수학 영역 (나형)

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수학 영역 (나형)

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16

2019학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(나 형)

5지선다형

함수 [eqn: f(x)= LEFT ( `x ^{2} +2x` RIGHT ) LEFT ( 2x+1 ^{`} RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: f`prime(1)`]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: f`'(x) = (2x+2) (2x+1) + 2(x^2 + 2x)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f``'(1)= 4 TIMES3+2 TIMES3 = 18]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {an ^{2} +2} over {3n(2n-1)-n ^{2}} `} =3`]을 만족시키는 상수 [eqn: a`]의 값은? [2점]

①

[eqn: lim_n->inf{ a n^2 +2} over{ 5n^2 - 3n} = a over5 = 3], [eqn: THEREFORE] [eqn: a = 15]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

자연수 [eqn: 7`]을 [eqn: 3`]개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? [2점]

③

[eqn: 7 = 5+1+1 = 4+2+1 = 3+3+1 = 3+2+2]

[eqn: THEREFORE] 4 가지

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

다항함수 [eqn: f(x)`]가
[eqn: lim _{h` -> `0} {` {f(1+2h)-3} over {h} `} =3`]
을 만족시킬 때, [eqn: f(1)+f`prime(1)`]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: lim_h->0 { f(1+2h) -3} over h = lim_h->0 { f(1+2h) - 3} over2h TIMES2 = 3]

[eqn: f(1)=3], [eqn: 2f``'(1) = 3],

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(1)+ f`'(1)= 3 + 3 over2 = 9 over2]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT } `]에 대하여
[eqn: a _{2} `a _{4} =2`a _{5} `],	[eqn: a _{5} =a _{4} +12`a _{3}]
일 때, [eqn: log _{`2} `a _{10} `]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: a_n =a r^n-1] [eqn: ( a>0, ``r >0)]라고 하면

[eqn: (ar )(ar^3 ) = 2(ar^4 )], [eqn: ( ar^4 ) = (ar^3 ) + 12( ar^2 )]

[eqn: a = 2], [eqn: r^2 = r + 12],

[eqn: r = 4], [eqn: a_10 = ar^9 = 2 Times 4^9 = 2^19]

[eqn: THEREFORE] [eqn: log_2 a_10 = log_2 2^19 = 19]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여

②

[eqn: {\P}(A capB) = {\P}(A) {\P}(B|A)],

[eqn: {\P}(A cup B)= {\P}(A)+ {\P}(B) - {\P}(A cap B)]

[eqn: 4 over5 = 1 over2 + 2 over5 - 1 over2 {\P}(B|A)],

[eqn: THEREFORE] [eqn: {\P}(B|A)= 1 over5]

[eqn: rm P( it A)= {1} over {2} `],   [eqn: rm P( it B`)= {2} over {5} `],   [eqn: rm P( it A CUP B`)= {4} over {5} `]

일 때, [eqn: rm P( it B``|`A)`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {10} `]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]	④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{`` {a _{n} +2} over {2} _{`} _{`} ~&LEFT ( `a _{n} `은~짝수` RIGHT ) _{{}_{`}} `#`` {a _{n} -1} over {2} ~&LEFT ( `a _{n} `은~홀수` RIGHT )}}]
를 만족시킨다. [eqn: a _{1} =20`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} `]의 값은? [3점]

④

주어진 관계식에 [eqn: n = 1], 2, 3, [eqn: cdots]를 차례로 대입하면

[eqn: n]	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[eqn: a_n]	20 11 5 2 2 2 2 2 2 2

[eqn: sum_k=1^10 a_k = 20 + 11+ 5+ 2 TIMES7 = 50]

① [eqn: 38]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 46]	④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 54]

연속확률변수 [eqn: X`]가 갖는 값의 범위가 [eqn: 0 LEQ X LEQ 4`]이고, [eqn: X`]의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: rm P LEFT ( it {1} over {2} LEQ X LEQ 3` RIGHT ) `]의 값은?

③

확률밀도함수의 정의와 삼각형의 닮음으로 부터

[eqn: rm P it left (0 LEQ X LEQ {1} over {2} right )= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} rm P it (0 LEQ X LEQ 2)][eqn: = 1 over16 TIMES 1 over2 = 1 over32]

[eqn: {\P}(3 le X le 4 ) = left( 1 over2 right)^2 {\P}( 2 le X le 4)][eqn: = 1 over4 TIMES 1 over2 = 1 over8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {\P} left( 1 over2 le X le 3 right) = 1 - 1 over32 - 1 over8 = 27 over32]

[3점]

① [eqn: {25} over {32}]	② [eqn: {13} over {16}]	③ [eqn: {27} over {32}]	④ [eqn: {7} over {8}]	⑤ [eqn: {29} over {32}]

등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT } `]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 하자. [eqn: S _{`5} =a _{1} `], [eqn: S_10 = 40`]일 때, [eqn: a _{10} `]의 값은? [3점]

②

[eqn: a_1 = a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: S_5 = {5 "{"a+ (a+4d)"}"} over2 = 5(a+2d) = a], [eqn: 4a + 10d = 0], [eqn: 2a+ 5d = 0]

[eqn: S_10 = { 10"{"a+ (a+9d)"}"} over2 = 5(2a+9d) = 40], [eqn: 2a+9d = 8]

[eqn: d = 2],ㅡ [eqn: a = -5], [eqn: THEREFORE] [eqn: a_10 = a+ 9d = -5 + 18 = 13]

① [eqn: 10`]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 16`]	④ [eqn: 19`]	⑤ [eqn: 22`]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(`0 LEQ Z LEQ z`)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

모평균이 [eqn: 85`], 모표준편차가 [eqn: 6`]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16`]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X``}} `]라 할 때,
[eqn: rm P LEFT ( it ` {bar{X``}} GEQ k` RIGHT ) `=0.0228]
을 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

③

[eqn: barX]는 N[eqn: left( 85,`` 9 over4 right)]를 따른다.

[eqn: {\P}( barX ge k )= 0.0228 = {\P}(Z ge 2)]

[eqn: k-85 over{ 3 over2 } = 2],

[eqn: THEREFORE] [eqn: k = 85 + 3 = 88]

① 86	② 87	③ 88	④ 89	⑤ 90

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: g(x)`]에 대하여
[eqn: lim _{x` -> `0+} {{g(x)} over {f(x)} `} =1`],     [eqn: lim _{x` -> `1-} {f(x-1)`g(x)`} =3]
일 때, [eqn: g(2)`]의 값은? [3점]

④

[eqn: lim_x->0+ f(x) = -1], [eqn: lim_x->0+ g(x) overf(x) = - g(0) =1], [eqn: g(0) = -1]

[eqn: lim_x->1- f(x-1) = lim_x->0- f(x) = 1],

[eqn: lim_x->1- f(x-1) g(x) = g(1) = 3]

[eqn: g(x)= x^2 + ax+b] 라 놓으면 [eqn: b = -1], [eqn: 1+a+b = 3] 이므로

[eqn: a = 3], [eqn: g(x)= x^2 + 3x-1],

[eqn: THEREFORE] [eqn: g(2)= 4 + 6 -1 = 9]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

일차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: y= {f(x)+5} over {2-f(x)} `]의 그래프의 점근선은 두 직선 [eqn: x=4], [eqn: y=it-1`]이다. [eqn: f(1) =5`]일 때, [eqn: f(2)`]의 값은? [3점]

①

점근선이 [eqn: x = 4]이므로 [eqn: 2 - f(4)=0], [eqn: f(4)= 2]

[eqn: f(x)= ax+b] 라 하면, [eqn: f(4)= 4a+b = 2], [eqn: f(1) = a+b = 5]

[eqn: a = -1], [eqn: b = 6], [eqn: f(x)= -x+6],

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(2)= -2 + 6 = 4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건
[eqn: p`:``x ^{2} +ax-8>0`],
[eqn: q`:``|`x-1``| LEQ b]
가 있다. [eqn: SIM p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: b-a`]의 값은? [3점]

④

[eqn: q] : [eqn: 1-b le x le 1+b] ,  [eqn: SIM p] : [eqn: x^2 + ax-8 le 0]

[eqn: (1-b) + (1+b) = -a], [eqn: (1-b)(1+b) = -8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a = -2], [eqn: b = 3], [eqn: b-a = 3-(-2) = 5]

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

다항함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: f(x)= {3} over {4} x ^{2} + LEFT ( int _{0} ^{1} {f(x)} `dx` RIGHT ) ^{2}]
을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)} `dx`]의 값은? [4점]

②

[eqn: int_0^1 f(x) dx = a] 라 하면, [eqn: f(x)= 3 over4 x^2 + a^2]

[eqn: a = int_0^1 left( 3 over4 x^2 + a^2 right) dx][eqn: = left[ 1 over4 x^3 + a^2 x right]_0^1 = a^2 + 1 over4]

[eqn: a^2 - a + 1 over4 = left( a - 1 over2 right)^2 = 0], [eqn: a = 1over2], [eqn: f(x)= 3 over4 x^2 + 1 over4]

[eqn: int_0^2 f(x) dx = int_0^2 left( 3 over4 x^2 + 1 over4 right) dx][eqn: = left[ 1 over4 x^3 + 1 over4 x right]_0^2 = 5 over2]

① [eqn: {9} over {4}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {11} over {4}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {13} over {4}]

전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5,``6,``7,``8 RIGHT } `]의 두 부분집합
[eqn: A= LEFT { 3,``4 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 4,``5,``6 RIGHT } `]에 대하여 [eqn: U``]의 부분집합 [eqn: X``]가
[eqn: A CUP X`=X`],	[eqn: (`B`-A`) SMALLINTER X= LEFT { `6` RIGHT }]
을 만족시킨다. [eqn: n(`X``)=5`]일 때, 모든 [eqn: X``]의 개수는? [4점]

③

[eqn: A cup X= X] 에서 [eqn: A subset X], [eqn: 3 in X], [eqn: 4 in X]

[eqn: B-A= "{"5,``6"}"], [eqn: (B-A) cap X= "{"6"}"]에서 [eqn: 5 ninX], [eqn: 6 in X]

[eqn: n(X) = 5]이므로, [eqn: "{"1, `2,`7,`8"}"] 중에서 2개의 원소를 더 채운다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm `_4 C_2 = 6]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 삼차함수 [eqn: y=n(x ^{3} -3x ^{2} )+k`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의 개수가 [eqn: 3`]이 되도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} `a _{n} `]의 값은? [4점]

④

[eqn: n(x^3 - 3x^2 ) + k = 0]

[eqn: x^3 - 3x^2 = - k overn]

[eqn: y = x^3 - 3x^2]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 [eqn: -4 < - k overn < 0]

[eqn: 0 < k < 4n], [eqn: a_n = 4n-1]

[eqn: sum_n=1^10 a_n = sum_n=1^10 ( 4n-1) = 4 TIMES55 - 10 = 210]

① [eqn: 195]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 205]	④ [eqn: 210]	⑤ [eqn: 215]

그림과 같이 두 양수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 함수
[eqn: f(x)=a sqrt {x+5} +b`]의 그래프와 역함수 [eqn: f ^{`-1} (x)`]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rmA`]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rm B(-1,``7)`]과 곡선 [eqn: y=f ^{`-1} (x)] 위의 점 [eqn: rmC`]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC`]는 [eqn: bar{rmAB}=bar{rmAC}`]인 이등변삼각형이다. 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이가 [eqn: 64`]일 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, 점 [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x`]좌표보다 작다.) [4점]

①

그림에서

[eqn: 4sqrt2 TIMES h = 64], [eqn: h = 8 sqrt2]

그러므로 A[eqn: (11,``11)]

[eqn: f(-1) = 2a +b = 7],

[eqn: f(11)= 4a+b = 11]

[eqn: a = 2], [eqn: b = 3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab = 6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

흰색 탁구공 [eqn: 3`]개와 주황색 탁구공 [eqn: 4`]개를 서로 다른 [eqn: 3`]개의 비어 있는 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]에 남김없이 넣으려고 할 때, 다음 조건을 만족시키도록 넣는 경우의 수는? (단, 탁구공을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.) [4점]

②

일단 A 상자에 흰 공 1개, 주황색 공 1개를 넣어 두고

나머지 흰 공 2개와 주황색 공 3개를 넣는 경우의 수를 구한다.

(i) A 상자에 흰 공이 2개 모두 넣은 경우

남은 주황색 3개를 3상자에 넣는 경우의 수는

[eqn: a+b+c = 3], [eqn: rm `_3 H_3 = `_5 C_3 = 10], [eqn: THEREFORE] 10

(ii) A 상자에 흰 공 1개를 넣고 남은 1개는 B 또는 C 에 넣은 경우

남은 주황색 3개 중  1개는 흰 공이 들어간 B 또는 C에 넣고

나머지 2개를 3상자에 넣는 경우의 수는

[eqn: a+b+c= 2], [eqn: rm `_3 H_2 = `_4 C_2 = 6], [eqn: THEREFORE] [eqn: 2TIMES6 = 12]

(iii) 2개의 흰 공 2개를 모두 B 또는 C에 넣는 경우

주황색 1개를 흰 공이 들어간 B 또는 C에 넣고

나머지 2개를 3상자에 넣는 경우의 수는 6, [eqn: THEREFORE] [eqn: 2TIMES6 = 12]

(iv) 흰 공 2개를 B와 C에 1개씩 나누어 넣은 경우

주황색 2개를 B와 C에 1개씩 넣고,

나머지 1개를 3상자에 넣는 경우의 수는 3, [eqn: THEREFORE] 3

[eqn: THEREFORE] [eqn: 10 + 12+ 12+ 3 = 37]

(가) 상자 [eqn: rmA`]에는 흰색 탁구공을 [eqn: 1`]개 이상 넣는다.

(나) 흰색 탁구공만 들어 있는 상자는 없도록 넣는다.

① [eqn: 35]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 39]	④ [eqn: 41]	⑤ [eqn: 43]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 [eqn: \A _{1`} B _{1} `C _{1} `D _{1} `]의 내부에 네 점 [eqn: \A_2], [eqn: \B_2], [eqn: \C_2], [eqn: rm D _{2} `]를 네 삼각형 [eqn: \A _{2} A _{1} B _{1}], [eqn: \`B _{2} B _{1} C _{1}],
[eqn: \C _{2} C _{1} D _{1}], [eqn: \D _{2} D _{1} A _{1} `]이 모두 한 내각의 크기가 [eqn: 150 DEG]인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 네 삼각형 [eqn: rm `A _{1`} A_2 D_2], [eqn: rm `B_1 B _{2} A _{2}], [eqn: rm `C _{1`} C _{2} B _{2}],
[eqn: rm `D _{1`} D _{2} C _{2} `]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자.
그림 [eqn: R _{`1} `]에서 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]의 내부에 네 점 [eqn: rm A _{3}], [eqn: rm B _{3}], [eqn: rm C _{3}], [eqn: rm D _{3} `]을 네 삼각형 [eqn: rm A _{3} A _{2} B _{2}], [eqn: rm `B _{3} B _{2} C _{2}], [eqn: rm C _{3} C _{2} D _{2}], [eqn: rm D _{3} D _{2} A _{2} `]가 모두 한 내각의 크기가 [eqn: 150 DEG]인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 네 삼각형 [eqn: rm `A _{2`} A _{3} D _{3}], [eqn: rm `B _{2} B _{3} A _{3}], [eqn: rm `C _{2`} C _{3} B _{3}], [eqn: rm `D _{2`} D _{3} C _{3} `]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2} `]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}} `]의 값은? [4점]

②

그림에서 정삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: 2a]라 하면

[eqn: sqrt3 a + a = sqrt2]

[eqn: 2a= sqrt {2} ( sqrt {3} rm -1)]

[eqn: `a ^{2`}][eqn: = 2 - sqrt3]

정삼각형의 넓이는 [eqn: sqrt3 over4 ( 2a)^2 = sqrt3 a^2]

[eqn: S_1 = 4 sqrt3 a^2][eqn: = 8sqrt3 - 12]

따라서 축소되는 닮음비는 [eqn: a]이므로

공비는 [eqn: `a ^{2`}][eqn: = 2 - sqrt3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_n->inf S_n = { 4sqrt3 a^2} over{1 - a^2}][eqn: = { 8sqrt3 - 12} over{ sqrt3 -1][eqn: = 6 - 2 sqrt3]

[eqn: R _{`1}]	[eqn: R _{`2}]

① [eqn: 5- {3} over {2} sqrt {3}]	② [eqn: 6-2 sqrt {3}]	③ [eqn: 7- {5} over {2} sqrt {3}]
④ [eqn: 8-3 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 9- {7} over {2} sqrt {3}]

[그림 [eqn: 1]]과 같이 [eqn: 5`]개의 스티커 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE`]는 각각 흰색 또는 회색으로 칠해진 [eqn: 9`]개의 정사각형으로 이루어져 있다. 이 [eqn: 5`]개의 스티커를 모두 사용하여 [그림 [eqn: 2]]의 [eqn: 45`]개의 정사각형으로 이루어진  모양의 판에 빈틈없이 붙여 문양을 만들려고 한다. [그림 [eqn: 3]]은 스티커 [eqn: rmB`]를  모양의 판의 중앙에 붙여 만든 문양의 한 예이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[그림 [eqn: 1]]

[그림 [eqn: 2]]

[그림 [eqn: 3]]

다음은 [eqn: 5`]개의 스티커를 모두 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 문양의 개수를 구하는 과정의 일부이다. (단,  모양의 판을 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

①

A와 E는 회전하면 모두 일치하고, - 1가지

B와 C는 회전하면 모두 놓인 모양이 다르고, - 4가지

D는 회전하여 다른 경우는 2가지이다. - 2가지

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

(i) 중앙에 A 또는 E 를 붙인 경우

나머지 4개는 원순열에 의하여 3! 인데,

각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1TIMES2 TIMES4 TIMES4][eqn: = 32]

그러므로 [eqn: 2TIMES3! TIMES32][eqn: = 384]

(ii) 중앙에 B 또는 C 를 붙인 경우

네 방향이 모두 상대적으로 다른 모양이므로

나머지 4개를 놓는 경우의 수는 4!

각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1TIMES1 TIMES2 TIMES4][eqn: = 8]

그러므로 [eqn: 2TIMES 4! TIMES8 = 384]

(iii) 중앙에 D 를 붙인 경우

나머지 4개는 회전하여 일치하는 경우가 2방향이므로 [eqn: 4! over2 = 12]

각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1TIMES1 TIMES4 TIMES4 = 16]

그러므로 [eqn: 12 TIMES16= 192]

따라서 서로 다른 문양의 개수는 [eqn: 384+384 + 192 = 960]

(가)[eqn: = a = 24], (나)[eqn: = b = 12], (다)[eqn: =c = 16]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b+c = 24+ 12+ 16 = 52]

모양의 판의 중앙에 붙이는 스티커에 따라 다음과 같이 [eqn: 3`]가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: rmA] 또는 [eqn: rmE`]를 붙이는 경우

나머지 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

이 각각에 대하여 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는

[eqn: 1 TIMES 2times4 TIMES 4]

그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 3! TIMES 32`]

(ⅱ) [eqn: rmB] 또는 [eqn: rmC`]를 붙이는 경우

나머지 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(가) _{`}^{{}^{`}} ~}} `]

이 각각에 대하여 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES 2 TIMES 4]

그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES ` {BOX{~(가) _{`}^{{}^{`}} ~}} ` TIMES 8`]

(ⅲ) [eqn: rmD`]를 붙이는 경우

나머지 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(나) _{`}^{{}^{`}} ~}}]

이 각각에 대하여 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는

[eqn: {BOX{~(다) _{`}^{{}^{`}} ~}}]

그러므로 이 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(나) _{`}^{{}^{`}} ~}} ` TIMES ` {BOX{~(다) _{`}^{{}^{`}} ~}} `]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]라 할 때,
[eqn: a+b+c``]의 값은? [4점]

① [eqn: 52]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 56]	④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 60]

실수 [eqn: k`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)`]가
[eqn: f(x)=x LEFT | `x-k` RIGHT |]
이다. 함수 [eqn: g(x)=x ^{2} -3x-4`]에 대하여 합성함수 [eqn: y=left(`g CIRC f`right)(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의 개수를 [eqn: h(k)`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

③

[eqn: (g CIRCf)(x) = (f(x))^2 - 3(f(x)) -4 = ( f(x) +1)(f(x) -4)][eqn: = 0]

이므로 [eqn: y = ( g CIRCf)(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점은

즉, 방정식 [eqn: (g CIRCf)(x) = 0]의 실근은 [eqn: f(x)= -1] 또는 [eqn: f(x)= 4]이다.

ㄱ. [eqn: k =2]일 때 [eqn: f(x) = x|x-2|]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 [eqn: h(2) = 2]이다.

ㄴ. [eqn: k = 5]일 때 [eqn: f(x)= x|x-5|]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 [eqn: h(k) =4]를 만족시키는

자연수 [eqn: k]의 최솟값은 5이다.

ㄷ. [eqn: k = -2], [eqn: k = 4] 일 때, [eqn: f(x) = x|x-k|]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 [eqn: h(k) = 3]을 만족시키는 [eqn: k]의 값의 합은

[eqn: (-2) + 4 = 2] 이다.

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: h(2)`=2] ㄴ. [eqn: h(k)=4`]를 만족시키는 자연수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 6`]이다. ㄷ. [eqn: h(k)=3`]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 2`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

[eqn: sqrt {3 root {4} of {27}} =3 ^{{q} over {p}} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

15

[eqn: sqrt {3 root {4} of {27}}][eqn: =` LEFT ( 3 TIMES 27^{1 over4} RIGHT)^{1 over2][eqn: = left( 3^{7 over4} right)^{1over2][eqn: = 3^{7 over8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q = 7 + 8 = 15]

[eqn: LEFT ( 3x ^{2} + {1} over {x} RIGHT ) ^{6} `]의 전개식에서 상수항을 구하시오. [3점]

135

상수항은 [eqn: rm `_6 C_2 it (3x^2 )^2 left( 1 overx right)^4 = 3^2 TIMES rm `_6 C_2 = 135]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{10} `(2k+1) ^{2} a _{k} =100`],	[eqn: sum _{k=1} ^{10} `k(k+1)a _{k} `=23]
일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} `a _{k} `]의 값을 구하시오. [3점]

8

[eqn: a_k = (2k+1)^2 a_k - 4 k(k+1) a_k] 이므로

[eqn: sum_k=1^10 a_k = sum_k=1^10 (2k+1)^2 a_k `-` 4 `sum_k=1^10 k(k+1) a_k]

[eqn: = 100 - 4 TIMES23][eqn: = 8]

함수
[eqn: f(x)= {cases{` {x ^{2} -8x+a} over {x-6} ~&(x != 6)#`~~~~~b ^{{}^{`}}&(x=6) ^{{}^{`}}}} `]
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

16

[eqn: lim_x->6 { x^2 - 8x+a} over x-6 = b] 이므로

[eqn: 6^2 - 8 TIMES6 +a = 0], [eqn: a = 12], [eqn: x^2 - 8x +a = (x-6)(x-2)]

[eqn: b = lim_x->6 (x-2) = 4],

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b = 12+4 = 16]

확률변수 [eqn: X``]가 가지는 값이 [eqn: 0`]부터 [eqn: 25`]까지의 정수이고,
[eqn: 0<p< {1} over {2} `]인 실수 [eqn: p`]에 대하여 [eqn: X``]의 확률질량함수는
[eqn: rm P( it X=x)= _{25} rm C it rm _{itx} `itp ^{it`x} (1-p) ^{25-x}] ([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: 25])
이다. [eqn: \V(itX`)=4`]일 때, [eqn: rm E left( it X ^{2}` right )`]의 값을 구하시오. [4점]

29

확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 B[eqn: left( 25,`` p)] 를 따른다.

[eqn: m = np = 25p], [eqn: 4 = np(1-p) = 25p(1-p)]

[eqn: p (1-p) = 4 over25 = 1 over5 TIMES 4 over5], [eqn: THEREFORE] [eqn: p = 1 over5]

[eqn: rm E it (X ^{2} )= rm V it (X)+m ^{2} =4+ LEFT ( 25 TIMES {1} over {5} RIGHT ) ^{2}][eqn: = 4 + 5^2 = 29]

곡선 [eqn: y=x ^{3} +x-3`]과 이 곡선 위의 점 [eqn: (1,``-1)`]에서의 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

31

[eqn: y`=`x ^{3} +x -3], [eqn: y``' = 3x^2 + 1]

접선은 [eqn: y=4x-5] 이므로

[eqn: x ^{3} +x-3=4x-5]

[eqn: x ^{3} -3x+2=(x-1) ^{2} (x+2)][eqn: = (x-1)^3 + 3(x-1)^2]

[eqn: S= int_-2^1 ( x-1)^2 (x+2) dx]

[eqn: = int_-2^1 "{" (x-1)^3 + 3(x-1)^2 "}" dx]

[eqn: = left[ 1 over4 (x-1)^4 + (x-1)^3 right]_-2^1]

[eqn: = - 81 over4 + 27][eqn: = 27 over4],

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q = 4+ 27 = 31]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하시오. [4점]

42

[eqn: f(x)=ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d] 라 놓자.

(가)에서 [eqn: f(-2)= 12], [eqn: -8a + 4b -2c + d = 12]

(나)를 계산하면 [eqn: 1 overx = t]라 하면 [eqn: x->inf]일 때

[eqn: t -> 0+] 이고 [eqn: x f left( 1 overx right) = 1 overt f(t)] 이다.

[eqn: lim_x->inf x f left( 1 overx right) + lim_x->0 f(x+1) overx][eqn: = lim_x->0 { f(x) + f(x+1)} overx][eqn: = 1]

이므로 [eqn: f(0) = 0], [eqn: f(1) = 0], [eqn: f`'(0)+ f`'(1)= 1] 이다.

[eqn: f`'(x) = 3ax^2 + 2bx + c] 이므로

[eqn: f(0) = d = 0], [eqn: f(1) = a+b+c+d = 0]

[eqn: f`'(0) + f`'(1)= c + (3a+2b+c) = 1]

이상을 연립하여 풀면 [eqn: a = 1], [eqn: b=3], [eqn: c=-4], [eqn: d = 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} -4x],

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(3)=27+27-12=42]

(가) [eqn: lim _{x` -> `-2} {{1} over {x+2} int _{-2} ^{x} {f(t)} `} dt=12]

(나) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {x`f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) `} + lim _{x` -> `0} {{f(x+1)} over {x}} =1]

그림과 같이 [eqn: 1`]열, [eqn: 2`]열, [eqn: 3`]열에 각각 [eqn: 2`]개씩 모두 [eqn: 6`]개의 좌석이 있는 놀이기구가 있다. 이 놀이기구의 [eqn: 6`]개의 좌석에 [eqn: 6`]명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF`]가 각각 한 명씩 임의로 앉을 때, 다음 조건을 만족시키도록 앉을 확률은 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

49

E, (A, B), F, (C, D) 의 순으로 자리를 정하여 앉히면 된다.

E 는 2열과 3열의 4자리 중 한 곳 -- 4가지

(A, B)는 E가 앉지 않은 열에 좌우 배치 -- [eqn: 2 Times 2 = 4] 가지

F는 E, (A, B)가 앉지 않은 2자리 중 한 곳 -- 2가지

(C, D) 는 남은 자리에 배치 -- 2가지

그러므로 조건을 만족하도록 앉는 경우의 수는 [eqn: 4TIMES4 TIMES2 TIMES2 = 64]

모든 경우의 수는 [eqn: 6! = 720]이므로, 구하려는 확률은

[eqn: 64 over720 = 4 over45],

[eqn: THEREFORE] [eqn: p + q = 45 + 4 = 49]

(가) 두 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]는 같은 열에 앉는다.

(나) 두 학생 [eqn: rmC], [eqn: rmD`]는 서로 다른 열에 앉는다.

(다) 학생 [eqn: rm E`]는 [eqn: 1`]열에 앉지 않는다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f` prime (0)=0`]인 사차함수 [eqn: f(x)`]가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g(t)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

21

주어진 조건으로 부터 [eqn: y = f(x)]는 그림과 같이 [eqn: x = -2], [eqn: x = 1] 일 때 각각 극솟값 [eqn: f(-2)= k], [eqn: f(1) = 30]을 갖는다. 또한 [eqn: f``'(0) = 0] 이다.

따라서 [eqn: f``'(x)= 4 x(x+2)(x-1) = 4x^3 + 4x^2 - 8x]

[eqn: f(x)= x^4 + 4 over3 x^3 - 4 x^2 + C`]

[eqn: f(1)= 1 + 4 over3 - 4 + C= 30], [eqn: C = 95 over3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)= x^4 + 4 over3 x^3 - 4x^2 + 95 over3]

[eqn: k = f(-2) = 16 - 32 over3 - 16 + 95 over3][eqn: = 21]

(가) 방정식 [eqn: f(x)=t`]의 실근이 존재하지 않을 때,

[eqn: g(t)=0`]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=t`]의 실근이 존재할 때,

[eqn: g(t)`]는 [eqn: f(x)=t`]의 실근의 최댓값이다.

함수 [eqn: g(t)`]가 [eqn: t=k], [eqn: t=it30``]에서 불연속이고
[eqn: lim _{t` -> `k+} {g(t)`} it = it -2] ,  [eqn: lim _{t` -> `30+} {g(t)`} =1]
일 때, 실수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k<30]) [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2019학년도 사관학교 1차시험 [나형] 해설

1	⑤	2	①	3	③	4	⑤	5	⑤
6	②	7	④	8	③	9	②	10	③
11	④	12	①	13	④	14	②	15	③
16	④	17	①	18	②	19	②	20	①
21	③	22	15	23	135	24	8	25	16
26	29	27	31	28	42	29	49	30	21