◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2016학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: `_{3}{rmH}_{1}+`_{3}{rmH}_{2}+`_{3}{rmH}_{3}]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: `_{3}{rmH}_{1}+`_{3}{rmH}_{2}+`_{3}{rmH}_{3}][eqn: =`_{3}{rmC}_{1}+`_{4}{rmC}_{2}+`_{5}{rmC}_{3}][eqn: =3+6+10=19]

[참고]

[eqn: x_1 +x_2 +cdots +x_n le m]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x_1], [eqn: x_2], ⋯, [eqn: x_n]을 정하는 방법의 수는

[eqn: sum_k=0^m `_{n}{rmH}_{k}]이다.

그런데 [eqn: x_1 +x_2 +cdots +x_n le m]이면 [eqn: x_1 +x_2 +cdots +x_n +x_n+1 =m]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x_n+1]이 존재하므로 결국 [eqn: sum_k=0^m `_{n}{rmH}_{k}][eqn: =`_{n+1}{rmH}_{m}]이다.

위의 공식에 의하여

[eqn: `_{3}{rmH}_{1}+`_{3}{rmH}_{2}+`_{3}{rmH}_{3}][eqn: =`_4 rmH_3 - `_3 rmH_0][eqn: =20-1][eqn: =19]

로 계산할 수 있다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: (A+B)][eqn: pmatrix{``{1}``#``{1}``}=pmatrix{``{3}``#``{6}``}]이고 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2]일 때, 행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합은?

⑤

임의의 행렬 [eqn: M= pmatrix{``{a_1}``&``{a_2}``#``{a_3}``&``{a_4}``}]에 대하여

[eqn: M pmatrix{``{1}``#``{1}``}= pmatrix{``{a_1}``&``{a_2}``#``{a_3}``&``{a_4}``} pmatrix{``{1}``#``{1}``} =pmatrix{``{a_1 +a_2}``#``{a_3 +a_4}``}]

이므로 행렬 [eqn: M pmatrix{``{1}``#``{1}``}]의 모든 성분의 합은 행렬 [eqn: M]의 모든 성분의 합과 같다.

[eqn: (A+B)][eqn: pmatrix{``{1}``#``{1}``}=pmatrix{``{3}``#``{6}``}]이므로 행렬 [eqn: A+B]의 모든 성분의 합은 [eqn: 3+6=9]이고

행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2]이므로 행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합은 [eqn: 9-2 =7]이다.

[2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

좌표공간에서 두 점 [eqn: rm A(2, ``3, ``-1)], [eqn: rm B(-1 , ``3, ``2)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점의 좌표를 [eqn: (a, ``b, ``c)]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은? [2점]

③

선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {1cdot(-1)+2cdot2 } over { 1+2}, `` { 1cdot3+2cdot3} over {1+2 }, `` { 1cdot2+2cdot(-1)} over { 1+2} RIGHT )]

즉, [eqn: (1, ``3, ``0)]이다.

∴ [eqn: a=1], [eqn: b=3], [eqn: c=0]

∴ [eqn: a+b+c=4]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``{2}``&``{1}``#``{1}``&``{1}``}], [eqn: B= pmatrix{``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}]가 있다. 행렬 [eqn: AB]로 나타내어지는 일차변환에 의하여 두 점 [eqn: (1, ``0)], [eqn: (0, ``1)]이 각각 두 점 [eqn: (0, ``2)], [eqn: (-2 , ``0)]으로 옮겨질 때, [eqn: a+b+c+d]의 값은? [3점]

④

[eqn: AB pmatrix{``{1}``#``{0}``}= pmatrix{``{0}``#``{2}``}], [eqn: AB pmatrix{``{0}``#``{1}``} = pmatrix{``{-2}``#``{0}``}]이므로

[eqn: AB pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``}][eqn: = pmatrix{``{0}``&``{-2}``#``{2}``&`````````{0}``}], 즉 [eqn: AB][eqn: = pmatrix{``{0}``&``{-2}``#``{2}``&`````````{0}``}]이다.

따라서 [eqn: pmatrix{``{2}``&``{1}``#``{1}``&``{1}``} pmatrix{``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}][eqn: = pmatrix{``{0}``&``{-2}``#``{2}``&`````````{0}``}]에서

[eqn: pmatrix{``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}][eqn: = { pmatrix{``{2}``&``{1}``#``{1}``&``{1}``}}^-1 pmatrix{``{0}``&``{-2}``#``{2}``&`````````{0}``}]
[eqn: =pmatrix{`````````{1}``&``{-1}``#``{-1}``&`````````{2}``} pmatrix{``{0}``&``{-2}``#``{2}``&`````````{0}``}]
[eqn: =pmatrix{``{-2}``&``{-2}``#`````````{4}``&`````````{2}``}]

∴ [eqn: a=-2], [eqn: b=-2], [eqn: c=4], [eqn: d=2]

∴ [eqn: a+b+c+d][eqn: =2]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

쌍곡선 [eqn: 7x^2 -ay^2 =20] 위의 점 [eqn: (2, ``b)]에서의 접선이 점 [eqn: (0, ``-5)]를 지날 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

①

점 [eqn: (2, ``b)]이 쌍곡선 [eqn: 7x^2 -ay^2 =20] 위의 점이므로

[eqn: 4 cdot2^2 -ab^2 =20]

∴ [eqn: ab^2 =8] ⋯⋯ ㉠

쌍곡선 [eqn: 7x^2 -ay^2 =20] 위의 점 [eqn: (2, ``b)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 7(2x)-a(by)=20] 즉, [eqn: 14x -aby =20]

직선 [eqn: 14x -aby =20]이 점 [eqn: (0, ``-5)]를 지나므로

[eqn: 5ab =20]

∴ [eqn: ab=4] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=2], [eqn: b=2]

∴ [eqn: a+b=4]

[다른 풀이]

점 [eqn: (2, ``b)]이 쌍곡선 [eqn: 7x^2 -ay^2 =20] 위의 점이므로

[eqn: 4 cdot2^2 -ab^2 =20]

∴ [eqn: ab^2 =8] ⋯⋯ ㉠

[eqn: 7x^2 -ay^2 =20]에서 음함수의 미분법에 의하여

[eqn: 14x -2ay cdot dy overdx =0]

∴ [eqn: dy overdx = 7x overay]

점 [eqn: (2, ``b)]에서의 접선의 기울기는 두 점 [eqn: (2, ``b)], [eqn: (0, ``-5)]를 지나는 직선의 기울기와 같으므로

[eqn: { 7cdot2} over { ab} = b+5 over2]

[eqn: 28 =ab^2 +5ab = 8+ab](∵ ㉠)

∴ [eqn: ab =4] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=2], [eqn: b=2]

∴ [eqn: a+b=4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

②

[eqn: int_0^1 tf(t)dt =c]라 하면 [eqn: f(x)=e^x +c]

[eqn: c][eqn: =int _{0} ^{1} {} tf(t)dt][eqn: = int_0^1 (te^t +ct)dt]
[eqn: = left[ t e^t matrix{it#it} right]_0^1 - int_0^1 e^t dt + left[ ct^2 over2 right]_0^1]
[eqn: =e - left[ e^t matrix{it#it} right]_0^1 + c over2]
[eqn: =1+ c over2]

∴ [eqn: c=2]

∴ [eqn: f(x)][eqn: =e^x +2]

∴ [eqn: int_0^1 f(x)dx][eqn: =int_0^1 (e^x +2 )dx]
[eqn: = left[ e^x +2x matrix{it#it} right]_0^1]
[eqn: =e+1]

[eqn: f(x)=e^x +int_0^1 tf(t)dt]

를 만족시킬 때, [eqn: int_0^1 f(x)dx]의 값은? [3점]

① [eqn: e-1]	② [eqn: e+1]	③ [eqn: 2e-1]
④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 2e+1]

[eqn: z]	[eqn: rmP LEFT ( 0`le`itZ`le`z RIGHT )]
[eqn: 0.4]	[eqn: 0.16]
[eqn: 0.6]	[eqn: 0.23]
[eqn: 0.8]	[eqn: 0.29]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]

어느 과수원에서 생산되는 사과의 무게는 평균이 [eqn: 350 rmg]이고 표준편차가 [eqn: 30 rmg]인 정규분포를 따르고, 배의 무게는 평균이 [eqn: 490 rmg]이고 표준편차가 [eqn: 40 rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에서 생산된 사과 중에서 임의로 선택한 [eqn: 9]개의 무게의 총합을 [eqn: X(rmg)]이라 하고, 이 과수원에서 생산된 배 중에서 임의로 선택한 [eqn: 4]개의 무게의 총합을 [eqn: Y(rmg)]이라 하자. [eqn: X ge3240]이고 [eqn: Y ge2008]일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 사과의 무게와 배의 무게는 서로 독립이다.) [3점]

①

과수원에서 생산된 사과 중에서 임의로 선택한 [eqn: 9]개의 무게의 표본평균을 [eqn: bar{X``}]라 하면 확률변수 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {rm N}left(350 , left(30 over 3 right)^2 right)], 즉 [eqn: {rm N}(350, ``10^2 )]을 따른다.

또한, 과수원에서 생산된 배 중에서 임의로 선택한 [eqn: 4]개의 무게의 표본평균을 [eqn: bar{Y``}]라 하면 확률변수 [eqn: bar{Y``}]는 정규분포 [eqn: {rm N}left(490 , left(40 over 2 right)^2 right)], 즉 [eqn: {rm N}(490, ``20^2 )]을 따른다.

[eqn: X =9bar{X``}], [eqn: Y= 4 bar{Y``}]이고 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]는 독립이다.

∴ [eqn: {rm P}(X ge 3240, ``Y ge2008)]

[eqn: ={rm P}(X ge 3240) times {rm P}(Y ge2008)]

[eqn: = {rm P}( bar{X``}ge360) times {rm P}(bar{Y``}ge 502)]

[eqn: = {rm P}(Z ge1 ) times {rm P}(Z ge0.6)]

[eqn: = left(0.5-{rm P}(0 le Z le1) right) times left(0.5 - {rm P}(0 le Z le 0.6)]

[eqn: = (0.5-0.34)times (0.5-0.23)]

[eqn: =0.0432]

① [eqn: □□□□□□]	② [eqn: □□□□□□]	③ [eqn: □□□□□□]
④ [eqn: □□□□□□]	⑤ [eqn: □□□□□□]

어느 액체의 끓는 온도 [eqn: T]([eqn: CENTIGRADE])와 증기압 [eqn: P]([eqn: rm mmHg]) 사이에는 다음 관계식이 성립한다.

이 액체의 끓는 온도가 [eqn: 0][eqn: CENTIGRADE]일 때와 [eqn: 50][eqn: CENTIGRADE]일 때의 증기압을 각각 [eqn: P_1]([eqn: rm mmHg]), [eqn: P_2]([eqn: rm mmHg])라 할 때, [eqn: P_2 overP_1]의 값은? [3점]

④

주어진 식에 의하여

[eqn: log``P_1 = k- { 1000} over { 0+250}][eqn: =k-4]

[eqn: log``P_2 = k- { 1000} over { 50+250}][eqn: =k- 10 over3]

[eqn: log``P_2 overP_1][eqn: =log``P_2 - log``P_1]
[eqn: = LEFT ( k- 10 over3 RIGHT )- LEFT ( k-4 RIGHT )]
[eqn: = 2 over3]

∴ [eqn: P_2 overP_1 = 10^{2 over3}]

[eqn: log``P = k- { 1000} over { T+250}] (단, [eqn: k]는 상수)

① [eqn: 10^{1 over4}]	② [eqn: 10^{1 over3}]	③ [eqn: 10^{1 over2}]	④ [eqn: 10^{2 over3}]	⑤ [eqn: 10^{3 over4}]

주머니에 흰 공 [eqn: 1]개, 파란 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내어 색을 확인한 후 꺼낸 공과 같은 색의 공을 [eqn: 1]개 추가하여 꺼낸 공과 함께 주머니에 넣는다. 이와 같은 시행을 두 번 반복하여 두 번째 꺼낸 공이 검은 공이었을 때, 첫 번째 꺼낸 공도 검은 공이었을 확률은? (단, 공의 크기와 모양은 모두 같다.) [3점]

④

(ⅰ) 첫 번째 꺼낸 공이 흰 공 또는 파란 공이었을 때, 두 번째 꺼낸 공이 검은 공일 확률은
[eqn: { `_{3}{rmC}_{1} } over{ `_{6}{rmC}_{1} } times { `_{3}{rmC}_{1} } over{ `_{7}{rmC}_{1} }][eqn: = 3 over14]

(ⅱ) 첫 번째 꺼낸 공이 검은 공이었을 때, 두 번째 꺼낸 공도 검은 공일 확률은
[eqn: { `_{3}{rmC}_{1} } over{ `_{6}{rmC}_{1} } times { `_{4}{rmC}_{1} } over{ `_{7}{rmC}_{1} }][eqn: = 2 over7]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: { 2 over7} over { 3 over14 + 2 over7} = 4 over7]

① [eqn: 3 over7]	② [eqn: 10 over21]	③ [eqn: 11 over21]	④ [eqn: 4 over7]	⑤ [eqn: 13 over21]

[eqn: 0 le x le pi]에서 함수 [eqn: f(x)=2sin LEFT ( x+ pi over3 RIGHT )+ sqrt { 3}`cos x]는 [eqn: x= theta]일 때 최댓값을 갖는다. [eqn: tan theta]의 값은? [3점]

②

[eqn: f(x)][eqn: =2sin LEFT ( x+ pi over3 RIGHT )+ sqrt { 3}`cos x]
[eqn: = 2 LEFT ( sin x cos pi over3 + cosx sin pi over3 RIGHT )+ sqrt { 3}`cos x]
[eqn: = sin x +2 sqrt { 3}`cosx]
[eqn: =sqrt { 13} `sin (x +alpha)] (단, [eqn: tan alpha = 2 sqrt { 3}])

[eqn: alpha]를 예각으로 놓아도 문제의 일반성을 잃지 않는다.

이때, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: 0 le x le pi]에서 [eqn: x+alpha = pi over2]일 때, 최댓값 [eqn: sqrt { 13}]을 갖는다.

∴ [eqn: theta = pi over2 -alpha]

∴ [eqn: tan theta =tan LEFT ( pi over2 -alpha RIGHT )][eqn: =cos alpha][eqn: = 1 over{2 sqrt { 3} }][eqn: = sqrt { 3}over6]

[다른 풀이]

좌표평면에서 [eqn: rm A][eqn: (2 sqrt { 3}, ``1)], [eqn: rm P][eqn: (cosx , ``sin x )]라 할 때, [eqn: sin x +2 sqrt { 3}`cosx]는 [eqn: rm vecOA cdot vecOP]와 같다.

[eqn: 0 le x le pi]에서 점 [eqn: rm P]는 그림과 같이 반원 [eqn: a^2 +b^2 =1]([eqn: b ge0]) 위에 있으므로

세 점 [eqn: rm O], [eqn: rm A], [eqn: rm P]가 일직선상에 있을 때, [eqn: rm vecOA cdot vecOP]는 최대가 된다.

따라서 [eqn: theta]는 선분 [eqn: rm OA]가 [eqn: a]축과 이루는 예각과 같다.

∴ [eqn: tan theta][eqn: = 1 over{2 sqrt { 3} }][eqn: = sqrt { 3} over6]

① [eqn: sqrt { 3}over12]	② [eqn: sqrt { 3} over6]	③ [eqn: sqrt { 3} over4]	④ [eqn: sqrt { 3} over3]	⑤ [eqn: sqrt { 3} over2]

[11~12] 좌표평면에서 매개변수 [eqn: {theta }]로 나타내어진 곡선

에 대하여 [eqn: 11]번과 [eqn: 12]번의 두 물음에 답하시오. (단, [eqn: {theta}]는 실수이다.)

[eqn: {x=2costheta +cos2theta}], [eqn: {y=2sintheta +sin2theta}]

[eqn: theta = pi over6]에 대응하는 이 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는?

③

[eqn: dx over{d theta][eqn: =-2sintheta-2sin2theta], [eqn: dy over{d theta][eqn: =2cos theta +2cos2theta]

∴ [eqn: dy overdx][eqn: = { { dy} over {d theta } } over { dx over{d theta}}][eqn: = -{costheta +cos2theta } over { sin theta +sin2theta}]

따라서 [eqn: theta = pi over6]에 대응하는 이 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는

[eqn: dy overdx][eqn: =][eqn: -{cos pi over6 +cos pi over3 } over { sin pi over6 +sin pi over3}][eqn: =-1]

[3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -sqrt { 3}]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: - sqrt { 3} over2]	⑤ [eqn: - 1 over2]

[eqn: 0 le theta le pi]일 때, 이 곡선의 길이는? [3점]

②

[eqn: dx over{d theta][eqn: =-2sintheta-2sin2theta], [eqn: dy over{d theta][eqn: =2cos theta +2cos2theta]이므로

[eqn: 0 le theta le pi]일 때, 이 곡선의 길이는

[eqn: int_0^pi sqrt { LEFT ( { dx} over { d theta} RIGHT )^2 +LEFT ( { dy} over { d theta} RIGHT )^2 } d theta]

[eqn: =int_0^pi sqrt { LEFT ( -2sintheta-2sin2theta RIGHT )^2 + LEFT ( 2cos theta +2cos2theta RIGHT )^2 } d theta]

[eqn: =2 int_0^pi sqrt { 2+ 2LEFT ( costheta cos2theta +sintheta sin2theta RIGHT ) } d theta]

[eqn: = 2 int_0^pi sqrt { 2+2costheta} d theta]

[eqn: = 2 int_0^pi sqrt {4 cos^2 theta over2} d theta] [eqn: left(matrix{it#it}]∵ [eqn: cos^2 theta over2 = { 1+costheta} over { 2}][eqn: matrix{it#it}right)]

[eqn: = 4 int_0^pi left|` cos theta over2 `right|d theta]

[eqn: = 4 int_0^pi cos theta over2 d theta] (∵ [eqn: 0 le theta le pi])

[eqn: = 8 left[ sin theta over2 right]_0^{pi}][eqn: =8]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

이차함수 [eqn: f(x)=x^2 +2kx+2k^2 +k]가 있다. [eqn: x]에 대한 방정식

이 서로 다른 두 개의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은? [3점]

①

[eqn: 1 over{ sqrt { f(x)+3} }- 1 overf(x) = { 3} over { f(x) sqrt { f(x)+3} }]에서

[eqn: f(x)- sqrt { f(x)+3}=3] (단, [eqn: f(x)!=0], [eqn: f(x) ge-3])

[eqn: t=sqrt { f(x)+3}]([eqn: ge0])이라 하면

[eqn: t^2 -3 -t=3], 즉 [eqn: t^2 -t-6=0]에서

[eqn: t=3] (∵ [eqn: t ge0])

[eqn: sqrt { f(x)+3}=3]이므로

[eqn: f(x)+3 = 3^2]에서 [eqn: f(x)=6]

방정식 [eqn: f(x)=6]이 서로 다른 두 실근을 가지려면

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=6]이 서로 다른 두 점에서 만나면 된다.

[eqn: f(x)= (x+k)^2 +k^2 +k]이므로

이차함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: k^2 +k]이다.

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=6]이 서로 다른 두 점에서 만나려면

[eqn: k^2 +k <6]이어야 한다.

∴ [eqn: -3 <k <2]

위 부등식을  만족시키는 정수 [eqn: k]는 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]이므로

구하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -2]이다.

[eqn: 1 over{ sqrt { f(x)+3} }- 1 overf(x) = { 3} over { f(x) sqrt { f(x)+3} }]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: x ge0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= 4 over1+x^2]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n g LEFT ( 1+ 3k overn RIGHT )]의 값은? [4점]

③

[eqn: lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n g LEFT ( 1+ 3k overn RIGHT )]

[eqn: = 1 over3 timeslim_n->inf 3 overn sum_k=1^n g LEFT ( 1+ 3k overn RIGHT )]
[eqn: = 1 over3 int_1^4 g(x)dx]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로

[eqn: int_1^4 g(x)dx]의 값은 그림의 어두운 부분의 넓이와 같다.

[eqn: f(x)= 4 over1+x^2 =1]에서 [eqn: x= sqrt { 3}] (∵ [eqn: x ge0])이므로

[eqn: int_1^4 g(x)dx][eqn: = int_0^ sqrt {3} LEFT ( f(x)-1 RIGHT )dx]
[eqn: = int_0^ sqrt { 3} 4 over{x^2 +1}dx - sqrt { 3}]

[eqn: x= tan theta]([eqn: - pi over2 < theta < pi over2])라 하면 [eqn: dx =sec^2 theta d theta]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: theta=0], [eqn: x= sqrt { 3}]일 때 [eqn: theta = pi over3]이므로

[eqn: int_0^ sqrt { 3} 4 over{x^2 +1}dx][eqn: = int _{ 0} ^{pi over3 } { 4 over{tan^2 theta +1}`sec^2 theta d theta][eqn: = int _{ 0} ^{pi over3 } 4 d theta][eqn: = 4 over3 pi]

∴ [eqn: int_1^4 g(x)dx][eqn: = 4 over3 pi - sqrt { 3}]

∴ [eqn: lim_n->inf 1 overn sum_k=1^n g LEFT ( 1+ 3k overn RIGHT )][eqn: = 1 over3][eqn: int_1^4 g(x)dx][eqn: =][eqn: { 4pi -3 sqrt { 3} } over { 9}]

① [eqn: { pi- sqrt { 3} } over { 3}]	② [eqn: { pi+ sqrt { 3} } over { 3}]	③ [eqn: { 4pi -3 sqrt { 3} } over { 9}]
④ [eqn: { 4pi +3 sqrt { 3} } over { 9}]	⑤ [eqn: { 2pi- sqrt { 3} } over { 3}]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. 선분 [eqn: rm OB] 위에 [eqn: rm barOC = 1 over3]인 점 [eqn: rm C]를 잡고, 점 [eqn: rm C]를 지나고 선분 [eqn: rm OA]와 평행한 직선을 [eqn: l]이라 하자. 호 [eqn: rm AB] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에서 선분 [eqn: rm OB]와 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이의 최댓값은? [4점]

⑤

삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이는 [eqn: 1 over2 rm barPQ cdot barPR]이다.

직선 [eqn: l]이 호 [eqn: rm AB]와 만나는 점을 [eqn: rm D]라 하자.

(ⅰ) 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm A]에서 출발하여 호 [eqn: rm AD]를 따라 점 [eqn: rm D]까지 움직일 때,
[eqn: rm barPQ]와 [eqn: rm barPR]의 길이가 모두 감소한다.

점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm A]에 있을 때, 삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이는 [eqn: 1 over3]이므로
점 [eqn: rm P]가 호 [eqn: rm AD] 위에 있을 때, 삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 1 over3]이다.

(ⅱ) 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm D]에서 출발하여 호 [eqn: rm AD]를 따라 점 [eqn: rm B]까지 움직일 때,
[eqn: rm angle OPA= theta] [eqn: left(matrix{it#it}][eqn: alpha le theta le pi over2], [eqn: rm angle DOA = alpha][eqn: matrix{it#it}right)]라 하면
[eqn: rm angleOPQ = theta]이므로
[eqn: rm barPQ][eqn: =2 cos theta], [eqn: rm barOQ = 2 sin theta]이고
[eqn: rm barPR][eqn: =rm barCQ][eqn: = rm barOQ - barOC][eqn: =2 sin theta - 1 over3]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이를 [eqn: f(theta)]라 하면

[eqn: f(theta)][eqn: =][eqn: 1 over2 rm barPQ cdot barPR]

[eqn: = costheta LEFT (2 sin theta - 1 over3 RIGHT )]

[eqn: =sin 2theta - 1 over3 `cos theta]

[eqn: f`'(theta)][eqn: = 2 cos 2theta + 1 over3 ` sin theta]

[eqn: = 2-4 sin^2 theta + 1 over3 `sin theta]

[eqn: =- 1 over3 (3 sin theta +2 )(4 sin theta -3)]

[eqn: alpha le theta le pi over2]에서 [eqn: 3 sin theta +2 >0]이므로

[eqn: f(theta)]는 [eqn: sin theta = 3 over4]일 때, 극대이자 최대이다.

이때, [eqn: cos theta][eqn: =sqrt { 1-sin^2 theta}][eqn: =sqrt { 7} over4]이므로

[eqn: f(theta)]의 최댓값은 [eqn: sqrt { 7} over4 LEFT ( 2 times 3 over4 - 1 over3 RIGHT )][eqn: = { 7 sqrt { 7} } over { 24}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: f(theta)]의 최댓값은 [eqn: { 7 sqrt { 7} } over { 24}]이다.

① [eqn: sqrt { 7} over8]	② [eqn: sqrt { 7} over6]	③ [eqn: {5sqrt { 7}} over24]
④ [eqn: {sqrt { 7}} over4]	⑤ [eqn: {7sqrt { 7}} over24]

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]이 있다. 그림과 같이 변 [eqn: rm A_1 D_1]의 중점을 [eqn: rm M_1]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]과 [eqn: rm M_1 C_1 D_1]에 각각 내접하는 두 원을 그리고, 두 원에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 두 꼭짓점이 변 [eqn: rm B_1 C_1] 위에 있고 삼각형 [eqn: rm M_1 B_1 C_1]에 내접하는 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]를 그린 후 변 [eqn: rm A_2 D_2]의 중점을 [eqn: rm M_2]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm A_2 B_2 M_2]와 [eqn: rm M_2 C_2 D_2]에 각각 내접하는 두 원을 그리고, 두 원에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R_2]에서 두 꼭짓점이 변 [eqn: rm B_2 C_2] 위에 있고 삼각형 [eqn: rm M_2 B_2 C_2]에 내접하는 정사각형 [eqn: rm A_3 B_3 C_3 D_3]을 그린 후 변 [eqn: rm A_3 D_3]의 중점을 [eqn: rm M_3]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm A_3 B_3 M_3]과 [eqn: rm M_3 C_3 D_3]에 각각 내접하는 두 원을 그리고, 두 원에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n]의 값은? [4점]

①

합동인 두 삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]과 [eqn: rm M_1 C_1 D_1]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하자.

삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]에 내접하는 원의 중심에서 모든 변에 이르는 거리는 [eqn: r]이므로

삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]의 넓이는 [eqn: 1 over2 LEFT ( bar{rm A_1 B_1 } + bar{rm B_1 M_1 }+bar{rm M_1 A_1} RIGHT ) r]로 나타낼 수 있다.

그런데 삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1]는 직각삼각형이므로

[eqn: bar{rm B_1 M_1}][eqn: = sqrt { 1^2 +2^2}= sqrt { 5}]이고 넓이는 [eqn: 1 over2 times 2 times1 =1]이다.

따라서 [eqn: 1 over2 (2+1+ sqrt { 5}) r=1]에서 [eqn: r = { 2} over { 3+ sqrt { 5} } = { 3- sqrt { 5} } over { 2}]이다.

∴ [eqn: S_1 = 2 times pi LEFT ( { 3- sqrt { 5} } over { 2} RIGHT )^2][eqn: = LEFT ( 7-3 sqrt { 5} RIGHT )pi]

[eqn: bar{rm A_2 M_2}][eqn: =a]라 하면 삼각형 [eqn: rm M_1 A_2 M_2]와 삼각형 [eqn: rm B_1 M_1 A_1]은 닮음이므로 [eqn: bar{rm M_1 M_2}=2a]이다.

따라서 [eqn: 2a+2a = 2]에서 [eqn: a= 1 over2]이다.

따라서 [eqn: S_n]은 첫째항이 [eqn: LEFT ( 7-3 sqrt { 5} RIGHT )pi]이고 공비가 [eqn: LEFT ( 1 over2 RIGHT )^2][eqn: = 1 over4]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.

∴ [eqn: lim_n->inf S_n][eqn: =sum_n=1^inf LEFT ( 7-3 sqrt { 5} RIGHT )pi times LEFT ( 1 over4 RIGHT )^n-1]
[eqn: ={ LEFT ( 7-3 sqrt { 5} RIGHT )pi} over { 1- 1 over4}]
[eqn: ={ 4(7-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]

① [eqn: { 4(7-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]	② [eqn: { 4(8-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]	③ [eqn: { 5(7-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]
④ [eqn: { 5(8-3 sqrt { 5}) } over { 3}pi]	⑤ [eqn: { 5(9-4 sqrt { 5}) } over { 3}pi]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 = - 5 over3]이고

를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 하고, (다)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: p timesq times f(5)]의 값은? [4점]

④

(*)에서

[eqn: a_n+1 +2][eqn: `=`- {3a _{n} +2} over {a _{n}} +2`=`- {a _{n} + {BOX{``2``}}} over {a _{n}} ``(n GEQ 1)] ⋯⋯ ㉠

이다. 여기서

[eqn: b_n = 1 over{a_n +2] ([eqn: n ge1])

이라 하면 [eqn: a_1 = - 5 over3]이므로 [eqn: b_1 = { 1 } over {- 5 over3 +2 } =3]이고

[eqn: b_n+1][eqn: = 1 over{a_n+1 +2}][eqn: = - a_n over{ a_n +2 }](∵ ㉠)
[eqn: = - {(a_n +2)-2} over{ a_n +2 }]
[eqn: = -1+ 2 over{ a_n +2 }]
[eqn: = 2b_n -]   ([eqn: n ge1])

[eqn: 1]

이다.

[eqn: b_n+1 -1][eqn: = 2b_n -2][eqn: = 2(b_n -1 )]

이므로 수열 [eqn: left{b_n -1 right}]은 첫째항이 [eqn: b_1 -1][eqn: =2]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

∴ [eqn: b_n -1 = 2^n]

수열 [eqn: left{b_n right}]의 일반항은

[eqn: b_n =]    ([eqn: n ge1])

[eqn: 2^n +1]

이므로

[eqn: a _{n} = {1} over {2 ^{n} +1} -2```(n GEQ 1)]

이다.

∴ [eqn: p][eqn: =2], [eqn: q][eqn: =1], [eqn: f(n)][eqn: =2^n +1]

∴ [eqn: p timesq times f(5)][eqn: = 2 times 1 times LEFT ( 2^5 +1 RIGHT )][eqn: =66]

[eqn: a_n+1 = - { 3a_n +2} over { a_n}] ([eqn: n ge1]) ⋯⋯ (*)

(*)에서

[eqn: a_n+1 +2 =][eqn: -]

[eqn: a_n +]

(가)

[eqn: a_n]

([eqn: n ge1])

이다. 여기서

[eqn: b_n = 1 over{a_n +2] ([eqn: n ge1])

이라 하면 [eqn: b_1 =3]이고

[eqn: b_n+1 = 2b_n -]   ([eqn: n ge1])

(나)

이다. 수열 [eqn: left{b_n right}]의 일반항을 구하면

[eqn: b_n =]    ([eqn: n ge1])

(다)

이므로

[eqn: a_n =]

[eqn: 1]

(다)

[eqn: -2]  ([eqn: n ge1])

이다.

① [eqn: 54]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 62]	④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 70]

함수

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0-} {} f(x)][eqn: = lim _{x -> 0-} {} (1+sinx)][eqn: =1]
[eqn: lim _{x -> 0-} {} f(-x)][eqn: = lim _{t -> 0+} {f(t)}][eqn: = lim _{t -> 0+} {} (-1+sint)][eqn: =-1]
∴ [eqn: lim _{x -> 0-} {} f(x)f(-x)][eqn: =1 cdot(-1)=-1]
[eqn: lim _{x -> 0+} {} f(x)][eqn: = lim _{x -> 0+} {} (-1+sinx)][eqn: =-1]
[eqn: lim _{x -> 0+} {} f(-x)][eqn: = lim _{t -> 0-} {f(t)}][eqn: = lim _{t -> 0-} {} (1+sint)][eqn: =1]
∴ [eqn: lim_x->0 f(x)f(-x)=-1] (참)

ㄴ. [eqn: x-> pi over2]일 때, [eqn: f(x) -> 0-]이므로
[eqn: lim_{x-> pi over2} f(f(x))][eqn: = lim _{t -> 0-} {} f(t)][eqn: = lim _{t -> 0-} {} (1+sint)][eqn: =1]
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( pi over2 RIGHT ) RIGHT )][eqn: = f(0)][eqn: =1]
[eqn: lim_{x-> pi over2} f(f(x))][eqn: =f LEFT ( f LEFT ( pi over2 RIGHT ) RIGHT )]이므로 함수 [eqn: f (f(x))]는 [eqn: x= pi over2]에서 연속이다. (참)

ㄷ. [eqn: g(x)=left {f(x)right}^2]라 하면 [eqn: g(0) = 1]이므로

[eqn: lim _{x -> 0-} {} {g(x)-g(0)} over {x}][eqn: = lim _{x -> 0-} {} {(1+sinx) ^{2} -1} over {x}]
[eqn: = lim _{x -> 0-} {} {2sinx+sin ^{2} x} over {x}]
[eqn: =2] [eqn: left(matrix{it#it}]∵ [eqn: lim_x->0 sinx overx =1][eqn: matrix{it#it}right)]

[eqn: lim _{x -> 0+} {} {g(x)-g(0)} over {x}][eqn: = lim _{x -> 0+} {} {(-1+sinx) ^{2} -1} over {x}]
[eqn: = lim _{x -> 0+} {} {-2sinx+sin ^{2} x} over {x}]
[eqn: =-2] [eqn: left(matrix{it#it}]∵ [eqn: lim_x->0 sinx overx =1][eqn: matrix{it#it}right)]

[eqn: lim _{x -> 0-} {} {g(x)-g(0)} over {x}][eqn: != lim _{x -> 0+} {} {g(x)-g(0)} over {x}]이므로

[eqn: lim_x->0 { g(x)-g(0)} over { x}]는 존재하지 않는다.

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분불가능하다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. 미분가능한 두 함수 [eqn: LEFT ( 1+sin x RIGHT )^2], [eqn: LEFT ( -1 +sinx RIGHT )^2]의 도함수는 각각
[eqn: 2(1+sin x)cosx], [eqn: 2(-1 +sin x)cosx]이고 이 두 함수는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
[eqn: g(x)=left {f(x)right}^2]라 하면
[eqn: lim _{x -> 0-} {} {g(x)-g(0)} over {x}][eqn: = lim _{x -> 0-} {} 2(1+sinx)cosx=2]
[eqn: lim _{x -> 0+} {} {g(x)-g(0)} over {x}][eqn: = lim _{x -> 0+} {2(-1+sinx)cosx}][eqn: =-2]
[eqn: lim _{x -> 0-} {} {g(x)-g(0)} over {x}][eqn: != lim _{x -> 0+} {} {g(x)-g(0)} over {x}]이므로

[eqn: lim_x->0 { g(x)-g(0)} over { x}]는 존재하지 않는다.

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분불가능하다. (거짓)

[eqn: f(x) =]	[eqn: cases{ matrix{it#it#it #it}]	[eqn: 1+sinx]		([eqn: x le0])
		[eqn: -1+sinx]		([eqn: x>0])

[4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim_x->0 f(x)f(-x)=-1] ㄴ. 함수 [eqn: f(f(x))]는 [eqn: x= pi over2]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: left{f(x)right}^2]은 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표공간에서 구 [eqn: (x-2)^2 +(y-2)^2 +(z-1)^2 =9]와 [eqn: xy]평면이 만나서 생기는 원 위의 한 점을 [eqn: rm P]라 하자. 점 [eqn: rm P]에서 이 구와 접하고 점 [eqn: rm A(3, ``3, ``-4)]를 지나는 평면을 [eqn: alpha]라 할 때, 원점과 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리는? [4점]

③

구 [eqn: (x-2)^2 +(y-2)^2 +(z-1)^2 =9]의 중심을 [eqn: rm C]라 하고

점 [eqn: rm P]가 [eqn: xy] 평면 위의 점이므로 [eqn: rm P][eqn: (a, ``b, ``0)]라 하자.

점 [eqn: rm P]는 구 [eqn: (x-2)^2 +(y-2)^2 +(z-1)^2 =9] 위의 점이므로

[eqn: (a-2)^2 +(b-2)^2 +(0-1)^2 =9]

∴ [eqn: (a-2)^2 +(b-2)^2 =8] ⋯⋯ ㉠

구 [eqn: (x-2)^2 +(y-2)^2 +(z-1)^2 =9]는 점 [eqn: rm P]에서 평면 [eqn: alpha]와 접하므로

[eqn: rm vec CP bot alpha]

점 [eqn: rm P]와 [eqn: rm A]는 평면 [eqn: alpha] 위의 점이므로

[eqn: rm vec CP bot vecAP]

이다. 따라서 [eqn: rm vec CP cdot vecAP][eqn: =0]에서

[eqn: (a-2, ``b-2 , ``-1)cdot(a-3 , ``b-3 , ``4)]
[eqn: =(a-2)(a-3)+(b-2)(b-3)-4]
[eqn: =a^2 -5a +b^2 -5b +8][eqn: =0] ⋯⋯ ㉡

㉠[eqn: -]㉡에서 [eqn: a+b=8]

[eqn: b=8-a]를 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: 2(a-4)^2 =0]

∴ [eqn: a=b=4] (∵ [eqn: b=8-a])

[eqn: rm vec CP = (2 , ``2, ``-1)]이고 [eqn: rm vec CP bot alpha]이므로

평면 [eqn: alpha]의 법선벡터를 [eqn: rm vec CP]로 하면

평면 [eqn: alpha]가 점 [eqn: rm P]를 지나므로 평면 [eqn: alpha]의 방정식은

[eqn: 2 (x-4)+2(y-4)-(z-0)=0],

즉 [eqn: 2x+2y -z =16]이다.

따라서 원점과 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리는

[eqn: { |`-16`|} over { sqrt { 2^2 +2^2 +(-1)^2} }][eqn: = 16 over3]

① [eqn: 14 over3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 16 over3]	④ [eqn: 17 over3]	⑤ [eqn: 6]

한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정사각형을 밑면으로 하고 높이가
[eqn: 4+4 sqrt { 3}]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 그림과 같이 이 직육면체의 바닥에 [eqn: rm∠EPF=90DEG]인 삼각기둥 [eqn: rm EFP-HGQ]가 놓여있고 그 위에 구를 삼각기둥과 한 점에서 만나도록 올려놓았더니 이 구가 밑면 [eqn: rm ABCD]와 직육면체의 네 옆면에 모두 접하였다. 태양광선이 밑면과 수직인 방향으로 구를 비출 때, 삼각기둥의 두 옆면 [eqn: rmPFGQ], [eqn: rm EPQH]에 생기는 구의 그림자의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2] ([eqn: S_1 >S_2])라 하자. [eqn: S_1 + 1 over sqrt { 3} S_2]의 값은? [4점]

④

주어진 입체를 옆면 [eqn: rm ABFE]가 정면에서 보이도록 나타낼 때, 구는 다음 그림과 같이 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm AE], [eqn: rm BF]에 동시에 접하는 원이다.

위 그림에서 원의 중심을 [eqn: rm C], 점 [eqn: rm C]에서 변 [eqn: rm EF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하자.

원의 반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 [eqn: bar{rm AE}=4+4 sqrt { 3}]이므로

[eqn: rm bar{rm CI}=4 sqrt { 3}]이다.

직각삼각형 [eqn: rm CEI]에서 [eqn: rm barEI =4]이므로 [eqn: angle rm CEI][eqn: =60DEG]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm CEF]는 한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정삼각형이다.

[eqn: S_1 >S_2]이므로 점 [eqn: rm P]는 [eqn: rm F]에서 원에 그은 접선 위에 존재한다.

그런데 점 [eqn: rm F]에서 선분 [eqn: rm CE]에 내린 수선의 발은 선분 [eqn: rm CE]를 수직이등분하므로

점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm CE]의 중점이고 점 [eqn: rm P]에서 직선 [eqn: rm PF]와 원이 접한다.

점 [eqn: rm P]에서 선분 [eqn: rm EF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm J]라 할 때, [eqn: bar{rm EJ}= 2]이다.

구의 중심을 지나며 직육면체의 밑면에 평행한 평면으로 주어진 입체를 자른 단면을 [eqn: alpha]라 하자.

[eqn: S_1]은 위 그림의 어두운 부분에 의해서 평면 [eqn: rmPFGQ]에 생기는 그림자의 넓이와 같다.

평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: rmPFGQ]가 이루는 각은 [eqn: 30DEG]이므로

[eqn: S_1 cos 30DEG = 32 over3 pi + 4 sqrt { 3}]

∴ [eqn: S_1 = {64} over { 3 sqrt { 3} }pi +8]

[eqn: S_2]은 위 그림의 어두운 부분에 의해서 평면 [eqn: rm EPQH]에 생기는 그림자의 넓이와 같다.

평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: rm EPQH]가 이루는 각은 [eqn: 60DEG]이므로

[eqn: S_2 cos 60DEG][eqn: = 16 over3 pi - 4 sqrt { 3}]

∴ [eqn: S_2][eqn: = 32 over{3} pi - 8 sqrt { 3}]

∴ [eqn: S_1 + 1 over sqrt { 3} S_2][eqn: = LEFT ( {64} over { 3 sqrt { 3} }pi +8 RIGHT )+ 1 over sqrt { 3} LEFT ( 32 over{3} pi - 8 sqrt { 3} RIGHT )]
[eqn: = { 32} over { sqrt { 3} }pi][eqn: = { 32 sqrt { 3} } over { 3} pi]

① [eqn: { 20 sqrt { 3} } over { 3}pi]	② [eqn: 8sqrt { 3}pi]	③ [eqn: { 28 sqrt { 3} } over { 3}pi]
④ [eqn: { 32 sqrt { 3} } over { 3}pi]	⑤ [eqn: 12sqrt { 3}pi]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log`x]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 하자. [eqn: 1 <x<10^5]인 [eqn: x]에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: log`A]의 값은?
(단, [eqn: log`3 =0.4771]로 계산한다.) [4점]

⑤

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: g(x^k )][eqn: = k times g(x) -a_k]

을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a_k]가 존재한다.

조건 (가)에서

[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 5 g(x) + sum_k=1^5 a_k]이고

[eqn: g(x^10 )+2 = 10 g(x)+a_10 +2]이므로

[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]에서

[eqn: 5 g(x) = a_10 - sum_k=1^5 a_k +2]

위 등식의 우변이 정수이므로 [eqn: 5g(x)]도 정수이어야 한다.

∴ [eqn: g(x)=0], [eqn: 1 over5], [eqn: 2 over5], [eqn: 3 over5], [eqn: 4 over5] (∵ [eqn: 0 le g(x) <1]) ⋯⋯ ㉠

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: f(kx) ge f(x)]

이다. 조건 (나)에서

[eqn: sum_k=1^3 f(kx)=3f(x)]

이므로 [eqn: f(3x) = f(x)]이어야 한다.

[eqn: log `3x = f(x)+ g(x)+log`3]이므로

[eqn: f(3x)= f(x)]이려면 [eqn: g(x)+log`3 <1]이어야 한다.

∴ [eqn: g(x)< 1- log``3 =0.5229] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: g(x)=0], [eqn: 1 over5], [eqn: 2 over5]

(ⅰ) [eqn: g(x)=0]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=0]이고 [eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )!=g(x^10 )+2]

(ⅱ) [eqn: g(x)= 1 over5]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 1 over5 + 2 over5 + 3 over5 + 4 over5 +0 = 2]이고
[eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(ⅲ) [eqn: g(x)= 2 over5]이면
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )= 2 over5 + 4 over5 + 1 over5 + 3 over5 +0 = 2]
[eqn: g(x^10 )+2=2]이므로
[eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)에서 [eqn: g(x)= 1 over5] 또는 [eqn: g(x)= 2 over5]

[eqn: 1 <x<10^5]이므로 [eqn: 0 le f(x)<5]이다.

따라서 [eqn: x]가 조건을 만족시킬 때,
[eqn: log`x = f(x)+g(x)]

이다. (단, [eqn: f(x)=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이고 [eqn: g(x) = 1 over5], [eqn: 2 over5])

∴ [eqn: log`A][eqn: =sum_k=1^5 LEFT {(k-1)+ 1 over5 RIGHT } +sum_k=1^5 LEFT {(k-1)+ 2 over5 RIGHT }]
[eqn: = 11+12][eqn: =23]

(가) [eqn: sum_k=1^5 g(x^k )=g(x^10 )+2]

(나) [eqn: sum_k=1^3 f(kx)=3f(x)]

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

수열 [eqn: left{a_n right}]이

일 때, [eqn: a_7]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 64]

[eqn: a_7][eqn: =a_1 + sum_k=1^6 LEFT ( a_k+1 -a_k RIGHT )][eqn: =1+ sum_k=1^6 3k][eqn: =1+63][eqn: =64]

[eqn: a_1 =1],  [eqn: a_n+1 = a_n +3n]

일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬이 [eqn: pmatrix{``{1 over3}``&``{- 1 over3}``#``{1 over3}``&`````````{1 over3}``}]이다. 합성변환
[eqn: f circf]에 의하여 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A(2,``0)``],[eqn: rm B(2,``2)``],[eqn: rm C(-3,``4)],[eqn: rm D(-3 , ``-3)]이 옮겨진 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 81S]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 90]

[eqn: pmatrix{``{1 over3}``&``{- 1 over3}``#``{1 over3}``&`````````{1 over3}``}][eqn: = sqrt { 2}over3 pmatrix{``{1 over sqrt { 2} }``&``{- 1 over sqrt { 2} }``#``{1 over sqrt { 2} }``&`````````{1 over sqrt { 2} }``}][eqn: = root2 over3 pmatrix{``{cos45DEG}``&``{-sin45DEG}``#``{sin 45DEG}``&`````````{cos45DEG}``}]

따라서 변환 [eqn: f circf]를 나타내는 행렬은

[eqn: left{ root2 over3 pmatrix{``{cos45DEG}``&``{-sin45DEG}``#``{sin 45DEG}``&`````````{cos45DEG}``} right}^2]

[eqn: = 2 over9 { pmatrix{``{cos45DEG}``&``{-sin45DEG}``#``{sin 45DEG}``&`````````{cos45DEG}``}}^2]

[eqn: = 2 over9 pmatrix{``{cos90DEG}``&``{-sin90DEG}``#``{sin 90DEG}``&`````````{cos90DEG}``}]

[eqn: = 2 over9 pmatrix{``{cos90DEG}``&``{-sin90DEG}``#``{sin 90DEG}``&`````````{cos90DEG}``}]

[eqn: =pmatrix{``{2 over9}``&``{0}``#``{0}``&``{2 over9}``} pmatrix{``{cos90DEG}``&``{-sin90DEG}``#``{sin 90DEG}``&`````````{cos90DEG}``}]

따라서 변환 [eqn: f circf]는 각 [eqn: 90DEG]만큼 회전변환과 닮음비가 [eqn: 2 over9]인 닮음변환의 합성변환이다.

도형의 길이 또는 넓이는 회전변환에 의하여 변하지 않으므로 [eqn: S]는 사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이의 [eqn: LEFT ( 2 over9 RIGHT )^2 = 4 over81]배이다.

사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이는 위 그림에서 [eqn: 1 over2 times(2+9)times5 = 45 over2]이므로

[eqn: S= 45 over2 times 4 over81 = 10 over9]

∴ [eqn: 81 S][eqn: = 81 times 10 over9 =90]

타원 [eqn: 2x^2 +y^2 =16]의 두 초점을 [eqn: rm F], [eqn: rm F']이라 하자. 이 타원 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm { barPF'} over { barPF} =3]일 때, [eqn: bar{rm PF} timesbar{rm PF'}]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: 2x^2 +y^2 =16]에서 [eqn: x^2 over8 + y^2 over16 =1]

따라서 타원의 장축의 길이는 [eqn: 2 times4 =8]이다.

타원의 정의에 의하여

[eqn: bar{rm PF} +bar{rm PF'} =8] ⋯⋯ ㉠

[eqn: rm { barPF'} over { barPF} =3]에서 [eqn: rm { barPF'} =3 timesbarPF] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: rm barPF =2], [eqn: rm barPF' =6]

∴ [eqn: bar{rm PF} timesbar{rm PF'}][eqn: =12]

[3점]

이차정사각행렬 [eqn: A]가 다음 조건을 만족시킨다. (단, [eqn: E]는 단위행렬이다.)

[eqn: A pmatrix{``{3}``#``{0}``}][eqn: =pmatrix{``{x}``#``{y}``}]를 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 9]

조건 (가)에 의하여

[eqn: (A-E)(A-3E)=E]

[eqn: A^2 = 4A -2E] ⋯⋯ ㉠

조건 (나)에서 [eqn: A pmatrix{``{-1}``#`````````{2}``}= pmatrix{``{2}``#``{0}``}]이므로

[eqn: A pmatrix{``{2}``#``{0}``}][eqn: = A^2 pmatrix{``{-1}``#`````````{2}``}][eqn: = ( 4A -2E) pmatrix{``{-1}``#`````````{2}``}][eqn: =4 A `pmatrix{``{-1}``#`````````{2}``} -2E` pmatrix{``{-1}``#`````````{2}``}]
[eqn: =4 pmatrix{``{2}``#``{0}``}-2pmatrix{``{-1}``#`````````{2}``}][eqn: =pmatrix{`````````{10}``#``{-4}``}]

∴ [eqn: A pmatrix{``{1}``#``{0}``}][eqn: =pmatrix{`````````{5}``#``{-2}``}]

∴ [eqn: A pmatrix{``{3}``#``{0}``}][eqn: =3A pmatrix{``{1}``#``{0}``}][eqn: =3pmatrix{`````````{5}``#``{-2}``}][eqn: =pmatrix{`````````{15}``#``{-6}``}]

∴ [eqn: x=15], [eqn: y=-6]

∴ [eqn: x+y =9]

(가) [eqn: A-E]의 역행렬은 [eqn: A-3E]이다.

(나) [eqn: A pmatrix{``{-1}``#`````````{2}``}= pmatrix{``{2}``#``{0}``}]

이차함수 [eqn: f(x)]가

을 만족시킬 때, [eqn: f(8)]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 23]

[eqn: lim_x->0 { ln`f(x)} over { x}]가 존재하므로 [eqn: lim_x->0 `ln f(x) =0]이어야 한다.

∴ [eqn: f(0)=1]

[eqn: lim_x->0 { ln`f(x)} over { x}][eqn: = lim_x->0 LEFT ( { ln `f(x)} over { f(x)-1} times { f(x)-1} over { x} RIGHT )]
[eqn: = lim_t->0 { ln ` LEFT ( 1+t RIGHT ) } over { t} times lim_x->0 { f(x)-f(0)} over { x}] (∵ [eqn: f(0)=1])
[eqn: =1 times f`'(0)][eqn: = f`'(0)]

∴ [eqn: f`'(1) = f`'(0)+ 1 over2]

[eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: f(x)= ax^2 +bx+1]([eqn: a!=0])이라 하면

[eqn: f(1)=2]에서 [eqn: a+b= 1] ⋯⋯ ㉠

[eqn: f`'(x)=2ax+b]이므로

[eqn: f`'(1) = f`'(0)+ 1 over2]에서 [eqn: 2a = 1 over2] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a= 1 over4], [eqn: b= 3 over4]

∴ [eqn: f(x)= 1over4 x^2 + 3 over4 x +1]

∴ [eqn: f(8)][eqn: =16+6+1][eqn: =23]

[eqn: f(1)=2], [eqn: f`'(1)][eqn: = lim_x->0 { ln`f(x)} over { x} + 1 over2]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=cos2x]가 두 직선 [eqn: x=t], [eqn: x=-t]
[eqn: left(matrix{it#it}][eqn: 0<t< pi over4][eqn: matrix{it#it}right)]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 하고, 곡선 [eqn: y=cos2x]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm R]라 하자. 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]를 지나는 원의 중심을 [eqn: rm C][eqn: (0 , ``f(t))]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 0+} {} f(t)= alpha]이다. [eqn: 100 alpha]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 75]

선분 [eqn: rm PQ]의 수직이등분선이 [eqn: y]축이므로 [eqn: f(t)]는 선분 [eqn: rm PR]을 수직이등분하는 직선의 [eqn: y]절편이다.

[eqn: rm P][eqn: (t , ``cos 2t)], [eqn: rm R][eqn: (0, ``1)]이므로 선분 [eqn: rm PQ]의 중점은 [eqn: LEFT ( { t } over { 2}, `` { cos2t+1} over {2 } RIGHT )]이고 선분 [eqn: rm PQ]의 기울기는 [eqn: { cos2t -1} over { t}]이다. 따라서 선분 [eqn: rm PR]을 수직이등분하는 직선의 방정식은

[eqn: y = - { t} over { cos2t -1} LEFT ( x - t over2 RIGHT ) + { cos2t +1} over { 2}]

∴ [eqn: f(t)][eqn: = - { t} over { cos2t -1} LEFT ( 0 - t over2 RIGHT ) + { cos2t +1} over { 2}]
[eqn: = { t^2} over {2( cos2t -1)} + { cos2t +1} over { 2}]
[eqn: = { t^2 (cos2t +1)} over { 2(cos^2 2t -1)} + { cos2t +1} over { 2}]
[eqn: =- { t^2 (cos2t +1)} over {2 sin^2 2t} + { cos2t +1} over { 2}]

∴ [eqn: alpha][eqn: =][eqn: lim _{t -> 0+} {} f(t)]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} LEFT ( - {t ^{2} (cos2t+1)} over {2sin ^{2} 2t} + {cos2t+1} over {2} RIGHT )]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} LEFT ( - LEFT ( {2t} over {sin2t} RIGHT ) ^{2} CDOT {cos2t+1} over {8} + {cos2t+1} over {2} RIGHT )]
[eqn: = - 1 over4 + 1][eqn: = 3 over4]

∴ [eqn: 100alpha][eqn: =75]

그림과 같이 밑면의 지름의 길이와 높이가 모두 [eqn: 4]인 원기둥이 있다. 밑면의 지름 [eqn: rm AB]를 포함하는 평면으로 이 원기둥을 잘랐을 때 생기는 단면이 원기둥의 밑면과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: tan theta =2]이다. 이 단면을 직선 [eqn: rm AB]를 회전축으로 하여 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 [eqn: V]라 할 때, [eqn: { 3V} over { pi}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 160]

그림과 같이 밑면의 원의 중심을 [eqn: rm O], 단면의 경계에 있는 점 [eqn: rm P]에서 선분 [eqn: rm AB]와 밑면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q], [eqn: rm R]이라 하자.

[eqn: rm barOQ][eqn: =t]라 하면 [eqn: rm barOR=2]이므로 [eqn: rm barQR][eqn: =sqrt { 4-t^2}]이고

[eqn: rm barPR][eqn: =rm barQR tan theta][eqn: =2sqrt { 4-t^2}]이다.

∴ [eqn: rm barPQ][eqn: = sqrt {{rm barQR}^2 + {rm barPR}^2 }][eqn: =sqrt { 5(4-t^2 )}]

∴ [eqn: V][eqn: = 2piint_0^2 `{ bar{rmPQ}}^2 dt]
[eqn: = 2piint_0^2 5(4-t^2 ) dt][eqn: =10 pi left[ 4t - t^3 over3 right]_0^2][eqn: = 160 over3 pi]

∴ [eqn: 3V overpi][eqn: =160]

[참고]

[eqn: tan theta=2]이므로 단면의 경계는 단축이 [eqn: 4]이고 장축이 [eqn: 4sqrt { 5}]인 타원의 일부이다.

선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm O]라 하고 선분 [eqn: rm AB]를 포함하는 직선을 [eqn: x]축으로 놓으면 이 타원의 방정식은

[eqn: x^2 over4 + y^2 over20 =1]이다.

이것을 이용하여 [eqn: pi int_-2^2 y^2 dx]로 [eqn: V]의 값을 구할 수 있다.

바닥에 놓여 있는 [eqn: 5]개의 동전 중 임의로 [eqn: 2]개의 동전을 선택하여 뒤집는 시행을 하기로 한다. [eqn: 2]개의 동전은 앞면이, [eqn: 3]개의 동전은 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여있는 상태에서 이 시행을 [eqn: 3]번 반복한 결과 [eqn: 2]개의 동전은 앞면이, [eqn: 3]개의 동전은 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여 있을 확률을 [eqn: p]라 할 때, [eqn: 125p]의 값을 구하시오. (단, 동전의 크기와 모양은 모두 같다.) [4점]

[eqn: 78]

앞면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 [eqn: a], 뒷면이 보이도록 바닥에 놓여 있는 동전의 개수가 [eqn: b]일 때, [eqn: (a, ``b)]로 나타내기로 하면

최초의 상태는 [eqn: (2,``3)]이고 [eqn: 3]번의 시행의 결과도 [eqn: (2,``3)]이다.

가능한 경우를 표를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

	시행		시행		시행
[eqn: (2,``3)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	(ⅰ)
				[eqn: (0,``5)]			(ⅱ)
				[eqn: (4,``1)]			(ⅲ)
	⇨	[eqn: (0,``5)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	⇨		(ⅳ)
	⇨	[eqn: (4,``1)]	⇨	[eqn: (2,``3)]	⇨		(ⅴ)
				[eqn: (4,``1)]			(ⅵ)

(ⅰ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over125]

(ⅱ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: 1][eqn: = 3 over50]

(ⅲ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over250]

(ⅳ)의 확률은

[eqn: { `_2 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: 1][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 3 over50]

(ⅴ)의 확률은

[eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_2 rmC_1 times `_3 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: = 27 over250]

(ⅵ)의 확률은

[eqn: { `_3 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_1 rmC_1 times `_4 rmC_1} over { `_5 rmC_2}][eqn: times][eqn: { `_4 rmC_2 } over { `_5 rmC_2}][eqn: = 18 over250]

(ⅰ)~(ⅵ)에서

[eqn: p][eqn: =][eqn: 27 over125 + 3 over50 + 27 over250 + 3 over50 + 27 over250 + 18over250][eqn: = 78 over125]

∴ [eqn: 125p][eqn: =78]

그림과 같이 옆면은 모두 합동인 이등변삼각형이고 밑면은 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형인 사각뿔 [eqn: rmO-ABCD]에서
[eqn: rm∠AOB =30DEG]이다. 점 [eqn: rm A]에서 출발하여 사각뿔의 옆면을 따라 모서리 [eqn: rm OB] 위의 한 점과 모서리 [eqn: rmOC] 위의 한 점을 거쳐 점 [eqn: rm D]에 도착하는 최단경로를 [eqn: l]이라 하자. [eqn: l] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm vecAB cdot vecOP]의 최댓값을 [eqn: a sqrt { 3}+b]라 할 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.) [4점]

[eqn: 8]

최단경로 [eqn: l]이 선분 [eqn: rm OB], [eqn: rm OC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rm F]라 하고

주어진 입체를 전개도로 나타내면 다음 그림과 같다.

위 전개도에서 최단경로 [eqn: l]은 선분 [eqn: rm AD]이다. 따라서 점 [eqn: rm P]는 전개도의 선분 [eqn: rm AD] 위에 있다.

(ⅰ) 점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm AE] 위에 있는 경우

[eqn: rm vecAB cdot vecOP][eqn: =rm vecAB cdot LEFT (vecOA + vecAP RIGHT )][eqn: =rm vecAB cdot vecOA + vecAB cdot vecAP]

삼각형 [eqn: rm OAB]가 [eqn: rm barOA = barOB]인 이등변삼각형이므로 선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면

선분 [eqn: rm OM]은 선분 [eqn: rm AB]를 수직이등분한다.

∴ [eqn: bar{rm OA}`cos(angle rmOAB) = bar{rmAM} =1]

∴ [eqn: rm vecAB cdot vecAO][eqn: =rm barAB cdot barAO cos(angle rmOAB)][eqn: =2 cdot1 =2]

∴ [eqn: rm vecAB cdot vecOA][eqn: =-rm vecAB cdot vecAO][eqn: =-2]

삼각형 [eqn: rm OAD]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm angle OAD =45DEG]

삼각형 [eqn: rm OAB]가 이등변삼각형이고 [eqn: rm angle AOB =30DEG]이므로

[eqn: angle rm OAB =angle OBA =75DEG]

∴ [eqn: rmangle EAB][eqn: rm= angle OAB- angle OAE][eqn: =30DEG]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABE]는 [eqn: rm angle BAE =30DEG]이고 [eqn: rm barAB = barAE]인 이등변삼각형이다.

∴ [eqn: rm vecAB cdot vecAP][eqn: =rm barAB cdot barAP cos(angle EAB)]
[eqn: =2 cdotbar{rm AP} `cos 30DEG][eqn: =sqrt { 3} timesbar{rm AP}]

∴ [eqn: rm vecAB cdot vecOP][eqn: =rm vecAB cdot vecOA + vecAB cdot vecAP]
[eqn: =-2+ sqrt { 3} bar{rm AP}]

[eqn: 0 le bar{rm AP} le2]이므로 [eqn: rm vecAB cdot vecOP]는 [eqn: rm barAP =2],

즉 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm E]에 있을 때 최댓값 [eqn: -2+2 sqrt { 3}]을 갖는다.

(ⅱ) 점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm EF] 위에 있는 경우

[eqn: rm vecAB cdot vecOP][eqn: =rm vecAB cdot LEFT (vecOA + vecAE +vecEP RIGHT )]
[eqn: =rm vecAB cdot vecOA + vecAB cdot vecAE + vecAB cdot vecEP]

(ⅰ)에서 [eqn: rm vecAB cdot vecOA + vecAB cdot vecAE][eqn: =-2+2 sqrt { 3}]

[eqn: rm angle AEB = angle OBC]이므로 [eqn: rm barEF]//[eqn: rm barBC]이다.

그런데 사각형 [eqn: rm ABCD]는 정사각형이므로 [eqn: rm barAB bot barBC]이다.

따라서 [eqn: rm vecEP bot vecAP]이므로 [eqn: rm vecAB cdot vecEP =0]이다.

∴ [eqn: rm vecAB cdot vecOP][eqn: =rm vecAB cdot vecOA + vecAB cdot vecAE + vecAB cdot vecEP]
[eqn: =-2+2 sqrt { 3}]

(ⅲ) 점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm EF] 위에 있는 경우

사각형 [eqn: rm ABCD]가 정사각형이므로 [eqn: rm vecAB = vecDC]

[eqn: rm vecAB cdot vecOP][eqn: =rm vecDC cdot vecOP][eqn: =rm vecDC cdot LEFT (vecOD + vecDP RIGHT )]
[eqn: =rm vecDC cdot vecOD + vecDC cdot vecDP]

(ⅰ)과 같은 방법으로 [eqn: rm vecAB cdot vecOP]는 [eqn: rm barDP =2],

즉 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: rm F]에 있을 때 최댓값 [eqn: -2+2 sqrt { 3}]을 갖는다.

(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)에서 [eqn: rm vecAB cdot vecOP]는 점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm EF] 위에 있을 때, 최댓값 [eqn: -2+2 sqrt { 3}]를 갖는다.

∴ [eqn: a=-2], [eqn: b=2]

∴ [eqn: a^2 +b^2 =(-2)^2 +2^2 =8]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2016년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설