수학 영역 (나형)

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수학 영역 (나형)

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16

2020학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(나 형)

전체집합 [eqn: U = left {1,``` 2,``` 3,``` 4,``` 5 right }]의 두 부분집합
[eqn: A = left {1,``` 3 right }], [eqn: B = left {3,``` 5 right }]
에 대하여 집합 [eqn: A ^{C} SMALLINTER B ^{C}]의 모든 원소의 합은? [2점]

④

[eqn: A^C cap B^C = (A cup B)^C = "{"2, ``4"}"],

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2+4 = 6]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: root {3} of {36} TIMES LEFT ( root {3} of {{2} over {3}} RIGHT ) ^{2} =2 ^{a} `]일 때, [eqn: a]의 값은? [2점]

①

[eqn: root 3 of 36 Times left( root 3 of { 2 over3 }right)^2 =][eqn: ( 2^2 3^2 )^{1 over3} Times left( 2 over3 right)^{2over3][eqn: = 2^{ 2 over3 + 2 over3} Times 3^{ 2 over3 - 2 over3}][eqn: = 2^{4 over3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a = 4 over3]

① [eqn: {4}over{3}]	② [eqn: {5}over{3}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {7}over{3}]	⑤ [eqn: {8}over{3}]

함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

①

[eqn: lim_x->-1+ f(x) = 1], [eqn: lim_x->0- f(x)= 0],

[eqn: THEREFORE] [eqn: 1 +0 = 1]

[eqn: lim_{x -> - 1 +}f(x) + lim _{x`->`0-}` f(x)]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 4]개의 수 [eqn: 6], [eqn: a], [eqn: 15], [eqn: b]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: {b }over{a}]의 값은? [3점]

③

[eqn: b overa = 15 over6 = 5 over2]

① [eqn: {3 }over{2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {5 }over{2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {7}over{2}]

그림은 함수 [eqn: f : X -> Y]를 나타낸 것이다.

④

[eqn: g]는 [eqn: f]의 역함수이므로 [eqn: g(6) + ( f CIRC g)(4)= 3 + 4 = 7]

함수 [eqn: g : Y -> X]에 대하여 함수 [eqn: g circ f : X -> X]가 항등함수일 때, [eqn: g(6)+ (`f circ g )(4)]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: {rmP}(A capB} )= {1 }over{6}], [eqn: {rmP}(A^C cupB )= {2}over{3}]
일 때, [eqn: {rmP}(A)]의 값은? (단, [eqn: A^C]은 [eqn: A]의 여사건이다.) [3점]

③

[eqn: A = ( A cap B) cup (A cap B^C )],

P[eqn: (A cap B) = 1 over6], P[eqn: (A cap B^C ) =][eqn: 1 -]P[eqn: (A^C cap B)][eqn: =1 - 2 over3 = 1 over3]

[eqn: THEREFORE] P[eqn: (A) =]P[eqn: (A cap B) +]P[eqn: (A^C cap B)][eqn: = 1 over6 + 1 over3 = 1 over2]

① [eqn: {1 }over{6}]	② [eqn: {1 }over{3}]	③ [eqn: {1 }over{2}]	④ [eqn: {2 }over{3}]	⑤ [eqn: {5}over{6}]

연속확률변수 [eqn: X]가 가지는 값의 범위는 [eqn: 0 ≤X ≤ 2]이고 [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같이 두 점 [eqn: left (0,``` {3 }over{4a}right )], [eqn: left (a,``` {3 }over{4a}right )]을 이은 선분과 두 점 [eqn: left (a,``` {3 }over{4a}right )], [eqn: (2,``` 0)]을 이은 선분으로 이루어져 있다. [eqn: {rmP}left ({1}over{2}≤X ≤ 2 right )]의 값은? (단, [eqn: a]는 양수이다.) [3점]

②

[eqn: 3 over4a Times a + 1 over2 Times (2-a) Times 3 over4a = 1]이므로

[eqn: 3(2-a) over8a = 1 over4], [eqn: 3(2-a) = 2a], [eqn: a = 6 over5]

[eqn: THEREFORE] P[eqn: left( 1 over2 le X le 2 right)][eqn: = 1- 1 over2 Times 3 over4a][eqn: = 11 over16]

① [eqn: {2 }over{3}]	② [eqn: {11 }over{ 16}]	③ [eqn: {17 }over{ 24}]	④ [eqn: {35 }over{ 48}]	⑤ [eqn: {3}over{4}]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{h`->`0}` {f(1 + h)- 3}over{h}= 2]일 때, 함수
[eqn: g(x) = (x + 2)f(x)]에 대하여 [eqn: g prime (1)]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: lim_h->0 {f(1+h) - 3} overh = 2]에서 [eqn: f(1)= 3], [eqn: f``'(1)= 2]

[eqn: g(x)= ( x+2) f(x)]에서 [eqn: g``'(x) = f(x)+ (x+2) f`'(x)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g``'(1)= f(1)+ 3 f``'(1) =3 + 6 = 9]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

두 곡선 [eqn: y = x^{2}], [eqn: y = (x - 4)^{2}와] [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_{1}], 두 곡선 [eqn: y = x^{2}], [eqn: y = (x - 4)^{2}와] 직선 [eqn: x = 4]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_{2}]라 할 때, [eqn: S_{1 }+S_{2}]의 값은? [3점]

②

[eqn: S_1 = S_2]이고 두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표는 2이므로

[eqn: S_1 + S_2 = 2 int_0^2 "{"(x-4)^2 - x^2 "}"dx][eqn: = 2 int_0^2 ( 16 - 8x ) dx]

[eqn: = 2 left[ 16x - 4x^2 right]_0^2][eqn: = 32]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rmB}(5,``` p)]를 따르고,
[eqn: {rmP}(X = 3)= {rmP}(X = 4)]
일 때, [eqn: {rmE}(6X )]의 값은? (단, [eqn: 0 < p < 1]) [3점]

④

P[eqn: (X= 3) = rm `_5 C_3 it p^3 (1-p)^2], P[eqn: (X= 4) = rm `_5 C_4 it p^4 (1-p)]

[eqn: 10 p^3 (1-p)^2 = 5 p^4 (1-p)], [eqn: p = 2 over3]

[eqn: THEREFORE] E[eqn: ( 6X) = 6]E[eqn: (X)= 6Times 5 p][eqn: = 20]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

함수 [eqn: f(x) = cases{`` {it}^{it}^{it}a{it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}(x < 1){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}x + 3{it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(x ≥ 1){it}_{it}_{it}}]에 대하여 함수 [eqn: (x - a)f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은? [3점]

⑤

[eqn: x = 1]일 때만 확인 하면 된다.

[eqn: g(x) = (x-a) f(x)]에서

[eqn: g(1)= (1-a)Times4 = lim_x->1- g(x)= (1-a)a]

[eqn: 4 (1-a)= a(1-a)], [eqn: a = 1] 또는 4,

[eqn: THEREFORE] [eqn: 1 +4 = 5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가 다음과 같다.
[eqn: p : (x - a+ 7)(x + 2a- 18)= 0],
[eqn: q : x(x - a)≤ 0]
[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은? [3점]

①

[eqn: x = a-7] 과 [eqn: 18-2a]일 때 각각

[eqn: (a-7) ( a-7 -a) le 0], [eqn: (18-2a)(18-2a-a) le 0]

[eqn: a ge 7], [eqn: 6 le a le 9],

[eqn: THEREFORE] [eqn: 7 le a le 9], [eqn: 7 +8+ 9 = 24]

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]	④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

어느 도시의 직장인들이 하루 동안 도보로 이동한 거리는 평균이 [eqn: m{rm km}], 표준편차가 [eqn: 1□5 {rm km}]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시의 직장인들 중에서 [eqn: 36]명을 임의추출하여 조사한 결과 [eqn: 36]명이 하루 동안 도보로 이동한 거리의 평균은 [eqn: bar{x}{rm km}]이었다. 이 결과를 이용하여, 이 도시의 직장인들이 하루 동안 도보로 이동한 거리의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95□]의 신뢰구간을 구하면
[eqn: a ≤ m ≤ 6□49]이다. [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {\P}( LEFT |` Z` `RIGHT | ≤ 1□96)= 0□95]로 계산한다.) [3점]

②

[eqn: a = barx - 1.96 Times left( 1.5 over6 right)], [eqn: 6.49 = barx + 1.96 Times left( 1.5 over6 right)]이므로

[eqn: a - 6.49 = - 1.96 Times left( 3 over 6 right)],

[eqn: THEREFORE] [eqn: a = 6.49 - 1.96 over2 = 5.51]

① [eqn: 5□46]	② [eqn: 5□51]	③ [eqn: 5□56]	④ [eqn: 5□61]	⑤ [eqn: 5□66]

수열 [eqn: left {a_{n} right }]은 [eqn: a_1 = 4]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n + 1} =cases{`` {it}^{it}^{it}{a_{n }}over{2- a_{n}}{it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}(a_{n } > 2){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}a_{n }+ 2{it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(a_{n }≤ 2){it}_{it}_{it}}]
이다. [eqn: sum _{k = 1}^{m}a_{k }= 12]를 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 최솟값은? [4점]

③

[eqn: a_n]과 [eqn: S_n]을 나열하면

[eqn: n]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	[eqn: cdots]
[eqn: a_n]	4	-2	0	2	4	-2	0	2	4	-2	0	2	[eqn: cdots]
[eqn: S_n]	4	2	2	4	8	6	6	8	12	10	10	12	[eqn: cdots]

따라서 구하는 [eqn: m]의 최솟값은 9이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b] ([eqn: a > b])에 대하여

④

[eqn: 9^a = 2^{ 1overb}]에서 [eqn: 3^2a = 2],

[eqn: (a+b)^2 = log_3 64]에서 [eqn: 3^{(a+b)^2} = 64 = 2^6],

즉 [eqn: 3^{(a+b)^2 over6} = 2]

[eqn: 2a = (a+b)^2 over6], [eqn: a^2 - 10ab + b^2 = 0],

[eqn: t = a overb]라 하면 [eqn: a > b][eqn: >0]에서 [eqn: t > 1]이고

[eqn: left( a overb right)^2 - 10 left( a overb right) + 1 = 0],

[eqn: t^2 - 10t +1 = 0], [eqn: t = 5 + 2 sqrt6]

[eqn: a-b overa+b = t-1 overt+1][eqn: = {4 + 2 sqrt6} over{ 6 + 2sqrt 6}][eqn: = { 2 + sqrt6} over{ 3 + sqrt6}]

[eqn: = {(2+ sqrt6 )( 3 - sqrt6 )} over{(3 + sqrt6 ) ( 3 - sqrt6 )][eqn: = sqrt6 over3]

[eqn: 9^{a }= 2^{{1}over{b}}], [eqn: (a+ b)^{2 }= log _{ 3 } 64]

일 때, [eqn: {a- b }over{a + b}]의 값은? [4점]

① [eqn: { sqrt 6 }over{6}]	② [eqn: { sqrt 3 }over{3}]	③ [eqn: { sqrt 2 }over{2}]	④ [eqn: { sqrt 6 }over{3}]	⑤ [eqn: { sqrt 30}over{6}]

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 6]장의 카드를 모두 일렬로 나열할 때, 서로 이웃하는 두 카드에 적힌 수를 곱하여 만들어지는 [eqn: 5]개의 수가 모두 짝수인 경우의 수는? [4점]

⑤

홀수는 이웃하지 않도록 나열한다.

[eqn: LOR](짝)[eqn: LOR](짝)[eqn: LOR](짝)[eqn: LOR]  --- [eqn: THEREFORE]  [eqn: rm `_3 P_3 Times `_4 P_3][eqn: = 6 Times 24 = 144]

① [eqn: 120]	② [eqn: 126]	③ [eqn: 132]	④ [eqn: 138]	⑤ [eqn: 144]

집합 [eqn: X = left {x `` |`` x > 0 right }]에 대하여 함수 [eqn: f : X ``->`` X]가
[eqn: f(x) = cases{`` {it}^{it}^{it}{1}over{x}+ 1{it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}(0 < x ≤ 3){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}-{1}over{x - a}+ b{it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(x > 3){it}_{it}_{it}}]
이다. 함수 [eqn: f(x)]가 일대일 대응일 때, [eqn: a+ b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

⑤

[eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때이므로 [eqn: b = 4 over3], [eqn: a = 9 over4]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a +b= 43 over12]

① [eqn: {13 }over{4}]	② [eqn: {10 }over{3}]	③ [eqn: {41 }over{ 12}]	④ [eqn: {7 }over{2}]	⑤ [eqn: {43}over{ 12}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: {rmA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}]이 있다. [eqn: 4]개의 선분 [eqn: {rmA_{1}B_{1}}], [eqn: {rmB_{1}C_{1}}], [eqn: {rmC_{1}D_{1}}], [eqn: {rmD_{1}A_{1}}]을 [eqn: 1 : 3로] 내분하는 점을 각각 [eqn: {rmE_{1}}], [eqn: {rmF_{1}}], [eqn: {rmG_{1}}], [eqn: {rmH_{1}}]이라 하고, 정사각형 [eqn: {rmA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}]의 내부에 점 [eqn: {rmE_{1}}], [eqn: {rmF_{1}}], [eqn: {rmG_{1}}], [eqn: {rmH_{1}}] 각각을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1 }over{4} bar{{rmA_{1}B_{1}}}]인 [eqn: 4]개의 반원을 그린 후 이 [eqn: 4]개의 반원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1}]에서 점 [eqn: {rmA_{1}}]을 지나고 중심이 [eqn: {rmH_{1}}]인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 [eqn: {rmB_{1}}]을 지나고 중심이 [eqn: {rmE_{1}}]인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 [eqn: {rmA_{2}}], 점 [eqn: {rmB_{1}}]을 지나고 중심이 [eqn: {rmE_{1}}]인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 [eqn: {rmC_{1}}]을 지나고 중심이 [eqn: {rmF_{1}}]인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 [eqn: {rmB_{2}}], 점 [eqn: {rmC_{1}}]을 지나고 중심이 [eqn: {rmF_{1}}]인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 [eqn: {rmD_{1}}]을 지나고 중심이 [eqn: {rmG_{1}}]인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 [eqn: {rmC_{2}}], 점 [eqn: {rmD_{1}}]을 지나고 중심이 [eqn: {rmG_{1}}]인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 [eqn: {rmA_{1}}]을 지나고 중심이 [eqn: {rmH_{1}}]인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 [eqn: {rmD_{2}}]라 하자. 정사각형 [eqn: {rmA_{2}B_{2}C_{2}D_{2}}]의 내부에 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 [eqn: 4]개의 반원을 그리고 이 [eqn: 4]개의 반원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n`->`inf}` S_{n}]의 값은? [4점]

①

그림과 같이 원의 접선에서 직각삼각형의 변의 길이를 각각 구하면

두 번째 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: { 8 sqrt2 -4} over3]이다.

따라서 축소비율은 [eqn: { 2 sqrt2 - 1} over3]이므로

공비는 [eqn: left( { 2 sqrt2 -1} over 3 right)^2 =][eqn: 1 - { 4 sqrt2} over9]이고

[eqn: S_1 = 2 pi]이므로

[eqn: S= 2pi over{ 1 - left( 1 - { 4sqrt2} over9 right)][eqn: = { 9 sqrt2 pi } over 4]이다.

① [eqn: {9 sqrt 2 pi }over{4}]	② [eqn: {19 sqrt 2 pi }over{8}]	③ [eqn: {5 sqrt 2 pi }over{2}]

④ [eqn: {21 sqrt 2 pi }over{8}]	⑤ [eqn: {11 sqrt 2 pi}over{4}]

다음은 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: a+ b + c = 3n]을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가
[eqn: a > b] 또는 [eqn: a > c]
를 만족시킬 확률을 구하는 과정이다.

③

[eqn: a+b+c = 3n]을 만족시키는 자연수의 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)]의 개수는

[eqn: `_ 3n-1 {\C}_2 = {(3n-1)(3n-2)} over2]

[eqn: a > b] 또는 [eqn: a >c`]의 여사건은 [eqn: a le b]이고 [eqn: a le c]이다.

[eqn: a = k]일 때 [eqn: k le b], [eqn: k le c]은 [eqn: b+c = 3n -k]에서

[eqn: (b,``c) =][eqn: (k`, ``3n - 2k)], [eqn: (k+1 ,`` 3n - 2k -1 )], [eqn: cdots], [eqn: ( 3n-2k ,`` k )]

즉 [eqn: 3n - 3k +1]개 이다. 따라서 여사건의 개수는

[eqn: sum_k=1^n (3n - 3k +1)][eqn: = 3n^2 - 3 over2 n(n+1) +n][eqn: = 1 over2 n ( 3n-1)]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1 - { 1 over2 n (3n-1)} over{ 1 over2 (3n-1) (3n-2)][eqn: = 1 - n over3n-2][eqn: = 2n-2 over3n-2]

[eqn: n = 2]일 때 [eqn: p = { 5 Times 4} over2 = 10]

[eqn: n = 7], [eqn: k = 2]일 때 [eqn: q = 21 - 6 +1 = 16]

[eqn: n = 4]일 때 [eqn: r = 6 over10 = 3 over5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: pqr = 10 Times 16 Times 3 over5 = 96]

방정식

[eqn: a+ b + c = 3n] [eqn: CDOTSCDOTS](＊)

을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는 [eqn: box{````{}^{it}^{it}(가){}_{it}````}]이다.

방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가 [eqn: a > b] 또는 [eqn: a > c]를 만족시키는 사건을 [eqn: A]라 하면 사건 [eqn: A]의 여사건 [eqn: A^C]은 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가 [eqn: a ≤ b]와 [eqn: a ≤ c]를 만족시키는 사건이다.

이제 [eqn: n(A^C )]의 값을 구하자.

자연수 [eqn: k (1 ≤ k ≤ n)]에 대하여 [eqn: a = k]인 경우,

[eqn: b ≥ k], [eqn: c ≥ k]이고 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는 [eqn: box{````{}^{it}^{it}(나){}_{it}````}]이므로

[eqn: n(A^C )][eqn: = sum _{k = 1}^{n}][eqn: box{````{}^{it}^{it}(나){}_{it}````}]

이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A)}=][eqn: `box{````{}^{it}^{it}(다){}_{it}````}]

이다.

위의 (가)에 알맞은 식에 [eqn: n = 2]를 대입한 값을 [eqn: p], (나)에 알맞은 식에 [eqn: n = 7], [eqn: k = 2]를 대입한 값을 [eqn: q], (다)에 알맞은 식에 [eqn: n = 4]를 대입한 값을 [eqn: r]라 할 때, [eqn: p times q times r]의 값은? [4점]

① [eqn: 88]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 96]	④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 104]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) =cases{`` {it}^{it}^{it}f(x){it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}(`f(x) ≥ a){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}2a- f(x){it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(`f(x) < a){it}_{it}_{it}}] ([eqn: a]는 상수)
라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

②

[eqn: y = 2a- f(x)]는 [eqn: y = f(x)]을 [eqn: y = a]에 대하여 대칭이동한 것이다.

(가)에서 [eqn: f(x) = (x- alpha)^3 (x-4) + a]

(나)에서 [eqn: f``'(x)= (x- alpha)^2 (4x - 14)], [eqn: f left( 7 over2 right) = 0]

두 식으로부터 [eqn: alpha = 2], [eqn: a = 27 over16]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)= (x-2)^3 (x-4) + 27 over 16],

[eqn: f left( 5 over2 right) = 3 over2]

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 4]에서만 미분가능하지 않다.

(나) 함수 [eqn: g(x)- f(x)]는 [eqn: x = {7 }over{2}]에서 최댓값 [eqn: 2a]를 가진다.

[eqn: f left ({5 }over{2}right )]의 값은? [4점]

① [eqn: {5 }over{4}]	② [eqn: {3 }over{2}]	③ [eqn: {7}over{4}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {9}over{4}]

함수 [eqn: f(x) = (x - 2)^{3}]과 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) =cases{`` {it}^{it}^{it}f(x){it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}( LEFT |` x `RIGHT | < a){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}mx + n{it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}( LEFT |` x `RIGHT | ≥ a){it}_{it}_{it}}] ([eqn: a > 0])
이라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

⑤

ㄱ. [eqn: (-1, ``-27)], [eqn: (1, ``-1)]으로부터 [eqn: m = { (-1) - (-27)} over {1 - (-1)][eqn: = 13]

ㄱ.                      ㄴ.

ㄴ. [eqn: x = a]에서의 접선이 점 [eqn: (-a,`` (-a-2)^3 )]을 지날 때이므로

[eqn: f``'(x)= 3(x-2)^2]에서 [eqn: m = f``'(a) = 3(a-2)^3]

[eqn: y = 3(a-2)^2 ( x - a) + (a-2)^3]

점 [eqn: (-a, ``(-a-2)^3 )]을 대입하면

[eqn: -(a+2)^3 = - 6a ( a-2)^2 + (a-2)^3], [eqn: 4a^3 - 24a^2 = 0],

[eqn: THEREFORE] [eqn: a = 6]

ㄷ. [eqn: x = a]에서 접선은 [eqn: y = f``'(a) (x-a) + f(a)]이고,

[eqn: x = -a]에서 [eqn: y = f(a) - 2a f``'(a)]이다.

[eqn: y = mx+n]에서는 [eqn: x = -a`]이면 [eqn: y = n - ma]이다.

[eqn: f(a) - 2a f``'(a) > n - ma]를 만족시키려면 ㄴ의 결과에서

[eqn: 0 < a < 6]이므로 자연수 [eqn: a]의 개수는 5이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a = 1]일 때, [eqn: m = 13]이다. ㄴ. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능할 때, [eqn: m = 48]이다. ㄷ. [eqn: f(a)- 2af` prime (a) > n- ma]를 만족시키는 자연수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 5]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} ` {a TIMES 3 ^{n+2} -2 ^{n}} over {3 ^{n} -3 TIMES 2 ^{n}} =207] 일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

23

[eqn: lim_n->inf { a Times 3^n+2 - 2^n} over{ 3^n - 3 Times 2^n][eqn: = lim_n->inf { 9a - left( 2 over3 right)^n} over{ 1 - 3 left( 2 over3 right)^n][eqn: = 9a = 207],

[eqn: THEREFORE] [eqn: a = 23]

[3점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에서 직선 [eqn: x = n]이 곡선 [eqn: y=x ^{2} `]과 만나는 점을 [eqn: {rmA}_{n }], 직선 [eqn: x = n]이 직선 [eqn: y = it - 2x]와 만나는 점을 [eqn: {rmB}_{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n = 1}^{9} rm bar{A_{it n}B_{it n}}]의 값을 구하시오. [3점]

375

[eqn: sum_n=1^9 ( n^2 + 2n)][eqn: = 1 over6 cdot 9 cdot 10 cdot 19`` +`` 9 cdot 10][eqn: = 375]

무리함수 [eqn: f(x) = sqrt { ax + b }]에 대하여 두 곡선 [eqn: y = f(x)],
[eqn: y = f ^{`- 1 }(x)]가 점 [eqn: (2,``` 3)]에서 만날 때, [eqn: f(- 6)]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

7

[eqn: y = f(x)]와 [eqn: y = f^-1 (x)]는 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이므로 각각 [eqn: (2, ``3)], [eqn: (3,``2)]를 지난다.

[eqn: 3 = sqrt{ 2a+b], [eqn: 2 = sqrt{ 3a+b]

이것을 풀면 [eqn: a = -5], [eqn: b = 19],

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)= sqrt{-5x + 19}], [eqn: f(-6)= 7]

이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0) = 0]이고

30

[eqn: f(0)= 0]이고 주어진 극한의 식에서

[eqn: f(1) = 1], [eqn: f``'(0) = f``'(1) -1]

[eqn: f(x) = ax^2 + bx+c]라 하면 [eqn: f``'(x) = 2ax + b]

[eqn: c = 0], [eqn: a+b+c = 1], [eqn: b = 2a+b -1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a = 1 over2], [eqn: b = 1 over2], [eqn: f``'(x)= x + 1 over2],

[eqn: 60 Times f``'(0) = 60 Times 1 over2 = 30]

[eqn: lim _{x`->`0}` {f(x)}over{x}= lim _{x`->`1}` {f(x)- x}over{x- 1}]

일 때, [eqn: 60 TIMES f` prime (0)]의 값을 구하시오. [3점]

두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 두 눈의 수의 최대공약수가 [eqn: 1]일 때, 나온 두 눈의 수의 합이 [eqn: 8]일 확률은 [eqn: {q }over{p}]이다. [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

25

표로 나타내면 다음과 같다

	1	2	3	4	5	6
1	○	○	○	○	○	○
2	○	×	○	×	○	×
3	○	○	×	○	●	×
4	○	×	○	×	○	×
5	○	○	●	○	×	○
6	○	×	×	×	○	×

따라서 구하는 확률은 [eqn: 2 over23]이므로 [eqn: 2+23 = 25]이다.

[4점]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int _{1}^{x}(2x - 1)f(t)`dt = x^{3 }+ ax + b]
일 때, [eqn: 40 times f(1)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

50

등식을 만족시키는 다항식 [eqn: f(x)]는 일차식이다.

[eqn: f(x)= cx+ d]라 하면

[eqn: int_1^x (2x-1) f(t) dt = x^3 + ax+b]

미분하면

[eqn: 2 int_1^x f(t) dt + (2x-1) f(x) = 3x^2 + a]

또 미분하면

[eqn: 2f(x) + 2 f(x) + (2x-1) f``'(x) = 6x]

[eqn: 4 f(x) + (2x-1) f``'(x) = 6x]

[eqn: 4cx + 4d + c(2x-1) = 6x], [eqn: 6cx + 4d -c = 6x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: c = 1], [eqn: d = 1 over4], [eqn: f(x) = x + 1 over4],

[eqn: 40 Times f(1) = 40 Times 5 over4 = 50]

그림과 같이 같은 종류의 검은 공이 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 3]개가 들어 있는 상자 [eqn: 3]개가 있다. [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 6]개의 흰 공을 [eqn: 3]개의 상자에 남김없이 나누어 넣으려고 한다. 각각의 상자에 들어 있는 공의 개수가 모두 [eqn: 3]의 배수가 되도록 [eqn: 6]개의 흰 공을 나누어 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 흰 공이 하나도 들어 있지 않은 상자가 있을 수 있고, 공을 넣는 순서는 고려하지 않는다.) [4점]

81

각각의 상자에 3개 또는 6개 이므로

3      3       6 --- [eqn: 6! over{ 2!3! } = 60]

3      6       3 ---  [eqn: 6! over{ 2! 4!} = 15]

6      3       3 ---  [eqn: 6! over{ 5! }= 6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 60 + 15+ 6 = 81]

수열 [eqn: left {a_{n} right }]은 [eqn: a_{1}]이 자연수이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n + 1 }=cases{`` {it}^{it}^{it}a_{n }- d{it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}(a_{n }≥ 0){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}a_{n }+ d{it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(a_{n } < 0){it}_{it}_{it}}] ([eqn: d]는 자연수)
이다. [eqn: a_{n } < 0]인 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, 수열 [eqn: left {a_{n} right }]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_{m - 2 }+ a_{m - 1 }+ a_{m }= 3]

(나) [eqn: a_{1 }+ a_{m - 1 }= it - 9 (a_{m }+ a_{m + 1})]

(다) [eqn: sum _{k = 1}^{m - 1}a_{k }= 45]

[eqn: a_{1}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m ≥ 3]) [4점]

17

조건에 맞도록 나열하면

(가)에서 [eqn: a_m-2 = d+1], [eqn: a_m-1 = 1], [eqn: a_m = 1-d]

[eqn: 1 -d]	1	[eqn: 1+d]	[eqn: cdots]
[eqn: a_m]	[eqn: a_m-1]	[eqn: a_m-2]	[eqn: cdots]
	[eqn: a_m+1]

(나)에서 [eqn: a _{1} =a _{m-1} +(m-2)d=1+(m-2)d]

[eqn: 2+(m-2)d=9(d-2)], [eqn: d = 20 over11-m]

(다)에서 [eqn: (m-1) {9(d-2)} over {2} =45], 즉 [eqn: (m-1) (d-2) = 10]

따라서 [eqn: (m-1) left( 20 over11-m -2 right) = 10], [eqn: m^2 + 3m - 54 = 0]

[eqn: (m-6)(m+9) = 0], [eqn: THEREFORE] [eqn: m = 6], [eqn: d = 4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_1 = 1 + (6-2) Times 4= 17]

두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: 0 ≤ x < 4]에서
[eqn: h(x) =cases{`` {it}^{it}^{it}x{it}_{it}_{it} &{it}^{it}^{it}(0 ≤ x < 2){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}f(x){it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(2 ≤ x < 3){it}_{it}_{it}#`` {it}^{it}^{it}g(x){it}_{it}_{it}&{it}^{it}^{it}(3 ≤ x < 4){it}_{it}_{it}}]
이고, 다음 조건을 만족시킨다.

21

그림과 같은 모양이어야 한다.

[eqn: f(x) = a left( x - 5 over2 right)^2 + b] 라 하면

[eqn: f`'(x)= 2a left( x - 5 over2 right)]

[eqn: f`'(2) = 2a left( 2 - 5 over2 right) = - a = 1]

[eqn: f(2) = a left( 2 - 5 over2 right)^2 + b = 2], [eqn: b = 9 over4]

즉 [eqn: f(x) = - left( x - 5 over2 right)^2 +][eqn: 9 over4], [eqn: g(x)= left( x - 7 over2 right)^2 + 7 over4]

그리고 [eqn: k = 2]이다.

[eqn: h left( 13 over2 right) = h left( 5 over2 right) + 2 = f left( 5 over2 right) + 2 = 9 over4 + 2 = 17 over4],

[eqn: THEREFORE] [eqn: 4 +17 = 21]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h(x) = h(x - 4)+ k] ([eqn: k]는 상수)이다.

(나) 함수 [eqn: h(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(다) [eqn: int _{0}^{4}h(x)`dx = 6]

[eqn: h left ({13 }over{2}right )`= {q }over{p}]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

2020학년도 사관학교 1차시험 [나형] 해설

1	④	2	①	3	①	4	③	5	④
6	③	7	②	8	⑤	9	②	10	④
11	⑤	12	①	13	②	14	③	15	④
16	⑤	17	⑤	18	①	19	③	20	②
21	⑤	22	23	23	375	24	7	25	30
26	25	27	50	28	81	29	17	30	21