수학 영역

고 3

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고 3

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16

2022학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

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제 2 교시

5지선다형

[eqn: lim _{x -> 2} {} {x ^{2} -x+a} over {x-2}][eqn: =b]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

①

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {} {x ^{2} -x+a} over {x-2}]에서 [eqn: x` -> `2]일 때, (분모)[eqn: ->][eqn: `0]이므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x`->`2} {LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT )} =0], [eqn: 2+a=0], [eqn: a=-2]

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {} {x ^{2} -x+a} over {x-2}][eqn: = lim _{x`` -> ``2} {} {x ^{2} -x-2} over {x-2}]
[eqn: = lim _{x`->`2} {} {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )} over {x-2} =3]

[eqn: THEREFORE````a+b= LEFT ( -2 RIGHT ) +3=1]

[2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

④

등비수열의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: {a _{4} +a _{5}} over {a _{2} +a _{3}} = {ar ^{3} +ar ^{4}} over {ar+ar ^{2}} =r ^{2} =4]

[eqn: a _{9}][eqn: =a _{3} TIMES{r ^{6} }][eqn: =a _{3} TIMES{ LEFT ( r ^{2} RIGHT ) ^{3} }]
[eqn: =1TIMES4 ^{3} =64]

[eqn: a _{3}][eqn: =1], [eqn: {a _{4} +a _{5}} over {a _{2} +a _{3}}][eqn: =4]

일 때, [eqn: a _{9}]의 값은? [2점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 128]

[eqn: sum _{k=1} ^{9} k LEFT ( 2k+1 RIGHT )]의 값은? [3점]

④

[eqn: sum_{k=1}^{9}k(2k+1)][eqn: = sum _{k=1} ^{9} 2k ^{2} +k]
[eqn: =2TIMES {9TIMES10TIMES19} over {6} + {9TIMES10} over {2}]
[eqn: =570+45=615]

① [eqn: 600]	② [eqn: 605]	③ [eqn: 610]	④ [eqn: 615]	⑤ [eqn: 620]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -4x ^{2} +ax+6]에 대하여

⑤

[eqn: lim _{h`` -> ``0} {} {f(2+h)-f(2)} over {h TIMES f(h)}]
[eqn: = lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}} TIMES {1} over {f LEFT ( h RIGHT )}]
[eqn: =f`{prime} LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES {1} over {f LEFT ( 0 RIGHT )}][eqn: =1]

[eqn: f`{prime} LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) =6]이므로 [eqn: f`{prime} LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -8x+a]에서

[eqn: f`{prime} LEFT ( 2 RIGHT ) =-4+a=6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=10]

[eqn: lim _{h -> 0} {} {f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h TIMES f LEFT ( h RIGHT )}][eqn: =1]

일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]가

⑤

[eqn: f '(x)=4x^{3}+ax]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} + {a} over {2} x ^{2} +C]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-2]이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =C=-2]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+ {a} over {2} +C=1]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: C=-2], [eqn: a=4]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =16+2TIMES2 ^{2} -2=22]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x ^{3} +ax]

이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = it -2], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

[eqn: root {m} of {64} TIMES root {n} of {81}]의 값이 자연수가 되도록 하는 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: m,~n]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,~n RIGHT )]의 개수는? [3점]

③

[eqn: root{m}of{64}times root{n}of{81}][eqn: =2 ^{{6} over {m}} TIMES3 ^{{4} over {n}}]가 자연수가 되려면 [eqn: m]은 [eqn: 6]의 약수, [eqn: n]은 [eqn: 4]의 약수이어야 한다.

[eqn: m], [eqn: n]은 [eqn: 2]이상의 자연수이어야 하므로 [eqn: m]은 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 6]으로 [eqn: 3]가지

[eqn: n]은 [eqn: 2], [eqn: 4]로 [eqn: 2]가지

따라서 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,````n RIGHT )]의 개수는 [eqn: 3TIMES2][eqn: =6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos ^{2} `x-4`cos` LEFT ( x+ {pi} over {2} RIGHT ) +3]의 최댓값은? [3점]

④

[eqn: f(x)][eqn: =cos ^{2} x-4cos LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) +3]
[eqn: =cos ^{2} x+4sin`x+3]
[eqn: =-sin ^{2} x+4sinx+4]

[eqn: sin`x=t] [eqn: LEFT ( -1{LEQ}t{LEQ}1 RIGHT )]로 치환하면

[eqn: y=-t ^{2} +4t+4]

이차함수의 축의 방정식이 [eqn: t=2]이므로 [eqn: t=1]일 때 최댓값 [eqn: -1+4+4=7]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

그림과 같은 [eqn: 5]개의 칸에 [eqn: 5]개의 수 [eqn: log` _{a} `2], [eqn: log` _{a} `4], [eqn: log` _{a} `8], [eqn: log` _{a} `32], [eqn: log` _{a} `128]을 한 칸에 하나씩 적는다. 가로로 나열된 [eqn: 3]개의 칸에 적힌 세 수의 합과 세로로 나열된 [eqn: 3]개의 칸에 적힌 세수의 합이 [eqn: 15]로 서로 같을 때, [eqn: a]의 값은? [3점]

②

○		○
	△
	△

그림에서 가로와 세로의 합이 모두 같아야 하므로 ○와 △끼리의 합이 동일해야 한다.

따라서 ([eqn: log _{a} 2], [eqn: log _{a} 128]), ([eqn: log _{a} 8], [eqn: log _{a} 32])로 짝지어서 ○, △에 써 넣으면 된다.

[eqn: log _{`a} `2+log _{`a} `128+log _{`a} `4=15], [eqn: log _{`a} 2 ^{10} =15]

[eqn: a ^{15} =2 ^{10}]

[eqn: THEREFORE````a=2 ^{{2} over {3}}]

① [eqn: 2 ^{{1} over {3}}]	② [eqn: 2 ^{{2} over {3}}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2 ^{{4} over {3}}]	⑤ [eqn: 2 ^{{5} over {3}}]

첫째항이 [eqn: 1]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

③

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: S _{10} = {10 LEFT ( a _{1} +a _{10} RIGHT )} over {2} =5 TIMES 2a _{{11} over {2}} =10a _{{11} over {2}}]

[eqn: T _{10} =-a _{1} +a _{2} -a _{3} +a _{4} -CDOTS-a _{9} +a _{10} =5d]

[eqn: {S _{10}} over {T _{10}} =6]에서 [eqn: 10a _{{11} over {2}} =6TIMES5d]이므로 [eqn: a _{{11} over {2}} =3d]

즉, [eqn: 1+ {9} over {2} d=3d]이므로 [eqn: d=- {2} over {3}]

[eqn: T _{37}][eqn: =-a _{1} +a _{2} -a _{3} +a _{4} -a _{5} + CDOTS +a _{36} -a _{37}]
[eqn: =-a _{1} -18d]
[eqn: =-1-18TIMES LEFT ( - {2} over {3} RIGHT ) =11]

[eqn: S _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} a _{k}], [eqn: T _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} `a _{k}]

라 하자. [eqn: {S _{10}} over {T _{10}}][eqn: =6]일 때, [eqn: T _{37}]의 값은? [4점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

양의 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

①

[eqn: f(x)=cases{x^{2}-5a&&&(x <a)#-2x+4&&&(x geq a)]에서

[eqn: lim _{x` -> `a+} {} f LEFT ( -x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT { LEFT ( -a RIGHT ) ^{2} -5a RIGHT } TIMES LEFT ( -2a+4 RIGHT )]

[eqn: lim _{x`->`a-} {} f LEFT ( -x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { LEFT ( -a RIGHT ) ^{2} -5a RIGHT } TIMES LEFT ( a ^{2} -5a RIGHT )]

따라서 [eqn: a ^{2} -5a=0]이거나 [eqn: -2a+4=a ^{2} -5a]이므로

[eqn: a=4] 또는 [eqn: a=5] [eqn: LEFT ( BECAUSE````a>0 RIGHT )]

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 9]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~x ^{2} -5a&~~~ LEFT ( x<a RIGHT )#eqalign{# ~~-2x+4}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x GEQ a RIGHT )}}}]

라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 연속이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

시각 [eqn: t][eqn: =0]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 시각 [eqn: t]([eqn: t GEQ 0])에서의 속도가 각각

②

[eqn: {cases{x _{1} LEFT ( t RIGHT ) =t ^{3} -3t ^{2}&#x _{2} LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2}&}}]이므로 [eqn: a ^{3} -3a ^{2} =a ^{2}]

[eqn: THEREFORE````a=4] [eqn: ( BECAUSE````a>0)]

또한, [eqn: LEFT { x _{1} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } '=3t ^{2} -6t]이므로 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT |`` 3t ^{2} -6t`` RIGHT | dt}][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( -3t ^{2} +6t RIGHT ) dt} + int _{2} ^{4} {LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) dt}]
[eqn: = {3 TIMES LEFT ( 2-0 RIGHT ) ^{3}} over {6} +x _{1} LEFT ( 4 RIGHT ) -x _{1} LEFT ( 2 RIGHT )]
[eqn: =4+20][eqn: =24]

따라서 움직인 거리는 [eqn: 24]이다.

[eqn: v _{1} ` LEFT ( t RIGHT )][eqn: =3t ^{2} -6t], [eqn: v _{2} ` LEFT ( t RIGHT )][eqn: =2t]

이다. 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 시각 [eqn: t][eqn: =a]([eqn: a>0])에서 만날 때, 시각 [eqn: t][eqn: =0]에서 [eqn: t][eqn: =a]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? [4점]

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ `-1,~3` RIGHT ]]에서 정의된 함수

③

[eqn: y=x ^{3} -6x ^{2} +5]의 양변을 미분하면

[eqn: y'=3x ^{2} -12x=3x LEFT ( x-4 RIGHT )]

즉, [eqn: y``'=0]에서 [eqn: x=0], [eqn: x=4]이므로

[eqn: x=0]에서 극대, [eqn: x=4]에서 극소를 갖는다.

주어진 범위가 [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]이므로 [eqn: x=0]일 때, 최댓값 [eqn: 5], [eqn: x=`-1]에서 최솟값 [eqn: -2]를 갖는다.

즉, [eqn: y=x ^{2} -4x+a] [eqn: LEFT ( 1<x LEQ 3 RIGHT )]은 [eqn: x=2]에서 대칭이고 최솟값을 갖는다.

즉, 최댓값이 [eqn: 5]이므로 최솟값은 [eqn: -5]이어야 한다.

따라서 [eqn: a-4=`-5]

[eqn: THEREFORE```` lim _{x->1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =a-3=`-4]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~x ^{3} -6x ^{2} +5&~~~ LEFT ( -1 LEQ x LEQ 1 RIGHT )#eqalign{# ~~x ^{2} -4x+a}&eqalign{# ~~~ LEFT ( 1<x LEQ 3 RIGHT )}}}]

의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 0]일 때, [eqn: lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: -5]	② [eqn: - {9} over {2}]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: - {7} over {2}]	⑤ [eqn: -3]

[eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 좌표평면에 두 곡선

②

ㄱ. [eqn: x=`-1]을 대입하면 [eqn: LEFT | a ^{0} -1 RIGHT | =0]	(참)

ㄴ. [eqn: x< it -1]인 곳에서는 교점이 반드시 생긴다.
[eqn: x>0]인 곳에서 교점을 조사해 보면,
[eqn: a ^{x} =1-a ^{x-1}], [eqn: a ^{x} +a ^{-x-1} =1]
이때 산술 기하 평균에서 [eqn: a ^{x} +a ^{-x-1} GEQ 2 sqrt {a ^{-1}}]이므로 [eqn: a=4]일 때 등호 성립조건에 부합한다.
따라서 [eqn: 4 ^{x} =4 ^{-x-1}] 즉, [eqn: x=`- {1} over {2}]에서 접한다.
그러므로 두 점에서 만난다.	(참)

ㄷ. [eqn: x< -1]에서의 교점은 [eqn: -2]보다 크고 [eqn: -1]보다 작다.
[eqn: x>-1]에서의 교점은 [eqn: a ^{x} =1-a ^{x-1}]을 풀어보면
[eqn: t=1- {1} over {a {t}}] ([eqn: because] [eqn: a^x =t]로 치환) 즉, [eqn: at ^{2} -at+1=0]
이때 [eqn: a ^{alpha } TIMES a ^{beta } = {1} over {a} =a ^{-1}]이므로 두 근의 합은 [eqn: -1]이다.
따라서 모든 교점의 합은 [eqn: -3]과 [eqn: -2]사이이다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: y][eqn: =a ^{x}], [eqn: y= LEFT | `a ^{-x-1} -1` RIGHT |]

이 있다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		| 보기 |
	ㄱ. 곡선 [eqn: y][eqn: = LEFT | `a ^{-x-1} -1` RIGHT |]은 점 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT )]을 지난다. ㄴ. [eqn: a=4]이면 두 곡선의 교점의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. [eqn: a>4]이면 두 곡선의 모든 교점의 [eqn: x]좌표의 합은 [eqn: -2] 보다 크다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -x]와 상수 [eqn: a]([eqn: a>-1])에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )] 위의 두 점 [eqn: LEFT ( -1,~f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT ( a,~f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]를 지나는 직선을 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]라 하자.

④

(가)에 의하여 [eqn: LEFT ( a,````f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( -1,````f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 교점이다.

[eqn: x=0]에서 변곡점이므로 [eqn: 1``:``2] 비율관계에 의해 [eqn: a=2]가 성립한다.

계속 증가해야 하므로 [eqn: LEFT ( -1,````0 RIGHT )]을 변곡점에 대해 대칭시키면 [eqn: LEFT ( 1,````0 RIGHT )]이므로 (나)를 만족한다.

따라서 [eqn: LEFT ( 1,````0 RIGHT )]에서 [eqn: LEFT ( 2,````6 RIGHT )]으로 이동하므로 [eqn: m=1,````n=6]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~f LEFT ( x RIGHT )&~~~ LEFT ( x< it -1 RIGHT )#eqalign{# ~~g LEFT ( x RIGHT )# # ~~f LEFT ( x-m RIGHT ) +n}&eqalign{# ~~~ LEFT ( -1 LEQ x LEQ a RIGHT )# # ~~~ LEFT ( x>a RIGHT )}}}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 일대일대응이다.

[eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: m,~n]은 상수이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1}]의 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.

①

[eqn: {cases{a _{2} =a _{1} a _{3} +1&```` CDOTScdots``` `㉠#a _{3} =2a _{1} -2a _{2}&````cdots CDOTS ````㉡}}]

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: a _{2} =a _{1} LEFT ( 2a _{1} -a _{2} RIGHT ) +1]

[eqn: THEREFORE````a _{2} = {2a _{1} ` ^{2} +1} over {a _{1} +1} =2 LEFT ( a _{1} -1 RIGHT ) + {3} over {a _{1} +1}]
이때 [eqn: a _{1} +1]이 [eqn: 3]의 약수가 되어야 하므로

[eqn: THEREFORE````a _{1} +1=`-3,````-1,````1,````3]

따라서 [eqn: a_1]의 최솟값 [eqn: m]은 [eqn: m=`-4]

따라서 [eqn: a_2 = -11,````a_3 = 3]이므로

[eqn: a _{9}][eqn: =2a _{4} -a _{2}]
[eqn: =2 LEFT ( a _{2} a _{3} +1 RIGHT ) -a _{2}]
[eqn: =2 LEFT { LEFT ( -11 RIGHT ) TIMES 3+1 RIGHT } +11]
[eqn: =`-53]

(가) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 모든 항은 정수이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{2n}][eqn: =a _{3} TIMES a _{n} +1], [eqn: a _{2n+1}][eqn: =2a _{n} -a _{2}]
이다.

[eqn: a _{1}][eqn: =m]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{9}]의 값은? [4점]

① [eqn: -53]	② [eqn: -51]	③ [eqn: -49]	④ [eqn: -47]	⑤ [eqn: -45]

단답형

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} +x RIGHT )]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수를 구하시오. [3점]

18

[eqn: f(x)=(x+3)(x^{3}+x)]의 양변을 미분하면

[eqn: f``'(x) =1cdot ( x^3 +x ) +(x+3) (3x^2 +1)]

따라서 [eqn: f``'(1) = 2 + 4 cdot 4 =18]

[eqn: 0 LEQ x<8]일 때, 방정식 [eqn: sin` {pix} over {2}][eqn: = {3} over {4}]의 모든 해의 합을 구하시오. [3점]

12

[eqn: y=sin { pi x} over {2}]는 [eqn: {2 pi } over {{pi } over {2}}]이므로 주기는 [eqn: 4]이다.

[eqn: 0LEQx LEQ8]일 때 [eqn: sin {pi x} over {2} = {3} over {4}]을 만족시키는 해는 아래 그래프와 같이 [eqn: alpha, ````beta,````gamma,````delta]라 하자.

(ⅰ) [eqn: y=sin {pi x} over {2}]의 그래프와 [eqn: y= {3} over {4}]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 두 값의 평균은 [eqn: 1]이므로 [eqn: {alpha + beta } over {2} =1]에서 [eqn: alpha + beta =2]이다.

(ⅱ) [eqn: y=sin {pi x} over {2}]의 그래프와 [eqn: y= {3} over {4}]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: gamma], [eqn: delta]라 하면 두 값의 평균은 [eqn: 5]이므로 [eqn: {gamma + delta } over {2} =5]에서 [eqn: gamma + delta =10]이다.

따라서 [eqn: alpha + beta + gamma + delta =2+10=12]

모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

9

[eqn: f(x) = x^3 - 5x^2 +3x+n]이라 하자.

[eqn: f`'(x) = 3x^2 -10x +3 =0]에서 [eqn: f`' left( 1 over 3 right) = 0 , ```` f`'(3)=0]

즉, 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

이때 [eqn: f(0) = n], [eqn: f (3) = n-9]이므로 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: y= f(x)]의 최솟값은 [eqn: n-9]

따라서 [eqn: n-9 ge 0]이므로 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 9]

[eqn: x ^{3} -5x ^{2} +3x+n GEQ 0]

이 항상 성립하도록 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =log` _{2} `kx]에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y][eqn: =x]가 두 점 [eqn: rmA,~B]에서 만나고 [eqn: {bar{rm OA}}][eqn: = {bar{rm AB}}]이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이고, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]

16

그림과 같이 [eqn: rm {bar{OA}} = {bar{OB}}]이고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 [eqn: y=x]위의 점이므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rm A( it t,````t)], [eqn: rm B( it 2t,````2t)]이다.

[eqn: y=log _{`2} kt]에 점 [eqn: ( it t,````t)], [eqn: ( it 2t,````2t)]를 대입하면

[eqn: t=log _{`2} `kt]	[eqn: CDOTS cdots] ㉠

[eqn: 2t=log _{`2} `2kt]	[eqn: CDOTS cdots] ㉡

㉠[eqn: TIMES 2]를 하면 [eqn: 2t=2log _{`2} `kt]

[eqn: therefore] [eqn: 2t=log _{`2} ` LEFT ( kt RIGHT ) ^{2}]	[eqn: CDOTS cdots] ㉢

㉡과 ㉢를 연립하면 [eqn: log _{`2} `2kt=log _{`2} LEFT ( kt RIGHT ) ^{2}],

[eqn: LEFT ( kt RIGHT ) ^{2} =2kt], [eqn: kt=2] [eqn: LEFT ( BECAUSE ````kt>0 RIGHT )]

㉠에서 [eqn: kt=2]이므로 [eqn: t=log _{`2} `2=1]

[eqn: therefore] [eqn: k=2]

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{2} 2x]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수이므로 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =a]로 놓으면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =5]이므로

[eqn: log _{`2} 2a=5], [eqn: 2a=2 ^{5}]

[eqn: therefore] [eqn: a=16]

따라서 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =16]

양의 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

290

[eqn: f(x)=cases{{3}over{a}x^{2}&&&(-a leq x leq a)#``3a&&&(x< it-a ```` 또는 ```` x>a)]

의 그래프는 [eqn: y]축 대칭함수이므로 [eqn: y= f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=it-3], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 넓이가 [eqn: 8]이면 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 넓이가 [eqn: 4]이다.

[eqn: x ge0]일 때 [eqn: y= f(x)]의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a ge 3]일 때

[eqn: int _{0 } ^3 { 3 overa x^2 dx = left[ x^3 overa right] _0^3 = 27 overa =4]
[eqn: THEREFORE] [eqn: a= 27 over4]

(ⅱ) [eqn: 0 <a<3]일 때

[eqn: int _{0 } ^a { 3 overa x^2 dx + (3-a)times 3a]

[eqn: = left[ x^3 overa right]_0^a + 9a -3a^2]
[eqn: = it-2a^2 +9a]
[eqn: =4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= 1 over2] ([eqn: because ```` 0<a<3])

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 만족하는 [eqn: a]는 [eqn: 27 over 4 ,````1over 2]이므로 모든 [eqn: a]값의 합 [eqn: S]는 [eqn: S= 29 over 4]

[eqn: therefore] [eqn: 40 S = 40 times 29 over 4 = 290]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~ {3} over {a} x ^{2}&~~~ LEFT ( -a LEQ x LEQ a RIGHT )#eqalign{# ~~3a}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x< it -a~또는~x>a RIGHT )}}}]

라 하자. 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x= it -3], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 8]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: S]이다. [eqn: 40S]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: ANGLE rm BAC][eqn: = theta][eqn: LEFT ( {2} over {3} pi LEQ theta < {3} over {4} pi RIGHT )]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 중심을 [eqn: rmO], 세 점 [eqn: rmB,~O,~C]를 지나는 원의 중심을 [eqn: rmO']이라 하자. 다음은 점 [eqn: rmO']이 선분 [eqn: rmAB] 위에 있을 때, [eqn: {{bar{rm BC}}} over {{bar{rm AC}}}]의 값은 [eqn: theta]에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

27

[eqn: rm□BACQ]는 원 위에 내접하는 사각형이므로 [eqn: rm ANGLE BQC= pi - theta]

[eqn: rm ANGLE BQC]는 [eqn: rm {arch{``BC``}}]의 원주각이고 [eqn: rm ANGLE BOC]는 [eqn: rm {arch{``BC``}}]의 중심각이므로

[eqn: rm ANGLE BOC=2 pi -2 theta]

[eqn: rm TRIANGLE BOM == TRIANGLE COM]이므로 [eqn: rm ANGLE O` prime OB= pi - theta]이고 [eqn: rm ANGLEBO primeO=2 theta- pi]이다.

(ⅰ)

[eqn: rm TRIANGLE O` prime BO]는 이등변삼각형이므로
[eqn: rm ANGLE O` prime BO= ANGLE O` prime OB= pi - theta]
점 [eqn: rmO` prime]에서 [eqn: rm {bar{BO}}]에 수선을 긋고, 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면
[eqn: rm △O` prime OH]에서
[eqn: cos LEFT ( pi - theta RIGHT ) = {{R} over {2}} over {r}], [eqn: -cos theta = {{ R it} over {2}} over {r}], [eqn: {R} over {2} = it -r`cos theta]
[eqn: THEREFORE] [eqn: R=it-2cos theta r]
따라서 (가)는 [eqn: -2cos theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(ⅱ)

[eqn: rm△BO` prime M]에서
[eqn: rm ANGLE O` prime BM+ ANGLE BMO` prime + ANGLE MO` prime B= pi]
[eqn: rm ANGLE O` prime BM+ {pi } over {2} +2 theta - pi = pi]
[eqn: rm ANGLE O` prime BM= {3} over {2} pi -2 theta]
[eqn: rm △O` prime BM]에서
[eqn: sin LEFT ( {3} over {2} pi -2 theta RIGHT ) =it-cos2 theta]
따라서 (나)는 [eqn: -cos2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉡

(ⅲ) [eqn: rm △ABC]에서 사인법칙에 의하여
[eqn: {rm {bar{BC}}} over {sin theta } = {rm {bar{AC}}} over {sin LEFT ( ANGLE rmO` prime BM RIGHT )}], [eqn: {rm {bar{BC}}} over {rm {bar{AC}}} = {sin theta } over {1-2cos ^{`2} theta }]
따라서 (다)는 [eqn: {sin theta } over {1-2cos ^{`2} theta }]	[eqn: cdotscdots] ㉢

즉, ㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) =it-2cos theta], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) = it -cos2 theta], [eqn: h LEFT ( theta RIGHT ) = {sin theta } over {1-2cos ^{`2} theta }]

그런데, [eqn: cos alpha =it- {3} over {5}], [eqn: cos beta =it- {sqrt {10}} over {5}]이므로

[eqn: f(alpha)+g(beta)+ left{` h left({2}over{3}piright) `right} ^{2}]

[eqn: = {6} over {5} +1-2 TIMES {2} over {5} +3]

[eqn: = {22} over {5}]

따라서 [eqn: {q} over {p} = {22} over {5}]에서 [eqn: p=5,````q=22]이므로

[eqn: p+q=2+5=27]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rm BC}}} over {sin` theta }][eqn: =2R]

세 점 [eqn: rmB,~O,~C]를 지나는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하자. 선분 [eqn: rmOO']는 선분 [eqn: rmBC]를 수직이등분하므로 이 두 선분의 교점을 [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: {bar{rm O'M}}][eqn: =r- {bar{rm OM}}]
[eqn: =r- LEFT | `R`cos` theta ` RIGHT |]

직각삼각형 [eqn: rmO'BM]에서

[eqn: R][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}} TIMES r]

이므로

[eqn: sin LEFT ( ANGLE rm O'BM RIGHT )][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rm BC}}} over {{bar{rm AC}}}][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )], [eqn: h LEFT ( theta RIGHT )]라 하자.
[eqn: cos` alpha][eqn: = it - {3} over {5}], [eqn: cos` beta][eqn: = it - {sqrt {10}} over {5}]인 [eqn: alpha ,~ beta]에 대하여
[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) +g LEFT ( beta RIGHT ) + LEFT { h LEFT ( {2} over {3} pi RIGHT ) RIGHT } ^{2}][eqn: = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

일차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

56

함수 [eqn: f(x)]는 일차함수이므로 함수 [eqn: g(x)=int_{0}^{x}(x-2)f(s)ds]는 삼차함수이다.

[eqn: g(x)=(x-2)int_{0}^{x}{f(s)ds =0]에서 [eqn: g(2)= g(0)=0]이므로 [eqn: g(x)=0]의 세 근을 [eqn: x=0 , ```` 2 , ```` alpha]라 하자.

이때 [eqn: y= tx]는 [eqn: (0, ````0)]을 지나는 직선이므로 함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=0]에서 불연속이기 위해서는 [eqn: y= g(x)]는 [eqn: x]축에 접해야 한다.

따라서 [eqn: alpha = 0] 또는 [eqn: alpha=2]이다.

(ⅰ) [eqn: g(x) = mx^2 (x-2)]일 때
[eqn: m]이 양수일 때와 음수일 때를 나누어 [eqn: y= g(x)]와 [eqn: y= tx]를 그려보면 다음과 같다.
[eqn: m>0]일 때

이때의 [eqn: t]의 값은 [eqn: -2]가 되어야 하고 [eqn: y= g(x)]와 [eqn: y= tx]의 교점은 [eqn: ( 1, ````-2)]이다.
[eqn: THEREFORE] [eqn: g(x)= 2 x^2 (x-2)], [eqn: g(4) = 64]
[eqn: m<0]일 때

[eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: t=it-2]일 때 불연속이 될 수 없다.

(ⅱ) [eqn: y= m x(x-2)^2]일 때
[eqn: m>0]일 때

[eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: t=it-2]일 때 불연속이 될 수 없다.
[eqn: m<0]일 때

마찬가지로 이때의 [eqn: t]의 값은 [eqn: -2]이므로
[eqn: g` prime (x)=m(x-2) ^{2} +2mx(x-2)]
[eqn: g'(0) = 4m =it -2], [eqn: m = it - {1} over {2}]이므로
[eqn: g(4) = it -8]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: g(4)]의 값의 합은 [eqn: 64-8=56]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( x-2 RIGHT ) `f LEFT ( s RIGHT ) `ds]

라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: =tx]와 곡선 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]가 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT )]의 값의 합을 구하시오. [4점]

[eqn: g LEFT ( k RIGHT )][eqn: =0]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t][eqn: = it -k]에서 불연속이다.

2022학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(확률과 통계)

제 2 교시

5 지선다형

다항식 [eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는? [2점]

②

[eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: {} _{6} {rmC} _{2} `cdot`2 ^{2}][eqn: =60]

① [eqn: 40]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 80]	④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 120]

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 공이 있다. 이 [eqn: 6]개의 공을 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, [eqn: 3]의 배수가 적혀 있는 두 공이 서로 이웃하도록 배열하는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

①

[eqn: 3,````6]이 이웃하므로 한 덩어리로 묶어 원탁에 나열하면 [eqn: 4!]

[eqn: 3,````6]이 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 [eqn: 2!]

따라서 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: 4!`times`2!][eqn: =48]

① [eqn: 48]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 60]	④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 72]

어느 학교의 컴퓨터 동아리는 남학생 [eqn: 21]명, 여학생 [eqn: 18]명으로 이루어져 있고, 모든 학생은 테스크톱 컴퓨터와 노트북 컴퓨터 중 한 가지만 사용한다고 한다. 이 동아리의 남학생 중에서 데스크톱 컴퓨터를 사용하는 학생은 [eqn: 15]명이고, 여학생 중에서 노트북 컴퓨터를 사용하는 학생은 [eqn: 10]명이다. 이 동아리 학생 중에서 임의로 선택한 [eqn: 1]명이 테스크톱 컴퓨터를 사용하는 학생일 때, 이 학생이 남학생일 확률은? [3점]

③

학생들이 사용하는 컴퓨터의 종류를 표로 나타내면 다음과 같다.

	데스크탑	노트북
남	[eqn: 15]	[eqn: 6]
녀	[eqn: 8]	[eqn: 10]

따라서 구하고자 하는 확률은 [eqn: {15} over {15+8}][eqn: = {15} over {23}] 이다.

① [eqn: {8} over {21}]	② [eqn: {10} over {21}]	③ [eqn: {15} over {23}]	④ [eqn: {5} over {7}]	⑤ [eqn: {18} over {23}]

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 10]장의 카드 중에서 임의로 선택한 서로 다른 [eqn: 3]장의 카드에 적혀 있는 세 수의 곱이 [eqn: 4]의 배수일 확률은? [3점]

④

전체 경우의 수는 [eqn: {} _{10} {rmC} _{3}][eqn: = {10` CDOT `9` CDOT `8} over {3` CDOT `2` CDOT `1}][eqn: =120]

구하고자 하는 경우의 수를 여사건을 이용하면

세 수의 곱이 [eqn: 4]의 배수가 아닐 경우이고 이를 분류하면

(ⅰ) [eqn: 2]의 배수이고, [eqn: 4]의 배수가 아닌 경우
[eqn: 2,````6,````10]중 [eqn: 1]개를 뽑고 [eqn: 1,````3,````5,````7,````9]에서 [eqn: 2]개를 뽑으므로
[eqn: THEREFORE] [eqn: {} _{9} {rmC} _{1} `times` _{5} {rmC} _{2}][eqn: =30]

(ⅱ) 홀수인 경우
[eqn: 1,````3,````5,````7,````9]에서 [eqn: 3]개를 뽑으므로
[eqn: THEREFORE] [eqn: {} _{5} {rmC} _{3}][eqn: =10]

따라서 구하고자 하는 확률은
[eqn: THEREFORE] [eqn: 1- {30+10} over {120}][eqn: = {2} over {3}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

평

<표준정규분포표>
[eqn: z`]	[eqn: rmP LEFT ( it 0 le Z le z RIGHT )`]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

균이 [eqn: 100], 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라 하자. [eqn: rm P it LEFT ( 98 LEQ {bar{X}} LEQ 102 RIGHT )][eqn: =0.9876] 일 때, [eqn: sigma]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

⑤

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN} LEFT ( 100,````sigma ^{2} RIGHT )]을 따른다.

표본평균 [eqn: bar{X}]는 크기가 [eqn: 25]이므로 [eqn: bar{X}` SIM rm N it LEFT ( 100,```` LEFT ( {sigma} over {5} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]

따라서

[eqn: rm P( it 98 LEQ {bar{X}} LEQ 102)][eqn: rm =2P( it 0 LEQ Z LEQ {10} over {sigma} )][eqn: =0.9876]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ {10} over {sigma } )][eqn: =0.4938]

표준정규분포표에서 [eqn: {10} over {sigma}][eqn: = {5} over {2}]이므로 [eqn: sigma=4]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

두 집합 [eqn: X][eqn: = LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT }], [eqn: Y][eqn: = LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f``:``X~ -> ~Y]의 개수는?

②

구하고자 하는 함수의 개수를 치역에 따라 분류하면

(ⅰ) 치역이 [eqn: LEFT { 1 RIGHT }]인 경우
조건을 성립하며 경우의 수는 [eqn: 1]가지이다.

(ⅱ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````2 RIGHT }]인 경우

(가)조건에 의해 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이고

(1) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]일 때
[eqn: x=2]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1] 이고
[eqn: x`GE3]인 경우도
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =1] 또는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =1] 이므로 주어진 조건을 만족한다.
[eqn: 3]이상의 정의역이 [eqn: 1,````2]에 대응하는 개수를 각각 [eqn: x _{1} ,````x _{2}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} =6] ([eqn: x _{1} `GE0], [eqn: x _{2} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{2} rm H it _{6-1}][eqn: = _{6} {rmC} _{5}][eqn: =6]가지이다.

(2) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]일 때
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =2]이므로 모순

(ⅲ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````3 RIGHT }]인 경우

(1) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =1] 또는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =1]이므로 성립
[eqn: 4]이상의 정의역이 [eqn: 1,````3]에 대응하는 개수를 각각 [eqn: x _{1} ,````x _{2}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} =5] ([eqn: x _{1} `GE0], [eqn: x _{2} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{2} rm H it rm _{5-1}][eqn: = _{5} {rmC} _{4}][eqn: =5]가지이다.

(2) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =3]이므로 모순

(3) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]인 경우
(가)에 의해 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `GEf LEFT ( 2 RIGHT ) =3] 즉, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]이므로 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT ) =3]이므로  모순

(ⅳ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````2,````3 RIGHT }]인 경우
[eqn: 3]이상의 정의역이 [eqn: 1,````2,````3]에 각각 대응하는 개수를 [eqn: x _{1} ,````x _{2} ,````x _{3}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} =6] ([eqn: x _{1} ` GEQ 0], [eqn: x _{2} `GE1], [eqn: x _{3} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{3} rm H it rm _{6-2}][eqn: = _{6} {rmC} _{4}][eqn: =15]가지이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` Y]의 개수는 [eqn: 1+6+5+15][eqn: =27]가지

[4점]

(가) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여
[eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) LEQ f LEFT ( x _{2} RIGHT )]이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT ( f CIRC f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =1]이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

단답형

그림과 같이 [eqn: 8]개의 칸에 숫자 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4,~5,~6,~7]이 하나씩 적혀 있는 말판이 있고, 숫자 [eqn: 0]이 적혀 있는 칸에 말이 놓여 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

80

[eqn: 3]이상의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: x]라 하면 [eqn: 3]보다 작은 경우는 [eqn: 4-x]번이다.

[eqn: x]에 따른 확률변수 [eqn: X]값은 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: X]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]

이때 [eqn: x=k]일 때의 확률은 [eqn: {} _{4} rm C it rm _{itk} ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4-k}][eqn: = _{4} rm C it rm _{itk} ` CDOT ` {2 ^{k}} over {3 ^{4}}]이므로

확률변수 [eqn: X]에 대한 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	계
[eqn: rm P it (X=x)]	[eqn: {24} over {81}]	[eqn: {32} over {81}]	[eqn: {17} over {81}]	[eqn: {8} over {81}]	[eqn: 1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm E it LEFT ( 36X RIGHT )][eqn: = {36} over {81} LEFT ( 64+68+48 RIGHT )][eqn: = {4} over {9} `times180][eqn: =80]

주사위를 한 번 던져

나오는 눈의 수가 [eqn: 3] 이상이면 말을 화살표 방향으로 한 칸 이동시키고,

나오는 눈의 수가 [eqn: 3]보다 작으면 말을 화살표 반대 방향으로 한 칸 이동시킨다.

위의 시행을 [eqn: 4]회 반복한 후 말이 도착한 칸에 적혀 있는 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rm E it LEFT ( 36X RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점]

검은 공 [eqn: 4]개, 흰 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에 대하여 다음 시행을 [eqn: 2]회 반복한다.

41

두 번 시행 후 주머니에 흰 공만 [eqn: 2]개가 들어 있는 확률은 다음과 같이 분류할 수 있다.

(ⅰ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 3]개, 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} rm C it rm _{3} it} over {{} _{6} rm C it rm _{3} it} `` CDOT {{} _{1} rm C it _{1} ` CDOT _{2} rm C it _{2}} over {{} _{3} rm C _{3} it}][eqn: = {1} over {5}]

(ⅱ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 1]개를 뽑고 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 1]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} {rmC} _{2} `cdot _{2} {rmC} _{1}} over {{} _{6} {rmC} _{3}} `cdot` {{} _{2} {rmC} _{2} `cdot _{2} {rmC} _{1}} over {{} _{4} {rmC} _{3}}][eqn: = {3} over {10}]

(ⅲ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개를 뽑고, 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 3]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 3]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} rm C it rm _{1} ` CDOT _{2} rm C it rm _{2} it} over {{} _{6} rm C it rm _{3} it} ` CDOT ` {{} _{3} rm C it rm _{3} it} over {{} _{5} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {1} over {50}]

따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: {{3} over {10}} over {{1} over {5} + {3} over {10} + {1} over {50}}][eqn: = {30} over {20+30+2}][eqn: = {15} over {26}]

따라서 [eqn: p=26,````q=15]이므로 [eqn: p+q=41]

주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낸 후, 꺼낸 공 중에서 흰 공은 다시 주머니에 넣고 검은 공은 다시 넣지 않는다.

두 번째 시행의 결과 주머니에 흰 공만 [eqn: 2]개 들어 있을 때, 첫 번째 시행의 결과 주머니에 들어 있는 검은 공의 개수가 [eqn: 2]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2022학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(미적분)

제 2 교시

5 지선다형

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {an ^{2} +bn} - sqrt {2n ^{2} +1} RIGHT )][eqn: =1]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [2점]

⑤

[eqn: lim _{ n ``->`` inf} { (sqrt{an^2 +bn} - sqrt{2n^2 +1})}]
[eqn: =lim _{ n->inf} {{(a-2)n^{2}+bn-1}over{root{an^{2}+bn}+root{2n^{2}+1}} }]
[eqn: =lim _{ n->inf} {{(a-2)n+b-{1}over{n}}over{root{a+{b}over{n}} +root{2+{1}over{n^{2}}}]

이때 극한값이 존재하므로 [eqn: a=2]

따라서

[eqn: lim _{ n->inf} { {b}over{root{2}+root{2}}}][eqn: ={b}over{2root{2}}][eqn: =1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=2root{2}]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+3k}]의 값은? [3점]

②

[eqn: lim _{ n ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{ n} { 1} over {n+3k } }][eqn: =lim _{ n ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{ n} { {1}over{n}} over {{n}over{n}+{3k}over{n} } }][eqn: ={1}over{3}lim _{ n ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{ n} { {3}over{n}} over {1+{3k}over{n} } }]
[eqn: ={1}over{3} int _{ 1} ^{4 } {{1}over{x} }dx][eqn: ={1}over{3} left[pile{{`}#{`}}{rmln}x right]_{1}^{4}][eqn: ={2}over{3}{rmln}`2]

① [eqn: {1} over {3} `ln`2]	② [eqn: {2} over {3} `ln`2]	③ [eqn: ln`2]	④ [eqn: {4} over {3} `ln`2]	⑤ [eqn: {5} over {3} `ln`2]

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선

④

[eqn: x= e^t cos(sqrt3 t) -1], [eqn: y= e^t sin(sqrt3 t) +1] [eqn: (0 le t le ln7)]에서

양변을 시간에 대하여 미분하면

[eqn: {dx}over{dt}=e^{t}cos`root{3}t-root{3}e^{t}sin`root{3}t]

[eqn: {dy}over{dt}=e^{t}sin`root{3}t+root{3}`e^{t}`cos`root{3}t]

[eqn: int _{ 0} ^{{ln7} } { root{ left( dx over dt right)^2 + left( dy over dt right)^2][eqn: =int _{ 0} ^{ln7 } { root{(1+3)e^{2t}}dx]
[eqn: =left[ pile{{`}#{`}}2e^{t} right]_{0}^{ln7}][eqn: =12]

[eqn: x][eqn: =e ^{t} `cos` LEFT ( sqrt {3} t RIGHT ) -1], [eqn: y][eqn: =e ^{t} `sin` LEFT ( sqrt {3} t RIGHT ) +1] ([eqn: 0 LEQ t LEQ ln`7])

의 길이는? [3점]

① [eqn: 9`]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 11`]	④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 13`]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB _{1}}}][eqn: =2], [eqn: {bar{rm AD _{1}}}][eqn: = sqrt {5}]인 직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]이 있다. 중심이 [eqn: rmA]이고 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rm AD _{1}}}]인 원과 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]의 교점을 [eqn: rmE _{1}], 중심이 [eqn: rmC _{1}]이고 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rm C _{1} D _{1}}}]인 원과 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]의 교점을 [eqn: rmF _{1}]이라 하자. 호 [eqn: rmD _{1} F _{1}]과 두 선분 [eqn: rmD _{1} E _{1}], [eqn: rmF _{1} E _{1}]로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자. 그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: rmAB _{1}] 위의 점 [eqn: rmB _{2}], 호 [eqn: rmD _{1} F _{1}] 위의 점 [eqn: rmC _{2}], 선분 [eqn: rmAD _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]와 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: {bar{rm AB _{2} `}} ``:`` {bar{rm AD _{2}}}][eqn: =2``: sqrt {5}]인 직사각형 [eqn: rmAB _{2} C _{2} D _{2}]를 그린다. 중심이 [eqn: rmA]이고 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rm AD _{2}}}]인 원과 선분 [eqn: rmB _{2} C _{2}]의 교점을 [eqn: rmE _{2}], 중심이 [eqn: rmC _{2}]이고 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rm C _{2} D _{2}}}]인 원과 선분 [eqn: rmB _{2} C _{2}]의 교점을 [eqn: rmF _{2}]라 하자. 호 [eqn: rmD _{2} F _{2}]와 두 선분 [eqn: rmD _{2} E _{2}], [eqn: rmF _{2} E _{2}]로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}]의 값은? [3점]

③

[eqn: bar{rmAB_1 } = 2], [eqn: bar{rmAD_1} =sqrt5 }]이고 중심이 [eqn: rmA]이고 반지름의 길이가 [eqn: bar{rmAD_1}]인 원과 선분 [eqn: rmB_1 C_1]의 교점을 [eqn: rmE_1]이기 때문에 [eqn: bar{{rmA}{rmE}_{1}}=root{5}]이다.

이때 [eqn: triangle{rmAB_{1}E_{1}]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해서 [eqn: bar{rmB_{1}E_{1}}=1]이고 [eqn: bar{rmE_{1}{rmC}_{1}}=root{5}-1]이다.

색칠된 부분의 넓이는 부채꼴 [eqn: {rmF}_{1}{rmC}_{1}{rmD}_{1}]의 넓이에서 삼각형 [eqn: {rmE}_{1}{rmC}_{1}{rmD}_{1}]의 넓이를 뺀 것이므로

[eqn: S_{1}][eqn: ={1}over{4}cdot2^{2}cdot pi-{1}over{2}cdot2cdot(root{5}-1)]
[eqn: =pi-root{5}-1]

한편,

[eqn: bar{rmAB_{2}}=2k], [eqn: bar{rmAD_{2}}=root{5}k]라 두면 [eqn: bar{rmAC_{2}}=3k]이다.

이때 □[eqn: rmA{rmB_{2}}{rmC_{2}{rmD}_{2}]□□[eqn: rmA{rmB_{1}}{rmC_{1}{rmD}_{1}]이므로 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmC_{2}]와 점 [eqn: rmC_{1}]는 일직선상에 있다.

[eqn: bar{rmAC_{1}}][eqn: =bar{rmAC_{2}}+bar{rmC_{2}C_{1}}]

[eqn: 3=3k+2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k={1}over3}]

따라서 □[eqn: rmA{rmB_{2}}{rmC_{2}{rmD}_{2}]와 □[eqn: rmA{rmB_{1}}{rmC_{1}{rmD}_{1}]의 닮음비는 [eqn: 1``:``3]이고 넓이의 비는 [eqn: 1``:``9]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{ n->inf} {S_{n} }][eqn: ={pi-root{5}-1}over{1-{1}over{9}}][eqn: ={9pi-9root{5}+9}over{8}]

		[eqn: CDOTS]
[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]	[eqn: CDOTS]

① [eqn: {8pi+8-8 sqrt {5}} over {7}]	② [eqn: {8pi+8-7 sqrt {5}} over {7}]

③ [eqn: {9pi+9-9 sqrt {5}} over {8}]	④ [eqn: {9pi+9-8 sqrt {5}} over {8}]

⑤ [eqn: {10pi+10-10 sqrt {5}} over {9}]

양의 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =ln` LEFT ( 2x ^{2} +2x+1 RIGHT )]([eqn: x>0])과 직선 [eqn: y][eqn: =t]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: f`' LEFT ( 2`ln`5 RIGHT )]의 값은?

①

[eqn: g(x)=ln`(2x^{2}+2x+1)] [eqn: (x>0)]라 두자

[eqn: g(x)]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g`'(x)={4x+2}over{2x^{2}+2x+1}]

[eqn: g (x)]와 [eqn: y=t]가 만나는 [eqn: x]좌표를 [eqn: f(t)]이면 [eqn: g(f(t))=t]이다.

[eqn: g(f(2ln`5))=2ln`5=ln`25]

[eqn: f(2ln`5)=k]라 치환하면 [eqn: g(k)=ln`25]

[eqn: ln`(2k^{2}+2k+1)=ln5], [eqn: 2k^{2}+2k+1=5]

[eqn: k^{2}+k-12=0] [eqn: (k>0)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=3]

[eqn: g(f(t))=t]를 [eqn: t]에 대해 미분하면 [eqn: g`'(f(t))cdotf`'(t)=1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(2ln`5)][eqn: ={1}over{g`'(f(2ln`5))}]
[eqn: ={1}over{g`'(3)}]
[eqn: ={18+6+1}over{14}]
[eqn: ={25}over{14}]

[3점]

① [eqn: {25} over {14}]	② [eqn: {13} over {7}]	③ [eqn: {27} over {14}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {29} over {14}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmO]에 대하여 선분 [eqn: rmOB]를 반지름으로 하는 사분원 [eqn: rmOBC]가 있다. 호 [eqn: rmBC]를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmOB] 위의 점 [eqn: rmQ]가 [eqn: ANGLE rm APC][eqn: = ANGLE rm PCQ]를 만족시킨다. 선분 [eqn: rmAP]가 두 선분 [eqn: rmCO], [eqn: rmCQ]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 하자. [eqn: ANGLE rm PAB][eqn: = theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmRQS]의 넓이를 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}]의 값은? [eqn: LEFT ( 단,~0< theta < {pi} over {4} RIGHT )] [4점]

④

[eqn: triangle{rmOAP}]는 이등변삼각형이므로 [eqn: angle{rmOPA}=theta]이고 [eqn: angle{rmPOQ}= 2theta]이다.

[eqn: triangle{rmOAP}]에 한 점[eqn: rmO]에서 마주보는 변[eqn: rmCP]에 수선의 발을 점 [eqn: rmM]이라 두자.

[eqn: angle{rmCOQ}={pi}over{2}]이므로 [eqn: angle{rmCOP}={pi}over{2}-2theta]이다.

이등변삼각형의 꼭짓각은 밑변을 수직이등분하므로 [eqn: angle{rmMOP}={pi}over{4}-theta] ([eqn: angle{rmMOP}=angle{rmCOM}=angle{rmROS}] [eqn: cdotscdots] ㉠)이고 [eqn: triangle{rmOPS}]의 한 외각인 [eqn: angle{rmPSM}={piover{4}]이다.

이때 [eqn: anglermCSP]는 [eqn: angle{rmPSM}]의 [eqn: 2]배이므로 [eqn: {pi}over{2}]이다.

[eqn: bar{rmAO}=2]이므로 [eqn: bar{rmRO}=2 tan`theta]

[eqn: bar{rmCO}]의 길이는 [eqn: bar{rmCO}-bar{rmRO}=2-2 tan `theta]

[eqn: triangle{rmAOR}]과 [eqn: triangle{rmCSR}]은

[eqn: angle{rmORA}=angle{rmSRC}] [eqn: (because] 맞꼭짓각)

[eqn: angle{rmAOR}=angle{rmCSR}=90DEG]

이므로 [eqn: rmAA]닮음이다.

따라서 [eqn: angle{rmRAO}=angle{rmRCS}=theta]이므로 [eqn: bar{rmRS}=(2-2tan`theta)sintheta]

□[eqn: rmSOQR]의 마주보고 있는 두 각인 [eqn: angle{rmROQ}]와 [eqn: angle{rmRSQ]의 합이 [eqn: pi]이므로 □[eqn: rmSOQR]은 원에 내접하는 사각형이다. 따라서 [eqn: angle{rmROS}]와 [eqn: angle{rmRQS}]는 원주각으로 같고 [eqn: {pi}over{4}-theta] ([eqn: because] ㉠)이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: S(theta)][eqn: ={1}over{2}cdot2^{2}cdot(1-tan`theta)^{2}cdot sin^{2}`thetacdot{1}over{tan left({pi}over{4}-thetaright)}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{ theta->0} {{S(theta)}over{theta^{2}} }][eqn: =lim _{ theta->0} { {2^{2}cdot(1-tan`theta)^{2}cdot sin^{2}`theta}over{2cdot{tan left({pi}over{4}-thetaright)}cdot theta^{2}}}][eqn: =2]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

단답형

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

19

[eqn: -1 le x le 0]일 때, [eqn: left |`` f(x)sinx ``right |][eqn: =f(x)`sin`x]

[eqn: 0 le x le 1]일 때. [eqn: left |`` f(x)sinx ``right | =][eqn: -f(x)sin`x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: int _{ -1} ^{ 0} { left |`` f(x)sinx ``right | dx =2 }], [eqn: int _{ 0} ^{1 } { left |`` f(x) sinx ``right | dx =3 }]

[eqn: g(x)]에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: g(0)= int _{ -1} ^{0 } {left|`f(x)sin`x right| }dx=2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g(0)=2]

[eqn: g(x)]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g(1)][eqn: = int _{ -1} ^{1 } { left |`` f(t) sint ``right | dt }]
[eqn: =int _{ -1} ^{ 0} { left|`f(x)`sin`x right|}dx+ int _{ 0} ^{1 } {left|`f(x)`sin`x`right| }dx][eqn: =2+3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g(1)=2+3=5]

[eqn: g(x)]에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: g(-1)= int _{ -1} ^{-1 } {left|`f(x)sin`x right| }dx=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g(-1)=0]

이때 [eqn: g`'(x)= left|`f(x)`sin`x`right|]가

[eqn: -1 le x le 0]일 때, [eqn: left |`` f(x)sinx ``right |][eqn: =f(x)`sin`x]

[eqn: 0 le x le 1]일 때. [eqn: left |`` f(x)sinx ``right | =][eqn: -f(x)sin`x]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(-x)g(-x)sinxdx]에서 [eqn: -x=t]로 치환하면

[eqn: dx=-dt], [eqn: -1 le t le 1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: int _{-1} ^{1} {f(-x)g(-x)sinx`dx]
[eqn: =int _{1} ^{-1} {f(t)g(t)sin(-t)(-1)dt]
[eqn: =-int _{-1} ^{1} {f(t)g(t)sin`t`dt]
[eqn: =-int _{ -1} ^{0 } {g`'(t)g(t) }dt+ int _{ 0} ^{1 } {g`'(t)g(t) }dt]
[eqn: =-left[{1}over{2}left{g(t)right}^{2} right]_{-1}^{0}+left[{1}over{2} left{g(t)right}^{2} right]_{0}^{1}]
[eqn: ={1}over{2} left[left{g(1)right}^{2}-left{g(0)right}^{2} right]-{1}over{2} left[left{g(0)right}^{2}-left{g(-1)right}^{2}right]]
[eqn: ={1}over{2}(5^{2}-2^{2})-{1}over{2}(2^{2}-0^{2})]
[eqn: = {17} over {2}]

(가) [eqn: -1 LEQ x LEQ 1] 에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: <0]이다.

(나) [eqn: int _{-1} ^{0} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) `sin`x RIGHT | `dx][eqn: =2], [eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) `sin`x RIGHT | `dx][eqn: =3]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{-1} ^{x} {} LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) `sin`t RIGHT | `dt]에 대하여
[eqn: int _{-1} ^{1} {} f LEFT ( -x RIGHT ) `g LEFT ( -x RIGHT ) `sin`x`dx][eqn: = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수

64

조건(가)에서 [eqn: g(x)]는 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: x=0], [eqn: x=2]에서 극한값과 함숫값이 같아야 되고 [eqn: g(0)!=0]이면 [eqn: f(0)!=0]이어야 된다.

[eqn: x=0]일 때 [eqn: lim _{ x->0+} {g(x) }=-f(0)]이고 [eqn: g(0)=f(0)]이므로

[eqn: -f(0)=f(0)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: x=2]일 때 [eqn: lim _{ x->2-} {g(x) }=f(2)]이고 [eqn: g(2)=f(2)]이므로

[eqn: f(2)=f(2)]

[eqn: x=2]에서 항상 연속이다.

[eqn: g(x)= cases{f(x)&&&(0 le x le 2)#f(x) overx-1 &&&(x <0 ```` 또는 ```` x>2)}]

[eqn: g`'(x)= cases{```````````````````````````f`'(x)``&&&(0 le x le 2)#{f`'(x)(x-1)-f(x)}over{(x-1)^{2}}&&&(x<0````또는 ````x>2)]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: lim _{ x->0+} { g`'(x)}=f'(0)]이고,

[eqn: lim _{ x->0-} { g'`(x)}=-f`'(0)-f(0)=-f`'(0)] [eqn: (because````f(0)!=0)]

[eqn: x=2]일 때 [eqn: lim _{ x->2+} {g`'(x) }=f`'(2)-f(2)]이고

[eqn: lim _{ x->2-} { g`'(x)}=f`'(2)]

[eqn: f``'(2)-f(2)!=f`'(2)] [eqn: (because````f(2)!=0)]

따라서 [eqn: x=2]에서 미분불가능하다.

조건(나)에서 [eqn: x=a]에 미분불가능한 [eqn: x]값이 [eqn: 1]개이므로 [eqn: x=0]에서 미분불가능해야 된다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(0)=-f`'(0)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: f(x)=x^{2}(x-alpha)] [eqn: (alpha!=0)]

조건 (다)에 따라 [eqn: g(k)=0]이면 [eqn: f(k)=0]이다.

이때 [eqn: k=0] 또는 [eqn: k=alpha]인데 [eqn: g`'(0)=0]이므로 [eqn: k=alpha]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: 0le alpha le 2]일 때, [eqn: f`'(alpha)={16over{3}], [eqn: alpha^{2}={16}over{3}],
[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha={4root{3}}over{3}]
[eqn: alpha>2]이므로 모순

(ⅱ) [eqn: alpha<0], [eqn: 2 <alpha]일 때
[eqn: {(alpha-1)f`'(alpha)}over{(alpha-1)^{2}}={alpha^{2}}over{(alpha-1)^{2}}={16}over{3}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: 3alpha^{2}-16alpha+16=0]
[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha=4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)=x^{2}(x-4)]

[eqn: lim _{ x->2-} {g'(x) }<0], [eqn: lim _{ x->2+} {g`'(x) }>0]이므로 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: g(2)=-8], [eqn: p=-8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p^{2}=64]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~~f LEFT ( x RIGHT )&~~~ LEFT ( 0 LEQ x LEQ 2 RIGHT )#eqalign{# ~~ {f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x<0~또는~x>2 RIGHT )}}}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이고,
[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) != 0]이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 실수
[eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(다) [eqn: g LEFT ( k RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g' LEFT ( k RIGHT )][eqn: = {16} over {3}]인 실수 [eqn: k]가 존재한다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값이 [eqn: p]일 때, [eqn: p ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2022학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(기하)

제 2 교시

5 지선다형

세 벡터 [eqn: {vec{a}}][eqn: = LEFT ( x,~3 RIGHT )], [eqn: {vec{b}}][eqn: = LEFT ( 1,~y RIGHT )], [eqn: {vec{c}}][eqn: = LEFT ( it -3,~5 RIGHT )]가 [eqn: 2 {vec{a}}][eqn: = {vec{b}} - {vec{c}}]를 만족시킬 때, [eqn: x+y]의 값은? [2점]

③

[eqn: 2 vec { a} = (2x, ````6)], [eqn: vec {b} - vec{ c} = (4,````y-5)]이므로 [eqn: 2x= 4]

[eqn: THEREFORE```` x=2]

[eqn: 6=y-6]	[eqn: THEREFORE```` y= 11]

[eqn: THEREFORE```` x+y= 13]

① [eqn: 11`]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 13`]	④ [eqn: 14`]	⑤ [eqn: 15`]

좌표공간의 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( 0,~2,~-3 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 6,~-4,~15 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmC]가 있다. 세 점 [eqn: rmA,~B,~C]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A prime ,~B',~C prime]이라 하자. [eqn: 2 {bar{rm A'C'}}][eqn: = {bar{rm C'B'}}]일 때, 점 [eqn: rmC]의 [eqn: z]좌표는? [3점]

⑤

[eqn: 2bar{rmA primeC prime} = bar{rmC primeB prime}]이므로 점 [eqn: rmC`']은 선분[eqn: rmA'B']의 [eqn: 1``:``2]내분점이다.

즉, 점 [eqn: rmC]는 선분[eqn: rmAB]의 [eqn: 1``:``2] 내분점이므로 점 [eqn: rmC] [eqn: z]의 좌표는

[eqn: {(-3) times 2 + 15 times 1 } over 1+2 = 3]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {3}][eqn: =1] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 [eqn: x]절편이 [eqn: {1} over {3}]이다. 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {3}][eqn: =1]의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF]라 할 때, 선분 [eqn: rmPF]의 길이는? [3점]

①

접점 [eqn: rmP]를 [eqn: (x_{1} , ````y_{1})]이라 하면 접선의 방정식은

[eqn: x_{1} x - {{y_{1} y} over 3 =1]이므로 [eqn: x]절편이 [eqn: 1 over 3]이므로 [eqn: left( 1over 3 ,````0 right)]를 지난다.

[eqn: 1over3 x_{1} =1], 즉, [eqn: x_{1} = 3]이므로 점 [eqn: rmP ( 3 ,```` 2root6 )] ([eqn: because```` y_{1} >0])

초점의 좌표중 양수인 좌표는 [eqn: {rm F(2,````0)] ([eqn: because ```` c^{2}=a^{2}+b^{2}])

그러므로 선분 [eqn: rmPF]의 길이는

[eqn: root { (3 - 2 )^{2} + (2root6 -0 )^{2} }= root {1+24 }= 5]

① [eqn: 5]	② [eqn: {16} over {3}]	③ [eqn: {17} over {3}]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {19} over {3}]

좌표공간에서 중심이 [eqn: rm A it LEFT ( a,~-3,~4 RIGHT )]([eqn: a>0])인 구 [eqn: S]가 [eqn: x]축과 한 점에서만 만나고 [eqn: {bar{rm OA}}][eqn: =3 sqrt {3}]일 때, 구 [eqn: S]가 [eqn: z]축과 만나는 두 점 사이의 거리는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]

②

구가 [eqn: x]축과 만나는 한 점의 좌표를 [eqn: rmH]라 하면 점 [eqn: rmH ( ita,````0,````0)]이다. 이때 선분 [eqn: rmAH]의 길이가 반지름이므로

[eqn: bar{ rmAH} = root { 0+ (-3)^{2} + 4^{2} }= 5]

[eqn: bar{ rmOA} = 3root3]이므로

[eqn: bar{ rmOA} = root{it a^{2} +3^{2} +4^{2} }= root {a^{2} +25} = root 27]

[eqn: THEREFORE```` a= root2] ([eqn: because ```` a>0])

[eqn: z]축에 수선의 발을 내린 점을 [eqn: rmG]라 하면 [eqn: rmG( 0,````0,````4)]이고

[eqn: bar{ rmAG} = root { (root2 )^{2} + (-3)^{2} +0}= root 11]

[eqn: z]축에서 만나는 두 점을 [eqn: rmQ,````Q']라 하면 [eqn: bar{ rmQQ' }= 2 bar{ rmGQ]이고

[eqn: {bar{rm GQ}} ^{2} = {bar{rm AQ}} ^{2} - {bar{rm AG}}^{2}][eqn: = 25 - 11 = 14]이므로

[eqn: bar{ rmGQ} = root 14]

따라서 두 점 사이의 거리는 [eqn: 2root14]

① [eqn: 3 sqrt {6}]	② [eqn: 2 sqrt {14}]	③ [eqn: sqrt {58}]	④ [eqn: 2 sqrt {15}]	⑤ [eqn: sqrt {62}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 점 [eqn: rmA]를 지나고 직선 [eqn: rmBC]에 평행한 직선을 [eqn: l]이라 할 때, 세 직선 [eqn: rmAC,~BC,~itl]에 모두 접하는 원을 [eqn: O]라 하자. 원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: LEFT | ` {vec{rm AC}} + {vec{rm BP}} ` RIGHT |]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: Mm]의 값은? (단, 원 [eqn: O]의 중심은 삼각형 [eqn: rmABC]의 외부에 있다.) [3점]

④

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면

[eqn: vec {rmBP} = vec{ rmBO}+vec{ rmOP}]

이고 점 [eqn: rmB]를 원점으로 설정하면 점 [eqn: rm A (2,````2root3 )], 점 [eqn: rmC( 4,````0)], 점 [eqn: rmO][eqn: (5,```` root3 )]이고 반지름의 길이가 [eqn: root3]이다.

[eqn: THEREFORE```` vec{ rmAC} + vec{ rmBP}][eqn: = ( vec{ rmAC} + vec{ rmBO} )+vec{ rmOP}]
[eqn: = (2,````-2root3 ) + (5,````root3 ) + rm vec{ OP}]
[eqn: = (7,````-root3 ) + vec{ rmOP}]

최댓값은 중심을 지나고 일직선에서 반지름의 길이를 더한 값이고,

최솟값은 중심을 지나는 일직선에서 반지름의 길이를 뺀 값이다.

[eqn: bar{rmBO} = root {7^{2} + (-root3 )^{2} } = 2root 13]

그러므로 최댓값은 [eqn: 2root 13 + root 3], 최솟값은 [eqn: 2root 13 -root3]

[eqn: THEREFORE````Mm= (2root13 +root 3 ) ( 2root 13 - root 3 ) = 52 -3 = 49]

① [eqn: 46`]	② [eqn: 47`]	③ [eqn: 48`]	④ [eqn: 49`]	⑤ [eqn: 50`]

[그림 [eqn: 1]]과 같이 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =3], [eqn: {bar{rm AD}}][eqn: =2 sqrt {7}]인 직사각형 [eqn: rmABCD] 모양의 종이가 있다. 선분 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 두 선분 [eqn: rmBM], [eqn: rmCM]을 접는 선으로 하여 [그림 [eqn: 2]]와 같이 두 점 [eqn: rmA,~D]가 한 점 [eqn: rmP]에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 [eqn: rmPBM]과 평면 [eqn: rmBCM]이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos` theta]의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점]

⑤

[eqn: bar{rmAM} = root 7]이고, 점 [eqn: rmM]에서 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: bar {rmBM}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmX]라 하면 직선 [eqn: rmAX]와 [eqn: bar {rmBH}]의 교점이 생긴다. 이때 이 점을 [eqn: rmY]라 하자.

[eqn: triangle{ rmAXM}]과 [eqn: triangle rmMXY], [eqn: triangle{ rmBXA]가 닮음이므로

[eqn: bar {rmMY} = 7 over 3]

[eqn: bar{rm AX} = bar{ rmXP}]이므로 [eqn: cos theta = {bar{ rmXY} over { bar{ rmXP} } = bar{ rmXY} over {bar{rmAX}]

[eqn: triangle{ rmABX}]와 [eqn: triangle{ rmYMX}]이므로

[eqn: bar{ rmXY} over {bar {rmXA}}={bar{rmMY} over {bar{ rmAB} } = 7 over 9]

[eqn: THEREFORE```` cos theta = 7 over 9]

[그림 [eqn: 1]]

[그림 [eqn: 2]]

① [eqn: {17} over {27}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {19} over {27}]	④ [eqn: {20} over {27}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

단답형

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =16x]의 초점을 [eqn: rmF]라 하자. 점 [eqn: rmF]를 한 초점으로 하고 점 [eqn: rm A it LEFT ( -2,~0 RIGHT )]을 지나며 다른 초점 [eqn: rmF']이 선분 [eqn: rmAF] 위에 있는 타원 [eqn: E]가 있다. 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =16x]가 타원 [eqn: E]와 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. [eqn: {bar{rm BF}}][eqn: = {21} over {5}]일 때, 타원 [eqn: E]의 장축의 길이는 [eqn: k]이다. [eqn: 10k]의 값을 구하시오. [4점]

66

[eqn: y^{2} =16x]의 초점 [eqn: rmF (4,````0)]이고, 준선의 방정식은 [eqn: x=-4]이다.

점 [eqn: rmA(-2,````0)]을 지나고 초점이 선분 [eqn: rmAF] 위에 있으므로 점 [eqn: rmA]는 꼭짓점이다. 타원과 포물선의 교점 [eqn: rmB]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: bar{ rmBH} = bar{rmBF]이다.

그러므로 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -4+ 21 over 5 = 1over 5]이다.

그러므로 점 [eqn: rmB left( 1over 5 , ```` 4 over root 5 right)]

중심의 좌표를 [eqn: (a,````0)]이라 하면 [eqn: rmF(4,````0)]이고 중심에서 거리가 [eqn: 4-a]이므로 [eqn: rmF`'( 2it a -4 , ````0)], [eqn: bar{ rmBF`'} + bar{rmBF}]가 장축의 길이이므로 장축의 길이는 [eqn: (a+2) times 2]이다.

[eqn: therefore] [eqn: bar{rmBF`'}= 2 it a + 4 - 21 over 5 = 2a - 1over 5]

[eqn: root {left(2a-4 - 1over 5 right)^{2} + left( 4 over root 5 right)^{2} }= 2a- 1over 5]

[eqn: left( 2a - 21 over 5 right )^{2} + 16 over 5 = 4a^{2} - 4 over 5 a + 1 over 25]

[eqn: 4a^{2} - 84 over 5 a + 441 over 25 + 80 over 25 = 4a^{2} - 4 over 5 a + 1over 25]

[eqn: 520 over 25 = 16a]	[eqn: THEREFORE```` a = 13 over 10]

[eqn: THEREFORE```` 10k= 20a+ 40=26+40=66]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( `6`,``0` RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 6,~5 RIGHT )]와 음이 아닌 실수 [eqn: k]에 대하여 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 다음 조건을 만족시킨다.

37

(가) [eqn: vec{rmOP} = it k ( vec{ rmOA} + vec{ rmOB} ) = it k (12,````5)]이므로 [eqn: vec {rmOP}]는 [eqn: (12, ````5)]와 평행한 벡터이다. [eqn: vec { rmOP} bullet vec{ rmOA} leq 21]에서 내적의 정의에서 시점을 일치시키고 다른 벡터에 정사영한 선분의 길이의 곱을 의미하는 것이므로 [eqn: vec{ rmOA}]의 크기가 [eqn: 6]이므로 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 7over 2]를 넘을 수 없다.

(나) [eqn: left |``vec{ rmAQ}`` right| = left| ``vec{ rmAB}`` right| = 5] 즉, 점 [eqn: rmQ]는 중심을 [eqn: rmA]로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원 위의 점이다. [eqn: vec { rmOQ} bullet vec{ rmOA} leq 21]에서 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 7over 2]를 넘을 수 없다.

[eqn: rm vec{ OX} = vec{ rmOP} + vec {rmOQ}]에서 변수는 [eqn: x]좌표만 움직일 수 있으므로 넓이는 평행이동하여 잘라 붙이면 직사각형 모양으로 된다.

이때 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표의 폭이 높이가 될 수 있으며, [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표의 변화는 [eqn: 0]에서 [eqn: 7 over 2]이므로 가로의 길이는 [eqn: 7 over 2]이다.

중심이 [eqn: (6,```0)]이고 반지름이 [eqn: 5]인 원에서 [eqn: y]값의 변화가 가장 큰 값은 [eqn: x= 7 over 2]일 때이므로

[eqn: left( 7 over 2 -6 right)^{2} +y^{2} = 25], [eqn: y^{2} = 25 - 25 over 4]

[eqn: y^{2} = 75 over 4 ,````y= +- {5 root3} over 2]

그러므로 세로의 길이는 [eqn: 5root3]이다.

따라서 도형의 넓이는 [eqn: 5root3 times 7 over 2 = 35 over 2 root3]

즉, [eqn: p=2 ,````q=35]이므로 [eqn: p+q = 35+2 =37]

(가) [eqn: {vec{rm OP}}][eqn: =k LEFT ( {vec{rm OA}} + {vec{rm OB}} RIGHT )]이고 [eqn: {vec{rm OP}} BULLET {vec{rm OA}} LEQ 21]이다.

(나) [eqn: LEFT | ` {vec{rm AQ}} ` RIGHT |][eqn: = LEFT | ` {vec{rm AB}} ` RIGHT |]이고 [eqn: {vec{rm OQ}} BULLET {vec{rm OA}} LEQ 21]이다.

[eqn: {vec{rm OX}}][eqn: = {vec{rm OP it}} + {vec{rm OQ it}}]를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: {q} over {p} sqrt {3}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2022학년도 사관학교 기출해설

1	①	2	④	3	④	4	⑤	5	⑤
6	③	7	④	8	②	9	③	10	①
11	②	12	③	13	②	14	④	15	①
16	18	17	12	18	9	19	16	20	290
21	27	22	56
[확률과 통계]				23	②	24	①	25	③
26	④	27	⑤	28	②	29	80	30	41
[미적분]				23	⑤	24	②	25	④
26	③	27	①	28	④	29	19	30	64
[기하]				23	③	24	⑤	25	①
26	②	27	④	28	⑤	29	66	30	37