{C}) = 1 - P(B) = 1 - {1} over {4} = {3} over {4}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {5} over {8}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

[eqn: left ( 2x^{2} + 1 right )^{4} left ( x - {1} over {2x} right )]의 전개식에서 [eqn: x^{5}]의 계수는?

①

주어진 식은 [eqn: (2x^{2} + 1)^{4} x + (2x^{2} + 1)^{4} left ( - {1} over {2x} right )]이다.

이항정리에 의해 [eqn: (2x^{2} + 1)^{4}]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{4} rm C _{it r rm} it (2x ^{2} ) ^{r} (1) ^{4-r} = _{rm 4 it} rmC _{it r} it 2 ^{r} x ^{2r}] (단, [eqn: r=0, 1, 2, 3, 4])

전개식에서 [eqn: x^{5}] 항은 다음 두 가지 경우에서 나온다.

(ⅰ) [eqn: (2x^{2} + 1)^{4}]의 [eqn: x^{4}] 항과 [eqn: x]가 곱해지는 경우

[eqn: 2r=4]에서 [eqn: r=2]이므로 [eqn: x^{4}]의 계수는 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{2}} 2^{2} = 24]

따라서 이 경우 [eqn: x^{5}]의 계수는 [eqn: 24]이다.

(ⅱ) [eqn: (2x^{2} + 1)^{4}]의 [eqn: x^{6}] 항과 [eqn: - {1} over {2x}]이 곱해지는 경우

[eqn: 2r=6]에서 [eqn: r=3]이므로 [eqn: x^{6}]의 계수는 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{3}} 2^{3} = 32]

따라서 이 경우 [eqn: x^{5}]의 계수는 [eqn: 32 times left ( - {1} over {2} right ) = -16]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: x^{5}]의 계수는 [eqn: 24 + (-16) = 8]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 6] 이하의 자연수 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}], [eqn: a_{5}]의 모든 순서쌍 [eqn: (a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ,`a _{4} ,`a _{5} )]의 개수는?

(가) [eqn: a_{5} - a_{1} = 4]이고,
[eqn: 2 leq k leq 4]인 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_{1} leq a_{k} leq a_{5}]이다.

(나) [eqn: a_{1} times a_{2} times a_{3} times a_{4} times a_{5}]의 값은 짝수이다.

⑤

조건 (가)에서 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{5}]는 [eqn: 6] 이하의 자연수이고 [eqn: a_{5} - a_{1} = 4]이므로

[eqn: (a_{1}, a_{5}) = (1, 5)] 또는 [eqn: (a_{1}, a_{5}) = (2, 6)]이다.

(ⅰ) [eqn: (a_{1}, a_{5}) = (1, 5)]일 때

조건 (가)에서 [eqn: 1 leq a_{k} leq 5] ([eqn: k=2, 3, 4])이므로 [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]가 가질 수 있는 값은 각각 [eqn: 5]개이다.

이때 모든 순서쌍의 개수는 [eqn: 5^{3} = 125]이다.

조건 (나)에서 다섯 수의 곱이 짝수이려면 적어도 하나의 짝수가 포함되어야 한다.

[eqn: a_{1}=1], [eqn: a_{5}=5]가 모두 홀수이므로 [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]가 모두 홀수인 경우의 수를 빼면 된다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수 중 홀수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]의 [eqn: 3]개이므로 [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]가 모두 홀수인 경우의 수는 [eqn: 3^{3} = 27]이다.

∴ [eqn: 125 - 27 = 98]

(ⅱ) [eqn: (a_{1}, a_{5}) = (2, 6)]일 때

조건 (가)에서 [eqn: 2 leq a_{k} leq 6] ([eqn: k=2, 3, 4])이므로 [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]가 가질 수 있는 값은 각각 [eqn: 5]개이다.

이때 [eqn: a_{1}=2]가 짝수이므로 [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]의 값에 관계없이 다섯 수의 곱은 항상 짝수이다.

∴ [eqn: 5^{3} = 125]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 모든 순서쌍의 개수는 [eqn: 98 + 125 = 223]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 163]	② [eqn: 178]	③ [eqn: 193]

④ [eqn: 208]	⑤ [eqn: 223]

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,`2,`3,`4 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X`` -> ``Y]의 개수는?

(가) [eqn: f(1) leq f(2) leq f(3) leq f(4) leq f(5)]

(나) [eqn: 1]과 [eqn: 3]은 함수 [eqn: f]의 치역의 원소이다.

②

조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 전체 개수를 [eqn: n(U)]라 하면

서로 다른 [eqn: 4]개의 공역의 원소 중 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로 [eqn: n(U)= rm _{4} rmH _{5} = _{8} rmC _{5} =56]

조건 (나)를 만족시키지 않는 사건, 즉 치역에 [eqn: 1]이 포함되지 않는 사건을 [eqn: A], 치역에 [eqn: 3]이 포함되지 않는 사건을 [eqn: B]라 하자.

사건 [eqn: A]는 공역 [eqn: left { 2, 3, 4 right }]의 원소 중 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 선택하는 경우이므로 [eqn: n(A)= _{3} rmH _{5} = _{7} C _{5} =21]

사건 [eqn: B]는 공역 [eqn: left { 1, 2, 4 right }]의 원소 중 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 선택하는 경우이므로 [eqn: n(B)= _{3} rmH _{5} = _{7} C _{5} =21]

사건 [eqn: A cap B]는 치역에 [eqn: 1]과 [eqn: 3]이 모두 포함되지 않는 사건이므로 공역 [eqn: left { 2, 4 right }]의 원소 중 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 선택하는 경우이다.

[eqn: n(A SMALLINTER B)= _{2} rmH _{5} = _{6} C _{5} =6]

따라서 조건 (나)를 만족시키지 않는 함수의 개수는

[eqn: n(A cup B) = n(A) + n(B) - n(A cap B) = 21 + 21 - 6 = 36]

조건 (가), (나)를 모두 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 전체 함수의 개수에서 조건 (나)를 만족시키지 않는 함수의 개수를 뺀 것과 같으므로 [eqn: 56 - 36 = 20]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 모든 일대일대응 [eqn: f] 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 다음 조건을 만족시킬 확률은?

(가) [eqn: f(1) < f(3)], [eqn: f(2) < f(4)]

(나) 함수 [eqn: f]의 역함수 [eqn: f^{-1}]에 대하여
[eqn: left | f(1) - f(5) right | geq f^{-1}(1)]이다.

①

집합 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 모든 일대일대응 [eqn: f]의 전체 경우의 수는 [eqn: 5! = 120]이다.

조건 (나)에서 [eqn: f^{-1}(1) = k]라 하면 [eqn: f(k) = 1]이고 [eqn: left | f(1) - f(5) right | geq k]이다.

[eqn: k=3]이면 [eqn: f(3)=1]이므로 조건 (가)에서 [eqn: f(1) < 1]이 되어 모순이다.

[eqn: k=4]이면 [eqn: f(4)=1]이므로 조건 (가)에서 [eqn: f(2) < 1]이 되어 모순이다.

[eqn: k=5]이면 [eqn: f(5)=1]이므로 조건 (나)에서 [eqn: left | f(1) - 1 right | geq 5]가 되어 모순이다.

따라서 가능한 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2]뿐이다.

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때

[eqn: f(1)=1]이므로 조건 (나)의 [eqn: left | 1 - f(5) right | geq 1]과 조건 (가)의 [eqn: f(1) < f(3)]은 항상 성립한다.

남은 함숫값 [eqn: left { 2, 3, 4, 5 right }]를 [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]에 대응시킬 때 [eqn: f(2) < f(4)]를 만족하도록 배열하는 경우의 수는 [eqn: 4]개 중 [eqn: 2]개를 뽑아 [eqn: f(2)], [eqn: f(4)]에 배정하고 남은 [eqn: 2]개를 배열하는 것이므로 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{2}} times 2! = 12]

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때

[eqn: f(2)=1]이므로 조건 (가)의 [eqn: f(2) < f(4)]는 항상 성립한다.

조건 (나)의 [eqn: left | f(1) - f(5) right | geq 2]를 만족하는 [eqn: (f(1), f(5))]의 순서쌍은 [eqn: (2, 4)], [eqn: (4, 2)], [eqn: (2, 5)], [eqn: (5, 2)], [eqn: (3, 5)], [eqn: (5, 3)]이다.

각 순서쌍에 대하여 남은 두 함숫값을 [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]에 대응시킬 때 조건 (가)의 [eqn: f(1) < f(3)]을 만족하는 경우의 수를 구하면 다음과 같다.

[eqn: (2, 4)]일 때 [eqn: f(3) > 2]이므로 [eqn: 2]가지

[eqn: (4, 2)]일 때 [eqn: f(3) > 4]이므로 [eqn: 1]가지

[eqn: (2, 5)]일 때 [eqn: f(3) > 2]이므로 [eqn: 2]가지

[eqn: (5, 2)]일 때 [eqn: f(3) > 5]이므로 [eqn: 0]가지

[eqn: (3, 5)]일 때 [eqn: f(3) > 3]이므로 [eqn: 1]가지

[eqn: (5, 3)]일 때 [eqn: f(3) > 5]이므로 [eqn: 0]가지

따라서 [eqn: k=2]일 때의 경우의 수는 [eqn: 2+1+2+0+1+0 = 6]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 12+6=18]이다.

따라서 구하는 확률은 [eqn: {18} over {120} = {3} over {20}]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {3} over {20}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {11} over {60}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {60}]

[eqn: 1]부터 [eqn: 7]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 7]개의 의자가 있다. 이 [eqn: 7]개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

(가) [eqn: 6]이 적힌 의자와 이웃한 [eqn: 2]개의 의자에 적힌 두 수의 합은 [eqn: 9]이다.

(나) [eqn: 7]이 적힌 의자와 이웃하지 않은 [eqn: 4]개의 의자에 적힌 네 수의 곱은 [eqn: 12]의 배수이다.

[eqn: 68]

원순열이므로 [eqn: 6]이 적힌 의자를 한 자리에 고정한다.

조건 (가)에서 [eqn: 6]과 이웃한 두 의자에 적힌 수의 합이 [eqn: 9]이므로 두 수는 [eqn: 2], [eqn: 7] 또는 [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

(ⅰ) [eqn: 6]과 이웃한 두 수가 [eqn: 2], [eqn: 7]인 경우

[eqn: 6]의 양옆에 [eqn: 2], [eqn: 7]을 배열하는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]

[eqn: 6]의 왼쪽을 [eqn: 2], 오른쪽을 [eqn: 7]이라 하면, [eqn: 7]과 이웃하지 않은 [eqn: 4]개의 자리는 [eqn: 7] 자신과 양옆 [eqn: 2]자리를 제외한 나머지 [eqn: 4]자리이다.

이 [eqn: 4]자리 중 하나에는 반드시 [eqn: 2]가 포함되므로, 조건 (나)를 만족하려면 나머지 [eqn: 3]자리에 들어갈 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수여야 한다.

남은 수 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중 [eqn: 3]개를 택해 곱이 [eqn: 6]의 배수가 되는 조합은 [eqn: left { 1, 3, 4 right }], [eqn: left { 3, 4, 5 right }]의 [eqn: 2]가지이다.

이 [eqn: 3]개의 수를 해당 [eqn: 3]자리에 배열하고, 남은 [eqn: 1]개의 수를 [eqn: 7]과 이웃한 빈자리에 배열하는 경우의 수는 [eqn: 2 times 3! times 1 = 12]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 2 times 12 = 24]

(ⅱ) [eqn: 6]과 이웃한 두 수가 [eqn: 4], [eqn: 5]인 경우

[eqn: 6]의 양옆에 [eqn: 4], [eqn: 5]를 배열하는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]

[eqn: 6]의 왼쪽을 [eqn: 4], 오른쪽을 [eqn: 5]라 하고, 시계 방향으로 남은 자리를 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자.

남은 수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 7] 중 [eqn: 7]이 들어갈 위치에 따라 경우를 나눈다.

① [eqn: 7]이 [eqn: A]에 있는 경우

[eqn: 7]과 이웃하지 않은 [eqn: 4]자리는 [eqn: 6], [eqn: 5], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 있는 자리이므로 네 수의 곱은 [eqn: rm6 times 5 times C times D = 30 times C times D]이다.

이 값이 [eqn: 12]의 배수가 되려면 [eqn: rmC times D]가 [eqn: 2]의 배수여야 하므로 남은 수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중 [eqn: 2]가 [eqn: rmC] 또는 [eqn: rmD]에 포함되어야 한다.

남은 수를 배열하는 전체 경우의 수 [eqn: 3! = 6]에서 [eqn: 2]가 [eqn: rmB]에 들어가는 경우의 수 [eqn: 2! = 2]를 빼면 [eqn: 6 - 2 = 4]

② [eqn: 7]이 [eqn: rmB]에 있는 경우

[eqn: 7]과 이웃하지 않은 [eqn: 4]자리는 [eqn: 6], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: rmD]가 있는 자리이므로 네 수의 곱은 [eqn: rm6 times 4 times 5 times D = 120 times D]이다.

이는 항상 [eqn: 12]의 배수이므로 남은 수를 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]

③ [eqn: 7]이 [eqn: rmC]에 있는 경우

[eqn: 7]과 이웃하지 않은 [eqn: 4]자리는 [eqn: 6], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: rmA]가 있는 자리이므로 네 수의 곱은 [eqn: rm6 times 4 times 5 times A = 120 times A]이다.

이는 항상 [eqn: 12]의 배수이므로 남은 수를 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]

④ [eqn: 7]이 [eqn: rmD]에 있는 경우

[eqn: 7]과 이웃하지 않은 [eqn: 4]자리는 [eqn: 6], [eqn: 4], [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있는 자리이므로 네 수의 곱은 [eqn: rm6 times 4 times A times B = 24 times A times B]이다.

이는 항상 [eqn: 12]의 배수이므로 남은 수를 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]

따라서 [eqn: 6]의 왼쪽이 [eqn: 4], 오른쪽이 [eqn: 5]인 경우의 수는 [eqn: 4 + 6 + 6 + 6 = 22]

[eqn: 6]의 왼쪽이 [eqn: 5], 오른쪽이 [eqn: 4]인 경우도 대칭적인 구조에 의해 [eqn: 22]가지이다.

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 22 + 22 = 44]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 24 + 44 = 68]

따라서 정답은 [eqn: 68]이다.

[eqn: 8]개의 공과 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 4]장의 카드가 있다. 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 4]개의 빈 상자에 [eqn: 8]개의 공과 [eqn: 4]장의 카드를 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 공끼리는 서로 구별하지 않고, 공이나 카드를 넣지 않는 상자가 있을 수 있다.)

(가) [eqn: 1]이 적힌 상자에 들어 있는 카드의 개수는 [eqn: 1]이고 [eqn: 8]이 적힌 상자에 들어 있는 카드의 개수는 [eqn: 2] 이상이다.

(나) [eqn: n][eqn: LEFT ( n=2,`4,`8 RIGHT )]이 적힌 상자에는 [eqn: n]의 배수가 적힌 카드가 들어 있거나 공이 [eqn: n]개 이상 들어 있다.

`

[eqn: 398]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]이 적힌 상자를 각각 [eqn: B_{1}], [eqn: B_{2}], [eqn: B_{4}], [eqn: B_{8}]이라 하고, 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]이 적힌 카드를 각각 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{4}], [eqn: C_{8}]이라 하자.

조건 (가)에서 [eqn: B_{1}]에 들어가는 카드의 개수는 [eqn: 1]이고 [eqn: B_{8}]에 들어가는 카드의 개수는 [eqn: 2] 이상이므로 [eqn: 4]개의 상자 [eqn: B_{1}], [eqn: B_{2}], [eqn: B_{4}], [eqn: B_{8}]에 들어가는 카드의 개수 조합은 [eqn: (1, 0, 0, 3)], [eqn: (1, 1, 0, 2)], [eqn: (1, 0, 1, 2)] 중 하나이다.

조건 (나)에서 [eqn: B_{8}]에 [eqn: C_{8}]이 들어 있지 않다면 [eqn: B_{8}]에는 공이 [eqn: 8]개 이상 들어가야 한다.

이때 [eqn: B_{2}] 또는 [eqn: B_{4}] 중 적어도 하나는 카드가 없으므로 공이 추가로 [eqn: 2]개 또는 [eqn: 4]개 이상 필요하여 총 공의 개수가 [eqn: 8]개를 초과하므로 모순이다.

따라서 모든 경우에서 [eqn: B_{8}]에는 반드시 [eqn: C_{8}]이 포함되어야 한다.

(ⅰ) 카드의 개수가 [eqn: (1, 0, 0, 3)]인 경우

[eqn: B_{1}]에 들어갈 카드 [eqn: 1]장을 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}], [eqn: C_{4}] 중 선택하는 경우의 수는 [eqn: 3]이고, 남은 [eqn: 3]장의 카드는 모두 [eqn: B_{8}]에 들어가므로 카드 분배 경우의 수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: B_{2}], [eqn: B_{4}]에 카드가 없으므로 조건 (나)에 의해 공이 각각 [eqn: 2]개, [eqn: 4]개 이상 필요하다.

남은 공 [eqn: 2]개를 [eqn: 4]개의 상자에 분배하는 경우의 수는

[eqn: rm{}_{4} H _{2} = {}{}_{{5}} C _{{2}} = 10]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 3 times 10 = 30]이다.

(ⅱ) 카드의 개수가 [eqn: (1, 1, 0, 2)]인 경우

[eqn: B_{4}]에 카드가 없으므로 공이 [eqn: 4]개 이상 필요하다.

① [eqn: B_{2}]에 [eqn: 2]의 배수 카드([eqn: C_{2}], [eqn: C_{4}])가 들어가는 경우

[eqn: B_{2}]에 들어갈 카드를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이고, 남은 [eqn: 2]장 중 [eqn: B_{1}]에 들어갈 카드를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이므로 카드 분배 경우의 수는 [eqn: 2 times 2 = 4]이다.

[eqn: B_{2}]에 [eqn: 2]의 배수 카드가 있으므로 공이 추가로 필요하지 않아 남은 공 [eqn: 4]개를 분배하는 경우의 수는

[eqn: rm{}_{4} H _{4} = {}{}_{{7}} C _{{3}} = 35]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 4 times 35 = 140]이다.

② [eqn: B_{2}]에 [eqn: 2]의 배수가 아닌 카드([eqn: C_{1}])가 들어가는 경우

[eqn: B_{2}]에 [eqn: C_{1}]이 들어가고 남은 [eqn: 2]장 중 [eqn: B_{1}]에 들어갈 카드를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이므로 카드 분배 경우의 수는 [eqn: 1 times 2 = 2]이다.

[eqn: B_{2}]에 [eqn: 2]의 배수 카드가 없으므로 공이 [eqn: 2]개 이상 필요하여 남은 공 [eqn: 2]개를 분배하는 경우의 수는 [eqn: rm{}_{4} H _{2} = {}{}_{{5}} C _{{2}} = 10]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 2 times 10 = 20]이다.

(ⅲ) 카드의 개수가 [eqn: (1, 0, 1, 2)]인 경우

[eqn: B_{2}]에 카드가 없으므로 공이 [eqn: 2]개 이상 필요하다.

① [eqn: B_{4}]에 [eqn: 4]의 배수 카드([eqn: C_{4}])가 들어가는 경우

[eqn: B_{4}]에 [eqn: C_{4}]가 들어가고 남은 [eqn: 2]장 중 [eqn: B_{1}]에 들어갈 카드를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이므로 카드 분배 경우의 수는 [eqn: 1 times 2 = 2]이다.

[eqn: B_{4}]에 [eqn: 4]의 배수 카드가 있으므로 공이 추가로 필요하지 않아 남은 공 [eqn: 6]개를 분배하는 경우의 수는 [eqn: rm{}_{4} H _{6} = {}{}_{{9}} C _{{6}} = 84]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 2 times 84 = 168]이다.

② [eqn: B_{4}]에 [eqn: 4]의 배수가 아닌 카드([eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}])가 들어가는 경우

[eqn: B_{4}]에 들어갈 카드를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이고, 남은 [eqn: 2]장 중 [eqn: B_{1}]에 들어갈 카드를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이므로 카드 분배 경우의 수는 [eqn: 2 times 2 = 4]이다.

[eqn: B_{4}]에 [eqn: 4]의 배수 카드가 없으므로 공이 [eqn: 4]개 이상 필요하여 남은 공 [eqn: 2]개를 분배하는 경우의 수는 [eqn: rm{}_{4} H _{2} = {}{}_{{5}} C _{{2}} = 10]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 4 times 10 = 40]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 모든 경우의 수는

[eqn: 30 + 140 + 20 + 168 + 40 = 398]

따라서 정답은 [eqn: 398]이다.

함수 [eqn: f(x)=4 ln x]에 대하여 [eqn: f''(2)]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x) = 4 ln x]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f'(x) = {4} over {x}]

[eqn: f'(x)]를 [eqn: x]에 대하여 한 번 더 미분하면 [eqn: f''(x) = - {4} over {x^{2}}]

[eqn: x = 2]를 대입하면 [eqn: f''(2) = - {4} over {2^{2}} = -1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 급수 [eqn: sum_{n=1}^{infty} {a_{n}} over {3^{n}}]이 수렴할 때, [eqn: lim_{n rightarrow infty} {a_{n} + 3^{n+1}} over {a_{n} + 3^{n-1}}]의 값은?

⑤

급수 [eqn: sum from {n=1} to {inf} {a_{n}} over {3^{n}}]이 수렴하므로 [eqn: lim from {n -> inf} {a_{n}} over {3^{n}} = 0]

구하는 식의 분모, 분자를 각각 [eqn: 3^{n}]으로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {a_{n} + 3^{n+1}} over {a_{n} + 3^{n-1}} = lim from {n -> inf} { {a_{n}} over {3^{n}} + 3 } over { {a_{n}} over {3^{n}} + {1} over {3} }]

[eqn: lim from {n -> inf} {a_{n}} over {3^{n}} = 0]이므로 [eqn: lim from {n -> inf} { {a_{n}} over {3^{n}} + 3 } over { {a_{n}} over {3^{n}} + {1} over {3} } = {0 + 3} over {0 + {1} over {3}} = 9]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

실수 [eqn: t][eqn: LEFT ( 0<t< {pi} over {2} RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y = sin 2x] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( itt,`sin`2t RIGHT )]를 지나고 직선 [eqn: rmOP]에 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 0+} {} {{bar{rmOQ}}} over {t}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

점 [eqn: rmP LEFT ( itt,`sin2t RIGHT )]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: rm {bar{OH}} =itt], [eqn: rmoverline{PH} = sin 2t]

직각삼각형 [eqn: rmOPQ]에서 [eqn: rmangle OPQ = 90^{circ}]이고 [eqn: rmbarPH`BOT`rmbarOQ]이므로

직각삼각형의 닮음 성질에 의해 [eqn: rm {bar{PH}} ^{2} = {bar{OH}} TIMES {bar{HQ}}]

[eqn: sin ^{2} 2t=t TIMES {bar{rmHQ}}]에서 [eqn: {bar{rmHQ}} = {sin ^{2} 2t} over {t}]

[eqn: {bar{rmOQ}} = {bar{rmOH}} + {bar{rmHQ}} =t+ {sin ^{2} 2t} over {t}]이므로

[eqn: lim _{t -> 0+} {} {{bar{rmOQ}}} over {t} = lim _{t -> 0+} {} {t+ {sin ^{2} 2t} over {t}} over {t}]

[eqn: = lim from {t -> 0+} left ( 1 + {sin^{2} 2t} over {t^{2}} right )][eqn: = lim from {t -> 0+} left { 1 + left ( {sin 2t} over {t} right )^{2} right }][eqn: = 1 + 2^{2} = 5]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 일반항을
[eqn: a_{n} = f(n)]
이라 하자. 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: {a_{2}} over {a_{1}}]의 값은?

(가) [eqn: lim_{n rightarrow infty} left ( sqrt{a_{n}} - 2n right ) = 2]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt{a_{n} + 1}]의 값은 자연수이다.

④

조건 (가)에서 [eqn: lim from {n -> inf} left ( sqrt{a_{n}} - 2n right ) = 2]이므로 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: a_{n} = f(n)]은 [eqn: n]에 대한 이차식이고 최고차항은 [eqn: 4n^{2}]이다.

[eqn: a_{n} = 4n^{2} + bn + c] ([eqn: b], [eqn: c]는 상수)라 하면

[eqn: lim from {n -> inf} left ( sqrt{4n^{2} + bn + c} - 2n right ) = lim from {n -> inf} {4n^{2} + bn + c - 4n^{2}} over {sqrt{4n^{2} + bn + c} + 2n}]

[eqn: = lim from {n -> inf} {bn + c} over {sqrt{4n^{2} + bn + c} + 2n} = {b} over {4}]

[eqn: {b} over {4} = 2]에서 [eqn: b = 8]

조건 (나)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt{a_{n} + 1}]의 값이 자연수이려면 [eqn: a_{n} + 1]은 완전제곱식이어야 한다.

[eqn: a_{n} + 1 = 4n^{2} + 8n + c + 1]이 완전제곱식이 되려면

[eqn: 4n^{2} + 8n + c + 1 = (2n + 2)^{2} = 4n^{2} + 8n + 4]이므로

[eqn: c + 1 = 4] ∴ [eqn: c = 3]

따라서 [eqn: a_{n} = 4n^{2} + 8n + 3]이므로

[eqn: a_{1} = 4 + 8 + 3 = 15], [eqn: a_{2} = 16 + 16 + 3 = 35]

∴ [eqn: {a_{2}} over {a_{1}} = {35} over {15} = {7} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {11} over {6}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {13} over {6}]

④ [eqn: {7} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선
[eqn: x = 2e^{t} - 3e^{-t}], [eqn: y = 2e^{t} + 6e^{-t}]
을 [eqn: C] 라 하자. 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: t]에 대한 방정식 [eqn: 2e^{t} + 6e^{-t} = k]는 서로 다른 두 실근 [eqn: t_{1}], [eqn: t_{2}]를 갖는다. 곡선 [eqn: C] 에서 [eqn: t = t_{1}]일 때 [eqn: {dy} over {dx}]의 값은 [eqn: - {1} over {5}]이고, [eqn: t = t_{2}]일 때 [eqn: {dy} over {dx}]의 값은 [eqn: m]이다. [eqn: k + m]의 값은?

②

[eqn: x = 2e^{t} - 3e^{-t}], [eqn: y = 2e^{t} + 6e^{-t}]에서 [eqn: x], [eqn: y]를 각각 [eqn: t]에 대하여 미분하면 [eqn: {dx} over {dt} = 2e^{t} + 3e^{-t}], [eqn: {dy} over {dt} = 2e^{t} - 6e^{-t}]

매개변수 미분법에 의해 [eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {2e^{t} - 6e^{-t}} over {2e^{t} + 3e^{-t}}]

[eqn: t = t_{1}]일 때 [eqn: {dy} over {dx} = - {1} over {5}]이므로 [eqn: {2e^{t_{1}} - 6e^{-t_{1}}} over {2e^{t_{1}} + 3e^{-t_{1}}} = - {1} over {5}]

분모와 분자에 [eqn: e^{t_{1}}]을 곱하여 정리하면

[eqn: {2e^{2t_{1}} - 6} over {2e^{2t_{1}} + 3} = - {1} over {5}]에서 [eqn: 10e^{2t_{1}} - 30 = -2e^{2t_{1}} - 3]

[eqn: 12e^{2t_{1}} = 27] ∴ [eqn: e^{2t_{1}} = {9} over {4}]

[eqn: e^{t_{1}} > 0]이므로 [eqn: e^{t_{1}} = {3} over {2}]

[eqn: t_{1}]은 방정식 [eqn: 2e^{t} + 6e^{-t} = k]의 근이므로

[eqn: k = 2e^{t_{1}} + 6e^{-t_{1}} = 2 left ( {3} over {2} right ) + 6 left ( {2} over {3} right ) = 7]

방정식 [eqn: 2e^{t} + 6e^{-t} = 7]에서 [eqn: e^{t} = X] ([eqn: X > 0])라 하면

[eqn: 2X + {6} over {X} = 7]에서 [eqn: 2X^{2} - 7X + 6 = 0]

[eqn: (2X - 3)(X - 2) = 0] ∴ [eqn: X = {3} over {2}] 또는 [eqn: X = 2]

[eqn: e^{t_{1}} = {3} over {2}]이므로 [eqn: e^{t_{2}} = 2]

[eqn: t = t_{2}]일 때 [eqn: {dy} over {dx} = m]이므로

[eqn: m = {2e^{t_{2}} - 6e^{-t_{2}}} over {2e^{t_{2}} + 3e^{-t_{2}}} = {2(2) - 6 left ( {1} over {2} right )} over {2(2) + 3 left ( {1} over {2} right )} = {1} over {{11} over {2}} = {2} over {11}]

∴ [eqn: k + m = 7 + {2} over {11} = {79} over {11}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {75} over {11}]	② [eqn: {79} over {11}]	③ [eqn: {83} over {11}]

④ [eqn: {87} over {11}]	⑤ [eqn: {91} over {11}]

공비가 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]과 수열 [eqn: left { b_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: (b_{n}-a_{n})(b_{n}- left | a_{n} right |)=0]
이다.

(나) [eqn: sum_{n=k}^{infty} (a_{2n+1}+b_{2n+1})=0]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

[eqn: b_{1}-b_{3}=3a_{3}+5]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{infty} b_{n}]의 값은?

⑤

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a_{1}]이라 하면 [eqn: a_{n} = a_{1} left ( - {1} over {2} right )^{n-1}]이다.

[eqn: a_{2n+1} = a_{1} left ( - {1} over {2} right )^{2n} = a_{1} left ( {1} over {4} right )^{n}]

만약 [eqn: a_{1} > 0]이면 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{2n+1} > 0]이다.

조건 (가)에서 [eqn: b_{2n+1}]은 [eqn: a_{2n+1}] 또는 [eqn: left | a_{2n+1} right |]이므로 [eqn: b_{2n+1} = a_{2n+1} > 0]이다.

이때 [eqn: a_{2n+1} + b_{2n+1} = 2a_{2n+1} > 0]이 되어 조건 (나)를 만족시킬 수 없으므로 [eqn: a_{1} < 0]이다.

[eqn: a_{1} < 0]이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{2n+1} < 0]이다.

조건 (나)에서 [eqn: sum_{n=k}^{infty} (a_{2n+1}+b_{2n+1})=0]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 최솟값이 [eqn: 2]이므로

[eqn: n geq 2]일 때 [eqn: a_{2n+1} + b_{2n+1} = 0]에서 [eqn: b_{2n+1} = -a_{2n+1} = left | a_{2n+1} right |]이고,

[eqn: n=1]일 때 [eqn: a_{3} + b_{3} neq 0]에서 [eqn: b_{3} = a_{3}]이다.

주어진 식 [eqn: b_{1}-b_{3}=3a_{3}+5]에 [eqn: b_{3}=a_{3}]를 대입하면

[eqn: b_{1} - a_{3} = 3a_{3} + 5]에서 [eqn: b_{1} = 4a_{3} + 5]

[eqn: a_{3} = a_{1} left ( - {1} over {2} right )^{2} = {a_{1}} over {4}]이므로 [eqn: b_{1} = a_{1} + 5]

조건 (가)에서 [eqn: b_{1}]은 [eqn: a_{1}] 또는 [eqn: left | a_{1} right |]이다.

(ⅰ) [eqn: b_{1} = a_{1}]일 때

[eqn: a_{1} = a_{1} + 5]에서 [eqn: 0 = 5]이므로 모순이다.

(ⅱ) [eqn: b_{1} = left | a_{1} right | = -a_{1}]일 때

[eqn: -a_{1} = a_{1} + 5]에서 [eqn: 2a_{1} = -5] ∴ [eqn: a_{1} = - {5} over {2}]

따라서 [eqn: a_{n} = - {5} over {2} left ( - {1} over {2} right )^{n-1}]이다.

[eqn: b_{1} = -a_{1} = {5} over {2}], [eqn: b_{3} = a_{3} = - {5} over {8}]이고,

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{2n} > 0]이므로 조건 (가)에 의해 [eqn: b_{2n} = a_{2n} = left | a_{2n} right |]이다.

∴ [eqn: b_{2} = a_{2} = {5} over {4}]

또한 [eqn: n geq 4]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b_{n} = left | a_{n} right | = {5} over {2} left ( {1} over {2} right )^{n-1}]이다.

[eqn: sum_{n=1}^{infty} b_{n} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + sum_{n=4}^{infty} left | a_{n} right |]

[eqn: = {5} over {2} + {5} over {4} - {5} over {8} + sum_{n=4}^{infty} {5} over {2} left ( {1} over {2} right )^{n-1}][eqn: = {25} over {8} + { {5} over {16}} over {1 - {1} over {2}}][eqn: = {25} over {8} + {5} over {8} = {15} over {4}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - {9} over {4}]	② [eqn: - {3} over {4}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {9} over {4}]	⑤ [eqn: {15} over {4}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rm ANGLE BAP= theta][eqn: (0< theta < {pi } over {3} )]가 되도록 잡고, 호 [eqn: rmAP] 위에 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rmoverline{PQ} = 1]이 되도록 잡는다. 선분 [eqn: rmAP]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rmPQM]의 넓이를 [eqn: f(theta)]라 하자. [eqn: rmoverline{AP} = {6} over {5}]이 되도록 하는 [eqn: theta]의 값을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: f'(alpha) = p + q sqrt{3}]이다. [eqn: 100 times left | p + q right |]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[eqn: 17]

선분 [eqn: rmAB]가 반원의 지름이므로 직각삼각형 [eqn: rmAPB]에서

[eqn: rmoverline{AP} = 2 cos theta]이고, 점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmAP]의 중점이므로 [eqn: rmoverline{PM} = cos theta]

반원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 [eqn: rmoverline{OP} = overline{OQ} = 1]이고 [eqn: rmoverline{PQ} = 1]이므로 삼각형 [eqn: rmOPQ]는 정삼각형이다. [eqn: rmangle POQ = {pi} over {3}]

호 [eqn: rmBP]에 대한 원주각과 중심각의 관계에서 [eqn: rmangle BOP = 2 theta]이므로

[eqn: rmangle AOQ = pi - left ( 2 theta + {pi} over {3} right ) = {2 pi} over {3} - 2 theta]

호 [eqn: rmAQ]에 대한 원주각 [eqn: rmangle APQ]는

[eqn: rmangle APQ = {1} over {2} angle AOQ = {pi} over {3} - theta]

삼각형 [eqn: rmPQM]의 넓이 [eqn: f(theta)]는

[eqn: itf( theta )=rm {1} over {2} TIMES {bar{PM}} TIMES {bar{PQ}} TIMES sin LEFT ( {pi } over {3} - theta RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} `cos theta TIMES 1 TIMES LEFT ( sin {pi } over {3} `cos theta -cos {pi } over {3} `sin theta RIGHT )]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4} `cos ^{2} theta - {1} over {4} `sin theta `cos theta]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4} TIMES {1+cos(2 theta )} over {2} - {1} over {8} `sin(2 theta )]

[eqn: = {sqrt {3}} over {8} + {sqrt {3}} over {8} `cos(2 theta )- {1} over {8} `sin(2 theta )]

양변을 [eqn: theta]에 대하여 미분하면

[eqn: f prime ( theta )=- {sqrt {3}} over {4} `sin(2 theta )- {1} over {4} `cos(2 theta )]

[eqn: rmoverline{AP} = {6} over {5}]일 때 [eqn: theta = alpha]이므로

[eqn: 2 cos alpha = {6} over {5}]에서 [eqn: cos alpha = {3} over {5}]

[eqn: 0 < alpha < {pi} over {3}]이므로 [eqn: sin alpha = sqrt{1 - cos^{2} alpha} = {4} over {5}]

배각 공식에 의해

[eqn: cos (2 alpha) = cos^{2} alpha - sin^{2} alpha = {9} over {25} - {16} over {25} = - {7} over {25}]

[eqn: sin (2 alpha) = 2 sin alpha cos alpha = 2 times {4} over {5} times {3} over {5} = {24} over {25}]

따라서

[eqn: f'(alpha) = - {sqrt{3}} over {4} times {24} over {25} - {1} over {4} times left ( - {7} over {25} right ) = {7} over {100} - {24} over {100} sqrt{3}]

[eqn: p = {7} over {100}], [eqn: q = - {24} over {100}]이므로 [eqn: p + q = - {17} over {100}]

∴ [eqn: 100 times left | p + q right | = 100 times left | - {17} over {100} right | = 17]

따라서 정답은 [eqn: 17]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 역함수 [eqn: g(x)]를 갖는다. 함수 [eqn: h(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: g(x)h(x)=x ln(1+3 left | g(x) right |)]
이고 세 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: g(k)=0]인 상수 [eqn: k]에 대하여

함수 [eqn: h(x)- left | g(x) right |]는 [eqn: x=k]에서 미분가능하다.

(나) [eqn: 4g'(f(1))=3f(1)-4]

[eqn: 31]

[eqn: g(k)=0]이므로 [eqn: f(0)=k]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 역함수를 가지므로 [eqn: f(x)]는 증가함수이고, [eqn: g(x)]도 증가함수이다.

[eqn: x > k]일 때 [eqn: g(x) > 0]이므로 [eqn: h(x) = {x ln left ( 1 + 3g(x) right )} over {g(x)}]

[eqn: x < k]일 때 [eqn: g(x) < 0]이므로 [eqn: h(x) = {x ln left ( 1 - 3g(x) right )} over {g(x)}]

함수 [eqn: P(x) = h(x) - left | g(x) right |]라 하면 [eqn: P(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하므로 [eqn: x=k]에서 연속이다.

[eqn: lim from {x -> k+} P(x) = lim from {x -> k+} left ( {x ln left ( 1 + 3g(x) right )} over {g(x)} - g(x) right ) = 3k]

[eqn: lim from {x -> k-} P(x) = lim from {x -> k-} left ( {x ln left ( 1 - 3g(x) right )} over {g(x)} + g(x) right ) = -3k]

[eqn: 3k = -3k]에서 [eqn: k=0]이므로 [eqn: f(0)=0]이다.

[eqn: f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx]라 하면 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b]이다.

[eqn: f(x)]가 역함수를 가지려면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f'(x) geq 0]이어야 하므로

이차방정식 [eqn: f'(x)=0]의 판별식 [eqn: D]에 대하여

[eqn: {D} over {4} = a^{2} - 3b leq 0] ……①

[eqn: P(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하고 [eqn: P(0)=0]이므로 [eqn: x=0]에서의 미분계수가 존재한다.

[eqn: lim from {x -> 0} {g(x)} over {x} = g'(0) = {1} over {f'(0)} = {1} over {b}]이므로

[eqn: lim from {x -> 0+} {P(x)} over {x} = lim from {x -> 0+} left ( {ln left ( 1 + 3g(x) right )} over {g(x)} - {g(x)} over {x} right ) = 3 - {1} over {b}]

[eqn: lim from {x -> 0-} {P(x)} over {x} = lim from {x -> 0-} left ( {ln left ( 1 - 3g(x) right )} over {g(x)} + {g(x)} over {x} right ) = -3 + {1} over {b}]

[eqn: 3 - {1} over {b} = -3 + {1} over {b}]에서 [eqn: b = {1} over {3}]

조건 (나)에서 [eqn: 4g'(f(1)) = 3f(1) - 4]이고 역함수의 미분법에 의해 [eqn: g'(f(1)) = {1} over {f'(1)}]이므로

[eqn: {4} over {f'(1)} = 3f(1) - 4]

[eqn: f(1) = a + {4} over {3}], [eqn: f'(1) = 2a + {10} over {3}]을 대입하면

[eqn: {4} over {2a + {10} over {3}} = 3 left ( a + {4} over {3} right ) - 4 = 3a]

[eqn: 6a^{2} + 10a - 4 = 0]에서 [eqn: (3a - 1)(a + 2) = 0]

∴ [eqn: a = {1} over {3}] 또는 [eqn: a = -2]

①에서 [eqn: a^{2} - 1 leq 0]이므로 [eqn: a = {1} over {3}]

따라서 [eqn: f(x) = x^{3} + {1} over {3} x^{2} + {1} over {3} x]이므로

[eqn: f(3) = 27 + 3 + 1 = 31]

따라서 정답은 [eqn: 31]이다.

타원 [eqn: {x^{2}} over {10} + {y^{2}} over {7} = 1]의 한 초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( c,`0 RIGHT )][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]일 때, [eqn: c]의 값은?

③

타원 [eqn: {x^{2}} over {10} + {y^{2}} over {7} = 1]에서 [eqn: a^{2} = 10], [eqn: b^{2} = 7]이다.

초점의 좌표가 [eqn: (c, 0)]이므로 [eqn: c^{2} = a^{2} - b^{2} = 10 - 7 = 3]

[eqn: c > 0]이므로 [eqn: c = sqrt{3}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt{2}]	③ [eqn: sqrt{3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt{5}]

서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여 두 벡터
[eqn: vec{a} + 2(vec{b} - vec{a})], [eqn: -2 {vec{a}} +k`vecb]
가 서로 평행하도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: vec{a} neq vec{0}], [eqn: vec{b} neq vec{0}])

②

[eqn: vec{a} + 2(vec{b} - vec{a}) = -vec{a} + 2vec{b}]

두 벡터 [eqn: -vec{a} + 2vec{b}]와 [eqn: -2 {vec{a}} +k`vecb]가 서로 평행하므로

[eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: -2 {vec{a}} +k`vecb`=t(- {vec{a}} +2 {vec{b}} )]

[eqn: -2 {vec{a}} +k`vecb`=-t`veca`+2t`vecb]

두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]는 서로 평행하지 않고 [eqn: vec{a} neq vec{0}], [eqn: vec{b} neq vec{0}]이므로

[eqn: -2 = -t], [eqn: k = 2t]

[eqn: t = 2]이므로 [eqn: k = 4]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

그림과 같이 두 점 [eqn: rm F( sqrt {3} ,`0)], [eqn: rm F prime (- sqrt {3} ,`0)]을 초점으로 하는 타원이 있다. 이 타원 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]와 이 타원 위의 제[eqn: 2]사분면에 있는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 두 선분 [eqn: rmPF'], [eqn: rmQF]가 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmPRF]의 둘레의 길이와 삼각형 [eqn: rmQF'R]의 둘레의 길이의 합이 [eqn: 12]일 때, 이 타원의 단축의 길이는?

③

타원의 장축의 길이를 [eqn: 2a], 단축의 길이를 [eqn: 2b] ([eqn: a > b > 0])라 하면 타원의 정의에 의해

[eqn: rmbarPF`+rmbarPF'`=2ita], [eqn: rmbarQF`+rmbarQF'`=it2a]

삼각형 [eqn: rmPRF]의 둘레의 길이와 삼각형 [eqn: rmQF'R]의 둘레의 길이의 합은

[eqn: (rmbarPR`+rmbarRF`+rmbarPF`)+(rmbarQR`+rmbarRF prime `+rmbarQF prime )]

[eqn: =( rm {bar{PR}} `+ rm {bar{RF}} prime `)+( rm {bar{QR}} `+ rm {bar{RF}} )+ rm {bar{PF}} `+ rm {bar{QF}} prime]

[eqn: =rmbarPF prime `+rmbarQF`+rmbarPF`+rmbarQF prime]

[eqn: =(rmbarPF`+rmbarPF prime `)+(rmbarQF`+rmbarQF prime `)][eqn: = 2a + 2a = 4a]

조건에서 두 삼각형의 둘레의 길이의 합이 [eqn: 12]이므로

[eqn: 4a = 12] ∴ [eqn: a = 3]

두 초점이 [eqn: rmrmF( sqrt{3} , 0 )], [eqn: rmF'( -sqrt{3} , 0 )]이므로 초점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: c]라 하면 [eqn: c = sqrt{3}]

[eqn: a^{2} = b^{2} + c^{2}]에서 [eqn: 3^{2} = b^{2} + (sqrt{3})^{2}]

[eqn: 9 = b^{2} + 3] ∴ [eqn: b^{2} = 6]

[eqn: b > 0]이므로 [eqn: b = sqrt{6}]

따라서 타원의 단축의 길이는 [eqn: 2b = 2sqrt{6}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 2sqrt{5}]	③ [eqn: 2sqrt{6}]

④ [eqn: 2sqrt{7}]	⑤ [eqn: 4sqrt{2}]

초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y ^{2} =4px][eqn: (p>0)] 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]에서의 접선의 기울기와 직선 [eqn: rmOA]의 기울기의 곱이 [eqn: {3} over {2}]이다. [eqn: rmoverline{AF} = 14]일 때, [eqn: p]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

①

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (x_{1}, y_{1})] ([eqn: x_{1} > 0], [eqn: y_{1} > 0])이라 하면 점 [eqn: rmA]는 포물선 [eqn: y^{2} = 4px] 위의 점이므로 [eqn: y_{1}^{2} = 4px_{1}]

점 [eqn: rmA]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y_{1}y = 2p(x + x_{1})]이므로 접선의 기울기는 [eqn: {2p} over {y_{1}}]이다.

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmA]를 지나는 직선 [eqn: rmOA]의 기울기는 [eqn: {y_{1}} over {x_{1}}]이다.

두 기울기의 곱이 [eqn: {3} over {2}]이므로 [eqn: {2p} over {y_{1}} times {y_{1}} over {x_{1}} = {3} over {2}]

[eqn: {2p} over {x_{1}} = {3} over {2}]에서 [eqn: x_{1} = {4} over {3} p]

포물선의 정의에 의해 점 [eqn: rmA]에서 초점 [eqn: rmF]까지의 거리는 점 [eqn: rmA]에서 준선 [eqn: x = -p]까지의 거리와 같으므로 [eqn: {bar{rmAF}} =x _{1} +p]

[eqn: rmoverline{AF} = 14]이므로 [eqn: {4} over {3} p + p = 14], [eqn: {7} over {3} p = 14] ∴ [eqn: p = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: {19} over {3}]	③ [eqn: {20} over {3}]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: {22} over {3}]

두 초점이 [eqn: rm F(itc,`0)], [eqn: rm F prime ( it -c,`0)][eqn: (c>0)]인 쌍곡선 [eqn: C] 가 있다. 쌍곡선 [eqn: C] 의 점근선 중 기울기가 양수인 점근선을 [eqn: l], 기울기가 음수인 점근선을 [eqn: m]이라 하자. 점 [eqn: rmF]를 지나고 직선 [eqn: m]에 평행한 직선이 직선 [eqn: l]과 만나는 점을 [eqn: rmP], 쌍곡선 [eqn: C] 와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때,
[eqn: rmangle F'PF = {pi} over {2}], [eqn: rmoverline{PQ} = 2]
이다. [eqn: c]의 값은?

⑤

쌍곡선 [eqn: C] 의 방정식을 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {b^{2}} = 1] ([eqn: a>0], [eqn: b>0])이라 하면

점근선 [eqn: l], [eqn: m]의 방정식은 각각 [eqn: y = {b} over {a}x], [eqn: y = -{b} over {a}x]이다.

점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )]를 지나고 직선 [eqn: m]에 평행한 직선의 방정식은

[eqn: y = -{b} over {a}(x - c)] ……①

직선 [eqn: l]과 직선 ①의 교점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: {b} over {a}x = -{b} over {a}(x - c)]에서 [eqn: 2x = c] ∴ [eqn: x = {c} over {2}]

[eqn: x = {c} over {2}]를 [eqn: y = {b} over {a}x]에 대입하면 [eqn: y = {bc} over {2a}]이므로 [eqn: rmP LEFT ( it {c} over {2} ,` {bc} over {2a} RIGHT )]

[eqn: rmangle F'PF = {pi} over {2}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmF'PF]에서 빗변 [eqn: rmF'F]의 중점인 원점 [eqn: rmO]는 외심이다.

따라서 [eqn: rm {bar{OP}} = {1} over {2} {bar{F prime F}} =itc]이므로 [eqn: {bar{rmOP}} ^{2} =c ^{2}]에서

[eqn: left ( {c} over {2} right )^{2} + left ( {bc} over {2a} right )^{2} = c^{2}]

[eqn: c > 0]이므로 양변을 [eqn: c^{2}]으로 나누어 정리하면

[eqn: {1} over {4} + {b^{2}} over {4a^{2}} = 1] ∴ [eqn: b^{2} = 3a^{2}]

쌍곡선의 초점의 좌표에서 [eqn: c^{2} = a^{2} + b^{2} = 4a^{2}]이고 [eqn: a>0], [eqn: c>0]이므로 [eqn: c = 2a]

[eqn: b = sqrt{3}a], [eqn: c = 2a]를 대입하면 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: P(a, sqrt{3}a)]이고, 직선 ①의 방정식은 [eqn: y = -sqrt{3}(x - 2a)]이다.

이 직선의 방정식을 쌍곡선 [eqn: C] 의 방정식 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {3a^{2}} = 1]에 대입하면 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {3(x - 2a)^{2}} over {3a^{2}} = 1]

[eqn: x^{2} - (x^{2} - 4ax + 4a^{2}) = a^{2}]에서 [eqn: 4ax = 5a^{2}] ∴ [eqn: x = {5} over {4}a]

[eqn: x = {5} over {4}a]를 [eqn: y = -sqrt{3}(x - 2a)]에 대입하면 [eqn: y = {3sqrt{3}} over {4}a]이므로 [eqn: rmQ LEFT ( it {5} over {4} a, {3 sqrt {3}} over {4} a RIGHT )]

[eqn: rmoverline{PQ} = 2]이므로 [eqn: rm {bar{PQ}} ^{2} =4]에서

[eqn: left ( {5} over {4}a - a right )^{2} + left ( {3sqrt{3}} over {4}a - sqrt{3}a right )^{2} = 4]

[eqn: {a^{2}} over {16} + {3a^{2}} over {16} = 4]에서 [eqn: {a^{2}} over {4} = 4] ∴ [eqn: a = 4] ([eqn: a>0])

따라서 [eqn: c = 2a = 8]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: 8]

점 [eqn: rm F( it 3a,`4a)][eqn: (a>0)]을 초점으로 하고 준선이 [eqn: x = -5a]인 포물선을 [eqn: C_{1}], 점 [eqn: rmF]를 초점으로 하고 준선이 [eqn: y = -5a]인 포물선을 [eqn: C_{2}]라 하자. 두 포물선 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]가 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rm B][eqn: rm ( {bar{BF}} < {bar{AF}} )]라 할 때, [eqn: rmoverline{OA} = 6]이다. [eqn: rmoverline{AF} - overline{BF}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

②

두 포물선 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]의 교점 [eqn: rmP(itx,y)]에서 초점 [eqn: rmF(it3a,4a)]까지의 거리는 포물선의 정의에 의해 각각의 준선까지의 거리와 같으므로 [eqn: left | x + 5a right | = left | y + 5a right |]

[eqn: x + 5a = y + 5a] 또는 [eqn: x + 5a = -(y + 5a)]

즉, [eqn: y = x] 또는 [eqn: x + y = -10a] ……①

포물선 [eqn: C_{1}]의 방정식은 [eqn: sqrt{(x - 3a)^{2} + (y - 4a)^{2}} = left | x + 5a right |]

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: y^{2} - 8ay - 16ax = 0] ……②

①, ②에서

(ⅰ) [eqn: y = x]일 때

[eqn: x^{2} - 24ax = 0]에서 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = 24a]

(ⅱ) [eqn: x + y = -10a]일 때

[eqn: y = -x - 10a]를 ②에 대입하면

[eqn: (-x - 10a)^{2} - 8a(-x - 10a) - 16ax = 0]

[eqn: x^{2} + 12ax + 180a^{2} = 0]

이 이차방정식의 판별식 [eqn: D]에 대하여

[eqn: {D} over {4} = 36a^{2} - 180a^{2} = -144a^{2} < 0] ([eqn: a > 0])이므로 실근이 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 두 포물선의 교점은 [eqn: (0, 0)], [eqn: (24a, 24a)]이다.

[eqn: rmoverline{OA} = 6]이고 [eqn: rmO]는 원점이므로 점 [eqn: rmA]가 원점이면 [eqn: rmoverline{OA} = 0]이 되어 조건에 위배된다.

따라서 [eqn: rmA(it24a,24a)], [eqn: rmB(it0,0)]이다.

[eqn: {bar{rmOA}} = sqrt {(24a) ^{2} +(24a) ^{2}} =24 sqrt {2} a=6]에서 [eqn: a = {sqrt{2}} over {8}]

포물선의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{AF}]와 [eqn: rmoverline{BF}]는 각각 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 준선 [eqn: x = -5a]까지의 거리와 같으므로

[eqn: {bar{rmAF}} = LEFT | 24a-(-5a) RIGHT | =29a]

[eqn: {bar{rmBF}} = LEFT | 0-(-5a) RIGHT | =5a]

([eqn: rmoverline{BF} < overline{AF}]를 만족한다.)

∴ [eqn: {bar{rmAF}} - {bar{rmBF}} =29a-5a=24a=24 TIMES {sqrt {2}} over {8} =3 sqrt {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {8} over {3} sqrt{2}]	② [eqn: 3 sqrt{2}]	③ [eqn: {10} over {3} sqrt{2}]

④ [eqn: {11} over {3} sqrt{2}]	⑤ [eqn: 4 sqrt{2}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]와 중심각의 크기가 [eqn: {3} over {2} pi]인 부채꼴 [eqn: rmBAC]가 있고, 선분 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 정사각형 [eqn: rmABCD] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 호 [eqn: rmAC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmleft | vec{DP} + vec{MQ} right |]의 최댓값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 9]

점 [eqn: rmB]를 원점 [eqn: (0, 0)]으로 하는 좌표평면을 설정하면

[eqn: rmB(0, 0)], [eqn: rmC(1, 0)], [eqn: rmD(1, 1)], [eqn: rmA(0, 1)]이고 선분 [eqn: rmAD]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표는 [eqn: rmM left ( {1} over {2}, 1 right )]이다.

주어진 벡터 식을 점 [eqn: rmB]를 시점으로 하는 위치벡터로 나타내면

[eqn: rmvec{DP} + vec{MQ} = ( vec{BP} - vec{BD} ) + ( vec{BQ} - vec{BM} ) = vec{BP} + vec{BQ} - ( vec{BD} + vec{BM} )]

[eqn: rmvec{BD} = (1, 1)], [eqn: rmvec{BM} = left ( {1} over {2}, 1 right )]이므로

[eqn: rmvec{BD} + vec{BM} = left ( {3} over {2}, 2 right )]

점 [eqn: rmK left ( {3} over {2}, 2 right )]라 하면 [eqn: rmvec{BK} = vec{BD} + vec{BM}]이므로

[eqn: rmvec{DP} + vec{MQ} = vec{BP} + vec{BQ} - vec{BK} = ( vec{BP} - vec{BK} ) + vec{BQ} = vec{KP} + vec{BQ}]

[eqn: rmleft | vec{KP} + vec{BQ} right | leq left | vec{KP} right | + left | vec{BQ} right |]이고 [eqn: rmleft | vec{BQ} right | = 1]이므로

[eqn: rmleft | vec{KP} right |]가 최대일 때 전체 벡터의 크기도 최대가 될 수 있다.

점 [eqn: rmK]에서 정사각형 [eqn: rmABCD] 위의 점 [eqn: rmP]까지의 거리 [eqn: rmleft | vec{KP} right |]의 최댓값을 구하기 위해 점 [eqn: rmK]와 네 꼭짓점 사이의 거리를 비교하면

[eqn: rmbarKB`= sqrt {LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}} = {5} over {2}]

[eqn: rmbarKA`= sqrt {LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}} = {sqrt {13}} over {2}]

[eqn: rmbarKC`= sqrt {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}} = {sqrt {17}} over {2}]

[eqn: rmrmbarKD`= sqrt {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}} = {sqrt {5}} over {2}]

따라서 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmB]일 때 [eqn: rmleft | vec{KP} right |]는 최댓값 [eqn: {5} over {2}]를 갖는다.

이때 [eqn: rmvec{KP} = vec{KB} = left ( - {3} over {2}, -2 right )]이므로 제[eqn: 3]사분면 방향이다.

점 [eqn: rmQ]는 중심이 [eqn: rmB]이고 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]를 양 끝점으로 하는 정사각형 바깥쪽의 호 위를 움직이므로, [eqn: rmvec{BQ}]는 제[eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]사분면 방향을 모두 가질 수 있다.

따라서 [eqn: rmvec{BQ}]가 [eqn: rmvec{KB}]와 같은 방향일 때 [eqn: rmleft | vec{KP} + vec{BQ} right |]는 최댓값을 갖는다.

[eqn: rmleft | vec{KP} + vec{BQ} right |]의 최댓값은 [eqn: {5} over {2} + 1 = {7} over {2}]

[eqn: p=2], [eqn: q=7]이므로 [eqn: p+q=9]

따라서 정답은 [eqn: 9]이다.

두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] ([eqn: c > 0])인 쌍곡선 [eqn: x^{2} - {y^{2}} over {a^{2}} = 1] 위의 점 중 제[eqn: 2]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmPF]가 타원 [eqn: x^{2} + {y^{2}} over {b^{2}} = 1] ([eqn: 0 < b < 1])과 점 [eqn: rmQ]에서 접한다. 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: b^{2}]이고 [eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{PF prime }} +itb ^{2}]일 때, [eqn: 30(a^{2} + b^{2})]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 양수이다.)

[eqn: 80]

점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: b^{2}]이므로 타원의 방정식 [eqn: x^{2} + {y^{2}} over {b^{2}} = 1]에 대입하면 [eqn: x^{2} + {b^{4}} over {b^{2}} = 1]에서 [eqn: x^{2} = 1 - b^{2}]

접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 만나므로 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.

∴ [eqn: rmQ(it sqrt {1-b ^{2}} ,b ^{2} )]

점 [eqn: rmQ]에서의 타원의 접선의 방정식은

[eqn: sqrt{1-b^{2}}x + {b^{2}y} over {b^{2}} = 1] 즉, [eqn: sqrt{1-b^{2}}x + y = 1]

이 접선이 초점 [eqn: rmF(itc,0)]을 지나므로

[eqn: sqrt{1-b^{2}}c = 1] ∴ [eqn: c^{2} = {1} over {1-b^{2}}]

쌍곡선 [eqn: x^{2} - {y^{2}} over {a^{2}} = 1]에서 [eqn: c^{2} = 1 + a^{2}]이므로

[eqn: 1 + a^{2} = {1} over {1-b^{2}}] ∴ [eqn: a^{2} = {b^{2}} over {1-b^{2}}]

점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 2]사분면에 있으므로 [eqn: x]좌표가 음수이고, 점 [eqn: rmQ]와 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표의 대소 관계는 [eqn: 0 < sqrt{1-b^{2}} < c]이므로 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmF]는 직선 위에 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmF] 순서로 존재한다.

∴ [eqn: rmoverline{PF} = overline{PQ} + overline{QF}]

쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{PF} - overline{PF'} = 2]이므로

[eqn: rmoverline{PF} = overline{PF'} + 2]

주어진 조건에서 [eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{PF prime }} +itb ^{2}]이므로

[eqn: {bar{rmPF prime }} +2=( {bar{rmPF prime }} +b ^{2} )+ {bar{rmQF}}]

∴ [eqn: {bar{rmQF}} =2-b ^{2}]

한편, 두 점 [eqn: rmQ(it sqrt {1-b ^{2}} ,b ^{2} )]과 [eqn: rmF(itc,0)] 사이의 거리의 제곱은

[eqn: {bar{rmQF}} ^{2} =(c- sqrt {1-b ^{2}} ) ^{2} +(0-b ^{2} ) ^{2}]

[eqn: c = {1} over {sqrt{1-b^{2}}}]을 대입하면

[eqn: {bar{rm QF it}} ^{2} = LEFT ( {1} over {sqrt {1-b ^{2}}} - sqrt {1-b ^{2}} RIGHT ) ^{2} +b ^{4}][eqn: = LEFT ( {b ^{2}} over {sqrt {1-b ^{2}}} RIGHT ) ^{2} +b ^{4} = {b ^{4}} over {1-b ^{2}} +b ^{4} =b ^{4} LEFT ( {2-b ^{2}} over {1-b ^{2}} RIGHT )]

[eqn: {bar{rmQF}} =2-b ^{2}]이므로 [eqn: ( 2 - b^{2} )^{2} = b^{4} left ( {2-b^{2}} over {1-b^{2}} right )]

[eqn: 0 < b < 1]에서 [eqn: 2 - b^{2} neq 0]이므로 양변을 [eqn: 2 - b^{2}]로 나누면

[eqn: 2 - b^{2} = {b^{4}} over {1-b^{2}}]

[eqn: ( 2 - b^{2} )( 1 - b^{2} ) = b^{4}]에서 [eqn: 2 - 3b^{2} + b^{4} = b^{4}]

[eqn: 3b^{2} = 2] ∴ [eqn: b^{2} = {2} over {3}]

[eqn: a^{2} = {b^{2}} over {1-b^{2}}]에 대입하면 [eqn: a^{2} = {{2} over {3}} over {1 - {2} over {3}} = 2]

[eqn: 30( a^{2} + b^{2} ) = 30 left ( 2 + {2} over {3} right ) = 80]

따라서 정답은 [eqn: 80]이다.