◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2017학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: int _{1} ^{2} {} {1} over {x ^{2}} `dx`]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: int _{1} ^{2} {} {1} over {x ^{2}} `dx`= LEFT [ - {1} over {x} RIGHT ] _{1} ^{2} = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {6}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( n,``` {1} over {4} RIGHT ) `]을 따르는 확률변수 [eqn: X``]의 평균이 [eqn: 5`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: E(X)=n TIMES {1} over {4} =5]   [eqn: THEREFORE n=20]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

좌표공간에서 세 점 [eqn: {rmA}(6,```0,```0)`], [eqn: {rmB}(0,```3,```0)`], [eqn: {rmC}(0,```0,```-3)`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 무게중심을 [eqn: rmG`]라 할 때, 선분 [eqn: rmOG`]의 길이는? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [2점]

③

점[eqn: G= LEFT ( `2,``1,``-1` RIGHT )]

[eqn: OG= sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {6}]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt {6}]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {10}]

자연수 [eqn: 10`]의 분할 중에서 짝수로만 이루어진 것의 개수는?

①

[eqn: 10=10=8+2=6+4=6+2+2]

[eqn: =4+4+2=4+2+2+2=2+2+2+2+2]

[eqn: THEREFORE `7]개

[3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

한 개의 주사위를 던질 때 짝수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A`], 소수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B``]라 하자. [eqn: rm P it (B``|`A)- rm P it (B``|`A ^{C} `)`]의 값은? (단, [eqn: A^C`]은 [eqn: A`]의 여사건이다.) [3점]

①

[eqn: P` LEFT ( B``□`A` RIGHT ) -P` LEFT ( `B``□`A ^{C} RIGHT ) = {P` LEFT ( B SMALLINTER A RIGHT )} over {P(A)} - {P` LEFT ( B SMALLINTER A ^{C} ` RIGHT )} over {P(A ^{C} `)} = {1} over {3} - {2} over {3} =- {1} over {3}]

① [eqn: - 1over3]	② [eqn: - 1over6]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 1over3]

[eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2}} {} (1-cos`x) ^{sec`x} `]의 값은? [3점]

②

[eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2}} {} (1-cos`x) ^{sec`x} `] [eqn: LEFT ( {pi } over {2} -x= theta `로````치환 RIGHT )]

[eqn: = lim _{theta -> 0} {LEFT ( 1-cos LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) RIGHT ) ^{{1} over {cos LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )}}}]

[eqn: = lim _{theta -> 0} {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{{1} over {sin theta }}}]

[eqn: = lim _{theta -> 0} {LEFT { LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{{1} over {-sin theta }} RIGHT } ^{-1} `}]

[eqn: =e ^{-1}]

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e ^{2}]

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

③

[eqn: SMALLSUM `p _{i} `=1] : [eqn: a+b+c=1]

[eqn: rm E it (X`)=1`] : [eqn: b+2c=1]

[eqn: rm V it (X`)=E(X ^{2} )-E(X) ^{2} `= {1} over {4} `] : [eqn: b+4c-1= {1} over {4}]

연립하면 [eqn: a= {1} over {8} `,``b= {3} over {4} `,``c= {1} over {8}]

[eqn: P(X=0)= {1} over {8}]

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: {\P}(X=x)]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: 1]

[eqn: rm E it (X`)=1`], [eqn: rm V it (X`)= {1} over {4} `]일 때, [eqn: rm P it (X=0)`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {32}]	② [eqn: {1} over {16}]	③ [eqn: {1} over {8}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정삼각형 [eqn: rm ABC`]를 밑면으로 하고 [eqn: rm {bar{OA}} =2`], [eqn: rm {bar{OA}} BOT {bar{AB}} `], [eqn: rm {bar{OA}} BOT {bar{AC}} `]인 사면체 [eqn: rm OABC`]가 있다. [eqn: rm LEFT | {vec{OA}} + {vec{OB}} - {vec{OC}} RIGHT | `]의 값은? [3점]

②

점A가 점C에 대응되도록 [eqn: rm bar{OA}]를 평행이동시켰을 때, 점O의 대응점을 점O' 라고 하면

[eqn: rm LEFT | vec{OA} + vec{OB} - vec{OC} RIGHT | ``][eqn: = rm LEFT | vec{OA} + vec{CB} ` RIGHT | ``][eqn: = rm LEFT | vec{O'C} + vec{CB} ` RIGHT | ``][eqn: = rm LEFT | vec{O prime B} ` RIGHT | ``]

[eqn: = sqrt {2 ^{2} +2 ^{2}} =2 sqrt {2}]

[eqn: rm A]

[eqn: rm O]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

① [eqn: 2]	② [eqn: 2root2]	③ [eqn: 2root3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2 sqrt {5}]

두 학생 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]를 포함한 [eqn: 8`]명의 학생을 임의로 [eqn: 3`]명, [eqn: 3`]명, [eqn: 2`]명씩 [eqn: 3`]개의 조로 나눌 때, 두 학생 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 같은 조에 속할 확률은? [3점]

②

전체 경우의 수[eqn: = {{} _{8} C _{3} TIMES _{5} C _{3} TIMES _{2} C _{2}} over {2} =280]

A, B가 3명인 조에 속하는 경우의 수[eqn: = _{6} C _{1} TIMES _{5} C _{3} TIMES _{2} C _{2} =60]

A, B가 2명인 조에 속하는 경우의 수[eqn: = _{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3} ÷2!``=10]

A, B가 같은 조에 속할 확률[eqn: = {60+10} over {280} = {1} over {4}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 한 점 [eqn: rm P`]를 중심으로 하고 준선과 점 [eqn: rmA`]에서 접하는 원이 [eqn: x`]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]라 하자. 부채꼴 [eqn: rm PBC`]의 넓이가 부채꼴 [eqn: rm PAB`]의 넓이의 [eqn: 2`]배일 때, 원의 반지름의 길이는? (단, 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 1`]보다 크고, 점 [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표보다 크다.) [3점]

④

점[eqn: B]는 초점이므로 [eqn: LEFT ( `1`,``0` RIGHT )], 점[eqn: P`]를 [eqn: (`a`,``b`)]라 하고

점[eqn: P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면 점[eqn: H]는 [eqn: (`a`,``0)]

[eqn: ANGLE APB= ANGLE BPH= {pi } over {4}]

[eqn: bar{BH} `= bar{PH} `=a-1=b] [eqn: CDOTS ①]

[eqn: (`a`,``b`)]는 포물선 위의 점이므로 대입하면

[eqn: b ^{2} =4a] [eqn: CDOTS ②]

①, ②를 연립하면 [eqn: (a`,`b`)=(3+2 sqrt {2} `,`2+2 sqrt {2} `)]

원의 반지름[eqn: = bar{BP} `= sqrt {2} ` bar{PH} `= sqrt {2} (2+2 sqrt {2} `)=4+2 sqrt {2}]

[eqn: \P]

[eqn: rm B]

[eqn: \A]

[eqn: rm C]

[eqn: y^2 =4x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 2+2 sqrt {3}]	② [eqn: 3+2 sqrt {2}]	③ [eqn: 3+2 sqrt {3}]
④ [eqn: 4+2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4+2 sqrt {3}]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

어느 공장에서 생산하는 군용 위장크림 [eqn: 1`]개의 무게는 평균이 [eqn: m`], 표준편차가 [eqn: sigma `]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산하는 군용 위장크림 중에서 임의로 택한 [eqn: 1`]개의 무게가 [eqn: 50] 이상일 확률은 [eqn: 0.1587`]이다.
이 공장에서 생산하는 군용 위장크림 중에서 임의추출한 [eqn: 4`]개의 무게의 평균이 [eqn: 50] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 g이다.) [3점]

①

[eqn: P`(X GEQ 50)=P(z GEQ {50-m} over {sigma } )=0.1857]

[eqn: THEREFORE {50-m} over {sigma } =1]

[eqn: P`( bar{X} GEQ 50)=P(z GEQ {50-m} over {{sigma } over {2}} )=P(z GEQ 2)=0.0228]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]
④ [eqn: 0.3085]	⑤ [eqn: 0.4332]

곡선 [eqn: y=tan` {x} over {2} `]와 직선 [eqn: x= {pi } over {2}] 및 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

③

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {tan` {x} over {2} dx=`-2[ln`cos {x} over {2} ] _{0} ^{{pi } over {2}}} =-2`ln {sqrt {2}} over {2} =ln`2]

① [eqn: {1} over {4} `ln`2]	② [eqn: {1} over {2} `ln`2]	③ [eqn: ln`2]	④ [eqn: 2`ln`2]	⑤ [eqn: 4`ln`2]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= LEFT | log _{`a} `x RIGHT | `]가 직선 [eqn: y=1`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`]라 하고 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 두 직선 [eqn: rm AC`], [eqn: rm BC`]가 서로 수직이 되도록 하는 모든 양수 [eqn: a`]의 값의 합은? (단, [eqn: a!=1`]) [3점]

③

점C는 [eqn: (`1`,`0)]이고

[eqn: a>1]이면 [eqn: A( {1} over {a} ,1)`,``B(a,1)]

[eqn: 0<a<1]이면 [eqn: A(a,1),`B( {1} over {a} ,1)]

[eqn: bar{AC}]기울기[eqn: TIMES] [eqn: bar{BC}]기울기 [eqn: = {1} over {{1} over {a} -1} TIMES {1} over {a-1} =-1]

정리하면 [eqn: a ^{2} -3a+1=0]

[eqn: a]값의 합은 3

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=1]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: y= LEFT | log` _{a} `x RIGHT | `]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

같은 종류의 볼펜 [eqn: 6`]개, 같은 종류의 연필 [eqn: 6`]개, 같은 종류의 지우개 [eqn: 6`]개가 필통에 들어 있다. 이 필통에서 [eqn: 8`]개를 동시에 꺼내는 경우의 수는? (단, 같은 종류끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점]

④

구하는 경우의 수는

[eqn: a+b+c=8``(0 LEQ a,`b,`c LEQ 6)]

을 만족하는 정수 [eqn: (a,`b,`c)`]순서쌍의 개수이다.

[eqn: a+b+c=8``(0 LEQ a,`b,`c LEQ 8)]인 경우 : [eqn: {} _{3} H _{8}]

여기서 제외할 경우의 수는

[eqn: a=7]인 경우: 2가지, [eqn: a=8]인 경우: 1가지

[eqn: b,`c`]도 각각 3가지

[eqn: THEREFORE `][eqn: {} _{3} H _{8} -9=36]

① [eqn: 18]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 42]

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 12`]인 정사면체 [eqn: rm ABCD`]에서 두 모서리 [eqn: rm BD`], [eqn: rm CD`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하자. 사각형 [eqn: rm BCNM`]의 평면 [eqn: rm AMN] 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

⑤

[eqn: MN]의 중점을 [eqn: H,`][eqn: TRIANGLE BCD]의 무게중심을 [eqn: G`]라 하고

[eqn: TRIANGLE AMN]과 [eqn: □BCMN]이 이루는 각[eqn: = ANGLE AHG= theta ``]라 하면

[eqn: AH=3 sqrt {11} `,```GH= sqrt {3}], [eqn: cos theta = {GH} over {AH} = {sqrt {33}} over {33}]

[eqn: □BCMN] 의 넓이[eqn: = {3} over {4} TIMES TRIANGLE BCD=( {3} over {4} TIMES {sqrt {3}} over {4} TIMES 12 ^{2} )=27 sqrt {3}]

정사영의 넓이[eqn: =27 sqrt {3} TIMES {sqrt {33}} over {33} = {27 sqrt {11}} over {11}]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm M]

[eqn: rm N]

① [eqn: {15 sqrt {11}} over {11}]	② [eqn: {18 sqrt {11}} over {11}]	③ [eqn: {21 sqrt {11}} over {11}]
④ [eqn: {24 sqrt {11}} over {11}]	⑤ [eqn: {27root11}over11]

자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: S _{n} =1- {1} over {3} + {1} over {5} - {1} over {7} +` CDOTS `+(-1) ^{n-1} `·` {1} over {2n-1} `]
이라 할 때, 다음은 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `S _{n} `]의 값을 구하는 과정이다.

④

(가): [eqn: {1} over {1+x ^{2}}] ,  (나): [eqn: {1} over {2n+1}] ,  (다): [eqn: {pi } over {4}]

[eqn: THEREFORE `k TIMES f(2) TIMES g(2)= {pi } over {4} TIMES {1} over {5} TIMES {1} over {5} = {pi } over {100}]

[eqn: 1-x ^{2} +x ^{4} -x ^{6} +` CDOTS `+(-1) ^{n-1} `·`x ^{2n-2}]

[eqn: = {BOX{~(가)~}} `-(-1) ^{n} `·` {x ^{2n}} over {1+x ^{2}} `]이므로

[eqn: S _{n} =1- {1} over {3} + {1} over {5} - {1} over {7} +` CDOTS `+(-1) ^{n-1} `·` {1} over {2n-1}]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} LEFT { 1-x ^{2} +x ^{4} -x ^{6} +` CDOTS `+(-1) ^{n-1} `·`x ^{2n-2} RIGHT } dx]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} {BOX{~(가)~}} ``dx][eqn: -(-1)^n int _{ 0} ^{1 } x^2n over{1+x^2} `dx]

이다. 한편, [eqn: 0 LEQ {x ^{2n}} over {1+x ^{2}} LEQ x ^{2n} `]이므로

[eqn: 0 LEQ int _{0} ^{1} {} {x ^{2n}} over {1+x ^{2}} `dx LEQ int _{0} ^{1} {} x ^{2n} dx= {BOX{~(나)~}} `]

이다. 따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} int _{0} ^{1} {} {x ^{2n}} over {1+x ^{2}} dx=0`]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `S _{n}][eqn: = int _{0} ^{1} {} {BOX{~(가)~}} ``dx`]이다.

[eqn: x=tan` theta ``][eqn: LEFT ( - {pi } over {2} < theta < {pi } over {2} RIGHT ) `]로 놓으면

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `S _{n}][eqn: = int _{0} ^{1} {} {BOX{~(가)~}} ``dx][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {4}} {} {sec ^{2} ` theta } over {1+tan ^{2} ` theta } `d theta][eqn: =box{~(다)~}`]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(x)`], [eqn: g(n)`], (다)에 알맞은 수를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: k TIMES f(2) TIMES g(2)`]의 값은? [4점]

① [eqn: {pi } over {40}]	② [eqn: {pi } over {60}]	③ [eqn: {pi } over {80}]
④ [eqn: {pi } over {100}]	⑤ [eqn: {pi } over {120}]

좌표공간에 평행한 두 평면 [eqn: alpha ``:``2x-y+2z=0`],
[eqn: beta ``:``2x-y+2z=6] 위에 각각 점 [eqn: rm A(0,```0,```0)`], [eqn: rm B(2,```0,```1)`]이 있다. 평면 [eqn: alpha] 위의 점 [eqn: rm P`]와 평면 [eqn: beta] 위의 점 [eqn: rm Q`]에 대하여
[eqn: rm {bar{AQ}} + {bar{QP}} + {bar{PB}} `]의 최솟값은? [4점]

②

점[eqn: A]의 평면[eqn: beta]에의 대칭점은 [eqn: A`'`( {8} over {3} ,`- {4} over {3} ,` {8} over {3} )]

점[eqn: B]의 평면[eqn: alpha]에의 대칭점은 [eqn: B` prime `(- {2} over {3} ,` {4} over {3} ,`- {5} over {3} )]

[eqn: AQ+QP+PB```=A`'Q+QP+PB`'` GEQ A`'B`'`= sqrt {37} `]

① [eqn: 6]	② [eqn: sqrt {37}]	③ [eqn: sqrt {38}]	④ [eqn: sqrt {39}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {10}]

함수 [eqn: f(x)= int _{1} ^{x} {} e ^{t ^{3}} `dt`]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{1} {} xf(x)`dx`]의 값은? [4점]

⑤

[eqn: int _{0} ^{1} {} xf(x)`dx`= LEFT [ {1} over {2} x ^{2} `f(x) RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {{1} over {2} x ^{2} `f`'(x)dx}]

[eqn: =0- int _{0} ^{1} {{1} over {2} x ^{2} `e ^{x ^{3}} `dx}] ([eqn: x ^{3} =t]로 치환)

[eqn: =`- {1} over {6} int _{0} ^{1} {e ^{t} `dt``} =`- {1} over {6} LEFT [ e ^{t} RIGHT ] _{0} ^{1} = {1-e} over {6}]

① [eqn: {1-e} over {2}]	② [eqn: {1-e} over {3}]	③ [eqn: {1-e} over {4}]	④ [eqn: {1-e} over {5}]	⑤ [eqn: {1-e} over {6}]

실수 [eqn: t`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형의 둘레의 길이를 [eqn: f(t)`]라 하자.

③

[eqn: P]에서 [eqn: OA]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면

[eqn: bar{OA} = sqrt {(t+5) ^{2} +(2t+4) ^{2} +(3t-2) ^{2}} = sqrt {14t ^{2} +14t+45}]

[eqn: bar{OP} ` ^{2} `= bar{OH} ` TIMES bar{OA} `],

[eqn: THEREFORE][eqn: bar{OH} `= {bar{OP} ` ^{2}} over {bar{OA}} = {25} over {bar{OA}}]

[eqn: bar{PH} `= sqrt {25- LEFT ( {25} over {bar{OA}} RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: f(t)=2 pi ` bar{PH} `=2 pi sqrt {25- LEFT ( {25} over {bar{OA}} RIGHT ) ^{2}}]

ㄱ) [eqn: f(0)=2 pi sqrt {25- LEFT ( {25} over {sqrt {45}} RIGHT ) ^{2}} = {20} over {3} pi]

ㄴ) [eqn: t` -> INF `]이면 [eqn: bar{OA} ` -> INF `]이고, [eqn: bar{PH} ` -> 5]

[eqn: THEREFORE lim _{t-> INF } {} f(t)`=`10 pi]

ㄷ) [eqn: bar{OA} = sqrt {14(t+ {1} over {2} ) ^{2} + {83} over {2}}]이므로

[eqn: t=`- {1} over {2}]일 때, [eqn: OA]는 최솟값을 가지고,

그때, [eqn: f(t)]도 최솟값을 가진다.

(가) 점 [eqn: rmP`]는 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =25] 위의 점이다.

(나) 점 [eqn: rm A it (t+5,```2t+4,```3t-2)`]에 대하여 [eqn: {vec{rmOP}} cdot {vec{rmAP}} =0`]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(0)= {20} over {3} pi`] ㄴ. [eqn: lim _{t` -> ` INF } {} `f(t)=10 pi `] ㄷ. [eqn: f(t)`]는 [eqn: t= it -1`]에서 최솟값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

지수함수 [eqn: f(x)=a ^{x} ``][eqn: (0<a<1)`]의 그래프가 직선 [eqn: y=x`]와 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: b`]라 하자. 함수
[eqn: g(x)= {cases{``````f(x) _{`}&&{} _{`} (x LEQ b)#`f` ^{-1} (x) ^{`}&&{} ^{`} (x>`b)}} `]
가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a`b]의 값은? [4점]

①

[eqn: f(x)=a ^{x} ``,````f`'(x)=a ^{x} `·lna] 이고

[eqn: (`b`,```b`)]에서 [eqn: g(x)]가 미분가능하려면

[eqn: f(b)=a ^{b} =b``` CDOTS ①]

[eqn: f`'(b)=a ^{b} ·ln`a=-1```` CDOTS ②]

를 만족하여야 한다.

①의 양변에 [eqn: ln]을 취하면 [eqn: b`lna=lnb```` CDOTS ③]

①을 ②에 대입하면 [eqn: b`ln`a=`-1```` CDOTS ④]

③, ④에서 [eqn: ln`b`=-1]

[eqn: THEREFORE `b=e ^{-1} ````,````a=e ^{-e}]

[eqn: THEREFORE `ab=e ^{-e-1}]

① [eqn: e^-e-1]	② [eqn: e ^{-e- {1} over {e}}]	③ [eqn: e ^{-e+ {1} over {e}}]
④ [eqn: e^{e-1}]	⑤ [eqn: e ^{e+1}]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

④

[eqn: f(x+y)= {f(x)+f(y)} over {1+f(x)`f(y)} `]에서 [eqn: x=1,``y=`-1]을 대입하면

[eqn: f(1)=-f(-1)=-k] 이고

[eqn: f` prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{{f(x)+f(h)} over {1+f(x)f(h)} -f(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(h) TIMES (1-f(x) ^{2} )} over {h TIMES (1+f(x)f(h))}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(h)} over {h} TIMES lim _{h -> 0} {{(1-f(x) ^{2} )} over {(1+f(x)f(h))}}}]

[eqn: =f` prime (0) TIMES (1-f(x) ^{2} )]

[eqn: =1-f(x) ^{2}]

[eqn: THEREFORE ``f(x) ^{2} `=1-f` prime (x)]

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} `dx`]

[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { 1-f` prime (x) RIGHT }} dx]

[eqn: = LEFT [ x-f(x) RIGHT ] _{0} ^{1} `=1-f(1)]

[eqn: =1+k]

(가) [eqn: f(0)=0`], [eqn: f` prime (0)=1`]

(나) 모든 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: f(x+y)= {f(x)+f(y)} over {1+f(x)`f(y)} `]
이다.

[eqn: f(-1)=k``][eqn: (-1<k<0)`]일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} `dx`]의 값을 [eqn: k`]로 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: 1-k ^{2}]	② [eqn: 1-2k]	③ [eqn: 1-k]
④ [eqn: 1+k]	⑤ [eqn: 1+k ^{2}]

[eqn: sin ^{2} ` theta = {4} over {5} ``][eqn: LEFT ( 0<theta< {pi} over {2} RIGHT ) `]일 때, [eqn: cos` LEFT ( theta+ {pi} over {4} RIGHT ) =p`]이다. [eqn: {1} over {p ^{2}} `]의 값을 구하시오. [3점]

10

[eqn: sin ^{2} theta = {4} over {5} `]에서 [eqn: sin theta = {2} over {sqrt {5}} ``,````cos theta = {1} over {sqrt {5}}]

[eqn: cos LEFT ( theta + {pi } over {4} RIGHT ) =cos theta `cos {pi } over {4} -sin theta ``sin {pi } over {4}]

[eqn: = {1} over {sqrt {5}} ` {1} over {sqrt {2}} - {2} over {sqrt {5}} {1} over {sqrt {2}} =- {1} over {sqrt {10}} =p]

[eqn: THEREFORE `` {1} over {p ^{2}} =10]

어느 부대가 그림과 같은 바둑판 모양의 도로망에서 장애물(어두운 부분)을 피해 [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점으로 도로를 따라 이동하려고 한다. [eqn: rmA] 지점에서 출발하여 [eqn: rmB] 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 구하시오. [3점]

62

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

P

Q

R

[eqn: P``]경유: [eqn: 1 TIMES 1=1]가지

[eqn: Q``]경유: [eqn: {4!} over {2! TIMES 2!} TIMES {5!} over {3! TIMES 2!} =60]가지

[eqn: R``]경유: [eqn: 1 TIMES 1=1]가지

[eqn: THEREFORE ``62]가지

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

두 초점 [eqn: rm F`], [eqn: rm F prime `]을 공유하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a} + {y ^{2}} over {16} =1`]과 쌍곡선
[eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {5} =1`]이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 하나를 [eqn: rm P`]라 할 때, [eqn: LEFT | {bar{rm PF it}} ^{`2} - {bar{rm PF prime it}} ^{`2} RIGHT | `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 양수이다.)

40

초점은 [eqn: F(`3`,`0)`,``F`'(-3,0)]    [eqn: THEREFORE a=25]

[eqn: LEFT | bar{rm PF it} ^{`2} - bar{rm PF prime it} ^{`2} RIGHT | ``][eqn: = LEFT | ( bar{PF} + bar{PF` prime } )( bar{PF} - bar{PF` prime } ) RIGHT | =10 TIMES 4=40]

[3점]

매개변수 [eqn: t`][eqn: (t>0)`]으로 나타내어진 함수
[eqn: x=t ^{3} `], [eqn: y=2t- sqrt {2t} `]
의 그래프 위의 점 [eqn: (8,```a)`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b`]이다. [eqn: 100`ab`]의 값을 구하시오. [3점]

25

[eqn: x=t ^{3} `,```` {dx} over {dt} =3t ^{2} ``,````x=8]일 때, [eqn: t=2]

[eqn: y=2t- sqrt {2t} ``,```` {dy} over {dt} =t- {1} over {sqrt {2t}} ``,````t=2]일 때, [eqn: a=2]

[eqn: {dy} over {dx} □ _{x=8} `= {{dy} over {dt} □ _{t=2}} over {{dx} over {dt} □ _{t=2}} = {LEFT [ t- {1} over {sqrt {2t}} RIGHT ] _{t=2}} over {LEFT [ 3t ^{2} RIGHT ] _{t=2}} = {1} over {8} =b]

[eqn: THEREFORE 100ab=100·2· {1} over {8} =25]

곡선 [eqn: y=sin ^{2} `x``][eqn: (0{le}x{le}pi)`]의 두 변곡점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 할 때, 점 [eqn: rmA`]에서의 접선과 점 [eqn: rmB`]에서의 접선이 만나는 점의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: p+q` pi `]이다. [eqn: 40(p+q)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 유리수이다.) [4점]

30

[eqn: y=sin ^{2} x]

[eqn: y`'=2sinx`cosx=sin2x]

[eqn: y`''=2cos2x=0```````` THEREFORE x= {pi } over {4} `,`` {3 pi } over {4}]

[eqn: x= {pi } over {4}]일 때, 점[eqn: A]는 [eqn: ( {pi } over {4} `,` {1} over {2} )], [eqn: y`' _{x= {pi } over {4}} =1]

[eqn: THEREFORE `l _{1} `:``y=x- {pi } over {4} + {1} over {2}] [eqn: CDOTS ①]

[eqn: x= {3pi } over {4}]일 때, 점[eqn: B]는 [eqn: ( {3pi } over {4} `,` {1} over {2} )], [eqn: y` prime _{x= {3pi } over {4}} =-1]

[eqn: THEREFORE `l _{2} `:``y=-x+ {3pi } over {4} + {1} over {2}] [eqn: CDOTS ②]

①, ② 연립하면 [eqn: y= {1} over {2} + {pi } over {4}]

[eqn: THEREFORE p= {1} over {2} `,``q= {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE `40(p+q)=30]

주머니에 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6`]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3`]개의 공을 차례로 꺼낸다. 꺼낸 [eqn: 3`]개의 공에 적힌 수의 곱이 짝수일 때, 첫 번째로 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수이었을 확률은 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

28

[eqn: p](세수의 곱이 짝수)[eqn: =1-p](세수 모두 홀수)

[eqn: =1- {{} _{3} C _{3}} over {{} _{6} C _{3}} = {19} over {20}]

[eqn: p](홀,홀,짝)[eqn: = {3} over {6} TIMES {2} over {5} TIMES {3} over {4} = {3} over {20}]

[eqn: p](홀,짝,홀)[eqn: = {3} over {6} TIMES {3} over {5} TIMES {2} over {4} = {3} over {20}]

[eqn: p](홀,짝,짝)[eqn: = {3} over {6} TIMES {3} over {5} TIMES {2} over {4} = {3} over {20}]

구하는 확률[eqn: = {{3} over {20} + {3} over {20} + {3} over {20}} over {{19} over {20}} = {9} over {19}]

[eqn: THEREFORE `p+q=28]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5`]인 원 [eqn: C``]와 원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rmA`]에서의 접선 [eqn: l`]이 있다. 원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rmP`]와 [eqn: bar{rmAB}=24`]를 만족시키는 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmB`]에 대하여 [eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `]의 최댓값을 구하시오. [4점]

180

[eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `][eqn: =(`` vec{OA it} `-`` vec{OP it} `) CDOT (` vec{OB it} `-` vec{OP it} `)]

[eqn: =` vec{OA it} BULLET ` vec{OB it} ``+` vec{OP it} ` ^{2} `-(` vec{OA it} `+` vec{OB it} `) BULLET ` vec{OP it} `]

여기서, [eqn: ` vec{OA it} BULLET ` vec{OB it} ``=25] , [eqn: ` vec{OP it} ` ^{2} `=25] 이고

AB의 중점을 Q라 하면 [eqn: ` vec{OA it} `+` vec{OB it} `=2` vec{OQ it} ``]이고

[eqn: ` vec{OP it} `]와 [eqn: ` vec{OQ it} `]가 반대방향일 때, [eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `]는 최댓값을 가진다

[eqn: THEREFORE][eqn: {vec{rmPA}} cdot {vec{rmPB}} `][eqn: LEQ 25+25-2(-5 TIMES 13)=180]

[eqn: rm P]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: C`]

[eqn: l]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {3} `]인 부채꼴 [eqn: rmOAB`]가 있다. 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rmP`]를 지나고 선분 [eqn: rmOB`]와 평행한 직선이 선분 [eqn: rm OA`]와 만나는 점을 [eqn: rmQ`]라 하고 [eqn: rmangleAOP=theta`]라 하자. 점 [eqn: rmA`]를 지름의 한 끝점으로 하고 지름이 선분 [eqn: rmAQ] 위에 있으며 선분 [eqn: rm PQ`]에 접하는 반원의 반지름의 길이를 [eqn: r(theta)`]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {r( theta )} over {theta } =a+b sqrt {3} `]이다. [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오.
[eqn: LEFT ( pile{ `# `}]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {3} `]이고, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이다.[eqn: pile{`#`} right)] [4점]

5

작은 원의 중심을 [eqn: O`'], [eqn: P]에서 [eqn: OA]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라고 하면

[eqn: O`'A=r( theta )], [eqn: O` prime Q= {2} over {sqrt {3}} r( theta )]

[eqn: PH=sin theta], [eqn: QH= {1} over {sqrt {3}} sin theta], [eqn: OQ=cos theta - {1} over {sqrt {3}} sin theta]

[eqn: OA=cos theta - {1} over {sqrt {3}} sin theta + {2} over {sqrt {3}} r( theta )+r( theta )=1]

[eqn: THEREFORE `r( theta )= {sqrt {3} (1-cos theta )+sin theta } over {2+ sqrt {3}}]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {r( theta )} over {theta }]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} {1} over {2+ sqrt {3}} LEFT { sqrt {3} {1-cos theta } over {theta } + {sin theta } over {theta } RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2+ sqrt {3}} =2- sqrt {3} `]

[eqn: THEREFORE `a=2`,``b=-1]

[eqn: THEREFORE `a ^{2} +b ^{2} =5]

[eqn: rmO]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm A]

[eqn: theta]

[eqn: r(theta)]

[eqn: rm P]

[eqn: rm B]

좌표공간에 평면 [eqn: z=1] 위의 세 점 [eqn: rm A(1,```-1,```1)`], [eqn: rm B(1,```1,```1)`], [eqn: rm C(0,```0,```1)`]이 있다. 점 [eqn: {rmP}(2,```3,```2)`]를 지나고 벡터 [eqn: {vec{d}} `=(a,```b,```1)`]과 평행한 직선이 삼각형 [eqn: rmABC`]의 둘레 또는 내부를 지날 때,
[eqn: LEFT | `` vec{d} ```+``3 vec{rm OA it} `` RIGHT | ^{2} ``]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.) [4점]

32

점P를 지나고 벡터[eqn: vec{d}]에 평행한 직선의 식은

[eqn: {x-2} over {a} = {y-3} over {b} = {z-2} over {1}]

[eqn: z=1] 대입하면 [eqn: (x`,``y`,``1)=(-a+2`,`-b+3`,``1)]

[eqn: z=1]인 평면내에서

[eqn: (x,`y)]가 [eqn: (1,`-1),`(`1`,``1),```(`0`,``0)]의 둘레 또는 내부에 있으려면

[eqn: 0 LEQ x LEQ 1``:````0 LEQ -a+2 LEQ 1```` CDOTS ①]

[eqn: y LEQ x``:````-b+3 LEQ -a+2```` CDOTS ②````]

[eqn: y GEQ `-x``:````-b+3 GEQ a-2```` CDOTS ③]

에서 ①, ②, ③을 만족해야 하고,

그 영역은 [eqn: (a`,``b`)]가 [eqn: (`1`,``2`),``(`1`,``4`),``(`2`,``3`)]로 이루어지는 삼각형의 둘레 또는 내부에 있을 경우이다.

[eqn: LEFT | `` vec{d} ```+``3 vec{rm OA it} `` RIGHT | ^{2} ``][eqn: = LEFT | `a+3`,``b-3`,``4` RIGHT | ^{2} =(a+3) ^{2} +(b-3) ^{2} +16] 에서

준식의 최솟값은 [eqn: a=1`,``b=3``]일 때 32이다.

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2017년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설