◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2016학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: log`_4 `72 - log`_2 `6]의 값은? [2점]

③

[eqn: log`_4 `72 - log`_2 `6][eqn: =log`_4 `72 - log`_{2^2} `6^2]
[eqn: =log`_4 `72 over36]
[eqn: = log`_4 `2]
[eqn: = 1 over2 `log`_2 `2]
[eqn: = 1 over2]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: sqrt { 2}over4]	③ [eqn: 1 over2]	④ [eqn: sqrt { 2}over2]	⑤ [eqn: sqrt { 2}]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ ``{2}``&``{-1}``# ``{0}``&`````````{1}``}], [eqn: B=pmatrix{ ``{0}``&`````````{3}``# ``{1}``&``{-2}``}]에 대하여 행렬 [eqn: AB+A]의 [eqn: (1, ``2)]성분은? [2점]

④

[eqn: AB+A][eqn: =A(B+E)]
[eqn: = pmatrix{ ``{2}``&``{-1}``# ``{0}``&`````````{1}``}][eqn: left{pmatrix{ ``{0}``&`````````{3}``# ``{1}``&``{-2}``}+pmatrix{ ``{1}``&``{0}``# ``{0}``&``{1}``} right}]
[eqn: = pmatrix{ ``{2}``&``{-1}``# ``{0}``&`````````{1}``}][eqn: pmatrix{ ``{1}``&`````````{3}``# ``{1}``&``{-1}``}]
[eqn: =pmatrix{ ``{1}``&`````````{7}``# ``{1}``&``{-1}``}]

따라서 행렬 [eqn: AB+A]의 [eqn: (1, ``2)]성분은 [eqn: 7]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f(x)=x^3 +2x^2 +13x+10]에 대하여 [eqn: f`'(1)]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: f(x)=x^3 +2x^2 +13x+10]에서

[eqn: f`'(x)=3x^2 +4x+13]

∴ [eqn: f`'(1)][eqn: =3+4+13=20]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)- lim _{x -> 2-} {} f(x)]의 값은? [3점]

①

[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)- lim _{x -> 2-} {} f(x)][eqn: =-1-1][eqn: =-2]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고
[eqn: {rm P}(A cup B)= 5 over6], [eqn: {rm P}(A^C cap B)= 1 over3]
일 때, [eqn: {rm P}(B)]의 값은? [3점]

④

[eqn: {rm P}(A)][eqn: = {rm P}(A cup B) - {rm P}(A^C cap B)]
[eqn: = 5 over6 - 1 over3]
[eqn: = 1 over2]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이므로

[eqn: {rm P}(A cap B) ={rm P}(A){rm P}(B)= 1 over 2 {rm P}(B)]

[eqn: {rm P}(A cup B)][eqn: = {rm P}(A)+ {rm P}(B)- {rm P}(A cap B)]
[eqn: = 1 over2 + {rm P}(B)- 1 over 2 {rm P}(B)]
[eqn: = 5 over6]

∴ [eqn: {rm P}(B)= 2 over3]

① [eqn: 5 over12]	② [eqn: 7 over12]	③ [eqn: 3 over5]	④ [eqn: 2 over3]	⑤ [eqn: 3 over4]

첫째항이 [eqn: 1]이고, 둘째항이 [eqn: p]인 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_n+2 =a_n +2]
([eqn: n ge1])를 만족시킨다. [eqn: sum_k=1^10 a_k =70]일 때, 상수 [eqn: p]의 값은? [3점]

①

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_n+2 =a_n +2]를 만족시키므로

수열 [eqn: left{a_2n-1 right}]과 수열 [eqn: left{a_2n right}]은 각각 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =p]이므로

[eqn: sum_k=1^10 a_k][eqn: =sum_k=1^5 a_2k-1 +sum_k=1^5 a_2k]
[eqn: = { 5 } over { 2}(a_1 +a_9 ) + { 5 } over { 2}(a_2 +a_10 )]
[eqn: = { 5 } over { 2}(2+8 ) + { 5 } over { 2}(2p+8 )]
[eqn: =45+5p]

[eqn: 45+5p=70]에서 [eqn: p=5]이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: z]	[eqn: rmP LEFT ( 0`le`itZ`le`z RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

어느 과수원에서 생산되는 사과의 무게는 평균이 [eqn: 350 rmg]이고 표준편차가 [eqn: 30 rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에서 생산된 사과 중에서 임의로 선택한 [eqn: 9]개의 무게의 평균이 [eqn: 345 rmg] 이상 [eqn: 365 rmg] 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

②

과수원에서 생산되는 사과의 무게를 [eqn: X]라 하면 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rm N}(350, ``30^2 )]를 따른다.

따라서 과수원에서 생산된 사과 중에서 임의로 선택한 [eqn: 9]개의 무게의 평균을 [eqn: bar{X``}]라 하면 확률변수 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {rm N}left(350 , ``left( 30 over root9 right)^2 right)], 즉 [eqn: {rm N}(350, ``10^2 )]를 따른다.

∴ [eqn: {rm P}(345 le bar{X``}le 365)][eqn: ={rm P}left( { 345-350 } over{ 10 } le Z le { 365-350 } over{ 10 }right)]
[eqn: ={rm P}(-0.5 le Z le 1.5)]
[eqn: ={rm P}(0 le Z le0.5)+{rm P}(0 le Z le 1.5)]
[eqn: =0.1915+0.4332]
[eqn: =0.6247]

① [eqn: □□□□□□]	② [eqn: □□□□□□]	③ [eqn: □□□□□□]

④ [eqn: □□□□□□]	⑤ [eqn: □□□□□□]

어느 액체의 끓는 온도 [eqn: T]([eqn: CENTIGRADE])와 증기압 [eqn: P]([eqn: rm mmHg]) 사이에는 다음 관계식이 성립한다.

이 액체의 끓는 온도가 [eqn: 0][eqn: CENTIGRADE]일 때와 [eqn: 50][eqn: CENTIGRADE]일 때의 증기압을 각각 [eqn: P_1]([eqn: rm mmHg]), [eqn: P_2]([eqn: rm mmHg])라 할 때, [eqn: P_2 overP_1]의 값은? [3점]

④

주어진 식에 의하여

[eqn: log``P_1 = k- { 1000} over { 0+250}][eqn: =k-4]

[eqn: log``P_2 = k- { 1000} over { 50+250}][eqn: =k- 10 over3]

[eqn: log``P_2 overP_1][eqn: =log``P_2 - log``P_1]
[eqn: = LEFT ( k- 10 over3 RIGHT )- LEFT ( k-4 RIGHT )][eqn: = 2 over3]

∴ [eqn: P_2 overP_1 = 10^{2 over3}]

[eqn: log``P = k- { 1000} over { T+250}] (단, [eqn: k]는 상수)

① [eqn: 10^{1 over4}]	② [eqn: 10^{1 over3}]	③ [eqn: 10^{1 over2}]	④ [eqn: 10^{2 over3}]	⑤ [eqn: 10^{3 over4}]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_n=1^inf LEFT ( a_n over3^n -4 RIGHT )=2]일 때, [eqn: lim_n->inf { a_n +2^n} over { 3^n-1 +4}]의 값은? [3점]

②

[eqn: sum_n=1^inf LEFT ( a_n over3^n -4 RIGHT )=2]이므로 [eqn: lim_n->inf LEFT ( a_n over3^n -4 RIGHT )=0]

∴ [eqn: lim_n->inf { a_n} over { 3^n}=4]

∴ [eqn: lim_n->inf { a_n +2^n} over { 3^n-1 +4}][eqn: =lim_n->inf { a_n over3^n + LEFT ( 2 over3 RIGHT ) ^n} over { 1 over3 + 4over3^n}][eqn: = { 4+0} over { 1 over3 +0}][eqn: =12]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

연립방정식

[eqn: cases{ matrix{it#it#it #it}]	[eqn: log`_x `y = log`_3 `8]
	[eqn: 4 LEFT ( log`_2 `x RIGHT ) LEFT ( log`_3 `y RIGHT )=3]

의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]라 할 때, [eqn: alpha beta]의 값은? (단, [eqn: alpha>1]이다.)

③

[eqn: log`_2 `x = X], [eqn: log`_3 `y = Y]라 하면

[eqn: log`_x `y = log`_3 `8]에서 [eqn: { log`_3 `y} over { log`_3 `x}= 3 log`_3 `2]

[eqn: log`_3 `y][eqn: = 3log`_3 `2 cdot log`_3 `x]
[eqn: = 3log`_3 `2 cdot { log`_2 `x} over { log`_2 `3}]
[eqn: = 3 LEFT ( log`_3 `2 RIGHT )^2 cdot { log`_2 `x}] ⋯⋯ ㉠

㉠을 [eqn: 4 LEFT ( log`_2 `x RIGHT ) LEFT ( log`_3 `y RIGHT )=3]에 대입하면

[eqn: 4 LEFT ( log`_2 `x RIGHT ) LEFT {3 LEFT ( log`_3 `2 RIGHT )^2 cdot { log`_2 `x} RIGHT }][eqn: =3]

[eqn: LEFT ( log`_2 ``x RIGHT )^2 = { 1} over { 4 LEFT ( log`_3`2 RIGHT )^2 } = LEFT ( { log`_2`3} over { 4} RIGHT )^2]

위의 방정식의 해 [eqn: alpha>1]이므로 [eqn: log`_2 ``alpha >0]이다.

∴ [eqn: log`_2 `x = { log`_2`3} over { 2}][eqn: = log`_2 ` sqrt { 3}]

따라서 [eqn: x = sqrt { 3}], 즉 [eqn: alpha = sqrt { 3}]이다.

[eqn: x = sqrt { 3}]을 ㉠에 대입하면

[eqn: log`_3 `y][eqn: = 3 LEFT ( log`_3 `2 RIGHT )^2 cdot { log`_2 ` sqrt { 3} }]
[eqn: = 3 over2` log `_3 `2][eqn: = log`_3 `2 sqrt { 2}]

따라서 [eqn: y=2 sqrt { 2}], 즉 [eqn: beta =2 sqrt { 2}]이다.

∴ [eqn: alpha beta][eqn: =sqrt { 3}times2 sqrt { 2}][eqn: =2 sqrt { 6}]

[3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 2sqrt { 5}]	③ [eqn: 2sqrt { 6}]	④ [eqn: 2sqrt { 7}]	⑤ [eqn: 4sqrt { 2}]

[11~12] 자연수 [eqn: {n}]에 대하여 두 함수 [eqn: {f(x)}], [eqn: {g(x)}]를
[eqn: {f(x)=x^2 -6x+7}],
[eqn: {g(x)= x+n}]
이라 하자. 11번과 12번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: n=1]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이는? [3점]

②

[eqn: n=1]일 때, 이차방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]([eqn: alpha <beta])라 하면

구하는 넓이는 [eqn: int_0^alpha left{f(x)-g(x) right}dx]이다.

[eqn: f(x)=g(x)]에서 [eqn: x^2 -6x+7 = x+1]

[eqn: x^2 -7x +6 =0], 즉 [eqn: (x-1)(x-6)=0]

∴ [eqn: alpha=1], [eqn: beta=6]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int_0^1 left{f(x)-g(x)right}dx]

[eqn: =int_0^1 left{x^2 -7x +6right}dx]

[eqn: = left [ x^3 over3 - 7 over2 x^2 +6x right]_0^1]

[eqn: = 1 over3 - 7 over2 +6][eqn: = 17 over6]

① [eqn: 8 over3]	② [eqn: 17 over6]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 19 over6]	⑤ [eqn: 10 over3]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 두 점 사이의 거리를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^10 a_n ^{```2}]의 값은? [3점]

⑤

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha_n], [eqn: beta_n]([eqn: alpha_n <beta_n])이라 하면

직선 [eqn: y=g(x)]의 기울기가 [eqn: 1]이므로 두 점사이의 거리는 [eqn: sqrt { 2} (beta_n -alpha_n )]이다.

[eqn: alpha_n], [eqn: beta_n]은 방정식 [eqn: f(x)=g(x)],

즉 [eqn: x^2 -7x +7-n =0]의 두 근이므로 근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha_n + beta_n =7], [eqn: alpha_n beta_n = 7-n]이다.

∴ [eqn: a_n^{``2}][eqn: = left{sqrt { 2} (beta_n -alpha_n ) right}^2]
[eqn: = 2 left{ (alpha_n +beta_n )^2 -4alpha_n beta_n right}]
[eqn: =2 left{7^2 -4 (7-n) right}]
[eqn: =8n+42]

∴ [eqn: sum_n=1^10 a_n ^{```2}][eqn: =sum_n=1^10 (8n+42)]
[eqn: = 8 cdot { 10cdot11} over { 2} + 10 cdot 42]
[eqn: =860]

① [eqn: 780]	② [eqn: 800]	③ [eqn: 820]	④ [eqn: 840]	⑤ [eqn: 860]

[eqn: 5]개의 꼭짓점으로 이루어진 그래프 [eqn: G]의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 [eqn: M]이라 할 때, 행렬 [eqn: M^2]이 다음과 같다.
[eqn: M^2 = pmatrix{ ``{4}``&``{2}``&``{2}``&``{2}``&``{2}``# ``{2}``&``{3}``&``{1}``&``{3}``&``{1}``# ``{2}``&``{1}``&``{3}``&``{1}``&``{3}``# ``{2}``&``{3}``&``{1}``&``{3}``&``{1}``# ``{2}``&``{1}``&``{3}``&``{1}``&``{3}``}]
행렬 [eqn: M]의 성분 중 [eqn: 1]의 개수를 [eqn: a], 그래프 [eqn: G]의 꼭짓점 중 연결된 변의 개수가 짝수인 것의 개수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, 한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 존재한다.) [3점]

①

행렬 [eqn: M^2]의 [eqn: (i, ``i)]성분은 행렬 [eqn: M]의 [eqn: i]행에 대응하는 그래프 [eqn: G]의 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.

또한, 행렬 [eqn: M]의 [eqn: i]행의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 [eqn: i]행에 대응하는 그래프 [eqn: G]의 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.

(단, [eqn: i=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5])

주어진 행렬 [eqn: M^2]에 의하여 행렬 [eqn: M]의 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]행에 대응하는 그래프 [eqn: G]의 꼭짓점에 연결된 변의 개수는 각각 [eqn: 4], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3]이다.

∴ [eqn: a=4+3+3+3+3 =16], [eqn: b=1]

∴ [eqn: a+b=17]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: 2x^3 +ax^2 +6x-3 =t]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4점]

⑤

[eqn: f(x)=2x^3 +ax^2 +6x-3]이라 하면 [eqn: g(t)]는

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 서로 다른 교점의 개수와 같다.

삼차함수 [eqn: f(x)]가 극값을 가지면 그림과 같이 [eqn: t]가 극값과 같을 때를 기준으로 [eqn: g(t)]의 값이 변한다.

따라서 함수 [eqn: g(t)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 함수 [eqn: f(x)]가 그림과 같이 극값을 갖지 않아야 한다.

[eqn: f(x)=2x^3 +ax^2 +6x-3]에서 [eqn: f`'(x)=6x^2 +2ax +6]

[eqn: f(x)]가 극값을 갖지 않으려면 방정식 [eqn: f`'(x)=0]이 서로 다른 실근을 갖지 않으면 된다.

이차방정식 [eqn: f`'(x)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over4 =a^2 -36 le 0]에서 [eqn: -6 le a le6]

따라서 구하는 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 6-(-6)+1 =13]개다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B]가

을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E] 는 단위행렬이다.) [4점]

⑤

ㄱ. [eqn: AB=A-B]에서
[eqn: AB -A+B-E = -E]
[eqn: (A+E)(B-E)=-E]
∴ [eqn: (A+E)^-1 = E-B]
[eqn: (A+E)(E-B)=E], [eqn: (E-B)(A+E)][eqn: =E]이므로
[eqn: (A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)]에서
[eqn: AB=BA] (참)

ㄴ. [eqn: AB=A-B]이고 [eqn: AB=BA]이므로
[eqn: 2BA+2B=A^2]에서
[eqn: 2(A-B)+2B =A^2], 즉 [eqn: A^2 =2A]
[eqn: A^2 -2A -3E =-3E]에서
[eqn: (A+E)(A-3E) =-3E]
∴ [eqn: (A-3E)^-1 = - 1 over3 (A+E)]
따라서 [eqn: A-3E]의 역행렬이 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: (A+E)(A-3E) =-3E]에서
[eqn: (A+E)^-1 = 1 over3 (3E-A)]
ㄱ에서 [eqn: (A+E)^-1 = E-B]이므로
[eqn: 1 over3 (3E-A) = E-B]
∴ [eqn: A =3B]
∴ [eqn: (A+B)^2][eqn: =(4B)^2][eqn: =16B^2] (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[eqn: AB=A-B], [eqn: 2BA+2B=A^2]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: AB=BA] ㄴ. [eqn: A-3E] 의 역행렬이 존재한다. ㄷ. [eqn: (A+B)^2 =16B^2]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]이 있다. 그림과 같이 변 [eqn: rm A_1 D_1]의 중점을 [eqn: rm M_1]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]과 [eqn: rm M_1 C_1 D_1]에 각각 내접하는 두 원을 그리고, 두 원에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 두 꼭짓점이 변 [eqn: rm B_1 C_1] 위에 있고 삼각형 [eqn: rm M_1 B_1 C_1]에 내접하는 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]를 그린 후 변 [eqn: rm A_2 D_2]의 중점을 [eqn: rm M_2]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm A_2 B_2 M_2]와 [eqn: rm M_2 C_2 D_2]에 각각 내접하는 두 원을 그리고, 두 원에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에서 두 꼭짓점이 변 [eqn: rm B_2 C_2] 위에 있고 삼각형 [eqn: rm M_2 B_2 C_2]에 내접하는 정사각형 [eqn: rm A_3 B_3 C_3 D_3]을 그린 후 변 [eqn: rm A_3 D_3]의 중점을 [eqn: rm M_3]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm A_3 B_3 M_3]과 [eqn: rm M_3 C_3 D_3]에 각각 내접하는 두 원을 그리고, 두 원에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은? [4점]

①

합동인 두 삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]과 [eqn: rm M_1 C_1 D_1]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하자.

삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]에 내접하는 원의 중심에서 모든 변에 이르는 거리는 [eqn: r]이므로

삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]의 넓이는 [eqn: 1 over2 LEFT ( bar{rm A_1 B_1 } + bar{rm B_1 M_1 }+bar{rm M_1 A_1} RIGHT ) r]로 나타낼 수 있다.

그런데 삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]는 직각삼각형이므로

[eqn: bar{rm B_1 M_1}][eqn: = sqrt { 1^2 +2^2}= sqrt { 5}]이고 넓이는 [eqn: 1 over2 times 2 times1 =1]이다.

따라서 [eqn: 1 over2 (2+1+ sqrt { 5}) r=1]에서 [eqn: r = { 2} over { 3+ sqrt { 5} } = { 3- sqrt { 5} } over { 2}]이다.

∴ [eqn: S_1 = 2 times pi LEFT ( { 3- sqrt { 5} } over { 2} RIGHT )^2][eqn: = LEFT ( 7-3 sqrt { 5} RIGHT )pi]

[eqn: bar{rm A_2 M_2}][eqn: =a]라 하면 삼각형 [eqn: rm M_1 A_2 M_2]와 삼각형 [eqn: rm B_1 M_1 A_1]은 닮음이므로 [eqn: bar{rm M_1 M_2}=2a]이다.

따라서 [eqn: 2a+2a = 2]에서 [eqn: a= 1 over2]이다.

따라서 [eqn: S_n]은 첫째항이 [eqn: LEFT ( 7-3 sqrt { 5} RIGHT )pi]이고 공비가 [eqn: LEFT ( 1 over2 RIGHT )^2][eqn: = 1 over4]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.

∴ [eqn: lim_n->inf S_n][eqn: =sum_n=1^inf LEFT ( 7-3 sqrt { 5} RIGHT )pi times LEFT ( 1 over4 RIGHT )^n-1]
[eqn: ={ LEFT ( 7-3 sqrt { 5} RIGHT )pi} over { 1- 1 over4}]
[eqn: ={ 4(7-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]

① [eqn: { 4(7-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]	② [eqn: { 4(8-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]	③ [eqn: { 5(7-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]
④ [eqn: { 5(8-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]	⑤ [eqn: { 5(9-4 sqrt { 5}) } over { 3}pi]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

조건 (가)에 의하여 [eqn: f(0)=0]

조건 (나)에 의하여 [eqn: f(2)=f(0)+2 =2]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim_x->2-0 f(x) = f(2)]에서 [eqn: 4a =2]

∴ [eqn: a = 1 over2]

함수 [eqn: f(x)]가 연속함수이므로 임의의 실수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: int_n+2^n+4 f(x)dx][eqn: = int_n^n+2 f(x+2)dx]
[eqn: = int_n^n+2 left{f(x)+2right}dx]
[eqn: = int_n^n+2 f(x)dx +4]

가 성립한다. 따라서

[eqn: int_1^7 f(x)dx][eqn: = int_1^3 f(x)dx + int_3^5 f(x)dx + int_5^7 f(x)dx]
[eqn: = int_1^3 f(x)dx+ LEFT ( int_1^3 f(x)dx+4 RIGHT ) + LEFT ( int_1^3 f(x)dx+8 RIGHT )]
[eqn: =3 int_1^3 f(x)dx +12]

위 그림에서

[eqn: int_1^3 f(x)dx][eqn: = int_0^2 1 over2 x^2 dx + 2][eqn: = left[ x^3 over6 right]_0^2 +2][eqn: = 10 over3]

∴ [eqn: int_1^7 f(x)dx][eqn: =3 times 10 over3 +12][eqn: =22]

(가) [eqn: f(x)=ax^2] ([eqn: 0 le x <2])

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)+2]이다.

[eqn: int_1^7 f(x)dx]의 값은?  (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2^x-1 +1]위의 점 [eqn: rmA]와 곡선
[eqn: y=log`_2 `(x+1)] 위의 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rmC]에 대하여 두 점 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이고, 직선 [eqn: rm AC]는 [eqn: x]축과 평행하다. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: (p, ``q)]일 때, [eqn: p+q]의 값은? [4점]

⑤

점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (a, ``2^a-1 +1)]

점 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로

점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: (2^a-1 +1 , ``a)]

점 [eqn: rm B]가 곡선 [eqn: y=log`_2 `(x+1)] 위의 점이므로

[eqn: a = log`_2 ``(2^a-1 +2 )]

[eqn: 2^a = 2^a-1 +2]

[eqn: 2^a-1 =2]

∴ [eqn: a=2]

점 [eqn: rm A]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2^{ 2-1} +1][eqn: = 3]

직선 [eqn: rm AC]가 [eqn: x]축과 평행하므로 점 [eqn: rm C]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 3]이다.

[eqn: log`_2 `(x+1)= 3]에서 [eqn: x = 2^3 -1 =7]

∴ [eqn: rm A][eqn: LEFT ( 2 , ``3RIGHT )], [eqn: rm B][eqn: LEFT (3, ``2 RIGHT )], [eqn: rm C][eqn: LEFT (7, ``3 RIGHT )]

∴ [eqn: p][eqn: = { 2+3+7} over { 3}=4], [eqn: q = { 3+2+3} over { 3} = 8 over3]

∴ [eqn: p+q = 20 over3]

① [eqn: 16 over3]	② [eqn: 17 over3]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 19 over3]	⑤ [eqn: 20 over3]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 = - 5 over3]이고

를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

④

(*)에서

[eqn: a_n+1 +2][eqn: `=`- {3a _{n} +2} over {a _{n}} +2`=`- {a _{n} + {BOX{``2``}}} over {a _{n}} ``(n GEQ 1)] ⋯⋯ ㉠

이다. 여기서

[eqn: b_n = 1 over{a_n +2] ([eqn: n ge1])

이라 하면 [eqn: a_1 = - 5 over3]이므로 [eqn: b_1 = { 1 } over {- 5 over3 +2 } =3]이고

[eqn: b_n+1][eqn: = 1 over{a_n+1 +2}][eqn: = - a_n over{ a_n +2 }](∵ ㉠)
[eqn: = - {(a_n +2)-2} over{ a_n +2 }]
[eqn: = -1+ 2 over{ a_n +2 }]
[eqn: = 2b_n -]   ([eqn: n ge1])

[eqn: 1]

이다.

[eqn: b_n+1 -1][eqn: = 2b_n -2][eqn: = 2(b_n -1 )]

이므로 수열 [eqn: left{b_n -1 right}]은 첫째항이 [eqn: b_1 -1][eqn: =2]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

∴ [eqn: b_n -1 = 2^n]

수열 [eqn: left{b_n right}]의 일반항은

[eqn: b_n =]    ([eqn: n ge1])

[eqn: 2^n +1]

이므로

[eqn: a _{n} = {1} over {2 ^{n} +1} -2```(n GEQ 1)]

이다.

∴ [eqn: p][eqn: =2], [eqn: q][eqn: =1], [eqn: f(n)][eqn: =2^n +1]

∴ [eqn: p timesq times f(5)][eqn: = 2 times 1 times LEFT ( 2^5 +1 RIGHT )][eqn: =66]

[eqn: a_n+1 = - { 3a_n +2} over { a_n}] ([eqn: n ge1]) ⋯⋯ (*)

(*)에서

[eqn: a _{n+1} +2=`- {a _{n} + BOX{`````(가)`````}} over {a _{n}}] ([eqn: n ge1])

이다. 여기서

[eqn: b_n = 1 over{a_n +2] ([eqn: n ge1])

이라 하면 [eqn: b_1 =3]이고

[eqn: b_n+1 = 2b_n -]   ([eqn: n ge1])

(나)

이다. 수열 [eqn: left{b_n right}]의 일반항을 구하면

[eqn: b_n =]    ([eqn: n ge1])

(다)

이므로

[eqn: a _{n} =` {1} over {BOX{````(다)`````}}][eqn: -2]  ([eqn: n ge1])

이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 하고, (다)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: p timesq times f(5)]의 값은? [4점]

① [eqn: 54]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 62]	④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 70]

바닥에 놓여 있는 [eqn: 5]개의 동전 중 임의로 [eqn: 2]개의 동전을 선택하여 뒤집는 시행을 하기로 한다. [eqn: 2]개의 동전은 앞면이, [eqn: 3]개의 동전은 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여있는 상태에서 이 시행을 [eqn: 3]번 반복한 결과 [eqn: 2]개의 동전은 앞면이, [eqn: 3]개의 동전은 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여 있을 확률은? (단, 동전의 크기와 모양은 모두 같다.) [4점]

③

앞면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 [eqn: a], 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 [eqn: b]일 때, [eqn: (a, ``b)]로 나타내기로 하면

최초의 상태는 [eqn: (2,``3)]이고 [eqn: 3]번의 시행의 결과도 [eqn: (2,``3)]이다.

가능한 경우를 표를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

	시행		시행		시행
[eqn: (2,``3)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	(ⅰ)
				[eqn: (0,``5)]			(ⅱ)
				[eqn: (4,``1)]			(ⅲ)
	⇨	[eqn: (0,``5)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	⇨		(ⅳ)
	⇨	[eqn: (4,``1)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	⇨		(ⅴ)
				[eqn: (4,``1)]			(ⅵ)

(ⅰ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over125]

(ⅱ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: 1][eqn: = 3 over50]

(ⅲ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over250]

(ⅳ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: 1][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 3 over50]

(ⅴ)의 확률은

[eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over250]

(ⅵ)의 확률은

[eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_1 rmC_1 times `_4 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: = 18 over250]

(ⅰ)~(ⅵ)에서 구하는 확률은

[eqn: 27 over125 + 3 over50 + 27 over250 + 3 over50 + 27 over250 + 18over250][eqn: = 78 over125]

① [eqn: 77 over125]	② [eqn: 31 over50]	③ [eqn: 78 over125]	④ [eqn: 157 over250]	⑤ [eqn: 79 over125]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rm A]에서의 접선을 [eqn: l]이라 할 때, 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점 중에서 [eqn: rm A]가 아닌 점을 [eqn: rm B]라 하자. 또, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rm B]에서의 접선을 [eqn: m]이라 할 때, 직선 [eqn: m]이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점 중에서 [eqn: rm B]가 아닌 점을 [eqn: rm C]라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 서로 수직이고 직선 [eqn: m]의 방정식이 [eqn: y=x]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rm C]에서의 접선의 기울기는? (단, [eqn: f(0)>0]이다.) [4점]

②

점 [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: b], [eqn: c]라 하면

직선 [eqn: m]과 곡선 [eqn: y=f(x)]가 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm C]에서 만나고 [eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이므로

[eqn: f(x)-x =(x-b)^2 (x-c)] ⋯⋯ ㉠

로 놓을 수 있다.

점 [eqn: rm B]는 직선 [eqn: y=x] 위의 점이므로 좌표는 [eqn: (b, ``b)]이다.

직선 [eqn: l]은 점 [eqn: rm B]를 지나며 직선 [eqn: y=x]와 수직이므로 기울기가 [eqn: -1]이다.

따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=-x+2b]이다.

점 [eqn: rm A]는 직선 [eqn: l]의 [eqn: y]절편이므로 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (0, ``2b)], 즉 [eqn: f(0)=2b]이다.

문제의 조건에서 [eqn: f(0)>0]이므로 [eqn: b>0]이다.

㉠의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(0)][eqn: =-b^2 c =2b]

∴ [eqn: bc =-2] (∵ [eqn: b>0]) ⋯⋯ ㉡

직선 [eqn: l]은 점 [eqn: rm A]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 접하므로 [eqn: f`'(0)=-1]이다.

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)-1 = 2(x-b)(x-c)+(x-b)^2] ⋯⋯ ㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f`'(0)-1][eqn: =2bc+b^2][eqn: =-2]

[eqn: b^2 =2] (∵ ㉡)

∴ [eqn: b= sqrt { 2}] (∵ [eqn: b>0])

[eqn: b= sqrt { 2}]를 ㉡에 대입하면 [eqn: c=- sqrt { 2}]

구하는 값은 [eqn: f`'(c)]이므로 ㉢에 [eqn: x=c]를 대입하면

[eqn: f`'(c)-1 = (c-b)^2 = (-2 sqrt { 2})^2 =8]

∴ [eqn: f`'(c)=9]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -kx+72=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: alpha+beta]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 18]

[eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: alpha+beta]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2beta =alpha +(alpha+beta)]에서 [eqn: beta =2alpha]⋯⋯ ㉠

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha+beta =k], [eqn: alpha beta =72]

[eqn: alpha beta =72]에 ㉠을 대입하면

[eqn: 2alpha^2 =72]

∴ [eqn: alpha =+-6], [eqn: beta=+-12] (∵ ㉠)

그런데 [eqn: alpha+beta=k>0]이므로

[eqn: alpha =6], [eqn: beta=12]

∴ [eqn: k = alpha+beta =18]

주머니에 크기와 모양이 같은 흰 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내어 색을 확인한 후 다시 넣지 않는다. 이와 같은 시행을 두 번 반복하여 두 번째 꺼낸 공이 흰 공이었을 때, 첫 번째 꺼낸 공도 흰 공이었을 확률이 [eqn: p]이다. [eqn: 40p]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 10]

(ⅰ) 첫 번째 꺼낸 공과 두 번째 꺼낸 공이 모두 흰 공일 확률은
[eqn: { `_2 rmC_1} over { `_5 rmC_1} times{ `_1 rmC_1} over { `_4 rmC_1}][eqn: = 1 over10]

(ⅱ) 첫 번째 꺼낸 공이 검은 공이고 두 번째 꺼낸 공이 흰 공일 확률은
[eqn: { `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_1} times{ `_2 rmC_1} over { `_4 rmC_1}][eqn: = 3 over10]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: p=][eqn: { 1 over10} over { 1 over10 + 3 over10}][eqn: = 1 over4]

∴ [eqn: 40p =10]

함수 [eqn: f(x)=3x^2 +4x]에 대하여 [eqn: lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n f LEFT ( 1+ 2k overn RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 21]

[eqn: lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n f LEFT ( 1+ 2k overn RIGHT )][eqn: = 1 over2 times lim_n->inf 2 overn sum_k=1^n f LEFT ( 1+ 2k overn RIGHT )]
[eqn: = 1 over2 int _{ 1} ^{3 } { f(x)}dx]
[eqn: = 1 over2 int _{ 1} ^{3 } {(3x^2 +4x)}dx]
[eqn: = 1 over2 left[ x^3 +2x^2 matrix{it#it} right]_1^3]
[eqn: =21]

구간 [eqn: [0, ``4]]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가

일 때, [eqn: {rmE}(6X+5)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

[eqn: 15]

[eqn: {rm P}(0 le X le 4)][eqn: =][eqn: int_0^4 f(x)dx =1]이어야하므로

[eqn: int_0^4 f(x)dx][eqn: =int_0^1 f(x)dx+int_1^4 f(x)dx]
[eqn: =int_0^1 1 over2 x `dx+int_1^4 a(x-4)dx]
[eqn: = left[ x^2 over4 right]_0^1 + a left[ x^2 over2 -4x right]_1^4]
[eqn: = 1 over4 - 9 over2 a]
[eqn: =1]

∴ [eqn: a = - 1 over6]

∴ [eqn: {rmE}(X)][eqn: = int_0^4 x f(x)dx]
[eqn: =int_0^1 xf(x)dx+int_1^4 xf(x)dx]
[eqn: =int_0^1 x^2 over2 dx+int_1^4 { 4x-x^2} over { 6} dx]
[eqn: = left[ x^3 over6 right]_0^1 + left[ x^2 over3 - x^3 over18 right]_1^4]
[eqn: = 1 over6 + 3 over2][eqn: = 5 over3]

∴ [eqn: {rmE}(6X+5)][eqn: =6times {rmE}(X)+5][eqn: =10+5][eqn: =15]

[다른 풀이]

[eqn: f(x)]가 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: f(1)= lim _{x -> 1+} {} f(x)]에서 [eqn: 1 over2 = -3a]

∴ [eqn: a = - 1 over6]

⋮ (생략)

[eqn: f(x) =]	[eqn: cases{ matrix{it#it#it #it}]	[eqn: 1 over2 x]		([eqn: 0 le x le1])
		[eqn: a(x-4)]		([eqn: 1 <x le4])

수직선 위의 원점에 있는 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]를 다음의 규칙에 따라 이동시킨다.

[eqn: 121]

[eqn: 5] 이상의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: X]라 하면 [eqn: 4] 이하의 눈이 나오는 횟수는 [eqn: 5-X]이므로

점 [eqn: rm A]의 위치는 [eqn: 2X-2(5-X)][eqn: =4X-10]이고

점 [eqn: rm B]의 위치는 [eqn: -X+(5-X) =5-2X]이다.

이때, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B] 사이의 거리는

[eqn: |(4X-10)-(5-2X)|][eqn: =|`6X-15`|]

이다.

[eqn: |`6X-15`| le3]에서

[eqn: -3 le 6X-15 le3], 즉 [eqn: 2 le X le 3]

주사위를 던져 [eqn: 5] 이상의 눈이 나올 확률은 [eqn: 2 over6 = 1 over3]이므로

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {rmB}left (5, ``1 over3 right)]를 따른다.

따라서 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B] 사이의 거리가 [eqn: 3] 이하가 될 확률은

[eqn: {rm P}(2 le X le 3)][eqn: ={rm P}(X=2)+{rm P}(X=3)]
[eqn: = `_{5}{rmC}_{2} left( 1 over3 right)^2 left( 2 over3 right)^3 + ` `_{5}{rmC}_{3} left( 1 over3 right)^3 left( 2 over3 right)^2][eqn: = 40 over81]

∴ [eqn: p=81], [eqn: q=40]

∴ [eqn: p+q][eqn: =121]

(가) 주사위를 던져 [eqn: 5] 이상의 눈이 나오면 [eqn: rm A]를 양의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: rm B]를 음의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동시킨다.

(나) 주사위를 던져 [eqn: 4] 이하의 눈이 나오면 [eqn: rm A]를 음의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: rm B]를 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동시킨다.

주사위를 [eqn: 5]번 던지고 난 후 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B] 사이의 거리가 [eqn: 3] 이하가 될 확률이 [eqn: q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

수열 [eqn: left{a_n right}]이

일 때, [eqn: left{a_n right}]의 계차수열을 [eqn: left{b_n right}]이라 하자. 수열 [eqn: left{b_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: T_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf { T_4n} over { T_2n-1}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 16]

계차수열의 정의에 의하여

[eqn: a_n+1][eqn: = a_1 +sum_k=1^n b_n][eqn: =a_1 +T_n]이므로

[eqn: T_n = a_n+1 - a_1]이다. 따라서

[eqn: T_4n][eqn: =a_4n+1 - a_1]
[eqn: =LEFT ( 2^2n+2 -3 RIGHT ) -1] (∵ [eqn: 4n+1 = 2(2n+1)-1])
[eqn: = 4^n+1 -4]

이고

[eqn: T_2n-1][eqn: =a_2n -a_1][eqn: = LEFT ( 4^n-1 +2^n RIGHT )-1]

이다.

∴ [eqn: lim_n->inf { T_4n} over { T_2n-1}][eqn: =lim_{n->inf} { 4^n+1 -4 } over{ 4^n-1 +2^n -1 }]
[eqn: =lim_{n->inf} { 4 - 4 over 4^n } over{ 1 over4 + 1 over2^n - 1over4^n }]
[eqn: =16]

[eqn: cases{ matrix{it#it#it #it}]	[eqn: a_2n-1 = 2^n+1 -3]		([eqn: n ge1])
	[eqn: a_2n][eqn: =4^n-1 +2^n]		([eqn: n ge1])

어느 공연장에 [eqn: 15]개의 좌석이 일렬로 배치되어 있다. 이 좌석 중에서 서로 이웃하지 않도록 [eqn: 4]개의 좌석을 선택하려고 한다. 예를 들면, 아래 그림의 색칠한 부분과 같이 좌석을 선택한다.

이와 같이 좌석을 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 좌석을 선택하는 순서는 고려하지 않는다.) [4점]

[eqn: 495]

선택된 [eqn: 4]개의 좌석을 [eqn: ○]로 표현하자.

[eqn: rm A][eqn: ○][eqn: rm B][eqn: ○][eqn: rm C][eqn: ○][eqn: rm D][eqn: ○][eqn: rm E]

조건을 만족시키려면 [eqn: rm A], [eqn: rm E] 자리엔 각각 [eqn: 0]개 이상의 좌석이 놓이면 되고,

[eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D] 자리엔 각각 [eqn: 1]개 이상의 좌석이 놓이면 된다.

[eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D], [eqn: rm E] 자리에 놓이는 좌석의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]라 하면

[eqn: a+b+c+d+e =11]

[eqn: b= b'+1], [eqn: c=c'+1], [eqn: d =d'+1]이라 하면

[eqn: a+b'+c'+d'+e =8]

구하는 경우의 수는 위의 등식을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b'], [eqn: c'], [eqn: d'], [eqn: e]의 순서쌍 [eqn: (a, ``b' , ``c' , ``d', ``e)]의 개수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: `_{5+8-1} rmC_8][eqn: =`_12 rmC_4][eqn: = 495]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 세 직선 [eqn: y=x+1],
[eqn: y=-x+2n+1], [eqn: y= x overn+1]로 둘러싸인 삼각형의 내부 (경계선 제외)에 있는 점 [eqn: (x, ``y)]중에서 [eqn: x], [eqn: y]가 모두 자연수인 점의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: a_n =133]인 [eqn: n]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 12]

직선 [eqn: y=x+1]과 [eqn: y=-x+2n+1]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x+1 =-x+2n+1]에서 [eqn: x=n]이다.

따라서 두 직선은 [eqn: (n , ``n+1)]에서 만난다.

또한, 직선 [eqn: y=-x+2n+1]의 [eqn: x]절편은 [eqn: 2n+1]이고

직선 [eqn: y= x overn+1]는 두 점 [eqn: (n+1 , ``1)]과 [eqn: (2n+2 , ``2)]를 지난다.

(ⅰ) [eqn: n=1], [eqn: 2]일 때,

위의 그림에서 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =3]이다.

(ⅱ) [eqn: n ge3]일 때,

직선 [eqn: y=-x+2n+1]과 [eqn: y=-x+2n+1]는 위의 그림과 같이 [eqn: 2n-1 <x<2n]인 범위에서 만난다.

∴ [eqn: a_n][eqn: = (1+2+cdots+n )+left{(n-2)+(n-3)+cdots +1 right}]
[eqn: = { n(n+1)} over { 2} + { (n-2)(n-1)} over { 2}]
[eqn: = n^2 -n+1]

(ⅰ),(ⅱ)에서 [eqn: a_n = n^2 -n+1] ([eqn: n ge1])

[eqn: a_n = n^2 -n+1][eqn: =133]에서

[eqn: n (n-1)=132 = 12 cdot11]

∴ [eqn: n =12]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log`x]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 하자. [eqn: 1 <x<10^5]인 [eqn: x]에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: log`A]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log`3 =0.4771]로 계산한다.) [4점]

[eqn: 23]

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: g(x^k )][eqn: = k times g(x) -a_k]

을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a_k]가 존재한다.

조건 (가)에서

[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 5 g(x) + sum_k=1^5 a_k]이고

[eqn: g(x^10 )+2 = 10 g(x)+a_10 +2]이므로

[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]에서

[eqn: 5 g(x) = a_10 - sum_k=1^5 a_k +2]

위 등식의 우변이 정수이므로 [eqn: 5g(x)]도 정수이어야 한다.

∴ [eqn: g(x)=0], [eqn: 1 over5], [eqn: 2 over5], [eqn: 3 over5], [eqn: 4 over5] (∵ [eqn: 0 le g(x) <1]) ⋯⋯ ㉠

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: f(kx) ge f(x)]

이다. 조건 (나)에서

[eqn: sum_k=1^3 f(kx)=3f(x)]

이므로 [eqn: f(3x) = f(x)]이어야 한다.

[eqn: log `3x = f(x)+ g(x)+log`3]이므로

[eqn: f(3x)= f(x)]이려면 [eqn: g(x)+log`3 <1]이어야 한다.

∴ [eqn: g(x)< 1- log``3 =0.5229] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: g(x)=0], [eqn: 1 over5], [eqn: 2 over5]

(ⅰ) [eqn: g(x)=0]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=0]이고 [eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )!=g(x^10 )+2]

(ⅱ) [eqn: g(x)= 1 over5]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 1 over5 + 2 over5 + 3 over5 + 4 over5 +0 = 2]이고
[eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(ⅲ) [eqn: g(x)= 2 over5]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 2 over5 + 4 over5 + 1 over5 + 3 over5 +0 = 2]
[eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)에서 [eqn: g(x)= 1 over5] 또는 [eqn: g(x)= 2 over5]

[eqn: 1 <x<10^5]이므로 [eqn: 0 le f(x)<5]이다.

따라서 [eqn: x]가 조건을 만족시킬 때,
[eqn: log`x = f(x)+g(x)]

이다. (단, [eqn: f(x)=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이고 [eqn: g(x) = 1 over5], [eqn: 2 over5])

∴ [eqn: log`A][eqn: =sum_k=1^5 LEFT {(k-1)+ 1 over5 RIGHT } +sum_k=1^5 LEFT {(k-1)+ 2 over5 RIGHT }]
[eqn: = 11+12][eqn: =23]

(가) [eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(나) [eqn: sum_k=1^3 f(kx)=3f(x)]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2016년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설