수학 영역 (나형)

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수학 영역 (나형)

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16

2018학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(나 형)

제 2 교시

전체집합 [eqn: U= LEFT { `1`,``2`,``3`,``4`,``5`,``6` RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A = left{`2`,``4`,``6` right}`], [eqn: B= LEFT { `3`,``4`,``5`,``6` RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A ^{C} SMALLINTER B`]의 모든 원소의 합은?

⑤

[eqn: A^C cap B = B-A =]{3,5},

[eqn: THEREFORE] [eqn: 3+5 = 8]

[2점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3 TIMES 4 ^{n} +3 ^{n}} over {4 ^{n+1} -2 TIMES 3 ^{n}}} `]의 값은? [2점]

②

[eqn: lim_n->inf { 3 TIMES4^n + 3^n} over{ 4^n+1 - 2 TIMES3^n } =lim_n->inf { 3 + left( 3over4 right)^n} over{ 4 - 2 left( 3 over4 right )^n][eqn: = 3 over4]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 3 over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5 over4]	⑤ [eqn: 3 over2]

다항함수 [eqn: f(x)`]에 대하여
[eqn: lim _{h` -> `0} {} {f(1+3h)-f(1)} over {2h} =6`]
일 때, [eqn: f` prime (1)`]의 값은? [2점]

②

[eqn: lim _{h` -> `0} {} {f(1+3h)-f(1)} over {2h} = lim_h->0 { f(1+3h) - f(1)} over3h cdot 3 over2`]

[eqn: = 3 over2 f`'(1) = 6],

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(1) = 4]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

서로 독립인 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여
[eqn: rmP(itA) = 1 over3`], [eqn: rm P( it A SMALLINTER B ^{C} `)= {1} over {5} `]
일 때, [eqn: rmP( it B`) `]의 값은? (단, [eqn: B^C`]은 [eqn: B`]의 여사건이다.) [3점]

③

[eqn: rm P( it A SMALLINTER B ^{C} `)= {\P}(A) {\P}(B^c ) = 1 over3 {\P}(B^C ) = {1} over {5} `]

[eqn: {\P}(B^c ) = 3 over5], [eqn: THEREFORE] [eqn: {\P} (B)= 2 over5]

① [eqn: 4 over15]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 2over5]	④ [eqn: 7 over15]	⑤ [eqn: 8 over15]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -4x] 위의 점 [eqn: (`-2`,``0`)`]에서의 접선의 기울기는?

⑤

[eqn: f`' (x)][eqn: = 3x^2 - 4], [eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(-2) = 12 - 4 = 8]

[3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f(x)= {bx+1} over {x+a} `]의 역함수 [eqn: y=f ^{`-1} (x)`]의 그래프가
점 [eqn: (`2`,``1`)`]에 대하여 대칭일 때, [eqn: a+b`]의 값은?
(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 [eqn: ab!=1`]인 상수이다.) [3점]

③

[eqn: y = f(x)]는 점근선의 교점인 [eqn: (-a`,``b)]에 대하여 대칭이다.

역함수 [eqn: y = f`^-1 (x)]는 [eqn: (b`,``-a)]에 대하여 대칭이므로

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b = (-1)+ (2)= 1]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 다음과 같다.

②

[eqn: lim _{x `-> `1+} {f(x)}`+ lim _{x` -> -2-} {f(x)}} `][eqn: = (-3) + (1)= -2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: rmO]

[eqn: -3]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: lim _{x `-> `1+} {f(x)}`+ lim _{x` -> -2-} {f(x)}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: log`6=a`], [eqn: log`15=b`]라 할 때, 다음 중 [eqn: log`2`]를 [eqn: a`], [eqn: b`]로 나타낸 것은? [3점]

④

[eqn: 2 = {60 over30} = {6 TIMES10} over{ 15 TIMES2] 이므로

[eqn: log2 = log10 + log6 - log15 - log2][eqn: = 1 +a-b - log2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: log2 = { a-b+1} over2]

① [eqn: 2a-2b+1 over3]	② [eqn: 2a-b+1 over3]	③ [eqn: a+b-1 over3]

④ [eqn: a-b+1 over2]	⑤ [eqn: a+2b-1 over2]

빨간 공 [eqn: 3`]개, 파란 공 [eqn: 2`]개, 노란 공 [eqn: 2`]개가 있다. 이 [eqn: 7`]개의 공을 모두 일렬로 나열할 때, 빨간 공끼리는 어느 것도 서로 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [3점]

④

파란 공 2개와 노란 공 2개를 먼저 나열한 후

양 끝과 사이 5곳 중 3곳을 택하여 빨간 공을 배치한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 4! over{ 2! 2!} TIMES `_5 {\C}_3 = 60]

① [eqn: 45]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 55]	④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 65]

함수
[eqn: f(x)= {cases{{sqrt {x+7} -a} over {x-2} _{`}&~(`x != 2) _{`}#~~~~````b ^{`}&~(`x=2) ^{`} `}}]
가 [eqn: x=2`]에서 연속일 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.)

①

[eqn: f(2)= lim_x->2 f(x)] 이므로  [eqn: b = lim_x->2 { sqrtx+7 -a} overx-2]

분모가 0 으로 수렴하므로 분자도 0 으로 수렴한다.

따라서 [eqn: a = 3]이고

[eqn: b= lim _{x -> 2} {} {sqrt {x+7} -3} over {x-2}][eqn: = lim_x->2 {x-2} over {(x-2) ( sqrtx+7 +3)}]

[eqn: = lim_x->2 1 over{ sqrtx+7 +3][eqn: = 1 over6],

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab = 1 over2]

[3점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3 over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5 over4]	⑤ [eqn: 3 over2]

집합 [eqn: X= LEFT {`2`,``4`,``6`,``8 `RIGHT } `]에서 [eqn: X`]로의 일대일 대응 [eqn: f(x)`]가
[eqn: f(6)-f(4)=f(2)`], [eqn: f(6)+f(4)=f(8)`]
을 모두 만족시킬 때, [eqn: (f circf)(6)+f^{`-1 } (4)`]의 값은? [3점]

①

[eqn: f(6) - f(4) = f(2)] 에서 [eqn: f(6) > f(4)], [eqn: f(6) > f(2)]

[eqn: f(6)+ f(4)= f(8)] 에서 [eqn: f(8) > f(6)], [eqn: f(8) > f(4)]

따라서 [eqn: f(8) = 8], [eqn: f(6) = 6], [eqn: f(4)= 2], [eqn: f(2)= 4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: (f CIRCf)(6) + f`^-1 (4)=6 + 2 = 8]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

점 [eqn: (`-2`,``2`)`]를 지나는 함수 [eqn: y= sqrt {ax} `]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b``]만큼 평행이동한 후 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 그래프가 점 [eqn: (`-8`,``5`)`]를 지날 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

④

점 [eqn: (-2`,``2)]에서 [eqn: 2 = sqrt-2a]이므로 [eqn: a = -2]

이제 그래프를 이동하면 [eqn: -y = sqrt{-2x} + b] 인데,

점 [eqn: (-8`,`5)]를 지나므로 [eqn: -5 = sqrt16 + b], [eqn: b = -9]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab = 18]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(`0 LEQ Z LEQ z`)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

다음 표는 어느 고등학교의 수학 점수에 대한 성취도의 기준을 나타낸 것이다.

성취도	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmC]	[eqn: rmD]	[eqn: rmE]
수학점수	[eqn: 89`]점 이상	[eqn: 79`]점 이상 [eqn: ～] [eqn: 89`]점 미만	[eqn: 67`]점 이상 [eqn: ～] [eqn: 79`]점 미만	[eqn: 54`]점 이상 [eqn: ～] [eqn: 67`]점 미만	[eqn: 54`]점 미만

예를 들어, 어떤 학생의 수학 점수가 [eqn: 89`]점 이상이면 성취도는 [eqn: rm A`]이고, [eqn: 79`]점 이상이고 [eqn: 89`]점 미만이면 성취도는 [eqn: rm B`]이다.
이 학교 학생들의 수학 점수는 평균이 [eqn: 67`]점, 표준편차가 [eqn: 12`]점인 정규분포를 따른다고 할 때, 이 학교의 학생 중에서 수학 점수에 대한 성취도가 [eqn: rm A] 또는 [eqn: rm B`]인 학생의 비율을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

③

수학점수를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 [eqn: rm N (67`,``12^2 )]을 따른다.

[eqn: {\P}(X ge 79) = {\P}(Z ge 1)][eqn: =][eqn: 0.5 - 0.3413 = 0.1587]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]

④ [eqn: 0.1915]	⑤ [eqn: 0.3085]

원점에서 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rm Q`]의 시각 [eqn: t`]([eqn: t ge0])에서의 속도를 각각 [eqn: f(t) `], [eqn: g(t)`]라 하면
[eqn: f(t)=t^2 +t`], [eqn: g(t) = 5t]
이다. 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]가 출발 후 처음으로 만날 때까지 점 [eqn: rmP`]가 움직인 거리는? [4점]

⑤

[eqn: t]초 후 두 점의 위치는 각각 [eqn: 1 over3 t^3 + 1 over2 t^2], [eqn: {5} over {2} t ^{2}]

위치가 같으므로 [eqn: 1 over3 t^3 + 1 over2 t^2 = 5 over2 t^2]

이것을 풀면 [eqn: t`=`6]이다.

[eqn: t`>0]일 때 각각의 점의 속도는 양수이므로, 점의 위치가 곧 움직인 거리이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 5 over2 TIMES 6^3 = 90]

① [eqn: 82]	② [eqn: 84]	③ [eqn: 86]	④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 90]

함수 [eqn: f(x)=4x ^{2} +ax`]에 대하여
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} kf` LEFT ( {k} over {2n} RIGHT ) `=2]
가 성립하도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값은? [4점]

⑤

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} kf` LEFT ( {k} over {2n} RIGHT ) `=][eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} k over n f` LEFT ( {k} over {2n} RIGHT )]

[eqn: = int_0^1 x f left( x over2 right) dx][eqn: = int_0^1 x left( x^2 + a over2 x right) dx]

[eqn: = int_0^1 left( x^3 + a over2 x^2 right) dx][eqn: = LEFT [ {x ^{4}} over {4} + {a} over {6} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = 1 over4 + a over6 = 2],

[eqn: THEREFORE] [eqn: a = 21 over2]

① [eqn: 19 over 2]	② [eqn: 39 over4]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 41 over4]	⑤ [eqn: 21 over2]

전체집합 [eqn: U= LEFT { `x`|`x`]는 [eqn: 7] 이하의 자연수[eqn: `right}]의 두 부분집합
[eqn: A= LEFT { `1`,``2`,``3` RIGHT }`], [eqn: B= LEFT {` 2`,``3`,``5`,``7 `RIGHT } `]에 대하여
[eqn: A SMALLINTER X != EMPTYSET `], [eqn: B SMALLINTER X != EMPTYSET `]을 모두 만족시키는 [eqn: U``]의 부분집합 [eqn: X``]의 개수는? [4점]

④

주어진 조건의 부정은 [eqn: A cap X = EMPTYSET]이거나 [eqn: B cap X= EMPTYSET] 이므로

i) [eqn: A cap X = EMPTYSET]인 경우는 [eqn: 2^4 = 16] 가지

ii) [eqn: B cap X= EMPTYSET]인 경우는 [eqn: 2^3 = 8] 가지이고

iii) [eqn: (A cup B) cap X = EMPTYSET]인 경우는 [eqn: 2^2 = 4]가지인데, i), ii)에 중복되어 있다.

[eqn: U`]의 모든 부분집합은 [eqn: 2^7 = 128] 개에서 위의 경우를 뺀다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 128 - ( 16 + 8 -4) = 108]

① [eqn: 102]	② [eqn: 104]	③ [eqn: 106]	④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 110]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 호 [eqn: rm AB`]를 이등분하는 점을 [eqn: rm M`]이라 하고 선분 [eqn: rm OM`]을 [eqn: 3:1`]로 외분하는 점을 [eqn: rm C`]라 하자. 선분 [eqn: rm OC`]를 대각선으로 하는 정사각형 [eqn: rm CDOE`]를 그리고, 정사각형의 내부와 반원의 외부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자. 그림 [eqn: R _{`1} `]에 두 선분 [eqn: rm CD`], [eqn: rm CE`]를 각각 지름으로 하는 두 반원을 정사각형 [eqn: rm CDOE`]의 외부에 그리고, 각각의 두 반원에서 그림 [eqn: R _{`1} `]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 두 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{`n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{`n} `}]의 값은? [4점]

③

[eqn: rm barOC = 3]이므로 [eqn: rm barOE = 3 over sqrt2], 즉 정사각형 OEDC 의 넓이는 [eqn: 9 over2]이고,

사분원의 넓이는 [eqn: pi]이므로, [eqn: S_1 = 9 over2 - pi]이다.

그리고 두번째 축소된 모양은 지름의 길이가 4에서 [eqn: 3 oversqrt2]인 반원이므로 줄어든 닮음비는 [eqn: 3 over{ 4 sqrt2}], 넓이의 비는 닮음비의 제곱이고, 2개 생긴다.

따라서 공비는 [eqn: 2 TIMES left( 3 over { 4 sqrt2 }right)^2 = 9 over16].

[eqn: lim_n->inf S_n = { 9 over2 - pi} over{ 1 - 9 over16}][eqn: = { 72 - 16pi} over 7]

① [eqn: {36 -8pi } over 5]	② [eqn: {58 -12pi } over 7]	③ [eqn: {72-16 pi } over {7}]
④ [eqn: {83-18pi } over8]	⑤ [eqn: {91- 20pi} over8]

그림과 같이 [eqn: 10`]개의 공이 들어 있는 주머니와 일렬로 나열된 네 상자 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`], [eqn: rmD`]가 있다. 이 주머니에서 [eqn: 2`]개의 공을 동시에 꺼내어 이웃한 두 상자에 각각 한 개씩 넣는 시행을 [eqn: 5`]회 반복할 때, 네 상자 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]에 들어 있는 공의 개수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]라 하자. [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]의 모든 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`,``c`,``d`)`]의 개수는? (단, 상자에 넣은 공은 다시 꺼내지 않는다.)[4점]

①

5회의 시행중 (A,B), (B,C), (C,D) 에 넣은 경우를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]라고 하면

[eqn: a = x], [eqn: b = x+y], [eqn: c = y+z], [eqn: d = z] 이다.

그리고 [eqn: x+y+z = 5] 이므로

[eqn: rm `_3 H_5 = `_7 C_2 = 21]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

[eqn: 1`]부터 [eqn: (2n-1)`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: (2n-1)`]장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: 3`]장의 카드를 택할 때, 택한 [eqn: 3`]장의 카드 중 짝수가 적힌 카드의 개수를 확률변수 [eqn: X```]라 하자. 다음은 [eqn: rm E(itX`)`]를 구하는 과정이다. (단, [eqn: n`]은 [eqn: 4] 이상의 자연수이다.)

정수 [eqn: k`(`0 LEQ k LEQ 3)`]에 대하여 확률변수 [eqn: X`]의 값이 [eqn: k`]일 확률은 짝수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: k`]장의 카드를 택하고, 홀수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: LEFT ( `` {BOX{~(가) _{`}^{` ^{`}} ~}} `-k`` RIGHT ) `]장의 카드를 택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이므로

[eqn: rm P( it X=0)][eqn: = {n(n-2)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=1)][eqn: = {3n(n-1)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=2)][eqn: = {BOX{~(나) _{`}^{`}^{`} ~}}]

[eqn: rm P( it X=3)][eqn: = {(n-2)(n-3)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

이다. 그러므로

[eqn: rm E( it X`)][eqn: =` sum _{k=0} ^{3} LEFT { k TIMES rm P( it X=k) RIGHT } ` rm][eqn: rm ={ {BOX{~(다) _{`}^{`}^{`} ~}}} over{it2n-1]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: a TIMES f(5) TIMES g(8)`]의 값은? [4점]

②

정수 [eqn: k`(`0 LEQ k LEQ 3)`]에 대하여 확률변수 [eqn: X`]의 값이 [eqn: k`]일 확률은

짝수 [eqn: n-1]개 중에서 [eqn: k]장의 카드를 택하고,

홀수 [eqn: n]개 중에서 [eqn: (3-k)]장의 카드를 택하는

경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이므로

[eqn: rm P( it X=0)][eqn: = { `_n {\C}_3} over{`_2n-1 {\C}_3][eqn: = {n(n-2)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=1)][eqn: = {` _{n} rm C it rm _{2} TIMES _n-1 {\C}_1 it} over {` _{2n-1} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {3n(n-1)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=2)][eqn: = {` _{n} rm C it rm _{1} TIMES _{n-1} rm C it _{2} it} over {` _{2n-1} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {3n(n-2)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=3)][eqn: = {` it _{n-1} rm C it rm _{3} it} over {` _{2n-1} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {(n-2)(n-3)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

이다. 그러므로

[eqn: rm E( it X`)][eqn: =` sum _{k=0} ^{3} LEFT { k TIMES rm P( it X=k) RIGHT } ` rm]

[eqn: = {3n(n-1)+6n(n-2)+3(n-2)(n-3)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: = { 3(n-1)} over 2n-1]

따라서 [eqn: a = 3], [eqn: f(n)][eqn: = {3n(n-2)} over {2(2n-1)(2n-3)}], [eqn: g(n)= 3(n-1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a f(5) g(8) =][eqn: 3 TIMES 5 over14 TIMES21 = 45 over2]

① [eqn: 22]	② [eqn: {45} over {2}]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 47 over2]	⑤ [eqn: 24]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: f(6)`]의 최댓값과 최솟값의 합은? [4점]

①

(가)로부터

[eqn: f(x)= (x-2)^2 (x-c)][eqn: = x^3 - (4+c)x^2 + (4+4c)x - 4c]

(나)에서

[eqn: f`'(x) = 3x^2 - 2(4+c)x + (4+4c)][eqn: ge -3]

[eqn: 3x^2 - 2(4+c)x + (7 + 4c) ge 0]

[eqn: D/4 = (4+c)^2 - 3(7 + 4c)][eqn: = c^2 -4c -5]

[eqn: = (c-5)(c+1) le 0], [eqn: -1 le c le 5]

[eqn: f(6) = 16(6-c)]의 최대와 최소는 각각 [eqn: c = -1], [eqn: c = 5]일 때 이므로

[eqn: 16(6+1) + 16(6-5) = 128]

(가) [eqn: f(2)=f`'(2)=0]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` prime (x) GEQ -3`]이다.

① [eqn: 128]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 160]	④ [eqn: 176]	⑤ [eqn: 192]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f(x) `]를 [eqn: f(x) = x^2 + 1 overn`]이라 하고 함수 [eqn: g(x)`]를
[eqn: g(x)= {cases{`(x-1)`f(x) _{` _{`}}&&(`x GEQ 1) _{` _{`}}#`(x-1) ^{2}` f(x) ^{` ^{`}}&&(`x<1`) ^{` ^{`}} `}}]
이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. [eqn: lim_x->1- g(x) overx-1 = lim_x->1- (x-1) f(x) = 0]

ㄴ. [eqn: n= 1] 이면 [eqn: f(x)= x^2 +1]이므로

[eqn: g(x) = Cases{ (x-1) (x^2 +1) ~~&(x ge 1)#(x-1)^2 (x^2 +1)~~&(x < 1)]

인데, [eqn: g(x) ge 0 = g(1)]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: x >1]에서는 [eqn: g(x)= (x-1) left( x^2 + 1 over n right)]은 증가함수이므로 극점은 없다.

[eqn: x < 1] 일 때는 [eqn: g(x) = (x-1)^2 left( x^2 + 1 overn right)] 에서

[eqn: g`'(x)= 2(x-1) left( x^2 + 1 overn right) + 2x ( x-1)^2]

[eqn: =2 (x-1) left( 2x^2 -x + 1 overn right)]

[eqn: x <1]인 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2x^2 - x + 1 overn][eqn: ge 0]이면 극점은 없다.

[eqn: 2x^2 - x + 1 overn][eqn: = 2 left( x - 1 over4 right)^2 + 1 overn - 1 over8 ge0]

따라서 [eqn: n le 8]이므로, 함수 [eqn: g(x)`]의 극점이 [eqn: x=1]일 때 한 개뿐인 경우 자연수 [eqn: n]의 개수는 8이다.

[4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x `->` 1-} {{g(x)} over {x-1} =0}`] ㄴ. [eqn: n=1`]일 때, 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x= 1`]에서 극솟값을 갖는다. ㄷ. 함수 [eqn: g(x)`]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 1`]인 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 5`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT (` 300`,`` {2} over {5}` RIGHT ) `]를 따를 때, [eqn: rm V( it X`)`]의 값을 구하시오. [3점]

72

[eqn: {\V}(X)= npq = 300 TIMES 2 over5 TIMES 3 over5 = 72]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{2} =14`], [eqn: a _{4} +a _{5} =23`]일 때,
[eqn: a _{7} +a _{8} +a _{9} `]의 값을 구하시오. [3점]

24

공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_4 + a_5 = (a_2 + 2d) + (a_2 + 3d)][eqn: = 14+2d + 14+3d]

[eqn: = 28 + 5d = 23], [eqn: d = -1]

따라서 [eqn: a_8 = a_2 + 6d = 14 - 6 = 8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_7 + a_8 + a_10 =3 a_8 = 24]

곡선 [eqn: y=x ^{3} `]과 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=8`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [3점]

12

직사각형의 넓이에서 [eqn: int_0^2 x^3 dx]를 뺀다

[eqn: THEREFORE][eqn: 16 - int_0^2 x^3 dx][eqn: = 16 - 4 = 12]

[eqn: LEFT ( x ^{n} + {1} over {x} RIGHT ) ^{10} `]의 전개식에서 상수항이 [eqn: 45`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. [3점]

4

[eqn: LEFT ( x ^{n} + {1} over {x} RIGHT ) ^{10} `]의 전개식의 일반항은 [eqn: `_10 {\C}_r (x^n )^r left( 1 overx right)^10-r][eqn: = `_10 {\C}_r x^nr+r-10]

그리고 [eqn: rm `_10 C_2 = `_10 C_8 \= 45]이므로

[eqn: r = 8]이라고 하면 [eqn: 8n+8-10=0], [eqn: r`=`1 over4]이므로 안됨

[eqn: r = 2]이면 [eqn: 2n+2-10=0] 에서 [eqn: n`=`4]이다.

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건
[eqn: p`:`-3 LEQ x<5`],  [eqn: q`:` k-2 <x le k+3]
에 대하여 명제
‘어떤 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: p`]이고 [eqn: q`]이다.’
가 참이 되도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수를 구하시오. [4점]

13

주어진 명제가 참이라고 하면 [eqn: P cap Q != EMPTYSET]이다.

따라서 구간의 경게점을 비교하면

[eqn: -3 le k+3], [eqn: k-2 < 5]

즉, [eqn: -6 le k < 7]이므로 정수 [eqn: k]의 개수는 13이다.

한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정육각형의 [eqn: 6`]개의 꼭짓점 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: 3`]개의 점을 택하여 이 [eqn: 3`]개의 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들 때, 이 삼각형의 넓이가 [eqn: root 3 over2] 이상일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

17

삼각형의 모양은 그림과 같은 세 종류이고, 그 넓이와 경우의 수는 다음과 같다.

[eqn: sqrt3 over4], 6개    [eqn: sqrt3 over2], 12개    [eqn: 3 over4 sqrt3], 2개

따라서 구하려는 확률은 [eqn: 12+2 over20 = 7 over10]이므로

[eqn: p+q =17]이다.

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n^{4 overk}]의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 개수를 [eqn: f(n)`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: f(6) =3`]이다. [eqn: f(n) =8`]을 만족시키는 [eqn: n`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

64

[eqn: n^{4 overk}]의 값이 자연수인 경우의 예로 [eqn: n= 6]이라고 하면

[eqn: 6^{4 overk]에서 [eqn: k = 1], 2, 4 인 3가지이므로 [eqn: f(6)]이다.

이것으로 부터 생각하기를 [eqn: n`]이 거듭제곱수인 경우를 관찰해 보자.

[eqn: n]이 소수 [eqn: m]의 완전제곱수이면 [eqn: (m^2 ) ^{ 4 overk } = m ^{ 8 overk] 에서

[eqn: k]는 8의 양의 약수인 1, 2, 4, 8 일 때이고 [eqn: f(n) = 4] 이다.

이것을 차례로 적용해 보면

[eqn: n]이 세제곱수이면 [eqn: 4TIMES3 = 12 = 2^2 TIMES 3]의 양의 약수의 개수 6

[eqn: n]이 네제곱수이면 [eqn: 4 TIMES 4=16=2 ^{4}]의 양의 약수의 개수 5

[eqn: n]이 5제곱수이면 [eqn: 4 TIMES 5=20=2 ^{2} TIMES 5]의 양의 약수의 개수 6

[eqn: n]이 6제곱수이면 [eqn: 4 TIMES 6=24=2 ^{3} TIMES 3]의 양의 약수의 개수 8

따라서 [eqn: f(n)=8]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 2 ^{6} = 64]이다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위에 두 점 [eqn: {\P}_n (`n`,``2n`)],
[eqn: rm Q it rm _{itn} (`it2n`,``2n`)`]이 있다. 선분 [eqn: rm P it rm _{n} rm Q it rm _{n} `]과 곡선 [eqn: y= {1} over {k} x ^{2} `]이 만나도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 개수를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{15} a_n`]의 값을 구하시오. [4점]

191

선분과 곡선의 위치관계로부터

[eqn: 1 overk n^2 le 2n le 1 overk 4n^2], [eqn: n over2 le k le 2n]

i) [eqn: n = 2m-1] (홀수)이면

[eqn: m le k le 4m-2], [eqn: a_n = a_2m-1 = 3m-1]

ii) [eqn: n = 2m] (짝수)이면

[eqn: m le k le 4m], [eqn: a_n = a_2m = 3m+1]

그러므로

[eqn: sum_n=1^15 a_n][eqn: = sum_m=1^8 ( 3m-1) + sum_m=1^7 (3m+1)][eqn: = 100 + 91][eqn: = 191]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmP _{itn}]

[eqn: y= {1} over {k} x ^{2}]

[eqn: rmO]

[eqn: n]

[eqn: 2n]

[eqn: 2n]

[eqn: rm Q _{it n rm}]

[eqn: a le 35`]인 자연수 [eqn: a `]와 함수 [eqn: f(x)= it-3x^4 +4x^3 +12x^2 +4`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를
[eqn: g(x)= left|`f(x)-a`right|]
라 할 때, [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=b`]([eqn: b>0])이 서로 다른 [eqn: 4`]개의 점에서 만난다.

(나) 함수 [eqn: LEFT | `g(x)-b` RIGHT | `]가 미분가능하지 않은 실수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 4`]이다.

두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [4점]

36

[eqn: f(x) = - 3x^4 + 4x^3 + 12x +4] 에서

[eqn: f`'(x)= - 12 x^3 + 12x^2 +12 = - 12x(x+1)(x-2)]

도함수의 부호와 함수의 증감으로부터 [eqn: y =f(x)]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

이제 [eqn: g(x) = left| f(x) - a right|], [eqn: y = f(x)]의 그래프를 [eqn: y = a]에서 접어 올린다음 [eqn: y = a]를 [eqn: x]축으로 본 그래프와 같다.

이때 [eqn: y = a]와 [eqn: y = f(x)]의 교점이 [eqn: y = f(x)]의 극점이 아니면 접힌 점은 모두 꺾이게 되어 미분가능하지 않다.

마찬가지로, [eqn: y = g(x)]에서 [eqn: y = b]에서 접어 올린다음 [eqn: y = b]를 [eqn: x]축으로 본 그래프가 [eqn: y= left| g(x) - b right|]인데, 것은 [eqn: y = f(x)]의 그래프를 [eqn: y = a], [eqn: y = a+b], [eqn: y = a-b] 라는 3곳에서 접은 것과 같다.

따라서 (가)에서 [eqn: y = a+b], [eqn: y = a-b]와 [eqn: y = f(x)]는 교점이 4개이고, (나)에서 [eqn: y = a], [eqn: y = a+b], [eqn: y = a-b]와 [eqn: y= f(x)]의 교점 중 4곳만 꺾어져서 미분가능하지 않은 점이라야 하고, 다른 점은 [eqn: y = f(x)]의 극점이다.

위의 결과를 다 만족하는 경우는 다음과 같은 두 가지이다.

ㄱ)                           ㄴ)

[eqn: a+b=36`,````a-b=9# a= {45} over {2} ``( != 자연수)`# b= {27} over {2}# THEREFORE `성립`안함]        [eqn: a+b=36`,````a-b=4# a=20``(자연수)`# b=16# THEREFORE `성립함]

ㄴ)에서 [eqn: a+b=36]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2018학년도 사관학교 1차시험 [나형] 해설

1	⑤	2	②	3	②	4	③	5	⑤
6	③	7	②	8	④	9	④	10	①
11	①	12	④	13	③	14	⑤	15	⑤
16	④	17	③	18	①	19	②	20	①
21	②	22	72	23	24	24	12	25	4
26	13	27	17	28	64	29	191	30	36