함수의 미분가능성정적분으로 정의된 함수삼차함수 그래프의 성질과 추론수열의 귀납적 정의와 합사인법칙과 코사인법칙벡터의 내분점과 크기의 최소화공간도형과 정사영수열의 귀납적 정의와 추론삼차함수의 그래프와 접선함수의 연속성과 미분가능성도형을 활용한 삼각함수의 극한함수의 그래프 개형 추론조건부확률확률밀도함수의 성질

총평

이번 7월 학평은 15번과 22번 문항에서 학생들이 상당한 시간 압박을 느꼈을 시험입니다. 정적분으로 정의된 함수와 절댓값 함수의 미분가능성을 엮은 15번, 그리고 삼차함수와 접선의 관계를 통해 새로운 함수를 추론해야 하는 22번은 계산력과 함께 깊이 있는 개념 이해를 요구했습니다. 전반적으로 과거 기출문제의 아이디어를 차용하되, 조건을 살짝 비틀어 암기식 풀이를 지양하고 문제 해결 과정을 꼼꼼히 설계하는 능력을 측정하고자 한 의도가 엿보입니다. 특히 14번 도형 문제나 21번 수열 추론 문제처럼, 주어진 조건을 빠짐없이 해석하고 이를 종합하여 논리적으로 풀어나가는 연습은 실제 수능 고득점을 위한 핵심 열쇠가 될 것입니다.

문항 분석

14번
— 이 문제는 원에 내접하는 사각형에서 사인법칙과 코사인법칙을 종합적으로 활용하는 능력을 평가합니다. 많은 학생들이 <보기>의 각 조건에 매몰되어 개별적으로 접근하려다 길을 잃는 실수를 합니다. 특히 점 D의 위치가 변수라는 점을 간과하고 특정 상황만 가정하여 푸는 오류를 범하기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 지름 AB가 주어졌다는 사실에서 출발합니다. 이는 원주각의 성질(∠ACB=90°)과 사인법칙을 사용하라는 가장 강력한 신호이며, 이를 기준으로 모든 변과 각의 관계를 체계적으로 풀어나가야 합니다.
15번
— 정적분으로 정의된 함수 g(x)와 절댓값 함수 h(x)의 미분가능성을 묻는 문항으로, 함수의 그래프 개형 추론이 핵심입니다. 학생들이 가장 흔히 빠지는 함정은 h(x)=|g(x)-g(a)|의 미분 불가능점 개수가 1개라는 조건을 제대로 해석하지 못하는 것입니다. 이는 단순히 뾰족점이 하나라는 의미를 넘어, 함수 y=g(x)의 그래프가 y=g(a)라는 상수함수와 한 점에서만 만나거나, 만나더라도 한 점에서 접해야 한다는 기하학적 의미를 내포합니다. 따라서 g(x)의 극점이 a값의 유력한 후보가 된다는 사실을 간파하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
21번
— 수열의 합과 절댓값이 포함된 점화식을 통해 일반항을 추론하는 고난도 문항입니다. (가) 조건의 Σak를 S2n=17n으로 보고 섣불리 S2n - S2n-1을 계산하려는 시도는 함정입니다. 이 식은 짝수 항까지의 합이므로, S2n - S2n-2 = a2n + a2n-1 = 17 이라는 관계식을 이끌어내는 것이 핵심입니다. 이 관계식과 (나) 조건의 점화식을 연립하여 짝수 항과 홀수 항의 규칙성을 찾아야 하는데, 절댓값 때문에 부호가 바뀔 수 있다는 가능성을 항상 염두에 두어야 합니다. a2=9라는 초기 조건을 이용해 항들을 역추적하거나 순차적으로 나열하며 규칙을 발견하는 끈기가 필요합니다.
22번
— 삼차함수 f(x)와 그 접선 g(x)를 이용해 새롭게 정의된 함수 h(x)의 조건을 해석하는 최고난도 문항입니다. 많은 학생들이 복잡한 조건에 압도되어 f(x) = ax³+bx²+... 로 놓고 풀려다가 계산의 늪에 빠집니다. 이 문제의 핵심은 '차이 함수'의 개념을 활용하는 것입니다. g(x)가 f(x)의 원점에서의 접선이므로, f(x)-g(x)는 x²을 인수로 갖는다는 사실을 이용해 함수 식을 간결하게 설정해야 합니다. 또한, (가) 조건에서 h(x)가 (k, 0)에서 x축에 접한다는 것은 h(x)가 (x-k)²을 인수로 갖는다는 의미이므로, 이를 통해 함수 h(x)의 식을 완성해 나가는 것이 결정적 실마리입니다.
기하 29번
— 벡터의 합과 크기의 최솟값, 그리고 벡터 내적의 최댓값을 묻는 문제입니다. |2PA+PD|의 최솟값을 구하는 과정에서 좌표를 도입하면 계산이 매우 복잡해지므로, 벡터의 내분점 개념을 활용하는 것이 핵심입니다. 이 문제의 출제 의도는 주어진 벡터 식을 '위치벡터를 이용한 한 점으로의 변형'을 할 수 있는지 평가하는 것입니다. |3OP - (2OA+OD)|로 식을 변형하면, P는 선분 CD 위를 움직이므로 (2OA+OD)/3 벡터의 종점을 CD에 정사영 내린 점일 때 크기가 최소가 됨을 기하학적으로 파악할 수 있습니다. QA·QR의 최댓값은 두 벡터가 이루는 각이 0일 때, 즉 방향이 같을 때 최대가 된다는 내적의 기하학적 의미를 이용하는 것이 결정적 힌트입니다.
기하 30번
— 공간 상의 구와 평면, 그리고 여러 점들의 위치 관계를 파악하고 정사영의 넓이를 구하는 문제입니다. 이 문제의 성패는 (나) 조건 '점 P의 평면 α 위로의 정사영은 선분 OA 위에 있다'를 어떻게 공간좌표로 해석하느냐에 달려있습니다. 많은 학생들이 3차원 상황을 머릿속으로만 그리려다 혼란에 빠지기 쉽습니다. 문제 해결의 첫 단추는 평면 α를 xy평면으로, 점 O를 원점으로, 점 A를 x축 위의 점으로 설정하는 과감한 좌표 도입입니다. 이렇게 하면 (나) 조건은 P의 y좌표가 0임을 의미하게 되어 문제가 2차원 평면 문제처럼 단순화되고, 주어진 cos 값을 이용하여 P의 좌표를 확정지을 수 있습니다.
미적분 29번
— 반원을 배경으로 한 도형에서 두 부분의 넓이를 삼각함수로 표현하고 극한값을 구하는 문제입니다. 이 유형의 핵심은 모든 길이와 넓이를 단 하나의 변수, 즉 θ로 통일하여 표현하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 f(θ)와 g(θ)를 구성하는 각 변의 길이를 θ로 표현하는 과정이며, 특히 점 R과 S의 위치를 잡는 데서 혼란을 겪습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 '지름에 대한 원주각은 90도'라는 성질을 이용하여 직각삼각형을 최대한 많이 찾아내는 것입니다. 삼각형 ABS가 직각삼각형임을 이용하면 BS의 길이를 tanθ로 쉽게 표현할 수 있고, 이를 바탕으로 나머지 길이들을 순차적으로 구해나가면 극한식을 완성할 수 있습니다.
미적분 30번
— 지수함수와 이차함수가 곱해진 g(x)의 그래프 개형을 추론하고, g(x)=k의 실근의 합으로 정의된 함수 h(k)의 불연속성을 분석하는 최고난도 문항입니다. (가) 조건에서 h(k)의 불연속점이 1개라는 것은, 실근의 '개수'가 변하는 지점이 단 한 곳이라는 의미입니다. 이는 g(x)의 그래프가 극값을 오직 하나만 가짐을 알려주는 결정적인 정보입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 (나) 조건의 극한값 차이가 2라는 것을 어떻게 활용할지 막막해하는 것입니다. 힌트는 불연속이 발생하는 지점, 즉 g(x)의 극솟값 근방에서 y=k 직선을 위아래로 움직여보며 교점 x좌표 합의 변화를 관찰하는 것입니다. 이를 통해 이차함수 f(x)의 계수에 대한 관계식을 얻어낼 수 있습니다.
확률과 통계 29번
— 연속확률변수와 확률밀도함수의 정의를 깊이 있게 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 가장 큰 함정은 g(x)=P(0 ≤ X ≤ x)라는 표현을 보고 이것이 누적분포함수 F(x)와 같다는 사실, 즉 g'(x)=f(x) 관계를 떠올리지 못하는 것입니다. f(x)가 상수함수 b이므로 g(x)는 원점을 지나는 일차함수 bx가 되며, 이 g(x) 자체가 새로운 확률변수 Y의 '확률밀도함수' 역할을 한다는 점을 이해해야 합니다. 문제 해결의 열쇠는 확률밀도함수의 기본 성질, 즉 전체 구간 [0, a]에서 g(x)의 적분값(넓이)이 1이라는 사실(∫[0,a] g(x)dx = 1)을 이용하여 미지수 a, b, c 사이의 관계를 식으로 풀어내는 것입니다.
확률과 통계 30번
— 독립시행을 기반으로 한 복잡한 조건부확률 문제입니다. a₁+a₂+a₃ > a₄+a₅+a₆ 라는 부등식 조건을 만족하는 경우의 수를 직접 계산하려고 시도하는 순간, 이 문제는 풀 수 없는 문제가 됩니다. 이 문제의 출제 의도는 '대칭성'을 이용한 사고입니다. S₁ = a₁+a₂+a₃, S₂ = a₄+a₅+a₆ 라 할 때, 각 시행은 독립적이므로 P(S₁ > S₂)와 P(S₁ < S₂)는 같습니다. 따라서 우리가 구하려는 확률은 (1 - P(S₁ = S₂)) / 2 라는 관계식을 이용하면 계산량을 획기적으로 줄일 수 있습니다. 이 대칭성을 발견하는 것이 이 문제를 풀어내는 유일한 열쇠입니다.