정적분으로 정의된 함수사차함수 그래프 개형 추론수열의 합과 일반항의 관계사인법칙과 코사인법칙지수/로그 함수의 그래프 해석포물선과 타원의 정의정사영벡터의 내적다항함수의 그래프 추론수열의 귀납적 정의 및 합미분계수의 기하학적 의미삼각함수의 극한과 도형로그함수의 그래프와 대칭성등비급수와 도형의 닮음함수의 그래프 추론수열의 귀납적 정의로그함수와 지수함수의 그래프 활용조건부 확률중복조합

총평

이번 10월 학평은 22번 사차함수 추론 문제에서 시간을 얼마나 단축했는지가 등급을 갈랐을 겁니다. 단순 계산보다는 조건 해석을 통해 함수의 개형을 추론하는 능력을 집중적으로 점검했고, 미적분 선택과목의 난이도 또한 만만치 않아 시간 배분에 실패한 학생들이 많았을 것입니다. 특히 14번, 22번, 30번처럼 정적분으로 정의된 함수나 다항함수 추론 문제는 평가원의 최신 출제 경향을 그대로 반영하고 있으므로, 기출문제와의 연관성을 깊이 있게 분석하며 학습해야 합니다. 수능까지 남은 기간 동안 복잡한 조건의 의미를 해석하고 그래프로 시각화하는 훈련을 반복하는 것이 중요하겠습니다.

문항 분석

14번
— 이 문항의 핵심은 정적분으로 정의된 방정식의 실근을 '넓이'의 관점에서 해석하는 능력입니다. F(x) = ∫[t, x] f(s)ds 라 두면, F(t)=0이므로 x=t는 항상 근이라는 사실을 놓치는 학생들이 많습니다. 다른 실근은 t부터 x까지의 정적분 값이 0, 즉 x축 위아래 넓이가 상쇄되는 지점이라는 것을 파악해야 g(t)의 변화를 추적할 수 있죠. 결정적 실마리는 f(x)의 그래프를 그려놓고, t값을 변화시키면서 넓이가 0이 되는 지점이 몇 개나 추가되는지를 시각적으로 확인하는 것입니다.
15번
— 이차함수로 표현된 수열의 합 S_n과 '임의의 두 자연수 i, j에 대하여 i≠j이면 S_i≠S_j이다'라는 조건의 해석이 관건입니다. 이 조건은 S_n을 n에 대한 함수로 봤을 때 일대일 대응이라는 뜻이 아니라, 정의역이 '자연수'일 때 함숫값이 겹치지 않아야 한다는 의미입니다. 많은 학생들이 이 조건을 보고 이차함수의 대칭축(n=18/p) 주변에서 함숫값이 같아지는 경우를 배제해야 한다는 아이디어를 떠올리지 못해 헤맸을 겁니다. 힌트는 대칭축이 k.5 꼴이 되면 S_k = S_{k+1}이 되어 조건에 위배된다는 점을 이용해 p의 범위를 좁혀나가는 것입니다.
21번
— 지수함수 그래프와 도형의 성질을 결합한 고난도 문항입니다. 출제 의도는 좌표를 설정하여 기하학적 조건(수직, 길이의 비)을 대수적인 식으로 변환하는 능력을 평가하는 것입니다. 점 A가 직선 y=-√3x 위에 있다는 점에서 A의 좌표를 (t, -√3t)로 설정하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 OA:OB = √3:√19 라는 길이의 비를 어떻게 좌표와 식으로 연결할지 막막해하는 것인데, 피타고라스 정리와 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 |OA|^2, |OB|^2의 관계식으로 바꾸면 실마리가 보입니다.
22번
— 구간에 따라 정의된 최솟값들의 차로 새로운 함수 g(t)를 정의한, 전형적인 수능형 킬러 문항입니다. g(t) = m₁ - m₂의 의미를 파악하는 것이 핵심인데, 이는 t를 경계로 왼쪽 구간의 최솟값과 오른쪽 구간의 최솟값의 차이를 나타냅니다. 'g(t)=k를 만족시키는 t의 집합이 {t|0≤t≤2}이다'라는 조건은, t가 0부터 2까지 움직이는 동안 사차함수 f(x)의 전체 최솟값은 f(t)가 되고, [t, ∞) 구간의 최솟값은 어떤 값으로 고정되어야 함을 시사합니다. 이로부터 f(x)가 [0, 2]에서 감소하고, x>2인 지점에 극솟값이 존재한다는 개형을 추론하는 것이 결정적입니다.
기하 29번
— 포물선과 타원의 정의를 복합적으로 활용해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 두 이차곡선의 정의(포물선: 초점과 준선까지의 거리, 타원: 두 초점까지의 거리의 합)를 한 문제 상황에 녹여내어 기하학적 관계를 식으로 표현할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들은 보통 PF₂ - PF₁ = 6 이라는 조건에서 쌍곡선을 떠올리지만, 점 P가 포물선 위의 점이라는 사실을 간과하는 함정에 빠집니다. 이 문제의 결정적 실마리는 포물선의 정의를 이용하여 PF₁을 x좌표로 표현하고, 이를 PF₂ - PF₁ = 6 식에 대입하여 점 P의 좌표를 구하는 것입니다. 그 이후에는 접선의 방정식을 구하고 타원의 정의를 적용하는 단계로 자연스럽게 이어집니다.
기하 30번
— 공간도형에서 정사영의 넓이를 구하는 문제입니다. 핵심은 삼각형 CGH의 위치와 방향을 파악하고, 각 평면과의 이면각을 구하는 것입니다. 출제 의도는 두 개의 정사영 조건을 통해 원래 도형(삼각형 CGH)의 넓이와 위치를 추론하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (가) 조건에서 평면 ADEB 위로의 정사영이 정삼각형이라는 것을 어떻게 활용할지 막막해하는 것입니다. 결정적 힌트는 정사영의 넓이 공식 S' = S cosθ를 이용하는 것입니다. 평면 ADEB와 평면 DEF는 서로 수직이므로, 두 평면의 법선벡터를 이용하여 각 평면에 대한 이면각의 코사인 값을 구하고, 이를 연립하여 원래 삼각형 CGH의 넓이를 찾아내는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
미적분 28번
— 도형과 등비급수를 결합한 전형적인 문제지만, 첫째항 S₁과 공비를 구하는 과정이 다소 복잡하게 설계되었습니다. 많은 학생들이 첫째항의 넓이를 구하기 위해 여러 도형으로 쪼개다 계산 실수에 빠지기 쉽습니다. 공비를 찾는 핵심은 큰 직사각형 A₁B₁C₁D₁과 그 안에 내접하는 작은 직사각형 A₂B₂C₂D₂의 닮음비를 구하는 것입니다. 두 직사각형의 대각선 B₁D₁과 B₂D₂의 길이의 비를 구하는 것이 가장 정석적인 접근법이며, 이 과정에서 원과 직선의 위치 관계, 피타고라스 정리 등 다양한 기하학적 지식이 요구됩니다. 공비는 길이의 비의 제곱이라는 것을 잊지 말아야 합니다.
미적분 29번
— 삼각함수 극한 문제 중에서도 도형의 넓이 f(θ)와 g(θ)를 θ로 표현하는 과정이 매우 까다로운 문항입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 복잡한 도형에서 어떤 보조선을 긋고 어떤 각을 기준으로 식을 세워야 할지 갈피를 잡지 못하는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 원의 중심 O와 각 점들을 연결하여 부채꼴과 삼각형을 만들고, 원주각과 중심각의 관계, 사인 법칙 등을 적극적으로 활용하는 것입니다. 특히 점 S와 T의 위치를 θ를 이용해 정확히 표현하는 것이 관건이며, 최종적으로 θ→0+ 극한을 계산할 때는 sinθ ≈ θ, 1-cosθ ≈ θ²/2 와 같은 근사식을 활용하면 계산을 크게 단축할 수 있습니다.
미적분 30번
— 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 대칭성을 추론하고, 이를 이용해 원래 함수 f(x)를 결정한 뒤 다시 적분하는 복합적인 문제입니다. (가) 조건의 ∫_{a}^{3a+x} g(t)dt = ∫_{2a}^{3a-x} g(t)dt 라는 생소한 등식이 가장 큰 함정입니다. 이 식의 양변을 x에 대해 미분하면 g(3a+x) = g(3a-x)라는 결과를 얻게 되는데, 이는 g(x)가 직선 x=3a에 대해 대칭이라는 결정적인 단서입니다. g(x)의 정의에 따라 f(x)+f'(x)+1 이라는 함수가 x=3a에 대해 대칭인 2차 함수임을 알 수 있고, 이를 통해 f(x)의 식을 특정할 수 있습니다. 최종적인 적분 계산에서는 f'(x)g(x) 형태가 포함되어 있어 치환적분이나 부분적분을 적절히 활용해야 합니다.
확률과 통계 29번
— 조건을 만족하는 함수 개수 세기 문제로, 중복조합을 활용해야 합니다. (가) 조건은 f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)를 의미하므로 중복조합의 기본 틀을 제공합니다. 하지만 (나) f(1)≤3, (다) f(3)≤f(1)+4 라는 추가 제약 때문에 단순 공식 적용이 불가능하죠. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 (나)와 (다) 조건을 따로따로 생각하다가 논리적 오류에 빠지는 것입니다. 이 문제의 실마리는 기준을 잘 잡고 경우를 나누는 것, 특히 f(1)의 값이 1, 2, 3인 경우로 나누어 각각의 경우에 대해 (다) 조건과 (가) 조건을 만족하는 순서쌍을 체계적으로 세는 것이 가장 안전하고 확실한 풀이법입니다.
확률과 통계 30번
— 실행이 두 단계로 이루어진 복잡한 구조의 조건부 확률 문제입니다. 구하고자 하는 확률은 '[실행 2] 후 B에 흰 공이 없을 때, [실행 1]에서 B에 넣은 공 중 흰 공이 2개였을 확률'입니다. 이 문제를 풀기 위한 핵심은 전체 사건, 즉 '[실행 2] 후 B에 흰 공이 없는 경우'를 누락 없이 세는 것입니다. 이를 위해서는 [실행 1]에서 동전의 앞/뒤에 따라 A에서 B로 넘어가는 공의 개수(2개/3개)와 구성(흰공/검은공 조합)을 모두 나누어 확률을 계산해야 합니다. 많은 학생들이 이 과정에서 특정 케이스를 빼먹거나 각 케이스별 확률 계산에서 실수를 합니다. 가장 먼저 [실행 1]의 모든 결과를 표로 정리하고 각 확률을 명시하는 것이 풀이의 첫걸음입니다.