함수의 그래프와 성질 추론도형과 삼각함수의 극한지수/로그 함수의 역함수 관계와 대칭성조건부 확률과 베이즈 정리도형과 등비급수경우의 수 (케이스 분류)정적분으로 정의된 함수부분적분법3차 함수의 그래프 개형과 극값미분계수의 정의등차수열의 합과 일반항지수/로그 함수의 그래프 해석독립시행의 확률함수의 연속성이항정리

총평

이번 10월 학평 나형은 30번 문항에서 정적분으로 정의된 함수의 그래프 개형을 추론하는, 그야말로 수능 수학II 킬러 문항의 정석을 보여주었습니다. 단순히 계산만으로 해결할 수 없고, 도함수를 활용해 원시함수의 형태를 집요하게 추적해야만 풀리는 문제였죠. 20번, 21번, 28번, 29번 등 준킬러 라인업 역시 수열, 지수로그 그래프, 3차함수, 확률 등 각 단원의 핵심 아이디어를 정확히 꿰뚫고 있는지를 확인하는, 평가원의 출제 기조와 매우 유사한 문항들로 채워졌습니다. 이 시험지를 통해 본인의 약점 단원을 파악하고, 특히 정적분으로 정의된 함수나 3차함수 그래프 추론과 같은 고난도 유형에 대한 집중적인 훈련 계획을 세워야만 수능에서 좋은 결과를 기대할 수 있을 겁니다.

문항 분석

14번
— 이 문제는 등차수열의 합에 절댓값을 씌운 형태라 많은 학생들이 당황했을 겁니다. 출제 의도는 절댓값 안의 식 `2ak - 10` 역시 공차가 2d인 등차수열임을 파악하고, 이 수열의 부호가 바뀌는 지점을 찾는 것입니다. 흔히 빠지는 함정은 k=3부터 7까지 5개의 항을 일일이 계산하려는 것인데, 시간이 너무 오래 걸립니다. 결정적 실마리는 `ak`가 5에 가까워지는 항을 기준으로 합의 부호가 어떻게 변하는지 관찰하여, 절댓값을 효율적으로 풀어내는 데 있습니다.
15번
— 지수/로그 함수와 기하학적 해석 능력을 동시에 측정하는 문항입니다. 출제 의도는 y=a^x와 y=-log_a(x)의 관계, 그리고 점 P와 Q의 y=x 대칭성을 파악하여 좌표를 설정하고 문제를 해결하는 것입니다. 많은 학생들이 점 P의 좌표를 (p, a^p)로 설정한 뒤, 직선 PR의 기울기와 길이를 이용해 복잡한 연립방정식을 세우려다 시간을 허비하는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 점 P와 Q가 y=x 대칭이라는 점을 이용해 Q의 좌표를 쉽게 구하고, 주어진 각도 45°와 직선의 기울기 정보를 활용하여 점 R의 위치를 기하학적으로 추론하는 데 있습니다.
18번
— 전형적인 도형과 등비급수 문제로, 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구하는 것이 관건입니다. 출제 의도는 원의 성질과 삼각비를 이용하여 도형의 넓이를 계산하고, 닮음비를 통해 공비를 찾는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 두 번째 도형(R₂)의 넓이를 직접 구하려 하거나, 닮음비를 잘못 설정하는 경우입니다. 이 문제 해결의 핵심은 첫 번째 반원 Q₁의 반지름과 두 번째 반원 Q₂의 반지름 사이의 비율, 즉 닮음비를 찾는 것입니다. 선분 A₁B₁의 길이가 4이고 A₂B₂가 C₁과 E₁의 x좌표 차이와 같다는 점을 이용하면, 삼각비를 통해 A₂B₂의 길이를 쉽게 구할 수 있고 이것이 바로 공비를 찾는 결정적 힌트가 됩니다.
20번
— 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 성질을 묻는 고난도 문항입니다. 핵심은 `g(x) ≤ g(3)`과 '오직 1개의 극값'이라는 두 조건을 어떻게 해석하느냐에 있습니다. g(x)를 미분하여 `g'(x) = -xf'(x)`를 얻는 것이 첫 단추입니다. 많은 학생들이 g'(3)=0이라는 것만 생각하고 넘어가지만, g(3)이 '유일한 극값'이자 '최댓값'이라는 사실로부터 g'(x)의 부호 변화가 x=3 근방에서 어떻게 일어나야 하는지, 그리고 다른 곳에서는 부호 변화가 없어야 한다는 사실을 추론해야 합니다. 이것이 f'(x)의 근에 대한 정보를 제공하는 결정적 힌트가 됩니다.
21번
— 지수함수와 로그함수 그래프의 교점에 대한 기하학적 추론 능력을 평가하는 문제입니다. 이런 ㄱ,ㄴ,ㄷ 유형은 단순히 그림만 그려서는 절대 안 되고, 핵심적인 좌표들을 대입하여 대소 관계를 명확히 따져야 합니다. 예를 들어, ㄴ에서 x₂의 범위를 확인할 때, y=2⁻ˣ와 y=log₂x 그래프에 x=√2 같은 특정 값을 대입해보며 교점의 상대적 위치를 파악하는 것이 중요합니다. ㄷ의 `y₁-y₂`는 두 교점 사이의 y좌표 차이인데, 이를 x좌표에 대한 식으로 변환하고, ㄱ,ㄴ에서 구한 x₁, x₂의 범위를 이용해 부등식의 성립 여부를 논리적으로 증명해야 하는, 한 단계 더 깊은 사고를 요구하는 문제입니다.
미적분 29번
— 두 가지 조건을 만족하는 자연수 순서쌍의 개수를 세는 고난도 조합론 문제입니다. (가) 조건은 순서가 정해진 조합(중복조합)을, (나) 조건은 삼각형의 결정 조건을 의미합니다. 출제 의도는 두 가지 조건을 동시에 만족하는 경우를 누락하거나 중복하지 않고 체계적으로 세는 능력을 평가하는 것입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 (나) 조건, 즉 a+b > c를 만족하지 않는 경우를 전체 경우의 수에서 빼는 여사건 전략을 사용하다가 케이스를 잘못 계산하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 c를 기준으로 경우를 나누는 것입니다. c의 값이 정해지면 a, b의 범위가 제한되고, a+b > c 라는 조건을 적용하기가 한결 수월해집니다. 예를 들어 c=k라고 고정하고, a<b<k, a+b>k를 만족하는 (a,b) 쌍을 세는 방식으로 접근하는 것이 가장 효율적이고 정확한 풀이법입니다.
미적분 30번
— 함수 g(x)에 대한 복잡한 조건들을 해석하여 이차함수 f(x)와 상수 a, b를 역으로 추론해야 하는 최고난도 문제입니다. 출제 의도는 부등식으로 주어진 조건을 기하학적 의미(접선)로 해석하고, 미분과 적분을 종합적으로 활용하여 함수를 결정하는 능력을 평가하는 것입니다. 대부분의 학생들은 (가) 조건의 부등식 (x+1){g(x)-mx-m}≤0을 어떻게 해석해야 할지 몰라 시작조차 못 하는 경우가 많습니다. 이 부등식은 x=-1을 기준으로 부호가 바뀌는 직선 y=m(x+1)과 곡선 y=g(x)의 위치 관계를 나타냅니다. 이 문제의 결정적인 돌파구는 (가) 조건에서 m의 최솟값이 -2라는 사실을 통해, 직선 y=-2(x+1)이 x=-1에서 곡선 y=g(x)에 접한다는 것을 간파하는 것입니다. 즉, g(-1)=0 이고 g'(-1)=-2 라는 두 개의 강력한 단서를 얻어내는 것이 문제 해결의 전부라 해도 과언이 아닙니다.
수학 II 28번
— 3차 방정식의 실근 개수를 미분을 통해 판별하는 문제입니다. 출제 의도는 3차 함수 f(x)가 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 조건, 즉 '(극댓값) × (극솟값) < 0'을 활용하는 것입니다. 하지만 이 문제의 진짜 함정은 `f(x)=x(2x²-3(a+1)x+6a)`로 인수분해된다는 점을 간파하는 것입니다. x=0이라는 근이 이미 확보되었으므로, 나머지 이차방정식이 0이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다는 조건으로 문제가 바뀌게 됩니다. 여기서 판별식 D>0 조건과, 'a가 자연수'라는 조건을 놓치면 엉뚱한 답을 구하게 됩니다.
확률과 통계 29번
— 단순 독립시행이 아닌, 상태가 변하는 과정(process)을 추적해야 하는 복합적인 확률 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '4번째 시행 후 처음으로 6이 될 확률'이라는 문구를 정확히 해석하는 것입니다. 이는 1, 2, 3번째 시행에서는 A의 공 개수가 절대로 6이 되어서는 안 된다는 것을 의미합니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 전체 경우의 수(3승 1패)에서 6이 되는 경로를 단순히 계산하는 것입니다. 해결의 실마리는 4번의 시행 중 이기는 횟수(3번)와 지는 횟수(1번)를 먼저 확정한 뒤, 가능한 모든 경로(WWWL, WWLW, WLWW, LWWW)를 나열하고, 그 과정에서 공 개수가 6을 미리 찍는 경로를 제외하는 것입니다.
수학 II 30번
— 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 그래프를 추론하고, 직선과의 교점 개수 함수 h(t)의 불연속성을 이해해야 하는 최고난도 킬러 문항입니다. 출제 의도는 구간별로 정의된 f(t)를 이용하여 g(x)를 직접 구하고, g'(x)를 통해 g(x)의 극점을 찾아 그래프 개형을 완성하는 능력을 평가하는 것입니다. 가장 큰 함정은 g(x)를 구할 때 적분 구간과 x의 범위에 따라 케이스를 나누는 복잡한 계산 과정입니다. 결정적 힌트는 `|lim h(t) - lim h(t)| = 2`라는 조건입니다. 이는 직선 y=t가 함수 y=g(x)의 '극점'을 지날 때 교점의 개수가 2개 변한다는 의미이므로, 우리가 찾아야 할 a값들은 바로 g(x)의 극댓값 또는 극솟값이라는 것을 알려줍니다.