수학 영역 (나형)

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수학 영역 (나형)

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16

2021학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(나 형)

[eqn: left ( {1} over {4} right )^{- {3} over {2}}]의 값은? [2점]

④

[eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{- {3} over {2}}][eqn: = 4 ^{{3} over {2}}][eqn: = (2^2 )^{3 over2}][eqn: = 2^3][eqn: = 8]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고

②

P[eqn: (A cap B) =]P[eqn: (A)]P[eqn: (B)]이므로 P[eqn: (B) = {1/4} over{2/3}][eqn: = 3 over8]

[eqn: {rm P it}(A)= {2} over {3}], [eqn: {rm P it}(A ∩B )= {1} over {4}]

일 때, [eqn: {rm P it}(B)]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[eqn: sin` theta= it - {1} over {3}]일 때, [eqn: {cos` theta}over{tan` theta}]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: { cos theta} over{ tan theta} ={ cos^2 theta} over { sin theta} = { 1 - sin^2 theta} over{ sin theta][eqn: = 1 over { sin theta} - sin theta][eqn: = -3 + 1 over3 = - 8 over3]

① [eqn: -4]	② [eqn: - {11} over {3}]	③ [eqn: - {10} over {3}]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: - {8} over {3}]

함수 [eqn: f(x)=(x ^{3} -2x+3)(ax+3)]에 대하여 [eqn: f`'(1)=15]일 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

②

[eqn: f``'(x)= ( 3x^2 -2) ( ax+3) + ( x^3 - 2x+3) a]

[eqn: f``'(1)= 15 =][eqn: (a+3)+ 2a]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a = 4]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

닫힌구간 [eqn: [-1 ,``` 3]]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 다음과 같다.

④

[eqn: lim_x->0- f(x)+ lim_x->2+ f(x)= 2 + 2 = 4]

[eqn: lim _{ x`→`0-}{`} f(x)+lim _{ x`→`2+}{`} f(x)]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: left ( 2x ^{2} + {1} over {x} right ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{4}]의 계수는? [3점]

①

[eqn: x^4]의 계수는 [eqn: rm `_ 5 C_3 2^3 = 80]

① [eqn: 80]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 90]	④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 100]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

⑤

[eqn: x = 1]을 대입하면 [eqn: 0 = 1 + a -3], [eqn: a = 2]

미분하면 [eqn: f(x)= 3x^2 + a = 3x^2 +2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(a)= f(2)= 12 + 2 = 14]

[eqn: int_{1}^{x } {`} f(t)`dt=x ^{3} +ax-3]

을 만족시킬 때, [eqn: f(a)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

다음 그림과 같이 원형 탁자에 [eqn: 7]개의 의자가 일정한 간격으로 놓여있다. [eqn: \A], [eqn: \ B], [eqn: \ C`]를 포함한 [eqn: 7]명의 학생이 모두 이 [eqn: 7]개의 의자에 앉으려고 할 때, [eqn: \A], [eqn: \ B], [eqn: \ C`] 세 명 중 어느 두 명도 서로 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

③

먼저 A, B, C를 제외한 4사람의 원순열로 배치하고, 그 각각에 대하여 4사람이 사이 칸 중 3곳을 택하여 A, B, C의 자리를 정한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 4! over4 Times rm` _ 4 P_3 = 6 Times 24 = 144]

① [eqn: 108]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 132]	④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 156]

곡선 [eqn: y= it -x ^{3} +3x ^{2} +4]에 접하는 직선 중에서 기울기가 최대인 직선을 [eqn: l]이라 하자. 직선 [eqn: l]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

①

[eqn: y``' = - 3x^2 + 6x][eqn: = - 3( x -1)^2 + 3] 이므로

[eqn: x = 1], [eqn: y = 6]일 때 기울기는 3으로 최대이다.

따라서 직선 [eqn: l]은 [eqn: y =3(x-1)+ 6 = 3x+ 3]

구하는 도형의 넓이는

[eqn: S= 1 over2 Times 3 Times 1 = 3 over2]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

[eqn: 0≤x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: left |` sin`2x ` right |`= {1} over {2}]의 모든 실근의 합은?

③

[eqn: sin2x = 1 over2] 또는 [eqn: - 1 over2]이고, 그림과 같이 8개인데,
서로 [eqn: x = pi]에 대하여 대칭이다.

따라서 8개의 근의 합은 [eqn: 8pi]이다.

[3점]

① [eqn: 4pi]	② [eqn: 6pi]	③ [eqn: 8pi]	④ [eqn: 10pi]	⑤ [eqn: 12pi]

어느 사관생도가 [eqn: 1]회의 사격을 하여 표적에 명중시킬 확률이 [eqn: {4} over {5}]이다. 이 사관생도가 [eqn: 20]회의 사격을 할 때, 표적에 명중시키는 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. [eqn: {rm V it} left( {1} over {4} X+1 right )]의 값은? (단, 이 사관생도가 매회 사격을 하는 시행은 독립시행이다.) [3점]

①

확률변수 [eqn: X]는 B[eqn: left(20, `` 4 over5 right)]를 따른다. 그러므로

[eqn: {\V} left( 1 over4 X +1 right)][eqn: = 1 over16][eqn: \V][eqn: (X)][eqn: = 1 over16 left( 20 Times 4 over5 Times 1 over5 right) = 1 over5]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]	④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: 1]

시각 [eqn: t=0]일 때, 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: \P], [eqn: \ Q]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t≥0])에서의 속도가 각각

①

두 점의 위치는 각각

[eqn: x_1 (t) = t^2 + 3t], [eqn: x_2 (t) = a left( 3t^2 - 1 over3 t^3 right)]

[eqn: t = 3]일 때 같은 위치이므로 [eqn: 9+9=a(27-9)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a`=`1]

[eqn: v _{1} (t)=2t+3], [eqn: v _{2} (t)=at(6-t)]

이다. 시각 [eqn: t=3]에서 두 점 [eqn: \P], [eqn: \ Q]가 만날 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a _{n} right }]은 [eqn: a _{1} = {3} over {2}]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

②

[eqn: a _{2n-1`} + a_2n = 2 a_n]이므로 [eqn: S_2n = 2 S_n]

[eqn: S_1 = 3 over2], [eqn: S_2 = 3], [eqn: S_4 = 6], [eqn: S_8 = 12]

[eqn: THEREFORE] [eqn: S_16 = 24]

[eqn: a _{2n-1} +a _{2n} =2a _{n}]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{ n=1} ^{16 } {`} a _{n}]의 값은? [3점]

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

어느 방위산업체에서 생산하는 방독면 [eqn: 1]개의 무게는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: 50]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 방위산업체에서 생산하는 방독면 중에서 [eqn: n]개를 임의추출하여 얻은 방독면 무게의 표본평균이 [eqn: 1740]이었다. 이 결과를 이용하여 이 방위산업체에서 생산하는 방독면 [eqn: 1]개의 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`%]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: 1720.4≤m≤a]이다. [eqn: n+a]의 값은? (단, 무게의 단위는 [eqn: rm g]이고, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rm P it}(0≤Z≤1.96)=0.475]로 계산한다.) [4점]

④

[eqn: 1740 - 1.96 Times 50 over sqrtn = 1720.4] 이므로 [eqn: n = 25]

[eqn: a = 1740 + 1.96Times 50 over sqrt25][eqn: = 1759.6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n +a = 1784.6]

① [eqn: 1772.6]	② [eqn: 1776.6]	③ [eqn: 1780.6]

④ [eqn: 1784.6]	⑤ [eqn: 17888.6]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

(가), (나)에서 [eqn: f(x) = x^4 + bx^2 + 7]

[eqn: f(1) = 1 + b+ 7 = 2], [eqn: b = -6]

그러므로 [eqn: f(x) = x^4 - 6x^2 + 7]

[eqn: f``'(x) = 4x^3 - 12x = 4x( x^2 - 3)]

극솟값은 [eqn: x^2 = 3]일 때, [eqn: 9 - 18 + 7 = -2]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값 [eqn: 7]을 갖는다.

[eqn: f(1)=2]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은? [4점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]와 수열 [eqn: left { c _{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

③

등차수열의 합에서

[eqn: log_2 c_1 + cdots + log_2 c_m = m Times a+b over2][eqn: = m over2]

[eqn: log_2 ( c_1 Times cdots Times c_m ) = log_2 32 = 5][eqn: = m over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: m = 10]

(가) [eqn: (m+2)]개의 수
[eqn: a], [eqn: log_{`` 2}`` c _{1}], [eqn: log_{`` 2}`` c _{2}], [eqn: cdots], [eqn: log_{`` 2}`` c _{m}], [eqn: b]
가 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 수열 [eqn: left { c _{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: m]항까지의 항을 모두 곱한 값은 [eqn: 32]이다.

[eqn: a+b=1]일 때, 자연수 [eqn: m]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: {rm {rm N it} it}(10 ,``` 5 ^{2} )]을 따르고. 확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: {rm {rm N it} it}(m ,``` 5 ^{2} )]을 따른다. 두 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y`]의 확률밀도함수를 각각

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

[eqn: f(x) ,``` g(x)]라 할 때, 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하자. [eqn: {rm P it}(Y≤2k )]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구하면?
(단, [eqn: m≠10]) [4점]

⑤

[eqn: 2k = m+10]이므로

P[eqn: (Y le 2k ) =]P[eqn: ( Y le m+10)][eqn: =]P[eqn: (Z le2)][eqn: = 0.9772]

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.8413]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9332]	⑤ [eqn: 0.9772]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식

②

(i) [eqn: n =1]일 때, (좌변)[eqn: = rm { `_2 P_1} over 2^1 = 1], (우변)[eqn: = 2! over2^1 = 1]

이므로 (*)이 성립한다.

(ii) [eqn: n = m]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum_k=1^m { `_2k {\P}_k} over { 2^k} le {(2m)!} over 2^m]

[eqn: sum_k=1^m+1 { `_ 2k {\P}_k} over2^k][eqn: = sum_k=1^m { `_2k{\P}_k} over{ 2^k} + {`_2m+2 {\P}_m+1} over{ 2^m+1]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {` _{2k} rm P it rm _{k} it} over {2 ^{k}} +][eqn: { (2m+2)!} over{ 2^m+1 Times (m+1)!]
[eqn: le { (2m)!} over 2^m][eqn: +][eqn: { (2m+2)!} over{ 2^m+1 Times (m+1)!]
[eqn: =][eqn: {(2m+2)!} over2^m+1 Times left{ 1 over{ (2m+1) (m+1)} + 1 over (m+1)! right]
[eqn: <][eqn: {(2m+2)!} over 2^m+1]

따라서 [eqn: n = m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(i),(ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

[eqn: p = 1], [eqn: f(m) = (2m+2)!], [eqn: g(m) = (2m+1)(m+1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p + f(2) overg(1) = 1 + 6! over{ 9 Times 5][eqn: =1 + 16 = 17]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` {it _{2k} rm P it rm _{k} it} over {2 ^{k}} LEQ {(2n)!} over {2 ^{n}}] [eqn: cdotscdots] (*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
(좌변)[eqn: ={{it}_{2}{rm P it}_{1} }over {2 ^{1}}][eqn: =1]이고, (우변)[eqn: =][eqn: `box{it ^{it}````````(가)````````}`]이므로
(*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때,
(*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{ k=1} ^{m } {`}{ {it}_{2k} rm P it}_{k}over{2 ^{k}} ≤{(2m)!}over {2 ^{m}}]
이다. [eqn: n=m+1]일 때,

[eqn: sum _{ k=1} ^{m+1 } {`} {{} {it}_{2k} rm P it}_{k}over{2 ^{k}}][eqn: =sum _{ k=1} ^{m } {`} {{} {it}_{2k} rm P it}_{k}over{2 ^{k}}+{{} {it}_{2m+2} rm P it}_{m+1}over {2 ^{m+1}}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {`} {it _2k {rm P} it _k} over {2 ^{k}} + { `box{it ^{it}````````(나)````````}`} over {2 ^{m+1} × (m+1)!}]
[eqn: ≤ {(2m)!} over {2 ^{m}}+ {`box{it ^{it}````````(나)````````}`} over {2 ^{m+1} × (m+1)!}]
[eqn: ={ `box{it ^{it}````````(나)````````}`}over{2 ^{m+1}} × left { {1} over {it ^{it ^{it}} box{it ^{it}````````(다)````````}`}+ {1} over{(m+1)!} right }]
[eqn: < {(2m+2)!}over{2 ^{m+1}}]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` {it _{2k} rm P _{ it k}} over {2 ^{k}} LEQ {(2n)!} over {2 ^{n}}]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: p+{f(2)}over{g(4)}]의 값은? [4점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it}`=bar {rm AC it}]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC it]에서 선분 [eqn: rm AC it]를 [eqn: 5 ``:` 3]으로 내분하는 점을 [eqn: \D]라 하자.

③

사인법칙에 의하여

[eqn: sinC =][eqn: { rm barBD Times sin ( ANGLE rm DBC)} over{ rm barDC],

[eqn: sin A =][eqn: rm { rm barBD Times sin( ANGLE rmABD)} over{ rm barAD}]

[eqn: rm barAD `:` barDC `= 5 `:` 3]이고

[eqn: sin( ANGLE rm ABD)`:`sin( ANGLE rm DBC)`=`5:`2] 이므로

[eqn: { sin C} over { sin A} =][eqn: 2 over5 Times 5 over3 = 2 over3]

[eqn: 2`sin(∠rm ABD it)=5`sin( ∠rm DBC it )]

일 때, [eqn: {sin`C`}over{sin`A}]의 값은? [4점]

① [eqn: {3} over {5}]	② [eqn: {7} over {11}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: {9} over {13}]	⑤ [eqn: {5} over {7}]

[eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: k]에 대하여 다항함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]가

④

그래프가 그림과 같아야 한다.

[eqn: 1 le k], [eqn: f(1) < f(4)]

[eqn: f`'(x) = 3(x-k)(x-2k)]

[eqn: f(x) = x^3 - 9 over2 k x^2 + 6 k^2 x + C]

[eqn: f(4) - f(1)][eqn: = ( 64 - 72k + 24k^2 ) - left( 1 - 9 over2 k + 6k^2 right)]
[eqn: = 18k^2 - 135 over2 k + 63]
[eqn: = 9 over2 ( 4k^2 - 15k + 14 )]
[eqn: = 9 over2 ( k-2) ( 4k -7)][eqn: >0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 1 le k < 7 over4], [eqn: beta- alpha = 3 over4]

[eqn: f`'(x)=3(x-k)(x-2k)]

이다. 함수

[eqn: g(x)=cases {`` f(x)````&(x≤1```또는```x≥4) it ^{it ^{it}} it _{it _{it}} # it ^{it ^{it}} it _{it _{it}}`` {f(4)-f(1)}over {3} (x-1)+f(1)````&(1<x<4)}]

의 역함수가 존재하도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 범위가
[eqn: alpha≤k< beta]일 때, [eqn: beta- alpha]의 값은? [4점]

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {5} over {6}]	④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

두 곡선 [eqn: y= left |` 2 ^{x} -4 `right |], [eqn: y=log_{`` 2}`` x]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}] ([eqn: x _{1} <x _{2}])라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

②

ㄱ. 그림에서 [eqn: log_2 3 < x_1 < x_2 < log_2 6] 임은 분명

ㄴ. 그림에서 색칠한 사다리꼴의 넓이에서

[eqn: 1 over2 ( x_2 - x_1 ) ( 2^x_2 - 2^x_1 ) < 3 over2]

ㄷ. 그림에서 빨간 직각삼각형의 높이에서

[eqn: (2 ^{x _{2}} -4)-(4-2 ^{x _{1}} )<log _{2} (log _{2} 6)-log _{2} (log _{2} 3)]

[eqn: 2^x_1 + 2^x_2 < 8 + log_2 ( log_3 6)]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: log_{``2}`` 3<x _{1} <x _{2} <log_{``2}`` 6] ㄴ. [eqn: left ( x _{2} -x _{1} right ) left ( 2^{x _{2}}-2^{x _{1}} right )`<3] ㄷ. [eqn: 2^{x _{1}}+2^{x _{2}}>8+log_{``2}}`` (log_{``3}`` 6)]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: lim _{ x`→`∞}{`} left ( sqrt{x ^{2} +22x} -x right )]의 값을 구하시오. [3점]

11

[eqn: lim_x->inf ( sqrt{ x^2 + 22x } - x )][eqn: = lim_x->inf 22x over{ sqrt{ x^2 + 22x} + x}][eqn: = lim_x->inf 22 over{ sqrt{ 1 + 22 overx} + 1]

[eqn: =11]

함수 [eqn: f(x)=5`sin` left ( {pi} over {2} x +1 right )`+3]의 주기를 [eqn: p], 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: p+M]의 값을 구하시오. [3점]

12

[eqn: p = 2pi over{ pi/2 } = 4], [eqn: M = 5+3 = 8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+M = 12]

부등식 [eqn: 2+log_{{1} over {3}}`(2x-5)>0]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수를 구하시오. [3점]

4

[eqn: 2 > log_3 ( 2x-5)]이므로 [eqn: 0 < 2x-5 < 9]

정수 [eqn: x]는 3,4,5,6이고, 4개이다.

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. [eqn: ab]가 [eqn: 6]의 배수일 때, [eqn: a] 또는 [eqn: b]가 홀수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수) [3점]

5

[eqn: ab]가 6의 배수인 경우는

(1,6), (2,3), (2,6), (3,2), (3,4), (3,6), (4,3), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

모두 15개인데, 이 중에서 [eqn: a] 또는 [eqn: b]가 홀수인 것은

10개이므로 구하는 확률은 [eqn: 10 over15 = 2 over3]

[eqn: THEREFORE][eqn: 2+3 = 5]

함수

6

[eqn: lim_x->a { x^2 + ax+4a} overx-a]가 존재한다.

따라서 [eqn: a^2 + a^2 + 4a= 0], 즉 [eqn: a = 0]또는 [eqn: a = -2]

[eqn: a = 0]이면 [eqn: f(0) = -10], [eqn: lim_x->a { x^2 + ax+4a} overx-a][eqn: = 0]

이므로 연속이 아니다. 따라서 [eqn: a = -2]

[eqn: f(2a) = f(-4) = 16 - 10 = 6]

[eqn: f(x)=cases {`` x ^{2} -10````&(x≤a) it ^{it ^{it}} it _{it _{it}} # it ^{it ^{it}} it _{it _{it}}`` {x ^{2} +ax+4a}over {x-a}````&(x>a)}]

가 [eqn: x=a]에서 연속일 때, [eqn: f(2a)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[4점]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: `d], [eqn: e]의 모든 순서쌍 [eqn: (a ,``` b ,``` c ,``` `d ,``` e)]의 개수를 구하시오. [4점]

50

[eqn: ab]가 홀수인 경우는

(1,1) 일 때, [eqn: c+d+e = 8] -- [eqn: rm `_7 C_2 = 21]

(1,3),(3,1) 일 때, [eqn: c+d+e = 6] -- [eqn: 2 Times rm `_ 5 C_2 = 20]

(1,5),(3,3),(5,1)일 때, [eqn: c+d+e = 4] -- [eqn: 3 Times rm `_ 3 C_3 = 9]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 21 + 20 + 9 = 50]

(가) [eqn: a+b+c+d+e=10]

(나) [eqn: ab]는 홀수이다.

양수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

17

연속이므로 [eqn: f(1) = lim_x->1 f(x)]  즉 [eqn: 2 + a = a^2]에서 [eqn: a = 2]

[eqn: y = f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: S= 3 int_0^1 ( 2x^2 + 2x ) dx + 12]

[eqn: = 3 left[ 2 over3 x^3 + x^2 right]_0^1 + 12]

[eqn: = 5 + 12][eqn: = 17]

(가) [eqn: 0≤x<1]일 때, [eqn: f(x)=2x ^{2} +ax]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+1)=f(x)+a ^{2}]이다.

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점]

수열 [eqn: left { a _{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

282

[eqn: a_n = S_n - S_n-1]

[eqn: = ( n^2 + cn ) - (n-1)^2 - c(n-1)]

[eqn: = 2n-1 + c]

수열 {[eqn: a_n]}을 30번째항까지 나열하면

[eqn: 1+c], [eqn: 3+c], [eqn: 5+c], [eqn: cdots], [eqn: 55+c], [eqn: 57+c], [eqn: 59+c]

따라서 [eqn: b_20]은 [eqn: 57+c] 또는 [eqn: 59+c]이므로

[eqn: 57+c = 199], [eqn: 59+c = 199]

[eqn: c = 142] 또는 [eqn: 140]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 142 + 140 = 282]

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } {`}a _{k} =n ^{2} +cn] ([eqn: c]는 자연수)

를 만족시킨다. 수열 [eqn: left { a _{n} right }]의 각 항 중에서 [eqn: 3]의 배수가 아닌 수를 작은 것부터 크기순으로 모두 나열하여 얻은 수열을 [eqn: left { b _{n} right }]이라 하자. [eqn: b _{20} =199]가 되도록 하는 모든 [eqn: c]의 값의 합을 구하시오. [4점]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

36

[eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같아야 한다.

[eqn: x > 0]일 때,

[eqn: f``'(x) = 3x^2 - 4ax + a^2][eqn: = 4]인 점을 [eqn: x = b], [eqn: c] ([eqn: b <c])라 하면

[eqn: b+c = 4a over3], [eqn: bc = {a^2 - 4} over3]

[eqn: { c(c-a)^2 +b(-b+a)^2} overc+b = 4]

이것을 풀면

[eqn: c^2 + b^2 = (c+b)^2 - 2bc][eqn: = 10 over9 a^2 + 8 over3]

[eqn: c^3 + b^3 = (c+b)^3 - 3bc(b+c)][eqn: = 28 over27 a^3 + 16 over3 a]

[eqn: c^3 + b^3 - 2a(c^2 + b^2 ) + a^2 ( c+b) = 4(c+b)]

즉, [eqn: left( 28 over27 a^3 + 16 over3 a right)][eqn: -2a][eqn: left( 10 over9 a^2 + 8 over3 right)][eqn: + 4 over3 a^3][eqn: = 16 over3 a]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f``'(0)=][eqn: a^2 = 36]

[eqn: f(x)=cases {``x(x+a) ^{2} ````&(x<0) it ^{it ^{it}} it _{it _{it}} # it ^{it ^{it}} it _{it _{it}}`` x(x-a) ^{2}````&(x≥0)}]

이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=4x+t]의 서로 다른 교점의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(t)]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

(나) 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t= alpha]에서 불연속인 [eqn: alpha]의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: f`'(0)]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지
확인하시오.

2021학년도 사관학교 1차시험 [나형] 해설

1	④	2	②	3	⑤	4	②	5	④
6	①	7	⑤	8	③	9	①	10	③
11	①	12	①	13	②	14	④	15	⑤
16	③	17	⑤	18	②	19	③	20	④
21	②	22	11	23	12	24	4	25	5
26	6	27	50	28	17	29	282	30	36