수학 영역 (가형)

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수학 영역 (가형)

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16

2021학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(가 형)

[eqn: LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) ^{- {3} over {2}} `]의 값은? [2점]

12

③

[eqn: left( 9 over4 right)^{ - 3 over2}][eqn: = left( 4 over9 right)^{ 3 over2][eqn: = left( 2 over3 right)^3][eqn: = 8 over27]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {8} over {27}]	④ [eqn: {16} over {81}]	⑤ [eqn: {32} over {243}]

[eqn: lim _{n-> INF } {} {1} over {sqrt {n ^{2} +5n} -n} `]의 값은? [2점]

②

[eqn: lim_n->inf 1 over{ sqrt{ n^2 + 5n} - n][eqn: = lim_n->inf { sqrt{ n^2 + 5n} + n} over 5n][eqn: =][eqn: lim_n->inf { sqrt{1 + 5 overn} +1} over{ 5][eqn: = 2 over5]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]	④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ 1

[eqn: sin theta =- {1} over {3} `]일 때, [eqn: {cos theta } over {tan theta } `]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: { cos theta} over{ tan theta} ={ cos^2 theta} over { sin theta} = { 1 - sin^2 theta} over{ sin theta][eqn: = 1 over { sin theta} - sin theta][eqn: = -3 + 1 over3 = - 8 over3]

① [eqn: -4]	② [eqn: - {11} over {3}]	③ [eqn: - {10} over {3}]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: - {8} over {3}]

[eqn: LEFT ( x ^{3} + {1} over {x} RIGHT ) ^{5} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} `]의 계수는? [3점]

②

[eqn: `_5 {\C}_2 (x^3 )^2 left( 1 over x right)^3 = 10 x^3]

[eqn: THEREFORE] 10

① 5	② 10	③ 15	④ 20	⑤ 25

함수 [eqn: y=4 ^{x} -1`]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프가 함수 [eqn: y=2 ^{2x-3} `+3]의 그래프와 일치할 때, [eqn: ab`]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: y = 4^x-a -1 + b][eqn: = 2^{ 2x - 2a} -1 + b][eqn: = 2^2x-3 +3]

[eqn: a = 3 over2], [eqn: b = 4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab = 6]

① 2	② 3	③ 4	④ 5	⑤ 6

그림과 같이 원형 탁자에 7개의 의자가 일정한 간격으로 놓여 있다. [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]를 포함한 7명의 학생이 모두 이 7개의 의자에 앉으려고 할 때, [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`] 세 명 중 어느 두 명도 서로 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

④

먼저 A, B, C를 제외한 4사람의 원순열로 배치하고, 그 각각에 대하여 4사람이 사이 칸 중 3곳을 택하여 A, B, C의 자리를 정한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 4! over4 Times rm` _ 4 P_3 = 6 Times 24 = 144]

① 108	② 120	③ 132	④ 144	⑤ 156

곡선 [eqn: x ^{2} -2xy+3y ^{2} =5`] 위의 점 [eqn: (`2`,`-1)]에서의 접선의 기울기는? [3점]

①

[eqn: 2x - 2y - 2x dy overdx + 9y^2 dy overdx = 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: dy overdx = { 2x-2y} over{ 2x - 9y^2][eqn: = {4 + 2} over{ 4 - 9} = - 6 over5]

① [eqn: - {6} over {5}]	② [eqn: - {5} over {4}]	③ [eqn: - {4} over {3}]	④ [eqn: - {3} over {2}]	⑤ [eqn: -2]

[eqn: x]에 대한 연립부등식

①

[eqn: left( 1 over2 right)^1-x ge left( 1 over2 right)^4x-4]에서 [eqn: 1-x le 4x-4],

[eqn: x ge 1]

[eqn: log_2 4x < log_2 (x+k)]에서 [eqn: 0 < 4x < x+k],

[eqn: 0 < x < k over3]

동시에 만족하는 [eqn: x]가 존재하지 않는 양수 [eqn: k]는 [eqn: k over3 le 1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 0 < k le3]

[eqn: {cases{LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1-x} GEQ LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ^{x-1}&#log _{2} 4x`<`log _{2} (x+k)&}}]

의 해가 존재하지 않도록 하는 양수 [eqn: k]의 최댓값은? [3점]

① 3	② 4	③ 5	④ 6	⑤ 7

다섯 개의 자연수 [eqn: 1`,``2`,``3`,``4`,``5`]중에서 중복을 허락하여 3개의 수를 택할 때, 택한 세 수의 곱이 6 이상인 경우의 수는? [3점]

④

모든 경우의 수는 [eqn: rm `_5 H_3 = `_ 7 C_3 = 35]

택한 세수의 곱이 6미만인 경우는

(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,1,4), (1,1,5), (1,2,2)

6가지이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 35-6 = 29]

① 23	② 25	③ 27	④ 29	⑤ 31

[eqn: 0 LEQ x<2 pi `]일 때, 방정식 [eqn: cos ^{2} 3x-sin3x+1=0`]의 모든 실근의 합은? [3점]

⑤

[eqn: ( 1- sin^2 3x) - sin 3x +1 = 0]

[eqn: sin^2 3x + sin 3x -2 = 0]

[eqn: ( sin3x +2) (sin3x -1) = 0]

[eqn: sin 3x = 1], [eqn: 3x = pi over2], [eqn: 5 over 2 pi], [eqn: 9 over2 pi]

[eqn: x = 1 over6 pi], [eqn: 5 over6 pi], [eqn: 9 over6 pi]이므로 그 합은 [eqn: 5 over2 pi]

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: {7} over {4} pi]	③ [eqn: 2 pi]	④ [eqn: {9} over {4} pi]	⑤ [eqn: {5} over {2} pi]

함수 [eqn: f(x)= {e ^{x}} over {sinx+cosx} `]에 대하여 [eqn: - {pi } over {4} <x< {3} over {4} pi `]에서 방정식 [eqn: f(x)-f`'(x)=0`]의 실근은? [3점]

③

[eqn: f``'(x)= { e^x ( sinx + cosx) - e^x ( cosx - sinx)} over{{( sinx + cosx)^2]

[eqn: = { 2 e^x sinx} over{ ( sinx + cosx)^2]

[eqn: f(x) = f``'(x)]이므로 [eqn: 2 sinx = sinx + cosx],

[eqn: tanx = 1], [eqn: THEREFORE] [eqn: x = pi over4]

① [eqn: - {pi } over {6}]	② [eqn: {pi } over {6}]	③ [eqn: {pi } over {4}]	④ [eqn: {pi } over {3}]	⑤ [eqn: {pi } over {2}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt {x} e ^{x} ``` LEFT ( 1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=2`]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

④

[eqn: V = int_1^2 x e^2x dx][eqn: = left[ left(1 over2 x - 1 over4 right)e^2x right]_1^2]

[eqn: = {3 over4 e^4 - 1 over4 e^2 = { 3e^4 - e^2} over4]

① [eqn: {e ^{4} +e ^{2}} over {4}]	② [eqn: {2e ^{4} -e ^{2}} over {4}]	③ [eqn: {2e ^{4} +e ^{2}} over {4}]

④ [eqn: {3e ^{4} -e ^{2}} over {4}]	⑤ [eqn: {3e ^{4} +e ^{2}} over {4}]

주머니에 [eqn: 1`,``1`,``1`,``2`,``2`,``3``]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 6개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 두 수의 차를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. [eqn: E(X`)]의 값은? [3점]

①

[eqn: X= 0]은 둘 다 1 이거나 2이므로

P[eqn: (X= 0)][eqn: = rm {`_3 C_2 + `_2 C_2} over{ `_6 C_2}][eqn: = 4 over15]

[eqn: X=1]은 1과 2 또는 2와 3이므로

P[eqn: (X= 1) = { 3 Times 2 + 2 Times 1} over{ rm `_6 C_2][eqn: = 8 over15]

[eqn: X= 2]는 1과 3이므로

P[eqn: (X= 2) = {3 Times 1} over{ rm `_6 C_2][eqn: = 3 over15]

그러므로 E[eqn: (X) = 0 Times 4 over15 + 1 Times 8 over15 + 2 Times 3 over15][eqn: = 14 over15]

① [eqn: {14} over {15}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {16} over {15}]	④ [eqn: {17} over {15}]	⑤ [eqn: {6} over {5}]

함수 [eqn: f(x)=ln`x`]에 대하여 [eqn: lim _{n-> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k} `f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) `]의 값은?

④

[eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {1} over {1+k/n} f LEFT ( 1+k/n) RIGHT .]

[eqn: = int_1^2 1 overx `ln x dx][eqn: = left[ 1 over2 ( ln x )^2 right]_1^2][eqn: = 1 over2 (ln 2)^2]

[4점]

① [eqn: ln`2]	② [eqn: LEFT ( ln2 RIGHT ) ^{2}]	③ [eqn: {ln2} over {2}]	④ [eqn: {LEFT ( ln2 RIGHT ) ^{2}} over {2}]	⑤ [eqn: {(ln2) ^{2}} over {4}]

그림과 같이 반지름의 길이가 4이고 중심이 [eqn: O]인 원 위의 세 점 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]에 대하여

⑤

사인법칙에서 [eqn: rm barAC = 8 Times sin 120DEG = 4 sqrt3]

코사인법칙에서

[eqn: rm barAC `^2 =][eqn: a^2 + b^2 - 2ab cos120DEG]

[eqn: = a^2 +b^2 + ab][eqn: = (a+b)^2 - ab]

[eqn: ab = (2 sqrt15 )^2 - (4 sqrt3 )^2 = 12]

구하는 넓이는

[eqn: 1 over2 ( 4 Times 4 + ab ) sin 120DEG][eqn: = 7 sqrt3]

[eqn: ANGLE ABC=120 DEG], [eqn: {bar{AB`}} + {bar{BC`}} =2 sqrt {15}]

일 때, 사각형 [eqn: OABC`]의 넓이는? [4점]

① [eqn: 5 sqrt {3}]	② [eqn: {11 sqrt {3}} over {2}]	③ [eqn: 6 sqrt {3}]	④ [eqn: {13 sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: 7 sqrt {3}]

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N`(`m``,`4 ^{2} )`]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: N`(`20`,`` sigma ^{2} )]을 따른다. 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)]일 때, [eqn: f(x)]와 두 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y``]가 다음 조건을 만족시킨다.

④

(가)에서 [eqn: m= 15]

(나)에서 [eqn: 17-15 over4 + 20-17 oversigma = 0], [eqn: sigma = 6]

P[eqn: (X le 15+6) =]P[eqn: (Z le 1.5)][eqn: = 0.9332]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+10)=f(20-x)`]이다.

(나) [eqn: P`(X GEQ 17)=P(Y LEQ 17)]

[eqn: P`(X LEQ m+ sigma )]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: sigma >0]) [4점]

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9332]	⑤ [eqn: 0.9772]

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

②

(i) [eqn: n =1]일 때, (좌변)[eqn: = rm { `_2 P_1} over 2^1 = 1], (우변)[eqn: = 2! over2^1 = 1]

이므로 (*)이 성립한다.

(ii) [eqn: n = m]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum_k=1^m { `_2k {\P}_k} over { 2^k} le {(2m)!} over 2^m]

[eqn: sum_k=1^m+1 { `_ 2k {\P}_k} over2^k][eqn: = sum_k=1^m { `_2k{\P}_k} over{ 2^k} + {`_2m+2 {\P}_m+1} over{ 2^m+1]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {` _{2k} rm P it rm _{k} it} over {2 ^{k}} +][eqn: { (2m+2)!} over{ 2^m+1 Times (m+1)!]
[eqn: le { (2m)!} over 2^m][eqn: +][eqn: { (2m+2)!} over{ 2^m+1 Times (m+1)!]
[eqn: =][eqn: {(2m+2)!} over2^m+1 Times left{ 1 over{ (2m+1) (m+1)} + 1 over (m+1)! right]
[eqn: <][eqn: {(2m+2)!} over 2^m+1]

따라서 [eqn: n = m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(i),(ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

[eqn: p = 1], [eqn: f(m) = (2m+2)!], [eqn: g(m) = (2m+1)(m+1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p + f(2) overg(1) = 1 + 6! over{ 9 Times 5][eqn: =1 + 16 = 17]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {{}_{2k} rmP _{`k}} over {2 ^{k}} ` LEQ {(2n)!} over {2 ^{n}} ```` CDOTS ``(＊)]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때
(좌변)[eqn: = {{}_{2} rm P _{1} it} over {2 ^{1}} =1`]이고, (우변)[eqn: = {BOX{````````(가)````````}}] 이므로
(＊)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, (＊)이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} {{}_{2k} rm P _{`k} it} over {2 ^{k}} ` LEQ {(2m)!} over {2 ^{m}} `]
이다. [eqn: n=m+1`]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {{}_{2k} rm P _{`k} it} over {2 ^{k}} `][eqn: = sum _{k=1} ^{m} {{}_{2k} rm P _{`k} it} over {2 ^{k}} `+ {{}_{2m+2} rm P _{m+1} it} over {2 ^{m+1}}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {{}_{2k} rm P _{`k} it} over {2 ^{k}} `+ {{BOX{````````(나)````````}} it} over {2 ^{m+1} TIMES LEFT ( m+1 RIGHT ) !}]
[eqn: LEQ {(2m)! it} over {2 ^{m}} `+ {{BOX{````````(나)````````}} it} over {2 ^{m+1} TIMES LEFT ( m+1 RIGHT ) !}]
[eqn: = {{BOX{````````(나)````````}}} over {2 ^{m+1}} TIMES LEFT { {1} over {{BOX{````````(다)````````}}} + {1} over {(m+1)!} RIGHT }]
[eqn: <` {(2m+2)!} over {2 ^{m+1}}]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (＊)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} {{}_{2k} rm P _{`k} it} over {2 ^{k}} ` LEQ {(2n)!} over {2 ^{n}} ````]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: p+ {f(2)} over {g(4)}]의 값은? [4점]

① 16	② 17	③ 18	④ 19	⑤ 20

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

①

(가), (나)에서 [eqn: a_2n+1 + a_2n+2 = 2 a_n+1]

[eqn: S _{2n+2} -a _{1} -a _{2} =2(S _{n+1} -a _{1} )]

즉 [eqn: S_2n+2 = 2 S_n+1 +1]

[eqn: S_2 = 1+2 = 3], [eqn: S_4 = 2 S_2 +1 = 7],

[eqn: S_8 = 2 S_4 + 1 = 15]

[eqn: THEREFORE] [eqn: S_16 = 2 S_8 + 1 = 31]

(가) [eqn: a _{2n+1} =`-a _{n} +3a _{n+1}]

(나) [eqn: a _{2n+2} =``a _{n} -a _{n+1}]

[eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} =2`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} `]의 값은? [4점]

① 31	② 33	③ 35	④ 37	⑤ 39

그림과 같이 한 변의 길이가 6인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D]에서 선분 [eqn: A _{1} D`]를 [eqn: 1`:`2`]로 내분하는 점을 [eqn: E _{1} `]이라 하고, 세 점 [eqn: B _{1} `], [eqn: C _{1} `], [eqn: E _{1} `]을 지나는 원의 중심을 [eqn: O _{1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: E _{1} B _{1} C _{1} `]의 내부와 삼각형 [eqn: O _{1} B _{1} C _{1}]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: \E _{1} D] 위의 점 [eqn: \A _{2}], 선분 [eqn: rm E {it}_{1}{rm C it}_{1}] 위의 점 [eqn: \B _{2}], 선분 [eqn: rm C _{1} D] 위의 점 [eqn: \\C _{2}]와 점 [eqn: \D]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm A _{2} B {it}_{2}{rm C it}_{2} D]를 그린다. 정사각형 [eqn: rm A _{2} B {it}_{2}{rm C it}_{2} D]에서 선분 [eqn: rm A _{2} D]를 [eqn: 1 ``:` 2]로 내분하는 점을 [eqn: \E _{2}]라 하고, 세 점 [eqn: \B _{2}],[eqn: \ C _{2}],[eqn: \ E _{2}]를 지나는 원의 중심을 [eqn: \\O _{2}]라 하자. 삼각형 [eqn: \E _{2} B {it}_{2}{rm C it}_{2}]의 내부와 삼각형 [eqn: \O _{2} B {it}_{2}{rm C it}_{2}]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{ n`→`∞}{`} S _{n}]의 값은? [4점]

②

[eqn: R^2 = 9+ h^2 = 1 + (6-h)^2], [eqn: h = 7 over3]

[eqn: S_1 = 1 over 2 Times( 6-h)Times6][eqn: = 11]

[eqn: a over4-a = 6-a overa]이므로 [eqn: a = 12 over5],

닮음비는 [eqn: r = {12/5} over6 = 2 over5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: S= 11 over{ 1- left( 2 /5 right)^2][eqn: = 275 over21]

① [eqn: {90} over {7}]	② [eqn: {275} over {21}]	③ [eqn: {40} over {3}]	④ [eqn: {95} over {7}]	⑤ [eqn: {290} over {21}]

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] ([eqn: a>0], [eqn: c>0])에 대하여 함수

③

[eqn: -ax^2 + 6ex + b]는 [eqn: x = 3e overa]에서

[eqn: a ( lnx)^2 - 6 lnx]는 [eqn: lnx = 3 overa]에서

증감이 변한다. 따라서 [eqn: e^{ 3 overa} le c le 3e overa]

그런데 [eqn: y = e^x]와 [eqn: y = ex]의 그래프는 그림과 같이 [eqn: e^x ge ex]이고

등호는 [eqn: x = 1]일 때 성립한다.

그러므로 [eqn: 3 overa = 1], [eqn: c = e] 이다.

[eqn: f(x)= Cases{- 3x^2 + 6ex +b ~~&( x < e)#~3 ( lnx)^2 - 6 lnx &( x ge e)]

[eqn: f(x)]는 연속이므로

[eqn: -3 e^2 + 6e^2 + b = 3 - 6], [eqn: b = -3 - 3e^2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f left( 1 over 2e right) =][eqn: -3 left( 1 over 4e^2 right) + 6e over2e - 3 - 3e^2]

[eqn: = \-3 left( e^2 + 1 over 4e^2 right)]

[eqn: f(x)=cases {``-ax ^{2} +6ex+b````&(x<c) it ^{it ^{it}} it _{it _{it}} # it ^{it ^{it}} it _{it _{it}}`` a(ln` x) ^{2} -6`ln` x````&(x≥c)}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재한다.

[eqn: f`left ( {1} over {2e} right )]의 값은? [4점]

① [eqn: -4 left ( e ^{2} + {1} over {4e ^{2}} right )]	② [eqn: -4 left ( e ^{2} - {1} over {4e ^{2}} right )]	③[eqn: -3 left ( e ^{2} + {1} over {4e ^{2}} right )]

④ [eqn: -3 left ( e ^{2} - {1} over {4e ^{2}} right )]	⑤ [eqn: -2 left ( e ^{2} + {1} over {4e ^{2}} right )]

함수 [eqn: f(x)]를

③

수직선 운동에서 점 P의 속도를 [eqn: v(t) = t sint]로 보면

[eqn: int_0^x | t sint| dt], [eqn: int_0^x t sint dt]는

각각 움직인 거리와 위치의 변화량이다.

[eqn: int_0^pi t sint dt][eqn: =left[ - t cost + 2 sint right]_0^pi][eqn: = pi]

[eqn: int_pi^2pi t sint dt][eqn: =left[ - t cost + 2 sint right]_pi^2pi][eqn: =][eqn: - 3pi]

[eqn: int_2pi^3pi t sint dt =][eqn: left[ - t cost + 2 sint right]_2pi^3pi][eqn: =][eqn: 5 pi]

ㄱ. [eqn: f( 2 pi) =][eqn: = (pi + 3pi ) - |pi - 3pi| = 2pi]

ㄴ. [eqn: pi < alpha < 2 pi],[eqn: int_0^ alpha t sint dt = 0]이면

[eqn: f( alpha)=][eqn: (pi + pi) - | pi -pi| = 2pi]

ㄷ. [eqn: 2pi <][eqn: beta le x le 3pi],[eqn: int_0^ beta t sint dt = 0]이면

[eqn: f(x)][eqn: = int_0^x |t sint | dt - left| int_0^x t sint dt right|]
[eqn: = 6 pi + int_{ beta}^x t sint dt - int_{beta}^x t sint dt][eqn: = 6 pi]

[eqn: int_{ beta}^3pi f(x)dx =][eqn: 6pi ( 3pi - beta)]

[eqn: f(x)= int_{0}^{x} {`} { left |` t`sin`t ` right |}`dt- left |` int_{0}^{x } {`} t`sin`t `dt `right |]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(2pi)=2pi] ㄴ. [eqn: pi< alpha<2pi]인 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: int_{0}^{ alpha } {`} {t`sin`t}`dt=0]이면 [eqn: f( alpha )=pi]이다. ㄷ. [eqn: 2pi< beta <3pi]인 [eqn: beta]에 대하여 [eqn: int_{0}^{ beta } {`} {t`sin`t}`dt=0]이면 [eqn: int _{ beta } ^{3pi } {`} f(x)`dx=6pi (3pi- beta )]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=5`sin` left ( {pi} over {2} x +1 right )`+3]의 주기를 [eqn: p], 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: p+M]의 값을 구하시오. [3점]

12

[eqn: p = 2pi over{ pi/2 } = 4], [eqn: M = 5+3 = 8], [eqn: THEREFORE] [eqn: p+M = 12]

모평균이 [eqn: 15]이고 모표준편차가 [eqn: 8]인 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라 할 때, [eqn: {\E}(`bar{X``})+ sigma (`bar{X``})]의 값을 구하시오. [3점]

19

E[eqn: ( barX ) + sigma ( barX ) =]E[eqn: (X) + {sigma (X)}over sqrtn = 15 + 8 oversqrt4][eqn: = 19]

수열 [eqn: left { (x ^{2} -6x+9) ^{n} right }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오. [3점]

9

[eqn: -1 < x^2 - 6x+9 le 1], [eqn: (x-3)^2 le 1]

[eqn: x = 2], 3, 4

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2+3+4 = 9]

흰 구슬 [eqn: 3]개와 검은 구슬 [eqn: 4]개가 들어있는 상자가 있다. 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수이면 이 상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 구슬을 동시에 꺼내고, 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수가 아니면 이 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 구슬 중 검은 구슬의 개수가 [eqn: 2]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수) [3점]

151

[eqn: rm 1 over3 Times { `_4 C_2} over { `_7 C_2} `+` 2 over3 `Times { `_4 C_2 Times `_3 C_1} over{ `_7 C_3]

[eqn: =][eqn: 1 over3 Times 2 over7 + 2 over3 Times 18 over35][eqn: = 46 over 105]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 46+105 = 151]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]와 수열 [eqn: left { c _{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

10

등차수열의 합에서

[eqn: log_2 c_1 + cdots + log_2 c_m = m Times a+b over2][eqn: = m over2]

[eqn: log_2 ( c_1 Times cdots Times c_m ) = log_2 32 = 5][eqn: = m over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: m = 10]

(가) [eqn: (m+2)]개의 수
[eqn: a], [eqn: log_{`` 2}`` c _{1}], [eqn: log_{`` 2}`` c _{2}], [eqn: cdots], [eqn: log_{`` 2}`` c _{m}], [eqn: b]
가 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 수열 [eqn: left { c _{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: m]항까지의 항을 모두 곱한 값은 [eqn: 32]이다.

[eqn: a+b=1]일 때, 자연수 [eqn: m]의 값을 구하시오. [4점]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= sqrt {x}] 위의 점 [eqn: {rm A} _{n} it}(n ^{2} ,``` n)]과 곡선 [eqn: y= it -x ^{2}] ([eqn: x≥0]) 위의 점 [eqn: {\B} _{n}]이 [eqn: bar{rm OA _{it n} } = bar{rm OB _{ it n}}]을 만족시킨다. 삼각형 [eqn: rm A _{it n} rm `OB _{it n}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{10 } {`}{2S _{n}}over {n ^{2}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: \O]는 원점이다.) [4점]

395

직삼각형 [eqn: rm OA_{itn} B_{itn}]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: S_n = 1 over2 ( n^2 + n^4 )]

[eqn: sum_n=1^10 { 2S_n} over n^2][eqn: = sum_n=1^10 (1 + n^2 )][eqn: = 10 + 1 over6 ( 10) (11) (21)]

[eqn: = 395]

그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it}][eqn: =bar{rm AC it}][eqn: =4]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC it]에 외접하는 원 [eqn: O `]가 있다. 점 [eqn: \C`]를 지나고 원 [eqn: O `]에 접하는 직선과 직선 [eqn: rm AB it]의 교점을 [eqn: \D]라 하자. [eqn: ∠rm CAB it= theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm BDC it]의 넓이를 [eqn: S`( theta )]라 하자. [eqn: lim _{ theta `→`0+}{`} {S`( theta ) }over{ theta^{`3} }]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta< {pi} over {3}])

8

이등변삼각형 ABC에서 [eqn: rm barBC =][eqn: 8 sin theta over2]

삼각형 ACD에 사인법칙에 의하면

[eqn: {rm barCD} over { sin theta} = 4 over{ sin left( pi over2 - 3 over2 theta right)], [eqn: rm barCD =][eqn: { 4 sin theta} over{ cos 3over2 theta]

[eqn: S( theta)= 1 over2 rm barBC Times barCD Times sin theta][eqn: = { 16 sin theta over2 ` sin^2 theta} over{ cos 3 over2 theta]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_{ theta->0+} {S( theta)} over{ theta^3}][eqn: = 8]

[4점]

그림은 여섯 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀있는 여섯 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 이웃한 두 장의 카드 중 왼쪽 카드에 적힌 수가 오른쪽 카드에 적힌 수보다 큰 경우가 한 번만 나타낸 예이다.

259

① [eqn: a_1 > a_2], [eqn: a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6]

[eqn: a_1]을 2,3,4,5,6 중에서 하나 정하면 된다.

따라서 5가지

② [eqn: a _1 < a_2], [eqn: a_2 > a_3], [eqn: a_3 < a_4 < a_5 < a_6]

[eqn: a_1]와 [eqn: a_3]는 [eqn: a_2]보다 작으므로 가능한 [eqn: a_2]는 3,4,5,6이고 그 각각에 대하여

[eqn: a_2]보다 작은 [eqn: a_1]을 정하기만 하면 되는데, 각각 2,3,4,5 가지이므로

모두 14가지

③ [eqn: a_1 < a_2 < a_3], [eqn: a_3 > a_4], [eqn: a_4 < a_5 < a_6]

[eqn: a_3]보다 작은 것이 [eqn: a_1],[eqn: a_2],[eqn: a_4]이므로 가능한 [eqn: a_3]는 4,5,6이고

그 각각에 대하여 [eqn: a_1 < a_2]를 정하기만 하면된다.

따라서 [eqn: rm ` _{3} C _{2} +` _{4} C _{2} +` _{5} C _{2}][eqn: =`19]가지

④ [eqn: a_4 > a_5]인 경우는 ②를 반대로 대칭배열한다.

따라서 14가지

⑤ [eqn: a_5 > a_6]인 경우도 ①을 반대로 대칭배열한다.

따라서 5가지

모든 경우의 수는 [eqn: 6!]이므로 구하는 확률은

[eqn: { 5+14+ 19+14+5} over6! =][eqn: 19 over240]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 19+ 240 = 259]

이 여섯 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 임의로 일렬로 나열할 때, 이웃한 두 장의 카드 중 왼쪽 카드에 적힌 수가 오른쪽 카드에 적힌 수보다 큰 경우가 한 번만 나타날 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수) [4점]

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -ax+b] ([eqn: a>0]), [eqn: g(x)=x ^{2} e^{- {x} over {2}}]에 대하여 상수 [eqn: k]와 함수 [eqn: h(x)=(`f ∘g )(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

6

[eqn: f(x) = x^2 - ax+b]     [eqn: g(x) = x^2 e^{- x over2]

[eqn: g(x)]는 극솟값 [eqn: g(0) =0], 극댓값 [eqn: g(4)= 16 overe^2]

[eqn: lim_x->inf g(x) = 0], [eqn: lim_x->-inf g(x) = inf]

(가) [eqn: h(0) = f(0)= b], [eqn: h(4) = f left( 16 over e^2 right)][eqn: > b]

이므로 [eqn: 0<a< {16} over {e ^{2}}] (단, [eqn: 5 over2 < e < 3])

(나)를 만족시키려면

[eqn: h(x) = f( g(x))]의 그래프는 다음과 같아야 한다.

[eqn: f``'(x)= 2x - a], [eqn: g``'(x)= 1 over2 x(4-x) e^{- x over2}]

[eqn: h`'(x) = g`'(x) f`'(g(x))]

[eqn: = 1 over2 x (4-x) e^{- x over2} "{"2 g(x) - a"}"]

[eqn: g(x)][eqn: = a over2], ([eqn: 0 < a over2 < 8 overe^2])에서 [eqn: h(x)]는 극솟값인데,

그 값이 [eqn: - k = -f(0) = -b][eqn: = f left( a over2 right)]

[eqn: f(x) = left( x - a over2 right)^2 +b - a^2 over4]에서 [eqn: a^2 over4 = 2b], 즉 [eqn: b = a^2 over8]

한편 [eqn: f(1) = 1 - a+b = 1 -a + a^2 over8 = - 7 over32]이므로

[eqn: 4a^2 - 32a + 39 =0], [eqn: ( 2a - 13) ( 2a-3) = 0]

[eqn: 0<a< {16} over {e ^{2}}]이므로 [eqn: a = 3 over2]이고 [eqn: b = 9 over32]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a + 16b = 3 over2 + 9 over2 = 6]

(가) [eqn: h(0)<h(4)]

(나) 방정식 [eqn: left |` h(x) ` right |`=k]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 7]이고, 그 중 가장 큰 실근을 [eqn: alpha]라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x= alpha]에서 극소이다.

[eqn: f(1)= it - {7} over {32}]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+16b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: {5} over {2} <e<3]이고, [eqn: lim _{ x`→`∞}{`} g(x)=0]이다.) [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2021학년도 사관학교 1차시험 [가형] 해설

1	③	2	②	3	⑤	4	②	5	⑤
6	④	7	①	8	①	9	④	10	⑤
11	③	12	④	13	①	14	④	15	⑤
16	④	17	②	18	①	19	②	20	③
21	③	22	12	23	19	24	9	25	151
26	10	27	395	28	8	29	259	30	6