3차/4차 함수 그래프 개형 추론정적분으로 정의된 함수수열의 귀납적 정의미분계수와 도함수의 활용삼각함수의 주기성과 대칭성벡터의 내적과 자취의 방정식공간도형과 정사영다항함수 그래프 개형 추론수열의 귀납적 정의(점화식)미분계수와 접선삼각함수와 도형의 활용(사인/코사인 법칙)삼각함수의 극한지수/로그 함수와 그래프삼차함수 그래프 개형 추론정적분으로 정의된 함수 해석수열의 귀납적 정의와 추론함수의 연속성과 미분가능성지수/로그 함수의 그래프와 도형경우의 수와 조건부 확률표본평균의 분포함수의 개수 세기

총평

이번 9월 모의평가는 22번 문항에서 삼차함수 그래프 개형과 새롭게 정의된 함수의 연속성을 결합하여 학생들의 추론 능력을 극한까지 시험했습니다. 15번 수열 문항 역시 단순 나열이 아닌 역추적 방식을 요구하며 시간 안배에 실패한 중상위권 학생들을 괴롭혔을 겁니다. 전반적으로 계산량은 줄었지만, 조건 해석의 깊이가 상당하여 개념을 얼마나 체화했는지가 등급을 갈랐을 것입니다. 평가원이 수능에서 변별력을 확보하기 위해 고난도 문항에서 '조건 해석'과 '그래프 추론' 능력을 어떻게 활용하는지 명확히 보여준 시험이므로, 남은 기간 기출 분석을 통해 문제의 숨은 의도를 파악하는 훈련에 집중해야 합니다.

문항 분석

14번
— 이 문항은 정적분으로 정의된 함수 g(t)의 의미를 해석하고, 이를 삼차함수 f(x)의 그래프와 연결 짓는 능력을 평가하는 문제입니다. 핵심은 g(t)가 두 정적분의 차이로 표현된다는 점에서, f(x)의 양수 부분과 음수 부분의 넓이 관계를 묻고 있다는 것을 간파하는 것입니다. 많은 학생들이 <보기>의 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 독립적으로 해석하려다 시간을 허비하는데, ㄱ에서 얻은 f(x)의 정보를 바탕으로 ㄴ, ㄷ을 연쇄적으로 추론해야 합니다. 결정적인 실마리는 g(0)과 g(-1)의 부호를 통해 f(x)=x(x-1)(x-k)에서 미지수 k의 범위를 특정하고, 이를 바탕으로 그래프를 그려 넓이를 비교하는 것입니다.
15번
— 전형적인 수열의 귀납적 정의 문항이지만, 첫째항 a₁을 구하기 위해 순방향이 아닌 역추적을 해야 하는 까다로운 문제입니다. 출제 의도는 an+1로부터 an을 역으로 추론할 때, an이 5보다 작은 경우와 5 이상인 경우로 나뉘는 두 가지 가능성을 모두 고려하며 논리적으로 오류 없이 케이스를 분류할 수 있는지를 확인하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 a₄k = r^k 라는 (가) 조건을 이용해 a₄=r, a₈=r² 등을 구한 뒤, a₄에서 a₁으로 거슬러 올라갈 때 발생하는 여러 갈래의 경우의 수를 끝까지 추적하지 않고 한두 가지 케이스만 확인하고 답을 내는 것입니다. a₁<0 이라는 초기 조건을 놓치지 않는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
21번
— 지수함수 그래프와 두 직선의 기울기가 m, -m으로 절댓값이 같고 부호가 반대라는 점을 활용하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 기울기 조건을 통해 점 P를 중심으로 점 A와 B가 대칭적인 관계에 있음을 파악하고, 이를 도형의 닮음으로 연결하는 것입니다. 많은 학생들이 좌표를 직접 설정하여 복잡한 연립방정식을 풀려고 시도하다가 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 하지만 직선 PA와 x축, y축이 이루는 직각삼각형과, 점 B에서 y축에 내린 수선을 활용한 직각삼각형이 합동임을 이용하면 AB=4PB 조건을 훨씬 간단한 비례식으로 해결할 수 있습니다. 기울기의 대칭성이 곧 도형의 대칭성으로 이어진다는 것을 간파하는 것이 결정적 힌트입니다.
22번
— 최고난도 문항으로, 삼차함수 f(x)와 실수 t에 대해 새롭게 정의된 함수 g(x)의 실근 개수 h(t)의 불연속점을 찾는 문제입니다. 출제 의도는 f(x)의 그래프 개형을 완벽히 이해하고, t의 값에 따라 g(x)의 그래프가 어떻게 변형되는지를 시각적으로 추론하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 g(x)=0의 실근이 f(x)=0의 실근 또는 f(x)=2f(t)의 실근이라는 것을 해석한 후, y=2f(t)라는 상수함수 직선이 움직임에 따라 f(x)와의 교점 개수가 변하는 순간을 포착하는 것입니다. h(t)가 불연속이 되는 지점은 바로 이 교점의 개수가 급격히 변하는 순간, 즉 y=2f(t)가 f(x)의 극값에 접할 때라는 사실을 깨닫는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
기하 29번
— 두 개의 구와 두 개의 평면이 등장하는 복잡한 공간도형 문제입니다. 출제 의도는 공간좌표를 설정하여 기하학적 관계를 대수적으로 풀어내는 능력입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 평면 α의 방정식을 구하는 과정에서 접점의 좌표를 미지수로 설정하고 복잡한 계산에 매몰되는 것입니다. 구 S₁의 중심 C₁과 접점 P를 잇는 벡터 C₁P가 평면 α의 법선벡터라는 사실을 이용하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 이후 원 C의 중심과 반지름, 그리고 두 평면 α, β가 이루는 각을 정확히 계산해야 정사영의 넓이를 구할 수 있습니다.
기하 30번
— 벡터 방정식으로 정의된 점 X의 자취를 파악하고, 그 위를 움직이는 두 점 P, Q에 대한 추가 조건을 해석하는 문제입니다. 핵심은 (AX-2)(BX-2)=0 이라는 조건이 |AX|=2 또는 |BX|=2, 즉 점 A를 중심으로 하는 원과 점 B를 중심으로 하는 원의 합집합임을 간파하는 것입니다. 많은 학생들이 이 자취의 모양을 정확히 그리지 못해 어려움을 겪습니다. (가) 조건의 내적은 두 점 P, Q의 x좌표의 곱이 0 이상이라는 의미로, 두 점이 y축을 기준으로 같은 쪽에 위치함을 알려주는 결정적 힌트입니다. 이 조건 하에서 |PQ|=2를 유지하며 움직이는 점 Y=P+Q의 자취를 상상하는 것이 관건입니다.
미적분 28번
— 반지름과 중심각이 주어진 부채꼴 내부에 복잡한 조건으로 정의된 도형들의 넓이를 삼각함수로 표현하고 극한값을 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 조건(PA=PC=PD)을 활용하여 필요한 모든 변의 길이와 각을 오직 변수 θ 하나로 통일하는 것입니다. 많은 학생들이 점 C나 D의 위치를 특정하기 어려워하며, 여러 개의 미지수를 도입하다가 길을 잃습니다. 결정적 힌트는 원 위의 점 P를 (cosθ, sinθ)로 설정하고, 이등변삼각형의 성질과 사인법칙, 코사인법칙을 적극적으로 활용하여 f(θ)와 g(θ)를 구성하는 각 점의 좌표나 변의 길이를 θ로 표현하는 것입니다. 특히 g(θ)를 구하기 위해 선분 DE가 OP와 평행하다는 조건을 어떻게 활용할지가 관건입니다.
미적분 30번
— 사차함수 f(x)와 0 이상인 함수 g(x) 사이의 관계식을 통해 f(x)를 결정하고 정적분 값을 구하는 문제입니다. (가) 조건에서 f(x)가 x=-3에서 극소임을, (나) 조건에서 f'(x)와 f(x)-f(0)의 관계를 추론해야 합니다. 학생들이 가장 흔히 빠지는 함정은 (나)의 g(x+3){f(x)-f(0)}² = f'(x) 식을 어떻게 해석해야 할지 막막해하는 것입니다. g(x)≥0 이므로, x>-3 범위에서 f'(x)의 부호는 항상 {f(x)-f(0)}²의 부호, 즉 0 이상이어야 한다는 것이 결정적 실마리입니다. 이 사실과 (가) 조건을 결합하면 f'(x)의 인수를 확정할 수 있고, 이를 통해 f(x)의 형태를 완벽하게 추론해낼 수 있습니다.
확률과 통계 29번
— 표본평균 X̄의 값을 구하는 확률 문제로, 복원추출로 4개의 수를 뽑는다는 상황을 정확히 이해하는 것이 핵심입니다. 이 문제의 출제 의도는 단순히 표본평균의 분포 공식을 암기했는지가 아니라, 주어진 P(X̄ = 11/4)라는 조건을 만족하는 네 수의 합(4X̄ = 11)의 조합을 직접 찾을 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 네 수의 합이 11이 되는 경우의 수를 찾는 과정에서 중복되는 숫자를 어떻게 처리할지, 그리고 각 경우가 어떤 확률을 갖는지 계산할 때 혼란을 겪습니다. 같은 것이 있는 순열의 확률 계산법을 정확히 적용하는 것이 중요하며, 1, 2, 3, 4, 5, 6이 적힌 카드에서 합이 11이 되는 네 수의 조합(예: (1,2,2,6), (1,2,3,5) 등)을 누락 없이 찾는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
확률과 통계 30번
— 함수의 개수를 세는 문제 중에서도 치역과 합성함수의 치역에 대한 조건을 동시에 만족시켜야 하는 고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 (나) 조건 n(A)=n(B)가 의미하는 바를 정확히 해석하는 것입니다. 이는 치역 A에 속한 원소들은 함수 f에 의해 다시 치역 A의 원소로만 대응되어야 한다는, 즉 f(A)=A 임을 의미합니다. 학생들은 (가) 조건 n(A)≤3에 따라 n(A)가 1, 2, 3인 경우로 나누어 접근해야 하는데, 이때 (다) 조건 f(x)≠x (항등함수가 아님)을 각 케이스마다 적용하는 과정에서 실수를 범하기 쉽습니다. 가장 결정적인 실마리는 먼저 정의역 X를 치역이 될 원소들의 집합 A와 그렇지 않은 X-A로 분할하고, X-A의 원소들을 A로 대응시킨 뒤, A의 원소들을 다시 A로 대응시키는 두 단계로 나누어 경우의 수를 계산하는 것입니다.