2014년 09월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 30번 문항에서 주어진 삼각형 넓이 조건을 함수에 대한 점화식으로 변환하는 창의적인 발상과 29번 공간도형 문제의 복잡한 기하학적 상황을 좌표로 설정하고 해석하는 능력이 최상위권을 가르는 결정적인 열쇠였습니다. 단순히 공식을 암기해서 푸는 문제보다는, 각 단원의 기본 정의를 정확히 꿰뚫고 이를 낯선 상황에 적용하는지를 묻는 문항들이 다수 포진해 있었죠. 특히 16번 도형 급수, 21번 지표와 가수, 28번 삼각함수 극한 도형 활용 문제는 수능의 단골 유형이므로, 문제의 조건을 해석하고 식을 세우는 논리적 과정을 완벽하게 자기 것으로 만드는 연습이 실전에서 빛을 발할 것입니다.

문항 분석

• 16번

  — 무한등비급수 도형 문제의 정석을 보여주는 문항입니다. 첫째항(S1)의 넓이를 구하는 것은 비교적 수월하지만, 많은 학생들이 공비(r)를 구하는 과정에서 헤매곤 합니다. 핵심은 첫 번째 도형과 두 번째 도형의 '닮음비'를 찾는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 길이의 닮음비를 찾고 나서 넓이의 비를 구하기 위해 제곱하는 것을 잊는 것입니다. 이 문제 해결의 결정적 실마리는 두 번째 부채꼴이 어떻게 그려지는지를 파악하는 데 있습니다. 첫 번째 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 그려진다는 조건에서 두 번째 부채꼴의 반지름을 유도해내면, 닮음비가 자연스럽게 구해집니다.
  

• 18번

  — 도형과 등비급수 문제는 첫째항(S₁)과 공비(r)만 구하면 끝나는, 어찌 보면 단순한 문제입니다. 하지만 많은 학생들이 공비를 구하는 과정에서 헤매죠. 이 문제의 핵심은 첫 번째 그림(R₁)의 부채꼴과 두 번째 그림(R₂)에 새로 생긴 작은 부채꼴 사이의 '닮음비'를 찾는 것입니다. 큰 부채꼴의 반지름은 1이지만, 작은 부채꼴의 반지름은 R₁의 직사각형의 성질을 이용해 찾아야 합니다. 이 닮음비를 제곱하면 넓이의 비, 즉 공비가 나온다는 사실을 잊지 마세요.
  

• 19번

  — 행렬의 합답형 문제는 주어진 조건식을 어떻게 변형하고 조합하느냐가 관건입니다. 특히 'AB=BA' 즉, 교환법칙이 성립하는지를 무턱대고 가정하는 실수를 범하기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 첫 번째 식 `AB+A+B=2E`의 양변에 단위행렬 E를 더해 `(A+E)(B+E)=3E` 형태로 인수분해하는 것입니다. 이 식과 `A³+E=O`를 인수분해한 `(A+E)(A²-A+E)=O`를 잘 연계하면 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 진위 여부를 논리적으로 증명해낼 수 있습니다.
  

• 20번

  — 함수 f(x) = x^n * e^(-x)의 그래프 개형을 n값의 변화에 따라 추론하는 능력을 묻는, 미적분의 종합적인 이해도를 평가하는 문제입니다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 각 보기의 진위 판정을 위해선 f'(x)와 f''(x)를 정확히 계산하고 그 부호 변화를 관찰해야 합니다. 특히 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 ㄷ 보기입니다. f''(0)=0 이라는 사실만으로 (0,0)을 변곡점이라 단정하기 쉽지만, 변곡점의 정의는 f''(x)의 부호가 해당 점 좌우에서 바뀌어야 한다는 것입니다. n이 3 이상일 때 x=0 근방에서 f''(x)의 부호 변화가 없는지를 꼼꼼히 따져봐야 정답을 찾을 수 있습니다.
  

• 21번

  — 상용로그의 지표(정수 부분)와 가수(소수 부분)의 정의를 깊이 있게 이해하고, 이를 수열의 극한과 결합한 고난도 문항입니다. 문제에 주어진 f(t)와 g(t)의 관계식을 g(t)에 대해 정리하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 그 후, 가수의 범위인 0 ≤ g(t) < 1 이라는 절대적인 조건을 이용하여 f(t)가 가질 수 있는 값의 범위를 n에 대한 부등식으로 나타내야 합니다. 이 부등식을 만족하는 '정수' f(t)의 합이 바로 an이 되므로, 시그마 공식을 활용하여 an을 n에 대한 식으로 깔끔하게 정리한 후 극한값을 계산하는 흐름으로 이어집니다. 가수의 범위를 놓치는 순간 문제의 방향을 완전히 잃게 되므로 주의해야 합니다.
  

• 28번

  — 원의 외부 한 점에서 원 위의 점까지의 거리의 최댓값(a_n)과 최솟값(b_n)을 구하는 원리는 간단합니다. '원의 중심까지의 거리'에 '반지름'을 더하고 빼는 것이죠. 이 문제에서는 원 O_n의 중심이 (3n, 4n)이고 y축에 접하므로 반지름이 3n임을 파악하는 것이 첫 단계입니다. 그 후 점 (0, -1)에서 중심 (3n, 4n)까지의 거리를 n에 대한 식으로 표현하고, 여기에 반지름 3n을 더하고 빼서 a_n과 b_n을 구하세요. 최종적으로 극한값을 계산할 때는 무한대/무한대 꼴이므로 최고차항의 계수만 비교하면 쉽게 답을 찾을 수 있습니다.
  

• 29번

  — 연속확률변수 문제에서 가장 먼저 떠올려야 할 황금률은 '확률밀도함수 그래프와 x축 사이의 전체 넓이는 1이다'라는 것입니다. 문제에서 주어진 `P(x ≤ X ≤ 3) = a(3-x)`는 특정 구간의 확률을 나타냅니다. 여기에 x=0을 대입하면 `P(0 ≤ X ≤ 3)`이 되는데, 이것이 바로 전체 확률이므로 그 값은 1이 되어야 합니다. 즉, `a(3-0) = 1` 이라는 간단한 식에서 상수 a의 값을 바로 구할 수 있습니다. a값을 구한 뒤 문제에서 요구하는 `P(0 ≤ X < a)`를 계산하면 됩니다. 개념만 명확하면 매우 쉽게 풀리는 문제입니다.
  

• 30번

  — 자연수 순서쌍 (a, b)의 개수를 세는 문제는 조건에 맞는 영역을 좌표평면에 그려보고 격자점의 개수를 세는 방식으로 접근하는 것이 효과적입니다. (나) 조건은 원의 중심 (a, b)에서 곡선 y=2^x까지의 최단 거리가 1보다 크다는 의미이고, (다) 조건은 그 거리가 2보다 작거나 같다는 의미입니다. 결국 중심 (a, b)는 곡선 y=2^x를 따라 폭이 1인 띠 모양의 영역(경계선 포함) 내부에 존재해야 합니다. a=1, 2, 3, ... 10까지 차례대로 대입하면서, 각 a 값에 대해 y=2^x 함숫값 주변의 어떤 b값들이 이 거리 조건을 만족하는지 꼼꼼하게 따져보면 해결할 수 있습니다.
  

• 미적분 28번

  — 삼각함수 극한 도형 문제로, 복잡해 보이는 도형에서 필요한 길이와 각을 모두 θ로 표현하는 능력이 관건입니다. 이 문제를 푸는 가장 효율적인 도구는 단연 '사인 법칙'입니다. 많은 학생들이 밑변과 높이를 직접 구하려다 계산의 늪에 빠지지만, 삼각형 ABC와 BCD에서 공통변인 BC를 중심으로 사인 법칙을 연쇄적으로 적용하면 T1과 T2를 θ에 대한 식으로 손쉽게 표현할 수 있습니다. 문제 해결의 실마리는 직선 l1과 l2 사이의 거리가 1이라는 조건을 활용하여 삼각형 ABC의 높이를 알아내고, 이를 통해 변의 길이를 θ로 나타내는 것입니다. 최종적으로 θ→0+ 일 때 sinθ ≈ θ 라는 근사를 활용하면 계산을 마무리할 수 있습니다.
  

• 기하 29번

  — 여러 개의 구와 평면이 복잡하게 얽혀있는 공간도형 문제로, 정사영의 넓이를 구하기 위해 두 평면이 이루는 각의 코사인 값을 찾아야 합니다. 이런 문제는 과감하게 공간좌표를 도입하는 것이 가장 효과적인 전략입니다. 평면 α를 xy평면으로 설정하고, 각 구의 중심 좌표를 반지름과 접하는 조건을 이용해 하나씩 구해나가야 합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 단면 D를 포함하는 평면의 법선벡터를 구하는 것입니다. 단면 D는 평면 β가 아닌, 'S3를 O2, O3를 지나는 평면에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면'이라는 점을 정확히 독해해야 합니다. 평면 β와 단면 D가 놓인 평면, 이 두 평면의 법선벡터를 각각 구했다면, 벡터의 내적 공식을 통해 사이각의 코사인 값을 계산할 수 있습니다.
  

• 미적분 30번

  — 함수 f(x)의 정보가 거의 없는 상태에서, 삼각형의 넓이라는 기하학적 조건을 해석하여 함수에 대한 관계식을 이끌어내야 하는 최고난도 추론 문항입니다. 문제의 핵심은 세 점 (0,0), (t, f(t)), (t+1, f(t+1))으로 만들어지는 삼각형의 넓이 공식을 세우는 것입니다. 신발끈 공식을 이용하면 1/2 |t*f(t+1) - (t+1)*f(t)| = (t+1)/t 라는 관계식을 얻을 수 있습니다. 이 식의 양변을 t(t+1)로 나누는 '신의 한 수'를 떠올리는 것이 결정적입니다. 그러면 f(x)/x 를 새로운 함수 g(x)로 치환했을 때 g(t+1) - g(t) 형태의 아름다운 점화식이 나타납니다. 주어진 정적분 값을 이용하여 요구하는 구간의 정적분 값을 구하기 위해서는, 이 점화식을 이용해 적분 구간을 평행이동 시키는 테크닉이 필요합니다.