◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2015학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: (log`_6 ``4 )^2 +(log`_6 ``9)^2 +2 log`_6 ``4 times log`_6 ``9]의 값은? [2점]

②

[eqn: (log`_6 ``4 )^2 +(log`_6 ``9)^2 +2 log`_6 ``4 times log`_6 ``9]

[eqn: = (log`_6 ``4 + log`_6 ``9)^2]

[eqn: = (log`_6 ``36)^2]
[eqn: =2^2 =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 25]

두 행렬 [eqn: A=pmatrix{``{-2}``&`````````{1}``#`````````{1}``&``{-1}``}], [eqn: B = pmatrix{`````````{3}``&``{-2}``#``{-1}``&`````````{1}``}]에 대하여 행렬
[eqn: 2A^2 +AB]의 모든 성분의 합은? [2점]

①

[eqn: 2A^2 +AB]

[eqn: =A(2A+B)]

[eqn: =pmatrix{``{-2}``&`````````{1}``#`````````{1}``&``{-1}``} left{2 pmatrix{``{-2}``&`````````{1}``#`````````{1}``&``{-1}``} +pmatrix{`````````{3}``&``{-2}``#``{-1}``&`````````{1}``} right}]

[eqn: =pmatrix{``{-2}``&`````````{1}``#`````````{1}``&``{-1}``}][eqn: pmatrix{``{-1}``&`````````{0}``#`````````{1}``&``{-1}``}]

[eqn: =pmatrix{`````````{3}``&``{-1}``#``{-2}``&`````````{1}``}]

따라서 구하는 모든 성분의 합은 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 5]개의 실수 [eqn: 1], [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]가 이 순서대로 등차수열을 이루고
[eqn: s-p=9]일 때, [eqn: r]의 값은? [2점]

④

[eqn: 5]개의 실수 [eqn: 1], [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: r-1 =s-p =9]

∴ [eqn: r = 10]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {rm P}(A^C cap B) = 1 over5], [eqn: {rm P}(B`|`A^C `) = 3 over7]일 때, [eqn: {rm P}(A)]의 값은? (단, [eqn: A^C]는 [eqn: A]의 여사건이다.) [3점]

④

[eqn: {rm P}(B`|`A^C `)][eqn: =][eqn: { {rm P}(A^C cap B)} over{ {rm P}(A^C`) }]이므로

[eqn: {rm P}(A^C cap B) = 1 over5], [eqn: {rm P}(B`|`A^C `) = 3 over7]에서

[eqn: { 1 over5} over{ {rm P}(A^C`) } = 3 over7]

[eqn: {rm P}(A^C `) = 1 over5 times 7 over3 = 7 over15]

∴ [eqn: {rm P}(A) = 1 - {rm P}(A^C `) = 1- 7 over15 = 8 over15]

① [eqn: 2 over15]	② [eqn: 4 over15]	③ [eqn: 2 over5]	④ [eqn: 8 over15]	⑤ [eqn: 2 over3]

다음은 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타낸 것이다.

⑤

[eqn: {rm P}(X=0)+{rm P}(X=1)+{rm P}(X=2)+{rm P}(X=3)][eqn: =1]

에서 [eqn: 1 over14 + 6a + 3 over7 + a=1]

∴ [eqn: a= 1 over14]

∴ [eqn: {rmE}(X)][eqn: = 0 times 1 over14 + 1 times 3 over7 + 2 times 3 over7 + 3 times 1 over14][eqn: = 3 over2]

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	계
[eqn: {rm P}(X=x)]	[eqn: 1 over14]	[eqn: 6a]	[eqn: 3 over7]	[eqn: a]	[eqn: 1]

[eqn: {rmE}(X)]의 값은? [3점]

① [eqn: 11 over10]	② [eqn: 6 over5]	③ [eqn: 13 over10]	④ [eqn: 7 over5]	⑤ [eqn: 3 over2]

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 + (a+6)x +2]가 극값을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [3점]

③

[eqn: f(x)=x^3 +ax^2 + (a+6)x +2]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: =3x^2 +2ax+(a+6)]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 극값을 갖지 않으려면

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x) ge0] 또는 [eqn: f`'(x) le0]이어야 한다.

그런데 [eqn: f`'(x)]의 최고차항의 계수가 양수이므로 [eqn: f`'(x) ge0]이어야 한다.

따라서 이차방정식 [eqn: f`'(x)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 할 때, [eqn: D le0]이어야 한다.

[eqn: D over4][eqn: = a^2 -3(a+6) le0]

[eqn: (a-6)(a+3) le0]

∴ [eqn: -3 le a le6]

따라서 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 10]개다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

등식 [eqn: abc=1024]를 만족시키는 세 자연수 [eqn: a`,``b`,``c``]의 순서쌍
[eqn: (`a`,``b`,``c`)]의 개수는? [3점]

⑤

[eqn: abc=1024][eqn: =2^10]이므로

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 [eqn: 2^k]([eqn: k=0], [eqn: 1], [eqn: 2], ⋯ )꼴로 나타낼 수 있는 자연수이다.

[eqn: a= 2^x], [eqn: b=2^y], [eqn: c = 2^z]라 할 때, [eqn: abc= 2^x+y+z]이므로

순서쌍 [eqn: (a, ``b, ``c)]의 개수는 [eqn: x+y+z =10]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 순서쌍 [eqn: (x, ``y, ``z)]의 개수와 같다.

따라서 구하는 순서쌍 [eqn: (a, ``b, ``c)]의 개수는

[eqn: `_3+10-1 {rmC}_10][eqn: =`_12 {rmC}_2][eqn: =66]

① [eqn: 42]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 54]	④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 66]

어느 상품의 수요량이 [eqn: D], 공급량이 [eqn: S]일 때의 판매가격을 [eqn: P]라 하면 관계식
[eqn: log`_2 ``P = C+log`_3 ``D - log`_9 ``S]
가 성립한다고 한다. 이 상품의 수요량이 [eqn: 9]배로 증가하고 공급량이 [eqn: 3]배로 증가하면 판매가격은 [eqn: k]배로 증가한다. [eqn: k]의 값은?

④

상품의 수요량이 [eqn: D], 공급량이 [eqn: S]일 때의 판매가격은 [eqn: P],

상품의 수요량이 [eqn: 9D], 공급량이 [eqn: 3S]일 때의 판매가격은 [eqn: kP]이므로

주어진 식에 의하여

[eqn: log`_2 ``P][eqn: = C+log`_3 ``D - log`_9 ``S]	⋯⋯ ㉠

[eqn: log`_2 ``kP][eqn: = C+log`_3 ``9D - log`_9 ``3S]	⋯⋯ ㉡

㉡[eqn: -]㉠에서

[eqn: log`_2 ``k][eqn: = log`_3 ``9 - log`_9 ``3][eqn: = 2 - 1 over2 = 3 over2]

∴ [eqn: k =2^{3 over2} = 2 sqrt { 2}]

[3점]

① [eqn: sqrt { 2}]	② [eqn: sqrt { 3}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 3sqrt { 3}]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

[eqn: lim_x->inf { f(x)-2g(x)} over { x^2} =1]이므로

[eqn: f(x)-2g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이다.

[eqn: lim_x->inf { f(x)+3g(x)} over { x^3}=1]이므로

[eqn: f(x)+3g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이다.

[eqn: left{f(x)+3g(x) right}- left{ f(x)-2g(x)right} = 5 g(x)]이므로

[eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1 over5]인 삼차함수이다.

∴ [eqn: lim_x->inf { g(x)} over { x^3} = 1 over5]

∴ [eqn: lim_x->inf { f(x)+g(x)} over { x^3}]

[eqn: =lim_x->inf left{{ f(x)+3g(x)} over { x^3} - 2g(x) overx^3 right}]

[eqn: =lim_x->inf {f(x)+3g(x)} over { x^3} -2times lim_x->inf g(x) overx^3]

[eqn: = 1- 2 over5][eqn: = 3 over5]

(가) [eqn: lim_x->inf { f(x)-2g(x)} over { x^2} =1]

(나) [eqn: lim_x->inf { f(x)+3g(x)} over { x^3}=1]

[eqn: lim_x->inf { f(x)+g(x)} over { x^3}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over5]	② [eqn: 2 over5]	③ [eqn: 3 over5]	④ [eqn: 4 over5]	⑤ [eqn: 1]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: x^2 int_1^x f(t)dt -int_1^x t^2 f(t)dt = x^4 +ax^3 +bx^2]
을 만족시킬 때, [eqn: f(5)]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

①

[eqn: x^2 int_1^x f(t)dt -int_1^x t^2 f(t)dt = x^4 +ax^3 +bx^2] ⋯⋯ ㉠

㉠이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

㉠에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0= 1 +a +b] ⋯⋯ ㉡

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: left{ 2x int_1^x f(t)dt + x^2 f(x) right} - x^2 f(x) = 4x^3 +3ax^2 +2bx]

[eqn: 2x int_1^x f(t)dt = 4x^3 +3ax^2 +2bx]

위의 식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

[eqn: 2 int_1^x f(t)dt = 4x^2 +3ax +2b] ⋯⋯ ㉢

㉢이 모든 실수에 대하여 성립하므로

㉢에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0=4+3a+2b] ⋯⋯ ㉣

㉡, ㉣에서 [eqn: a=-2], [eqn: b=1]

㉢의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2 f(x) = 8x+3a][eqn: =8x-6]

∴ [eqn: f(x)= 4x-3]

∴ [eqn: f(5)=17]

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음과 같다.

③

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)][eqn: =1], [eqn: lim _{x -> 1+} {} g(x)=1]이므로
[eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)+ lim _{x -> 1+} {} g(x)=2] (참)

ㄴ. [eqn: x -> 0+]일 때, [eqn: f(x) -> 0+]이므로
[eqn: lim _{x -> 0+} {} g(f(x))= lim _{t -> 0+} {} g(t)=1] (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)g(x)][eqn: = 1 times0 =0]
[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)g(x)][eqn: = 0 times1 =0]
[eqn: f(1)g(1)=0times1 =0]
∴ [eqn: lim_x->1 f(x)g(x) = f(1)g(1)]
따라서 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)+ lim _{x -> 1+} {} g(x)=2] ㄴ. [eqn: lim _{x -> 0+} {} g(f(x))=0] ㄷ. 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면
[eqn: S_2n-1 = 2 overn+2], [eqn: S_2n = 2 overn+1] ([eqn: n ge1])
이 성립한다. [eqn: sum_n=1^inf a_2n-1]의 값은? [3점]

②

[eqn: a_1 = S_1 = 2 over3]

[eqn: n ge2]일 때,

[eqn: a_2n-1][eqn: = S_2n-1 - S_2n-2][eqn: = 2 overn+2 - 2 overn]

∴ [eqn: sum_n=1^inf a_2n-1][eqn: = a_1 +sum_n=2^inf a_2n-1]
[eqn: = a_1 + lim_n->inf sum_k=2^n LEFT ( 2 overk+2 - 2 overk RIGHT )]
[eqn: = 2 over3 + lim_n->inf LEFT ( 2 overn+2 + 2 overn+1 - 1 - 2 over3 RIGHT )]
[eqn: =-1]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 좌표평면에서 직선 [eqn: x=k]가 곡선 [eqn: y=2^x +4]와 만나는 점을 [eqn: {rmA}_k]라 하고, 직선 [eqn: x=k+1]이 직선 [eqn: y=x]와 만나는 점을 [eqn: {rmB}_k+1]이라 하자. 선분 [eqn: {rmA}_k {rmB}_k+1]을 대각선으로 하고 각 변은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행한 직사각형의 넓이를 [eqn: S_k]라 할 때, [eqn: sum_k=1^8 S_k]의 값은? [3점]

③

점 [eqn: {rmA}_k]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 2^k +4]이고 점 [eqn: {rmB}_k]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: k+1]이므로 [eqn: S_k]는 가로의 길이가 [eqn: 1]이고 세로의 길이가 [eqn: (2^k +4)-(k+1) = 2^k -k+3]인 직사각형의 넓이이다.

∴ [eqn: S_k = 2^k -k +3]

∴ [eqn: sum_k=1^8 S_k][eqn: = sum_k=1^8 2^k - sum_k=1^8 (k-3)][eqn: = { 2(2^8 -1)} over { 2-1} - 8 over2 (-2+5)]
[eqn: =498]

① [eqn: 494]	② [eqn: 496]	③ [eqn: 498]	④ [eqn: 500]	⑤ [eqn: 502]

정규분포를 따르는 두 연속확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 다음 조건을 만족시킨다.

①

[eqn: {rmE}(X)=m], [eqn: sigma(X)=sigma]라 하면

조건 (가)에 의하여

[eqn: {rmE}(Y) = a m], [eqn: sigma(Y)=a sigma] (∵ [eqn: a>0])

조건 (나)에서

[eqn: {rm P}(X le 18)+{rm P}(Y ge36)=1]

[eqn: LRARROW] [eqn: {rm P}left( Z le 18-m over sigma right) + {rm P}left(Z ge 36-am over {a sigma} right) =1]

[eqn: LRARROW] [eqn: 18-m oversigma = 36-am over{a sigma}]

∴ [eqn: a=2] (∵ [eqn: sigma >0])

조건 (다)에서

[eqn: {rm P}(X le28)={rm P}(Y ge28)]

[eqn: LRARROW] [eqn: {rm P}left( Z le 28-m over{sigma}right) = {rm P}left(Z ge 28-2m over{2sigma}right)] (∵ [eqn: a=2])

[eqn: LRARROW] [eqn: 28-m oversigma = - { 28-2m} over { 2sigma}]

∴ [eqn: m=21] (∵ [eqn: sigma >0])

∴ [eqn: {rmE}(Y) = am = 42]

(가) [eqn: Y =aX] ([eqn: a>0])

(나) [eqn: {rm P}(X le 18)+{rm P}(Y ge36)=1]

(다) [eqn: {rm P}(X le28)={rm P}(Y ge28)]

[eqn: {rmE}(Y)]의 값은? [4점]

① [eqn: 42]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 46]	④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 50]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에 점 [eqn: {rm A}_n], [eqn: {rmB}_n]을 다음과 같은 규칙으로 정한다.

②

점 [eqn: {rmA}_n]의 좌표를 [eqn: (x_n , ``y_n )]이라 하면

조건 (나)에 의하여 점 [eqn: {rmB}_n]의 좌표는 [eqn: (y_n +1, ``x_n )]이고

조건 (다)에 의하여 점 [eqn: {rmA}_n+1]의 좌표는 [eqn: (x_n +1, ``y_n +2)]이다.

∴ [eqn: x_n+1 = x_n +1], [eqn: y_n+1 = y_n +2]

조건 (가)에 의하여 [eqn: x_1 =1], [eqn: y_1 =2]이므로

[eqn: x_n = n], [eqn: y_n =2n]이다.

∴ [eqn: {rmA}_n][eqn: (n , ``2n )], [eqn: {rmB}_n][eqn: (2n+1 , ``n )]

∴ [eqn: {bar{{rmA}_n{rmB}_n }][eqn: =sqrt { (n+1)^2 +(-n)^2}]

[eqn: =sqrt { 2n^2 +2n +1}]

[eqn: lim_n->inf { {bar{{rmA}_n{rmB}_n }} over { n}][eqn: =lim_n->inf { sqrt { 2n^2 +2n +1}} over { n}]

[eqn: =lim_n->inf { sqrt { 2 + 2 overn + 1overn^2}}][eqn: =sqrt { 2}]

(가) 점 [eqn: rm A_1]의 좌표는 [eqn: (1, ``2)]이다.

(나) 점 [eqn: {rmB}_n]은 점 [eqn: {rmA}_n]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 다음 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 점이다.

(다) 점 [eqn: {rmA}_n+1]은 점 [eqn: {rmB}_n]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 다음 [eqn: x]축과 [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 점이다.

[eqn: lim_n->inf { {bar{{rmA}_n{rmB}_n }} over { n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)=-x(x-4)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동시킨 곡선을 [eqn: y=g(x)]가 하자. 그림과 같이 두 곡선
[eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 세 부분의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]이라 할 때, [eqn: { S_2} over { S_1 +S_3}]의 값은? [4점]

⑤

곡선 [eqn: y=g(x)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동시킨 것이고

곡선 [eqn: y=f(x)]이 [eqn: x]축과 [eqn: x=0], [eqn: x=4]일 때 만나므로

곡선 [eqn: y= g(x)]는 [eqn: x]축과 [eqn: x=2], [eqn: x=6]일 때 만난다.

따라서 두 곡선 [eqn: y=f(x)]과 [eqn: y=g(x)]는 직선 [eqn: x = { 4+2 } over { 2}][eqn: =3]에서 대칭이므로

두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 3]이고 [eqn: S_1 = S_2]이다.

[eqn: int_0^3 f(x)dx][eqn: = int_0^3 (-x^2 +4x )dx][eqn: = left[ - x^3 over3 +2x^2 right]_0^3][eqn: =9]

[eqn: int_3^4 f(x)dx][eqn: = int_3^4 (-x^2 +4x )dx][eqn: = left[ - x^3 over3 +2x^2 right]_3^4][eqn: = 5 over3]

[eqn: int_2^3 g(x)dx = int_3^4 f(x)dx]이므로

[eqn: S_1][eqn: = int_0^3 f(x)dx -int_2^3 g(x)dx][eqn: =9 - 5 over3 = 22 over3]

[eqn: S_2][eqn: = int_2^3 g(x)dx+ int_3^4 f(x)dx][eqn: =2 times 5 over3 = 10 over3]

∴ [eqn: { S_2} over { S_1 +S_3}][eqn: = { 10 over3} over { 2 times 22 over3}][eqn: = 5 over22]

① [eqn: 3 over22]	② [eqn: 7 over44]	③ [eqn: 2 over11]	④ [eqn: 9 over44]	⑤ [eqn: 5 over22]

그림과 같이 [eqn: rm barAB = barAC =5], [eqn: rm barBC =6]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm BC]의 중점 [eqn: rm M_1]을 잡고 두 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC] 위에 각각 점 [eqn: rm B_1], [eqn: rm C_1]을 [eqn: rm angleB_1 M_1 C_1 =90DEG]이고 [eqn: rm bar{B_1 C_1}]//[eqn: rm barBC]가 되도록 잡아 직각삼각형 [eqn: rm B_1 M_1 C_1]을 만든다.
선분 [eqn: rm B_1 C_1]의 중점 [eqn: rmM_2]를 잡고 두 선분 [eqn: rm AB_1], [eqn: rm AC_1] 위에 각각 점 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2]를 [eqn: angle rm B_2 M_2 C_2 =90DEG]이고 [eqn: rm bar{B_2 C_2}]//[eqn: rm bar{B_1 C_1}]이 되도록 잡아 직각삼각형 [eqn: rm B_2 M_2 C_2]를 만든다.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 만든 직각삼각형 [eqn: {rmB}_n {rmM}_n {rmC}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^inf S_n]의 값은? [4점]

②

삼각형 [eqn: rm ABC]가 이등변삼각형이므로 △[eqn: rm AM_1 C]는 직각삼각형이다.

∴ [eqn: rm bar{AM_1][eqn: =sqrt { 5^2 -3^2}=4]

삼각형 [eqn: rm ABC]와 삼각형 [eqn: rm AB_1 C_1]이 닮음이므로 [eqn: rm M_2]는 직선 [eqn: rm AM_1] 위에 있고

삼각형 [eqn: rm AM_2 C_1]과 삼각형 [eqn: rm AM_1 C]는 닮음이다.

[eqn: bar{rm M_2 C_1} = a]라 하면 삼각형 [eqn: rm M_2 M_1 C_1]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: bar{rm M_2 M_1} =a]

[eqn: rm {barAM_2 }over{Bar{ M_2 C_1 }} = { barAM_1} over { bar{M_1 C}}]에서 [eqn: { 4-a} over { a} = 4 over3]

∴ [eqn: a = 12 over7]

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 [eqn: S_1 = a^2 = 144 over49]이고

공비가 [eqn: LEFT ( a over3 RIGHT )^2 = 16 over49]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf S_n][eqn: = { 144 over49} over { 1 - 16 over49}][eqn: = 48 over11]

① [eqn: 47 over11]	② [eqn: 48 over11]	③ [eqn: 49 over11]	④ [eqn: 50 over11]	⑤ [eqn: 51 over11]

곡선 [eqn: y= 1 over3 x^3 -x] 위의 점 중에서 제[eqn: 1]사분면에 있는 한 점을 [eqn: {rmP}(a, ``b)]라 하자. 점 [eqn: rm P]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하고, 점 [eqn: rm P]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm R]라 하자. [eqn: rm barOQ : barOR =3:1]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

④

점 [eqn: rm P]가 제[eqn: 1]사분면 위의 점이므로 [eqn: a>0]이고 [eqn: b>0]이다.

[eqn: f(x)= 1 over3 x^3 -x]라 할 때, [eqn: f`'(x) = x^2 -1]이므로

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rm P][eqn: (a, ``b)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y][eqn: = f`'(a) (x-a)+ f(a)]
[eqn: =(a^2 -1)(x-a)+ 1 over3 a^3 -a]

이다.

따라서 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: - 2 over3 a^3]이고, [eqn: rm barOQ =it 2 over3 a^3]이다. (∵ [eqn: a>0])

점 [eqn: rm R]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: f(a) = 1 over3 a^3 -a]이므로

[eqn: bar{rmOR}= 1 over3 a^3 -a]이다.

[eqn: rm barOQ : barOR =3:1]에서

[eqn: 2 over3 a^3 : 1 over3 a^3 -a = 3:1]

[eqn: a^3 -3a = 2 over3 a^3]

[eqn: a(a+3)(a-3)=0]

∴ [eqn: a=3] (∵ [eqn: a>0])

∴ [eqn: b = f(a) = 1 over3 cdot3^3 -3 =6]

∴ [eqn: ab =3 cdot6 =18]

[4점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B]가
[eqn: AB=O], [eqn: (A+2B)(2A-B)=E]
를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E]는 단위행렬이고, [eqn: O]는 영행렬이다.) [4점]

⑤

ㄱ. [eqn: (A+2B)(2A-B)=E]이므로
[eqn: (A+2B)^-1 = 2A-B]이다.
∴ [eqn: (2A-B)(A+2B)=E]
[eqn: (A+2B)(2A-B)][eqn: =(2A-B)(A+2B)]이므로
[eqn: AB = BA]
∴ [eqn: BA=O] (참)

ㄴ. [eqn: (A+2B)(2A-B)=E]에서
[eqn: 2A^2 -2B^2 = E]
[eqn: 2(A+B)(A-B) =E]
∴ [eqn: (A+B)^-1 = 2(A-B)] (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: 2A^2 -2B^2 = E]
즉, [eqn: A^2 = 1 over2 E +B^2]이므로
[eqn: A^2 +B^2 = 1 over2 E]이면
[eqn: LEFT ( 1 over2 E +B^2 RIGHT ) +B^2 = 1 over2 E]
∴ [eqn: B^2 =O]
따라서 [eqn: A^2 = 1 over2 E +B^2 = 1 over2 E]이므로 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재한다.
따라서 [eqn: AB=O]에서 [eqn: B=O]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: BA=O] ㄴ. 행렬 [eqn: A+B]의 역행렬이 존재한다. ㄷ. [eqn: A^2 +B^2 = 1 over2 E]이면 [eqn: B=O]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

①

점 [eqn: {rm B}_n]이 직선 [eqn: x=a_n]과 [eqn: y=b_n x]의 교점이므로

[eqn: bar{{rm A}_n {rmB}_n }][eqn: =a_n b_n]이고

[eqn: bar{{rm O} {rmB}_n }][eqn: =sqrt {{bar{{rmO}{rm A}_n }}^2 +{bar{{rm A}_n {rmB}_n }}^2}]
[eqn: =sqrt {(a_n )^2 +(a_n b_n )^2}]
[eqn: =a_n sqrt { box{``_``1``^``}+b_n^2}]

∴ (가)[eqn: = p =1]

원 [eqn: T_n]이 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: bar{{rm A}_n {rmC}_n } =r_n]이다.

[eqn: bar{{rm O} {rmD}_n }][eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + bar{{rm B}_n {rmD}_n }]
[eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + bar{{rm B}_n {rmC}_n }]
[eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + (bar{{rm A}_n {rmB}_n } - bar{{rm A}_n {rmC}_n } )]
[eqn: =a_n sqrt { box{``_``1``^``}+b_n^2}][eqn: +a_n b_n -r_n]

[eqn: bar{{rm O} {rmE}_n }][eqn: =a_n +r_n]

[eqn: bar{{rm O} {rmD}_n }][eqn: =bar{{rm O} {rmE}_n }]이므로

[eqn: a_n sqrt {1+b_n^2}][eqn: +a_n b_n -r_n][eqn: =a_n +r_n]

∴ [eqn: r_n][eqn: = { a_n LEFT ( b_n -1 +sqrt {1+b_n^2} RIGHT ) } over { 2}]

∴ [eqn: a_n+1][eqn: =a_n +2 r_n]
[eqn: =left( b_n +sqrt {1+b_n^2} right) times a_n]

그런데 [eqn: b_n = 1 over2 LEFT ( n+1 - 1 overn+1 RIGHT )]이므로

[eqn: sqrt {1+b_n^2 } = 1 over2 LEFT ( n+1 + 1 overn+1 RIGHT )]

∴ [eqn: b_n +sqrt {1+b_n^2}][eqn: =n+1]

∴ [eqn: a_n+1][eqn: =left( b_n +sqrt {1+b_n^2} right) times a_n]
[eqn: =left(it matrix{it#it}][eqn: matrix{it#it} right) times a_n] ([eqn: n ge1])

[eqn: n+1]

∴ (나)[eqn: =][eqn: f(n) =n]

이때 [eqn: a_1 =2]이고

[eqn: a_n][eqn: =]  [eqn: times a_n-1]
[eqn: =]  [eqn: times a_n-2]
⋮
[eqn: =]  [eqn: times a_1]

[eqn: n]

[eqn: n(n-1)]

[eqn: n (n-1)(n-2) timescdots times2]

이므로

[eqn: a_n][eqn: =]

[eqn: 2n!]

∴ (다)[eqn: =g(n)][eqn: =2n!]

∴ [eqn: p+f(4)+g(4)][eqn: =1+5 +48][eqn: =54]

(Ⅰ) [eqn: a_1 =2]이고 [eqn: a_n < a_n+1]

(Ⅱ) [eqn: b_n = 1 over2 LEFT ( n+1 - 1 overn+1 RIGHT )] ([eqn: n ge1])이라 할 때, 좌표평면에서 네 직선 [eqn: x= a_n], [eqn: x=a_n+1], [eqn: y=0], [eqn: y=b_n x]에 동시에 접하는 원 [eqn: T_n]이 존재한다.

원점을 [eqn: rmO]라 하고, 원 [eqn: T_n]의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하자.

직선 [eqn: x=a_n]과 두 직선 [eqn: y=0], [eqn: y=b_n x]의 교점을 각각 [eqn: {rm A}_n], [eqn: {rm B}_n]이라 하고, 원 [eqn: T_n]과 세 직선 [eqn: x=a_n], [eqn: y=b_n x], [eqn: y=0]의 접점을 각각 [eqn: {rm C}_n], [eqn: {rm D}_n], [eqn: {rm E}_n]이라 하면

[eqn: bar{{rm A}_n {rmB}_n }][eqn: =a_n b_n]이고 [eqn: bar{{rm O} {rmB}_n }][eqn: =a_n sqrt { box{``_``(가)``^``}+b_n^2}]이다.

[eqn: bar{{rm O} {rmD}_n }][eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + bar{{rm B}_n {rmD}_n }][eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + bar{{rm B}_n {rmC}_n }]
[eqn: =a_n sqrt { box{``_``(가)``^``}+b_n^2}][eqn: +a_n b_n -r_n]

[eqn: bar{{rm O} {rmE}_n }][eqn: =a_n +r_n]

[eqn: bar{{rm O} {rmD}_n }][eqn: =bar{{rm O} {rmE}_n }]이므로

[eqn: r_n][eqn: = { a_n LEFT ( b_n -1 +sqrt { box{```_```(가)```^```}+b_n^2} RIGHT ) } over { 2}]

∴ [eqn: a_n+1][eqn: =a_n +2 r_n][eqn: =left(`` box{```_```(나)```^```}``right) times a_n] ([eqn: n ge1])

이때 [eqn: a_1 =2]이고

[eqn: a_n][eqn: =]  [eqn: times a_n-1][eqn: =]  [eqn: times a_n-2][eqn: =] ⋯

[eqn: =]  [eqn: times a_1]

이므로

[eqn: a_n][eqn: =]

(다)

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(4)+g(4)]의 값은?

[4점]

① [eqn: 54]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 56]	④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 58]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에 원 [eqn: C_n]을 다음과 같은 규칙으로 그린다.

②

원 [eqn: C_n]의 중심을 [eqn: (x_n , ``y_n )]이라 하면

[eqn: x_1 =1]

[eqn: x_2 = x_3 = 1-(1+2)]

[eqn: x_4 =x_5 = 1-(1+2) +(3+4)]

[eqn: x_6 =x_7 = 1-(1+2) +(3+4)-(5+6)]

[eqn: x_8 =x_9 = 1-(1+2) +(3+4)-(5+6) +(7+8)]

⋮

정수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: - left{(4m-3) + (4m-2) right}+left{ (4m-1)+4m right} =4]이다.

∴ [eqn: x_4k][eqn: =][eqn: 1+4k]

[eqn: y_1 =y_2 =1]

[eqn: y_3 =y_4 = 1-(2+3)]

[eqn: y_5 =y_6 = 1-(2+3) +(4+5)]

[eqn: y_7 =y_8 = 1-(2+3) +(4+5)-(6+7)]

⋮

정수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: left{(4m-4) +(4m -3) right} -left{(4m-2)+(4m-1)right}][eqn: =-4]이다.

∴ [eqn: y_4k = -4k] (∵ [eqn: 1 =][eqn: 0+1])

∴ [eqn: (x_4k , ``y_4k )][eqn: =(1+4k , ``-4k)]

원 [eqn: C_40]는 중심이 [eqn: (41 , ``-40)]이고 반지름이 [eqn: 40]인 원이므로

원의 내부는 모두 제[eqn: 4]사분면에 포함된다.

따라서 원 [eqn: C_n]의 중심이 원 [eqn: C_40]의 내부에 있으려면 원 [eqn: C_n]의 중심은 제[eqn: 4]사분면에 있어야 한다.

즉, [eqn: n =4k]([eqn: k]는 자연수)이어야 한다.

이때, 원 [eqn: C_n]의 중심과 원 [eqn: C_40]의 중심과의 거리는 원 [eqn: C_40]의 반지름 [eqn: 40]보다 작다.

따라서 구하는 원의 개수는

점 [eqn: (1+4k , ``-4k)]과 점 [eqn: (41 , ``-40)]의 거리가 [eqn: 40]보다 작도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수이다.

[eqn: sqrt { (4k-40)^2 +(-4k+40)^2 } < 40]에서

[eqn: (k-10)^2 < 50]

[eqn: 10- sqrt { 50} < k <10+ sqrt { 50}]

[eqn: 7 < sqrt { 50}<8]이므로

위 부등식을 만족시키는 [eqn: k]는 [eqn: 3], [eqn: 4], ⋯, [eqn: 17]이다.

따라서 구하는 원의 개수는 [eqn: 15]개다.

(가) 원 [eqn: C_1]의 방정식은 [eqn: (x-1)^2 +(y-1)^2 =1]이다.

(나) 원 [eqn: C_n]의 반지름의 길이는 [eqn: n]이다.

(다) 원 [eqn: C_n+1]은 원 [eqn: C_n]과 외접하고, 두 원 [eqn: C_n], [eqn: C_n+1]의 중심을 지나는 직선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축과 평행하다.

(라) [eqn: n=4k+p] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수, [eqn: p=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4])일 때, 원 [eqn: C_n]의 중심은 제 [eqn: p]사분면에 있다.

예를 들어 원 [eqn: C_4]의 중심의 좌표는 [eqn: (5, ``-4)]이고 반지름의 길이는 [eqn: 4]이다. 원 [eqn: C_n] 중에서 그 중심이 원 [eqn: C_40]의 내부에 있는 원의 개수는? [4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->2 { f(x)-3} over { x-2}=4]를 만족시킨다. 함수
[eqn: g(x)= x^2 f(x)]에 대하여 [eqn: g`'(2)]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 28]

함수 [eqn: f(x)]가 다항함수이고, [eqn: lim_x->2 { f(x)-3} over { x-2}=4]이므로

[eqn: f(2)=lim_x->2 f(x)=3]이고 [eqn: f`'(2) =4]이다.

[eqn: g(x)= x^2 f(x)]이므로

[eqn: g`'(x) = 2x f(x)+x^2 f`'(x)]

∴ [eqn: g`'(2)][eqn: = 2cdot2 f(2)+ 2^2 f`'(2)][eqn: =4 cdot3 +4cdot4][eqn: =28]

다섯 개의 꼭짓점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rmD], [eqn: rmE]로 이루어진 그래프가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 14]

그래프에 존재하는 서로 다른 변의 개수가 최대일 때, 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합이 최대가 된다.

조건 (가)에 의하여 꼭짓점 [eqn: rm A]는 꼭짓점 [eqn: rm B], [eqn: rmC], [eqn: rm D], [eqn: rm E]와 모두 변으로 연결되어 있다.

조건 (나)를 만족하면서 서로 다른 변의 개수가 변의 개수가 최대가 되는 경우는 점 [eqn: rm B] 또는 [eqn: rm C]또는 [eqn: rm D]에 연결된 변이 모두 다른 경우로 점 [eqn: rm E]가 점 [eqn: rm B], [eqn: rmC], [eqn: rm D]와 변의로 연결되는 경우이다.

그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 [eqn: 2]배이므로

구하는 최댓값은 [eqn: 2 times7 = 14]이다.

(가) 꼭짓점 [eqn: rm A]에 연결된 변의 개수는 [eqn: 4]이다.

(나) 꼭짓점 [eqn: rm B], [eqn: rmC], [eqn: rmD]에 연결된 변의 개수는 모두 [eqn: 2]로 같다.

이 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합의 최댓값을 구하시오. (단, 한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 존재한다.) [3점]

어느 통신 회사의 스마트폰 사용 고객들의 올해 [eqn: 7]월의 데이터 사용량은 모평균이 [eqn: m]([eqn: rm GB]), 모표준편차가 [eqn: 1.2]([eqn: rm GB])인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고객들 중에서 [eqn: n]명을 임의추출하여 신뢰도 [eqn: 95%]로 추정한 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰구간이 [eqn: [`a, ``b`]]일 때, [eqn: b-a le 0.56]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.
(단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,
[eqn: {rm P}(0 le Z le 1.96)=0.4750]으로 계산한다.) [3점]

[eqn: 71]

[eqn: b-a]는 신뢰구간의 길이를 의미한다.

모표준편차가 [eqn: 1.2]([eqn: rm GB])이고 [eqn: {rm P}(0 le Z le 1.96)=0.4750]이므로

[eqn: b -a = 2 times 1.96 times { 1.2} over { sqrt { n} }]

[eqn: 2 times 1.96 times { 1.2} over { sqrt { n} } le 0.56]에서 [eqn: sqrt { n} ge 8.4]

∴ [eqn: n ge 70.56]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 71]이다.

수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_k=1^n (a_2k-1 +a_2k )=2n^2 -n]
을 만족시킨다. [eqn: a_10 +a_11 =20]일 때, [eqn: a_9 +a_12]의 값을 구하시오.

[eqn: 18]

[eqn: sum_k=1^n (a_2k-1 +a_2k )=2n^2 -n]이므로 [eqn: n ge2]일 때,

[eqn: a_2n-1 + a_2n][eqn: =sum_k=1^n (a_2k-1 +a_2k ) -sum_k=1^n-1 (a_2k-1 +a_2k )]
[eqn: =(2n^2 -n)- left{2(n-1)^2 -(n-1) right}]
[eqn: =4n -3]

∴ [eqn: LEFT ( a_9 +a_10 RIGHT ) +(a_11 +a_12 )][eqn: =17 +21][eqn: =38]

∴ [eqn: a_9 + a_12][eqn: = 38 -(a_10 +a_ 11 )][eqn: =38 - 20][eqn: =18]

[3점]

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 90]

조건 (가)에 의하여 [eqn: B = A^-1 BA]

위 식의 양변의 왼쪽에 행렬 [eqn: A]를 곱하여 정리하면

[eqn: AB = BA]

∴ [eqn: BA ^n][eqn: =BA A^n-1][eqn: = ABA^n-1]
[eqn: =ABA A^n-1][eqn: = A^2 B A^n-2]
[eqn: =] ⋯
[eqn: =A^n-1 BA][eqn: = A^n B]

마찬가지 방법으로 [eqn: B^n A][eqn: = AB^n]

∴ [eqn: X_n][eqn: =(A^-1 )^n BA^n +B^n A(B^-1 )^n]
[eqn: =(A^-1 )^n A^n B +AB^n (B^-1 )^n]
[eqn: = B+A]

조건 (나)에 의하여 행렬 [eqn: X_n]의 모든 성분의 합은

[eqn: 1+8 =9]이다.

∴ [eqn: X_1 +X_2 +X_3 +cdots +X_10][eqn: = 9 times 1 0 =90]

(가) [eqn: B = A^-1 BA]

(나) 두 행렬 [eqn: A], [eqn: B]의 모든 성분의 합은 각각 [eqn: 1], [eqn: 8]이다.

행렬 [eqn: X_n]을
[eqn: X_n][eqn: =(A^-1 )^n BA^n +B^n A(B^-1 )^n] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], ⋯ )
이라 할 때, 행렬 [eqn: X_1 +X_2 +X_3 +cdots +X_10]의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

주머니 [eqn: rmA]에는 흰 구슬 [eqn: 2]개, 검은 구슬 [eqn: 1]개가 들어 있고, 주머니 [eqn: rm B]에는 흰 구슬 [eqn: 1]개, 검은 구슬 [eqn: 2]개가 들어 있다. 한 개의 주사위를 던져서 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오면 주머니 [eqn: rm A]에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼내고, [eqn: 3]의 배수가 아닌 눈이 나오면 주머니 [eqn: rm B]에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼낸다. 주사위를 [eqn: 4]번 던지고 난 후에 주머니 [eqn: rm A]에는 검은 구슬이, 주머니 [eqn: rm B]에는 흰 구슬이 각각 한 개씩 남아 있을 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이고, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 251]

주사위를 한 번 던질 때, [eqn: 3]의 배수의 눈의 나올 확률은

[eqn: 2 over6 = 1 over3]이고 [eqn: 3]의 배수가 아닌 눈이 나올 확률은 [eqn: 1- 1 over3 = 2 over3]이다.

따라서 주사위를 한 번 던질 때,

주머니 [eqn: rm A]에서 공을 꺼낼 확률은 [eqn: 1 over3]이고

주머니 [eqn: rm B]에서 공을 꺼낼 확률은 [eqn: 2 over3]이다.

주어진 조건을 만족시키는 경우는

주머니 [eqn: rm A]에서 흰 구슬을 [eqn: 1]개씩 [eqn: 2]번 꺼내고,

주머니 [eqn: rm B]에서 검은 구슬을 [eqn: 1]개씩 [eqn: 2]번 꺼내는 경우이다.

주사위 [eqn: 4]번을 던지는 시행 중 주머니 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]에서 각각 [eqn: 2]개씩의 구슬을 꺼낼 확률은

[eqn: `_4 {rmC}_2 LEFT ( 1 over3 RIGHT )^2 LEFT ( 2 over3 RIGHT )^2 = 8 over27]

주머니 [eqn: rm A]에서 공을 꺼내는 두 번의 시행에서 모두 흰 구슬을 꺼낼 확률은

[eqn: 2 over3 times 1 over2 = 1 over3]

주머니 [eqn: rm B]에서 공을 꺼내는 두 번의 시행에서 모두 검은 구슬을 꺼낼 확률은

[eqn: 2 over3 times 1 over2 = 1 over3]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 8 over27 times 1 over3 times 1 over3][eqn: = 8 over243]

∴ [eqn: p = 243], [eqn: q =8]

∴ [eqn: p+q =251]

[4점]

그림과 같이 좌표평면에서 곡선 [eqn: y= 1 over2 x^2] 위의 점 중에서 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm A } LEFT ( t , ``1 over2 t^2 RIGHT )]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: y=-x+10]과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하고, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rmD]라 하자. 직사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이가 최대일 때, [eqn: 10t]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 작다.) [4점]

[eqn: 25]

[eqn: 1 over2 x^2 = -x+10]에서 [eqn: x^2 +2x -20 =0]

∴ [eqn: x =-1 +- sqrt { 21}]

곡선 [eqn: y= 1 over2 x^2]과 직선 [eqn: y=-x+10]는 [eqn: x =-1 +- sqrt { 21}]일 때 만나므로

[eqn: t]의 범위는 [eqn: 0<t< -1+ sqrt { 21}]이다.

점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: -x+10 = 1 over2 t^2]에서 [eqn: x = 10- 1 over2 t^2]

따라서 점 [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 10- 1 over2 t^2]이다.

∴ [eqn: bar{rm AC} = LEFT ( 10 - 1 over2 t^2 RIGHT )-t], [eqn: bar{rm CD} = 1 over2 t^2]

직사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t)][eqn: = bar{rm AC} times bar{rm CD}]
[eqn: = LEFT ( 10- 1 over2 t^2 -t RIGHT ) times 1 over2 t^2]
[eqn: =- 1 over 4 t^4 - 1 over2 t^3 +5 t^2] ([eqn: 0<t < -1+ sqrt { 21}])

[eqn: f`'(t)][eqn: =- t^3 - 3 over2 t^2 +10 t]
[eqn: =- t over2 (2t-5 )(t+4)] ([eqn: 0<t < -1+ sqrt { 21}])

[eqn: f`'(t)=0]에서 [eqn: t = 5 over2] (∵ [eqn: t>0])

함수 [eqn: f(t)]의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: 0]	⋯	[eqn: 5 over2]	⋯	[eqn: -1+ sqrt { 21}]
[eqn: f`'(t)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(t)]		↗	극대	↘

따라서 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t= 5 over2]일 때, 극대이자 최대이다.

∴ [eqn: 10t = 10 times 5 over2 = 25]

함수 [eqn: f(x)=-4x^2 +12x+16]이 있다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [`1, ``3`]]을 [eqn: n]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로
[eqn: 1=x_0], [eqn: x_1], [eqn: x_2], ⋯, [eqn: x_n-1], [eqn: x_n][eqn: =3]
이라 하자. 세 점 [eqn: (0, ``0)], [eqn: (x_k , ``0)], [eqn: (x_k , ``f(x_k ) )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: A_k]([eqn: k=1], [eqn: 2], ⋯, [eqn: n])이라 할 때, [eqn: lim_n->inf 4 overn sum_k=1^n A_k]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 88]

[eqn: x_k - x_k-1 = 2 overn]( [eqn: k=][eqn: 1], [eqn: 2], ⋯, [eqn: n])

[eqn: A_k][eqn: = 1 over2 x_k f(x_k )]
[eqn: = 1 over2 LEFT ( 1+ 2k overn RIGHT ) f LEFT ( 1+ 2k overn RIGHT )]

∴ [eqn: lim_n->inf 4 overn sum_k=1^n A_k][eqn: = lim_n->inf 2 overn sum_k=1^n LEFT ( 1+ 2k overn RIGHT ) f LEFT ( 1+ 2k overn RIGHT )]

[eqn: = int_1^3 x f(x) dx][eqn: = int_1^3 (-4x^3 +12x^2 +16 x)dx]

[eqn: = left[ matrix{it#it} -x^4 +4 x^3 +8 x^2 right]_1^3]

[eqn: =88]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log``n]의 지표를 [eqn: f(n)], 가수를 [eqn: g(n)]이라 할 때, 좌표평면에서 점 [eqn: {rmA}_n]의 좌표를 [eqn: (f(n) , ``g(n))]이라 하자. [eqn: 10]보다 크고 [eqn: 1000]보다 작은 두 자연수 [eqn: k], [eqn: m] ([eqn: k<m])에 대하여 세 점 [eqn: rm A_1], [eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]이 한 직선 위에 있을 때, [eqn: k+m]의 최댓값을 구하시오. [4점]

[eqn: 992]

[eqn: log`1 =0]이므로 [eqn: rm A_1 (0 , ``0)]

점 [eqn: {rmA}_n]의 [eqn: x], [eqn: y]좌표가 각각 [eqn: log`n]의 지표 [eqn: f(n)], 가수 [eqn: g(n)]이므로

점 [eqn: {rmA}_n]의 [eqn: x]좌표는 정수이고 [eqn: y]좌표는 [eqn: 1]보다 작고 [eqn: 0]보다 크거나 같다.

[eqn: 10 <n <1000]일 때, [eqn: 1 < log`n <3]이므로

[eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이다.

[eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]의 [eqn: x]좌표가 모두 [eqn: 1] 또는 모두 [eqn: 2]이면

세 점 [eqn: rm A_1], [eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]이 한 직선 위에 있지 않으므로

점 [eqn: {rmA}_k]와 [eqn: {rmA}_m]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 1], [eqn: 2]이어야 한다. (∵ [eqn: k<m])

∴ [eqn: f(k) =1], [eqn: f(m)=2] ⋯⋯ ㉠

이때, 두 점 [eqn: rm A_1], [eqn: {rmA}_k]를 잇는 직선의 기울기와 두 점 [eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]을 잇는 직선의 기울기는 같으므로

[eqn: g(k ) = g(m) over 2]가 성립한다.

한편, [eqn: log`k = f(k) +g(k)], [eqn: log`m = f(m) +g(m)]이므로

[eqn: g(k ) = g(m) over 2]에서 [eqn: log `k -1 = { log`m -2} over { 2}]

∴ [eqn: m = k^2] ⋯⋯ ㉡

㉠에서 [eqn: 10<k <100], [eqn: 100 le m <1000]이고

[eqn: 31^2 =961], [eqn: 32^2 = 1024]이므로

조건 ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 범위는

[eqn: 11 le k le 31]이다.

[eqn: k]가 최대일 때, [eqn: m]([eqn: =][eqn: k^2])도 최대가 되므로 [eqn: k+m]는

[eqn: k=31]일 때, 최댓값 [eqn: 31+31^2 =992]를 갖는다.

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2015년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설