수학 영역

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16

2023학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역

제 2 교시

5지선다형

[eqn: 4 over { 3^-2 + 3^-3 }`]의 값은? [2점]

③

[eqn: {4} over {3 ^{-3} LEFT ( 3+1 RIGHT )} =27]

① [eqn: 9`]	② [eqn: 18`]	③ [eqn: 27`]	④ [eqn: 36`]	⑤ [eqn: 45`]

함수 [eqn: f(x)= (x^3 -2x^2 +3)(ax+1)``]에 대하여 [eqn: f`'(0)=15``]일 때, 상수 [eqn: a``]의 값은? [2점]

②

[eqn: 3a=15],  [eqn: THEREFORE `a=5]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 11`]

등비수열 [eqn: left{ a_n right}``]에 대하여

④

[eqn: {a _{3}^{~2}} over {a _{4}^{~2}} = {1} over {r ^{2}} =2]	[eqn: ⟹~r ^{2} = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ~a _{4} =a _{2} r ^{2} =4times {1} over {2} =2]

[eqn: a_2 =4`,```` { (a_3 )^2} over { a_1 times a_7 } =2``]

일 때, [eqn: a_4``]의 값은? [3점]

① [eqn: root2 over2 ``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: root2]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 2root2]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

④

[eqn: 2+2=4]

[eqn: lim _{ x->1+} {f(x) } + lim _{ x->3- } { f(x)}``]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

이차방정식 [eqn: 5x^2 -x+a=0``]의 두 근이 [eqn: sin theta `,````cos theta ``]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

①

[eqn: {cases{sin`theta+cos`theta= {1} over {5}&#sin`theta{cos`theta}= {a} over {5}&}}]

[eqn: ⟹~1+2sin`theta{cos`theta}= {1} over {25} ~⟹~sin`theta{cos`theta}=it- {12} over {25}]

[eqn: THEREFORE ~a=5sin`theta{cos`theta}=it- {12} over {5}]

① [eqn: - 12 over5 `]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: - 8 over5 `]	④ [eqn: - 6 over5 `]	⑤ [eqn: - 4 over5]

함수 [eqn: f(x) = 1 over2 x^4 + ax^2 +b``]가 [eqn: x=a `]에서 극소이고 극댓값 [eqn: a+8`]을 가질 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +2ax=0`] [eqn: RARROW ```x=`- sqrt {-a} `,``0`,`` sqrt {-a}]

[eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) =2a ^{3} +2a ^{2} =0~⟹~a= it -1]

[eqn: f(0)=a+8=b] [eqn: RARROW ``b=7]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

그림과 같이 직선 [eqn: y=mx+2 ```(m>0)``]이 곡선 [eqn: y= 1 over3 left( 1 over2 right)^{x-1} ``]과 만나는 점을 [eqn: A``], 직선 [eqn: y=mx+2`]가 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: B`,```C``]라 하자. [eqn: bar{AB``} `:`bar{AC``}`=`2`:`1``]일 때, 상수 [eqn: m`]의 값은?

③

[eqn: {1} over {3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1} = {4} over {3}]

[eqn: 2 ^{1-x} =2 ^{2}]

[eqn: x=it-1]

[eqn: THEREFORE ~m= {2} over {3}]

[3점]

① [eqn: 7 over12 `]	② [eqn: 5 over8 `]	③ [eqn: 2 over3 `]	④ [eqn: 17 over 24 `]	⑤ [eqn: 3 over4 `]

함수

②

[eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2x-2&~ LEFT ( x<a RIGHT )#~~~2&~ LEFT ( x>a RIGHT )}}]

[eqn: {cases{a ^{2} -2a=2a+b&#2a-2=2&}}]

[eqn: THEREFORE ~a=2,~b=it-4]

[eqn: f(x)= cases{ ``x^2 -2x ~~~~&(x<a)#``2x+b&(x>=a)}``]

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a+b``]의 값은? (단, [eqn: a,```b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -4`]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4`]

곡선 [eqn: y= vert log _2 (-x) vert``]를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: k`]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f`(x)`]라 하자.
곡선 [eqn: y=f`(x)`]와 곡선 [eqn: y= vert log _2 (-x+8) vert``]이 세 점에서 만나고 세 교점의 [eqn: x`]좌표의 합이 [eqn: 18`]일 때, [eqn: k`]의 값은? [4점]

④

[eqn: f(x)= `vert `` log _2 `(x-k)`` vert ``]

교점을 구하는 방정식은 [eqn: `vert `` log` _2 `(x-k)`` vert `=` vert ``log` _2 `(-x+8)``vert``]

ⅰ) [eqn: x-k=-x+8`]이면 [eqn: x= {k+8} over2]

ⅱ) [eqn: (x-k)(-x+8)=1`]이면 두 근의 합은 [eqn: k+8``]

따라서 세 실근의 합 [eqn: 3 over2 (k+8)=18``]이므로 [eqn: k=4]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

사차함수 [eqn: f`(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f`(2)`]의 값은?

②

사차부등식 [eqn: xf`'(x)>0`]을 만족시키는 해집합이 [eqn: 1<x<3`]이려면

[eqn: f`'(x)=4ax(x-1)(x-3)``]이고 [eqn: a<0`]이어야 함

[eqn: f`'(4)=48a=-24`]이므로 [eqn: a=- 1 over2 `]

적분하면 [eqn: f(x)= - 1over2 x^4 + 8 over3 x^3 -3x^2 +2`]

따라서 [eqn: f(2)= 10 over3 `]

[4점]

가) [eqn: f`(0)=2`]이고 [eqn: f``'(4)= -24`]이다.

나) 부등식 [eqn: xf`'(x)>0 `]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x`]의 값의 범위는 [eqn: 1<x<3`]이다.

① [eqn: 3`]	② [eqn: 10 over3 `]	③ [eqn: 11 over3 `]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 13 over 3 `]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n`]이 직선 [eqn: y=x`]와 만나는 점을 [eqn: P_n`], 곡선 [eqn: y= 1 over20 x left( x+ 1 over3 right) `]과 만나는 점을 [eqn: Q_n`], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: R_n `]이라 하자. 두 선분 [eqn: P_n Q_n `,```Q_n R_n ``]의 길이 중 작은 값을 [eqn: a_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ 10}a_n `]의 값은? [4점]

⑤

[eqn: bar{P_n Q_n ``}= - 1 over 20 n^2 + 59 over 60 n ``], [eqn: bar{Q_n R_n ``} = 1 over 20 n^2 + 1 over 60 n ``]

두 선분의 길이가 같아지는 [eqn: n= 29 over3 ``]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ 10}a_n `][eqn: = sum _{ n=1} ^{9 } { 1 over20 n^2 + 1 over 60 n}+ left( -5 + 59 over6 right)``]

[eqn: =10+ 59 over 6 = 119 over6 ``]

① [eqn: 115 over6 `]	② [eqn: 58 over3 `]	③ [eqn: 39 over 2 `]	④ [eqn: 59 over3 `]	⑤ [eqn: 119 over6 `]

함수

①

주어진 조건을 만족하려면 [eqn: f(alpha)=2 ``]이거나 [eqn: alpha=2 `]이다.

ⅰ) [eqn: alpha=2 `]이면 [eqn: 5+2a+b=4`]

[eqn: f(alpha)=2`]이면 [eqn: alpha= -1`,````1`] 또는 [eqn: a+b=2`]이어야 함.

이때 준식을 만족하는 [eqn: alpha`]는 [eqn: 4`]개이고 총합이 [eqn: 8`]이므로 남은 [eqn: alpha``]는 [eqn: 6`]이다.

따라서 [eqn: 6a+b=2`]가 된다.

[eqn: a`,````b`]를 연립하면 [eqn: a= 3 over4 `]이므로

[eqn: a+b= - 7 over 4 ``]

[eqn: f(x)= cases{ ``x^2 +1 ~~~~&(x<=2) # ``ax+b &(x>2)}``]

에 대하여 [eqn: f(alpha)+ lim _{ x->alpha+ } { f(x)}=4``]를 만족시키는 실수 [eqn: alpha``]의 개수가 [eqn: 4``]이고, 이 네 수의 합이 [eqn: 8``]이다. [eqn: a+b``]의 값은? (단, [eqn: a,```b`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: - 7 over4 `]	② [eqn: - 5 over4 `]	③ [eqn: - 3 over4 `]	④ [eqn: - 1 over4 `]	⑤ [eqn: 1 over4 `]

그림과 같이 중심이 [eqn: o_1 `]이고 반지름의 길이가 [eqn: r`(r>3)`]인 원 [eqn: C_1 `]과 중심이 [eqn: O_2 `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1``]인 원 [eqn: C_2 `]에 대하여 [eqn: bar{ O_1 O_2 ``} =2``]이다. 원 [eqn: C_1 `]위를 움직이는 점 [eqn: A`]에 대하여 직선 [eqn: AO_2 `]가 원 [eqn: C_1 `]과 만나는 점 중 [eqn: A`]가 아닌 점을 [eqn: B`]라 하자. 원 [eqn: C_2 `]위를 움직이는 점 [eqn: C`]에 대하여 직선 [eqn: AC``]가 원 [eqn: C_1 `]과 만나는 점 중 [eqn: A`]가 아닌 점을 [eqn: D``]라 하자. 다음은 [eqn: bar{BD``} `]가 최대가 되도록 네 점 [eqn: A,```B,```C,```D``]를 정할 때, [eqn: bar{ O_1 C``}`^2 ``]을 [eqn: r`]에 관한 식으로 나타내는 과정이다.

④

(가)[eqn: =r `], (나)[eqn: =r-2 `], (다)[eqn: = {r^2 -4} over { (r-2)^2 } +4 ``]

[eqn: THEREFORE `8 TIMES 3 TIMES 6=144]

삼각형 [eqn: ADB``]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: bar{ BD``} over {sin A} = (가) `]

이므로 [eqn: bar{BD``}``]가 최대이려면 직선 [eqn: AD``]가 원 [eqn: C_2 `]와 점 [eqn: C``]에서 접해야 한다.

이때 직각삼각형 [eqn: ACO_2 `]에서 [eqn: sin A `=` 1 over{ bar{ AO_2 ``}} `]이므로

[eqn: bar{ BD``}`=` 1 over {bar{AO_2``}} times (가)`]

이다.

그러므로 직선 [eqn: AD``]가 원 [eqn: C_2 ``]와 점 [eqn: C``]에서 접하고
[eqn: bar{AO_2 ``}`]가 최소일 때, [eqn: bar{ BD``}``]는 최대이다.

[eqn: bar{AO_2 ``}`]의 최솟값은 [eqn: (나)`]이므로

[eqn: bar{ BD``}``]가 최대일 때, [eqn: bar{ O_1 C``}`^2 `=` (다)`]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(r), ```g(r),```h(r)``]라 할 때, [eqn: f(4)timesg(5)timesh(6)``]의 값은? [4점]

① [eqn: 216`]	② [eqn: 192`]	③ [eqn: 168`]	④ [eqn: 144`]	⑤ [eqn: 120`]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

②

[eqn: g(x)= 2f(1)-f(x)`]를 정리하면 [eqn: {g(x)+f(x)} over2 =f(1)`]

[eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]가 [eqn: y=f(1)`]에 대하여 대칭임을 의미한다.

ㄱ. 연속인 함수의 일부를 대칭시켰고 경계점에서 연속이므로 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)= x^2 +ax+b `]라 하면
[eqn: g(-1)=f(-1)=3`]이고
[eqn: lim _{ h -> 0+} { { g(-1+h) -3 +g(-1-h) -3} over h }``]
[eqn: = lim _{ x->-1+ } { g`'(x)} `- lim _{ x->-1 -} { g`'(x) }`=0`]이므로 [eqn: a=0`]
[eqn: g(1)=f(1)=1`]이므로 [eqn: f(x)= x^2 -x+1 `]

ㄷ. ㄴ과 마찬가지로 [eqn: g(b)=3``]이고
[eqn: lim _{ x->b+} {g`'(x)} `- lim _{ x->b- } { g`'(x) } =4 `]
[eqn: t!=1 `]에서 [eqn: lim _{ x->t+} {g`'(x)} `- lim _{ x->t- } { g`'(x) } =0 `]이므로
[eqn: lim _{ x->b+} {g`'(x)} `- lim _{ x->b- } { g`'(x) } =4 `]일 가능성이 있는 [eqn: b``]는 [eqn: 1`]뿐이다.
그러면 [eqn: g(1)==f(1)=3``]이고 [eqn: -f`'(1)-f`'(1)=4`]이므로
[eqn: f`'(1)=-2`]
[eqn: f(x)=x^2 +mx+n``]이라 하면 [eqn: m+n=2`], [eqn: 2+m=-2`]이므로
[eqn: m=-4`,```` n=6``]이고
[eqn: g(4)=6-f(4)=6-6=0`] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[eqn: g(x)= cases{ ``f(x) ~~~~&(x<1)#``2f(1)-f(x) ~~&(x>=1)}``]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 함수 [eqn: g(x)`]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄴ. [eqn: lim _{ h -> 0+} { { g(-1+h)+g(-1-h) -6} over h }=a``]([eqn: a``]는 상수)이고 [eqn: g(1)=1`]이면 [eqn: g(a)=1``]이다. ㄷ. [eqn: lim _{ h -> 0+} { { g(b+h)+g(b-h) -6} over h }=4``]([eqn: b`]는 상수)이면 [eqn: g(4)=1 `]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수

⑤

주기가 [eqn: pi`]가 되려면 [eqn: b=4 ``] 또는 [eqn: b=2 ``]여야만 함.

ⅰ) [eqn: b=2 `]이면 [eqn: f(x)= ` vert` 2a cos 2x `vert``]이므로 [eqn: y= 2a-1`]과 교점이 4개가 생기려면 [eqn: 2a-1>0`]이면 된다. 따라서 만족하는 자연수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 10`]개

ⅱ) [eqn: b=4 ``]이면 [eqn: f(x)= ` vert`` 2a cos 2x - 2(a-2)``vert``]이므로 [eqn: y=2a-1`]과 교점이 4개 생기려면 [eqn: a!=2 `]이면 된다. 이를 만족하는 자연수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 9`]개

따라서 모든 순서쌍의 개수는 [eqn: 19`]개

[eqn: f(x)= ` left vert 2a cos b over2 x -(a-2)(b-2) `` right vert ``]

가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: 10`]이하의 자연수 [eqn: a,```b`]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b)``]의 개수는? [4점]

가) 함수 [eqn: f(x)`]는 주기가 [eqn: pi`]인 주기함수이다.

나) [eqn: 0<=x<=2pi ``]에서 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선
[eqn: y=2a-1 ``]의 교점의 개수는 [eqn: 4``]이다.

① [eqn: 11`]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 15`]	④ [eqn: 17`]	⑤ [eqn: 19`]

단답형

[eqn: log `_3 `a times log `_3 ` b = 2``]이고 [eqn: log `_a `3 + log ` _b `3 = 4``]일 때, [eqn: log `_3 `ab``]의 값을 구하시오. [3점]

8

[eqn: log` _{3} `a=A], [eqn: log` _{3} `b=B]라 하면

[eqn: {cases{AB=2&#{1} over {A} + {1} over {B} =4&}}]	[eqn: ⟹~ {A+B} over {AB} =4]

[eqn: THEREFORE ~A+B=8]

함수 [eqn: f(x)=3x^3 -x +a `]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)``]위의
점 [eqn: (1,```f(1))`]에서의 접선이 원점을 지날 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

6

[eqn: LEFT ( 1,~a+2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 0,~0 RIGHT )]

[eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =9x ^{2} -1~⟹~f`prime LEFT ( 1 RIGHT ) =8=a+2]

[eqn: THEREFORE ~a=6]

곡선 [eqn: y=x^3 +2x ``]와 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=3x+6``]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [3점]

10

[eqn: x ^{3} +2x=3x+6]

[eqn: x ^{3} -x-6=0]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+3 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~S= int _{0} ^{2} {LEFT ( -x ^{3} +x+6 RIGHT ) `dx=10}]

수열 [eqn: left{ a_n right} ``]은 [eqn: a_1 = 1 `]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

64

							[eqn: a _{8} =8]
					[eqn: a _{4} =4]
			[eqn: a _{2} =2]				[eqn: a _{9} =12]
					[eqn: a _{5} =6]
[eqn: a _{1} =1]
					[eqn: a _{6} =6]
			[eqn: a _{3} =3]
					[eqn: a _{7} =9]

[eqn: a _{k} =64~⟹~k=64]

[eqn: a_2n = 2a_n `,````a_2n+1 =3 a_n ``]

을 만족시킨다. [eqn: a_7 +a_8 =73``]인 자연수 [eqn: k`]의 값을 구하시오.

[3점]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P``]의 시각
[eqn: t`(t>=0)`]에서의 속도는

14

(가), (나)의 조건에 따르면

[eqn: s(3)-x(3)=8`]이고 [eqn: k=3`], [eqn: int _{ t_1} ^{3 } {v(t) }dt =4`]

[eqn: int _{ t_1} ^{3 } {v(t) }dt =4` = 1 over2 cdot (3-t_1 )cdot4 `]이므로 [eqn: t_1 = 1`]

그러므로 [eqn: vert` 3a-b ` vert =4`]이고 [eqn: 2a-b=0`]

따라서 [eqn: a=4,```b=8`]

[eqn: v(6)=12`]이므로

[eqn: int _{1} ^{6} {v(t)}dt = int _{ 1} ^{3 } { v(t)}dt+ int _{ 3} ^{6 } {v(t) }dt ``]

[eqn: = -4+ 1 over2 cdot 3 cdot12 =14`]

[eqn: v(t)= ` vert``at-b``vert -4 ````(a>0,```b>4)``]

이다. 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=k`]까지 점 [eqn: P``]가 움직인 거리를 [eqn: s(k)`], 시각 [eqn: t-0`]에서 [eqn: t=k`]까지 점 [eqn: P``]의 위치의 변화량을 [eqn: x(k)`]라 할 때, 두 함수 [eqn: s(k),```x(k)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

가) [eqn: 0<=k<3`]이면 [eqn: s(k)-x(k)<8``]이다.

나) [eqn: k>=3 `]이면 [eqn: s(k)-x(k)=8``]이다.

시각 [eqn: t=1`]에서 [eqn: t=6``]까지 점 [eqn: P``]의 위치의 변화량을 구하시오.
(단, [eqn: a,```b`]는 상수이다.) [4점]

등차수열 [eqn: left{ a_n right} `]이 다음 조건을 만족시킨다.

35

(나)-(가)를 하면 [eqn: (l+m-13)d= 3over2 ``]

[eqn: l+m-13= 3 over 2d ``]이므로 [eqn: 2d= -3`,````-1`,````1`,````3``]이고

[eqn: l+m=10`,```` 12`,```` 14`,````16``]

여기서 [eqn: a_l +a_m =1``]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (l`,```m)`]의 개수가 [eqn: 6`]이 되려면

[eqn: l+m=14`]이고 [eqn: a_6 +a_8 =1 `]이므로 [eqn: d = 3 over2 ``]

[eqn: sum _{n=1 } ^{14 } a_n = {(a_1 + a_14 ) }over2 cdot14 =7(a_6 + a_9 )= 7 left( 1+ 3 over2 right)= 35 over2 ``]

따라서 [eqn: 2S= 35`]

가) [eqn: a_6 +a_7 = - 1 over2 ``]

나) [eqn: a_l +a_m =1``]이 되도록 하는 두 자연수 [eqn: l`,```m``(l<m`)`]의
모든 순서쌍 [eqn: (l`,```m)`]의 개수는 [eqn: 6`]이다.

등차수열 [eqn: left{ a_n right} `]의 첫째항부터 제[eqn: 14`]항까지의 합을 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 2S``]의 값을 구하시오. [4점]

최고차항의 계수가 정수인 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여
[eqn: f(1)=1`,```f`'(1)=0``]이다. 함수 [eqn: g(x)`]를

11

[eqn: g(x)= cases{ ``2f(x)-1 ~~~~&(f(x)>=1)#``1&(f(x)<1)}``]

(가)에서

[eqn: y=f(x)`,```y=g(x)``]의 그래프의 교점은 [eqn: vert` f(x)-1 ` vert =0`]에서 생김.

[eqn: y=f(x)`,```y=g(x)``]의 그래프의 교점의 [eqn: x``]좌표 합은 3이고

[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1``]에서 [eqn: y=1`]에 접하므로

[eqn: f(x)= a(x-1)^2 (x-2)+1`]

(나)를 만족시키려면 [eqn: a<0`]

[eqn: int _{0} ^{n} { g(x)}dx``]는 [eqn: x=2``]에서 가장 크므로

[eqn: int _{0} ^{2} { g(x)}dx`= 2a int _{ 0} ^{2 } {(x-1)^2 (x-2) }dx +2]

[eqn: = 2a left{int _{ 0} ^{2 } {(x-1)^3 }dx - int _{ 0} ^{2 } {(x-1)^2 }dx right} +2`]

[eqn: = 2- 4 over3 a ``]

[eqn: 2<2- 4 over3 a `< 2+16`]이므로 [eqn: a>-12`]

따라서 이를 만족하는 함수 [eqn: f(x)`]의 개수는 [eqn: 11`]개다.

[eqn: g(x)= f(x)+ vert``f(x)-1``vert ``]

이라 할 때, 함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 함수 [eqn: f(x)``]의 개수를 구하시오. [4점]

가) 두 함수 [eqn: y=f(x)`,```y=g(x)``]의 그래프의 모든 교점의
[eqn: x`]좌표의 합은 [eqn: 3`]이다.

나) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n< int _{ 0} ^{n } {g(x) }dx<n+16``]이다.

2023학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(확률과 통계)

제 2 교시

5 지선다형

[eqn: (x+2)^6 ``]의 전개식에서 [eqn: x^4 `]의 계수는? [2점]

②

[eqn: {}_{6} {rmC} _{4} TIMES 2 ^{2} =60]

① [eqn: 58`]	② [eqn: 60`]	③ [eqn: 62`]	④ [eqn: 64`]	⑤ [eqn: 66`]

이산확률변수 [eqn: X``]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

③

[eqn: a+ {a} over {2} + {a} over {3} =1~⟹~a= {6} over {11}]

[eqn: rm E LEFT ( X` RIGHT ) =a+a+a= {18} over {11} ~]

[eqn: rm THEREFORE E(11X+2)][eqn: =20]

[eqn: X``]	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]	[eqn: 3`]	합계
[eqn: P`(X=x)`]	[eqn: a`]	[eqn: a over2 `]	[eqn: a over3 `]	[eqn: 1`]

[eqn: E`(11X+2)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 18`]	② [eqn: 19`]	③ [eqn: 20`]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

□	P□□ ≤ □ ≤ □□
□□□	□□□□□□
□□□	□□□□□□
□□□	□□□□□□
□□□	□□□□□□

어느 회사에서 근무하는 직원들의 일주일 근무 시간은 평균이 [eqn: 42`]시간, 표준편차가 [eqn: 4`]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 근무하는 직원 중에서 임의추출한 [eqn: 4`]명의 일주일 근무 시간의 표본평균이 [eqn: 43`]시간 이상일 확률을 오른쪽 정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

④

[eqn: Z= {{bar{X}} -42} over {{4} over {sqrt {4}}} = {{bar{X}} -42} over {2}]

[eqn: {rmP} LEFT ( {bar{X}} GEQ 43 RIGHT ) ={rmP} LEFT ( Z GEQ {1} over {2} RIGHT ) =0.3085]

① [eqn: 0.0228`]	② [eqn: 0.0668`]	③ [eqn: 0.1587`]

④ [eqn: 0.3085`]	⑤ [eqn: 0.3413`]

세 학생 [eqn: A,```B,```C`]를 포함한 [eqn: 6`]명의 학생이 있다. 이 [eqn: 6`]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, [eqn: A`]와 [eqn: C`]는 이웃하지 않고, [eqn: B`]와 [eqn: C``]도 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

③

[eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: =n LEFT ( S RIGHT ) -n LEFT ( A ^{C} CUP B ^{C} RIGHT )]
[eqn: =5!-2 TIMES LEFT ( 4! TIMES 2! RIGHT ) +3! TIMES 2]
[eqn: =36]

① [eqn: 24`]	② [eqn: 30`]	③ [eqn: 36`]	④ [eqn: 42`]	⑤ [eqn: 48`]

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a,```b]라 하자. 이차부등식 [eqn: ax ^2`+2bx+a-3 LEQ 0`]의 해가 존재할 확률은?

①

[eqn: {D} over {4} =b ^{2} -a ^{2} +3a GEQ 0]

[eqn: b ^{2} GEQ a LEFT ( a-3 RIGHT )]

[eqn: a]	[eqn: b]
[eqn: 1]	[eqn: 1 SIM 6]
[eqn: 2]	[eqn: 1 SIM 6]
[eqn: 3]	[eqn: 1 SIM 6]
[eqn: 4]	[eqn: 2 SIM 6]
[eqn: 5]	[eqn: 4 SIM 6]
[eqn: 6]	[eqn: 5 SIM 6]

[eqn: THEREFORE ~ {28} over {36} = {7} over {9}]

[3점]

① [eqn: 7 over9 `]	② [eqn: 29 over 36`]	③ [eqn: 5 over 6`]	④ [eqn: 31 over 36`]	⑤ [eqn: 8 over9 `]

두 집합 [eqn: X= left{ 1,```2,```3,```4 right} ``], [eqn: Y = left{ 0,```1,```2,```3,```4,```5,```6 right}``]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: Y`]로의 함수 [eqn: f`]중에서

④

[eqn: {}_{4} {rmH} _{8} - LEFT ( 4+ {4!} over {2!} RIGHT ) =165-16=149]

[eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8``]

을 만족시키는 함수 [eqn: f`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 137`]	② [eqn: 141`]	③ [eqn: 145`]	④ [eqn: 149`]	⑤ [eqn: 153`]

단답형

서로 다른 두 자연수 [eqn: a,```b`]에 대하여 두 확률변수 [eqn: X,```Y`]가 각각 정규분포 [eqn: N`(a,``` sigma^2 )`], [eqn: N`(2b-a,``` sigma^2 )``]을 따른다. 확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)`]와 확률변수 [eqn: Y``]의 확률밀도함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b``]의 값을 구하시오. [4점]

25

[eqn: 17-a>a-12> LEFT | `a-15` RIGHT |]

[eqn: 11<a<14.5]

[eqn: a=not12], [eqn: not13], [eqn: 14]

(가) [eqn: P`(X<=11)`=` P`(Y>=11)`]

(나) [eqn: f(17)<g(10)<f(15)``]

그림과 같이 두 주머니 [eqn: A`]와 [eqn: B`]에 흰 공 [eqn: 1`]개, 검은 공 [eqn: 1`]개가 각각 들어 있다. 주머니 [eqn: A`]에 들어 있는 공의 개수 또는 주머니 [eqn: B`]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 0`]이 될 때까지 다음의 시행을 반복한다.

27

[eqn: THEREFORE ~ {{3} over {18}} over {{4} over {18}} = {3} over {4} =p~⟹~36p=27]

두 주머니 [eqn: A,```B`]에서 각각 임의로 하나씩 꺼낸 두 개의 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 [eqn: A`]에 넣고, 서로 다른 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 [eqn: B`]에 넣는다.

[eqn: 4`]번째 시행의 결과 주머니 [eqn: A`]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 0`]일 때, [eqn: 2`]번째 시행의 결과 주머니 [eqn: A``]에 들어 있는 흰 공의 개수가 [eqn: 1`]이상일 확률은 [eqn: p`]이다. [eqn: 36p`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2023학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(미적분)

제 2 교시

5 지선다형

[eqn: lim _{ n->inf} { 1 over { root{an^2 +bn} - root{ n^2 -1} }=4``]일 때, [eqn: ab``]의 값은? (단, [eqn: a,```b`]는 상수이다.) [2점]

②

[eqn: a=1]

[eqn: {1} over {sqrt {n ^{2} +bn} - sqrt {n ^{2} -1}} = {2n} over {bn+1} ~⟹~ {2} over {b} =4~⟹~b= {1} over {2}]

① [eqn: 1 over4 `]	② [eqn: 1 over2 `]	③ [eqn: 3 over 4 `]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 5 over4]

함수 [eqn: f(x)= x^3 +3x+1 ``]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 하자.
함수 [eqn: h(x)= e^x `]에 대하여 [eqn: left( h circ g right)`'(5)`]의 값은? [3점]

③

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =5], [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +3], [eqn: h`prime LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x}]

[eqn: THEREFORE ~h`prime LEFT ( g LEFT ( 5 RIGHT ) RIGHT ) g`prime LEFT ( 5 RIGHT ) =h`prime LEFT ( 1 RIGHT ) TIMES {1} over {f`prime LEFT ( 1 RIGHT )} = {e} over {6}]

① [eqn: e over8 `]	② [eqn: e over7 `]	③ [eqn: e over6]	④ [eqn: e over5]	⑤ [eqn: e over4]

함수 [eqn: f(x)= x^2 e^{ x^2 -1} ``]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n } { 2 over{n+k} f left( 1+ k overn right) }``]의 값은? [3점]

①

[eqn: {{2} over {n}} over {1+ {k} over {n}} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ~⟹~2 int _{1} ^{2} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} `dx}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {2xe ^{x ^{2} -1} `dx} = LEFT [ pile{it#it} e ^{x ^{2} -1} RIGHT ] _{1}^{2} =e ^{3} -1]

① [eqn: e^3 -1 `]	② [eqn: e^3 - 1 over e `]	③ [eqn: e^4 -1 `]

④ [eqn: e^4 - 1 over e `]	⑤ [eqn: e^5 -1]

구간 [eqn: (0,```inf)`]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 있다. 모든 양수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)`]위의 점 [eqn: (t,```f(t))`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {ln t} over t^2 ``]이다. [eqn: f(1)=0`]일 때, [eqn: f(e)``]의 값은? [3점]

④

[eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) = {ln`x} over {x ^{2}}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it- {ln`x} over {x} - {1} over {x} +1]

[eqn: f LEFT ( e RIGHT ) =it- {2} over {e} +1= {e-2} over {e}]

① [eqn: {e-2} over 3e `]	② [eqn: {e-2} over 2e `]	③ [eqn: {e-1} over 3e `]

④ [eqn: {e-2} over e `]	⑤ [eqn: {e-1} over e `]

그림과 같이 [eqn: bar{A_1 B_1 }=4`], [eqn: bar{A_1 D_1}=3``]인 직사각형 [eqn: A_1 B_1 C_1 D_1 ``]이 있다. 선분 [eqn: A_1 D_1 `]을 [eqn: 1:2 `,````2:1`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: E_1 `,````F_1 ``]이라 하고, 두 선분 [eqn: A_1 B_1 `,````D_1 C_1 ``]을 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: G_1 `,````H_1 ``]이라 하자. 두 삼각형 [eqn: C_1 E_1 G_1 `,```` B_1 H_1 F_1 ``]로 만들어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1 `]이라 하자.
그림 [eqn: R_1 `]에서 두 선분 [eqn: B_1 H_1 `,````C_1 G_1 ``]이 만나는 점을 [eqn: I_1 ``]이라 하자. 선분 [eqn: B_1 I_1 ``]위의 점 [eqn: A_2 `], 선분 [eqn: C_1 I_1 ``]위의 점 [eqn: D_2 `], 선분 [eqn: B_1 C_1 ``]위의 두 점 [eqn: B_2 `,```C_2 ``]를 [eqn: bar{ A_2 B_2 } `:`bar{ A_2 D_2 }=4:3`]인 직사각형 [eqn: A_2 B_2 C_2 D_2 ``]가 되도록 잡는다. 그림 [eqn: R_1 `]을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: A_2 B_2 C_2 D_2 ``]에  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2 ``]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n ``]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n ``]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { S_n}``]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: S _{1} =12- LEFT ( {3} over {2} + {9} over {4} +3 RIGHT ) = {21} over {4}]

[eqn: 11x=3~⟹~x= {3} over {11}]

[eqn: THEREFORE ~ {{21} over {4}} over {1- {9} over {121}} = {363} over {64}]

⋯

[eqn: R_1 `]	[eqn: R_2 `]

① [eqn: 347 over 64 `]	② [eqn: 351 over 64`]	③ [eqn: 355 over 64 `]	④ [eqn: 359 over 64]	⑤ [eqn: 363 over 64]

[eqn: 0<a<1``]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 구간 [eqn: left[ 0,``` pi over2 right) ``]에서 정의된 두 함수

②

[eqn: sin`x=a{tan`x}~⟹~cos`x=a] 또는 [eqn: x=0]

[eqn: cos`theta=a]

[eqn: f LEFT ( a RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{theta} {LEFT ( sin`x-a{tan`x} RIGHT ) `dx= LEFT [ pile{it#it} -cos`x+{a}ln` LEFT | cos`x RIGHT | RIGHT ]} _{0}^{theta}]
[eqn: =1-cos`theta+{a}ln` LEFT | cos`theta RIGHT | =1-a+{a}ln`a]

[eqn: f`prime LEFT ( a RIGHT ) =it-1+ln`a+1=ln`a]

[eqn: f`prime LEFT ( e ^{-2} RIGHT ) =it-2]

[eqn: y= sin x `,```` y=a tan x ``]

의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f(a)`]라 할 때, [eqn: f`' left( 1 over e^2 right)``]의 값은? [4점]

① [eqn: - 5 over2]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - 3 over2]	④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - 1 over2]

단답형

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over2 `]인 부채꼴 [eqn: OAB``]에서 선분 [eqn: OB``]를 [eqn: 2:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: C``]라 하자. 점 [eqn: P``]에서 호 [eqn: AB`]에 접하는 직선과 직선 [eqn: OB`]의 교점을 [eqn: Q``]라 하고, 점 [eqn: C``]에서 선분 [eqn: PB``]에 내린 수선의 발을 [eqn: R``], 점 [eqn: R``]에서 선분 [eqn: PQ``]에 내린 수선의 발을 [eqn: S`]라 하자. [eqn: anglePOB = theta ``]일 때, 삼각형 [eqn: OCP``]의 넓이를 [eqn: f(theta)`], 삼각형 [eqn: PRS``]의 넓이를 [eqn: g(theta)``]라 하자.
[eqn: 80 times lim _{ theta->0+} {{ g(theta)} over { theta^2 times f(theta)} }``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta < pi over 2 ``]) [4점]

49

[eqn: f( theta )= {1} over {2} TIMES 5 TIMES 2 TIMES sin theta =5sin theta]

[eqn: {rm {bar{PC}} }= sqrt {25+4-20cos`theta} = sqrt {29-20cos`theta}]

[eqn: a ^{2}][eqn: =29-20cos` theta -9cos ^{2} ` {theta } over {2}]
[eqn: =20 LEFT ( 1-cos`theta RIGHT ) +9 LEFT ( 1-cos ^{2} ` {theta} over {2} RIGHT )]
[eqn: = {20`sin ^{2} theta } over {1+cos theta } +9sin ^{2} {theta } over {2}]

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} a ^{2} sin` {theta } over {2} cos` {theta } over {2}][eqn: = {1} over {4} a ^{2} `sin theta]
[eqn: = {1} over {4} `sin theta ` TIMES][eqn: LEFT ( {20`sin ^{2} theta } over {1+cos theta } +9sin ^{2} {theta } over {2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``][eqn: 80 TIMES lim _{theta -> 0} {} {g( theta )} over {theta ^{2} TIMES f( theta )}]
[eqn: =80 TIMES lim _{theta -> 0} {} {{1} over {4} `sin theta TIMES LEFT ( {20`sin ^{2} theta } over {1+cos theta } +9`sin ^{2} {theta } over {2} RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES 5sin theta }]
[eqn: =80 TIMES LEFT ( {{1} over {4} TIMES LEFT ( {20} over {2} +9 TIMES {1} over {4} RIGHT )} over {5} RIGHT )]
[eqn: =49]

최고차항의 계수가 [eqn: -2``]인 이차함수 [eqn: f(x)``]와
두 실수 [eqn: a``(a>0),```b`]에 대하여 함수

4

(가) [eqn: lim _{x`-> `0-} {` {f LEFT ( x+1 RIGHT )} over {x} =2}]
[eqn: ⟹~f LEFT ( x+1 RIGHT ) =it-2x ^{2} +2x]
[eqn: ⟹~f LEFT ( x RIGHT ) =it-2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( x-1 RIGHT ) =it-2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: g` prime LEFT ( a RIGHT )][eqn: =f LEFT ( a RIGHT ) +f` prime LEFT ( a RIGHT )]
[eqn: =-2 LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a-2 RIGHT ) -2 LEFT ( 2a-3 RIGHT )]
[eqn: = it -2 LEFT ( a ^{2} -a-1 RIGHT ) = it -2]
[eqn: ⟹~a=2]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-2x+2&~ LEFT ( x<0 RIGHT )#-2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) e ^{x-2} +b&~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

[eqn: b=g LEFT ( 2 RIGHT ) =it-2~⟹~a-b=4]

[eqn: g(x)= cases{ `` { f(x+1)} overx ~~~~~&(x<0)#``f(x)e^{x-a} +b&(x>=0)}``]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{ x->0-} { g(x)}=2``]이고 [eqn: g`'(a)=-2``]이다.

(나) [eqn: s<0<=t``]이면 [eqn: { g(t)-g(s)} over {t-s} <=-2``]이다.

[eqn: a-b``]의 최솟값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2023학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(기하)

제 2 교시

5 지선다형

좌표공간에서 점 [eqn: P`(2,```1,```3)``]을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: Q`]에 대하여 선분 [eqn: PQ``]의 길이는? [2점]

①

[eqn: rmQ LEFT ( 2,~-1,~-3 RIGHT )] [eqn: ⟹~{rm {bar{PQ}} }=2 sqrt {10}]

① [eqn: 2root10]	② [eqn: 2root11]	③ [eqn: 4root3]	④ [eqn: 2root13]	⑤ [eqn: 2root14]

그림과 같이 평면 [eqn: alpha ``]위에 [eqn: angleBAC = pi over2 ``]이고
[eqn: bar{AB``}=1`,````bar{AC``}=root3 ``]인 직각삼각형 [eqn: ABC``]가 있다. 점 [eqn: A``]를 지나고 평면 [eqn: alpha``]에 수직한 직선 위의 점 [eqn: P``]에 대하여 [eqn: bar{PA``}=2``]일 때, 점 [eqn: P``]와 직선 [eqn: BC``]사이의 거리는? [3점]

⑤

[eqn: sqrt {4+ {3} over {4}} = {sqrt {19}} over {2}]

① [eqn: root17 over2]	② [eqn: root70 over4]	③ [eqn: {3root2} over 2]	④ [eqn: root74 over 4]	⑤ [eqn: root19 over 2]

타원 [eqn: x^2 over 16 + y^2 over 9 = 1``]과 두 점 [eqn: A``(4,```0)`,````B(0,```-3)``]이 있다. 이 타원 위의 점 [eqn: P``]에 대하여 삼각형 [eqn: ABP``]의 넓이가 [eqn: k`]가 되도록 하는 점 [eqn: P``]의 개수가 [eqn: 3`]일 때, 상수 [eqn: k``]의 값은? [3점]

④

접선 : [eqn: y= {3} over {4} x- sqrt {{9} over {16} TIMES 16+9} = {3} over {4} x-3 sqrt {2}]

[eqn: {cases{3x-4y-12 sqrt {2} =0&#3x-4y-12=0&}}]

[eqn: THEREFORE ~k= {1} over {2} TIMES 5 TIMES {12 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )} over {5} =6 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]

① [eqn: 3root2 -3]	② [eqn: 6root2 -7]	③ [eqn: 3root2 - 2]

④ [eqn: 6root2 -6]	⑤ [eqn: 6root2 -5]

그림과 같이 정삼각형 [eqn: ABC``]에서 선분 [eqn: BC``]의 중점을 [eqn: M``]이라 하고, 직선 [eqn: AM``]이 정삼각형 [eqn: ABC``]의 외접원과 만나는 점 중 [eqn: A``]가 아닌 점을 [eqn: D``]라 하자. [eqn: vec{AD``} `=`m vec{ AB``} + n vec{ AC``} ``]일 때, [eqn: m+n`]의 값은? [3점]

③

[eqn: m=n~⟹~{rm {vec{AD}} }=m LEFT ( {rm {vec{AB}} + {vec{AC}} } RIGHT ) = {2} over {3} LEFT ( {rm {vec{AB}} + {vec{AC}} } RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~m=n= {2} over {3}]

[참고]

[eqn: rm {vec{AM}} = {1} over {2} LEFT ( {vec{AB}} + {vec{AC}} RIGHT ) ~⟹~ {vec{AD}} = {4} over {3} {vec{AM}} = {2} over {3} LEFT ( {vec{AB}} + {vec{AC}} RIGHT )]

① [eqn: 7 over6]	② [eqn: 5 over4]	③ [eqn: 4 over3]	④ [eqn: 17 over12]	⑤ [eqn: 3 over2]

그림과 같이 두 초점이 [eqn: F`,````F``' `]인 쌍곡선 [eqn: ax^2 -4y^2 =a``]위의 점 중 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: P``]와 선분 [eqn: PF``']위의 점 [eqn: Q``]에 대하여 삼각형 [eqn: PQF``]는 한 변의 길이가 [eqn: root6 -1 ``]인 정삼각형이다. 상수 [eqn: a`]의 값은? (단, 점 [eqn: F``]의 [eqn: x`]좌표는 양수이다.) [3점]

②

[eqn: {x ^{2}} over {1 ^{2}} - {y ^{2}} over {{a} over {4}} =1]

[eqn: {rm {bar{FF`prime}} }][eqn: =4+ LEFT ( 7-2 sqrt {6} RIGHT ) +2 LEFT ( sqrt {6} -1 RIGHT )]
[eqn: =9=4 LEFT ( 1+ {a} over {4} RIGHT )]
[eqn: ⟹~a=5]

① [eqn: 9 over2 `]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 11 over2 `]	④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 13 over 2 `]

점 [eqn: F``]를 초점으로 하고 직선 [eqn: l``]을 준선으로 하는 포물선이 있다. 포물선 위의 두 점 [eqn: A,```B`]와 점 [eqn: F``]를 지나는 직선이 직선 [eqn: l``]과 만나는 점을 [eqn: C``]라 하자. 두 점 [eqn: A,```B`]에서 직선 [eqn: l``]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: H`,```I``]라 하고 점 [eqn: B``]에서 직선 [eqn: AH``]에 내린 수선의 발을 [eqn: J``]라 하자. [eqn: {bar{BJ``}} over bar{BI``} = { 2root15} over3 ``]이고 [eqn: bar{AB``}= 8root5 `]일 때, 선분 [eqn: HC``]의 길이는? [4점]

⑤

[eqn: LEFT ( 8 sqrt {5} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 8 sqrt {5} -6k RIGHT ) ^{2} =60k ^{2}]

[eqn: 6k LEFT ( 16 sqrt {5} -6k RIGHT ) =60k ^{2}]

[eqn: k= sqrt {5}]

[eqn: THEREFORE ~rm {bar{HC}} =5 sqrt {5} TIMES {10 sqrt {3}} over {2 sqrt {5}} =25 sqrt {3}]

① [eqn: 21root3]	② [eqn: 22root3]	③ [eqn: 23root3]

④ [eqn: 24root3]	⑤ [eqn: 25root3]

단답형

좌표공간에 점 [eqn: (4,```3,```2)`]를 중심으로 하고 원점을 지나는 구

261

[eqn: {k}pi= LEFT ( {sqrt {58}} over {2} RIGHT ) ^{2} pi TIMES {3} over {sqrt {58}} = {3 sqrt {58}} over {4} pi]

[eqn: THEREFORE ~8k ^{2} =8 TIMES {9 TIMES 58} over {16} =261]

[eqn: S``:``(x-4)^2 + (y-3)^2 +(z-2)^2 = 29``]

가 있다. 구 [eqn: S``]위의 점 [eqn: P`(a,```b,```7)``]에 대하여 직선 [eqn: OP`]를 포함하는 평면 [eqn: alpha``]가 구 [eqn: S``]와 만나서 생기는 원을 [eqn: C``]라 하자. 평면 [eqn: alpha``]와 원 [eqn: C``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 직선 [eqn: OP``]와 [eqn: xy``]평면이 이루는 각의 크기와 평면 [eqn: alpha``]와
[eqn: xy``]평면이 이루는 각의 크기는 같다.

(나) 선분 [eqn: OP``]는 원 [eqn: C``]의 지름이다.

[eqn: a^2 +b^2 <25``]일 때, 원 [eqn: C``]의 [eqn: xy``]평면 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: k pi``]이다. [eqn: 8k^2 ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: O``]는 원점이다.) [4점]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: A`(6,```0),```B`(2,```6),```C`(k,```-2k)```(k>0)``]과 삼각형 [eqn: ABC``]의 내부 또는 변 위의 점 [eqn: P``]가 다음 조건을 만족시킨다.

7

[eqn: 5 LEFT ( 4,~-6 RIGHT ) BULLET LEFT ( x,~y RIGHT ) - LEFT ( 2,~6 RIGHT ) BULLET LEFT ( x-6,~y RIGHT ) =12]

[eqn: 20x-30y-2x+12-6y=12]

[eqn: ⟹~y= {1} over {2} x]

직선 [eqn: {rmAB}`:`y=it- {3} over {2} LEFT ( x-6 RIGHT ) = {1} over {2} x~⟹~x= {9} over {2}] [eqn: RARROW `E` LEFT ( {5} over {2} `,` {5} over {4} RIGHT )]

직선 [eqn: {rmBE}`:`y=it- {19} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) +6=it-2x~⟹~x= {10} over {3}]

[eqn: THEREFORE ~ rm {vec{OA}} BULLET {vec{CP}} LEQ {vec{OA}} BULLET {vec{CD}} = LEFT ( 6,~0 RIGHT ) BULLET LEFT ( {7} over {6} , {107} over {12} RIGHT ) =7]

(가) [eqn: 5 vec{ BA} cdot vec {OP} ``-``vecOB cdot vec AP `=`vecOA cdot vec OB``]

(나) 점 [eqn: P``]가 나타내는 도형의 길이는 [eqn: root5 ``]이다.

[eqn: vecOA cdot vecCP ``]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: O``]는 원점이다.) [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2023학년도 사관학교 해설

1	③	2	②	3	④	4	④	5	①
6	⑤	7	③	8	②	9	④	10	②
11	⑤	12	①	13	④	14	②	15	⑤
16	8	17	6	18	10	19	64	20	14
21	35	22	11
[확률과 통계]				23	②	24	③	25	④
26	③	27	①	28	④	29	25	30	27
[미적분]				23	②	24	③	25	①
26	④	27	⑤	28	②	29	49	30	4
[기하]				23	①	24	⑤	25	④
26	③	27	②	28	⑤	29	261	30	7