다항함수의 그래프 개형 추론정적분의 활용함수의 곱의 연속성수열의 귀납적 정의이차곡선의 정의와 활용벡터의 내적삼각함수와 도형지수로그함수와 그래프다항함수(삼차/사차) 그래프 개형 추론함수의 연속성과 미분가능성 조건수열의 귀납적 정의와 역추적정적분으로 정의된 함수실근의 개수와 그래프의 교점삼각함수 극한과 도형합성함수의 극값함수의 그래프 추론곱함수의 연속성수열의 귀납적 정의와 추론삼각함수 그래프와 방정식확률밀도함수의 성질조건을 만족하는 함수의 개수

총평

이번 7월 학평은 22번 문항이 당락을 갈랐을 겁니다. '함수 f(x)와 직선 y=x의 관계'를 'f(x)-x'라는 새로운 함수로 해석하고, 그 함수의 그래프와 상수함수와의 교점 개수(h(t))의 변화를 추론하는 능력은 최상위권 변별을 위해 평가원이 꾸준히 요구해 온 사고방식입니다. 14번, 15번 같은 준킬러 문항들은 기존 기출문제의 틀을 크게 벗어나지 않았지만, 조건 해석의 꼼꼼함과 계산의 정확성을 요구하여 중상위권 학생들의 시간을 많이 뺏었을 것으로 보입니다. 결국 수능 고득점의 관건은 낯선 표현으로 포장된 함수의 특징을 얼마나 빠르고 정확하게 그래프로 구현해내느냐에 달려있음을 다시 한번 확인시켜 준 시험입니다.

문항 분석

14번
— 이 문제는 곱함수 g(x)g(x-3)의 연속성을 다루고 있습니다. 핵심은 g(x)가 불연속이 될 수 있는 지점(x=-3, 0)과, 이를 평행이동한 g(x-3)이 불연속이 될 수 있는 지점(x=0, 3)을 먼저 파악하는 것입니다. 많은 학생들이 불연속 후보 지점 중 일부를 놓치거나, 불연속인 함수끼리 곱했을 때 특정 지점에서 함숫값 또는 극한값이 0이 되어 연속이 될 수 있다는 사실을 간과하는 실수를 합니다. 문제 해결의 실마리는 불연속 후보점인 x=-3, 0, 3에서 곱함수가 연속이 될 조건을 각각 따져보고, 불연속점이 오직 '한 개'만 존재하도록 f(x)의 조건을 찾아내는 것입니다. f(-3)=f(0) 조건은 f(x)의 식을 설정하는 데 결정적인 역할을 합니다.
15번
— 로그의 성질을 이용한 수열의 귀납적 정의를 다루는 문항으로, 순방향 추론이 아닌 역방향 추론 능력을 요구합니다. a₁의 범위가 넓기 때문에 a₁부터 시작하면 경우의 수가 너무 많아져 길을 잃기 쉽습니다. 이것이 가장 흔한 오답 패턴이죠. 결정적 힌트는 문제에 주어진 a₄부터 a₇까지의 합을 이용하는 것입니다. a₄를 미지수로 설정하고, a₅, a₆, a₇을 구한 뒤 합이 40이 되는 a₄를 먼저 찾으세요. 그 후, a₄로부터 a₃, a₂, a₁을 역으로 추적해 나가야 합니다. a_{n+1}로부터 aₙ을 구할 때는 an = 3 * a_{n+1} 또는 an = a_{n+1} - 6 두 가지 가능성을 모두 고려하고, 모든 항이 '자연수'라는 조건을 만족하는지 반드시 확인해야 합니다.
21번
— 지수함수, 직선의 방정식, 도형의 성질(수직, 외분)을 종합적으로 활용해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 여러 개념을 유기적으로 연결하여 좌표를 설정하고 방정식을 세울 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 '외분점' 조건과 '삼각형 넓이' 조건을 어떻게 좌표와 식으로 변환할지 막막해하는 것입니다. 이 문제의 첫 단추는 점 B의 좌표를 (t, 3t)로 설정하는 것입니다. 그 후, 직선 BC의 기울기가 -1/3임을 이용하여 점 C의 좌표를, 외분점 공식을 이용하여 점 A의 좌표를 모두 t에 대한 식으로 표현하세요. 마지막으로 점 A가 지수함수 위의 점이라는 사실과 삼각형 ABC의 넓이가 20이라는 두 조건을 연립하면 답을 구할 수 있습니다.
22번
— 사차함수의 개형 추론, 정적분, 미분계수의 의미를 복합적으로 이해해야 풀 수 있는 최고난도 문항입니다. (가) 조건의 극한값 2는 h(t)가 t=-1, 1에서 불연속이며, 좌극한과 우극한의 차이가 2임을 의미합니다. 이는 함수 y=f(x)와 직선 y=x+k가 해당 지점에서 '접한다'는 강력한 단서입니다. 많은 학생들이 (다) 조건의 정적분 부등식을 해석하는 데서 막힙니다. 이 조건은 '어떤 함수를 a부터 t까지 적분한 값이 항상 0 이상'이라는 의미로, 피적분함수 f(u)-ku가 u=a에서 부호 변화가 없거나(중근 이상), 혹은 적분값이 0이 되는 지점이 극소임을 시사합니다. 이 모든 조각들을 종합하여 f(x)-x가 (x+1)²과 (x-1)²을 인수로 가질 가능성을 추론하고, 나머지 조건을 만족하는 사차함수의 개형을 완성하는 것이 핵심입니다.
기하 29번
— 좌표평면 위 원과 벡터의 내적을 다루는 문제입니다. 출제 의도는 벡터의 연산을 성분을 이용하여 대수적으로 처리하는 능력과, 주어진 등식의 기하학적 의미를 파악하는 능력을 동시에 측정하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (가) 조건의 DP-AB=BC 라는 벡터 등식을 어떻게 해석할지입니다. 이 식을 직접 다루기보다, 모든 점을 원의 중심을 원점으로 하는 좌표로 설정하고 성분으로 표현하는 것이 효과적입니다. 점 A(-3,0), B(3,0)으로 두고 점 C, D, P의 좌표를 (x,y) 형태로 설정한 뒤 내적을 계산하면, 복잡해 보이던 벡터 방정식이 좌표에 대한 간단한 식으로 정리됩니다. 이 대수적 접근이 문제 해결의 결정적 열쇠입니다.
기하 30번
— 공간 상의 구와 여러 점, 그리고 평면 사이의 관계를 다루는 공간도형 문제입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 조건들을 통해 공간 상의 점들의 위치 관계를 정확하게 파악하고, 최종적으로 정사영의 넓이를 구하기 위해 두 평면이 이루는 각의 코사인 값을 알아내는 것입니다. (가) OC ⊥ OD, (나) AD ⊥ OH 와 같은 수직 조건들은 공간좌표를 설정하거나 벡터의 내적이 0임을 활용하라는 강력한 신호입니다. 특히 점 A, B, C가 구 위의 점이고 AB가 지름이라는 사실로부터 삼각형 ABC가 직각삼각형임을 유추하는 것이 첫 단추입니다. 이후 점 D와 H의 위치를 수직 조건들을 이용해 특정하고, 삼각형 DAH와 평면 DOC를 구성하는 세 점의 좌표를 구해 이면각을 계산하는 방향으로 나아가야 합니다.
미적분 28번
— 삼각함수 극한 도형 문제의 정석이지만, 넓이를 구해야 할 삼각형 PRS의 위치가 까다로워 체감 난도가 높습니다. 학생들은 보통 복잡한 도형에서 각과 변의 길이를 직접 구하려다 시간을 허비하는 함정에 빠집니다. 이 문제의 핵심은 원의 중심 O를 활용하여 필요한 길이와 각을 θ로 표현하는 것입니다. f(θ)는 삼각형 BOQ의 넓이이므로 쉽게 구할 수 있습니다. g(θ)인 삼각형 PRS의 넓이를 구하기 위한 결정적 실마리는 사인 법칙을 활용하여 삼각형 APS 또는 삼각형 AQR 등에서 변의 길이를 찾는 것입니다. 특히 변 AP, AQ, AR의 길이를 θ로 표현하고 나면, 사인 법칙으로 다른 변들을 연쇄적으로 구해낼 수 있습니다.
미적분 30번
— 삼차함수 f(x)와 sin|πf(x)|라는 생소한 합성함수 g(x)의 극대 조건을 해석하는 문제입니다. 가장 큰 함정은 절댓값 기호와 sin 함수의 주기성을 동시에 고려해야 한다는 점입니다. g(x)가 극대가 되려면 sin 안의 값 |πf(x)|가 π/2, 5π/2, ... 등이 되어야 합니다. (가) 조건에서 x=a₄, x=a₈에서 극대라는 것은, f(x)의 함숫값이 정수가 되는 4번째, 8번째 양수 x값에서 g(x)의 함숫값이 1이 된다는 의미입니다. 이로부터 f(x)의 그래프가 어떤 정수 라인들을 어떻게 통과하는지 개형을 추론하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. (나) 조건 f(a_m)=f(0)은 삼차함수의 대칭성을 활용하여 함수식을 특정하는 결정적인 역할을 합니다.
확률과 통계 29번
— 이 문제는 주어진 관계식을 통해 새로운 확률밀도함수 g(x)를 추론하는 능력을 평가합니다. 핵심 출제 의도는 {g(x)-f(x)}{g(x)-a}=0 이라는 식을 '모든 x에 대해 g(x)=f(x) 또는 g(x)=a'로 올바르게 해석하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 g(x)가 구간 전체에서 f(x)이거나, 혹은 구간 전체에서 상수함수 a라고 단정 짓는 것입니다. 실제로는 특정 구간에서는 f(x)의 그래프를 따르다가 다른 구간에서는 수평선 y=a를 따르는 '조각난 함수' 형태가 될 수 있습니다. 문제 해결의 실마리는 (가), (나)의 확률 대소 관계를 이용해 어느 구간에서 g(x)가 f(x)보다 위 또는 아래에 있어야 하는지를 파악하고, 전체 넓이(적분값)가 1이 되도록 상수 a와 그래프의 형태를 결정하는 것입니다.
확률과 통계 30번
— 여러 조건을 만족하는 함수의 개수를 세는 문제로, 중복조합과 체계적인 케이스 분류 능력이 요구됩니다. (나) 조건 f(n) ≤ f(n+2)를 보고, 정의역의 원소를 홀수 집합 {1, 3, 5, 7}과 짝수 집합 {2, 4, 6}으로 나누어 생각해야 한다는 것을 떠올리는 것이 중요합니다. 가장 흔한 실수는 (다) 조건의 '자연수' 조건을 간과하거나, 케이스를 나눌 때 가장 강력한 제약 조건인 (가) f(7)-f(1)=3을 먼저 사용하지 않고 복잡하게 접근하는 것입니다. 이 문제의 가장 효율적인 접근법은 (가) 조건을 만족하는 (f(1), f(7)) 순서쌍 ((1,4), (2,5), (3,6), (4,7))을 기준으로 네 가지 큰 케이스를 나누는 것입니다. 각 케이스별로 (나)와 (다) 조건을 만족하는 f(3), f(5) 및 f(2), f(4), f(6)의 경우의 수를 각각 구하여 해결해야 합니다.