수학 영역 (가형)

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수학 영역 (가형)

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16

2020학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(가 형)

제 [eqn: 3]사분면의 각 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos`theta = it -{1 }over{2}]일 때, [eqn: tan`theta]의 값은?

⑤

[eqn: cos theta = - 1 over2], [eqn: sin theta = - sqrt3 over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: tan theta = sqrt3]

[2점]

① [eqn: - sqrt 3]	② [eqn: -{ sqrt 3 }over{3}]	③ [eqn: { sqrt 3 }over{3}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt 3]

좌표평면 위의 네 점 [eqn: {rmO}(0,``` 0)], [eqn: {rmA}(2,``` 4)], [eqn: {rmB}(1,``` 1)], [eqn: {rmC}(4,``` 0)]에 대하여 [eqn: vec{{rmOA}} bullet vec{{rmBC}}]의 값은? [2점]

①

[eqn: rm vecOA = ( 2, ``4)], [eqn: rm vec BC = ( 3, ``-1)] 이므로

[eqn: rm vecOA cdot vec BC = 6 - 4 = 2`]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: lim_{x`->`0}` {2x`sin`x }over{1- cos`x}]의 값은? [2점]

④

[eqn: lim_x->0 { 2x sinx} over { 1 - cosx}][eqn: = lim_x->0 { 2x sinx (1 + cosx)} over{sin^2 x}]

[eqn: = lim_x->0 { 2x (1 + cosx)} over{sinx][eqn: = 2 Times 1 Times (1 + 1) = 4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: {rmP}(A capB} )= {1 }over{6}], [eqn: {rmP}(A^C cupB )= {2}over{3}]
일 때, [eqn: {rmP}(A)]의 값은? (단, [eqn: A^C]은 [eqn: A]의 여사건이다.) [3점]

③

P[eqn: (A cap B^C ) =][eqn: 1 -]P[eqn: (A ^C cup B)][eqn: = 1 - 2 over3 = 1 over3]

P[eqn: (A)=]P[eqn: (A cap B) +]P[eqn: (A cap B^C )][eqn: = 1 over6 + 1 over3 = 1 over2]

① [eqn: {1 }over{6}]	② [eqn: {1 }over{3}]	③ [eqn: {1 }over{2}]	④ [eqn: {2 }over{3}]	⑤ [eqn: {5}over{6}]

같은 종류의 흰 바둑돌 [eqn: 5]개와 같은 종류의 검은 바둑돌 [eqn: 4]개가 있다. 이 [eqn: 9]개의 바둑돌을 일렬로 나열할 때, 검은 바둑돌 [eqn: 4]개 중 [eqn: 2]개는 서로 이웃하고, 나머지 [eqn: 2]개는 어느 검은 바둑돌과도 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수는? [3점]

①

흰 바둑알 5개를 먼저 놓고,

∨○∨○∨○∨○∨○∨ 좌우와 사이 6자리에

(●●), (●), (●)을 나열한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 6 Times rm `_ 5 C_2 = 60]

① [eqn: 60]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 84]	④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 108]

초점이 [eqn: {rmF}]인 포물선 [eqn: y^{2 }= 4x]위의 점 [eqn: {rmP}(a,``` 6)]에 대하여 [eqn: bar{{rmPF}}= k]이다. [eqn: a+ k]의 값은? [3점]

④

F[eqn: (1, ``0)]이고, 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면,

[eqn: rm barPF = barPH], 즉 [eqn: k = 1+a]

P[eqn: (a,``6)]은 [eqn: 36 = 4a], [eqn: a = 9], [eqn: k = 10]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+k = 9 +10 = 19]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

이산확률변수 [eqn: X]가 가지는 값이 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]이고 [eqn: X]의 확률질량함수가
[eqn: {rmP(X} = x)=cases{`` a & (x = 0)#`` {1}over{x} &(x = 2,``` 4,``` 6)]
일 때, [eqn: {rmE}(aX )]의 값은? [3점]

②

[eqn: X]	0	2	4	6	합계
P[eqn: (X= x)]	[eqn: a]	[eqn: 1 over2]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1 over6]	1

[eqn: a = 1 - 1 over2 - 1 over4 - 1 over6 = 1 over12], E[eqn: (X) =]3,

[eqn: THEREFORE] E[eqn: (aX) = 1 over12 Times 3 = 1 over4]

① [eqn: {1 }over{8}]	② [eqn: {1 }over{4}]	③ [eqn: {1 }over{2}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

주머니 [eqn: {rmA}]에는 [eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 5]장의 카드가 들어 있고, 주머니 [eqn: {rmB}]에는 [eqn: 6]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 3]장의 카드가 들어 있다. 주머니 [eqn: {rmA}]에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내고, 주머니 [eqn: {rmB}]에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낸다. 꺼낸 [eqn: 2]장의 카드에 적힌 두 수의 합이 홀수일 때, 주머니 [eqn: {rmA}]에서 꺼낸 카드에 적힌 수가 홀수일 확률은? [3점]

⑤

두 수의 합이 홀수인 경우를 표시하면

A B	1	2	3	4	5
6	○	×	○	×	○
7	×	○	×	○	×
8	○	×	○	×	○

따라서 구하는 확률은 [eqn: {6} over {8}][eqn: = {3} over {4}]

① [eqn: {1}over{4}]	② [eqn: {3}over{8}]	③ [eqn: {1}over{2}]	④ [eqn: {5}over{8}]	⑤ [eqn: {3}over{4}]

평면 [eqn: alpha]위에 있는 서로 다른 두 점 [eqn: {rmA}], [eqn: {rmB}]와 평면 [eqn: alpha]위에 있지 않은 점 [eqn: {rmP}]에 대하여 삼각형 [eqn: {rmPAB}]는 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형이다. 점 [eqn: {rmP}]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발 [eqn: {rmH}]에 대하여 [eqn: bar{{rmPH}}= 4]일 때, 삼각형 [eqn: {rmHAB}]의 넓이는? [3점]

⑤

[eqn: rm barPM = 3 sqrt3], [eqn: rm barHM = sqrt11]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 1 over2 Times 6 Times sqrt11][eqn: = 3 sqrt11]

① [eqn: 3 sqrt 3]	② [eqn: 3 sqrt 5]	③ [eqn: 3 sqrt 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 3 sqrt 11]

함수 [eqn: f(x) = {6x^{3}}over{x^{2 }+ 1}]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g′(3)]의 값은? [3점]

①

[eqn: f(x) = 6x^3 over{ x^2 +1], [eqn: f``'(x) = { 6x^4 + 18 x^2} over{ (x^2 +1)^2]

[eqn: f(1) = 3], [eqn: g``'(3) = 1 over { f``'(1)][eqn: = 1 over6]

① [eqn: {1}over{6}]	② [eqn: {1}over{3}]	③ [eqn: {1}over{2}]	④ [eqn: {2}over{3}]	⑤ [eqn: {5}over{6}]

좌표공간의 두 점 [eqn: {rmA}(2,``` 2,``` 1)], [eqn: {rmB}(a,``` b,``` c)]에 대하여 선분 [eqn: {rmAB}]를 [eqn: 1 : 2]로 내분하는 점이 [eqn: y]축 위에 있다. 직선 [eqn: {rmAB}]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan`theta = { sqrt 2 }over{4}]이다. 양수 [eqn: b]의 값은? [3점]

③

[eqn: 2 over3 ( 2,``2,``1) + 1 over3 ( a,``b,`` c) = 1 over3 ( 4 + a, `` 4 + b,`` 2 + c)],

[eqn: a = -4], [eqn: c = -2],

[eqn: rm vecAB =][eqn: ( a-2,`` b-2,`` c-1) = ( -6,`` b-2,`` -3)], [eqn: vecn =(0,``0,``1)]

[eqn: tan theta = sqrt2 over4]에서 [eqn: sin theta =][eqn: { left |rm vecAB cdot it vecn right|} over{ left| rm vecAB `right|`left| it vecn ` right|}][eqn: = 3 over{ sqrt{ 45 + (b-2)^2][eqn: = 1 over3]

[eqn: 45 + (b-2)^2 = 81],

[eqn: THEREFORE] [eqn: b = 8]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 0 ≤ x ≤ 2 pi]일 때, 방정식 [eqn: tan`2x`sin`2x = {3 }over{2}]의 모든 해의 합은? [3점]

⑤

[eqn: tan2x sin 2x = { sin^2 2x} overcos2x = {1- cos^2 2x} overcos2x = 3 over2]

[eqn: 2 cos^2 2x + 3 cos2x -2 = 0],

[eqn: ( 2 cos 2x -1) ( cos 2x +2 ) = 0]

[eqn: cos 2x = 1 over2]

[eqn: x = pi]에 대하여 서로 대칭인 두 쌍의 실근이므로

모든 해의 합은 [eqn: 4pi]이다.

① [eqn: 2 pi]	② [eqn: {5}over{2} pi]	③ [eqn: 3 pi]	④ [eqn: {7}over{2} pi]	⑤ [eqn: 4 pi]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}}over{4}- y^{2 }= 1]의 꼭짓점 중 [eqn: x]좌표가 음수인 점을 중심으로 하는 원 [eqn: C]가 있다. 점 [eqn: (3,``` 0)]을 지나고 원 [eqn: C]에 접하는 두 직선이 각각 쌍곡선 [eqn: {x^{2}}over{4}- y^{2}= 1]과 한 점에서만 만날 때, 원 [eqn: C]의 반지름의 길이는? [3점]

②

점근선 [eqn: y = +- 1 over2 x],

그림의 직각삼각형에서 [eqn: r^2 + ( 2r)^2 = 25],

[eqn: THEREFORE] [eqn: r = sqrt5]

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt 5]	③ [eqn: sqrt 6]	④ [eqn: sqrt 7]	⑤ [eqn: 2 sqrt 2]

어느 도시의 직장인들이 하루 동안 도보로 이동한 거리는 평균이 [eqn: m {rm km}], 표준편차가 [eqn: sigma {rm km}]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시의 직장인들 중에서 [eqn: 36]명을 임의추출하여 조사한 결과 [eqn: 36]명이 하루 동안 도보로 이동한 거리의 총합은 [eqn: 216 rm km]이었다. 이 결과를 이용하여, 이 도시의 직장인들이 하루 동안 도보로 이동한 거리의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95□]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: a ≤ m ≤ a+ 0□98]이다. [eqn: a+ sigma]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {\P}( LEFT |` Z `RIGHT | ≤ 1□96)= 0□95]로 계산한다.) [4점]

②

[eqn: barx = 216 over36 = 6],

[eqn: a =][eqn: 6 - 1.96 Times sigma over6], [eqn: a + 0.98 = 6 + 1.96 Times sigma over6]

연립하여 풀면, [eqn: a = 5.51], [eqn: sigma = 1.5],

[eqn: THEREFORE] [eqn: a + sigma = 7.01]

① [eqn: 6□96]	② [eqn: 7□01]	③ [eqn: 7□06]	④ [eqn: 7□11]	⑤ [eqn: 7□16]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b] ([eqn: b < 0 < a])에 대하여 직선 [eqn: {x - a}over{a}= 3 - y = {z}over{b}] 위의 임의의 점과 평면 [eqn: 2x - 2y + z = 0] 사이의 거리가 [eqn: 4]로 일정할 때, [eqn: a- b]의 값은? [4점]

③

직선과 평면이 평행이므로, 직선 위의 임의의 점에서 평면에 이르는 거리가 4이다.

[eqn: vec d = ( a,`` -1,`` b)], [eqn: vecn = ( 2,``-2,``1)], P[eqn: (a,`` 3,`` 0)]

[eqn: vecd cdot vecn = 2a +2 +b = 0], [eqn: 4 = {|2a-6 |} over{sqrt{ 4 + 4+1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a =9], [eqn: b = -20], [eqn: a-b = 29]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]	④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

그림과 같이 [eqn: 1]보다 큰 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 점 [eqn: {rm A}(1,``` 0)]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y = a^{x}]과 만나는 점을 [eqn: {rm B}]라 하고, 점 [eqn: {rm C}(0,``` 1)]에 대하여 점 [eqn: {rm B}]를 지나고 직선 [eqn: {rmAC}]와 평행한 직선이 곡선 [eqn: y = log_{b }x]와 만나는 점을 [eqn: {rmD}]라 하자. [eqn: bar{{rmAC}}⊥bar{{rmAD}}]이고, 사각형 [eqn: {rmADBC}]의 넓이가 [eqn: 6]일 때, [eqn: a times b]의 값은? [4점]

②

A[eqn: (1,``0)], B[eqn: (1,``a)], C[eqn: (0,``1)], D[eqn: (k,`` k-1)]

[eqn: 1+a = k + (k-1)], [eqn: 6 = 1over2 Timesa Times k],

[eqn: k-1 = log_b k]

을 연립하여 풀면 [eqn: k = 3], [eqn: a = 4], [eqn: b = sqrt3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab = 4sqrt3]

① [eqn: 4 sqrt 2]	② [eqn: 4 sqrt 3]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 4 sqrt 5]	⑤ [eqn: 4 sqrt 6]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y = {3}over{x}], [eqn: y = sqrt { ln`x }]와 두 직선 [eqn: x = 1], [eqn: x = e]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [4점]

④

[eqn: int_1^e left( 3 overx - sqrtlnx right)^2 dx][eqn: = int_1^e left( 9 overx^2 - 6 overx sqrtlnx + lnx right) dx]

[eqn: = left[ - 9 overx - 4 ( ln x)^{ 3 over2} + x lnx - x right]_1^e][eqn: = 6 - 9 overe]

① [eqn: 5 -{9}over{e}]	② [eqn: 5 -{8}over{e}]	③ [eqn: 5 -{7}over{e}]	④ [eqn: 6 -{9}over{e}]	⑤ [eqn: 6 -{8}over{e}]

다음은 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: a+ b + c = 3n]을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가
[eqn: a > b] 또는 [eqn: a > c]
를 만족시킬 확률을 구하는 과정이다.

③

[eqn: a+b+c = 3n]을 만족시키는 자연수의 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)]의 개수는

[eqn: `_ 3n-1 {\C}_2 = {(3n-1)(3n-2)} over2]

[eqn: a > b] 또는 [eqn: a >c`]의 여사건은 [eqn: a le b]이고 [eqn: a le c]이다.

[eqn: a = k]일 때 [eqn: k le b], [eqn: k le c]은 [eqn: b+c = 3n -k]에서

[eqn: (b,``c) =][eqn: (k`, ``3n - 2k)], [eqn: (k+1 ,`` 3n - 2k -1 )], [eqn: cdots], [eqn: ( 3n-2k ,`` k )]

즉 [eqn: 3n - 3k +1]개 이다. 따라서 여사건의 개수는

[eqn: sum_k=1^n (3n - 3k +1)][eqn: = 3n^2 - 3 over2 n(n+1) +n][eqn: = 1 over2 n ( 3n-1)]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1 - { 1 over2 n (3n-1)} over{ 1 over2 (3n-1) (3n-2)][eqn: = 1 - n over3n-2][eqn: = 2n-2 over3n-2]

[eqn: n = 2]일 때 [eqn: p = { 5 Times 4} over2 = 10],

[eqn: n = 7], [eqn: k = 2]일 때 [eqn: q = 21 - 6 +1 = 16]

[eqn: n = 4]일 때 [eqn: r = 6 over10 = 3 over5],

[eqn: THEREFORE] [eqn: pqr = 10 Times 16 Times 3 over5 = 96]

방정식

[eqn: a+ b + c = 3n] [eqn: CDOTSCDOTS](＊)

을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는 [eqn: {BOX{{}^{it ^{it}} `````(가)````` _{it}}}]이다.

방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가 [eqn: a > b] 또는 [eqn: a > c]를 만족시키는 사건을 [eqn: A]라 하면 사건 [eqn: A]의 여사건 [eqn: A^C]은 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]가 [eqn: a ≤ b]와 [eqn: a ≤ c]를 만족시키는 사건이다.

이제 [eqn: n(A^C )]의 값을 구하자.

자연수 [eqn: k (1 ≤ k ≤ n)]에 대하여 [eqn: a = k]인 경우,

[eqn: b ≥ k], [eqn: c ≥ k]이고 방정식 (＊)을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍 [eqn: (a,``` b,``` c)]의 개수는 [eqn: {BOX{{}^{it ^{it}} `````(나)````` _{it}}}]이므로

[eqn: n(A^C )][eqn: = sum _{k = 1}^{n}][eqn: {BOX{{}^{it ^{it}} `````(나)````` _{it}}}]

이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A)}=][eqn: {BOX{{}^{it ^{it}} `````(다)````` _{it}}}]

이다.

위의 (가)에 알맞은 식에 [eqn: n = 2]를 대입한 값을 [eqn: p], (나)에 알맞은 식에 [eqn: n = 7], [eqn: k = 2]를 대입한 값을 [eqn: q], (다)에 알맞은 식에 [eqn: n = 4]를 대입한 값을 [eqn: r]라 할 때, [eqn: p times q times r]의 값은? [4점]

① [eqn: 88]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 96]	④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 104]

함수 [eqn: f(x) = xe^{2x}- (4x + a)e^{x}]이 [eqn: x = it -{1}over{2}]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: f(x)]의 극솟값은? (단, [eqn: a]는 상수이다. [4점]

④

[eqn: f(x)= xe^2x - (4x+a) e^x],

[eqn: f``'(x)= (2x+1) e^2x - (4x+a+4) e^x]

[eqn: f``'left( - 1 over2 right) = 0]이므로 [eqn: a = -2]

따라서 [eqn: f``'(x) = (2x+1) e^x ( e^x - 2)]이고

극솟값은 [eqn: f( ln 2) = 4 - 4 ln 2]이다.

① [eqn: 1 - ln`2]	② [eqn: 2 - 2`ln`2]	③ [eqn: 3 - 3`ln`2]

④ [eqn: 4 - 4`ln`2]	⑤ [eqn: 5 - 5`ln`2]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]와 함수 [eqn: f(x) = {LEFT |` x `RIGHT |}over{x^{2}+ 1}]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = cases{`` f(x) &(x < a)#`` f(b - x) &(x ≥ a)]
가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: int _{a}^{a - b}g(x)`dx]의 값은?

①

그림과 같이 [eqn: a =-1], [eqn: b = -2]일 때이다.

[eqn: int_-1^1 g(x) dx][eqn: = int_1^3 x over{ x^2 +1} dx][eqn: = LEFT [ {1} over {2} `ln(x ^{2} +1) RIGHT ] _{1} ^{3}][eqn: = {1} over {2} `ln5]

[4점]

① [eqn: {1}over{2}`ln`5]	② [eqn: ln`5]	③ [eqn: {3}over{2}`ln`5]	④ [eqn: 2`ln`5]	⑤ [eqn: {5}over{2}`ln`5]

두 함수

⑤

ㄱ. [eqn: g(x) = | 2`cos`x +1|]와 [eqn: h_1 (x) = 4`sin`left(`pi over6 g(x) right)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x = 2over3 pi], [eqn: x = 4 over3 pi]에서 [eqn: h_1 (x)]는 미분가능하지 않다.

ㄴ. [eqn: g(x)= | 2`cos(2x) + 1|]와 [eqn: h_2 (x) = 4`sin`left(`pi over6 g(x) right)]의 그래프에서

[eqn: h_2 (x)= 2]의 실근은 [eqn: g(x) = 1]

즉, [eqn: cos(2x) = 0] 또는 [eqn: cos(2x) = it -1]
[eqn: x = pi over4], [eqn: 3 over4 pi], [eqn: 5 over4 pi], [eqn: 7 over4 pi] 또는 [eqn: pi over2], [eqn: 3 over2 pi] --- 6개이다.

ㄷ. [eqn: y =][eqn: |h_1 (x) - 1 |]에서 [eqn: a_1 = 6]

[eqn: h_2 (x)= h_1 (2x)]이므로 [eqn: a_2 = 8]

[eqn: h_3 (x) = h_1 ( 3x)]이므로 [eqn: a_3 = 12]

[eqn: h_4 (x)= h_1 (4x)]이므로 [eqn: a_4 = 8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum_k=1^4 a_k =][eqn: 6 +8 + 12+ 8= 34]

[eqn: f(x)=4`sin{pi}over{6}x], [eqn: g(x) = LEFT |` 2`cos`kx + 1 LEFT |`]

이 있다 [eqn: 0 < x < 2 pi]에서 정의된 함수

[eqn: h(x) = (`f circ g)(x)]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: k]는 자연수이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: k = 1]일 때, 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x = {2}over{3}][eqn: pi] 에서 미분가능하지 않다. ㄴ. [eqn: k = 2]일 때, 방정식 [eqn: h(x) = 2]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 6]이다. ㄷ. 함수 [eqn: LEFT |` h(x)- k LEFT |`]가 [eqn: x= alpha ``(0< alpha <2 pi )]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: alpha]의 개수를 [eqn: a_{k}]라 할 때, [eqn: sum _{k = 1}^{4}a_{k}= 34]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x) = (3x + e^{x})^{3}]에 대하여 [eqn: f` prime (0)]의 값을 구하시오.

12

[eqn: f`'(x)= 3(3+ e^x ) ( 3x+ e^x )^2],

[eqn: f`'(0) =3 Times4 Times1 = 12]

[3점]

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선
[eqn: x = 2 sqrt 2`sin`t + sqrt 2`cos`t], [eqn: y = sqrt 2`sin`t + 2 sqrt 2`cos`t]
가 있다. 이 곡선 위의 [eqn: t = {pi}over{4}]에 대응하는 점에서의 접선의 [eqn: y]절편을 구하시오. [3점]

6

[eqn: x=2 sqrt {2}`sin`t+ sqrt {2}`cos`t], [eqn: y= sqrt {2}`sin`t+2 sqrt {2}`cos`t]

[eqn: `dx overdt = 2 sqrt2`cos`t - sqrt2`sin`t], [eqn: {dy} over {dt} = sqrt {2}`cos`t-2 sqrt {2}`sin`t]

[eqn: t = pi over4]이면 [eqn: x = 3], [eqn: y = 3], [eqn: dx overdt = 1], [eqn: dy overdt = it -1] 이므로

접선은 [eqn: y -3 = it -(x-3)],

[eqn: THEREFORE] [eqn: y]절편은 6

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}(m,``` sigma^2 )]을 따르고, 다음 조건을 만족시킨다.

149

(가)에서 [eqn: m = { 128 + 140} over2 = 134],

(나)에서 [eqn: sigma = 10]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k = m + 1.5 sigma = 134 + 1.5 Times 10 = 149]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

(가) [eqn: {rmP}(X ≥ 128)= {rmP}(X ≤ 140)]

(나) [eqn: {rmP}(m ≤X ≤ m+ 10)= {rmP}(- 1 ≤Z ≤ 0)]

[eqn: {rmP}(X ≥ k)= 0.0668]을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (단, [eqn: Z]는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) [3점]

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 9]개의 공을 같은 종류의 세 상자에 [eqn: 3]개씩 나누어 넣으려고 한다. 세 상자 중 어떤 한 상자에 들어 있는 [eqn: 3]개의 공에 적힌 수의 합이 나머지 두 상자에 들어 있는 [eqn: 6]개의 공에 적힌 수의 합보다 크도록 [eqn: 9]개의 공을 나누어 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 공을 넣는 순서는 고려하지 않는다.) [3점]

20

[eqn: 7+8+9 = 24], [eqn: 21] ---- [eqn: rm _6 C_3 Times 1 over2 = 10]

[eqn: 6+8+9 = 23], [eqn: 22] ----  [eqn: rm _6 C_3 Times 1 over2 = 10],

[eqn: THEREFORE] [eqn: 10+ 10 = 20]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: {rmACD}]를 한 면으로 하는 사면체 [eqn: {rmABCD}]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: bar{{rmBC}}= 3 sqrt 10]

(나) [eqn: bar{{rmAB}}⊥bar{{rmAC}}], [eqn: bar{{rmAB}}⊥bar{{rmAD}}]

두 모서리 [eqn: {rmAC}], [eqn: {rmAD}]의 중점을 각각 [eqn: {rmM}], [eqn: {rmN}]이라 할 때, 삼각형 [eqn: {rmBMN}]의 평면 [eqn: {rmBCD}] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 40 times S]의 값을 구하시오. [4점]

450

그림에서 [eqn: rm bar{BR}`= 9], [eqn: rm bar{BP}`=][eqn: a], [eqn: rm bar{PR}`=][eqn: 9 - a]

[eqn: h^2 = ( 3 sqrt6 )^2 - a^2][eqn: = ( 3sqrt3 )^2 - (9-a)^2]

따라서 [eqn: a = 6], [eqn: rm bar{PR}`= 3]

[eqn: S = 1 over2 Times 3 Times left( 6 + 3 over2 right) = 45 over4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 40 S= 450]

한 번 누를 때마다 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmP}]를 다음과 같이 이동시키는 두 버튼 ㉠, ㉡이 있다.

14

㉠, ㉡ 버튼의 사용횟수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면

O[eqn: ->]C : [eqn: a+2b = 9], [eqn: a+b = 7]이므로

[eqn: a = 5], [eqn: b = 2] --- [eqn: 7! over{ 5! 2!} = 21]가지

O[eqn: ->]A[eqn: ->]C : [eqn: a+2b = 5], [eqn: a+b = 5]

[eqn: a = 5], [eqn: b = 0] --- 1 가지

O[eqn: ->]B[eqn: ->]C : [eqn: a+2b = 6], [eqn: a+b = 4]

[eqn: a = 2], [eqn: b = 2] --- [eqn: 4! over{ 2! 2!]=[eqn: 6] 가지

[eqn: THEREFORE] [eqn: 21 - ( 1+ 6) = 14]

[버튼 ㉠] 그림과 같이 길이가 [eqn: sqrt 2]인 선분을 따라 점 [eqn: (x,``` y)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 점 [eqn: (x + 1,``` y + 1)]로 이동시킨다.

[버튼 ㉡] 그림과 같이 길이가 [eqn: sqrt 5]인 선분을 따라 점 [eqn: (x,``` y)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 점 [eqn: (x + 2,``` y + 1)]로 이동시킨다.

예를 들어, 버튼을 ㉠, ㉠, ㉡ 순으로 누르면 원점 [eqn: (0,``` 0)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]는 아래 그림과 같이 세 선분을 따라 점 [eqn: (4,``` 3)]으로 이동한다. 또한 원점 [eqn: (0,``` 0)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 점 [eqn: (4,``` 3)]으로 이동시키도록 버튼을 누르는 경우는 ㉠㉠㉡, ㉠㉡㉠, ㉡㉠㉠으로 [eqn: 3]가지이다.

원점 [eqn: (0,``` 0)]에 있는 점 [eqn: {rmP}]를 두 점 [eqn: {rmA}(5,``` 5)], [eqn: {rmB}(6,``` 4)]중 어느 점도 지나지 않고 점 [eqn: {rmC}(9,``` 7)]로 이동시키도록 두 버튼 ㉠, ㉡을 누르는 경우의 수를 구하시오. [4점]

그림과 같이 [eqn: bar{{rmAB}}= 1]이고 [eqn: ∠{rmABC} = { pi}over{2}]인 직각삼각형 [eqn: {rmABC}]에서 [eqn: ∠{rmCAB} = theta]라 하자. 선분 [eqn: {rmAC}]를 [eqn: 4 : 7]로 내분하는 점을 [eqn: {rmD}]라 하고 점 [eqn: {rmC}]에서 선분 [eqn: {rmBD}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rmE}]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rmCEB}]의 넓이를 [eqn: S (theta)]라 하자. [eqn: lim_{ theta -> 0+} {S ( theta)}over{theta^{3}}= {q}over{p}]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<theta<{pi}over{4}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

9

그림에서 삼각형 BCE, BDM은 닮음이고,

[eqn: rm bar{BC}`= tan`theta], [eqn: rm bar{BD}`= 1 over11 sqrt{ 49 + 16`tan^{2}` theta]

[eqn: S( theta) =][eqn: 1 over2 Times 7 over11 Times 4 over 11`tan`theta Times left( { 11^2`tan^{2}` theta} over{ 49 + 16`tan^{2}` theta} right)][eqn: =][eqn: { 14`tan^{3}` } over{ 49 + 16`tan^{2}` theta}]

[eqn: lim_{ theta->0+} {S( theta)} over{ theta^3 } =][eqn: 14 over49+0 = 2 over7],

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2 +7 = 9]

좌표공간에 구 [eqn: C : x^{2}+ y^{2}+ (z + 2)^{2}= 2]와 점 [eqn: \A(0,``` 3,``` 3)]이 있다. 구 [eqn: C] 위의 점 [eqn: {rmP}]와 [eqn: LEFT |` vec{{rmAQ}} `RIGHT |`=2], [eqn: vec{{rmOA}}bullet vec{{rmQA}}=3 sqrt 6]을 만족시키는 점 [eqn: {rmQ}]에 대하여 [eqn: vec{{rmAP}} bullet vec{{rmAQ}}]의 최댓값은 [eqn: p sqrt 2 + q sqrt 6]이다. [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: {rmO}]는 원점이고, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.)

7

[eqn: rm vecAP cdot vecAQ = left(`vecAC + vecCP right) cdot vecAQ][eqn: =][eqn: rm {vec{AC}} CDOT {vec{AQ}} + {vec{CP}} CDOT {vec{AQ}}]

[eqn: rm vecCP cdot vecAQ le sqrt2 Times 2 = 2 sqrt2]

[eqn: rm vecAO]와 [eqn: rm vecAQ]가 이루는 각의 크기는 [eqn: pi over6]

[eqn: rm vecOA]와 [eqn: rm vecAC]가 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha]라 하면

[eqn: rm vecAC = (0,``` -3,``` -5)], [eqn: rm vecAO = ( 0,``` -3,``` -3)]

[eqn: cos`alpha = 4 over sqrt17], [eqn: sin`alpha = 1 over sqrt17]

[eqn: cos`left(`pi over6 - alpha right) = { 4 sqrt3 +1} over{ 2 sqrt17]

[eqn: rm vecAC cdot vecAQ le][eqn: sqrt34 Times 2 Times left( { 4 sqrt3 +1} over {2 sqrt17 }right)][eqn: = 4 sqrt6 + sqrt2]

따라서 최댓값은 [eqn: ( 4 sqrt6 + sqrt2 ) + 2 sqrt2 = 4 sqrt6 + 3 sqrt2],

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q = 3+4 = 7]

[4점]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = int _{0}^{x} {f(t)}over{LEFT |` t` RIGHT |` + 1}}`dt]
가 다음 조건을 만족시킨다.

16

[eqn: g(x)= int_0^x f(t) over{ |t| +1} `dt], [eqn: g '(x) = f(x) over{ |x| +1], [eqn: g(0) = 0]

(가)에서 [eqn: g '(2)= 0]이므로 [eqn: f(2) = 0]

(나)에서 [eqn: f(0) = 0] 이어야한다.

따라서 [eqn: f(x)= x(x-2)(x-c)]이고

[eqn: g '(-1)= f(-1) over2]가 최대가 되도록 하려면

[eqn: 0 < c< 2]이고 [eqn: g(2) ge0] 인 최소의 [eqn: c]일 때이다.

[eqn: f(x) overx+1 = { x(x-2)(x-c)} overx+1][eqn: = x^2 - (3+c)x + 3(c+1) - 3(c+1) overx+1]

[eqn: g(2) = int_0^2 left( x^2 - (3+c)x + 3(c+1) - 3(c+1) overx+1 right)`dx]

[eqn: = left[ 1 over3 x^3 - x^2 - 1 over2 (c+1) x^2 + 3(c+1)x - 3(c+1) ln (x+1) right]_0^2]

[eqn: = it - 4 over3 + 4(c+1) - 3 (c+1) ln`3][eqn: ge 0]

[eqn: 3(c+1) ge 4 over{ 4 - 3`ln`3],

[eqn: f(-1) = it -3(c+1)][eqn: le -4 over{ 4 - 3`ln`3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n = it -4], [eqn: m = 4], [eqn: | m Timesn |`= 16]

(가) [eqn: g′(2) = 0]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) ≥ 0]이다.

[eqn: g′(-1)]의 값이 최대가 되도록 하는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f(- 1)= {n}over{m - 3`ln`3}]일 때, [eqn: LEFT |` m TIMES n `RIGHT |]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 정수이고, [eqn: ln`3]은 [eqn: 1<ln`3<1.1]인 무리수이다.) [4점]

2020학년도 사관학교 1차시험 [가형] 해설

1	⑤	2	①	3	④	4	③	5	①
6	④	7	②	8	⑤	9	⑤	10	①
11	③	12	⑤	13	②	14	②	15	③
16	②	17	④	18	③	19	④	20	①
21	⑤	22	12	23	6	24	149	25	20
26	450	27	14	28	9	29	7	30	16