수학 영역 (가형)

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수학 영역 (가형)

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16

2018학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수학 영역(가 형)

제 2 교시

두 벡터 [eqn: {vec{a}}` =(`2`,``1`)], [eqn: {vec{b}}` =(`-1`,``k`)`]에 대하여 두 벡터 [eqn: {vec{a}} `], [eqn: veca -vecb``]가 서로 수직일 때, [eqn: k`]의 값은? [2점]

④

[eqn: {vec{a}} `= (2,``1)], [eqn: veca - vecb ` = ( 2,`1) - (-1,`k) = (3,`1-k)]

[eqn: veca cdot ( veca - vecb`) =][eqn: (2,`1) CDOT (3`,``1-k)=6+1-k=0],

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=7]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT (` 50`,`` it {1} over {4}` RIGHT ) `]을 따를 때, [eqn: rm V(4 it X`)`]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: rm V it (4X)=16 rm V it (X)=16npq][eqn: = 16 TIMES 50 TIMES 1 over4 TIMES 3 over4][eqn: =`150]

① [eqn: 50]	② [eqn: 75]	③ [eqn: 100]	④ [eqn: 125]	⑤ [eqn: 150]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} e ^{x-1} `]에 대하여 [eqn: f` prime (1)`]의 값은? [2점]

③

[eqn: f` prime (x) = 2x e^x-1 + x^2 e^x-1],

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(1) = 3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {3}} {tanx} `dx`]의 값은? [3점]

③

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {3}} {tanx} `dx`][eqn: = int_0^{pi over3} sinx overcosx dx][eqn: = left[ - ln | cosx| right]_0^{pi over3}][eqn: = ln2]

① [eqn: ln{`2}} over2]	② [eqn: {ln`3} over2]	③ [eqn: ln`2]	④ [eqn: ln`3]	⑤ [eqn: 2`ln`2]

좌표공간의 두 점 [eqn: rm A(`1`,``2`,``-1`)`], [eqn: rm B(`3`,``1`,``-2`)`]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점의 좌표는? [3점]

①

[eqn: rm {2B -A} = 2(3,`1,`-2) - (1,`2,`-1)][eqn: = (5,`0,`-3)]

① [eqn: (`5`,``0`,``-3`)]	② [eqn: (`5`,``3`,``-4`)]	③ [eqn: (`4`,``0`,``-3`)]

④ [eqn: (`4`,``3`,``-3`)]	⑤ [eqn: (`3`,``0`,``-4`)]

함수 [eqn: f(x)=a sin`bx+c``]([eqn: a>0`], [eqn: b>0])의 최댓값은 [eqn: 4`], 최솟값은 [eqn: -2`]이다. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+p RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]를 만족시키는 양수 [eqn: p`]의 최솟값이 [eqn: pi`]일 때, [eqn: abc`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 상수이다.) [3점]

①

최대, 최소에서 [eqn: a+c = 4], [eqn: -a +c = -2] 이므로 [eqn: a=3], [eqn: c = 1]이고

주기에서 [eqn: b = 2]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: abc = 6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: int _{1} ^{x} {(x-t)f(t)`dt} `=e ^{x-1} +ax ^{2} -3x+1]
을 만족시킬 때, [eqn: f(a)`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

⑤

주어진 등식에 [eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: 0 = 1 +a -3 +1] 이므로 [eqn: a = 1]

주어진 등식을 변형하여 미분하면

[eqn: x int_1^x f(t) dt - int_1^x t f(t) dt = e^x-1 + ax^2 - 3x +1]

[eqn: int_1^x f(t)dt + x f(x) - x f(x) = e^x-1 + 2ax - 3]

미분하면 [eqn: f(x)= e^x-1 + 2a],

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(a)= f(1) = 3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

그림과 같이 직선 [eqn: 3x+4y-2=0`]이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: tan LEFT ( {pi } over {4} + theta RIGHT ) `]의 값은? [3점]

②

[eqn: tan theta = - 3 over4], [eqn: tan pi over4 = 1]이므로

[eqn: tan left( pi over4 + theta right) ={ 1 - 3 over4} over{ 1 + 3 over4} = 1 over7]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: theta]

[eqn: 3x+4y-2=0]

[eqn: rmO]

① [eqn: 1 over14]	② [eqn: 1 over7]	③ [eqn: 3 over14]	④ [eqn: 2 over7]	⑤ [eqn: 5 over14]

함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT { f(x)`ln LEFT ( 1+ {1} over {2x} RIGHT ) RIGHT }} =4`]를 만족시킬 때,
[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f(x)} over {x-3}} `]의 값은? [3점]

②

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT { f(x)`ln LEFT ( 1+ {1} over {2x} RIGHT ) RIGHT }} =][eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT { f(x) over2x`ln LEFT ( 1+ {1} over {2x} RIGHT )^2x RIGHT }}][eqn: = 4] 에서

[eqn: lim_x->inf `ln left( 1 + 1 over2x right)^2x = 1]이므로 [eqn: lim_x->inf f(x) over2x = 4] 이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_x->inf f(x) overx-3 = lim_x->inf f(x) over2x TIMES 2x overx-3][eqn: = 8]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

상자 [eqn: rm A`]에는 흰 공 [eqn: 2`]개, 검은 공 [eqn: 3`]개가 들어 있고, 상자 [eqn: rmB`]에는 흰 공 [eqn: 3`]개, 검은 공 [eqn: 4`]개가 들어 있다. 한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 상자 [eqn: rmA`]를, 뒷면이 나오면 상자 [eqn: rmB`]를 택하고, 택한 상자에서 임의로 두 개의 공을 동시에 꺼내기로 한다. 이 시행을 한 번 하여 꺼낸 공의 색깔이 서로 같았을 때, 상자 [eqn: rmA`]를 택하였을 확률은? [3점]

④

한 번의 시행에서 꺼낸 공의 색깔이 같을 사건을 [eqn: E`],

[eqn: A`], [eqn: B] 상자인 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B`]라고 하면

[eqn: {\P}(E) =][eqn: rm P it (A SMALLINTER E)+ rm P it (B SMALLINTER E)]

[eqn: =][eqn: rm 1 over2 TIMES {` _2 C_2 + `_3 C_2 } over{`_5 C_2 } + 1 over2 TIMES { `_3 C_2 + `_4 C_2} over{ `_7 C_2][eqn: = {1} over {5} + {3} over {14}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {\P} (A | E ) ={ 1 over5} over { 1 over5 + 3 over14][eqn: = 14 over29]

① [eqn: 11 over29]	② [eqn: 12 over29]	③ [eqn: 13 over29]	④ [eqn: 14 over29]	⑤ [eqn: 15 over29]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(`0 LEQ Z LEQ z`)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

다음 표는 어느 고등학교의 수학 점수에 대한 성취도의 기준을 나타낸 것이다.

성취도	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmC]	[eqn: rmD]	[eqn: rmE]
수학점수	[eqn: 89`]점 이상	[eqn: 79`]점 이상 [eqn: ～] [eqn: 89`]점 미만	[eqn: 67`]점 이상 [eqn: ～] [eqn: 79`]점 미만	[eqn: 54`]점 이상 [eqn: ～] [eqn: 67`]점 미만	[eqn: 54`]점 미만

예를 들어, 어떤 학생의 수학 점수가 [eqn: 89`]점 이상이면 성취도는 [eqn: rm A`]이고, [eqn: 79`]점 이상이고 [eqn: 89`]점 미만이면 성취도는 [eqn: rm B`]이다.
이 학교 학생들의 수학 점수는 평균이 [eqn: 67`]점, 표준편차가 [eqn: 12`]점인 정규분포를 따른다고 할 때, 이 학교의 학생 중에서 수학 점수에 대한 성취도가 [eqn: rm A] 또는 [eqn: rm B`]인 학생의 비율을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

③

수학점수를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 [eqn: rm N (67`,``12^2 )]을 따른다.

[eqn: {\P}(X ge 79) = {\P}(Z ge 1)][eqn: =][eqn: 0.5 - 0.3413 = 0.1587]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]

④ [eqn: 0.1915]	⑤ [eqn: 0.3085]

좌표공간에서 점 [eqn: (`0`,``a`,``b`)`]를 지나고 평면 [eqn: x+3y-z=0`]에 수직인 직선이 구 [eqn: (x+1) ^{2} +y ^{2} +(z-2) ^{2} =1`]과 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]에서 만난다. [eqn: bar{rmAB} = 2`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

⑤

구의 지름의 길이가 2 이고 [eqn: rm barAB = 2]이므로

선분 AB는 구의 중심 [eqn: (-1`,`0`,`2)]를 지난다.

평면의 법선벡터가 직선 AB의 방향벡터이므로

직선 AB의 방정식은 [eqn: x+1 over1 = y over3 = z-2 over-1] 인데,

이것이 점 [eqn: (0,`a,`b)]를 지난다.

따라서 [eqn: 1 = a over3 = b-2 over-1],

[eqn: a = 3], [eqn: b = 1],

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b = 4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=ln {1} over {x} `][eqn: LEFT ( {1} over {e} LEQx LEQ 1 RIGHT ) `]과 직선 [eqn: x = 1 overe], 직선 [eqn: x = 1] 및 직선 [eqn: y=2`]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x`]축 위의 [eqn: x=t`][eqn: LEFT ( {1} over {e} LEQ t LEQ 1 RIGHT ) `]인 점을 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 [eqn: t`]인 직사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

④

단면의 넓이는 [eqn: S(t)=t(2+lnt)] 이므로 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V= int _{{1} over {e}} ^{1} {} t(2+lnt)dt]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} t ^{2} (2+lnt) RIGHT ] _{{1} over {e}} ^{1} - int _{{1} over {e}} ^{1} {} {1} over {2} tdt]

[eqn: =1- {1} over {2e ^{2}} - LEFT [ {1} over {4} t ^{2} RIGHT ] _{{1} over {e}} ^{1}]

[eqn: =1- {1} over {2e ^{2}} - {1} over {4} + {1} over {4e ^{2}}]

[eqn: = {3} over {4} - 1 over 4e^2]

[eqn: 1 overe]

[eqn: t]

[eqn: 1]

[eqn: y=ln 1 overx]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: y=2]

[eqn: rmO]

[eqn: t]

① [eqn: 1 over2 - 1 over3e^2]	② [eqn: 1 over2 - 1 over4e^2]	③ [eqn: 3 over4 - 1 over3e^2]

④ [eqn: 3 over4 - 1 over4e^2]	⑤ [eqn: 3 over4 - 1 over5e^2]

집합 [eqn: S`= LEFT { `a`,``b`,``c`,``d` RIGHT } `]의 공집합이 아닌 모든 부분집합 중에서 임의로 한 개씩 두 개의 부분집합을 차례로 택한다. 첫 번째로 택한 집합을 [eqn: A`], 두 번째로 택한 집합을 [eqn: B`]라 할 때,
[eqn: n LEFT ( A` RIGHT )`times `n LEFT ( B` RIGHT ) `=2 TIMES n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) `]가 성립할 확률은? (단, 한 번 택한 집합은 다시 택하지 않는다.) [4점]

③

[eqn: (A cap B) subset A], [eqn: (A cap B) subset B`]이므로

[eqn: n(A cap B) le n(A)], [eqn: n (A capB ) le n (B)]이다.

따라서 [eqn: n LEFT ( A` RIGHT )`times `n LEFT ( B` RIGHT ) `=2 TIMES n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) `]을 만족하는 경우는

i) [eqn: n(A) = 2], [eqn: n(B) = 1], [eqn: n(A cap B) = 1]

[eqn: B subset A] 이므로 [eqn: rm `_4 C_2 TIMES2 = 12]가지

ii) [eqn: n(A)= 1], [eqn: n(B) = 2], [eqn: n(A cap B) = 1]

[eqn: A subset B] 이므로 [eqn: rm 4TIMES `_3 C_1 = 12]가지

그리고 집합 [eqn: S`]의 공집합이 아닌 부분집합은 15개이므로

구하는 확률은 [eqn: {12+12} over {15 TIMES 14}][eqn: =`4 over {35}]이다.

① [eqn: 2 over35]	② [eqn: 3 over35]	③ [eqn: 4 over35]	④ [eqn: 1 over7]	⑤ [eqn: 6 over35]

평면 [eqn: alpha] 위에 있는 서로 다른 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]와 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 점 [eqn: rm P`]에 대하여 삼각형 [eqn: RMPAB]는 [eqn: {bar{rm PB it}}=4`], [eqn: ANGLE rm PAB= {pi } over {2} `]인 직각이등변삼각형이고, 평면 [eqn: rm PAB`]와 평면 [eqn: alpha `]가 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi } over {6} `]이다. 점 [eqn: rm P`]에서 평면 [eqn: alpha `]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 할 때, 사면체 [eqn: rm PHAB`]의 부피는? [4점]

④

직각이등변삼각형 PAB에서  [eqn: rmbarPB = 4], [eqn: rm barAP = barAB = 2sqrt2]

정사영의 길이에서  [eqn: rm barAH = barPA cos pi over6 = sqrt6]

삼수선의 정리에서 [eqn: rm ANGLE HAB = pi over2]이므로

[eqn: rm TRIANGLEABH = 1 over2 barAB barAH = 2sqrt3]

그리고 [eqn: rm barPH = barPA sin pi over6 = sqrt2]이다.

따라서 사면체 PHAB의 부피는

[eqn: V = rm 1 over3 ( TRIANGLEABH ) barPH =][eqn: {2 sqrt6} over3]

① [eqn: { sqrt {6}} over {6}]	② [eqn: {root6} over3]	③ [eqn: {root6} over2]

④ [eqn: {2 sqrt {6}} over {3}]	⑤ [eqn: {5root6} over6]

그림과 같이 [eqn: 10`]개의 공이 들어 있는 주머니와 일렬로 나열된 네 상자 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`], [eqn: rmD`]가 있다. 이 주머니에서 [eqn: 2`]개의 공을 동시에 꺼내어 이웃한 두 상자에 각각 한 개씩 넣는 시행을 [eqn: 5`]회 반복할 때, 네 상자 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]에 들어 있는 공의 개수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]라 하자. [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]의 모든 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`,``c`,``d`)`]의 개수는? (단, 상자에 넣은 공은 다시 꺼내지 않는다.) [4점]

①

5회의 시행중 (A,B), (B,C), (C,D) 에 넣은 경우를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]라고 하면 [eqn: a = x], [eqn: b = x+y], [eqn: c = y+z], [eqn: d = z] 이다.

그리고 [eqn: x+y+z = 5] 이므로 중복조합으로부터

[eqn: rm `_3 H_5 = `_7 C_2 = 21]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

[eqn: 1`]부터 [eqn: (2n-1)`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: (2n-1)`]장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: 3`]장의 카드를 택할 때, 택한 [eqn: 3`]장의 카드 중 짝수가 적힌 카드의 개수를 확률변수 [eqn: X```]라 하자. 다음은 [eqn: rm E(itX`)`]를 구하는 과정이다. (단, [eqn: n`]은 [eqn: 4] 이상의 자연수이다.)

정수 [eqn: k`(`0 LEQ k LEQ 3)`]에 대하여 확률변수 [eqn: X`]의 값이 [eqn: k`]일 확률은 짝수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: k`]장의 카드를 택하고, 홀수가 적혀 있는 카드 중에서 [eqn: LEFT ( `` {BOX{~(가) _{`}^{` ^{`}} ~}} `-k`` RIGHT ) `]장의 카드를 택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이므로

[eqn: rm P( it X=0)][eqn: = {n(n-2)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=1)][eqn: = {3n(n-1)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=2)][eqn: = {BOX{~(나) _{`}^{`}^{`} ~}}]

[eqn: rm P( it X=3)][eqn: = {(n-2)(n-3)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

이다. 그러므로

[eqn: rm E( it X`)][eqn: =` sum _{k=0} ^{3} LEFT { k TIMES rm P( it X=k) RIGHT } ` rm][eqn: rm ={ {BOX{~(다) _{`}^{`}^{`} ~}}} over{it2n-1]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: a TIMES f(5) TIMES g(8)`]의 값은? [4점]

②

정수 [eqn: k`(`0 LEQ k LEQ 3)`]에 대하여 확률변수 [eqn: X`]의 값이 [eqn: k`]일 확률은

짝수 [eqn: n-1]개 중에서 [eqn: k]장의 카드를 택하고,

홀수 [eqn: n]개 중에서 [eqn: (3-k)]장의 카드를 택하는

경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이므로

[eqn: rm P( it X=0)][eqn: = { `_n {\C}_3} over{`_2n-1 {\C}_3][eqn: = {n(n-2)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=1)][eqn: = {` _{n} rm C it rm _{2} TIMES _n-1 {\C}_1 it} over {` _{2n-1} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {3n(n-1)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=2)][eqn: = {` _{n} rm C it rm _{1} TIMES _{n-1} rm C it _{2} it} over {` _{2n-1} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {3n(n-2)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: rm P( it X=3)][eqn: = {` it _{n-1} rm C it rm _{3} it} over {` _{2n-1} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {(n-2)(n-3)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

이다. 그러므로

[eqn: rm E( it X`)][eqn: =` sum _{k=0} ^{3} LEFT { k TIMES rm P( it X=k) RIGHT } ` rm]

[eqn: = {3n(n-1)+6n(n-2)+3(n-2)(n-3)} over {2(2n-1)(2n-3)}]

[eqn: = { 3(n-1)} over 2n-1]

따라서 [eqn: a = 3], [eqn: f(n)][eqn: = {3n(n-2)} over {2(2n-1)(2n-3)}], [eqn: g(n)= 3(n-1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a f(5) g(8) =][eqn: 3 TIMES 5 over14 TIMES21 = 45 over2]

① [eqn: 22]	② [eqn: {45} over {2}]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 47 over2]	⑤ [eqn: 24]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자.

(가) 한 변의 길이가 [eqn: n`]이고 네 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 자연수이다.

(나) 두 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x`], [eqn: y=log _{`16} `x`]와 각각 서로 다른 두 점에서 만난다.

[eqn: a_3 + a_4`]의 값은? [4점]

①

한 변의 길이가 3이거나 4인 꼭짓점의 좌표가 모두 자연수인 정사각형의 변은 그림과 같이 좌표축에 평행인 것뿐이다.

네 꼭짓점의 좌표를 그림과 같이 두면,

P는 [eqn: y = log_2 x] 위에, Q는 [eqn: y = log_16 x]아래에 있을 때 조건 (나)를 만족한다.

따라서 [eqn: log_2 a < b+n], [eqn: b < log_16 (a+n)]

즉, [eqn: a < 2^b+n], [eqn: a+n > 2^4b] 이므로 [eqn: 2 ^{4b} -n<a<2 ^{b+n}]이다.

i) [eqn: n = 3]이면 [eqn: 2 ^{4b} -3 < a < 2^b+3] 에서

[eqn: b = 1]이면 [eqn: 16-3 < a < 16] -- [eqn: a =]14, 15

[eqn: b ge2]이면 [eqn: 2^4b -3 > 2^b+3]이므로 불가능, [eqn: THEREFORE] [eqn: a_3 = 2]

ii) [eqn: n= 4]이면 [eqn: 2 ^{4b} -4<a<2 ^{b+4}] 에서

[eqn: b=1`]이면 [eqn: 16-4 < a < 32] -- [eqn: a =]13, [eqn: cdots] , 31

[eqn: b ge2]이면 [eqn: 2 ^{4b} -4>2 ^{b+4}]이므로 불가능, [eqn: THEREFORE] [eqn: a _4 = 19]

i),ii)에서

[eqn: THEREFORE] [eqn: a_3 + a_4 = 2 + 19 = 21]

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]	④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t`]([eqn: t>0])에서의 위치 [eqn: (`x`,``y`)`]가
[eqn: x=t ^{3} +2t`], [eqn: y=ln ( t ^{2}+1)]
이다. 점 [eqn: rm P`]에서 직선 [eqn: y=it-x`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: t=1`]일 때, 점 [eqn: rm Q`]의 속력은? [4점]

②

P에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 H, 직선 PQ와 [eqn: x]축의 교점을 R라 하면

[eqn: rm barRH = barPH =][eqn: ln(t^2 +1)], [eqn: rm barOR =][eqn: ( t^3 + 2t) - ln(t^2 +1)]

[eqn: rm barOQ = 1 oversqrt2 barOR][eqn: =][eqn: 1 over sqrt2 left( t^3 + 2t - ln (t^2 +1) right)]

점 Q는 직선 [eqn: y = -x]위를 운동한다. 속도는

[eqn: d overdt rm barOQ][eqn: = 1 over sqrt2 left( 3t^2 + 2 - 2t over{ t^2 +1} right)]

[eqn: t =1]을 대입하면 속력은

[eqn: 4 over sqrt2 = 2 sqrt2]이다.

① [eqn: {3root2} over2]	② [eqn: 2root2]	③ [eqn: {5root2} over2]

④ [eqn: 3root2]	⑤ [eqn: {7root2} over2]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB it}} =2`], [eqn: {bar{rm BC it}} =2 sqrt {3}`], [eqn: rmANGLE ABC= {pi} over {2} `]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rmCA] 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE ABP= theta `]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB`] 위의 점 [eqn: rmO`]를 중심으로 하고 두 선분 [eqn: rmAP`], [eqn: rmBP`]에 동시에 접하는 원의 넓이를 [eqn: f( theta )`]라 하자. 이 원과 선분 [eqn: rmPO`]가 만나는 점을 [eqn: rmQ`]라 할 때, 선분 [eqn: rmPQ`]를 지름으로 하는 원의 넓이를 [eqn: g( theta )`]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> ``0+} {} {f( theta )+g( theta )} over {theta ^{2}} `]의 값은? [4점]

⑤

두 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R`( theta )], [eqn: r( theta )] [eqn: (`R( theta )>r( theta )`)]이라 하자.

[eqn: rm barAB = barAO + barOB =][eqn: {2} over {sqrt {3}} R( theta )+ {R( theta )} over {sin` theta }][eqn: = 2]

[eqn: `R( theta )= {2 sqrt {3} sin` theta } over {2sin` theta + sqrt {3}} ``]

[eqn: THEREFORE ```f( theta )= pi R( theta ) ^{2}]

[eqn: rm ANGLE APO= ANGLE BPO= {pi } over {3} - {theta } over {2}] 이므로

[eqn: {bar{OP}} `= {R( theta )} over {sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )}]

[eqn: {bar{PQ}} `= {bar{OP`}} `-` {bar{OQ`}} `]

[eqn: = {R( theta )} over {sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} -R( theta )= LEFT ( {1-sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} over {sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} RIGHT ) `R( theta )]

[eqn: `r( theta )=` {{bar{PQ`}}} over {2} = LEFT ( {1-sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} over {2sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} RIGHT ) `R( theta )]

[eqn: THEREFORE ```g( theta )= pi ` LEFT ( {1-sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} over {2sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} RIGHT ) ^{2} `R( theta ) ^{2}]

[eqn: lim _{theta ` -> ``0+} {} {f( theta )+g( theta )} over {theta ^{2}} `][eqn: = lim _{theta ` -> ``0+} {} pi ` {R( theta ) ^{2} +r( theta ) ^{2}} over {theta ^{2}} `]

[eqn: = lim _{theta ` -> ``0+} {} pi {R( theta ) ^{2}} over {theta ^{2}} LEFT { 1+ LEFT ( {1-sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} over {2sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = lim _{theta ` -> ``0+} {} pi ` {sin` ^{2} theta } over {theta ^{2}} ` LEFT ( {2 sqrt {3}} over {2sin` theta + sqrt {3}} RIGHT ) ^{2} LEFT { 1+ LEFT ( {1-sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} over {2sin` LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = pi TIMES 1 ^{2} TIMES 2 ^{2} TIMES LEFT { 1+ LEFT ( {1- {sqrt {3}} over {2}} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = {19-4 sqrt {3}} over {3} pi]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm P]

[eqn: theta]

[eqn: rm O]

[eqn: rm Q]

① [eqn: {17-5root3} over3 pi]	② [eqn: {18-5root3} over3 pi]	③ [eqn: {19-5root3} over3 pi]
④ [eqn: {18-4 sqrt {3}} over {3}pi]	⑤ [eqn: {19-4 sqrt {3}} over {3} pi]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 한 개의 주사위를 반복하여 던져서 나오는 눈의 수에 따라 다음과 같은 규칙으로 [eqn: a_n`]을 정한다.

(가) [eqn: a _{1} =0`]이고, [eqn: a_n`]([eqn: n ge2])는 세 수 [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1] 중 하나이다.

(나) 주사위를 [eqn: n`]번째 던져서 나온 눈의 수가 짝수이면
[eqn: a _{n+1} `]은 [eqn: a _{n} `]이 아닌 두 수 중에서 작은 수이고,
홀수이면 [eqn: a _{n+1} `]은 [eqn: a _{n} `]이 아닌 두 수 중에서 큰 수이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

③

그림과 같이 줄을 따라 갈 때 마다 확률이 [eqn: 1 over2]이다.

ㄱ. [eqn: a_2 = 1]인 경우는 [eqn: 0 -> 1]한가지 이므로 그 확률은 [eqn: 1 over2]이다.

ㄴ. [eqn: a_3 = 1]인 경우는 [eqn: 0->-1 ->1] 이므로 확률은 [eqn: 1 over4]이다.

[eqn: a_3 = -1]인 경우도 마찬가지로 확률은 [eqn: 1 over4]이다.

[eqn: a_4 = 0]인 경우는 [eqn: a_3 = -1]또는 [eqn: a _3 = 1]에서 온 것이므로

그 확률은 [eqn: 1 over4 TIMES 1 over2 + 1 over4 TIMES 1over2 = 1 over4]이다.

ㄷ. [eqn: a_9 = 0]일 확률이 [eqn: p]이면

[eqn: a_9 =1], [eqn: a_9 = -1]일 확률은 각각 [eqn: 1-p over2]이다.

[eqn: a_11 = 0]인 경우는 [eqn: a_9 -> a_10 ->a_11]에서

[eqn: 0 ->(-1) ->0], [eqn: 0 -> (1) ->0], [eqn: 1 ->(-1)->0], [eqn: (-1) -> 1 ->0] 이므로

확률은 [eqn: 1 over4 p + 1 over4 p + 1 over4 TIMES 1-p over2 + 1 over4 TIMES 1-p over2][eqn: = 1+p over4] 이다.

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a _{2} =1`]일 확률은 [eqn: {1} over {2} `]이다. ㄴ. [eqn: a _{3} =1`]일 확률과 [eqn: a_4 =0`]일 확률은 서로 같다. ㄷ. [eqn: a _{9} =0`]일 확률이 [eqn: p`]이면 [eqn: a _{11} =0`]일 확률은 [eqn: {1-p} over {4}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: LEFT ( 2x+1) ^{5} ` RIGHT .]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} `]의 계수를 구하시오. [3점]

80

[eqn: rm `_5 C_3 TIMES 2^3 = 80]

직선 [eqn: y=it-4x`]가 곡선 [eqn: y= {1} over {x-2}` -a`]에 접하도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

16

[eqn: y = -4x]를 [eqn: y = 1 overx-2 -a]에 대입하여 정리하면

[eqn: -4x = 1 overx-2 -a], [eqn: 4x^2 - (8+a)x + (2a+1) = 0]

판별식에서

[eqn: D= (8+a)^2 - 16 ( 2a+1)][eqn: = a^2 - 16a +48 = 0]

따라서 두 개의 실수 [eqn: a]가 존재하고 그 합은 16이다.

좌표평면에서 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1```]의 두 초점을 [eqn: rm F(`itc`,``0`)`],
[eqn: rmF` prime (-itc`,``0`)`][eqn: (c>0)]이라 하자. 이 타원 위의 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rmP`]에 대하여 점 [eqn: rmF` prime`]을 중심으로 하고 점 [eqn: rmP`]를 지나는 원과 직선 [eqn: rmPF` prime`]이 만나는 점 중 [eqn: rmP`]가 아닌 점을 [eqn: rmQ`]라 하고, 점 [eqn: rm F`]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmP`]를 지나는 원과 직선 [eqn: rm PF`]가 만나는 점 중 [eqn: rmP`]가 아닌 점을 [eqn: rmR`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmPQR`]의 둘레의 길이를 구하시오.
[3점]

36

그림과 같이 삼각형 PQR의 둘레의 길이는 삼각형 PFF' 의 둘레의 길이의 두 배이다.

장축의 길이는 10이고, 초점거리는 8이다.

따라서 구하려는 둘레의 길이는 [eqn: 2TIMES(10 + 8) = 36] 이다.

도함수가 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)=it-f(x)`]이다.

(나) [eqn: f( pi )=0]

(다) [eqn: int _{0} ^{pi } {`x ^{2} f` prime` (x)} `dx=it-8 pi]

[eqn: int _{- pi } ^{pi } {(x+cos`x)f(x)}` dx=k pi `]일 때, [eqn: k`]의 값을 구하시오. [3점]

8

[eqn: y = f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: f(x)cosx]는 원점에 대하여 대칭이고

[eqn: x f(x)]는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: int _{- pi } ^{pi } {(x+cos`x)f(x)}` dx][eqn: = 2 int_0^pi x f(x) dx]이다.

[eqn: int_0^pi x^2 f`'(x) dx =][eqn: left[ x^2 f(x) right]_0^pi - 2 int_0^pi x f(x) dx]

[eqn: = 0 - 2 int_0^pi x f(x) dx][eqn: = -8 pi]

따라서  [eqn: 2 int _{0} ^{pi } {} xf(x)dx][eqn: = 8pi],

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=8]

한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정육각형의 [eqn: 6`]개의 꼭짓점 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: 3`]개의 점을 택하여 이 [eqn: 3`]개의 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들 때, 이 삼각형의 넓이를 확률변수 [eqn: X``]라 하자.
[eqn: rm P LEFT (` it X GEQ {sqrt {3}} over {2}` RIGHT )` = {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

17

삼각형의 모양은 그림과 같은 세 종류이고, 그 넓이와 경우의 수는 다음과 같다.

[eqn: sqrt3 over4], 6개    [eqn: sqrt3 over2], 12개    [eqn: 3 over4 sqrt3], 2개

따라서 구하려는 확률은 [eqn: 12+2 over20 = 7 over10]이므로

[eqn: p+q =17]

그림과 같이 [eqn: 7]개의 좌석이 있는 차량에 앞줄에 [eqn: 2`]개, 가운데 줄에 [eqn: 3`]개, 뒷줄에 [eqn: 2`]개의 좌석이 배열되어 있다. 이 차량에 [eqn: 1`]학년 생도 [eqn: 2`]명, [eqn: 2`]학년 생도 [eqn: 2`]명, [eqn: 3`]학년 생도 [eqn: 2`]명이 탑승하려고 한다. 이 [eqn: 7`]개의 좌석 중 [eqn: 6`]개의 좌석에 각각 한 명씩 생도 [eqn: 6`]명이 앉는다고 할 때, [eqn: 3`]학년 생도 [eqn: 2`]명 중 한 명은 운전석에 앉고 [eqn: 1`]학년 생도 [eqn: 2`]명은 같은 줄에 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하시오. [4점]

288

운전석에 2명의 3학년 중에서 한명을 앉히는 방법은 2가지

남은 자리 중 이웃하는 3가지에 1학년을 앉히는 방법은 [eqn: 3 TIMES 2=6]

또, 남은 4자리에 남은 3명을 앉히는 방법은 [eqn: 4!`=`24]

따라서 구하려는 경우의 수는 [eqn: 2TIMES6 TIMES24 = 288] 이다.

함수 [eqn: f(x)=(x ^{3} -a)e ^{x} `]과 실수 [eqn: t`]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=t`]의 실근의 개수를 [eqn: g(t)`]라 하자. 함수 [eqn: g(t)`]가 불연속인 점의 개수가 [eqn: 2`]가 되도록 하는 [eqn: 10] 이하의 모든 자연수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: lim_x->-inf{f(x) =0`]) [4점]

49

[eqn: f(x)= (x^3 -a) e^x]에서 [eqn: f`'(x)=( x^3 + 3x^2 -a) e^x]이므로

가눙한 극점의 개수는 1개 또는 3개 인데,

[eqn: lim_x->-inf f(x)= 0], [eqn: lim_x->inf f(x)= inf] 이므로 그래프의 개형은 극점에 개수에 따라 다음과 같다.

극점이 3개인 경우는 [eqn: g(t)]가 불연속인 점이 3곳이고

극점이 1개인 경우는 [eqn: g(t)]가 불연속인 점이 2곳이다.

따라서 주어진 조건을 만족하려면 극점이 1개일 때이다.

[eqn: f`'(x)]에서 [eqn: h(x)=x ^{3} +3x ^{2} -a]의 값의 부호의 변화가 1번만 생길 때이다.

[eqn: h(x)]에 대하여 살펴보면

[eqn: h` prime (x) = 3x^2 + 6x][eqn: = 3x(x+2)]

이므로 위의 조건을 만족하려면 [eqn: h(0) h(-2) ge0]이다.

[eqn: h(0) h(-2)= a(a-4) ge0], [eqn: a le0] 또는 [eqn: a ge 4]

그러므로 10이하의 자연수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: 4 +5+6+7+8+9+10 = 49]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정삼각형 [eqn: rmABC`]와 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 선분 [eqn: rmAB`]와 직선 [eqn: rmBC`]에 동시에 접하는 원 [eqn: O``]가 있다. 원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: rmP]와 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmQ`]에 대하여
[eqn: rm {vec{AP}} BULLET rm {vec{AQ}} ``]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: a+b root3 `]이다. [eqn: a^2 + b^2`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이고, 원 [eqn: O`]의 중심은 삼각형 [eqn: rmABC`]의 외부에 있다.) [4점]

40

원의 중심을 O라 하면

[eqn: rm vecAP = vecAO + vecOP]이므로

[eqn: rm vecAP cdot vecAQ = ( vecAO + vecOP ) cdot vecAQ] [eqn: = rm vecAO cdot vecAQ + vecOP cdot vecAQ]

여기서 [eqn: rm vecAO cdot vecAC le vecAO cdot vec AQ le vecAO cdot vecAB]

그림에서 [eqn: rm barBM = 1 over sqrt3], [eqn: rm barOD = { sqrt3 +1} over sqrt3],

[eqn: rm barAD = sqrt3 -1]이므로

[eqn: rm vecAO = left( - { sqrt3 +1} over sqrt3 `,` 1 - sqrt3 right)]

[eqn: rm vecAB = left( -1`,`` - sqrt3 right)], [eqn: rm vecAC = left( 1,`` - sqrt3 right)]

[eqn: rm vecAO cdot vecAC = 2 - 4 over3 sqrt3], [eqn: rm vecAO cdot vecAB = 4 - 2 over3 sqrt3]

또, [eqn: rm vecOP cdot vecAQ = left| vecAQ right| cos theta] 이므로 [eqn: -2 le rm vecOP cdot vecAQ le 2]

따라서 최댓값은 [eqn: left( 4 - 2 over3 sqrt3 right) +2 = 6 - 2 over3 sqrt3]

최솟값은 [eqn: left( 2 - 4 over3 sqrt3 right) -2 = - 4 over3 sqrt3]

이므로 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: a + b sqrt3 =][eqn: 6 - 2 sqrt3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a^2 + b^2 = 36 +4 = 40]

[eqn: O]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm A]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} -ax-a`]의 역함수가 존재할 때, [eqn: f(x) `]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 하자. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n times g` prime (n)= 1`]을 만족시키는 실수 [eqn: a`]의 개수를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{27} a _{n} `]의 값을 구하시오. [4점]

30

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} -ax-a`]의 역함수가 존재하려면

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)= 3x^2 + 2ax -a ge 0] 이다.

따라서 [eqn: D/4 = a^2 + 3a = a(a+3) le0], [eqn: -3 le a le 0]

이제 [eqn: f(k) = n]이라고 하면 [eqn: g(n) = k]이고

[eqn: n TIMES g`'(n) = n over{ f`'(k) } = f(k) over{ f`'(k)} = 1]

이므로 [eqn: n TIMES g`'(n) =1]을 만족시키는 경우는

[eqn: f(k)= f`'(k)][eqn: = n]

그러므로 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: -3 le a le 0], [eqn: f(k)= f`'(k)][eqn: = n]

을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 개수를 알아보면 된다.

[eqn: f(k) = f`'(k)]에서

[eqn: k^3 + ak^2 - ak -a = 3k^2 + 2ak - a]

[eqn: k^3 + (a - 3)k^2 - 3ak = 0], [eqn: k(k-3)(k+a) = 0]

따라서 [eqn: k = 0] 또는 3 또는 [eqn: -a]인데,

각각에 대하여 [eqn: f`'(k) = n] 을 풀면

i) [eqn: k = 0] 이면 [eqn: -a = n]

ii) [eqn: k = 3] 이면 [eqn: 27 + 5a = n]

iii) [eqn: k = -a] 이면 [eqn: a^2 - a = n]

이제 자연수 [eqn: n]에 대하여 위의 등식  i), ii), iii) 을 만족하는 실수 [eqn: a] ([eqn: -3 le a le 0])의 개수를 구해본다.

그림에서와 같이

[eqn: a_1 = a_2 = a_3 = 2], [eqn: a_4 = a_5 = cdots = a_27 = 1] 이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum_n=1^27 a_n = 30]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2018학년도 사관학교 1차시험 [가형] 해설

1	④	2	⑤	3	③	4	③	5	①
6	①	7	⑤	8	②	9	②	10	④
11	③	12	⑤	13	④	14	③	15	④
16	①	17	②	18	①	19	②	20	⑤
21	③	22	80	23	16	24	36	25	8
26	17	27	288	28	49	29	40	30	30