◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2017학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: LEFT ( 2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{- {4} over {3}} RIGHT ) ^{-2} `]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: LEFT ( 2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{- {4} over {3}} RIGHT ) ^{-2} `= LEFT ( 2 ^{-1} RIGHT ) ^{-2} =4]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {3 ^{n} +2 ^{n+1}} over {3 ^{n+1} -2 ^{n}} `]의 값은? [2점]

①

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {3 ^{n} +2 ^{n+1}} over {3 ^{n+1} -2 ^{n}} `= lim _{n` -> ` INF } {} {1+2( {2} over {3} ) ^{n}} over {3-( {2} over {3} ) ^{n}} `= {1} over {3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( n,``` {1} over {4} RIGHT ) `]을 따르는 확률변수 [eqn: X``]의 평균이 [eqn: 5`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값은? [2점]

②

[eqn: E(X)=n TIMES {1} over {4} =5]   [eqn: THEREFORE n=20]

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건
[eqn: p``:``x ^{2} -(2+a)x+2a LEQ 0`]
[eqn: q``:``x ^{2} -2x-15 LEQ 0`]
에 대하여 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 정수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

③

[eqn: p:`(x-2)(x-a) LEQ 0```` RARROW ````a LEQ x LEQ 2`] 또는 [eqn: 2 LEQ x LEQ a]

[eqn: q`:``(x-5)(x+3) LEQ 0```` RARROW ````-3 LEQ x LEQ 5]

[eqn: THEREFORE ``-3 LEQ a LEQ 5]

그러므로, 만족하는 정수 [eqn: a]의 개수는 9개이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

함수 [eqn: f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

④

[eqn: lim _{x` -> `1-} {} f(x)+ lim _{x` -> `0+} {} f(x-2)`][eqn: =2-1=1]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: -2]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: 3]

[eqn: lim _{x` -> `1-} {} f(x)+ lim _{x` -> `0+} {} f(x-2)`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

한 개의 주사위를 던질 때 짝수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A`], 소수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B``]라 하자. [eqn: rm P it (B``|`A)- rm P it (B``|`A ^{C} `)`]의 값은? (단, [eqn: A^C`]은 [eqn: A`]의 여사건이다.) [3점]

①

[eqn: P` LEFT ( B``□`A` RIGHT ) -P` LEFT ( `B``□`A ^{C} RIGHT ) = {P` LEFT ( B SMALLINTER A RIGHT )} over {P(A)} - {P` LEFT ( B SMALLINTER A ^{C} ` RIGHT )} over {P(A ^{C} `)} = {1} over {3} - {2} over {3} =- {1} over {3}]

① [eqn: - 1over3]	② [eqn: - 1over6]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 1over3]

[eqn: 1`]이 아닌 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 등식
[eqn: log _{`3} `a= {1} over {log _{`b} `27}]
이 성립할 때, [eqn: log _{`a} `b ^{2} +log _{`b} `a ^{2} `]의 값은? [3점]

②

[eqn: log _{`3} `a= {1} over {log _{`b} `27} =log` _{27} b= {1} over {3} `log` _{3} b]

[eqn: THEREFORE `log` _{a} b= {log` _{3} b} over {log` _{3} a} =3]

준식[eqn: =2`log` _{a} b+ {2} over {log` _{a} b} =2 TIMES 3+ {2} over {3} = {20} over {3}]

① [eqn: 6]	② [eqn: {20} over {3}]	③ [eqn: {22} over {3}]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: {26} over {3}]

함수 [eqn: f(x)=x(x-3)(x-a)`]의 그래프 위의 점 [eqn: (0,```0)`]에서의 접선과 점 [eqn: (3,```0)`]에서의 접선이 서로 수직이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은? [3점]

④

[eqn: f`'(x)=x(x-3)+x(x-a)+(x-3)(x-a)]

[eqn: f`'(0)=3a]

[eqn: f`'(3)=3(3-a)]

[eqn: f`'(0) TIMES f` prime (3)=3a TIMES 3(3-a)=-1]

정리하면 [eqn: 9a ^{2} -27a-1=0]

근과 계수관계에서 [eqn: a]값의 합은 [eqn: {27} over {9} =3]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

주머니 속에 흰 공이 [eqn: 5`]개, 검은 공이 [eqn: 3`]개 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4`]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나오는 검은 공의 개수를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. [eqn: rm E it (X`)`]의 값은? [3점]

①

[eqn: X]	0	1	2	3	계
[eqn: P]	[eqn: {5} over {70}]	[eqn: {30} over {70}]	[eqn: {30} over {70}]	[eqn: {5} over {70}]	1

[eqn: E(X)= {(0+30+60+15)} over {70} = {105} over {70} = {3} over {2}]

① [eqn: 3 over 2`]	② [eqn: {7} over {4}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {9} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

집합 [eqn: A= LEFT { 1,```3,```5,```7,```9 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: P``]를
[eqn: LEFT . P`= LEFT { {x _{1}} over {10} + {x _{2}} over {10 ^{2}} + {x _{3}} over {10 ^{3}} RIGHT | `x _{1} IN A,```x _{2} IN A,```x _{3} IN A RIGHT } `]
라 하자. 집합 [eqn: P``]의 원소 중 [eqn: 41`]번째로 큰 원소는
[eqn: {a} over {10} + {b} over {10 ^{2}} + {c} over {10 ^{3}} `]이다. [eqn: a+b+c`]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: x _{1} =9] 이면, [eqn: x _{2} `], [eqn: x _{3} `] 각각 5가지 = 25가지

[eqn: x _{1} =7] , [eqn: x _{2} `=9] 이면 : [eqn: x _{3} `] 5가지

[eqn: x _{1} =7] , [eqn: x _{2} `=7] 이면 : [eqn: x _{3} `] 5가지

[eqn: x _{1} =7] , [eqn: x _{2} `=5] 이면 : [eqn: x _{3} `] 5가지

여기까지 40번째 수이므로 41번째로 큰 수는

[eqn: x _{1} =7] , [eqn: x _{2} `=3] , [eqn: x _{3} `=9] 일 때 이다.

[eqn: THEREFORE a+b+c=7+3+9=19]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

두 학생 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]를 포함한 [eqn: 8`]명의 학생을 임의로 [eqn: 3`]명, [eqn: 3`]명, [eqn: 2`]명씩 [eqn: 3`]개의 조로 나눌 때, 두 학생 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 같은 조에 속할 확률은? [3점]

②

전체 경우의 수[eqn: = {{} _{8} C _{3} TIMES _{5} C _{3} TIMES _{2} C _{2}} over {2} =280]

A, B가 3명인 조에 속하는 경우의 수[eqn: = _{6} C _{1} TIMES _{5} C _{3} TIMES _{2} C _{2} =60]

A, B가 2명인 조에 속하는 경우의 수[eqn: = _{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3} ÷2!``=10]

A, B가 같은 조에 속할 확률[eqn: = {60+10} over {280} = {1} over {4}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

어느 공장에서 생산하는 군용 위장크림 [eqn: 1`]개의 무게는 평균이 [eqn: m`], 표준편차가 [eqn: sigma `]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산하는 군용 위장크림 중에서 임의로 택한 [eqn: 1`]개의 무게가 [eqn: 50] 이상일 확률은 [eqn: 0.1587`]이다.
이 공장에서 생산하는 군용 위장크림 중에서 임의추출한 [eqn: 4`]개의 무게의 평균이 [eqn: 50] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 g이다.) [3점]

①

[eqn: P`(X GEQ 50)=P(z GEQ {50-m} over {sigma } )=0.1857]

[eqn: THEREFORE {50-m} over {sigma } =1]

[eqn: P`( bar{X} GEQ 50)=P(z GEQ {50-m} over {{sigma } over {2}} )=P(z GEQ 2)=0.0228]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]
④ [eqn: 0.3085]	⑤ [eqn: 0.4332]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식
[eqn: x ^{4} -4x ^{3} +12x GEQ 2x ^{2} +a`]
가 성립할 때, 실수 [eqn: a`]의 최댓값은? [3점]

③

[eqn: x ^{4} -4x ^{3} -2x ^{2} +12x GEQ a] 에서

[eqn: f(x)=x ^{4} -4x ^{3} -2x ^{2} +12x] 라 두면

[eqn: f`'(x)=4(x+1)(x-1)(x-3)=0]

[eqn: f(-1)=f(3)=-9] 이므로 [eqn: f(x)]의 최솟값은 -9

[eqn: THEREFORE `-9 GEQ a]

① [eqn: -11]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -9]	④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -7]

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,```3,```4,```5 RIGHT } `]에 대하여 두 함수 [eqn: f``:``A``` -> ```B`], [eqn: g``:``B``` -> ```A`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(3)=5`], [eqn: g(2)=3`]

(나) 어떤 [eqn: x inB`]에 대하여 [eqn: g(x)=x`]이다.

(다) 모든 [eqn: x inA`]에 대하여 [eqn: (`f CIRC g CIRC f`)(x)=x+1`]이다.

[eqn: f(1)+g(3)`]의 값은? [4점]

②

가)에서 [eqn: f(3)=5,```g(2)=3]

나)에서 [eqn: g(4)=4]

다)에서

[eqn: x=4`] 대입하면 [eqn: f(4)=2]

[eqn: x=1`] 대입하면 [eqn: f(1)=4]

[eqn: x=3`] 대입하면 [eqn: g(5)=1]

[eqn: x=2`] 대입하면 [eqn: f(2)=3`,```g(3)=2]

[eqn: THEREFORE `f(1)+g(3)=4+2=6]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 하자.
[eqn: S _{6} -S _{3} =6`], [eqn: S _{12} -S _{6} =72`]
일 때, [eqn: a _{10} +a _{11} +a _{12} `]의 값은? [4점]

③

[eqn: a _{3n-2} +a _{3n-1} +a _{3n} =b _{n}] 이라 두면,

[eqn: b _{n}]은 등비수열이므로, 공비를 [eqn: r]이라 하자

[eqn: S _{6} -S _{3} =b _{2} =6]

[eqn: S _{12} -S _{6} =b _{3} +b _{4} =6r+6r ^{2} =72]    [eqn: THEREFORE r=3]

[eqn: a _{10} +a _{11} +a _{12} =b _{4} =6 TIMES 3 ^{2} =54]

① [eqn: 48]	② [eqn: 51]	③ [eqn: 54]	④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 60]

이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +mx-8`]이
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} `f` LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) `= lim _{n` -> ` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} `f` LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )]
를 만족시킬 때, 함수 [eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {} f(t)`dt`]는 [eqn: x=alpha`]에서 극소이다. [eqn: alpha`]의 값은? (단, [eqn: m`]은 상수이다.) [4점]

⑤

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx= int _{0} ^{1} {f(1+x)dx= int _{1} ^{2} {f(x)dx`}}}] 이 성립하려면

[eqn: f(x)]의 대칭축이 [eqn: x=1]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE `m=-2]

[eqn: f(x)=(x-4)(x+2)]에서

[eqn: x=4]까지의 적분값이 최소이고, 극소이다

[eqn: THEREFORE ` alpha =4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

주머니에 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 다섯 개의 구슬이 들어 있다. 주머니에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼내어 구슬에 적혀 있는 숫자를 확인한 후 다시 넣는다.
이와 같은 시행을 [eqn: 4`]회 반복하여 얻은 [eqn: 4`]개의 수 중에서 [eqn: 3`]개의 수의 합의 최댓값을 [eqn: N``]이라 하자. 다음은 [eqn: N` GEQ 14`]일 확률을 구하는 과정이다.

④

(ⅰ) 주어진 확률은

[eqn: {} _{4} C _{3} TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) = {16} over {625}]    [eqn: THEREFORE `(가)=16]

(ⅱ) 주어진 확률은

[eqn: {} _{4} C _{2} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} TIMES _{2} C _{1} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) TIMES _{1} C _{1} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) = {36} over {625}]    [eqn: THEREFORE `(나)=36]

(ⅲ) 구하는 확률은

[eqn: {1} over {625} + {16} over {625} + {6} over {625} + {36} over {625} = {59} over {625}]    [eqn: THEREFORE `(다)=59]

[eqn: THEREFORE `p+q+r=16+36+59=111]

(ⅰ) [eqn: N=15`]인 경우
[eqn: 5`]가 적힌 구슬이 [eqn: 4`]회 나올 확률은 [eqn: {1} over {625} `]이고,
[eqn: 5`]가 적힌 구슬이 [eqn: 3`]회, [eqn: 4] 이하의 수가 적힌 구슬 중
한 개가 [eqn: 1`]회 나올 확률은 [eqn: { {BOX{~(가)~}} } over {625} `]이다.

(ⅱ) [eqn: N=14`]인 경우
[eqn: 5`]가 적힌 구슬이 [eqn: 2`]회, [eqn: 4`]가 적힌 구슬이 [eqn: 2`]회 나올 확률은 [eqn: {6} over {625} `]이고,
[eqn: 5`]가 적힌 구슬이 [eqn: 2`]회, [eqn: 4`]가 적힌 구슬이 [eqn: 1`]회, [eqn: 3] 이하의 수가 적힌 구슬 중 한 개가 [eqn: 1`]회 나올 확률은
[eqn: {{BOX{~(나)~}}} over {625} `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 [eqn: {{BOX{~(다)~}}} over {625} `]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`]라 할 때,
[eqn: p+q+r`]의 값은? [4점]

① [eqn: 96]	② [eqn: 101]	③ [eqn: 106]	④ [eqn: 111]	⑤ [eqn: 116]

그림과 같이 함수 [eqn: f(x)= (x-1)^2`]의 그래프 위의 점 [eqn: rm A(3,```4)`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]라 하자. 직사각형 [eqn: rmOBAC`]의 내부에서 연립부등식 [eqn: {cases{`y LEQ f(x) _{`}#`y LEQ k` ^{`}}}]를 만족시키는 영역의 넓이를 [eqn: S_1`], 직사각형 [eqn: rmOBAC`]의 내부에서 연립부등식
[eqn: {cases{`y GEQ f(x)` _{`}#`y GEQ k` ^{`}}} `]를 만족시키는 영역의 넓이를 [eqn: S_2`]라 하자. [eqn: S _{1} =S _{2} `]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: 1<k<4`]이다.) [4점]

③

[eqn: S _{1} ``=``S _{2} ``]이면 아래 직사각형 넓이와 [eqn: f(x)]의 윗부분 면적이 같다.

[eqn: 3k=12- int _{0} ^{3} {(x-1) ^{2} dx=9`}]

[eqn: THEREFORE `k=3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: rm][eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=k]

① [eqn: {7} over {3}]	② [eqn: 8 over 3`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 10 over 3`]	⑤ [eqn: {11} over {3}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6`]인 정사각형 [eqn: rmABCD`]가 있다. 두 선분 [eqn: rm AB`], [eqn: rmCD`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하자. 두 선분 [eqn: rmBC`], [eqn: rmAD] 위에 [eqn: {bar{rm ME it}} = {bar{rm MF it}} =bar{rmAB}`]가 되도록 각각 점 [eqn: rmE`], [eqn: rmF`]를 잡고, 중심이 [eqn: rmM`]인 부채꼴 [eqn: rm MEF`]를 그린다. 두 선분 [eqn: rmBC`], [eqn: rmAD] 위에 [eqn: {bar{rm NG it}} = {bar{rm NH it}} = {bar{rm AB it}} `]가 되도록 각각 점 [eqn: rmG`], [eqn: rmH`]를 잡고, 중심이 [eqn: rm N`]인 부채꼴 [eqn: rm NHG`]를 그린다. 두 부채꼴 [eqn: rmMEF`], [eqn: rmNHG`]의 내부에서 공통부분을 제외한 나머지 부분에 와 같이 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1} `]에서 두 부채꼴 [eqn: rmMEF`], [eqn: rmNHG`]의 공통부분인 마름모의 각 변에 꼭짓점이 있고, 네 변이 정사각형 [eqn: rmABCD`]의 네 변과 각각 평행한 정사각형을 그린다. 새로 그려진 정사각형에 그림 [eqn: R _{1} `]을 얻은 방법과 같은 방법으로 [eqn: 2`]개의 부채꼴을 각각 그린 다음 [eqn: 2`]개의 부채꼴의 내부에서 공통부분을 제외한 나머지 부분에 와 같이 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n} `]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `S _{n} `]의 값은? [4점]

①

[eqn: MN]의 중점을 [eqn: O], [eqn: HN]과 [eqn: FM]의 교점을 [eqn: P], [eqn: GN]과 [eqn: EM]의 교점을 [eqn: Q]라 하면

[eqn: OM=3`,``OP= sqrt {3} `,``MP=2 sqrt {3} `], [eqn: □MPNQ=6 sqrt {3}]

내접하는 정사각형의 한변[eqn: = {MN} over {sqrt {3} +1} = {6} over {sqrt {3} +1}]

[eqn: THEREFORE] 닮음비[eqn: = {1} over {sqrt {3} +1}], 공비는 [eqn: LEFT ( {1} over {1+ sqrt {3}} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: S _{1} =2(]부채꼴[eqn: MFE]-[eqn: □MPNQ)][eqn: =12( pi - sqrt {3} )]

[eqn: lim _{n-> INF } {S _{INF } `= {12( pi - sqrt {3} )} over {1- LEFT ( {1} over {1+ sqrt {3}} RIGHT ) ^{2}}} =8 sqrt {3} ( pi - sqrt {3} )]

[eqn: rm A] [eqn: rm B] [eqn: rm C] [eqn: rm D] [eqn: rm M] [eqn: rm E] [eqn: rm F] [eqn: rm N] [eqn: rm G] [eqn: rm H]
[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]

		[eqn: cdots]
	[eqn: R _{3}]	[eqn: cdots]

① [eqn: 8 sqrt {3} ( pi - sqrt {3} )]	② [eqn: 9 sqrt {3} ( pi - sqrt {3} )]
③ [eqn: 10 sqrt {3} ( pi - sqrt {3} )]	④ [eqn: 11 sqrt {3} ( pi - sqrt {3} )]
⑤ [eqn: 12 sqrt {3} ( pi - sqrt {3} )]

그림과 같이 직선 [eqn: y=x+k``][eqn: (3<k<9)`]가 곡선 [eqn: y= it -x ^{2} +9`]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]라 하고, [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmR`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이고, 점 [eqn: rmP`]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: rmQ`]의 [eqn: x`]좌표보다 크다.) [4점]

③

[eqn: -x ^{2} +9=x+k```` RARROW ````x ^{2} +x+k-9=0] 의 두 근 [eqn: alpha ,`` beta]는 [eqn: P,``Q`]의 [eqn: x]좌표

ㄱ) [eqn: {alpha + beta } over {2} =`- {1} over {2}]  (참)

ㄴ) [eqn: k=7]이면 [eqn: P`(1,8)`,``Q(-2,5)]

[eqn: QR]을 밑변으로 보면 높이가 2배이므로 넓이도 2배이다.  (참)

ㄷ) [eqn: OR=k`,`` alpha + beta =`-1`,`` alpha beta =k-9]

[eqn: TRIANGLE OPQ= TRIANGLE OPR+ TRIANGLE OPQ]

[eqn: = {1} over {2} LEFT | alpha RIGHT | k`+ {1} over {2} LEFT | beta RIGHT | k`= {1} over {2} LEFT | alpha - beta RIGHT | k````( BECAUSE ` alpha beta <0`)]

[eqn: = {1} over {2} k sqrt {1-4(k-9)}]

[eqn: = {1} over {2} sqrt {-4k ^{3} +37k ^{2}}]

여기서 [eqn: f(k)=-4k ^{3} +37k ^{2} `]이라 두면

[eqn: f`'(k)=-12k ^{2} +74k=0]

[eqn: k= {37} over {6}]일 때, [eqn: f(k)]는 최댓값을 가진다.

[eqn: THEREFORE `][eqn: k= {37} over {6}]일 때, [eqn: TRIANGLE OPQ]의 넓이는 최대이다.   (거짓)

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: rm P]

[eqn: rm R]

[eqn: rm Q]

[eqn: y=it-x ^{2} +9]

[eqn: y=x+k]

		<보 기>
	ㄱ. 선분 [eqn: rmPQ`]의 중점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: - {1} over {2} `]이다. ㄴ. [eqn: k=7`]일 때, 삼각형 [eqn: rmORQ`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmOPR`]의 넓이의 [eqn: 2`]배이다. ㄷ. 삼각형 [eqn: rmOPQ`]의 넓이는 [eqn: k=6`]일 때 최대이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} -9x`]가 있다. 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수
[eqn: g(x)= {cases{``````f(x)&&(x<`a) _{`}#`t-f(x)&&(x GEQ a) ^{`}}} `]
가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 개수를 [eqn: h(t)`]라 하자. 예를 들어 [eqn: h(0)=3`]이다. [eqn: h(t)=3`]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: t`]의 개수는? [4점]

⑤

[eqn: x=a]에서 연속이므로

[eqn: f(a)=t-f(a)]  [eqn: THEREFORE `f(a)= {t} over {2}]

[eqn: h(t)]는 [eqn: f(a)= {t} over {2} `]를 만족하는 [eqn: a]의 개수이다.

[eqn: h(t)=3`]이려면 [eqn: y= {t} over {2}]가 [eqn: f(x)]의 극댓값, 극솟값 사이에 존재해야 한다.

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +6x-9=0] 에서 [eqn: x=-3`,````1]

[eqn: f(-3)=27`,````f(1)=-5] 이므로

[eqn: -5< {t} over {2} <27]

[eqn: -10<t<54]

[eqn: THEREFORE] 정수 [eqn: t]의 개수는 63개

① [eqn: 55]	② [eqn: 57]	③ [eqn: 59]	④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 63`]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{3} =1`], [eqn: a _{5} =7`]일 때, [eqn: a _{9} `]의 값을 구하시오. [3점]

19

[eqn: a _{n} =a+(n-1)d] 에 대입하면 [eqn: a=`-5`,``d=3]

[eqn: a _{9} =`-5+8 TIMES 3=19]

두 함수 [eqn: f(x)=4x+5`], [eqn: g(x)= sqrt {2x+1} `]에 대하여
[eqn: (`f CIRC g ^{-1} )(3)`]의 값을 구하시오. [3점]

21

[eqn: g ^{-1} (x)= {1} over {2} x ^{2} - {1} over {2}]

[eqn: f CIRC g ^{-1} (3)=f(4)=21]

이차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {} {f(x)} over {2x ^{2} -x-1} = {1} over {2} `]

(나) [eqn: ` lim _{x` -> `1} {} ` {f(x)} over {2x ^{2} -x-1} =4`]

[eqn: f(2)`]의 값을 구하시오. [3점]

13

(가)에서 [eqn: f(x)]의 2차항 계수는 1

(나)에서 [eqn: x=1]일 때, 분모가 0이 되므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x-1)]을 인수로 가진다.

[eqn: THEREFORE `f(x)=(x-1)(x+k)]

[eqn: lim _{x -> 1} {} {(x-1)(x+k)} over {(2x+1)(x-1)} = lim _{x -> 1} {} {(x+k)} over {(2x+1)} = {1+k} over {3} =4],    [eqn: THEREFORE `k=11]

[eqn: THEREFORE f(x)=(x-1)(x+11)]

[eqn: THEREFORE f(2)=13]

방정식 [eqn: (x+y+z)(s+t)=49`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`], [eqn: s`], [eqn: t`]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z,```s,```t)`]의 개수를 구하시오. [3점]

90

[eqn: x+y+z GEQ 3`], [eqn: s+t GEQ 2] 이므로 준식을 만족하는 자연수 순서쌍은

[eqn: `x+y+z=7`,``s+t=7] 이다.

[eqn: THEREFORE ` _{3} H _{4} ` TIMES _{2} H _{5} `=90]

사관학교에서는 사관생도들에게 세 국가 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]에서 해외 파견 교육을 받을 수 있도록 하고 있다. 해외 파견 교육 대상 사관생도를 선발하기 위해 희망자를 조사하였더니 하나 이상의 국가를 신청한 사관생도의 수가 [eqn: 70`]명이었고, 그 결과는 다음과 같았다.

(가) [eqn: rm A] 또는 [eqn: rmB`]를 신청한 사관생도는 [eqn: 43`]명이다.

(나) [eqn: rm B] 또는 [eqn: rmC`]를 신청한 사관생도는 [eqn: 51`]명이다.

(다) [eqn: rm A`]와 [eqn: rmC`]를 동시에 신청한 사관생도는 없다.

[eqn: rmB`]를 신청한 사관생도의 수를 구하시오. [4점]

24

[eqn: n(A CUP B CUP C)=70]

[eqn: n(C-(A CUP B))=27] ,  [eqn: n(B CUP C)=51] ,  [eqn: A SMALLINTER C= EMPTYSET] 이므로

[eqn: n(B CUP C)-n(B)=27] 에서

[eqn: THEREFORE `n(B)=24]

그림과 같이 [eqn: 5`]개의 영역으로 나누어진 도형을 서로 다른 [eqn: 4`]가지 색을 사용하여 모든 영역을 칠하려고 한다. 다음 조건을 만족시키도록 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 그 결과로 나타날 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 경계가 일부라도 닿은 두 영역은 서로 이웃한 영역으로 본다.) [4점]

72

ㄱ) 3가지 색으로 칠하는 경우:

색결정 [eqn: {} _{4} C _{3}] [eqn: TIMES] 칠하는 방법 [eqn: 3!] [eqn: =24]

ㄴ) 4가지 색으로 칠하는 경우

중복색 결정 4가지[eqn: TIMES]중복위치결정 2가지[eqn: TIMES]나머지색 칠하는 방법 3![eqn: =48]

[eqn: THEREFORE `24+48=72]

(가) [eqn: 4`]가지의 색의 전부 또는 일부를 사용한다.

(나) 서로 이웃한 영역은 서로 다른 색으로 칠한다.

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 3,```4,```5,```6,```7,```8 RIGHT } `]에 대하여
[eqn: X NSUBSET A`], [eqn: X NSUBSET B`], [eqn: X SUBSET (A CUP B`)`]
를 만족시키는 집합 [eqn: X``]의 개수를 구하시오. [4점]

168

집합[eqn: X] 개수

= [eqn: X SUBSET (AUB)]인 경우 -[eqn: X SUBSET A]인 경우 -[eqn: X SUBSET B]인 경우

+[eqn: x SUBSET (A SMALLINTER B)]인 경우

=[eqn: 2 ^{8} -2 ^{5} -2 ^{6} +2 ^{3} =168]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2} `]과 곡선 [eqn: y= {k} over {x} ``][eqn: (k>0)`]이 서로 다른 네 점에서 만날 때, 이 네 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형을 만든다. 이 직사각형에서 긴 변의 길이가 짧은 변의 길이의 [eqn: 2`]배가 되도록 하는 [eqn: k`]의 값을 [eqn: f(n)`]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{12} `f(n)`]의 값을 구하시오. [4점]

195

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2} `]과 곡선 [eqn: y= {k} over {x}]의 제1사분면의 두 교점을

[eqn: P`(a, {k} over {a} )`,```Q( {k} over {a} ,a)``(a> {k} over {a} )] 라 하고

[eqn: PQ]의 중점을 [eqn: M( {a+ {k} over {a}} over {2} , {a+ {k} over {a}} over {2} )]라 하자.

두 점 [eqn: P`,``Q`]는 원 위의 점이므로 [eqn: a ^{2} + LEFT ( {k} over {a} RIGHT ) ^{2} =n ^{2} `` CDOTS ①]

직사각형의 긴변이 짧은 변의 2배이면 [eqn: bar{PQ} `=` bar{OM}] 이 성립한다

[eqn: sqrt {2} `(a- {k} over {a} )= sqrt {2} `( {a+ {k} over {a}} over {2} )]

정리하면 [eqn: a ^{2} =3k] [eqn: CDOTS `②]

②를 ①에 대입하면

[eqn: 3k+ {k} over {3} =n ^{2}]

[eqn: k= {3n ^{2}} over {10}]

[eqn: THEREFORE `f(n)= {3} over {10} n ^{2}]

[eqn: sum _{n=1} ^{12} `f(n)`][eqn: = {3} over {10} TIMES {12 TIMES 13 TIMES 25} over {6} =195]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x GEQ 0`]일 때, [eqn: f(x)=x ^{2} -2x`]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)+f(x)=0`]이다.

실수 [eqn: t`]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ t,```t+1 RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f(x)`]의 최솟값을 [eqn: g(t)`]라 하자. 좌표평면에서 두 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

35

[eqn: f(x)= {cases{(x LEQ 0)&-x ^{2} -2x#(x GEQ 0)&x ^{2} -2x}}]

[eqn: f(x+1)= {cases{(x LEQ -1)&-x ^{2} -4x-3#(x GEQ -1)&x ^{2} -1}}]

[eqn: g(x)= {cases{(x LEQ - {3} over {2} )&f(x)#(- {3} over {2} LEQ x LEQ 0)&f(x+1)#(0 LEQ x LEQ 1)&f(1)#(1 LEQ x)&f(x)}}]

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= int _{- {3} over {2}} ^{0} {LEFT { f(x)-f(x+1) RIGHT } dx+ int _{0} ^{1} {LEFT { f(x)-f(1) RIGHT } dx}}]

[eqn: = int _{- {3} over {2}} ^{-1} {LEFT { (-x ^{2} -2x)-(-x ^{2} -4x-3) RIGHT } dx}]

[eqn: + int _{-1} ^{0} {LEFT { (-x ^{2} -2x)-(x ^{2} -1) RIGHT } dx}]

[eqn: + int _{0} ^{1} {LEFT { (x ^{2} -2x)-(-1) RIGHT } dx}]

[eqn: = {1} over {4} + {4} over {3} + {1} over {3} = {23} over {12}]

[eqn: THEREFORE `p+q=35]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2017년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설