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16

2024학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

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제 2 교시

5지선다형

[eqn: log` _{2} {8} over {9} + {1} over {2} `log` _{sqrt {2}} 18]의 값은? [2점]

④

[eqn: log` _{2} ` {8} over {9} `+ {1} over {2} `log` _{sqrt {2}} `18`][eqn: = log`_2`8 over 9`+log`_2 `18`]
[eqn: = log`_2`left( 8 over 9 times18 right)`]
[eqn: = log`_2`2^4`][eqn: =4`]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {f LEFT (x RIGHT )} over {x} =2]일 때, [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {3x+1} over {f LEFT (x RIGHT )+x}]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: lim_{x`->`inf} f(x) over x =2`]이므로

[eqn: lim_{x`->inf`} {3x+1} over {f(x) +x}`][eqn: = lim_{x`->`inf} {3 + 1 over x} over {{ f(x) over x} +1 }`][eqn: = 3 over {2+1} =1`]

[2점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: rm 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.

⑤

등비수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`][eqn: (r>0)`]라 하면

[eqn: S`_6 =21 S`_2`]에서

[eqn: {a left(r^6 -1 right)} over {r-1} =21 times a(1+r)`] (단, [eqn: r ne1`])

[eqn: left(r^2 -1 right)left(r^4 +r^2 +1 right)=21 left(r^2 -1 right)`]

[eqn: r^4 +r^2 +1 =21`], [eqn: left(r^2 -4 right) left(r^2 +5 right)=0`]

[eqn: r^2 =4`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: r=2`]

[eqn: a_6 -a_2 =15`]에서 [eqn: ar^5 -ar =15`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: a= 1 over 2`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: a_3 = 1 over 2 times 2^2 =2`]

[eqn: S _{6} =21S _{2}], [eqn: a _{6} -a _{2} =15]

일 때, [eqn: a_{3}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: { sqrt{2}} over {2}]	③ [eqn: rm 1]

④ [eqn: sqrt{2}]	⑤ [eqn: rm 2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax+b`]에 대하여 [eqn: lim _{h ``->`` 0} {} {f LEFT (1+h RIGHT )} over {h} =5]일 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

③

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax+b`]에 대하여

[eqn: f`prime(x)=3x^2 +a`]

또한 [eqn: lim_{h`->`0} {f(1+h)} over h =5`]에서 [eqn: h`->`0`]일 때 (분모)[eqn: ->`0`]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ->`0`]이다.

즉, [eqn: lim_{h`->`0} f(1+h) =0`]이므로 [eqn: f(1)=0`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: lim_{h`->`0} {f(1+h)} over h `][eqn: = lim_{h`->`0} {f(1+h) -f(1)} over {h}`][eqn: = f`prime(1) =5`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 1+a+b=0`], [eqn: 3+a=5`]

이 두 식을 연립하면 [eqn: a=2`], [eqn: b=it-3]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: ab=it-6`]

① [eqn: rm -10]	② [eqn: rm -8]	③ [eqn: rm -6]

④ [eqn: rm -4]	⑤ [eqn: rm -2]

[eqn: sin` theta <0]이고 [eqn: sin` LEFT ( theta - {pi } over {2} RIGHT ) = it - {2} over {5}]일 때, [eqn: tan` theta `]의 값은? [3점]

①

[eqn: sin`theta <0`]이고 [eqn: sin` LEFT ( theta - {pi } over {2} RIGHT ) =it- {2} over {5} `]이므로

[eqn: sin`left( pi over 2 - theta right) = 2 over 5`], [eqn: cos`theta = 2 over 5`]

[eqn: sin` theta = it - sqrt {1-cos ^{2} ` theta }][eqn: = it - {sqrt {21}} over {5} `]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: tan` theta = {sin` theta } over {cos` theta } = it - {sqrt {21}} over {2}]

① [eqn: -{ sqrt{21}} over {2}]	② [eqn: -{ sqrt{21}} over {5}]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: { sqrt{21}} over {5}]	⑤ [eqn: { sqrt{21}} over {2}]

모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 다항함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의
점 [eqn: (t,````f(t))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -6t ^{2} +2t`]이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (1,````1)]을 지날 때, [eqn: f(-1)]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: f` prime (t)=it-6t ^{2} +2t`]이므로

[eqn: f(t)`][eqn: = int left( -6t^2 +2t right) dt`]
[eqn: =it-2t ^{3} +t ^{2} +C`] ([eqn: C``]는 적분상수)

곡선 [eqn: y=f(x)`]가 점 [eqn: (1,````1)`]을 지나므로 [eqn: f(1)=1`]

[eqn: 1=it-2+1+C`],    [eqn: C`=2`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: f(x)=it-2x ^{3} +x ^{2} +2`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: f(-1)=5`]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

다음 조건을 만족시키는 모든 유리수 [eqn: r`]의 값의 합은? [3점]

④

[eqn: 1`]과 [eqn: 9`] 사이에 있는 유리수 [eqn: r`]를 기약분수로 나타낼 때, 분자는 홀수이고 [eqn: 7`]을 분모로 하는 모든 유리수 [eqn: r`]의 값의 합은

[eqn: left( 9 over 7 + 11 over 7 + 13 over 7 + `cdots`+ 59 over 7 + 61 over 7 right) - left(21 over 7 + 35 over 7 + 49 over 7 right)`]

[eqn: = 1 over 7 times {27 left(9+61 right)} over 2 -left(3+5+7 right)`][eqn: =120`]

(가) [eqn: 1<r<9]

(나) [eqn: r`]를 기약분수로 나타낼 때, 분모는 [eqn: rm 7]이고 분자는 홀수이다.

① [eqn: rm 102]	② [eqn: rm 108]	③ [eqn: rm 114]

④ [eqn: rm 120]	⑤ [eqn: rm 126]

두 함수

③

두 함수 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]의 그래프의 교점의 [eqn: x`]좌표는

(ⅰ) [eqn: x<1`]일 때
[eqn: -5x-4=it-x ^{2} -2x`]에서 [eqn: x^2 -3x -4=0`]
[eqn: (x+1)(x-4)=0`]
[eqn: THEREFORE ~][eqn: x= it -1`]

(ⅱ) [eqn: x ge 1`]일 때
[eqn: x ^{2} -2x-8=it-x ^{2} -2x`]에서 [eqn: 2x^2 -8=0`]
[eqn: (x+2)(x-2)=0`]
[eqn: THEREFORE ~][eqn: x=2`]

(ⅰ), (ⅱ)에서 두 곡선 [eqn: y=f(x)`], [eqn: y=g(x)`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S```]라 하면

[eqn: S`][eqn: = int_{-1}^{1} left{-x^2 -2x -(-5x-4) right} dx `]
[eqn: + int_{1}^{2} left{-x^2 -2x -left(x^2 -2x -8 right) right } dx`]
[eqn: = int_{-1}^{1} left(-x^2 +3x +4 right) dx + int_{1}^{2}left(-2x^2 +8 right) dx`]
[eqn: =2 left[ `- 1 over 3 x^3 +4x` right]_{0}^{1} +left[`- 2 over 3 x^3 +8x` right]_{1}^{2}`]
[eqn: = 32 over 3 `]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{-5x-4&& LEFT (x<1 RIGHT )#x ^{2} -2x-8&& LEFT (x GEQ 1 RIGHT )}}] ,  [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = it -x ^{2} -2x]

에 대하여 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[3점]

① [eqn: {34} over {3}]	② [eqn: rm 11]	③ [eqn: {32} over {3}]

④ [eqn: {31} over {3}]	⑤ [eqn: rm 10]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 2]인 정육각형 [eqn: {rm{ABCDEF}} it]에 대하여 점 [eqn: {rm{G}} it]를 [eqn: overline{{rm{AG}} it }= sqrt{5}], [eqn: ANGLE rm BAG it = {pi } over {2}]가 되도록 잡고, 점 [eqn: {rm{H}} it]를 삼각형 [eqn: {rm{BGH}} it]가 정삼각형이 되도록 잡는다. 선분 [eqn: {rm{CH}} it]의 길이는? (단, 점 [eqn: {rm{G}} it]는 정육각형의 외부에 있고, 두 선분 [eqn: {rm{AF}} it], [eqn: {rm{BH}} it]는 만나지 않는다.) [4점]

②

[eqn: {rm bar AG}`=sqrt5`], [eqn: {rm bar AB}`=2`]이므로 직각삼각형 [eqn: rm GBA`]에서 [eqn: {rm bar BG}`=3`]이고

삼각형 [eqn: rm BGH`]는 정삼각형이므로 [eqn: {rm bar BH}`=3`]

[eqn: angle rm GBA it `=theta`]라 하면

[eqn: cos`theta = 2 over 3`], [eqn: angle rm CBH=2pi-left( pi over 3 times3 + theta right)=pi - theta`]

삼각형 [eqn: rm CBH`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {rm bar CH}^2 `][eqn: = {rm bar BC}^2 +{rm bar BH}^2 -2 times {rm bar BC}` times {rm bar BH}` times cos left(angle rm CBH right)`]
[eqn: = rm {bar{BC}} ^{2} + rm {bar{BH}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{BC}} ` TIMES rm {bar{BH}} ` TIMES cos LEFT ( pi - theta RIGHT ) `]
[eqn: = 2^2 +3^2 + 2times 2 times 3 times 2 over 3`]
[eqn: = 21`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: rm {bar{CH}} = sqrt {21}]

① [eqn: 2 sqrt{5}]	② [eqn: sqrt{21}]	③ [eqn: sqrt{22}]

④ [eqn: sqrt{23}]	⑤ [eqn: 2 sqrt{6}]

함수

①

[eqn: f(x)= int _{a} ^{x} {} LEFT ( 3t ^{2} +bt-5 RIGHT ) dt`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`prime(x) =3x^2 +bx -5`]

함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=it-1`]에서 극값 [eqn: 0`]을 가지므로

[eqn: f(-1)=0`], [eqn: f`prime(-1)=0`]

[eqn: f`prime(-1)=0`]에서 [eqn: 3-b-5=0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: b=it-2`]

이때

[eqn: f(-1)`][eqn: = int_{a}^{-1} left(3t^2 -2t -5 right) dt`]
[eqn: = left[pile{`#`}t^3 - t^2 -5t`right]_{a}^{-1}`]
[eqn: =it-a ^{3} +a ^{2} +5a+3`]
[eqn: =0`]

에서

[eqn: a^3 -a^2 -5a -3=0`], [eqn: left(a+1 right)^2 left(a-3 right)=0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: a=3`] ([eqn: BECAUSE ~][eqn: a>0`])

따라서 [eqn: a=3`], [eqn: b= it -2]이므로

[eqn: a+b=1`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{a} ^{x} {} LEFT ( 3t ^{2} +bt-5 RIGHT ) dt ~ LEFT ( a>0 RIGHT )]

이 [eqn: x= it -1]에서 극값 [eqn: rm 0]을 가질 때, [eqn: a+b`]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {5} over {3}]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it-2 ^{LEFT | x-a RIGHT |} +a]의 그래프가 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]에서 만나고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=6]이다. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=p`]에서 최댓값 [eqn: q`]를 가질 때, [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점]

②

함수 [eqn: f(x)=`-2 ^{LEFT | `x-a` RIGHT |} +a``]의 그래프는 함수 [eqn: y=it-2 ^{LEFT | `x` RIGHT |} `]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: a``]만큼, [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: a``]만큼 평행이동시킨 것이며 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]에서 만나므로 [eqn: a>0`]이다. 그림에서와 같이 함수 [eqn: y=`it-2 ^{LEFT | `x` RIGHT |}] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( 0,````-1 RIGHT ) `]은 함수 [eqn: f(x)`] 위의 점 [eqn: rm P` prime it LEFT ( a,````-1+a RIGHT ) `]으로 이동하며 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=a``]일 때 최댓값 [eqn: -1+a``]를 갖는다.

이때 [eqn: {rm bar AB}`=6`]이므로 [eqn: rm A it left(a-3,``0 right)`], [eqn: rm B it left(a+3,``0 right)`]

[eqn: f(a+3)=0`]이므로

[eqn: 0=`-2^{3} +a`][eqn: therefore][eqn: a=8`]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=8`]에서 최댓값 [eqn: 7`]을 가지므로

[eqn: p=8`], [eqn: q=7`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: p+q=15`]

① [eqn: rm 14]	② [eqn: rm 15]	③ [eqn: rm 16]

④ [eqn: rm 17]	⑤ [eqn: rm 18]

최고차항의 계수가 [eqn: rm -1]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 상수 [eqn: a]에 대하여 함수

④

최고차항의 계수가 [eqn: -1`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]와 상수 [eqn: a`]에 대하여 조건 (가)에서 [eqn: g` prime (0)=it-4`]이므로

[eqn: f` prime (0)=it-4`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

또 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 연속이므로

[eqn: lim_{x`->`0-} g(x) = lim_{x`->`0+} g(x)`], [eqn: f(0)=a-f(0)`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: f(0)= 1 over 2 a`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: f(x)=it-x ^{2} -4x+ {1} over {2} a`]로 놓으면

[eqn: g(x)`][eqn: = cases{ ` f(x) & ~(x`<0) # `a-f(-x) & ~(x ge0)}`]

[eqn: = cases{ `-x^2 -4x + 1 over 2 a & ~(x`<0) # ~~x^2 -4x + 1 over 2 a & ~(x ge 0) }`]

조건 (나)에서 함수 [eqn: g(x)`]의 극솟값은 [eqn: 0`]이므로

[eqn: g(2)=0`], [eqn: 4-8+ 1 over 2 a =0`][eqn: therefore][eqn: a=8`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: g(-8)][eqn: =it-(-8) ^{2} -4(-8)+ {1} over {2} TIMES 8][eqn: =it-28`]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= {cases{f LEFT (x RIGHT )&& LEFT (x<0 RIGHT )#a-f LEFT (-x RIGHT )&& LEFT (x GEQ 0 RIGHT )}}]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x`` -> ``0} {} {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x} = it -4]

(나) 함수 [eqn: g(x)]의 극솟값은 [eqn: rm 0]이다.

[eqn: g(-a)]의 값은? [4점]

① [eqn: rm -40]	② [eqn: rm -36]	③ [eqn: rm -32]

④ [eqn: rm -28]	⑤ [eqn: rm -24]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 [eqn: a _{1} =it-3], [eqn: a _{20} =1]이고, [eqn: rm 3] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

⑤

[eqn: 3`] 이상의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum_{k`=`1}^{n} a_k = a_n-1 `]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

이므로 [eqn: n=3`]을 대입하면

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 =a_2`], [eqn: a_1 +a_3 =0`]

이때 [eqn: a _{1} =it-3`]이므로 [eqn: a_3 =3`]

또한 ㉠에서

[eqn: sum_{k`=`1}^{n+1} a_k =a_n`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면

[eqn: a_n+1 =a_n -a_n-1`][eqn: (n ge 3)`]

[eqn: a _{2} =k`]로 놓고 [eqn: n`]에 [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: cdots`]를 차례대로 대입하면

[eqn: a_4 = a_3 -a_2 =3-k`]

[eqn: a _{5} =a _{4} -a _{3} =3-k-3=it-k`]

[eqn: a _{6} =a _{5} -a _{4} =it-k-(3-k)=it-3`]

[eqn: a _{7} =a _{6} -a _{5} =it-3+k`]

[eqn: a _{8} =a _{7} -a _{6} =it-3+k+3=k`]

[eqn: a_9 = a_8 -a_7 = k+3-k=3`]

[eqn: vdots`]

따라서 [eqn: a_n = a_n+6`][eqn: (n ge2)`]

[eqn: a_20 =1`]이므로

[eqn: 1=it-3+ LEFT { k+3+(3-k)-k-3+(-3+k) RIGHT } TIMES 3+k`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: k=1`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: sum_{n`=`1}^{50} a_n `][eqn: = a_1 + left(a_2 +a_3 +a_4 +a_5 +a_6 + a_7 right)times8 + a_2`]
[eqn: =it-3+k`]
[eqn: =it-3+1=`-2`]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =a _{n-1}]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{n=1} ^{50} a _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: rm 1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm -1]	⑤ [eqn: rm -2]

실수 [eqn: k`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

①

함수 [eqn: f(x)=x^3 -kx `]([eqn: k``]는 실수)에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]의 그래프는 실수 [eqn: a`]의 값에 따라 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프 중 일부를 구간 [eqn: LEFT [ `a,````a+1` RIGHT ] `]에서만 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동시킨 것이다.

ㄱ. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)=x^3 -kx `]에 대하여 [eqn: f(0)=0`]이므로

(ⅰ) [eqn: a=0`]일 때
[eqn: lim_{x`->`0-} g(x)`][eqn: = lim_{x`->`0-} f(x) =f(0)=0`]
[eqn: lim_{x`->`0+} g(x)`][eqn: = lim _{x` -> `0+} {} LEFT { -f(x) RIGHT } =it-f(0)=0`]
[eqn: g(0)=it-f(0)=0`]
따라서 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 연속이다.

(ⅱ) [eqn: a+1=0`]일 때
[eqn: lim_{x`->`0-} g(x)`][eqn: = lim _{x` -> `0-} {} LEFT { -f(x) RIGHT } =it-f(0)=0`]
[eqn: lim_{x`->`0+} g(x)`][eqn: =lim_{x`->`0+} f(x) = f(0)=0`]
[eqn: g(0)= it -f(0)=0`]

(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 [eqn: g(x)`]는 두 실수 [eqn: k`], [eqn: a`]의 값에 관계없이 [eqn: x=0`]에서 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: k=4`]일 때 [eqn: f(x)=x(x-2)(x+2)`]이므로 함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=p`]에서 불연속인 실수 [eqn: p`]의 개수가 [eqn: 1`]이 되려면 [eqn: a`] 또는 [eqn: a+1`]의 값이 [eqn: -2`] 또는 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 2`]이면 되므로, 가능한 모든 실수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: -2`], [eqn: 0`], [eqn: 2`], [eqn: -3`], [eqn: -1`], [eqn: 1`]의 [eqn: 6`]이다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면

(ⅰ) [eqn: a=it- sqrt {k} `]이고 [eqn: a+1=0`]일 때
[eqn: THEREFORE ~][eqn: a=it-1`], [eqn: k=1`]

(ⅱ) [eqn: a=0`]이고 [eqn: a+1=sqrtk `]일 때
[eqn: THEREFORE ~][eqn: a=0`], [eqn: k=1`]

(ⅲ) [eqn: a=it- sqrt {k} `]이고 [eqn: a+1=sqrtk `]일 때
[eqn: THEREFORE ~][eqn: a=it- {1} over {2} `], [eqn: k= 1 over 4 `]

이상에서 가능한 모든 순서쌍 [eqn: (k,````a)`]의 개수는 [eqn: 3`]이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

[eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{3} -kx]

라 하고, 실수 [eqn: a`]와 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&& LEFT ( x<a ~ 또는 ~ x>a+1 RIGHT )#-f LEFT ( x RIGHT )&& LEFT ( a LEQ x LEQ a+1 RIGHT )}}]

이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. 두 실수 [eqn: k], [eqn: a`]의 값에 관계없이 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다. ㄴ. [eqn: k=4]일 때, 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=p``]에서 불연속인 실수 [eqn: p``]의 개수가 [eqn: rm 1]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: rm 3]이다. ㄷ. 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: (k,````a)]의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

[eqn: rm 0]이 아닌 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

⑤

[eqn: a=log`_4`(-x)`]에서 [eqn: x_1 =`-4^a`]

[eqn: a=2-log`_2 `x`]에서 [eqn: x_2 =2^2-a `]

[eqn: LEFT | {x _{2}} over {x _{1}} RIGHT | = {1} over {2}`]이므로 [eqn: 2^2-3a =2^-1 `],

[eqn: a=1`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: rm A it LEFT ( -4,````1 RIGHT ) `], [eqn: rm B it LEFT ( 2,````1 RIGHT ) `]

[eqn: b=log`_4`(-x)`]에서 [eqn: x_3 =`-4^b`]

[eqn: b=2-log`_2 `x`]에서 [eqn: x_4 =2^2-b`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: rm C it LEFT ( -4 ^{b} ,````b RIGHT ) `], [eqn: rm D it LEFT ( 2 ^{2-b} ,````b RIGHT ) `]

두 직선 [eqn: rm AC`]와 [eqn: rm BD`]가 서로 평행하므로

[eqn: {1-b} over {-4+4^b} `= {1-b} over {2-2^2-b}`]

[eqn: 1-b ne 0`]이므로

[eqn: -4 + 4^b = 2-2^2-b`]

양변에 [eqn: 2^b `]을 곱한 후 정리하면

[eqn: 2^3b -6 times 2^b +4=0`]

[eqn: 2^b =X`][eqn: LEFT ( X>0,````X != 2 RIGHT ) `]로 놓으면

[eqn: X^3 -6X +4 =0`]. [eqn: left(X-2 right) left(X`^2 +2X -2 right)=0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: X`=it-1+ sqrt {3} `]

따라서 [eqn: 2 ^{b} =it-1+ sqrt {3} `]이므로

[eqn: LEFT | {x _{4}} over {x _{3}} RIGHT |][eqn: = left|`{2^2-b} over {-4^b} `right|`][eqn: =2^2-3b`][eqn: =4 left(1 over 2^b right)^3`][eqn: =4 left({sqrt3 +1} over 2 right)^3`]
[eqn: =5+ 3sqrt3 `]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{ log` _{4} LEFT (-x RIGHT )&& LEFT (x<0 RIGHT )#2- log` _{2} x&& LEFT (x>0 RIGHT )}}]

이 있다. 직선 [eqn: y=a`]와 곡선 [eqn: y=f(x)]가 만나는 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x_{1}], [eqn: x _{2} ~ LEFT ( x _{1} <x _{2} RIGHT )]라 하고, 직선 [eqn: y=b`]와 곡선 [eqn: y=f(x)]가 만나는 두 점 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x_{3}], [eqn: x _{4} ~ LEFT ( x _{3} <x _{4} RIGHT )]라 하자.
[eqn: LEFT | {x _{2}} over {x _{1}} RIGHT | = {1} over {2}]이고 두 직선 [eqn: {rm{AC}} it]와 [eqn: {rm{BD}} it]가 서로 평행할 때, [eqn: LEFT | {x _{4}} over {x _{3}} RIGHT |]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 [eqn: a != b`]인 상수이다.) [4점]

① [eqn: 3+3 sqrt{3}]	② [eqn: 5+2 sqrt{3}]	③ [eqn: 4+3 sqrt{3}]

④ [eqn: 6+2 sqrt{3}]	⑤ [eqn: 5+3 sqrt{3}]

단답형

[eqn: a ^{4} -8a ^{2} +1=0]일 때, [eqn: a ^{4} +a ^{-4}]의 값을 구하시오. [3점]

62

[eqn: a ^{4} -8a ^{2} +1=0`]에서 양변을 [eqn: a^2`]으로 나누어 정리하면

[eqn: a^2 + a^-2 =8`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: a^4 + a^-4`][eqn: = left(a^2 + a^-2 right)^2 -2`][eqn: =8^2 -2=62`]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

16

다항함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)=left(x^3 -2x right) f(x)`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

라 하면

[eqn: g`prime(x) =left(3x^2 -2 right) f(x) + left(x^3 -2x right) f`prime(x)`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

이때 [eqn: f(2)=it-3`], [eqn: f`prime(2)=4`]이므로 ㉠, ㉡에 [eqn: x=2`]를 대입하면

[eqn: g(2)=it-12`], [eqn: g` prime (2)=it-14`]

곡선 [eqn: y=g(x)`] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,````g(2) RIGHT ) `]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-g(2) = g`prime(2) left(x-2 right)`]

따라서 이 직선의 [eqn: y`]절편은

[eqn: y=it-2g` prime (2)+g(2)`][eqn: =16`]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= LEFT ( x ^{3} -2x RIGHT ) f LEFT (x RIGHT )]

라 하자. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =it-3], [eqn: f `prime LEFT (2 RIGHT )=4]일 때, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의
점 [eqn: (2,````g(2))]에서의 접선의 [eqn: y`]절편을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

184

[eqn: sum_{k`=`1}^{7} left(a_k +k right) =50`]에서  [eqn: sum_{k`=`1}^{7} a_k `+ sum_{k`=`1}^{7} k =50`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: sum _{k`=`1} ^{7} a _{k} `][eqn: =50- sum _{k`=`1} ^{7} k`][eqn: =50- {7 TIMES 8} over {2} =22`]

[eqn: sum_{k`=`1}^{7} left(a_k +2 right)^2 =300`]에서 [eqn: sum_{k`=`1}^{7} left(a_k^{~2} +4a_k +4 right) =300`]

[eqn: sum_{k`=`1}^{7} a_k^{~2} + 4 sum_{k`=`1}^{7} a_ k +sum_{k`=`1}^{7} 4 =300`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: sum_{k`=`1}^{7} a_k^{~2} `][eqn: =300 -4 times22 - 7 times4 `][eqn: = 184`]

[eqn: sum _{k=1} ^{7} LEFT ( a _{k} +k RIGHT ) =50], [eqn: sum _{k=1} ^{7} LEFT ( a _{k} +2 RIGHT ) ^{2} =300]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{7} a _{k} it ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: x`]에 대한 방정식

12

[eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: x^3 - 3n over 2 x^2 +7 =0`]에서

[eqn: x ^{2} LEFT ( x- {3n} over {2} RIGHT ) =it-7`] ([eqn: n`]은 자연수)	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

이때 [eqn: f(x)=x^3 - 3n over 2 x^2 `]라 하면

[eqn: f`prime(x)=3x^2 -3nx=3x(x-n)`]

[eqn: f`prime(x)=0`]에서 [eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=n`]

함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: n]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: nearrow]	[eqn: 0]	[eqn: searrow]	[eqn: - 1 over 2 n^3`]	[eqn: nearrow]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=n`]일 때 극솟값 [eqn: - 1 over 2 n^3`]을 갖는다.

방정식 ㉠의 [eqn: 1`]보다 큰 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2`]가 되어야 하므로 위 그림에서와 같이 [eqn: x>1`]에서 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-7`]의 교점의 개수가 [eqn: 2`]이어야 한다.

[eqn: f(1)=1- 3n over 2`], [eqn: f(n)=it- {1} over {2} n ^{3} `]

이므로

[eqn: - 1 over 2 n^3 < -7 `]에서 [eqn: n^3 >14`]

[eqn: -7 < 1- 3 over 2 n`]에서 [eqn: n< 16 over 3 `]

위 두 부등식을 모두 만족하는 자연수 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]이므로

[eqn: 3+4+5=12`]

[eqn: x ^{3} - {3n} over {2} x ^{2} +7=0]

의 [eqn: rm 1]보다 큰 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t ~ LEFT (t>0 RIGHT )]에서의 가속도 [eqn: a(t)]가

11

점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t`][eqn: (t>0)`]에서의 속도를 [eqn: v(t)`]라 할 때

[eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {} a(t)dt`][eqn: =int left(3t^2 -8t +3 right) dt`]
[eqn: = t^3 -4t^2 +3t +C`] ([eqn: C```]는 적분상수)

점 [eqn: rm P`]가 시각 [eqn: t=1`]과 시각 [eqn: t =alpha`][eqn: LEFT ( alpha >1 RIGHT ) `]에서 운동 방향을 바꾸므로

[eqn: v(1)=0`]에서 [eqn: 1-4+3 +C` =0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: C`=0`]

[eqn: v(alpha)=0`]에서 [eqn: alpha^3 -4 alpha^2 +3alpha=0 `], [eqn: alpha (alpha-1 )(alpha-3)=0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: alpha =3`]

따라서 시각 [eqn: t=1`]에서 [eqn: t=3`]까지 점 [eqn: rm P`]가 움직인 거리는

[eqn: int_{1}^{3} v(t) dt`][eqn: = int_{1}^{3} left |`t^3 -4t^2 +3t` right | dt`]
[eqn: =it-` LEFT [ ` {1} over {4} t ^{4} - {4} over {3} t ^{3} + {3} over {2} t ^{2} ` RIGHT ] _{1} ^{3} `][eqn: = 8 over 3`]

[eqn: p=3`], [eqn: q=8`]이므로

[eqn: p+q=11`]

[eqn: a LEFT (t RIGHT )=3t ^{2} -8t+3]

이다. 점 [eqn: {rm{P}} it]가 시각 [eqn: t=1]과 시각 [eqn: t= alpha ~ LEFT ( alpha >1 RIGHT )]에서 운동 방향을 바꿀 때, 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t= alpha `]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 두 함수

29

두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 두 함수 [eqn: y=3a tan`bx`], [eqn: y=2a`cos`bx`]의 주기는 각각 [eqn: pi over b`], [eqn: 2pi over b`]이고 두 함수의 그래프가 만나는 세 점 [eqn: rm A_1`], [eqn: rm A_2`], [eqn: rm A_3`]에 대하여 선분 [eqn: rm A_1 A_3`]을 지름으로 하는 원이 점 [eqn: rm A_2`]를 지나고 이 원의 넓이가 [eqn: pi`]이므로

[eqn: {rm bar {A_1 A_3}}`=2`][eqn: = 2pi over b`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: b=pi`]

두 함수의 교점의 [eqn: x``]좌표는

[eqn: 3a tan`pix =2a cos`pix`], [eqn: 3 {sin`pix} over {cos`pix} =2 cos`pix`]

[eqn: 3 sin`pix = 2 cos^2 pix =2 left(1-sin^2 pix right)`]

[eqn: left(2sin`pix -1 right) left(sin`pix +2 right)=0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: sin`pix= 1 over 2`]

[eqn: pix = 1 over 6 pi`] 또는 [eqn: pix= 5 over 6 pi`] 또는 [eqn: pix = 13 over 6 pi`]이므로

[eqn: rm A _{1} it LEFT ( {1} over {6} ,```` sqrt {3} a RIGHT ) `], [eqn: rm A _{2} it LEFT ( {5} over {6} ,````- sqrt {3} a RIGHT ) `], [eqn: rm A _{3} it LEFT ( {13} over {6} ,```` sqrt {3} a RIGHT ) `]

선분 [eqn: rm A_1 A_2`]와 [eqn: rm A_2 A_3`]가 서로 수직이므로

[eqn: {-2 sqrt {3} a} over {{5} over {6} - {1} over {6}} ` TIMES ` {2 sqrt {3} a} over {{13} over {6} - {5} over {6}} =it-1`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: a^2 = 2 over 27`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: left(a over b pi right)^2 `][eqn: = a^2 = 2 over 27`]

[eqn: p=27`], [eqn: q=2`]이므로

[eqn: p+q=29`]

[eqn: y=3a tan` bx], [eqn: y=2a cos` bx]

의 그래프가 만나는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 [eqn: rm 0]보다 크고 [eqn: {5 pi} over {2 b}]보다 작은 세 점을 [eqn: x`]좌표가 작은 점부터 [eqn: x`]좌표의 크기순으로 [eqn: {rm{A}} it _{1}], [eqn: {rm{A}} it _{2}], [eqn: {rm{A}} it _{3}]이라 하자. 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{3}]을 지름으로 하는 원이 점 [eqn: {rm{A}} it _{2}]를 지나고 이 원의 넓이가 [eqn: pi `]일 때, [eqn: LEFT ( {a} over {b} pi RIGHT ) ^{2} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

54

조건 (나)에서 [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: left{g(x) right}^2 +4 left{g(x) right} =0`], 즉 [eqn: g(x) left{ g(x) +4 right}=0`]에서

[eqn: g(x)=0`] 또는 [eqn: g(x)= it -4`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

이 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4`]이다.

조건 (가)에서 주어진 극한이 실수 [eqn: t`]에서 (분모)[eqn: `->`0`]이고 양의 실수로 수렴하므로 (분자)[eqn: `->`0`]이다.

즉, [eqn: lim_{h`->`0} left{ g(t+h)`times g(t-h) right}=0`]이므로 [eqn: left{ g(t) right}^2 =0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: g(t)=0`]

따라서

[eqn: lim_{h`->`0+} left{{g(t+h)} over h `times {g(t-h)} over h right}`]

[eqn: = it -` lim _{h` -> `0} {} LEFT { {g(t+h)-g(t)} over {h} ` TIMES {g(t-h)-g(t)} over {-h} RIGHT }]

[eqn: = k `] (단, [eqn: k`]는 양의 실수)

로 놓으면 함수 [eqn: g(x)`]의 [eqn: x=t`]인 지점에서의 우미분계수와 좌미분계수의 부호가 서로 반대가 되게 하는 실수 [eqn: t`]의 개수가 [eqn: 1`]이다.	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여

[eqn: g(x)=x left|`f(x)`right|`]

이므로 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 반드시 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.

(ⅰ) [eqn: f(x)=(x-alpha)(x-beta)`]일 때
[eqn: g(x)=x LEFT | (x- alpha )(x- beta ) RIGHT | `]이므로 함수 [eqn: g(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때 함수 [eqn: g(x)`]의 우미분계수와 좌미분계수의 부호가 서로 반대가 되게 하는 실수 [eqn: t`]의 값은 [eqn: alpha `]와 [eqn: beta`]이므로 조건 ㉡에 위배 된다.

(ⅱ) [eqn: f(x)=x (x-alpha)`][eqn: (alpha>0)`]일 때
[eqn: g(x)=x LEFT | x(x- alpha ) RIGHT | `]이므로 함수 [eqn: g(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때 함수 [eqn: g(x)`]의 우미분계수와 좌미분계수의 부호가 서로 반대가 되게 하는 실수 [eqn: t`]의 값은 [eqn: alpha`]뿐이므로 조건 ㉡을 만족하지만, 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3`]이므로 위배 된다.

(ⅲ) [eqn: f(x)=x (x-alpha)`][eqn: (alpha <0)`]일 때
[eqn: g(x)=x LEFT | x(x- alpha ) RIGHT | `]이므로 함수 [eqn: g(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때 함수 [eqn: g(x)`]의 우미분계수와 좌미분계수의 부호가 서로 반대가 되게 하는 실수 [eqn: t`]의 값은 [eqn: alpha`]뿐이므로 조건 ㉡을 만족하며, 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4`]이므로 모든 조건을 만족한다.

이상에서 [eqn: g(x)=x LEFT | `x(x- alpha ) RIGHT | `][eqn: (alpha <0)`]

[eqn: g LEFT ( {2} over {3} alpha RIGHT ) = it -4`]이므로

[eqn: {2} over {3} alpha LEFT | `- {2} over {3} alpha TIMES {1} over {3} alpha ` RIGHT | =it-4`]

[eqn: {4} over {27} alpha ^{3} = it -4`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: alpha = it -3`]

[eqn: g(x)=x LEFT | x(x+3) RIGHT | `]이므로

[eqn: g(3)=54`]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )=x LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT |]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 극한 [eqn: lim _{h rarrow 0+} {} LEFT { {g LEFT ( t+h RIGHT )} over {h} times {g LEFT ( t-h RIGHT )} over {h} RIGHT }]가 양의 실수로 수렴하는 실수 [eqn: t`]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(나) [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} +4g LEFT ( x RIGHT ) =0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

[eqn: g(3)]의 값을 구하시오. [4점]

2023학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(확률과 통계)

제 2 교시

5 지선다형

이산확률변수 [eqn: X``]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

③

주어진 확률분포표에서 확률의 총합은 [eqn: 1`]이므로

[eqn: a+a+b=1`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: 2a+b=1`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

또한 [eqn: rm E it (X) =5`]이므로

[eqn: 2a+4a+6b =5`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: 6a+6b=5`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: a= 1 over 6`], [eqn: b= 2 over 3 `]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: b-a= 1 over 2`]

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	계
[eqn: {rmP} LEFT ( X=x RIGHT )]	[eqn: a]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: {rm{E}} it (X)=5]일 때, [eqn: b-a`]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {5} over {12}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {7} over {12}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

한 개의 주사위와 한 개의 동전이 있다. 이 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수만큼 반복하여 이 동전을 던질 때, 동전의 앞면이 나오는 횟수가 [eqn: rm 5]일 확률은? [3점]

①

(ⅰ) 주사위를 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 5`]이고, 동전을 [eqn: 5`]번 던져서 앞면이 나오는 횟수가 [eqn: 5`]일 확률은
[eqn: 1 over 6 times _5 rm C it _5 left(1 over 2 right)^5 = 1 over 192`]

(ⅱ) 주사위를 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 6`]이고, 동전을 [eqn: 6`]번 던져서 앞면이 나오는 횟수가 [eqn: 5`]일 확률은
[eqn: 1 over 6 times _6 rm C it _5 left(1 over 2 right) ^6 = 1 over 64`]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하려는 확률은

[eqn: 1 over 192 + 1 over 64 = 1 over 48`]

① [eqn: {1} over {48}]	② [eqn: {1} over {24}]	③ [eqn: {1} over {16}]

④ [eqn: {1} over {12}]	⑤ [eqn: {5} over {48}]

다항식 [eqn: LEFT (ax+1 RIGHT ) ^{7}]의 전개식에서 [eqn: x^{5}]의 계수와 [eqn: x^{3}]의 계수가 서로 같을 때, [eqn: x^{2}]의 계수는? (단, [eqn: a`]는 [eqn: rm 0]이 아닌 상수이다.) [3점]

②

[eqn: left(ax+1 right)^7 `]의 전개식에서 일반항은

[eqn: rm _{7} rm C it rm _{r} it LEFT ( ax RIGHT ) ^{r} `][eqn: = rm _{7} rm C it rm _{r} `ita ^{r} x ^{r} `]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: r=5`]일 때 [eqn: x^5`]의 계수는 [eqn: rm _7 C it _5 `a^5 `][eqn: = 21a^5`]

[eqn: r=3`]일 때 [eqn: x^3`]의 계수는 [eqn: rm _7 C it _3 `a^3`][eqn: =35 a^3`]

이때 [eqn: x^5`]의 계수와 [eqn: x^3`]의 계수가 같으므로

[eqn: 21a^5 =35a^3`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: a^2 = 5 over 3 `]

㉠에서 [eqn: r=2`]를 대입하면 [eqn: x^2`]의 계수는

[eqn: rm _{7} rmC it _{2} `ita ^{2} `][eqn: = 21 times 5 over 3 =35`]

① [eqn: rm 28]	② [eqn: rm 35]	③ [eqn: rm 42]

④ [eqn: rm 49]	⑤ [eqn: rm 56]

육군사관학교 모자 [eqn: rm 3]개, 해군사관학교 모자 [eqn: rm 2]개, 공군사관학교 모자 [eqn: rm 3]개가 있다. 이 [eqn: rm 8]개의 모자를 모두 일렬로 나열할 때, 양 끝에는 서로 다른 사관학교의 모자가 놓이도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 사관학교의 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.)

④

육군사관학교 모자를 [eqn: a`], 해군사관학교 모자를 [eqn: b`], 공군사관학교 모자를 [eqn: c`]라 하면

[eqn: a`], [eqn: a`], [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: c`], [eqn: c`]

이 [eqn: 8`]개의 모자를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: {8`!} over {3`! times 2`! times 3`!} = 560`]

(ⅰ) 양 끝에 모두 육군사관학교 모자가 놓이게 나열하는 경우의 수는
[eqn: {6`!} over {2`! times 3`!} =60`]

(ⅱ) 양 끝에 모두 해군사관학교 모자가 놓이게 나열하는 경우의 수는
[eqn: {6`!} over {3`! times 3`!} = 20`]

(ⅲ) 양 끝에 모두 공군사관학교 모자가 놓이게 나열하는 경우의 수는
[eqn: {6`!} over {3`! times 2`!} =60`]

이상에서 양 끝에 서로 같은 사관학교의 모자가 놓이도록 나열하는 경우의 수는

[eqn: 60 + 20 +60 =140`]

따라서 양 끝에 다른 사관학교의 모자가 놓이도록 나열하는 경우의 수는

[eqn: 560-140=420`]

[3점]

① [eqn: rm 360]	② [eqn: rm 380]	③ [eqn: rm 400]

④ [eqn: rm 420]	⑤ [eqn: rm 440]

[eqn: rm 7]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e], [eqn: f], [eqn: g`]를 모두 한 번씩 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 임의로 일렬로 나열할 때, 다음 조건을 만족시킬 확률은? [3점]

⑤

[eqn: 7`]개의 문자를 모두 한 번씩 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 임의로 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: {7`!} =5040`]

(ⅰ) 문자 [eqn: a`], [eqn: b`]를 이 순서대로 한 묶음으로 생각할 때
[eqn: 4`]개의 문자 [eqn: d`], [eqn: e`], [eqn: f`], [eqn: g`]를 일렬로 나열한 후, 나열된 문자 사이사이와 양 끝의 [eqn: 5`]곳 중 [eqn: 2`]곳을 골라 차례대로 [eqn: c`]와 [eqn: ab`]를 나열하면 되므로
[eqn: 4`! timesrm _5 C _2 = 240`]

(ⅱ) 문자 [eqn: b`], [eqn: a`]를 이 순서대로 한 묶음으로 생각할 때
[eqn: 6`]개의 문자 [eqn: d`], [eqn: e`], [eqn: f`], [eqn: g`], [eqn: c`], [eqn: ba`]를 일렬로 나열할 때 [eqn: c`]는 반드시 [eqn: ba`]보다 왼쪽에 있어야 하므로
[eqn: {6`!} over {2`!} =360`]

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 조건을 만족시킬 확률은

[eqn: {240 + 360} over 5040 = 5 over 42`]

(가) [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 이웃하고, [eqn: a`]와 [eqn: c`]는 이웃하지 않는다.

(나) [eqn: c`]는 [eqn: a`]보다 왼쪽에 있다.

① [eqn: {1} over {42}]	② [eqn: {1} over {21}]	③ [eqn: {1} over {14}]

④ [eqn: {2} over {21}]	⑤ [eqn: {5} over {42}]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 8]장의 카드가 있다. 이 [eqn: rm 8]장의 카드를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 한 장의 카드와 이 카드로부터 시계 방향으로 네 번째 위치에 놓여 있는 카드는 서로 마주 보는 위치에 있다고 하자. 서로 마주 보는 위치에 있는 카드는 [eqn: rm 4]쌍이 있다. 예를 들어, 그림에서 숫자 [eqn: rm 1], [eqn: rm 5]가 적혀 있는 두 장의 카드는 서로 마주 보는 위치에 있고, 숫자 [eqn: rm 1], [eqn: rm 4]가 적혀 있는 두 장의 카드는 서로 마주 보는 위치에 있지 않다.

④

서로 마주 보는 위치에 있는 두 장의 카드에 적혀 있는 두 수의 차가 같은 경우를 순서쌍으로 나타내면 다음과 같다.

(ⅰ) 두 수의 차가 [eqn: 1`]로 같은 경우
[eqn: (1,````2)], [eqn: (3,````4)], [eqn: (5,````6)], [eqn: (7,````8)]

이때 숫자 [eqn: 1`]과 [eqn: 2`]가 적혀 있는 카드를 배열하는 방법은 [eqn: 1`]가지, 숫자 [eqn: 3`]이 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 [eqn: 6`]가지이고 이때 숫자 [eqn: 4`]가 적혀 있는 카드의 위치는 자동으로 정해진다. 또 숫자 [eqn: 5`]가 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 [eqn: 4`]가지이고 숫자 [eqn: 6`]이 적혀 있는 카드의 위치는 자동으로 정해진다. 마지막으로 숫자 [eqn: 7`]이 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 [eqn: 2`]가지이고 [eqn: 8`]이 적혀 있는 카드의 위치는 한 가지로 고정된다. 따라서 카드를 배열하는 경우의 수는
[eqn: 1 times 6 times 4 times 2 =48`]

(ⅱ) 두 수의 차가 [eqn: 2`]로 같은 경우
[eqn: (1,````3)], [eqn: (2,````4)], [eqn: (5,````7)], [eqn: (6,````8)]

(1) 카드를 배열하는 방법은 (ⅰ)에서와 같으므로
[eqn: 1 times 6 times 4 times 2 =48`]

(2) 숫자 [eqn: 1`]이 적혀 있는 카드와 숫자 [eqn: 2`]가 적혀 있는 카드가 이웃하는 경우
숫자 [eqn: 1`]과 [eqn: 3`]이 적혀 있는 카드를 배열하는 방법은 [eqn: 1`]가지, 숫자 [eqn: 2`]가 적혀 있는 카드의 위치는 숫자 [eqn: 1`]이 적혀 있는 카드의 왼쪽 또는 오른쪽이면 되므로 [eqn: 2`]가지이고 숫자 [eqn: 4`]가 적혀 있는 카드의 위치는 자동으로 정해진다. 숫자 [eqn: 5`]가 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 [eqn: 4`]가지이고 숫자 [eqn: 7`]이 적혀 있는 카드의 위치는 자동으로 정해진다. 마지막으로 숫자 [eqn: 6`]이 적혀 있는 카드가 위치하는 방법은 [eqn: 2`]가지이고 숫자 [eqn: 8`]이 적혀 있는 카드의 위치는 한 가지로 정해진다. 따라서 숫자 [eqn: 1`]이 적혀 있는 카드와 숫자 [eqn: 2`]가 적혀 있는 카드가 이웃하도록 배열하는 경우의 수는
[eqn: 1 times 2 times 4 times 2 =16`]

(ⅲ) 두 수의 차가 [eqn: 4`]로 같은 경우
[eqn: (1,````5)], [eqn: (2,````6)], [eqn: (3,````7)], [eqn: (4,````8)`]

(1) 이때 카드를 배열하는 방법은 (ⅰ)에서와 같으므로
[eqn: 1 times 6 times 4 times 2 =48`]

(2) 숫자 [eqn: 1`]이 적혀 있는 카드와 숫자 [eqn: 2`]가 적혀 있는 카드가 이웃하는 경우
카드를 배열하는 방법은 (ⅱ)-(2)에서와 같으므로
[eqn: 1 times 2 times 4 times 2 =16`]

이상에서 서로 마주 보는 위치에 있는 두 장의 카드에 적혀 있는 두 수의 차가 모두 같을 때, 숫자 [eqn: 1`]이 적혀 있는 카드와 숫자 [eqn: 2`]가 적혀 있는 카드가 서로 이웃할 확률은

[eqn: {16+16} over {48+48+48} = {2} over {9} `]

이 [eqn: rm 8]장의 카드를 일정한 간격을 두고 원형으로 임의로 배열하는 시행을 한다. 이 시행에서 서로 마주 보는 위치에 있는 두 장의 카드에 적혀 있는 두 수의 차가 모두 같을 때, 숫자 [eqn: rm 1]이 적혀 있는 카드와 숫자 [eqn: rm 2]가 적혀 있는 카드가 서로 이웃할 확률은?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]

① [eqn: {1} over {18}]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {18}]

단답형

어느 공장에서 생산하는 과자 [eqn: rm 1]개의 무게는 평균이 [eqn: 150 {rm{g}} it], 표준편차가 [eqn: 9 {rm{g}} it]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산하는 과자 중에서 임의로 [eqn: n]개를 택해 하나의 세트 상품을 만들 때, 세트 상품 [eqn: rm 1]개에 속한 [eqn: n]개의 과자의 무게의 평균이 [eqn: 145 {rm{g}} it] 이하인 경우 그 세트 상품은 불량품으로 처리한다. 이 공장에서 생산하는 세트 상품 중에서 임의로 택한 세트 상품 [eqn: rm 1]개가 불량품일 확률이 [eqn: rm 0.07] 이하가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: Z``]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P it LEFT (0 LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT )=0.43]으로 계산한다.) [4점]

8

모집단이 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 150,````9 ^{2} RIGHT )]을 따르고 표본의 크기가 [eqn: n`]이므로 표본평균 [eqn: {bar{X`}} ``]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 150,```` {9 ^{2}} over {n} RIGHT )]를 따른다.

[eqn: {bar{X`}} LEQ 145]인 경우 불량품으로 처리하므로 불량품일 확률이 [eqn: 0.07`] 이하가 되려면

[eqn: rm P it left( bar {X`} le 145 right) `][eqn: = rm P it left(Z le {145-150} over{9 over sqrtn} right)`]
[eqn: = rm P it left(Z le - 5 over 9 sqrtn right)`][eqn: le 0.07`]

이때 [eqn: rm P it left(0 le Z le 1.5 right) = 0.43`]이므로

[eqn: - 5 over 9 sqrtn` le - 1.5`], [eqn: sqrtn `ge 27 over 10`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: n ge 7.29`]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 8`]이다.

네 명의 학생 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]에게 같은 종류의 연필 [eqn: rm 5]자루와 같은 종류의 공책 [eqn: rm 5]권을 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있고, 공책을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [4점]

166

(ⅰ) 학생 [eqn: rm A`]가 받은 연필의 개수가 [eqn: 5`]이고, 공책보다 연필을 더 많이 받는 학생이 [eqn: rm A`]뿐일 때
공책 [eqn: 5`]권을 네 명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수에서 학생 [eqn: rm A`]가 공책 [eqn: 5`]권을 모두 가져가는 경우의 수를 빼주면 되므로
[eqn: rm _{4} rmH _{5} `-1= _{8} C _{3} `-1=55`]

(ⅱ) 학생 [eqn: rm A`]가 받은 연필의 개수가 [eqn: 4`]이고, 공책보다 연필을 더 많이 받는 학생이 [eqn: rm A`]뿐일 때
나머지 연필 한 개를 학생 [eqn: rm B`], [eqn: rm C`], [eqn: rm D`]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3`]
이때 연필 한 개를 받은 학생에게 공책을 한 개 주고, 학생 [eqn: rm A`]를 포함한 네 명의 학생에게 나머지 공책 [eqn: 4`]권을 나누어 주는 경우의 수에서 학생 [eqn: rm A`]가 공책 [eqn: 4`]권을 모두 가져가는 경우의 수를 빼주면 되므로
[eqn: rm rm _{4} H _{4} `-1= _{7} C _{3} `-1=34`]
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 times 34 =102`]

(ⅲ) 학생 [eqn: rm A`]가 받은 연필의 개수가 [eqn: 4`]이고, 공책보다 연필을 더 많이 받는 학생이 [eqn: rm A`]가 아닐 때
나머지 연필 한 개를 학생 [eqn: rm B`], [eqn: rm C`], [eqn: rm D`]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3`]
학생 [eqn: rm A`]에게 공책 [eqn: 4`]권을 준 후, 연필 한 개를 받은 학생을 제외한 [eqn: 3`]명의 학생에게 나머지 공책 [eqn: 1`]권을 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3`]
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 times 3 =9`]

이상에서 네 명의 학생에게 같은 종류의 연필 [eqn: 5`]자루와 같은 종류의 공책 [eqn: 5`]권을 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는

[eqn: 55+102+9=166`]

(가) 학생 [eqn: {rm{A}} it]가 받는 연필의 개수는 [eqn: rm 4] 이상이다.

(나) 공책보다 연필을 더 많이 받는 학생은 [eqn: rm 1]명뿐이다.

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2023학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(미적분)

제 2 교시

5 지선다형

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.
[eqn: S _{n} =4 ^{n+1} -3n`]일 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {a _{n}} over {4 ^{n-1}}]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: n ge 2`]일 때

[eqn: a_n `][eqn: = S`_n -S`_n-1`]
[eqn: =4^n+1 - 3n - left(4^n -3(n-1) right)`]
[eqn: = 3times4^n -3`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: lim_{n`->`inf} a_n over {4^n-1} `][eqn: = lim_{n`->`inf} {3 times 4^n -3 } over 4^n-1`][eqn: = lim_{n`->`inf} {3 - 3 over 4^n} over {4`^-1}`][eqn: = 12`]

① [eqn: rm 4]	② [eqn: rm 6]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 10]	⑤ [eqn: rm 12]

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )= {x+1} over {x ^{2}}]에 대하여 [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {n+k} over {n} RIGHT )]의 값은?

②

[eqn: lim_{n`->`inf} 1 over n sum_{k`=`1}^{n} f left({n+k} over n right)`][eqn: = lim_{n`->`inf} sum_{k`=`1}^{n} f left(1 + k over n right) 1 over n`]
[eqn: = int_{1}^{2} f(x) dx`]
[eqn: = int_{1}^{2} left({x+1} over x^2 right) dx]
[eqn: = int_{1}^{2} left(1 over x + 1 over x^2 right) dx`]
[eqn: = left[ ln`left|`x`right| - 1 over x right]_{1}^{2}`]
[eqn: = 1 over 2 + ln`2`]

[3점]

① [eqn: {1} over {2} + {1} over {2} `ln`2]	② [eqn: {1} over {2} + ln` 2]	③ [eqn: 1+ {1} over {2} `ln`2]

④ [eqn: 1+ ln` 2]	⑤ [eqn: {3} over {2} + {1} over {2} `ln`2]

곡선 [eqn: pi `cos`y+y`sin`x=3x`]가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it]라 할 때, 이 곡선 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]에서의 접선의 기울기는? [3점]

③

곡선 [eqn: pi cos`y + y sin`x =3x`]에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: pi =3x`], [eqn: x= {pi } over {3}]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: rm A it LEFT ( {pi } over {3} ,````0 RIGHT ) `]

[eqn: pi cos`y + y sin`x =3x`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: - pi sin`y` {dy} over {dx} `+ {dy} over {dx} `sin`x+y`cos`x=3`]

[eqn: x= {pi } over {3}], [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: sqrt3 over 2 `dy over dx =3`], [eqn: dy over dx = 2 sqrt3 `]

따라서 주어진 곡선 위의 점 [eqn: rm A`]에서의 접선의 기울기는

[eqn: 2sqrt3 `]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: 2 sqrt{2}]	③ [eqn: 2 sqrt{3}]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: 2 sqrt{5}]

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it], 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OA}} it _{1} {rm{B}} it _{1}]이 있다. 호 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}]의 삼등분점 중 점 [eqn: {rm{A}} it _{1}]에 가까운 점을 [eqn: {rm{C}} it _{1}], 점 [eqn: {rm{B}} it _{1}]에 가까운 점을 [eqn: {rm{D}} it _{1}]이라 하고, 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1} {rm{B}} it _{1}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1}]에서 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}]에 접하는 원이 선분 [eqn: {rm{OA}} it _{1}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it _{2}], 선분 [eqn: {rm{OB}} it _{1}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it _{2}]라 하고, 중심이 [eqn: {rm{O}} it], 반지름의 길이가 [eqn: overline{{rm{OA}} it _{2}}], 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OA}} it _{2} {rm{B}} it _{2}]를 그린다. 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 [eqn: {rm{C}} it _{2}], [eqn: {rm{D}} it _{2}]를 잡고, 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2} {rm{B}} it _{2}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n `` rarrow `` INF } {} S _{n}]의 값은? [3점]

①

선분 [eqn: rm A_1 B_1`]과 호 [eqn: rm A_2 B_2`]의 접점을 [eqn: rm H_2`], 직선 [eqn: rm OH_2`]와 호 [eqn: rm A_1 B_1`]의 교점을 [eqn: rm H_1`]이라 하면

[eqn: {rm bar OH_1}`=1`], [eqn: {rm bar OH_2}`= 1 over sqrt2 `]

닮음인 두 사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1`]와 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2`]의 길이의 비가 [eqn: sqrt {2} ``:``1]이므로 넓이의 비는 [eqn: 2``:``1]이고 공비는 [eqn: {1} over {2}]이다.

사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1`]의 넓이를 [eqn: S`_1`]이라 할 때

[eqn: S`_1][eqn: =triangle rm OA_1 C_1 + triangle OC_1 D_1 + triangle OD_1 B_1 - triangle OA _1 B _1`]
[eqn: = 3 times 1 over 2 times 1^2 times sin`pi over 6 `- 1 over 2 times 1^2`][eqn: = 1 over 4`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: lim_{n`->`inf} S`_n`][eqn: = 1 over 4 times 1 over {1- {1 over 2}} = 1 over 2 `]

		[eqn: cdots]
[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]	[eqn: cdots]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {13} over {24}]	③ [eqn: {7} over {12}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

그림과 같이 곡선

④

점 [eqn: LEFT ( x,````0 RIGHT ) `] [eqn: left(pi over 3 le x le pi over 2 right)`]을 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 [eqn: S(x)`]라 하면

[eqn: S(x)`][eqn: = left{(1+cos`x ) sqrt {sin`x} right}^2`][eqn: = left(1+cos`x right)^2 sin`x`]

따라서 구하는 부피는

[eqn: int_{pi over 3}^{pi over 2} (1+cos`x )^2 sin` x `dx]

[eqn: 1+cos`x =t`]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =it-sin`x`]

[eqn: x= {pi } over {3}]일 때 [eqn: t= {3} over {2}], [eqn: x= {pi } over {2}]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int_{pi over 3}^{pi over 2} (1+cos`x )^2 sin` x `dx`][eqn: =it- int _{{3} over {2}} ^{1} {} t ^{2} `dt`][eqn: = left[ `1 over 3 t^3` right]_{1}^{3 over 2}`][eqn: = 19 over 24 `]

[eqn: y= LEFT ( 1+cos`x RIGHT ) sqrt {sin`x} ~ LEFT ( {pi } over {3} LEQ x LEQ {pi } over {2} RIGHT )]

와 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x={ pi} over {3}], [eqn: x={ pi} over {2}]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {13} over {24}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {19} over {24}]	⑤ [eqn: {11} over {12}]

양의 실수 [eqn: t`]와 상수 [eqn: k ~ LEFT (k>0 RIGHT )]에 대하여
곡선 [eqn: y= LEFT (ax+b RIGHT )e ^{x-k}]이 직선 [eqn: y=tx`]와 점 [eqn: LEFT ( t,````t ^{2} RIGHT )]에서 접하도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]의 값을 각각 [eqn: f LEFT (t RIGHT )], [eqn: g LEFT (t RIGHT )]라 하자. [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = it -6]일 때, [eqn: g `prime LEFT (k RIGHT )]의 값은? [4점]

③

양의 실수 [eqn: t`]와 상수 [eqn: k`][eqn: (k>0)`]에 대하여

[eqn: p(x)=(ax+b)e^x-k `], [eqn: q(x)=tx`]라 하면

[eqn: p`prime (x)=a e^x-k +(ax+b)e^x-k`][eqn: =(ax+a+b)e^x-k`]

[eqn: q`prime(x)=t`]

두 곡선이 점 [eqn: LEFT ( t,````t ^{2} RIGHT ) `]에서 접하므로

[eqn: p(t)=q(t)`]에서 [eqn: (at+b) e^t-k =t^2`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: p`prime(t)=q`prime(t)`]에서 [eqn: (at+a+b) e^t-k = t`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉡[eqn: -]㉠을 하면 [eqn: a e^t-k = t -t^2`]

이때 [eqn: a=f(t)`]이므로

[eqn: f(t) e^t-k = t -t^2`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: f(t)= left(t-t^2right)e^k-t`]

이 식에 [eqn: t=k`]를 대입하면 [eqn: f(k)= it -6`]에서

[eqn: -6=k-k^2`], [eqn: k^2 -k-6=0`]

[eqn: (k-3)(k+2)=0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: k=3`]

[eqn: k=3`]과 [eqn: b=g(t)`]를 ㉠에 대입하면

[eqn: left{f(t)t+g(t) right}e^t-3 =t^2 `]

[eqn: left{ left(t -t^2 right)t`e^3-t +g(t) right} e^t-3 = t^2`]

[eqn: left(t^2 -t^3 right) +g(t)e^t-3 =t^2`], [eqn: g(t)=t^3 e^3-t `]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: g`prime(t)=3t^2 e^3-t - t^3 e^3-t = t^2 left(3-t right)e^3-t`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: g`prime(3)=0`]

① [eqn: rm -2]	② [eqn: rm -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

단답형

[eqn: 0<t< {pi } over {6}]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=sin` 2x] 위의
점 [eqn: LEFT ( t,````sin`2t RIGHT )]를 [eqn: rm P it]라 하자. 원점 [eqn: rm O it]를 중심으로 하고 점 [eqn: rm P it]를 지나는 원이 곡선 [eqn: y=sin`2x`]와 만나는 점 중 [eqn: rm P it]가 아닌 점을 [eqn: rm Q it]라 하고, 이 원이 [eqn: x`]축과 만나는 점 중 [eqn: x`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rm R it]라 하자. 곡선 [eqn: y=sin`2x`]와 두 선분 [eqn: rm PR it], [eqn: rm QR it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S LEFT (t RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{t`` -> ``0+} {} {S LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{2}} =k`]이다. [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

20

곡선 [eqn: y=sin`2x`]는 원점에 대하여 대칭이므로 곡선과 두 선분 [eqn: rm PR`], [eqn: rm OR`]로 둘러싸인 부분의 넓이는, 곡선과 두 선분 [eqn: rm QT`], [eqn: rm OT`]로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. 따라서 구하는 넓이는 삼각형 [eqn: rm QRT`]의 넓이와 같다.

[eqn: {rm bar TR}`=2 `{rm bar OP}`it =2`sqrt{t^2 +sin^2 `2t}`]

점 [eqn: rm P`]의 좌표가 [eqn: LEFT ( t,````sin`2t RIGHT ) `]이므로 [eqn: rm Q it LEFT ( -t,````-sin`2t RIGHT ) `]

따라서 선분 [eqn: rm TR`]을 밑변으로 하는 삼각형 [eqn: rm QRT`]의 높이는 [eqn: sin`2t`]이다.

[eqn: THEREFORE ~][eqn: S`(t)`][eqn: = 1 over 2 timessin`2t times 2sqrt{t^2 + sin^2`2t}`][eqn: = sin`2t sqrt{t^2 + sin^2 `2t}`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: lim_{t`->`0+} {S`(t)} over t^2 `][eqn: = lim_{t`->`0+} {{sin`2t} sqrt{t^2 +sin^2`2t}} overt^2`]
[eqn: = 2` lim_{t`->`0+} left( {sin`2t} over 2t right) sqrt{1+ 4 left({sin`2t} over 2t right)^2 }`]
[eqn: = 2 times 1 times sqrt{1+4 times 1^2}`]
[eqn: =2sqrt5 `]

[eqn: k=2sqrt5 `]이므로

[eqn: k^2 =20`]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

13

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]에 대하여

[eqn: f`prime(x)={ln`x +k} over x`]이므로

[eqn: f(x)`][eqn: =int f`prime(x) dx`]
[eqn: = int left( {ln`x} over x + k over x right) dx`]
[eqn: = 1 over 2 left(ln`x right)^2 +k ln`x +C`] ([eqn: C```]는 적분상수)

조건 (나)에서 [eqn: f left( 1 over e^2 right)=0`], [eqn: f(1)=0`]이므로

[eqn: k=1`], [eqn: C`=0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: f(x)= 1 over 2 left(ln`x right)^2 + ln`x`]

이때 [eqn: t > - 1 over 2 `]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: y=t`]가 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표 중 작은 값이 [eqn: g(t)`]이므로

[eqn: 1 over 2 left{ln`g(t) right}^2 + ln`g(t) =t`]

양변에 [eqn: 2`]를 곱한 후 정리하면

[eqn: left{ ln`g(t) +1 right}^2 =2t+1`],    [eqn: ln`g(t) +1=+- sqrt{2t+1}`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: g(t)=e^{-1-sqrt{2t+1}}`]

따라서 곡선 [eqn: y=g(x)`]와 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: x= 3 over 2`]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S```]라 하면

[eqn: S``][eqn: = int_{0}^{3 over 2} g(x) dx`][eqn: =int_{0}^{3 over 2} e^{-1-sqrt{2x+1}} `dx`]

[eqn: sqrt{2x+1} `=p`]로 놓으면

[eqn: 1 over sqrt{2x+1} = dp over dx `]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: 1 over p = dp over dx`]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: p=1], [eqn: x= {3} over {2}]일 때 [eqn: p=2]이므로

[eqn: S``][eqn: =int_{0}^{3 over 2} e^{-1-sqrt{2x+1}} `dx`]
[eqn: = int_{1}^{2} p` e^-1-p `dp`]
[eqn: = left[` pile {`#`} -p`e^-1-p ` -e^-1-p right]_{1}^{2}`]
[eqn: =it-3e ^{-3} +2e ^{-2} `]
[eqn: = {2e-3} over e^3`]

[eqn: a=2`], [eqn: b=it-3]이므로

[eqn: a^2 +b^2 =13`]

(가) 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = {ln`x+k} over {x}]이다.

(나) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: LEFT ( {1} over {e ^{2}} ,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,````0 RIGHT )]에서
만난다.

[eqn: t>-{1} over {2}]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: y=t`]가 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표 중 작은 값을 [eqn: g(t)]라 하자. 곡선 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: x={3} over {2}]으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: {a e+b} over {e^{3}}]이다. [eqn: a^{2}+b^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k`]는 상수이고, [eqn: a], [eqn: b`]는 유리수이다.)

[4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2023학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(기하)

제 2 교시

5 지선다형

좌표공간의 두 점 [eqn: rm A it (4,````2,````3)], [eqn: rm B it (-2,````3,````1)]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{AP}} it }= overline{{rm{BP}} it }]일 때, 점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x`]좌표는? [2점]

④

구하는 점을 [eqn: rm P it LEFT ( a,````0,````0 RIGHT )]이라 하면

[eqn: {rm bar AP}^2 it `= (a-4)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 =a^2 -8a + 29`]

[eqn: {rm bar BP}^2 it`=(a+2)^2 +(-3)^2 +(-1)^2 =a^2 +4a +14`]

[eqn: {rm bar AP}^2 it `= {rm bar BP}^2 `]이므로 [eqn: a^2 -8a +29 = a^2 +4a +14`]

[eqn: 12a= 15`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: a= 5 over 4`]

따라서 구하는 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 5 over 4]이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: rm 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

두 쌍곡선

⑤

[eqn: x^2 -9y^2 -2x -18y -9=0`]에서

[eqn: (x-1)^2 -9(y+1)^2 =1`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: x^2 -9y^2 -2x -18y -7=0`]에서

[eqn: (x-1) ^{2} -9(y+1) ^{2} = it -1`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

쌍곡선 ㉠은 쌍곡선 [eqn: x^2 -9y^2 = 1`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 것이며, 쌍곡선 ㉡은 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -9y ^{2} =it-1`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 것이다. 따라서 두 쌍곡선의 점근선의 방정식은 일치하며 다음과 같다.

[eqn: y= 1 over3 (x-1) -1`][eqn: = 1 over 3 x - 4 over 3`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

[eqn: y=it- {1} over {3} (x-1)-1`][eqn: =it- {1} over {3} x- {2} over {3} `]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

㉢, ㉣에서

[eqn: ac+bd`][eqn: = 1 over 3 left( - 1 over 3 right) + left(- 4 over 3 right) left(- 2 over 3 right)`][eqn: = 7 over 9 `]

[eqn: x ^{2} -9y ^{2} -2x-18y-9=0],

[eqn: x ^{2} -9y ^{2} -2x-18y-7=0]

중 어느 것과도 만나지 않는 직선의 개수는 [eqn: rm 2]이다. 이 두 직선의 방정식을 각각 [eqn: y=a x+b], [eqn: y=cx+d`]라 할 때, [eqn: ac+bd`]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

좌표평면의 점 [eqn: rm A it (0,````2)]와 원점 [eqn: {rm{O}} it]에 대하여 제[eqn: rm 1]사분면의 점 [eqn: {rm{B}} it]를 삼각형 [eqn: {rm{AOB}} it]가 정삼각형이 되도록 잡는다. 점 [eqn: rm C it (- sqrt {3} ,````0)]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{rm OA it}} + {vec{rm BC it}} RIGHT |]의 값은? [3점]

①

좌표평면의 점 [eqn: rm A it LEFT ( 0,````2 RIGHT )]와 원점 [eqn: rm O]에 대하여 제[eqn: 1`]사분면의 점 [eqn: rm B]를 잡을 때 삼각형 [eqn: rm AOB]가 정삼각형이므로

[eqn: rm B it LEFT ( sqrt {3} ,````1 RIGHT ) `]

점 [eqn: rm C it LEFT ( - sqrt {3} ,````0 RIGHT )]에 대하여

[eqn: {rm vec BC}`][eqn: = rm {vec{OC}} it `- rm {vec{OB}} it][eqn: = LEFT ( - sqrt {3} ,````0 RIGHT ) - LEFT ( sqrt {3} ,````1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( -2 sqrt {3} ,````-1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: rm {vec{OA}} it `+ rm {vec{BC}} it = LEFT ( 0,````2 RIGHT ) + LEFT ( -2 sqrt {3} ,````-1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( -2 sqrt {3} ,````1 RIGHT ) `]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: LEFT | ` rm {vec{OA}} it `+ rm {vec{BC}} it ` RIGHT |][eqn: = sqrt {LEFT ( -2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}}][eqn: = sqrt {13}]

① [eqn: sqrt{13}]	② [eqn: sqrt{14}]	③ [eqn: sqrt{15}]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: sqrt{17}]

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=1], [eqn: overline{{rm{AD}} it }=2], [eqn: overline{{rm{AE}} it }=3]인 직육면체
[eqn: {rm{ABCD}} it -{rm{EFGH}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{CG}} it]를 [eqn: 2``:``1]로 내분하는 점 [eqn: {rm{I}} it]에 대하여 평면 [eqn: {rm{BID}} it]와 평면 [eqn: {rm{EFGH}} it]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: cos theta `]의 값은? [3점]

②

[eqn: rm {bar{AB}} it `=1], [eqn: rm {bar{AD}} it `=2], [eqn: rm {bar{AE}} it `=3]인 직육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH]에 대하여, 점 [eqn: rm I]가 선분 [eqn: rm CG]를 [eqn: 2``:``1]로 내분하므로 [eqn: rm {bar{CI}} it `=2]

[eqn: rm {bar{BD}} it `= sqrt {5}]이고 점 [eqn: rm I]에서 선분 [eqn: rm BD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm {bar{HI}} it ` BOT ` rm {bar{HC}} it]

또한 [eqn: rm {bar{CH}} it ` TIMES rm {bar{BD}} it `= rm {bar{CB}} it ` TIMES rm {bar{CD}} it]에서 [eqn: rm {bar{HC}} it `= {2 sqrt {5}} over {5}]

직각삼각형 [eqn: rm ICH]에서

[eqn: rm {bar{H`I}} it `= sqrt {2 ^{2} + LEFT ( {2 sqrt {5}} over {5} RIGHT ) ^{2}} = {2 sqrt {30}} over {5}]

평면 [eqn: rm BID]와 평면 [eqn: rm EFGH]가 이루는 예각의 크기는 평면  [eqn: rmBID]와 평면 [eqn: rm ABCD]가 이루는 예각의 크기와 같으므로

[eqn: cos`theta = {rm bar HC} over {rm bar {H`I}} `][eqn: = sqrt6 over 6]

① [eqn: { sqrt{5}} over {5}]	② [eqn: { sqrt{6}} over {6}]	③ [eqn: { sqrt{7}} over {7}]

④ [eqn: { sqrt{2}} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

두 점 [eqn: {rm{F}} it (2,``0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-2,``0)]을 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: rm 12]인 타원과 점 [eqn: {rm{F}} it]를 초점으로 하고 직선 [eqn: x=it-2]를 준선으로 하는 포물선이 제[eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it]라 하자. 타원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{APF}} it]의 넓이의 최댓값은?
(단, 점 [eqn: {rm{P}} it]는 직선 [eqn: {rm{AF}} it] 위의 점이 아니다.) [3점]

③

타원의 중심인 원점과 초점 사이의 거리가 [eqn: 2`]이고 장축의 길이가 [eqn: 12`]이므로 타원의 방정식은

[eqn: x^2 over 36 + y^2 over 32 =1`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

원점을 꼭짓점으로 하고 직선 [eqn: x= it -2]를 준선으로 하는 포물선의 방정식은

[eqn: y^2 =8x`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: x^2 over 36 + 8x over 32 =1`], [eqn: x^2 +9x -36=0`]

[eqn: (x+12)(x-3)=0`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: x=3] 또는 [eqn: x= it -12]

따라서 제[eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 3`]이므로

[eqn: rm A it LEFT ( 3,````2 sqrt {6} RIGHT )], [eqn: {rm bar AF}`= 5`]

타원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm APF`]의 넓이의 최댓값은 그림에서와 같이 점 [eqn: rm P`]가 직선 [eqn: rm AF`]와 평행한 직선 [eqn: l`]이 타원과 접하게 되는 점 [eqn: rm P`prime `]의 위치에 있을 때이다. 직선 [eqn: rm AF`]의 기울기는 [eqn: {2 sqrt {6}} over {3-2} =2 sqrt {6}]이므로 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y`][eqn: =2sqrt6 x+sqrt{36timesleft(2sqrt6 right)^2 + 32}`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: 2sqrt6 x -y+ 8 sqrt14 =0`]

직선 [eqn: rm AF`] 위의 점 [eqn: rm F it LEFT ( 2,````0 RIGHT ) `]와 직선 [eqn: l`] 사이의 거리를 [eqn: h`]라 하면

[eqn: h= {left|`4sqrt6 `+8sqrt14`right|} over sqrt{left(2sqrt6 right)^2 + (-1)^2} `={4sqrt6 `+8sqrt14} over 5`]

[eqn: therefore][eqn: triangle rm AP`prime F `][eqn: = 1 over 2 times {rm bar AF} it `times h`]
[eqn: = 1 over 2 times 5 times {4sqrt6 `+ 8 sqrt14 } over 5`]
[eqn: =2sqrt6 `+ 4sqrt14 `]

① [eqn: sqrt{6}+3 sqrt{14}]	② [eqn: 2 sqrt{6}+3 sqrt{14}]	③ [eqn: 2 sqrt{6}+4 sqrt{14}]

④ [eqn: 2 sqrt{6}+5 sqrt{14}]	⑤ [eqn: 3 sqrt{6}+5 sqrt{14}]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 세 꼭짓점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

삼각형 [eqn: rm ABC]의 세 꼭짓점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C]에 대하여 [eqn: rm {bar{AB}} = it 3k`]라 하면

[eqn: rm {vec{AB}} it ` CDOT rm {vec{AC}} it `= {1} over {3} LEFT | ` rm {vec{AB}} ` RIGHT | ^{2} = it 3k TIMES k`]

즉, 점 [eqn: rm C`]에서 선분 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 점 [eqn: rm H]는 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1``:``2]로 내분하는 점이다

또 [eqn: rm vec AB cdot vec CB `][eqn: = rm {vec{BA}} it CDOT rm {vec{BC}} it `= it 3k TIMES 2k=6k ^{2}]이므로

[eqn: {2} over {5} LEFT | ` rm {vec{AC}} ` RIGHT | ^{2} = it 6k ^{2}], [eqn: LEFT | ` rm {vec{AC}} ` RIGHT | = sqrt {15} it k]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: rm {bar{HC}} it `= sqrt {15k ^{2} -k ^{2}} = sqrt {14} k`]

닮음인 두 삼각형 [eqn: rm AHC`]와 [eqn: rm ABD`]의 길이의 비는 [eqn: 1``:`3]이므로

[eqn: rm {bar{HC}} it ``:`` rm {bar{BD}} it `=`1`:``3`],    [eqn: sqrt {14} k``:`` sqrt {42} =1``:``3]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: k= sqrt3 over 3`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: triangle rm ABC`][eqn: = 1 over 2 times {rm bar AB}`times{rm bar HC}`]
[eqn: = 1 over 2 times 3k times sqrt14 k`]
[eqn: = {3 sqrt14 } over 2 k^2`][eqn: = sqrt14 over 2 `]

(가) [eqn: {vec{rm AB it}} cdot {vec{rm AC it}} = {1} over {3} LEFT | {vec{rm AB it}} RIGHT | ^{2}]

(나) [eqn: {vec{rm AB it}}cdot {vec{rm CB it}} = {2} over {5} LEFT | {vec{rm AC it}} RIGHT | ^{2}]

점 [eqn: {rm{B}} it]를 지나고 직선 [eqn: {rm{AB}} it]에 수직인 직선과 직선 [eqn: {rm{AC}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{D}} it]라 하자. [eqn: LEFT | {vec{rm BD it}} RIGHT | = sqrt {42}]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이는? [4점]

① [eqn: { sqrt{14}} over {6}]	② [eqn: { sqrt{14}} over {5}]	③ [eqn: { sqrt{14}} over {4}]

④ [eqn: { sqrt{14}} over {3}]	⑤ [eqn: { sqrt{14}} over {2}]

단답형

초점이 [eqn: {rm{F}} it]인 포물선 [eqn: y ^{2} =4px ~ LEFT (p>0 RIGHT )]이 점 [eqn: (-p,`` 0)]을 지나는 직선과 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]에서 만나고 [eqn: {bar{rm FA it}} ``:`` {bar{rm FB it}} =1``:``3]이다. 점 [eqn: {rm{B}} it]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{BFH}} it]의 넓이는 [eqn: 46 sqrt{3}]이다. [eqn: p^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

23

두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]를 지나는 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점의 좌표를 [eqn: rm F`prime it left(-p,``0 right)`], 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]에서 준선 [eqn: x=it-p`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A prime], [eqn: rm B `prime`]이라 하면

[eqn: rm {bar{FA}} it ``:`` rm {bar{FB}} it `= rm {bar{AA prime }} it ``:`` rm {bar{BB` prime }} it `= rm {bar{F prime A prime }} it ``:`` rm {bar{F prime B` prime }} it `=1``:``3`]

따라서 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: k`]라 하면 점 [eqn: rm B`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 3k`] 이므로

[eqn: rm A it LEFT ( {k ^{2}} over {4p} ,````k RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( {9k ^{2}} over {4p} ,````3k RIGHT ) `]

점 [eqn: rm B`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H it LEFT ( {9k ^{2}} over {4p} ,````0 RIGHT )]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm BFH`]의 넓이가 [eqn: 46 sqrt {3}]이므로

[eqn: 46 sqrt {3}][eqn: = 1 over 2 times {rm bar FH} ` times {rm bar BH}`][eqn: = 1 over 2 times left(9k^2 over 4p -p right) times 3k`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

또한 점 [eqn: rm F `prime`], [eqn: rm A`], [eqn: rm B]가 일직선상에 있으므로

[eqn: k over {k^2 over4p +p} `= 3k over {9k^2 over 4p +p}`], [eqn: 9k^2 over 4p +p = 3k^2 over 4p + 3p`]

[eqn: k^2 = 4 over 3 p^2`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: k= {2sqrt3} over 3 p`]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: 46sqrt3 `][eqn: = 1 over 2 times left(3p -p right)times2sqrt3 p`][eqn: =2sqrt3 p^2`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: p^2 =23`]

좌표공간에 두 개의 구

17

두 개의 구 [eqn: C`_1], [eqn: C`_2]의 중심 좌표를 각각 [eqn: rm C` _{1} it LEFT ( 3,````4,````1 RIGHT )], [eqn: rm C` _{2} it LEFT ( 3,````8,````5 RIGHT )]라 하자. 다음 그림에서 양의 [eqn: z`]축은 [eqn: xy`]평면에 수직인 방향이다.

두 개의 구 [eqn: C`_1], [eqn: C`_2]를 각각 [eqn: zx`]평면, [eqn: yz`]평면에 대칭시킨 것을 [eqn: C`_{1}{prime}], [eqn: C`_{2}{prime]라 하면 이 두 개의 구의 중심 좌표는 각각

[eqn: rm C` _{1} prime it LEFT ( 3,````-4,````1 RIGHT )], [eqn: rm C` _{2} prime it LEFT ( -3,````8,````5 RIGHT ) `]

이다. 이때 직선 [eqn: rm C`_{1}{prime} C`_{2}{prime}]이 두 개의 구 [eqn: C`_{1}{prime}], [eqn: C`_{2}{prime}]와 만나는 점이 [eqn: rm P_1`], [eqn: rm Q_1]이고 [eqn: zx``]평면과 만나는 점이 [eqn: rm R_1], [eqn: yz`]평면과 만나는 점이 [eqn: rm S_1]이라 할 수 있으며, 선분 [eqn: {rm{R}} it _{1} {rm{S}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{X}}]에 대하여 [eqn: {bar{rm P it _{1} rm R it _{1}}} + {bar{rm R it _{1} rm X it}}` = {bar{rm XS it _{1}}} + {bar{rm S it _{1} rm Q it _{1}}}]가 성립하므로 점 [eqn: rm X]는 선분 [eqn: rm P_1 Q_1]의 중점이다.

선분 [eqn: rm C`_{1}{prime} C`_{2}{prime}]의 길이는 [eqn: 14]이며 두 개의 구 [eqn: C`_{1}{prime}], [eqn: C`_{2}{prime}]의 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: 2]이므로

[eqn: rm {bar{C` _{1} prime P _{1}}} =1], [eqn: {rm bar {C`_{2}{prime}Q`_1} =2]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: rm {bar{P _{1} Q _{1}}} it =11]

따라서 [eqn: {rm bar {C_{1}{prime}X} `= 13 over 2`], [eqn: rm {bar{C _{2} prime X}} it `= {15} over {2}]이고 점 [eqn: rm X]는 선분 [eqn: rm C` _{1} prime C` _{2} prime]를 [eqn: 13``:``15]로 내분하므로 점 [eqn: rm X]의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: {13times(-3) + 15 times 3} over {13+15} `= 3 over 14 `]

[eqn: p=14`], [eqn: q=3]이므로

[eqn: p+q=17`]

[eqn: C _{1} `:` LEFT (x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT (y-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT (z-1 RIGHT ) ^{2} =1],

[eqn: C _{2} `:` LEFT (x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT (y-8 RIGHT ) ^{2} + LEFT (z-5 RIGHT ) ^{2} =4]

가 있다. 구 [eqn: C_{1}] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]와 구 [eqn: C_{2}] 위의 점 [eqn: rm Q it], [eqn: zx`]평면 위의 점 [eqn: {rm{R}} it], [eqn: yz`]평면 위의 점 [eqn: {rm{S}} it]에 대하여 [eqn: {bar{rm PR it}} + {bar{rm RS it}} + {bar{rm SQ it}}]의 값이 최소가 되도록 하는 네 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it], [eqn: {rm{S}} it]를 각각 [eqn: {rm{P}} it _{1}], [eqn: {rm{Q}} it _{1}], [eqn: {rm{R}} it _{1}], [eqn: {rm{S}} it _{1}]이라 하자. 선분 [eqn: {rm{R}} it _{1} {rm{S}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{X}} it]에 대하여

[eqn: {bar{rm P it _{1} rm R it _{1}}} + {bar{rm R it _{1} rm X it}} = {bar{rm XS it _{1}}} + {bar{rm S it _{1} rm Q it _{1}}}]

일 때, 점 [eqn: {rm{X}} it]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2024학년도 사관학교 해설

1	④	2	②	3	⑤	4	③	5	①
6	⑤	7	④	8	③	9	②	10	①
11	②	12	④	13	⑤	14	①	15	⑤
16	62	17	16	18	184	19	12	20	11
21	29	22	54
[확률과 통계]				23	③	24	①	25	②
26	④	27	⑤	28	④	29	8	30	166
[미적분]				23	⑤	24	②	25	③
26	①	27	④	28	③	29	20	30	13
[기하]				23	④	24	⑤	25	①
26	②	27	③	28	⑤	29	23	30	17