수학ETF	2026학년도 사관학교	기출문제
	1~30

[eqn: 4^{- {1} over {2}} times sqrt{2^{4}}] 의 값은?

②

[eqn: 4^{- {1} over {2}} times sqrt{2^{4}} = (2^{2})^{- {1} over {2}} times (2^{4})^{1 over 2}]

[eqn: = 2^{-1} times 2^{2} = 2^{1} = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f'(x) = 4x^{3} - 2x], [eqn: f(1) = 2]
를 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은?

③

[eqn: f'(x) = 4x^{3} - 2x]이므로

[eqn: f(x) = int (4x^{3} - 2x) dx = x^{4} - x^{2} + C] ([eqn: C] 는 적분상수)

[eqn: f(1) = 2]이므로 [eqn: 1 - 1 + C = 2]에서 [eqn: C = 2]

따라서 [eqn: f(x) = x^{4} - x^{2} + 2]이므로

[eqn: f(2) = 2^{4} - 2^{2} + 2 = 14]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

[eqn: {pi} over {2} < theta < pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin theta = {3} over {5}]일 때, [eqn: tan theta - cos theta]의 값은?

③

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]이므로

[eqn: cos^{2} theta = 1 - sin^{2} theta = 1 - left ( {3} over {5} right )^{2} = {16} over {25}]

[eqn: {pi} over {2} < theta < pi]에서 [eqn: cos theta < 0]이므로

[eqn: cos theta = - {4} over {5}]

[eqn: tan theta = {sin theta} over {cos theta} = {{3} over {5}} over {- {4} over {5}} = - {3} over {4}]

∴ [eqn: tan theta - cos theta = - {3} over {4} - left ( - {4} over {5} right ) = {1} over {20}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - {11} over {20}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {20}]

④ [eqn: {7} over {20}]	⑤ [eqn: {13} over {20}]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)=(x+2)f(x)]
라 하자. 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,`g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=5x+2]일 때, [eqn: f'(0)]의 값은?

②

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (0, g(0))]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=5x+2]이므로 [eqn: g(0)=2], [eqn: g'(0)=5]

[eqn: g(x)=(x+2)f(x)]의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: g(0)=2f(0)]에서 [eqn: 2=2f(0)] ∴ [eqn: f(0)=1]

함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x)=f(x)+(x+2)f'(x)]

양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: g'(0)=f(0)+2f'(0)]

[eqn: 5=1+2f'(0)]에서 [eqn: 2f'(0)=4] ∴ [eqn: f'(0)=2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k} = 10]이고 [eqn: sum_{k=1}^{9} left ( a_{k} + 2 right ) = 20]일 때, [eqn: a_{10}]의 값은?

④

[eqn: sum from {k=1} to {9} (a_{k} + 2) = 20]에서 [eqn: sum from {k=1} to {9} a_{k} + sum from {k=1} to {9} 2 = 20]

[eqn: sum from {k=1} to {9} a_{k} + 18 = 20] ∴ [eqn: sum from {k=1} to {9} a_{k} = 2]

[eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = 10]에서 [eqn: sum from {k=1} to {9} a_{k} + a_{10} = 10]

[eqn: 2 + a_{10} = 10] ∴ [eqn: a_{10} = 8]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim_{x rightarrow infty} {f(x)} over {x^{2}+3x-4} = 2], [eqn: lim_{x rightarrow 1} {f(x)} over {x^{2}+3x-4} = -1]
일 때, [eqn: f(0)]의 값은?

⑤

[eqn: lim from {x -> inf} {f(x)} over {x^{2}+3x-4} = 2]이므로 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수이다.

[eqn: lim from {x -> 1} {f(x)} over {x^{2}+3x-4} = -1]에서 [eqn: x -> 1]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 수렴하므로 극한값이 존재하려면 분자도 [eqn: 0]으로 수렴해야 한다.

즉, [eqn: lim from {x -> 1} f(x) = 0]에서 [eqn: f(1) = 0]이다.

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2]이고 [eqn: x-1]을 인수로 가지므로

[eqn: f(x) = (x-1)(2x+c)] ([eqn: c]는 상수)라 하면

[eqn: lim from {x -> 1} {f(x)} over {x^{2}+3x-4} = lim from {x -> 1} {(x-1)(2x+c)} over {(x-1)(x+4)}]

[eqn: = lim from {x -> 1} {2x+c} over {x+4} = {2+c} over {5} = -1]

[eqn: 2+c = -5] ∴ [eqn: c = -7]

따라서 [eqn: f(x) = (x-1)(2x-7)]이므로

[eqn: f(0) = (-1) times (-7) = 7]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [0,`5]]에서 정의된 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{log` _{2} ` LEFT ( x+1 RIGHT ) +a&``` LEFT ( 0 LEQ x<3 RIGHT )#LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x+b} +2&``` LEFT ( 3 LEQ x LEQ 5 RIGHT )}}]
의 최댓값이 [eqn: 3], 최솟값이 [eqn: {1} over {2}]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

③

[eqn: 0 leq x < 3]에서 함수 [eqn: f(x) = log_{2}(x+1)+a]는 밑이 [eqn: 1]보다 크므로 증가함수이다.

이 구간에서 [eqn: f(x)]의 치역은 [eqn: a leq f(x) < a+2]이다.

[eqn: 3 leq x leq 5]에서 함수 [eqn: f(x) = left ( {1} over {2} right )^{x+b} + 2]는 밑이 [eqn: 1]보다 작으므로 감소함수이다.

이 구간에서 [eqn: f(x)]의 치역은 [eqn: left ( {1} over {2} right )^{5+b} + 2 leq f(x) leq left ( {1} over {2} right )^{3+b} + 2]이다.

[eqn: 3 leq x leq 5]에서 [eqn: f(x) > 2]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값 [eqn: {1} over {2}]은 [eqn: 0 leq x < 3] 구간에서 가져야 한다.

따라서 [eqn: x=0]일 때 최솟값을 가지므로 [eqn: f(0) = a = {1} over {2}]

[eqn: a = {1} over {2}]일 때 [eqn: 0 leq x < 3]에서 [eqn: f(x) < {5} over {2}]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값 [eqn: 3]은 [eqn: 3 leq x leq 5] 구간에서 가져야 한다.

따라서 [eqn: x=3]일 때 최댓값을 가지므로 [eqn: f(3) = left ( {1} over {2} right )^{3+b} + 2 = 3]에서 [eqn: left ( {1} over {2} right )^{3+b} = 1]

[eqn: 3+b = 0] ∴ [eqn: b = -3]

따라서 [eqn: a+b = {1} over {2} + (-3) = - {5} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - {7} over {2}]	② [eqn: -3]	③ [eqn: - {5} over {2}]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: - {3} over {2}]

다항함수 [eqn: f(x)]가 상수 [eqn: a]와 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_{1}^{x} t f(t) dt = 3x^{4} - 2ax^{3} + x^{2}]
을 만족시킬 때, [eqn: int_{-a}^{a} f(x) dx]의 값은?

①

주어진 등식 [eqn: int_{1}^{x} t f(t) dt = 3x^{4} - 2ax^{3} + x^{2}]의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0 = 3 - 2a + 1]에서 [eqn: 2a = 4] ∴ [eqn: a = 2]

주어진 등식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: x f(x) = 12x^{3} - 6ax^{2} + 2x]

[eqn: a = 2]를 대입하면

[eqn: x f(x) = 12x^{3} - 12x^{2} + 2x]

[eqn: f(x)]는 다항함수이므로 양변을 [eqn: x]로 나누면

[eqn: f(x) = 12x^{2} - 12x + 2]

구하고자 하는 값은 [eqn: int_{-a}^{a} f(x) dx]이므로 [eqn: a=2]와 [eqn: f(x)]를 대입하면 [eqn: int_{-2}^{2} (12x^{2} - 12x + 2) dx]

적분 구간이 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: int_{-2}^{2} (12x^{2} - 12x + 2) dx = 2 int_{0}^{2} (12x^{2} + 2) dx]

[eqn: = 2 left [ 4x^{3} + 2x right ]_{0}^{2}][eqn: = 2 (32 + 4) = 72]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 72]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 88]

[eqn: 0 leq x < 2pi]일 때, 방정식
[eqn: left | cos left ( x + {pi over 3} right ) + {1 over 6} right | = {5 over 6}]
를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 합은?

④

[eqn: left | cos left ( x + {pi over 3} right ) + {1 over 6} right | = {5 over 6}]에서

[eqn: cos left ( x + {pi over 3} right ) + {1 over 6} = {5 over 6}] 또는 [eqn: cos left ( x + {pi over 3} right ) + {1 over 6} = -{5 over 6}]

즉, [eqn: cos left ( x + {pi over 3} right ) = {2 over 3}] 또는 [eqn: cos left ( x + {pi over 3} right ) = -1]

[eqn: x + {pi over 3} = t]라 하면 [eqn: 0 leq x < 2pi]에서 [eqn: {pi over 3} leq t < {7pi over 3}]이다.

(ⅰ) [eqn: cos t = {2 over 3}]일 때

[eqn: cos left ( {pi over 3} right ) = {1 over 2}]이고 [eqn: {2 over 3} > {1 over 2}]이므로 [eqn: 0 < t < {pi over 3}]에서 [eqn: cos t = {2 over 3}]인 해를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: 0 < alpha < {pi over 3}]이다.

주어진 범위 [eqn: {pi over 3} leq t < {7pi over 3}]에서 [eqn: cos t = {2 over 3}]를 만족시키는 [eqn: t]의 값은 [eqn: 2pi - alpha], [eqn: 2pi + alpha]이다.

[eqn: x = t - {pi over 3}]이므로 이에 해당하는 [eqn: x]의 값은

[eqn: 2pi - alpha - {pi over 3}], [eqn: 2pi + alpha - {pi over 3}]이고 두 값의 합은 [eqn: 4pi - {2pi over 3} = {10pi over 3}]이다.

(ⅱ) [eqn: cos t = -1]일 때

주어진 범위 [eqn: {pi over 3} leq t < {7pi over 3}]에서 [eqn: cos t = -1]을 만족시키는 [eqn: t]의 값은 [eqn: pi]이다.

[eqn: x = t - {pi over 3}]이므로 [eqn: x = pi - {pi over 3} = {2pi over 3}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 실수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: {10pi over 3} + {2pi over 3} = 4pi]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 3pi]	② [eqn: {10 over 3}pi]	③ [eqn: {11 over 3}pi]

④ [eqn: 4pi]	⑤ [eqn: {13 over 3}pi]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 위치 [eqn: x]가
[eqn: x = t^{3} + at^{2} + bt]
이다. 시각 [eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치와 속도가 각각 [eqn: 2], [eqn: 3]일 때, 시각 [eqn: t=b]에서의 점 [eqn: rmP]의 가속도는?

①

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x = t^{3} + at^{2} + bt]이므로

시각 [eqn: t=2]에서의 위치가 [eqn: 2]에서 [eqn: 2a + b = -3] ……①

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도를 [eqn: v(t)]라 하면

[eqn: v(t) = x'(t) = 3t^{2} + 2at + b]

시각 [eqn: t=2]에서의 속도가 [eqn: 3]이므로 [eqn: 4a + b = -9] ……②

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: a = -3], [eqn: b = 3]

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 가속도는 [eqn: v'(t) = 6t + 2a = 6t - 6]

따라서 시각 [eqn: t=b], 즉 [eqn: t=3]에서의 점 [eqn: rmP]의 가속도는

[eqn: v'(3) = 6 times 3 - 6 = 12]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

그림과 같이 [eqn: rmoverline{BC}=8]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위에 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]를 [eqn: rmoverline{BD}=overline{CE}=3]이 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원이 두 직선 [eqn: rmAD], [eqn: rmAE]와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmG]라 하자. 직선 [eqn: rmBC]와 직선 [eqn: rmAF]가 서로 수직이고, [eqn: rmoverline{AD}=sqrt{5}]이다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R], 선분 [eqn: rmFG]의 길이를 [eqn: l]이라 할 때, [eqn: R times l]의 값은? (단, [eqn: rmangle BAC > {pi} over {2}])

④

선분 [eqn: rmBC] 위에 점 [eqn: rmB], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmC]가 순서대로 있으므로

[eqn: rmoverline{DE} = overline{BC} - overline{BD} - overline{CE} = 8 - 3 - 3 = 2]

직선 [eqn: rmBC]와 직선 [eqn: rmAF]가 점 [eqn: rmD]에서 수직으로 만나므로 삼각형 [eqn: rmABD]와 삼각형 [eqn: rmADC]는 직각삼각형이다.

피타고라스 정리에 의해

[eqn: rmoverline{AB} = sqrt{overline{AD}^{2} + overline{BD}^{2}} = sqrt{(sqrt{5})^{2} + 3^{2}} = sqrt{14}]

[eqn: rmoverline{CD} = overline{CE} + overline{DE} = 3 + 2 = 5]이므로

[eqn: rmoverline{AC} = sqrt{overline{AD}^{2} + overline{CD}^{2}} = sqrt{(sqrt{5})^{2} + 5^{2}} = sqrt{30}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: rmS = {1} over {2} times overline{BC} times overline{AD} = {1} over {2} times 8 times sqrt{5} = 4 sqrt{5}]

또한, 두 변과 끼인각을 이용한 넓이 공식에서

[eqn: rm S= {1} over {2} TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{AC}} TIMES sin( ANGLE rm BAC)][eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {14} TIMES sqrt {30} TIMES sin( ANGLE rm BAC)= sqrt {105} `sin( ANGLE rm BAC)]

[eqn: 4 sqrt {5} = sqrt {105} `sin( ANGLE rmBAC)]에서 [eqn: sin( ANGLE rmBAC)= {4} over {sqrt {21}}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해 외접원의 반지름 [eqn: R]은

[eqn: 2R= {{bar{rmBC}}} over {sin( ANGLE rmBAC)} = {8} over {{4} over {sqrt {21}}} =2 sqrt {21}]

∴ [eqn: R = sqrt{21}]

직각삼각형 [eqn: rmADE]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rmoverline{AE} = sqrt{overline{AD}^{2} + overline{DE}^{2}} = sqrt{(sqrt{5})^{2} + 2^{2}} = 3]

따라서 [eqn: rmsin( angle DAE) = {overline{DE}} over {overline{AE}} = {2} over {3}]

삼각형 [eqn: rmAFG]는 삼각형 [eqn: rmABC]와 동일한 외접원을 공유하므로 외접원의 반지름은 [eqn: R = sqrt{21}]이다.

[eqn: rmangle FAG = angle DAE]이므로 [eqn: rmsin( angle FAG) = {2} over {3}]

삼각형 [eqn: rmAFG]에서 사인법칙에 의해

[eqn: rm l= {bar{FG}} =2R`sin( ANGLE rmFAG)=2 sqrt {21} TIMES {2} over {3} = {4 sqrt {21}} over {3}]

따라서 [eqn: R times l = sqrt{21} times {4 sqrt{21}} over {3} = 28]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {35} over {2}]	② [eqn: 21]	③ [eqn: {49} over {2}]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: {63} over {2}]

그림과 같이 실수 [eqn: k][eqn: LEFT ( 0<k<6 RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: y=x+k]가 곡선 [eqn: y=x^{2}]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하고, 직선 [eqn: y=x+k]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 곡선 [eqn: y=x^{2}]과 [eqn: y]축 및 선분 [eqn: rmPR]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A], 곡선 [eqn: y=x^{2}]과 [eqn: y]축 및 선분 [eqn: rmQR]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: B], 곡선 [eqn: y=x^{2}]과 두 직선 [eqn: y=x+k], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: C] 라 하자. [eqn: B-C={3} over {2}]일 때, [eqn: k times A]의 값은? (단, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

②

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < 0 < beta])라 하면

[eqn: A = int from {alpha} to {0} left ( -x^{2}+x+k right ) dx], [eqn: B = int from {0} to {beta} left ( -x^{2}+x+k right ) dx]

[eqn: C = int from {beta} to {3} left ( x^{2}-x-k right ) dx]

[eqn: B - C = {3} over {2}]이므로

[eqn: int from {0} to {beta} left ( -x^{2}+x+k right ) dx - int from {beta} to {3} left ( x^{2}-x-k right ) dx = {3} over {2}]

[eqn: int from {0} to {beta} left ( -x^{2}+x+k right ) dx + int from {beta} to {3} left ( -x^{2}+x+k right ) dx = {3} over {2}]

[eqn: int from {0} to {3} left ( -x^{2}+x+k right ) dx = {3} over {2}]

[eqn: left [ - {1} over {3} x^{3} + {1} over {2} x^{2} + kx right ] _{0} ^{3} = -9 + {9} over {2} + 3k = {3} over {2}]

[eqn: 3k = 6] ∴ [eqn: k = 2]

[eqn: k=2]를 [eqn: x^{2}-x-k=0]에 대입하면 [eqn: x^{2}-x-2=0]에서 [eqn: (x-2)(x+1)=0]

[eqn: alpha < 0]이므로 [eqn: alpha = -1]

[eqn: A= int _{-1} ^{0} {} LEFT ( -x ^{2} +x+2 RIGHT ) dx= LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +2x RIGHT ] _{-1} ^{0} = {7} over {6}]

∴ [eqn: k times A = 2 times {7} over {6} = {7} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {6}]

정수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항의 합은?

(가) [eqn: a_{1}]은 정수이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{-a _{n} +1+k&``` LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | 이``홀수인``경우 RIGHT )#{1} over {2} a _{n} +k&``` LEFT ( a _{n} =0``또는`` LEFT | a _{n} RIGHT | 이``짝수인``경우 RIGHT )}}]
이다.

(나) [eqn: a_{3} = 2], [eqn: left | a_{2} times a_{4} right | = 8]

③

[eqn: a_{3} = 2]는 짝수이므로 [eqn: a_{4} = {1} over {2} a_{3} + k = 1 + k]

[eqn: a_{3} = 2]가 되기 위한 [eqn: a_{2}]의 값을 구하면

(ⅰ) [eqn: a_{2}]가 홀수인 경우

[eqn: a_{3} = -a_{2} + 1 + k = 2]에서 [eqn: a_{2} = k - 1]

조건 (나)의 [eqn: left | a_{2} times a_{4} right | = 8]에 대입하면

[eqn: left | (k - 1)(1 + k) right | = 8]에서 [eqn: k^{2} - 1 = 8] 또는 [eqn: k^{2} - 1 = -8]

[eqn: k^{2} = 9]에서 [eqn: k=+-3] ([eqn: k^{2} = -7]은 실수 해가 없음)

[eqn: k = 3]이면 [eqn: a_{2} = 2]이고, [eqn: k = -3]이면 [eqn: a_{2} = -4]이므로 [eqn: a_{2}]가 홀수라는 가정에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: a_{2}]가 짝수인 경우

[eqn: a_{3} = {1} over {2} a_{2} + k = 2]에서 [eqn: a_{2} = 4 - 2k]

조건 (나)의 [eqn: left | a_{2} times a_{4} right | = 8]에 대입하면

[eqn: left | (4 - 2k)(1 + k) right | = 8]에서 [eqn: left | k^{2} - k - 2 right | = 4]

[eqn: k^{2} - k - 2 = 4]에서 [eqn: k^{2} - k - 6 = 0]

[eqn: (k - 3)(k + 2) = 0] ∴ [eqn: k = 3] 또는 [eqn: k = -2]

[eqn: k^{2} - k - 2 = -4]에서 [eqn: k^{2} - k + 2 = 0]이고 판별식 [eqn: D < 0]이므로 실수 해가 없다.

따라서 [eqn: k = 3] 또는 [eqn: k = -2]이다.

[eqn: k = 3]일 때 [eqn: a_{2} = 4 - 2 times 3 = -2] (짝수)

[eqn: a_{2} = -2]가 되기 위한 [eqn: a_{1}]의 값을 구하면

[eqn: a_{1}]이 홀수인 경우 [eqn: a_{2} = -a_{1} + 1 + 3 = -2]에서 [eqn: a_{1} = 6] (모순)

[eqn: a_{1}]이 짝수인 경우 [eqn: a_{2} = {1} over {2} a_{1} + 3 = -2]에서 [eqn: a_{1} = -10] (성립)

[eqn: k = -2]일 때 [eqn: a_{2} = 4 - 2 times (-2) = 8] (짝수)

[eqn: a_{2} = 8]이 되기 위한 [eqn: a_{1}]의 값을 구하면

[eqn: a_{1}]이 홀수인 경우 [eqn: a_{2} = -a_{1} + 1 - 2 = 8]에서 [eqn: a_{1} = -9] (성립)

[eqn: a_{1}]이 짝수인 경우 [eqn: a_{2} = {1} over {2} a_{1} - 2 = 8]에서 [eqn: a_{1} = 20] (성립)

따라서 조건을 만족시키는 모든 [eqn: a_{1}]의 값은 [eqn: -10], [eqn: -9], [eqn: 20]이므로 그 합은 [eqn: -10 + (-9) + 20 = 1]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-x+4&``` LEFT ( x LEQ 0``또는``x GEQ 6 RIGHT )#f LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( 0<x<6 RIGHT )}}]
이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g(f(2))]의 값은?

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: left | g(x) right | = k]의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 양수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 1]이다.

⑤

조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0], [eqn: x=6]에서 연속이므로

[eqn: lim from {x -> 0+} f(x) = lim from {x -> 0-} (-x+4) = 4]에서 [eqn: f(0) = 4]

[eqn: lim from {x -> 6-} f(x) = lim from {x -> 6+} (-x+4) = -2]에서 [eqn: f(6) = -2]

[eqn: f(x) = ax^{2} + bx + c]라 하면 [eqn: c=4]이고

[eqn: 36a + 6b + 4 = -2]에서 [eqn: b = -6a - 1]

[eqn: ∴ f(x) = ax^{2} - (6a+1)x + 4]

[eqn: x > 0]에서 방정식 [eqn: left | g(x) right | = k]의 실근은 [eqn: y= left | g(x) right |]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

[eqn: x geq 6]에서 [eqn: left | g(x) right | = x-4]이므로 [eqn: y= left | g(x) right |]의 그래프는 점 [eqn: (6, 2)]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 반직선이다.

[eqn: 0 < x < 6]에서 [eqn: f(0)=4], [eqn: f(6)=-2]이므로 이차함수 [eqn: f(x)]는 이 구간에서 [eqn: x]축과 적어도 한 번 만난다.

조건 (나)를 만족하려면 [eqn: f(x)]는 아래로 볼록([eqn: a>0])이고 [eqn: 0 < x < 6]에서 최솟값을 가져야 한다.

[eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: m] ([eqn: m < -2])이라 하면 [eqn: 0 < x < 6]에서 [eqn: y= left | f(x) right |]의 최댓값은 [eqn: left | m right |]이다.

[eqn: y= left | g(x) right |]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 개수가 [eqn: 3]인 양수 [eqn: k]가 오직 [eqn: 1]개 존재하려면 [eqn: left | m right | = 4]이어야 한다.

(만약 [eqn: left | m right | > 4]이면 [eqn: k=2], [eqn: k=4]일 때 교점이 [eqn: 3]개이고, [eqn: 2 < left | m right | < 4]이면 [eqn: k=2], [eqn: k= left | m right |]일 때 교점이 [eqn: 3]개가 되어 조건에 위배된다.)

따라서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -4]이다.

[eqn: f(x) = a left ( x - {6a+1} over {2a} right )^{2} - {(6a+1)^{2}} over {4a} + 4]이므로

[eqn: - {(6a+1)^{2}} over {4a} + 4 = -4]에서 [eqn: (6a+1)^{2} = 32a]

[eqn: 36a^{2} - 20a + 1 = 0], [eqn: (2a-1)(18a-1) = 0]

[eqn: a = {1} over {2}] 또는 [eqn: a = {1} over {18}]

(ⅰ) [eqn: a = {1} over {18}]일 때, 꼭짓점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {6 times ( {1} over {18} ) + 1} over {2 times ( {1} over {18} )} = 12]이므로 [eqn: 0 < x < 6]에 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a = {1} over {2}]일 때, 꼭짓점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {6 times ( {1} over {2} ) + 1} over {2 times ( {1} over {2} )} = 4]이므로 [eqn: 0 < x < 6]에 존재한다.

따라서 [eqn: a = {1} over {2}]이고 [eqn: f(x) = {1} over {2} x^{2} - 4x + 4]이다.

[eqn: f(2) = {1} over {2} times 4 - 4 times 2 + 4 = -2]

[eqn: g(f(2)) = g(-2) = -(-2) + 4 = 6]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2^{x}] 위의 제[eqn: 2]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmB]라 하고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA'], [eqn: rmB']이라 하자. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때, 점 [eqn: rmM]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmN]이라 하자. [eqn: rmoverline{MN} = {1} over {6} overline{A'B'}]일 때, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표는?

④

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (a, 2^{a})], 점 [eqn: rmB]의 좌표를 [eqn: (b, 2^{b})] ([eqn: a < b])라 하면 직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: 1]이므로

[eqn: {2^{b} - 2^{a}} over {b - a} = 1]에서 [eqn: 2^{b} - 2^{a} = b - a] ……①

점 [eqn: rmA'], [eqn: rmB']의 좌표는 각각 [eqn: (0, 2^{a})], [eqn: (0, 2^{b})]이므로

[eqn: rm {bar{A prime B prime }} =it2 ^{b} -2 ^{a}]

선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표는 [eqn: left ( {a+b} over {2}, {2^{a}+2^{b}} over {2} right )]이고, 점 [eqn: rmN]의 좌표는 [eqn: left ( {a+b} over {2}, 2^{{a+b} over {2}} right )]이다.

지수함수의 그래프는 아래로 볼록하므로 점 [eqn: rmM]의 [eqn: y]좌표가 점 [eqn: rmN]의 [eqn: y]좌표보다 크다.

[eqn: rm {bar{MN}} =it {2 ^{a} +2 ^{b}} over {2} -2 ^{{a+b} over {2}}]

조건 [eqn: rmoverline{MN} = {1} over {6} overline{A'B'}]에서 [eqn: {2^{a}+2^{b}} over {2} - 2^{{a+b} over {2}} = {1} over {6} (2^{b} - 2^{a})]

[eqn: 2^{a} = u], [eqn: 2^{b} = v] ([eqn: u < v])로 치환하면

[eqn: {u+v} over {2} - sqrt{uv} = {1} over {6} (v - u)]

양변에 [eqn: 6]을 곱하여 정리하면

[eqn: 3(u+v) - 6 sqrt{uv} = v - u], [eqn: 2v - 6 sqrt{uv} + 4u = 0]

[eqn: v - 3 sqrt{uv} + 2u = 0], [eqn: ( sqrt{v} - sqrt{u} )( sqrt{v} - 2 sqrt{u} ) = 0]

[eqn: v > u]이므로 [eqn: sqrt{v} = 2 sqrt{u}]에서 [eqn: v = 4u]

즉, [eqn: 2^{b} = 4 times 2^{a} = 2^{a+2}]이므로 [eqn: b = a + 2]

[eqn: b - a = 2]를 ①에 대입하면 [eqn: 2^{b} - 2^{a} = 2]

[eqn: 4 times 2^{a} - 2^{a} = 2]에서 [eqn: 3 times 2^{a} = 2] ∴ [eqn: 2^{a} = {2} over {3}]

점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2^{b}]이므로 [eqn: 2^{b} = 4 times 2^{a} = 4 times {2} over {3} = {8} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {6}]

방정식 [eqn: log _{`3} `x= {3} over {2} +log _{`9} `x]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 27]

로그의 진수 조건에서 [eqn: x > 0] ……①

주어진 방정식에서 [eqn: log _{9} x=log _{3 ^{2}} x= {1} over {2} `log _{3} x]이므로

[eqn: log _{3} x= {3} over {2} + {1} over {2} `log _{3} x]

[eqn: {1} over {2} `log _{3} x= {3} over {2}]에서 [eqn: log_{3} x = 3]

로그의 정의에 의해 [eqn: x = 3^{3} = 27]

이는 조건 ①을 만족한다.

따라서 정답은 [eqn: 27]이다.

상수 [eqn: a]에 대하여 함수
[eqn: f(x) = x^{3} - ax^{2} + 9x + 15]
가 [eqn: x=3]에서 극소일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오.

[eqn: 19]

함수 [eqn: f(x) = x^{3} - ax^{2} + 9x + 15]를 미분하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 2ax + 9]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=3]에서 극소이므로 [eqn: f'(3) = 0]에서

[eqn: 27 - 6a + 9 = 0] ∴ [eqn: a = 6]

[eqn: a = 6]을 [eqn: f'(x)]에 대입하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극대이므로 극댓값은 [eqn: f(1)]이다.

[eqn: f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 15]이므로

[eqn: f(1) = 1 - 6 + 9 + 15 = 19]

따라서 정답은 [eqn: 19]이다.

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.
[eqn: {S_{3}} over {a_{1}} = 13], [eqn: S_{2} = 16]
일 때, [eqn: a_{5}]의 값을 구하시오.

[eqn: 324]

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a_{1}], 공비를 [eqn: r]이라 하면

모든 항이 양수이므로 [eqn: a_{1} > 0], [eqn: r > 0]이다.

[eqn: S_{3} = a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2}]이므로 [eqn: {S_{3}} over {a_{1}} = 13]에서

[eqn: {a_{1} (1 + r + r^{2})} over {a_{1}} = 13], [eqn: r^{2} + r - 12 = 0], [eqn: (r+4)(r-3) = 0]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = 3]

[eqn: S_{2} = a_{1} + a_{1} r = a_{1} (1+r)]이므로 [eqn: S_{2} = 16]에서 [eqn: a_{1} (1+3) = 16]

∴ [eqn: a_{1} = 4]

[eqn: a_{5} = a_{1} r^{4} = 4 times 3^{4} = 324]

따라서 정답은 [eqn: 324]이다.

다항함수 [eqn: f(x)]가 상수 [eqn: a(a>0)]과 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: xf(x)-f(x)=x^{2}+x int_{0}^{a} f(t)dt + {3} over {2} a]
를 만족시킬 때, [eqn: f(10)]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

주어진 등식의 좌변을 묶고 [eqn: int from {0} to {a} f(t)dt = k] ([eqn: k]는 상수)라 하면

[eqn: (x-1)f(x) = x^{2} + kx + {3} over {2} a] ……①

이 등식은 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하는 항등식이므로 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0 = 1 + k + {3} over {2} a]에서 [eqn: k = -1 - {3} over {2} a]

이를 ①에 대입하면

[eqn: (x-1)f(x) = x^{2} - left ( 1 + {3} over {2} a right ) x + {3} over {2} a = (x-1) left ( x - {3} over {2} a right )]

[eqn: f(x)]는 다항함수이므로 [eqn: f(x) = x - {3} over {2} a]

이때 [eqn: k = int from {0} to {a} f(t)dt]이므로

[eqn: k = int from {0} to {a} left ( t - {3} over {2} a right ) dt = left [ {1} over {2} t^{2} - {3} over {2} at right ] _{0}^{a} = {1} over {2} a^{2} - {3} over {2} a^{2} = -a^{2}]

따라서 [eqn: -a^{2} = -1 - {3} over {2} a]에서 [eqn: 2a^{2} - 3a - 2 = 0]

[eqn: (2a+1)(a-2) = 0]이고 [eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2]

[eqn: a=2]를 [eqn: f(x)]에 대입하면 [eqn: f(x) = x - 3]

[eqn: f(10) = 10 - 3 = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(1)]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: lim_{x rightarrow k} {f(x)} over {f'(x)f(x-4)}] 의 값이 존재하지 않는 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: p(p<4)]와 [eqn: 4]뿐이다.

[eqn: 14]

이차함수 [eqn: f(x)]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha leq beta])라 하면

[eqn: f(x) = (x- alpha )(x- beta )]

[eqn: f'(x) = 2x - ( alpha + beta )]

[eqn: f(x-4) = (x-4- alpha )(x-4- beta )]

분모 [eqn: f'(x)f(x-4) = 0]이 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: x = { alpha + beta } over {2}], [eqn: x = alpha + 4], [eqn: x = beta + 4]이다.

만약 [eqn: f(x)]가 중근을 가지면 [eqn: alpha = beta]이고 분모의 근은 [eqn: alpha], [eqn: alpha + 4]이다.

[eqn: x -> alpha]일 때 [eqn: lim from {x -> alpha} {(x- alpha )^{2}} over {2(x- alpha )(x-4- alpha )^{2}} = 0]으로 극한값이 존재하므로 극한이 존재하지 않는 [eqn: x]의 값은 [eqn: alpha + 4] 하나뿐이어서 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: f(x)]는 서로 다른 두 실근을 가지므로 [eqn: alpha < beta]이다.

극한이 존재하지 않는 [eqn: x]의 값이 [eqn: 2]개이려면 다음 두 가지 경우뿐이다.

(ⅰ) 분모의 세 근이 모두 다르고, 그 중 하나에서 극한값이 존재하는 경우

분모의 근 중 하나가 분자의 근 [eqn: alpha] 또는 [eqn: beta]와 같아야 한다.

[eqn: { alpha + beta } over {2}]는 [eqn: alpha]와 [eqn: beta] 사이의 값이고 [eqn: beta + 4 > beta > alpha]이므로 [eqn: alpha + 4 = beta]이어야 한다.

이때 분모의 세 근은 [eqn: alpha + 2], [eqn: alpha + 4], [eqn: alpha + 8]이다.

[eqn: x = alpha + 4]일 때 분자도 [eqn: 0]이 되며, [eqn: lim from {x -> alpha + 4} {(x- alpha )(x- alpha -4)} over {2(x- alpha -2)(x- alpha -4)(x- alpha -8)} = - {1} over {4}]로 극한값이 존재한다.

따라서 극한이 존재하지 않는 점은 [eqn: x = alpha + 2], [eqn: x = alpha + 8]이다.

조건에서 [eqn: k = p], [eqn: 4] ([eqn: p < 4])이므로 [eqn: alpha + 8 = 4], [eqn: alpha + 2 = p]에서 [eqn: alpha = -4], [eqn: p = -2]

[eqn: f(x) = (x+4)x]이므로 [eqn: f(1) = 5]

(ⅱ) 분모의 세 근 중 두 근이 중복되어 분모가 서로 다른 두 근만 갖는 경우

[eqn: alpha + 4 < beta + 4]이고 [eqn: { alpha + beta } over {2} = beta + 4]이면 [eqn: alpha = beta + 8]이 되어 [eqn: alpha < beta]에 모순이므로 [eqn: { alpha + beta } over {2} = alpha + 4]이어야 한다.

이때 [eqn: beta = alpha + 8]이고 분모의 근은 [eqn: alpha + 4], [eqn: alpha + 12]이다.

두 점 모두 분자의 근이 아니므로 극한이 존재하지 않는 점은 [eqn: x = alpha + 4], [eqn: x = alpha + 12]이다.

조건에서 [eqn: k = p], [eqn: 4] ([eqn: p < 4])이므로 [eqn: alpha + 12 = 4], [eqn: alpha + 4 = p]에서 [eqn: alpha = -8], [eqn: p = -4]

[eqn: f(x) = (x+8)x]이므로 [eqn: f(1) = 9]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 [eqn: f(1)]의 값의 합은 [eqn: 5 + 9 = 14]이다.

따라서 정답은 [eqn: 14]이다.

21. 공차가 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{n=1}^{6} a_{n}]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: a_{4} = {5} over {2}]

(나) [eqn: left | a_{k+1} right | < left | a_{k+2} right | < left | a_{k} right |]를 만족시키는 [eqn: 3]이 아닌 자연수 [eqn: k]가 존재한다.

[eqn: 24]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공차를 [eqn: d]라 하면 조건 (가)에서 [eqn: a_{4} = {5} over {2}]이므로 [eqn: a_{n} = {5} over {2} + (n-4)d]

조건 (나)에서 [eqn: left | a_{k+1} right | < left | a_{k+2} right | < left | a_{k} right |]를 만족시키는 [eqn: 3]이 아닌 자연수 [eqn: k]가 존재한다.

(ⅰ) [eqn: d > 0]일 때

수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 증가수열이므로 조건 (나)를 만족시키려면 [eqn: a_{k+1} < 0 < a_{k+2}]이고 [eqn: a_{k+1} + a_{k+2} > 0]이어야 한다.

[eqn: a_{k+1} = {5} over {2} + (k-3)d < 0], [eqn: a_{k+2} = {5} over {2} + (k-2)d > 0], [eqn: a_{k+1} + a_{k+2} = 5 + (2k-5)d > 0]

[eqn: k=1]일 때, [eqn: a_{2} < 0], [eqn: a_{3} > 0], [eqn: a_{2} + a_{3} > 0]에서 [eqn: {5} over {4} < d < {5} over {3}]이므로 이를 만족시키는 정수 [eqn: d]는 존재하지 않는다.

[eqn: k=2]일 때, [eqn: a_{3} < 0], [eqn: a_{4} > 0], [eqn: a_{3} + a_{4} > 0]에서 [eqn: {5} over {2} < d < 5]이므로 정수 [eqn: d = 3, 4]

[eqn: k geq 4]일 때, [eqn: a_{k+1} = {5} over {2} + (k-3)d > 0]이므로 [eqn: a_{k+1} < 0]을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: d < 0]일 때

수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 감소수열이므로 조건 (나)를 만족시키려면 [eqn: a_{k+1} > 0 > a_{k+2}]이고 [eqn: a_{k+1} + a_{k+2} < 0]이어야 한다.

[eqn: a_{k+1} = {5} over {2} + (k-3)d > 0], [eqn: a_{k+2} = {5} over {2} + (k-2)d < 0], [eqn: a_{k+1} + a_{k+2} = 5 + (2k-5)d < 0]

[eqn: k=1, 2]일 때, [eqn: a_{4} = {5} over {2} > 0]이므로 감소수열에서 [eqn: a_{k+2} < 0]을 만족시키지 않는다.

[eqn: k=4]일 때, [eqn: a_{5} > 0], [eqn: a_{6} < 0], [eqn: a_{5} + a_{6} < 0]에서 [eqn: - {5} over {2} < d < - {5} over {3}]이므로 정수 [eqn: d = -2]

[eqn: k=5]일 때, [eqn: a_{6} > 0], [eqn: a_{7} < 0], [eqn: a_{6} + a_{7} < 0]에서 [eqn: - {5} over {4} < d < -1]이므로 이를 만족시키는 정수 [eqn: d]는 존재하지 않는다.

[eqn: k geq 6]일 때, [eqn: a_{k+1} = {5} over {2} + (k-3)d > 0]에서 [eqn: d > - {5} over {2(k-3)} geq - {5} over {6}]이므로 음의 정수 [eqn: d]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 정수 [eqn: d]의 값은 [eqn: -2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

[eqn: sum from {n=1} to {6} a_{n} = {6(a_{1} + a_{6})} over {2} = 3 left ( {5} over {2} - 3d + {5} over {2} + 2d right ) = 15 - 3d]

[eqn: d=-2]일 때, [eqn: sum from {n=1} to {6} a_{n} = 21]

[eqn: d=3]일 때, [eqn: sum from {n=1} to {6} a_{n} = 6]

[eqn: d=4]일 때, [eqn: sum from {n=1} to {6} a_{n} = 3]

따라서 [eqn: M = 21], [eqn: m = 3]이므로 [eqn: M+m = 24]

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]가 있다. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: left | g(x) right | = left | f(x) right |]
가 성립한다. 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g(x)=t]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: h(t)]라 하자. 서로 다른 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 세 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극대이고, [eqn: f(-2)=0]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a]와 [eqn: x=b]에서만 미분가능하지 않다.

(다) 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: h(t)>0]이고, [eqn: h(f(0))>2]이다.

[eqn: h left ( {64} over {3} right ) = 4]일 때, [eqn: left | g(-3) + g(0) right |]의 값을 구하시오.

[eqn: 9]

조건 (나)에서 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a]와 [eqn: x=b]에서만 미분가능하지 않고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: left | g(x) right | = left | f(x) right |]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]와 [eqn: x=b]에서 [eqn: x]축과 교차한다.

조건 (가)에서 [eqn: f(-2)=0]이고 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-2]에서 미분가능해야 하므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x+2)^{2}]을 인수로 가진다.

[eqn: f(x) = (x+2)^{2}(x-a)(x-b)] ([eqn: a, b]는 서로 다른 양수)라 하면

[eqn: f'(x) = 2(x+2)(x^{2}-(a+b)x+ab) + (x+2)^{2}(2x-(a+b))]

[eqn: x=0]에서 극대이므로 [eqn: f'(0) = 4ab - 4(a+b) = 0]에서 [eqn: a+b=ab]

[eqn: a+b=ab=S] ([eqn: S>4])라 하면 [eqn: f(x) = (x+2)^{2}(x^{2}-Sx+S)]

[eqn: f'(x) = x(x+2)(4x+4-3S)]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0], [eqn: x= {3S-4} over {4}]에서 극값을 갖는다.

조건 (다)에서 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: h(t)>0]이려면 [eqn: g(x)]의 치역이 실수 전체의 집합이어야 하므로

[eqn: x leq -2]에서 [eqn: g(x) = -f(x)], [eqn: x > -2]에서 [eqn: g(x) = left | f(x) right |]이다.

[eqn: g(x)]의 극댓값은 [eqn: x=0]일 때 [eqn: M_{1} = f(0) = 4S], [eqn: x= {3S-4} over {4}]일 때 [eqn: M_{2} = -f left ( {3S-4} over {4} right )]이다.

[eqn: h(f(0)) > 2] 즉, [eqn: h(M_{1}) > 2]를 만족하려면 [eqn: M_{2} > M_{1}]이어야 하고, 이때 [eqn: h(t)=4]인 [eqn: t]의 값은 [eqn: M_{1}]뿐이다.

[eqn: h left ( {64} over {3} right ) = 4]이므로 [eqn: M_{1} = 4S = {64} over {3}]에서 [eqn: S = {16} over {3}]

이때 [eqn: x=3]에서 [eqn: M_{2} = -f(3) = {125} over {3}]이므로 [eqn: M_{2} > M_{1}]이 성립한다.

[eqn: f(x) = (x+2)^{2} left ( x^{2} - {16} over {3} x + {16} over {3} right )]이므로

[eqn: g(-3) = -f(-3) = - left ( (-1)^{2} times left ( 9 + 16 + {16} over {3} right ) right ) = - {91} over {3}]

[eqn: g(0) = f(0) = {64} over {3}]

[eqn: left | g(-3) + g(0) right | = left | - {91} over {3} + {64} over {3} right | = 9]

따라서 정답은 [eqn: 9]이다.

다항식 [eqn: (2x+1)^{4}]의 전개식에서 [eqn: x^{2}]의 계수는?

②

다항식 [eqn: (2x+1)^{4}]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{4} rmC _{itr} it(2x) ^{r} (1) ^{4-r} = _{4} rmC _{itr} it2 ^{r} x ^{r}] (단, [eqn: r = 0, 1, 2, 3, 4])

[eqn: x^{2}] 항은 [eqn: r=2]일 때이므로 [eqn: x^{2}]의 계수는 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{2}} times 2^{2} = 6 times 4 = 24]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 18]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 42]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B] 는 서로 독립이고,
[eqn: P(A)+P(B)=1], [eqn: P(A SMALLINTER B ^{C} `)= {4} over {9}]
일 때, [eqn: P(A)]의 값은?

⑤

[eqn: rmP(itA)+rmP(itB)=1]에서 [eqn: rmP(itB)=1-rmP(itA)]이므로

[eqn: rmP(itB ^{C} )=1-rmP(itB)=rmP(itA)]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: B^{C}]도 서로 독립이다.

[eqn: rm P( it A SMALLINTER B ^{C} )= rm P( it A) rm P( it B ^{C} `)]에서

[eqn: rmP(itA)rmP(itA)= LEFT { rmP(itA) RIGHT } ^{2} = {4} over {9}]

확률의 기본 성질에 의해 [eqn: 0 leq P(A) leq 1]이므로 [eqn: rmP(itA)= {2} over {3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {2} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {4} over {9}]

④ [eqn: {5} over {9}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

문자 [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, [eqn: rmA]가 적혀 있는 두 장의 카드 사이에 한 장의 카드만 있도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 문자가 적힌 카드는 서로 구별하지 않는다.)

①

[eqn: 6]장의 카드를 일렬로 나열할 때, [eqn: rmA]가 적혀 있는 두 장의 카드 사이에 한 장의 카드만 있도록 나열하려면 [eqn: rmA] 두 장을 한 칸 띄어서 배치해야 한다.

[eqn: 6]개의 자리 중 [eqn: rmA] 두 장이 배치될 수 있는 위치는 첫 번째와 세 번째, 두 번째와 네 번째, 세 번째와 다섯 번째, 네 번째와 여섯 번째의 [eqn: 4]가지이다.

[eqn: rmA] 두 장이 배치되고 남은 [eqn: 4]개의 빈자리에 남은 카드 [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 배치하는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열에 의해 [eqn: {4!} over {2!} = 12]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 4 times 12 = 48]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 48]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 72]

정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: rmP(ita-3 LEQ X LEQ a+1)]은 [eqn: a=10]일 때 최댓값 [eqn: 0.6]을 갖는다. [eqn: rmP(itX GEQ 10)+rmP(it8 LEQ X LEQ 11)]의 값은?

④

확률변수 [eqn: X]가 정규분포를 따르므로 확률밀도함수의 그래프는 평균 [eqn: m]에 대하여 대칭이다.

구간 [eqn: [a-3, a+1]]의 길이는 [eqn: 4]로 일정하므로, 확률 [eqn: rmP(ita-3 LEQ X LEQ a+1)]이 최대가 되려면 구간의 중점이 평균 [eqn: m]과 일치해야 한다.

[eqn: a=10]일 때 최댓값을 가지므로 구간은 [eqn: [7, 11]]이고, 이 구간의 중점이 평균이므로

[eqn: m = {7+11} over {2} = 9]

[eqn: a=10]일 때의 확률이 [eqn: 0.6]이므로 [eqn: rmP(it7 LEQ X LEQ 11)=0.6]에서

[eqn: rmP(it9 LEQ X LEQ 11)= {1} over {2} TIMES 0.6=0.3]

정규분포 곡선은 평균 [eqn: m=9]에 대하여 대칭이므로

[eqn: rmP(itX GEQ 10)=rmP(itX LEQ 8)]

구하는 식에 대입하면

[eqn: rmP(itX GEQ 10)+rmP(it8 LEQ X LEQ 11)=rmP(itX LEQ 8)+rmP(it8 LEQ X LEQ 11)]

[eqn: =rmP(itX LEQ 11)][eqn: =rmP(itX LEQ 9)+rmP(it9 LEQ X LEQ 11)]

[eqn: rmP(itX LEQ 9)=0.5]이므로 [eqn: 0.5 + 0.3 = 0.8]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 0.5]	② [eqn: 0.6]	③ [eqn: 0.7]

④ [eqn: 0.8]	⑤ [eqn: 0.9]

숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 선택한 후 일렬로 나열하여 다섯 자리의 자연수를 만들려고 한다. 숫자 [eqn: 1]과 [eqn: 3]을 각각 홀수 개씩 선택하여 만들 수 있는 모든 다섯 자리의 자연수의 개수는? (단, 숫자 [eqn: 1]과 [eqn: 3]은 각각 한 개 이상씩 선택한다.)

⑤

다섯 자리의 자연수를 만들기 위해 선택한 숫자 [eqn: 1]과 [eqn: 3]의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면 [eqn: a], [eqn: b]는 홀수이고 [eqn: a+b leq 5]이므로 가능한 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 1)], [eqn: (1, 3)], [eqn: (3, 1)]이다.

(ⅰ) [eqn: (a, b) = (1, 1)]일 때

다섯 자리 중 숫자 [eqn: 1]과 [eqn: 3]이 들어갈 자리를 선택하고, 남은 세 자리에 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 4]를 중복을 허락하여 나열하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{1}} times {}{}_{{4}} C _{{1}} times 3^{3} = 540]

이 중 맨 앞자리가 [eqn: 0]인 경우의 수는 맨 앞자리를 제외한 네 자리 중 [eqn: 1]과 [eqn: 3]이 들어갈 자리를 선택하고, 남은 두 자리에 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 4]를 중복을 허락하여 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: rmrm{}{}_{{4}} C _{{1}} times {}{}_{{3}} C _{{1}} times 3^{2} = 108]

따라서 이 경우의 다섯 자리 자연수의 개수는 [eqn: 540 - 108 = 432]

(ⅱ) [eqn: (a, b) = (1, 3)]일 때

다섯 자리 중 숫자 [eqn: 1]과 [eqn: 3]이 들어갈 자리를 선택하고, 남은 한 자리에 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 4] 중 하나를 나열하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{1}} times {}{}_{{4}} C _{{3}} times 3^{1} = 60]

이 중 맨 앞자리가 [eqn: 0]인 경우의 수는 맨 앞자리를 제외한 네 자리 중 [eqn: 1]과 [eqn: 3]이 들어갈 자리를 선택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{1}} times {}{}_{{3}} C _{{3}} = 4]

따라서 이 경우의 다섯 자리 자연수의 개수는 [eqn: 60 - 4 = 56]

(ⅲ) [eqn: (a, b) = (3, 1)]일 때

(ⅱ)의 경우와 숫자 [eqn: 1], [eqn: 3]의 역할만 바뀐 것이므로 다섯 자리 자연수의 개수는 [eqn: 56]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 모든 다섯 자리 자연수의 개수는 [eqn: 432 + 56 + 56 = 544]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 496]	② [eqn: 508]	③ [eqn: 520]

④ [eqn: 532]	⑤ [eqn: 544]

한 개의 동전과 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

동전을 두 번 던져

앞면이 나온 횟수가 [eqn: 0]이면 주사위를 [eqn: 1]번 던져서 나온 눈의 수를 점수로 얻고,

앞면이 나온 횟수가 [eqn: 1]이면 주사위를 [eqn: 2]번 던져서 나온 모든 눈의 수의 곱을 점수로 얻고,

앞면이 나온 횟수가 [eqn: 2]이면 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나온 모든 눈의 수의 곱을 점수로 얻는다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수의 모든 양의 약수의 개수가 [eqn: 9]가 될 확률은?

①

어떤 자연수 [eqn: N]의 양의 약수의 개수가 [eqn: 9]이려면 [eqn: N]의 소인수분해 형태가 [eqn: p^{8}] 또는 [eqn: p^{2} times q^{2}] ([eqn: p], [eqn: q]는 서로 다른 소수)이어야 한다.

동전을 [eqn: 2]번 던져 앞면이 나오는 횟수에 따라 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) 앞면이 [eqn: 0]번 나오는 경우

앞면이 [eqn: 0]번 나올 확률은 [eqn: rm{}{}_{{2}} C _{{0}} left ( {1} over {2} right )^{2} = {1} over {4}]이다.

주사위를 [eqn: 1]번 던져서 나오는 눈의 수는 [eqn: 1] 이상 [eqn: 6] 이하의 자연수이고, 이 중 약수의 개수가 [eqn: 9]인 수는 없으므로 이 경우의 확률은 [eqn: 0]이다.

(ⅱ) 앞면이 [eqn: 1]번 나오는 경우

앞면이 [eqn: 1]번 나올 확률은 [eqn: rm{}{}_{{2}} C _{{1}} left ( {1} over {2} right )^{2} = {1} over {2}]이다.

주사위를 [eqn: 2]번 던져서 나오는 두 눈의 수의 곱은 최대 [eqn: 36]이다.

[eqn: 36] 이하의 자연수 중 약수의 개수가 [eqn: 9]인 수는 [eqn: 2^{2} times 3^{2} = 36]뿐이다.

두 눈의 수의 곱이 [eqn: 36]이 되는 순서쌍은 [eqn: (6, 6)]의 [eqn: 1]가지이므로 이 경우의 확률은 [eqn: {1} over {2} times {1} over {36} = {1} over {72}]

(ⅲ) 앞면이 [eqn: 2]번 나오는 경우

앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률은 [eqn: rm{}{}_{{2}} C _{{2}} left ( {1} over {2} right )^{2} = {1} over {4}]이다.

주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 세 눈의 수의 곱은 최대 [eqn: 216]이다.

[eqn: 216] 이하의 자연수 중 약수의 개수가 [eqn: 9]인 수는 [eqn: 2^{2} times 3^{2} = 36], [eqn: 2^{2} times 5^{2} = 100]이다.

세 눈의 수의 곱이 [eqn: 36]이 되는 순서쌍은 [eqn: (1, 6, 6)], [eqn: (2, 3, 6)], [eqn: (3, 3, 4)]이고, 그 배열의 수는 각각 [eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: 3]이므로 총 [eqn: 12]가지이다.

세 눈의 수의 곱이 [eqn: 100]이 되는 순서쌍은 [eqn: (4, 5, 5)]이고, 그 배열의 수는 [eqn: 3]이므로 총 [eqn: 3]가지이다.

따라서 세 눈의 수의 곱이 [eqn: 36] 또는 [eqn: 100]이 되는 경우의 수는 [eqn: 15]이므로 이 경우의 확률은

[eqn: {1} over {4} times {15} over {216} = {5} over {288}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 확률은

[eqn: 0 + {1} over {72} + {5} over {288} = {4} over {288} + {5} over {288} = {9} over {288} = {1} over {32}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {1} over {32}]	② [eqn: {1} over {24}]	③ [eqn: {5} over {96}]

④ [eqn: {1} over {16}]	⑤ [eqn: {7} over {96}]

어느 모집단의 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	계
[eqn: rmP LEFT ( itX=x RIGHT )]	[eqn: a]	[eqn: {1} over {9}]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: rmE(itX)= {7} over {3}]일 때, 이 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 [eqn: overline{X}]에 대하여 [eqn: sigma(2overline{X}+1) leq {1} over {3}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[eqn: 112]

확률의 총합은 [eqn: 1]이므로 [eqn: a + {1} over {9} + b = 1]에서 [eqn: a + b = {8} over {9}] ……①

[eqn: rmE(itX)= {7} over {3}]이므로

[eqn: 1 times a + 3 times {1} over {9} + 5 times b = {7} over {3}]에서 [eqn: a + 5b = 2] ……②

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: a = {11} over {18}], [eqn: b = {5} over {18}]

[eqn: X^{2}]의 기댓값 [eqn: rmE(itX ^{2} )]은

[eqn: rmE(itX ^{2} )=1 ^{2} TIMES {11} over {18} +3 ^{2} TIMES {1} over {9} +5 ^{2} TIMES {5} over {18} = {77} over {9}]

분산 [eqn: rm V(itX)]는

[eqn: rmV(itX)=rmE(itX ^{2} )- LEFT { rmE(itX) RIGHT } ^{2} = {77} over {9} - LEFT ( {7} over {3} RIGHT ) ^{2} = {28} over {9}]

크기가 [eqn: n]인 표본의 표본평균 [eqn: overline{X}]의 표준편차 [eqn: sigma(overline{X})]는

[eqn: sigma ( {bar{X}} )= sqrt {{rmV(itX)} over {n}} = sqrt {{28} over {9n}}]

[eqn: sigma(2overline{X}+1) leq {1} over {3}]에서 [eqn: 2sigma(overline{X}) leq {1} over {3}]이므로 [eqn: 2 sqrt{ {28} over {9n} } leq {1} over {3}]

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 4 times {28} over {9n} leq {1} over {9}]에서 [eqn: n geq 112]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 112]이다.

[eqn: 1 leq a leq b leq c leq d leq 10]을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c,`d RIGHT )] 중에서 임의로 한 개를 선택한다. 선택한 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c,`d RIGHT )]에서 [eqn: a times b times (c+1) times (d+1)]이 홀수일 때, [eqn: b times c]가 [eqn: 3]의 배수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 107]

선택한 순서쌍 [eqn: (a, b, c, d)]에서 [eqn: a times b times (c+1) times (d+1)]이 홀수이려면 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c+1], [eqn: d+1]이 모두 홀수이어야 한다.

즉, [eqn: a], [eqn: b]는 홀수이고 [eqn: c], [eqn: d]는 짝수이다.

조건 [eqn: 1 leq a leq b leq c leq d leq 10]에서 [eqn: b]는 홀수, [eqn: c]는 짝수이므로 [eqn: b < c]이다.

따라서 [eqn: 1 leq a leq b < c leq d leq 10]을 만족해야 한다.

사건 [eqn: A]를 [eqn: a times b times (c+1) times (d+1)]이 홀수인 사건이라 하고, 사건 [eqn: B]를 [eqn: b times c]가 [eqn: 3]의 배수인 사건이라 하자.

(ⅰ) [eqn: n(A)] 구하기

[eqn: b]의 값에 따라 가능한 [eqn: a]의 개수와 [eqn: c], [eqn: d]의 순서쌍의 개수를 구하면 다음과 같다.

[eqn: b=1]일 때, [eqn: a=1]이고 [eqn: c], [eqn: d]는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10] 중 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 선택하는 경우이므로 [eqn: rm1 times {}_{5} H _{2} = 1 times {}{}_{{6}} C _{{2}} = 15]

[eqn: b=3]일 때, [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 3] 중 [eqn: 1]개를 선택하고 [eqn: c], [eqn: d]는 [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10] 중 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 선택하는 경우이므로 [eqn: rm2 times {}_{4} H _{2} = 2 times {}{}_{{5}} C _{{2}} = 20]

[eqn: b=5]일 때, [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5] 중 [eqn: 1]개를 선택하고 [eqn: c], [eqn: d]는 [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10] 중 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 선택하는 경우이므로 [eqn: rm3 times {}_{3} H _{2} = 3 times {}{}_{{4}} C _{{2}} = 18]

[eqn: b=7]일 때, [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7] 중 [eqn: 1]개를 선택하고 [eqn: c], [eqn: d]는 [eqn: 8], [eqn: 10] 중 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 선택하는 경우이므로 [eqn: rm4 times {}_{2} H _{2} = 4 times {}{}_{{3}} C _{{2}} = 12]

[eqn: b=9]일 때, [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9] 중 [eqn: 1]개를 선택하고 [eqn: c], [eqn: d]는 [eqn: 10] 중 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 선택하는 경우이므로 [eqn: rm5 times {}_{1} H _{2} = 5 times {}{}_{{2}} C _{{2}} = 5]

따라서 [eqn: n(A) = 15 + 20 + 18 + 12 + 5 = 70]

(ⅱ) [eqn: n(A cap B)] 구하기

[eqn: b times c]가 [eqn: 3]의 배수이려면 [eqn: b]가 [eqn: 3]의 배수이거나 [eqn: c]가 [eqn: 3]의 배수이어야 한다.

[eqn: b]가 [eqn: 3]의 배수인 경우는 [eqn: b=3], [eqn: b=9]일 때이므로 (ⅰ)에서 구한 경우의 수의 합은 [eqn: 20 + 5 = 25]

[eqn: b]가 [eqn: 3]의 배수가 아니고 [eqn: c]가 [eqn: 3]의 배수인 경우는 [eqn: b in left { 1, 5, 7 right }]이고 [eqn: c=6]일 때이다.

[eqn: b=1], [eqn: c=6]일 때, [eqn: a=1]이고 [eqn: d]는 [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10] 중 [eqn: 1]개를 선택하는 경우이므로 [eqn: 1 times 3 = 3]

[eqn: b=5], [eqn: c=6]일 때, [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5] 중 [eqn: 1]개를 선택하고 [eqn: d]는 [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10] 중 [eqn: 1]개를 선택하는 경우이므로 [eqn: 3 times 3 = 9]

[eqn: b=7], [eqn: c=6]일 때, [eqn: b < c]를 만족하지 않으므로 [eqn: 0]

따라서 [eqn: n(A cap B) = 25 + 3 + 9 = 37]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 조건부확률은

[eqn: P(B|A) = {n(A cap B)} over {n(A)} = {37} over {70}]

[eqn: p=70], [eqn: q=37]은 서로소인 자연수이므로 [eqn: p+q = 107]

따라서 정답은 [eqn: 107]이다.

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim_{x rightarrow 0} {e^{ax}-1} over {ln(x+b)} = 2]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

③

[eqn: x rightarrow 0]일 때 (분자) [eqn: rightarrow 0]이고 [eqn: 0]이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모) [eqn: rightarrow 0]이어야 한다.

[eqn: lim_{x rightarrow 0} ln(x+b) = ln b = 0]에서 [eqn: b = 1]

주어진 식에 [eqn: b=1]을 대입하면

[eqn: lim_{x rightarrow 0} {e^{ax}-1} over {ln(x+1)} = lim_{x rightarrow 0} {{e^{ax}-1} over {x}} over {{ln(x+1)} over {x}} = {a} over {1} = a]

이때 극한값이 [eqn: 2]이므로 [eqn: a = 2]

∴ [eqn: a+b = 2+1 = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: y=e^{-x}]과 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: y=e^{-4}]으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

①

곡선 [eqn: y=e^{-x}]과 직선 [eqn: y=e^{-4}]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: e^{-x} = e^{-4}]에서 [eqn: x=4]

구간 [eqn: [1, 4]]에서 [eqn: e^{-x} geq e^{-4}]이므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = int from {1} to {4} (e^{-x} - e^{-4}) dx][eqn: = left [ -e^{-x} - e^{-4}x right ]_{1}^{4}]

[eqn: = (-e^{-4} - 4e^{-4}) - (-e^{-1} - e^{-4})][eqn: = e^{-1} - 4e^{-4}][eqn: = {1} over {e} - {4} over {e^{4}}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {1} over {e} - {4} over {e^{4}}]	② [eqn: {1} over {e} - {3} over {e^{4}}]	③ [eqn: {1} over {e} - {2} over {e^{4}}]

④ [eqn: {2} over {e} - {4} over {e^{4}}]	⑤ [eqn: {2} over {e} - {3} over {e^{4}}]

곡선 [eqn: 2 ln y = x^{2} + 2x + 2] 위의 점 [eqn: LEFT ( -2,`e RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: x]절편은?

④

주어진 곡선의 방정식 [eqn: 2 ln y = x^{2} + 2x + 2]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2 times {1} over {y} times y' = 2x + 2]에서 [eqn: y' = y(x + 1)]

점 [eqn: (-2, e)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: x = -2], [eqn: y = e]를 대입하면

[eqn: y' = e(-2 + 1) = -e]

점 [eqn: (-2, e)]를 지나고 기울기가 [eqn: -e]인 접선의 방정식은

[eqn: y - e = -e(x + 2)]에서 [eqn: y = -ex - e]

이 접선의 [eqn: x]절편을 구하기 위해 [eqn: y = 0]을 대입하면

[eqn: 0 = -ex - e]에서 [eqn: x = -1]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {3} over {2}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= {1} over {sqrt {x} `lnx} ( sqrt {e} LEQ x LEQ e)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x = sqrt{e}], [eqn: x = e]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

②

입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 [eqn: y]인 정삼각형이다.

보기의 형태를 고려할 때 주어진 곡선의 식은 [eqn: y = {1} over {sqrt{x ln x}}]이다.

단면의 넓이를 [eqn: S(x)]라 하면

[eqn: S(x) = {sqrt{3}} over {4} y^{2} = {sqrt{3}} over {4} left ( {1} over {sqrt{x ln x}} right )^{2} = {sqrt{3}} over {4} {1} over {x ln x}]

입체도형의 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: V = int from {sqrt{e}} to {e} S(x) dx = int from {sqrt{e}} to {e} {sqrt{3}} over {4} {1} over {x ln x} dx]

[eqn: ln x = t]라 하면 [eqn: {1} over {x} dx = dt]이고, [eqn: x = sqrt{e}]일 때 [eqn: t = {1} over {2}], [eqn: x = e]일 때 [eqn: t = 1]이므로

[eqn: V = {sqrt{3}} over {4} int from {{1} over {2}} to {1} {1} over {t} dt][eqn: = {sqrt{3}} over {4} left [ ln left | t right | right ] _{{1} over {2}} ^{1}][eqn: = {sqrt{3}} over {4} left ( ln 1 - ln {1} over {2} right ) = {sqrt{3}} over {4} ln 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: rm{sqrt{3}} over {8} ln 2]	② [eqn: rm{sqrt{3}} over {4} ln 2]	③ [eqn: rm{3 sqrt{3}} over {8} ln 2]

④ [eqn: rm{sqrt{3}} over {2} ln 2]	⑤ [eqn: rm{5 sqrt{3}} over {8} ln 2]

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선
[eqn: x = 2t - sin 2t cos 2t], [eqn: y = sin^{2} 2t]
에 대하여 [eqn: 0 leq t leq {3} over {8} pi]에서 이 곡선의 길이는?

④

[eqn: x=2t-sin2t`cos2t=2t- {1} over {2} `sin4t]이므로 [eqn: {dx} over {dt} = 2 - 2 cos 4t]

[eqn: y = sin^{2} 2t]이므로 [eqn: {dy} over {dt} = 2 sin 2t times 2 cos 2t = 2 sin 4t]

[eqn: 0 leq t leq {3} over {8} pi]에서 곡선의 길이를 [eqn: L]이라 하면

[eqn: L = int from {0} to {{3} over {8} pi} sqrt{ left ( {dx} over {dt} right )^{2} + left ( {dy} over {dt} right )^{2} } dt]

[eqn: = int from {0} to {{3} over {8} pi} sqrt{ (2 - 2 cos 4t)^{2} + (2 sin 4t)^{2} } dt][eqn: = int from {0} to {{3} over {8} pi} sqrt{ 8 - 8 cos 4t } dt]

[eqn: = int from {0} to {{3} over {8} pi} sqrt{ 16 sin^{2} 2t } dt][eqn: = int from {0} to {{3} over {8} pi} 4 left | sin 2t right | dt]

[eqn: 0 leq t leq {3} over {8} pi]에서 [eqn: 0 leq 2t leq {3} over {4} pi]이므로 [eqn: sin 2t geq 0]

따라서

[eqn: L = int from {0} to {{3} over {8} pi} 4 sin 2t dt][eqn: = left [ -2 cos 2t right ]_{0}^{{3} over {8} pi}][eqn: = -2 cos {{3} over {4} pi} - (-2 cos 0)]

[eqn: = -2 times left ( - {sqrt{2}} over {2} right ) + 2 = 2 + sqrt{2}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 2 - {sqrt{2}} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 + {sqrt{2}} over {2}]

④ [eqn: 2 + sqrt{2}]	⑤ [eqn: 2 + {3 sqrt{2}} over {2}]

그림과 같이 [eqn: rmoverline{AB}=3]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB] 위에 서로 다른 세 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]를 [eqn: rmangle BAC = angle CAD = angle DAE = theta]가 되도록 잡는다. 두 선분 [eqn: rmAC], [eqn: rmAD]가 선분 [eqn: rmBE]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 할 때, 사각형 [eqn: rmCDQP]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자. [eqn: lim_{theta rightarrow 0+} {S(theta)} over {theta^{3}}]의 값은? (단, [eqn: 0 < theta < {pi} over {6}])

③

선분 [eqn: rmAB]가 반원의 지름이므로 원주각의 성질에 의해

[eqn: rmangle ACB = angle ADB = angle AEB = {pi} over {2}]

직각삼각형 [eqn: rmACB]에서 [eqn: rmangle CAB = theta]이므로 [eqn: rmbarAC`=3cos theta]

직각삼각형 [eqn: rmADB]에서 [eqn: rmangle DAB = 2 theta]이므로 [eqn: rmbarAD`=3cos(2 theta )]

삼각형 [eqn: rmACD]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES rm {bar{AC}} ` TIMES rm {bar{AD}} ` TIMES sin( ANGLE rm CAD)][eqn: = {1} over {2} TIMES 3cos theta TIMES 3cos(2 theta ) TIMES sin theta = {9} over {2} `cos theta cos(2 theta )sin theta]

직각삼각형 [eqn: rmABE]에서 [eqn: rmangle EAB = 3 theta]이므로 [eqn: rmangle ABE = {pi} over {2} - 3 theta]

삼각형 [eqn: rmAPB]에서 [eqn: rmangle PAB = theta], [eqn: rmangle PBA = {pi} over {2} - 3 theta]이므로

[eqn: rmangle APB = pi - left ( theta + {pi} over {2} - 3 theta right ) = {pi} over {2} + 2 theta]

삼각형 [eqn: rmAQB]에서 [eqn: rmangle QAB = 2 theta], [eqn: rmangle QBA = {pi} over {2} - 3 theta]이므로

[eqn: rmangle AQB = pi - left ( 2 theta + {pi} over {2} - 3 theta right ) = {pi} over {2} + theta]

삼각형 [eqn: rmAPB]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {rmbarAP} over {sin LEFT ( {pi } over {2} -3 theta RIGHT )} = {rmbarAB} over {sin LEFT ( {pi } over {2} +2 theta RIGHT )}], [eqn: rmbarAP`= {3cos(3 theta )} over {cos(2 theta )}]

삼각형 [eqn: rmAQB]에서 사인법칙에 의해

[eqn: rm {rmbarAQ} over {sin LEFT ( {pi } over {2} -3 theta RIGHT )} = {rmbarAB} over {sin LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT )}], [eqn: rmbarAQ`= {3cos(3 theta )} over {cos theta }]

삼각형 [eqn: rmAPQ]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES rm {bar{AP}} ` TIMES rm {bar{AQ}} ` TIMES sin( ANGLE rm PAQ)][eqn: = {1} over {2} TIMES {3cos(3 theta )} over {cos(2 theta )} TIMES {3cos(3 theta )} over {cos theta } TIMES sin theta = {9} over {2} {cos ^{2} (3 theta )} over {cos theta cos(2 theta )} `sin theta]

사각형 [eqn: rmCDQP]의 넓이 [eqn: S(theta)]는 삼각형 [eqn: rmACD]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rmAPQ]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S( theta )= {9} over {2} `cos theta cos(2 theta )sin theta - {9} over {2} {cos ^{2} (3 theta )} over {cos theta cos(2 theta )} `sin theta]

[eqn: = {9 sin theta} over {2 cos theta cos (2 theta)} left { cos^{2} theta cos^{2} (2 theta) - cos^{2} (3 theta) right }]

괄호 안의 식을 합차공식으로 인수분해하면

[eqn: cos ^{2} theta cos ^{2} (2 theta )-cos ^{2} (3 theta )][eqn: = LEFT ( cos theta cos(2 theta )-cos(3 theta ) RIGHT ) LEFT ( cos theta cos(2 theta )+cos(3 theta ) RIGHT )]

삼각함수의 덧셈정리에 의해 [eqn: cos (3 theta) = cos (2 theta + theta) = cos (2 theta) cos theta - sin (2 theta) sin theta]이므로

[eqn: cos theta cos (2 theta) - cos (3 theta) = sin theta sin (2 theta)]

[eqn: S(theta) = {9 sin theta} over {2 cos theta cos (2 theta)} times sin theta sin (2 theta) times left ( cos theta cos (2 theta) + cos (3 theta) right )]

[eqn: lim _{theta -> 0+} {} {S( theta )} over {theta ^{3}}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {} LEFT { eqalign{{9} over {2cos theta cos(2 theta )} TIMES LEFT ( {sin` theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} TIMES {sin(2 theta )} over {theta }# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````` TIMES LEFT ( cos theta cos(2 theta )+cos(3 theta ) RIGHT )} RIGHT }]

[eqn: lim from {theta -> 0+} {sin theta} over {theta} = 1], [eqn: lim from {theta -> 0+} {sin (2 theta)} over {theta} = 2]이고 [eqn: theta -> 0+]일 때 [eqn: cos theta -> 1], [eqn: cos (2 theta) -> 1], [eqn: cos (3 theta) -> 1]이므로

[eqn: lim from {theta -> 0+} {S(theta)} over {theta^{3}} = {9} over {2 times 1 times 1} times 1 times 1 times 2 times (1 times 1 + 1) = 18]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

첫째항과 공비가 각각 [eqn: 0]이 아닌 두 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]에 대하여 두 급수 [eqn: sum_{n=1}^{infty} a_{n}], [eqn: sum_{n=1}^{infty} b_{n}]이 각각 수렴하고
[eqn: sum_{n=1}^{infty} {b_{2n}} over {a_{2n}} = {5} over {3}], [eqn: left | sum_{n=1}^{infty} (a_{n} - b_{n}) right | = left | sum_{n=1}^{infty} a_{n} right |]
이 성립한다. [eqn: b_{1} = {5} over {2} a_{1}]일 때, [eqn: 25 times {a_{2}} over {b_{3}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 120]

두 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]의 첫째항을 각각 [eqn: a], [eqn: b], 공비를 각각 [eqn: r], [eqn: s]라 하자.

두 급수 [eqn: sum from {n=1} to {inf} a_{n}], [eqn: sum from {n=1} to {inf} b_{n}]이 수렴하므로 [eqn: left | r right | < 1], [eqn: left | s right | < 1]이다.

[eqn: b_{1} = {5} over {2} a_{1}]에서 [eqn: b = {5} over {2} a] ……①

수열 [eqn: left { {b_{2n}} over {a_{2n}} right }]은 첫째항이 [eqn: {b_{2}} over {a_{2}} = {bs} over {ar}]이고 공비가 [eqn: left ( {s} over {r} right )^{2}]인 등비수열이다.

[eqn: sum from {n=1} to {inf} {b_{2n}} over {a_{2n}} = {5} over {3}]에서 등비급수의 합 공식에 의해 [eqn: { {bs} over {ar} } over { 1 - left ( {s} over {r} right )^{2} } = {5} over {3}]

①을 대입하면 [eqn: { {5s} over {2r} } over { 1 - left ( {s} over {r} right )^{2} } = {5} over {3}]에서 [eqn: 2 left ( {s} over {r} right )^{2} + 3 left ( {s} over {r} right ) - 2 = 0]

[eqn: left ( 2 {s} over {r} - 1 right ) left ( {s} over {r} + 2 right ) = 0]이므로 [eqn: {s} over {r} = {1} over {2}] 또는 [eqn: {s} over {r} = -2]

이때 등비급수 [eqn: sum from {n=1} to {inf} {b_{2n}} over {a_{2n}}]가 수렴하므로 공비 [eqn: left ( {s} over {r} right )^{2} < 1]이어야 한다.

따라서 [eqn: left | {s} over {r} right | < 1]이므로 [eqn: {s} over {r} = {1} over {2}] ∴ [eqn: r = 2s] ……②

조건 [eqn: left | sum from {n=1} to {inf} (a_{n} - b_{n}) right | = left | sum from {n=1} to {inf} a_{n} right |]에 등비급수의 합 공식을 적용하면

[eqn: left | {a} over {1-r} - {b} over {1-s} right | = left | {a} over {1-r} right |]

①, ②를 대입하면 [eqn: left | {a} over {1-2s} - {5a} over {2(1-s)} right | = left | {a} over {1-2s} right |]

[eqn: a neq 0]이므로 양변을 [eqn: left | a right |]로 나누면 [eqn: left | {1} over {1-2s} - {5} over {2(1-s)} right | = left | {1} over {1-2s} right |]

(ⅰ) [eqn: {1} over {1-2s} - {5} over {2(1-s)} = {1} over {1-2s}]일 때

[eqn: - {5} over {2(1-s)} = 0]이 되어 모순이다.

(ⅱ) [eqn: {1} over {1-2s} - {5} over {2(1-s)} = - {1} over {1-2s}]일 때

[eqn: {2} over {1-2s} = {5} over {2(1-s)}]에서 [eqn: 4(1-s) = 5(1-2s)] ∴ [eqn: s = {1} over {6}]

②에 의해 [eqn: r = 2 times {1} over {6} = {1} over {3}]

구하는 값은 [eqn: 25 times {a_{2}} over {b_{3}} = 25 times {ar} over {bs^{2}}]

①에서 [eqn: {a} over {b} = {2} over {5}]이므로

[eqn: 25 times {2} over {5} times { {1} over {3} } over { left ( {1} over {6} right )^{2} } = 10 times 12 = 120]

따라서 정답은 [eqn: 120]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 극값을 갖는 삼차함수 [eqn: f(x)]와 상수 [eqn: p][eqn: LEFT ( p>0 RIGHT )]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = left { ln ( left | f(x) right | + p ) right } ^{2}]
이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, [eqn: x=2]에서 극대이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g'(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖고, 이 세 실근은 크기 순서대로 공비가 [eqn: 2]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: g(p)>0]일 때, [eqn: f(p+5)]의 값을 구하시오.

[eqn: 74]

함수 [eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 방정식 [eqn: f(x)=0]은 적어도 하나의 실근을 갖는다.

[eqn: f(x)=0]의 한 실근을 [eqn: x=c]라 하면 [eqn: x to c]일 때 [eqn: g(x) to ( ln p )^{2}]이다.

[eqn: x neq c]일 때 [eqn: g'(x) = 2 ln ( left | f(x) right | + p ) times {1} over { left | f(x) right | + p } times {f(x)} over { left | f(x) right | } f'(x)]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=c]에서 미분가능하려면 [eqn: x=c]에서의 좌우 미분계수가 일치해야 한다.

[eqn: x=c]에서 [eqn: f(x)]가 단일근을 갖는다고 하면 [eqn: f'(c) neq 0]이고, [eqn: x=c]의 좌우에서 [eqn: f(x)]의 부호가 바뀌므로

[eqn: 2 ln p times {1} over {p} times f'(c) = -2 ln p times {1} over {p} times f'(c)]

[eqn: f'(c) neq 0]이므로 [eqn: ln p = 0] ∴ [eqn: p=1]

[eqn: p=1]이므로 [eqn: g(x) = left { ln ( left | f(x) right | + 1 ) right } ^{2}]

[eqn: g'(x) = 0]에서 [eqn: ln ( left | f(x) right | + 1 ) = 0] 또는 [eqn: f'(x) = 0]

즉, [eqn: f(x) = 0] 또는 [eqn: f'(x) = 0]

조건 (가)에서 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 극대이므로 [eqn: x=2]의 좌우에서 [eqn: g'(x)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌어야 한다.

[eqn: g'(x)]의 부호는 [eqn: f(x)f'(x)]의 부호와 같으므로 [eqn: g(x)]의 증감은 [eqn: left | f(x) right |]의 증감과 일치한다.

[eqn: left | f(x) right |]가 [eqn: x=2]에서 극대이려면 [eqn: f'(2)=0]이고 [eqn: f(2) neq 0]이어야 한다.

(만약 [eqn: f(2)=0]이면 [eqn: left | f(x) right |]는 [eqn: x=2]에서 극소가 되어 모순이다.)

조건 (나)에서 [eqn: g'(x)=0]의 서로 다른 세 실근이 공비가 [eqn: 2]인 등비수열을 이루고, 그 중 하나가 [eqn: 2]이므로 세 실근의 조합은

(ⅰ) [eqn: {1} over {2}], [eqn: 1], [eqn: 2]

(ⅱ) [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4]

(ⅲ) [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]

중 하나이다.

[eqn: f(x)]는 극대와 극소가 존재하는 삼차함수이므로 [eqn: f'(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

따라서 [eqn: g'(x)=0]의 세 실근 중 두 개는 [eqn: f'(x)=0]의 근이고, 나머지 하나는 [eqn: f(x)=0]의 근이거나 [eqn: f(x)=0]의 근이 두 개이고 하나가 [eqn: f'(x)=0]의 근과 중복되는 경우이다.

(ⅰ) 세 실근이 [eqn: {1} over {2}], [eqn: 1], [eqn: 2]인 경우

[eqn: f'(2)=0]이므로 [eqn: f'(x)=0]의 근은 [eqn: {1} over {2}], [eqn: 2] 또는 [eqn: 1], [eqn: 2]이다.

[eqn: f'(x)=0]의 근이 [eqn: {1} over {2}], [eqn: 2]이고 [eqn: f(x)=0]의 근이 [eqn: 1]이라 하면, [eqn: f(x)]는 [eqn: x={1} over {2}]에서 극대, [eqn: x=2]에서 극소이다.

[eqn: f(1)=0]이므로 [eqn: x={1} over {2}]에서의 함숫값은 양수, [eqn: x=2]에서의 함숫값은 음수가 되어 [eqn: f(x)=0]의 실근이 [eqn: 3]개가 된다.

이 경우 [eqn: g'(x)=0]의 실근이 [eqn: 5]개가 되므로 조건 (나)에 모순이다.

(다른 경우도 마찬가지로 실근이 [eqn: 5]개가 되어 모순이다.)

(ⅲ) 세 실근이 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]인 경우

[eqn: f'(x)=0]의 근이 [eqn: 2], [eqn: 8]이고 [eqn: f(x)=0]의 근이 [eqn: 4]라 하면, [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극대, [eqn: x=8]에서 극소이다.

[eqn: f(4)=0]이므로 [eqn: x=2]에서의 함숫값은 양수, [eqn: x=8]에서의 함숫값은 음수가 되어 [eqn: f(x)=0]의 실근이 [eqn: 3]개가 된다.

마찬가지로 [eqn: g'(x)=0]의 실근이 [eqn: 5]개가 되므로 모순이다.

(ⅱ) 세 실근이 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4]인 경우

① [eqn: f'(x)=0]의 근이 [eqn: 2], [eqn: 4]이고 [eqn: f(x)=0]의 근이 [eqn: 1]인 경우

[eqn: f'(x) = 3(x-2)(x-4) = 3x^{2} - 18x + 24]

[eqn: f(x) = x^{3} - 9x^{2} + 24x + C]

[eqn: f(1) = 16 + C = 0]에서 [eqn: C = -16]

[eqn: f(x) = x^{3} - 9x^{2} + 24x - 16 = (x-1)(x-4)^{2}]

이때 [eqn: f(4)=0]이 되어 [eqn: f(x)=0]의 근이 [eqn: 1], [eqn: 4]가 되므로 [eqn: g'(x)=0]의 세 실근이 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4]가 된다.

하지만 [eqn: g(1) = left { ln ( left | f(1) right | + 1 ) right } ^{2} = 0]이 되어 [eqn: g(p)>0] 조건에 모순이다.

② [eqn: f'(x)=0]의 근이 [eqn: 1], [eqn: 2]이고 [eqn: f(x)=0]의 근이 [eqn: 4]인 경우

[eqn: f'(x) = 3(x-1)(x-2) = 3x^{2} - 9x + 6]

[eqn: f(x) = x^{3} - {9} over {2} x^{2} + 6x + C]

[eqn: f(4) = 64 - 72 + 24 + C = 0]에서 [eqn: C = -16]

[eqn: f(x) = x^{3} - {9} over {2} x^{2} + 6x - 16]

[eqn: f(1) = - {27} over {2}], [eqn: f(2) = -14]이므로 [eqn: left | f(1) right | = 13.5], [eqn: left | f(2) right | = 14]

[eqn: x=1]에서 [eqn: left | f(x) right |]는 극소, [eqn: x=2]에서 [eqn: left | f(x) right |]는 극대이므로 조건 (가)를 만족한다.

[eqn: g(1) = left { ln ( left | f(1) right | + 1 ) right } ^{2} = ( ln 14.5 )^{2} > 0]이므로 [eqn: g(p)>0] 조건도 만족한다.

따라서 [eqn: f(x) = x^{3} - {9} over {2} x^{2} + 6x - 16]이고 [eqn: p=1]이다.

[eqn: f(p+5) = f(6) = 216 - 162 + 36 - 16 = 74]

따라서 정답은 [eqn: 74]이다.

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {20} - {y^{2}} over {5} = 1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 6,`2 RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: x]절편은?

②

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {20} - {y^{2}} over {5} = 1] 위의 점 [eqn: (6, 2)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {6x} over {20} - {2y} over {5} = 1]

즉, [eqn: {3x} over {10} - {2y} over {5} = 1]

이 직선의 [eqn: x]절편을 구하기 위해 [eqn: y = 0]을 대입하면

[eqn: {3x} over {10} = 1] ∴ [eqn: x = {10} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

좌표평면 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 위치벡터를 각각 [eqn: vec {a}], [eqn: vec {b}]라 하고, 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmP]와 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:4]로 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 위치벡터를 각각 [eqn: vec {p}], [eqn: vec {q}]라  하자.[eqn: vec {p} + vec {q} = m vec {a} + n vec {b}]를 만족시키는 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m-n]의 값은? (단, 두 벡터 [eqn: vec {a}], [eqn: vec {b}]는 서로 평행하지 않고, 영벡터가 아니다.)

④

점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로

[eqn: vec {p} = {1 times vec {a} + 2 times vec {b}} over {2+1} = {1} over {3} vec {a} + {2} over {3} vec {b}]

점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:4]로 외분하는 점이므로

[eqn: vec {q} = {1 times vec {b} - 4 times vec {a}} over {1-4} = {4} over {3} vec {a} - {1} over {3} vec {b}]

[eqn: vec {p} + vec {q} = left ( {1} over {3} vec {a} + {2} over {3} vec {b} right ) + left ( {4} over {3} vec {a} - {1} over {3} vec {b} right ) = {5} over {3} vec {a} + {1} over {3} vec {b}]

[eqn: vec {p} + vec {q} = m vec {a} + n vec {b}]이고 두 벡터 [eqn: vec {a}], [eqn: vec {b}]는 서로 평행하지 않고 영벡터가 아니므로 [eqn: m = {5} over {3}], [eqn: n = {1} over {3}]

∴ [eqn: m - n = {5} over {3} - {1} over {3} = {4} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

그림과 같이 [eqn: rmoverline{AB}=4], [eqn: rmoverline{AD}=3], [eqn: rmoverline{AE}=2]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 선분 [eqn: rmGH]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmFM]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI]라 할 때, 선분 [eqn: rmAI]의 길이는?

③

점 [eqn: rmE]를 원점 [eqn: (0,0,0)]으로 하고, 세 모서리 [eqn: rmEF], [eqn: rmEH], [eqn: rmEA]를 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축으로 하는 공간좌표계를 설정하면

[eqn: rmE(0,0,0)], [eqn: rmA(0,0,2)], [eqn: rmF(4,0,0)], [eqn: rmH(0,3,0)], [eqn: rmG(4,3,0)]이다.

점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmGH]의 중점이므로 [eqn: rmM(2,3,0)]이다.

점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: rmEFGH]에 내린 수선의 발은 [eqn: rmE]이고, 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: rmFM]에 내린 수선의 발이 [eqn: rmI]이므로 삼수선의 정리에 의해 선분 [eqn: rmEI]와 직선 [eqn: rmFM]은 수직이다.

즉, 점 [eqn: rmE]에서 직선 [eqn: rmFM]에 내린 수선의 발은 [eqn: rmI]와 일치한다.

[eqn: xy]평면에서 두 점 [eqn: rmF(4,0)], [eqn: rmM(2,3)]을 지나는 직선 [eqn: rmFM]의 방정식은 [eqn: y = {3-0} over {2-4} (x - 4)]에서 [eqn: 3x + 2y - 12 = 0]

선분 [eqn: rmEI]의 길이는 원점 [eqn: rmE(0,0)]에서 직선 [eqn: 3x + 2y - 12 = 0]까지의 거리와 같으므로

[eqn: rmbarEI`= {LEFT | -12 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +2 ^{2}}} = {12} over {sqrt {13}}]

직각삼각형 [eqn: rmAEI]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{AI}} `= sqrt {rmbarAE` ^{2} +rmbarEI` ^{2}} = sqrt {2 ^{2} + LEFT ( {12} over {sqrt {13}} RIGHT ) ^{2}} = {14 sqrt {13}} over {13}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {12 sqrt{13}} over {13}]	② [eqn: sqrt{13}]	③ [eqn: {14 sqrt{13}} over {13}]

④ [eqn: {15 sqrt{13}} over {13}]	⑤ [eqn: {16 sqrt{13}} over {13}]

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 6]인 정사각뿔 [eqn: rmA-BCDE]에서 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAD]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmG]라 하고, 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmH]라 하자. 두 평면 [eqn: rmFHG]와 [eqn: rmBCDE]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은?

⑤

밑면 [eqn: rmBCDE]의 대각선의 교점을 원점 [eqn: rmO(0, 0, 0)]이라 하고, 네 꼭짓점의 좌표를 [eqn: rmB(3, 3, 0)], [eqn: rmC(-3, 3, 0)], [eqn: rmD(-3, -3, 0)], [eqn: rmE(3, -3, 0)]이라 하면

꼭짓점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (0, 0, h)] ([eqn: h > 0])라 할 때 모서리 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 6]이므로

[eqn: sqrt{3^{2} + 3^{2} + h^{2}} = 6]에서 [eqn: h = 3 sqrt{2}]

∴ [eqn: rmA(0, 0, 3 sqrt{2})]

점 [eqn: rmF]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점이므로

[eqn: rmF left ( {1 times 3 + 2 times 0} over {3}, {1 times 3 + 2 times 0} over {3}, {1 times 0 + 2 times 3 sqrt{2}} over {3} right )]

∴ [eqn: rmF(1, 1, 2 sqrt{2})]

점 [eqn: rmG]는 선분 [eqn: rmrmAD]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점이므로

[eqn: rmG left ( {1 times (-3) + 2 times 0} over {3}, {1 times (-3) + 2 times 0} over {3}, {1 times 0 + 2 times 3 sqrt{2}} over {3} right )]

∴ [eqn: rmG(-1, -1, 2 sqrt{2})]

점 [eqn: rmH]는 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로

[eqn: rmH left ( {2 times (-3) + 1 times 0} over {3}, {2 times 3 + 1 times 0} over {3}, {2 times 0 + 1 times 3 sqrt{2}} over {3} right )]

∴ [eqn: rmH(-2, 2, sqrt{2})]

평면 [eqn: rmFHG]에 포함된 두 벡터 [eqn: rmvec{FG}], [eqn: rmvec{FH}]의 성분은

[eqn: rmvec{FG} = (-2, -2, 0)], [eqn: rmvec{FH} = (-3, 1, - sqrt{2})]

평면 [eqn: rmFHG]의 법선벡터를 [eqn: vec{n} = (a, b, c)]라 하면 [eqn: {vec{n}} CDOT {vec{rmFG}} =0], [eqn: {vec{n}} CDOT rm {vec{FH}} =0]이므로

[eqn: -2a - 2b = 0] ……①

[eqn: -3a + b - sqrt{2} c = 0] ……②

①에서 [eqn: b = -a]이고, 이를 ②에 대입하면 [eqn: c = - 2 sqrt{2} a]

[eqn: a = -1]이라 하면 [eqn: vec{n} = (-1, 1, 2 sqrt{2})]

평면 [eqn: rmBCDE]는 [eqn: xy]평면이므로 법선벡터를 [eqn: vec{k} = (0, 0, 1)]이라 하면

두 평면 [eqn: rmFHG]와 [eqn: rmBCDE]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]이므로

[eqn: cos theta = {left | vec{n} cdot vec{k} right |} over {left | vec{n} right | left | vec{k} right |} = {2 sqrt{2}} over {sqrt{(-1)^{2} + 1^{2} + (2 sqrt{2})^{2}} times 1} = {2 sqrt{2}} over {sqrt{10}} = {2 sqrt{5}} over {5}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {2 sqrt{2}} over {5}]	③ [eqn: {2 sqrt{3}} over {5}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {2 sqrt{5}} over {5}]

두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] ([eqn: c>0])을 초점으로 하는 타원 [eqn: {x^{2}} over {36} + {y^{2}} over {20} = 1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmF'P]가 타원과 만나는 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmoverline{PF}=7]일 때, 선분 [eqn: rmF'Q]의 길이는?

③

타원의 방정식 [eqn: {x^{2}} over {36} + {y^{2}} over {20} = 1]에서 장축의 길이는 [eqn: 2 times 6 = 12]이고

[eqn: c^{2} = 36 - 20 = 16]에서 [eqn: c = 4]이므로 두 초점 사이의 거리는 [eqn: rmoverline{FF'} = 8]이다.

타원의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{PF} + overline{PF'} = 12]이고 [eqn: rmoverline{PF} = 7]이므로 [eqn: rmoverline{PF'} = 5]이다.

삼각형 [eqn: rmPFF']에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: rm {bar{PF ^{2}}} = {bar{PF prime ^{2}}} + {bar{FF prime ^{2}}} -2 TIMES {bar{PF prime }} TIMES {bar{FF prime }} TIMES cos( ANGLE rmPF prime F)]

[eqn: 7 ^{2} =5 ^{2} +8 ^{2} -2 TIMES 5 TIMES 8 TIMES cos( ANGLE rmPF prime F)]에서 [eqn: cos( ANGLE rmPF prime F)= {1} over {2}]

점 [eqn: rmP], [eqn: rmF'], [eqn: rmQ]가 한 직선 위에 있고 점 [eqn: rmF']가 선분 [eqn: rmPQ] 위에 있으므로

[eqn: rmangle QF'F = 180^{circ} - angle PF'F]

[eqn: cos( ANGLE rmQF prime F)=cos(180 ^{CIRC } - ANGLE rmPF prime F)=-cos( ANGLE rmPF prime F)=- {1} over {2}]

점 [eqn: rmQ]도 타원 위의 점이므로 타원의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{QF} + overline{F'Q} = 12]

[eqn: {bar{rmF prime Q}} =itk]라 하면 [eqn: rm {bar{QF}} =1it2-k]

삼각형 [eqn: rmQF'F]에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: rm {bar{QF ^{2}}} = {bar{F prime Q ^{2}}} + {bar{FF prime ^{2}}} -2 TIMES {bar{F prime Q}} TIMES {bar{FF prime }} TIMES cos( ANGLE rmQF prime F)]

[eqn: (12 - k)^{2} = k^{2} + 8^{2} - 2 times k times 8 times left ( - {1} over {2} right )]

[eqn: 144 - 24k + k^{2} = k^{2} + 64 + 8k]에서 [eqn: 32k = 80]

∴ [eqn: k = {5} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {9} over {4}]	② [eqn: {19} over {8}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {21} over {8}]	⑤ [eqn: {11} over {4}]

좌표공간에 세 점 [eqn: rmA LEFT ( 6,`0,`0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 0,`3,`0 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( 0,`0,`3 RIGHT )]이 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]를 중심으로 하고 [eqn: z]축에 접하는 구를 [eqn: S] 라 하자. 구 [eqn: S] 와 선분 [eqn: rmAC]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는?

②

삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표는

[eqn: rmrmG left ( {6+0+0} over {3}, {0+3+0} over {3}, {0+0+3} over {3} right )]에서 [eqn: rmG(2, 1, 1)]

구 [eqn: S] 가 [eqn: z]축에 접하므로 구 [eqn: S] 의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 중심 [eqn: rmG(2, 1, 1)]에서 [eqn: z]축에 내린 수선의 발이 [eqn: (0, 0, 1)]이므로

[eqn: r = sqrt{2^{2}+1^{2}} = sqrt{5}]

두 점 [eqn: rmA(6, 0, 0)], [eqn: rmC(0, 0, 3)]을 지나는 직선 [eqn: rmAC]의 방향벡터를 [eqn: vec{u}]라 하면

[eqn: {vec{u}} = {1} over {3} {vec{rmCA}} = {1} over {3} (-6,0,3)=(-2,0,1)]

직선 [eqn: rmAC] 위의 임의의 점을 [eqn: rmM]이라 하면 매개변수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: rmM(it6-2t,0,t)]

점 [eqn: rmG]에서 직선 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: {vec{rmGM}} ` BOT p {vec{u}}]이므로

[eqn: rm {vec{GM}} =(it4-2t,-1,t-1)]에서

[eqn: rm {vec{GM}} CDOT it {vec{u}} =-2(4-2t)+0+1(t-1)=0]

[eqn: 5t - 9 = 0] ∴ [eqn: t = {9} over {5}]

[eqn: t = {9} over {5}]를 대입하면 [eqn: rmM left ( {12} over {5}, 0, {9} over {5} right )]이므로

[eqn: rmoverline{GM}^{2} = left ( {12} over {5} - 2 right )^{2} + (-1)^{2} + left ( {9} over {5} - 1 right )^{2} = {4} over {25} + 1 + {16} over {25} = {9} over {5}]

구 [eqn: S] 와 직선 [eqn: rmAC]가 만나는 두 점이 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]이고 점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmPQ]의 중점이므로 직각삼각형 [eqn: rmGPM]에서

[eqn: rm {bar{PM ^{2}}} =itr ^{2} - {bar{rmGM ^{2}}} =5- {9} over {5} = {16} over {5}]

[eqn: rmoverline{PM} = {4} over {sqrt{5}} = {4 sqrt{5}} over {5}]

∴ [eqn: rmoverline{PQ} = 2 overline{PM} = {8 sqrt{5}} over {5}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {6 sqrt{5}} over {5}]	② [eqn: {8 sqrt{5}} over {5}]	③ [eqn: 2 sqrt{5}]

④ [eqn: {12 sqrt{5}} over {5}]	⑤ [eqn: {14 sqrt{5}} over {5}]

한 초점이 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]인 쌍곡선 [eqn: C`:` {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1][eqn: LEFT ( a>2 RIGHT )]가 있다. 꼭짓점이 [eqn: LEFT ( 2,`0 RIGHT )]이고 점 [eqn: rmF]를 초점으로 하는 포물선이 쌍곡선 [eqn: C] 와 만나는 점 중 제[eqn: 1]사분면 위의 점을 [eqn: rmP]라 하자. 선분 [eqn: rmPF]가 [eqn: x]축에 수직이고 [eqn: rmoverline{PF} = 12]일 때, [eqn: left | a^{2} - b^{2} right |]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수이다.)

포물선의 꼭짓점이 [eqn: (2, 0)]이고 초점이 [eqn: rmF(itc,0)]이므로 초점까지의 거리는 [eqn: c - 2]이다.

따라서 포물선의 방정식은 [eqn: y^{2} = 4(c - 2)(x - 2)]이다.

선분 [eqn: rmPF]가 [eqn: x]축에 수직이고 [eqn: rmoverline{PF} = 12]이므로 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (c, 12)]이다.

점 [eqn: rm P(itc,12)]가 포물선 위의 점이므로

[eqn: 144 = 4(c - 2)(c - 2)]에서 [eqn: (c - 2)^{2} = 36]

[eqn: c > 2]이므로 [eqn: c = 8]이고 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (8, 12)]이다.

쌍곡선 [eqn: C] 의 초점이 [eqn: rmF(8, 0)]이므로 [eqn: a^{2} + b^{2} = 64] ……①

점 [eqn: rmP(8, 12)]가 쌍곡선 [eqn: C] 위의 점이므로 [eqn: {64} over {a^{2}} - {144} over {b^{2}} = 1] ……②

①에서 [eqn: b^{2} = 64 - a^{2}]을 ②에 대입하면 [eqn: {64} over {a^{2}} - {144} over {64 - a^{2}} = 1]

[eqn: 64(64 - a^{2}) - 144a^{2} = a^{2}(64 - a^{2})]

[eqn: a^{4} - 272a^{2} + 4096 = 0]

[eqn: (a^{2} - 16)(a^{2} - 256) = 0]

[eqn: a > 2]이고 [eqn: b^{2} = 64 - a^{2} > 0]에서 [eqn: 4 < a^{2} < 64]이므로 [eqn: a^{2} = 16]

①에 의해 [eqn: b^{2} = 48]

따라서 [eqn: left | a^{2} - b^{2} right | = left | 16 - 48 right | = 32]

따라서 정답은 [eqn: 32]이다.

좌표평면에 [eqn: rmoverline { AB } = overline { AC } = 4]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 다음 조건을 만족시키는 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmvec { AP } cdot vec { BQ }]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: left | M times m right | = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: rmrm4 vec { CP } + vec { CB } = vec { AB } + vec { AC }]

(나) [eqn: rmvec { CP } cdot vec { BC } = 1]

(다) [eqn: rmvec { PQ } cdot vec { BQ } = 0]

[eqn: 139]

조건 (가)의 모든 벡터의 시점을 [eqn: rmA]로 변환하면

[eqn: rm4( vec{AP} - vec{AC} ) + ( vec{AB} - vec{AC} ) = vec{AB} + vec{AC}]

[eqn: rm4 vec{AP} - 5 vec{AC} + vec{AB} = vec{AB} + vec{AC}]

[eqn: rm4 vec{AP} = 6 vec{AC}]

[eqn: rm∴ vec{AP} = {3} over {2} vec{AC}]

이때 [eqn: rmvec{CP} = vec{AP} - vec{AC} = {1} over {2} vec{AC}]이다.

조건 (나)의 벡터 시점을 [eqn: A]로 변환하면

[eqn: rmvec{CP} cdot vec{BC} = {1} over {2} vec{AC} cdot ( vec{AC} - vec{AB} ) = 1]

[eqn: rmleft | vec{AC} right | = 4]이므로 [eqn: rm{1} over {2} left | vec{AC} right |^{2} - {1} over {2} vec{AC} cdot vec{AB} = 8 - {1} over {2} vec{AB} cdot vec{AC} = 1]

[eqn: rm∴ vec{AB} cdot vec{AC} = 14]

조건 (다)에서 [eqn: rmvec{PQ} cdot vec{BQ} = 0]이므로 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmPB]를 지름으로 하는 원 위의 점이다.

이 원의 중심을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmPB]의 중점이다.

[eqn: rmvec{PB} = vec{AB} - vec{AP} = vec{AB} - {3} over {2} vec{AC}]의 양변을 제곱하면

[eqn: rmleft | vec{PB} right |^{2} = left | vec{AB} right |^{2} - 3 vec{AB} cdot vec{AC} + {9} over {4} left | vec{AC} right |^{2}]

[eqn: rmleft | vec{AB} right | = 4], [eqn: rmleft | vec{AC} right | = 4], [eqn: rmvec{AB} cdot vec{AC} = 14]를 대입하면

[eqn: rmleft | vec{PB} right |^{2} = 16 - 42 + 36 = 10]

따라서 원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 [eqn: R = {sqrt{10}} over {2}]이다.

구하고자 하는 [eqn: rmvec{AP} cdot vec{BQ}]를 원의 중심 [eqn: rmM]을 이용하여 분해하면

[eqn: rmvec{AP} cdot vec{BQ} = vec{AP} cdot ( vec{MQ} - vec{MB} ) = vec{AP} cdot vec{MQ} - vec{AP} cdot vec{MB}]

여기서 [eqn: rmrmvec{MB} = {1} over {2} vec{PB} = {1} over {2} left ( vec{AB} - {3} over {2} vec{AC} right )]이므로

[eqn: rmvec{AP} cdot vec{MB} = {3} over {2} vec{AC} cdot {1} over {2} left ( vec{AB} - {3} over {2} vec{AC} right ) = {3} over {4} left ( vec{AC} cdot vec{AB} - {3} over {2} left | vec{AC} right |^{2} right )]

[eqn: = {3} over {4} left ( 14 - {3} over {2} times 16 right ) = - {15} over {2}]

[eqn: rmleft | vec{AP} right | = {3} over {2} left | vec{AC} right | = 6]이므로 [eqn: rmvec{AP} cdot vec{MQ}]의 최댓값과 최솟값은 각각 [eqn: 6R], [eqn: -6R]이다.

[eqn: 6R = 6 times {sqrt{10}} over {2} = 3 sqrt{10}]이므로

[eqn: M = 3 sqrt{10} - left ( - {15} over {2} right ) = 3 sqrt{10} + {15} over {2}]

[eqn: m = -3 sqrt{10} - left ( - {15} over {2} right ) = -3 sqrt{10} + {15} over {2}]

[eqn: left | M times m right | = left | left ( {15} over {2} + 3 sqrt{10} right ) left ( {15} over {2} - 3 sqrt{10} right ) right | = left | {225} over {4} - 90 right | = {135} over {4}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=135]이므로 [eqn: p+q = 139]이다.

따라서 정답은 [eqn: 139]이다.