삼각함수 그래프의 대칭성과 주기성정적분으로 정의된 함수역함수의 미분법도형과 삼각함수의 극한중복조합과 분할접선의 방정식코사인 법칙표본평균의 분포다항함수의 그래프 추론 및 미분가능성수열의 귀납적 정의와 항 추론지수/로그 함수와 그래프 해석정적분의 계산과 활용조건이 있는 순열과 조합 (경우의 수)삼각함수와 도형의 활용 (사인/코사인 법칙)통계적 추정 (표본평균의 분포)

총평

이번 9월 모의평가는 30번 문항에서 두 지수함수 그래프 사이에 존재하는 직선의 기울기와 y절편의 관계를 추론하는 과정이 매우 까다로워 최상위권 변별력을 확실히 했습니다. 계산량 자체는 많지 않았지만, 21번 삼각함수 그래프의 포함 관계 해석이나 28번 도형 극한 문제처럼, 주어진 조건의 의미를 정확히 파악하고 이를 수학적 언어로 번역하는 능력을 집중적으로 테스트했죠. 특히 21번은 주기성과 대칭성을 복합적으로 고려해야 해서 시간 안배에 실패한 학생들이 많았을 겁니다. 수능 고득점을 위해서는 이처럼 익숙한 개념이라도 낯선 조건 속에서 재해석하고 적용하는 훈련이 필수적임을 명확히 보여준 시험입니다.

문항 분석

15번
— 이 문제는 지수함수 y=2^(ax+b)와 직선 y=x의 관계를 도형의 넓이와 선분의 길이라는 기하학적 정보와 엮어낸 문항입니다. 많은 학생들이 두 교점의 좌표를 직접 구하려고 시도하다가 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 선분 AB의 길이가 6√2라는 조건입니다. 기울기가 1인 직선 위의 두 점 사이 거리가 6√2라는 것은 두 점의 x좌표 차이와 y좌표 차이가 모두 6이라는 것을 의미하므로, 이를 이용해 두 교점의 관계식을 세우는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
18번
— 최고차항 계수가 a인 이차함수 f(x)에 대한 부등식 |f'(x)| ≤ 4x²+5를 해석하는 것이 관건입니다. 이 문제는 f(x)의 식을 직접 구하는 것이 아니라, 주어진 부등식이 '모든 실수 x'에 대해 성립해야 한다는 점을 이용해 계수 a의 범위를 추론해야 합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 특정 x값만 대입해보거나 부등식을 잘못 풀어내는 것입니다. 힌트는 f(x)가 대칭축 x=1을 갖는 이차함수이므로 f'(x)는 1차식 2a(x-1) 꼴이라는 점입니다. 이 식을 부등식에 대입하여 정리하면 x에 대한 2차 부등식이 항상 성립할 조건을 판별식으로 연결할 수 있습니다.
20번
— 두 연속함수 f(x), g(x)의 관계식 (가), (나), (다)를 보고 f(x)를 결정한 뒤 정적분 값을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 합과 곱으로 표현된 두 함수를 연립방정식 풀 듯이 해석하여 f(x)와 g(x)를 찾아낼 수 있는지를 묻는 것입니다. (나)와 (다) 조건에서 f(x)와 g(x)는 t² - (x²+3x)t + (x²+1)(3x-1) = 0 이라는 t에 대한 이차방정식의 두 근임을 파악하는 것이 핵심입니다. (가) 조건 f(x) ≥ g(x)는 두 근 중 어느 것이 f(x)인지를 결정하는 결정적 단서가 되며, 두 근의 대소 관계가 바뀌는 지점이 있는지 판별식을 통해 확인해야 합니다.
21번
— 조건에 따라 점화식이 달라지는 수열 an에 대한 추론 문제입니다. a3과 a6이 주어지고 a1을 역으로 추적해야 하므로 상당한 추론 능력과 끈기가 필요합니다. 이 문제의 핵심은 a(n)과 a(n+1)의 대소 관계에 따라 다음 항이 결정된다는 점을 이용해, a5부터 시작하여 a4, a3으로 거슬러 올라가면서 가능한 경우를 모두 따져보는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 여러 갈래로 나뉘는 경우의 수를 놓치지 않고 체계적으로 검증하는 과정입니다. a5와 a4의 대소 관계를 가정하고 시작하여 주어진 a3=2라는 값과 모순이 없는지를 확인하는 방식으로 경우의 수를 좁혀나가는 것이 효율적인 접근법입니다.
미적분 28번
— 반원을 배경으로 한 복잡한 도형에서 넓이와 길이를 삼각함수로 표현하고 극한값을 구하는 전형적인 '삼도극' 문제입니다. 이 문제의 성패는 교점 R의 위치와 선분 RH의 길이를 `θ`로 얼마나 효율적으로 표현하는지에 달려 있습니다. 많은 학생들이 R의 좌표를 직접 구하려다 복잡한 계산의 늪에 빠지곤 합니다. 삼각형 OBR 등에서 사인 법칙을 활용하여 선분 OR의 길이를 먼저 구하는 것이 훨씬 효율적인 접근법이며, 이것이 `f(θ)`와 `g(θ)`를 구하는 가장 빠른 길입니다.
확률과 통계 29번
— '각 상자에 공이 2개 이상'이라는 조건이 붙은 중복조합 문제입니다. 흰 공과 검은 공을 나누어 생각해야 하며, 특히 흰 공을 먼저 분배한 뒤 각 상자가 '2개 이상' 조건을 만족하기 위해 필요한 최소한의 검은 공의 개수를 고려하는 것이 핵심입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 전체 경우의 수에서 여사건(공이 1개 이하인 상자가 있는 경우)을 빼려다가 케이스를 중복하거나 누락하는 것입니다. 흰 공의 분배 방식을 (4,0,0), (3,1,0), (2,2,0), (2,1,1) 등으로 명확히 분류하고, 각 케이스에 따라 필요한 검은 공의 개수를 계산하여 중복조합을 적용하는 것이 가장 안전하고 정확한 풀이 전략입니다.
미적분 30번
— 모든 실수 `x`에 대해 부등식 `-e^(-x+1) ≤ ax+b ≤ e^(x-2)`가 성립할 때 `ab`의 최댓값과 최솟값을 묻는 문제입니다. 이는 직선 `y=ax+b`가 아래쪽 곡선에는 항상 위거나 접하고, 위쪽 곡선에는 항상 아래거나 접해야 함을 의미합니다. 이 문제의 핵심은 직선이 두 곡선에 '동시에 접하는' 특별한 상황뿐만 아니라, '한쪽에만 접하는' 일반적인 상황까지 모두 고려하는 것입니다. `f(x) = ax+b+e^(-x+1) ≥ 0`과 `g(x) = e^(x-2)-ax-b ≥ 0` 두 조건으로 변환한 뒤, 각 함수의 최솟값이 0 이상이라는 조건을 이용해 `a`와 `b`의 관계식을 유도하는 것이 결정적 실마리입니다. 이 관계식을 통해 `ab`를 `a`에 대한 함수로 표현하고 그 범위를 찾아 문제를 해결해야 합니다.
단답형 29번
— 흰 공과 검은 공을 세 상자에 나누어 담는 중복조합 응용 문제입니다. '각 상자에 공이 2개 이상'이라는 조건과 '같은 색 공끼리는 구별하지 않는다'는 점이 핵심입니다. 이 문제를 풀기 위한 결정적 아이디어는 흰 공을 나누는 경우와 검은 공을 나누는 경우를 독립적으로 생각한 후 곱의 법칙을 적용하는 것입니다. 단, 각 상자에 공이 2개 이상 들어가야 한다는 전체 조건을 만족시키지 못하는 경우를 제외해야 합니다. 즉, (흰 공 분배 경우의 수) x (검은 공 분배 경우의 수)를 구한 뒤, 특정 상자에 공이 0개 또는 1개만 들어가는 경우를 여사건으로 계산하여 빼주는 전략이 필요합니다.
단답형 30번
— 삼차함수 f(x)와 절댓값 함수 g(x)=|f(x)f(a-x)|의 미분가능성을 다루는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 본질은 '절댓값 함수 |h(x)|가 실수 전체에서 미분가능하려면, h(x)=0이 되는 모든 지점에서 h(x)가 x축에 접해야 한다(즉, 중근 이상을 가져야 한다)'는 개념을 이해하고 있는지 묻는 것입니다. (가), (나) 조건을 통해 f(x)의 개형과 식을 특정하고, g(x)의 미분가능성 조건을 만족시키도록 상수 a를 결정해야 합니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 f(x)=0인 지점에서만 미분가능성을 따지는 것입니다. g(x)의 근은 f(x)=0 또는 f(a-x)=0에서 나오므로, f(x)의 근과 f(a-x)의 근의 관계를 파악하여 전체 함수 g(x)의 근이 모두 중근이 되도록 만드는 a값을 찾는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.