◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2015학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: log`_2 ``9 times log`_3 ``8]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: log`_2 ``9 times log`_3 ``8][eqn: = 2 log`_2 `3 times 3 log`_3 ``2][eqn: = 6 LEFT ( log`_2 ``3 times 1 over{log`_2 ``3} RIGHT )][eqn: =6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

두 행렬 [eqn: A = pmatrix{``{-3}``&``{-5}``#`````````{2}``&`````````{3}``}], [eqn: B=pmatrix{`````````{4}``&``{5}``#``{-2}``&``{1}``}]에 대하여 [eqn: AX =A+B]를 만족시키는 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합은? [2점]

①

[eqn: AX =A+B]에서

[eqn: X = A^-1 (A+B) = E+A^-1 B]

[eqn: A = pmatrix{``{-3}``&``{-5}``#`````````{2}``&`````````{3}``}], [eqn: B=pmatrix{`````````{4}``&``{5}``#``{-2}``&``{1}``}]이므로

[eqn: X][eqn: =pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``}+pmatrix{`````````{3}``&`````````{5}``#``{-2}``&``{-3}``} pmatrix{`````````{4}``&``{5}``#``{-2}``&``{1}``}]
[eqn: =pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``}+ pmatrix{`````````{2}``&`````````{20}``#``{-2}``&``{-13}``}]
[eqn: = pmatrix{`````````{3}``&`````````{20}``#``{-2}``&``{-12}``}]

따라서 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합은

[eqn: 3+20+(-2)+(-12)][eqn: =9]

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]이고, [eqn: left|`veca `right| =2], [eqn: left|`vecb `right|=3]일 때, [eqn: |`veca -2vecb`|]의 값은? [2점]

③

두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]이고,

[eqn: left|`veca `right| =2], [eqn: left|`vecb `right|=3]이므로

[eqn: veca cdot vecb = |`veca`||`vecb`| cos 60DEG][eqn: = 2 times 3 times 1 over2 =3]

[eqn: |`veca -2vecb`|^2][eqn: =(veca -2vecb`)cdot(veca -2vecb`)]
[eqn: = |`veca`|^2 -4 veca cdot vecb +4 |`vecb`|^2]
[eqn: = 4-12+36]
[eqn: =28]

∴ [eqn: |`veca -2vecb`|][eqn: =sqrt { 28}][eqn: =2 sqrt { 7}]

① [eqn: 3sqrt { 2}]	② [eqn: 2sqrt { 6}]	③ [eqn: 2sqrt { 7}]	④ [eqn: 4sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)=8 sin x+4cos2x+1]의 최댓값은? [3점]

②

[eqn: f(x)][eqn: =8 sin x+4cos2x+1]
[eqn: = 8 sin x +4 (1-2sin^2 x )+1]
[eqn: =-8 LEFT ( sin x - 1 over2 RIGHT )^2 +7]

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sin x]는 [eqn: -1]과 [eqn: 1] 사이의 값을 갖는다. 즉, [eqn: -1 le sin x le 1]이다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: sin x = 1 over2]일 때, 즉, [eqn: x = n pi + (-1)^n pi over6]일 때,

최댓값 [eqn: 7]을 갖는다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

그림과 같이 정사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다.

②

도로망을 따라 [eqn: rm A]지점에서 출발하여 [eqn: rm B]지점까지 최단거리로 갈 때,

그림의 [eqn: rm P_1], [eqn: rm P_2], [eqn: rm P_3] 지점 중 어느 한 지점을 지난다.

ⅰ) [eqn: rm A ``->P_1 -> ``B]인 경로로 이동하는 경우
[eqn: rm A]지점에서 [eqn: rmP_1]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 1],
[eqn: rmP_1]지점에서 [eqn: rm B]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 1]이므로
이때의 경우의 수는 [eqn: 1 times1 =1]이다.

ⅱ) [eqn: rm A ``->P_2 -> ``B]인 경로로 이동하는 경우
[eqn: rm A]지점에서 [eqn: rmP_2]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 5! over4!],
[eqn: rmP_2]지점에서 [eqn: rm B]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 5! over4!]이므로
이때의 경우의 수는 [eqn: 5! over4! times 5! over4! = 25]이다.

ⅲ) [eqn: rm A ``->P_3 -> ``B]인 경로로 이동하는 경우

[eqn: rm A]지점에서 [eqn: rmP_3]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는
[eqn: rm A]지점에서 [eqn: rm C]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수 [eqn: 4! over3!]이다.
[eqn: rmP_3]지점에서 [eqn: rm B]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는
[eqn: rm D]지점에서 [eqn: rm B]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수 [eqn: 4! over3!]이다.
따라서 이때의 경우의 수는 [eqn: 4! over3! times 4! over3! = 16]이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)의 경우는 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 1+25+16 =42]이다.

이 도로망을 따라 [eqn: rm A]지점에서 출발하여 [eqn: rm B]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]	④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

좌표평면에서 원점을 중심으로 [eqn: 90DEG]만큼 회전하는 회전변환을 [eqn: f], 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 [eqn: k]([eqn: k>0])인 닮음변환을 [eqn: g]라 하자. 합성변환 [eqn: g circ f]에 의하여 원 [eqn: C_1]:[eqn: (x-5)^2 +y^2 =16]이 옮겨진 원을 [eqn: C_2]라 할 때, 두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2]가 외접하기 위한 모든 [eqn: k]의 값의 합은? [3점]

③

원 [eqn: C_1]는 중심이 [eqn: (5, ``0)]이고 반지름이 [eqn: 4]인 원이다.

따라서 회전변환 [eqn: f]에 의하여 원 [eqn: C_1]는 중심이 [eqn: (0, ``5)]이고 반지름이 [eqn: 4]인 원으로 이동한다. 또한 이 원은 닮음변환 [eqn: g]에 의하여 중심이 [eqn: (0, ``5k)]이고 반지름이 [eqn: 4k]인 원으로 이동한다. 따라서 [eqn: C_2]는 중심이 [eqn: (0, ``5k)]이고 반지름이 [eqn: 4k]인 원이다.

두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2]가 외접할 때, 두 원의 중심사이의 거리는 반지름의 길이의 합이므로

[eqn: sqrt { 5^2 +(5k)^2} = 4+ 4k]

위 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 9k^2 -32 k +9 =0]

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여

위 방정식을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 32 over9]이다.

[다른 풀이]

변환 [eqn: f], [eqn: g]를 나타내는 행렬은 각각

[eqn: pmatrix{``{0}``&``{-1}``#``{1}``&`````````{0}``}], [eqn: pmatrix{``{k}``&``{0}``#``{0}``&``{k}``}]이므로

변환 [eqn: g circf]를 나타내는 행렬은 [eqn: pmatrix{``{0}``&``{-k}``#``{k}``&`````````{0}``}]이다.

원 [eqn: C_1] 위의 점 [eqn: (x, ``y)]이 변환 [eqn: g circf]에 의하여 이동한 점을 [eqn: (x`' , ``y' )]이라 하면

[eqn: pmatrix{``{x'}``#``{y'}``} = pmatrix{``{0}``&``{-k}``#``{k}``&`````````{0}``} pmatrix{``{x}``#``{y}``}]

이 성립한다.

∴ [eqn: pmatrix{``{x}``#``{y}``}][eqn: = {pmatrix{``{0}``&``{-k}``#``{k}``&`````````{0}``}}^-1 pmatrix{``{x'}``#``{y'}``}][eqn: = {pmatrix{`````````{0}``&``{ 1 over k}``#``{- 1 over k}``&``{0}``}} pmatrix{``{x'}``#``{y'}``}][eqn: = pmatrix{`````````{ y' over k}``#``{- x' over k}``}]

점 [eqn: (x, ``y)]는 원 [eqn: C_1]:[eqn: (x-5)^2 +y^2 =16] 위에 있으므로

[eqn: LEFT ( y' overk -5 RIGHT )^2 + LEFT ( - x' overk RIGHT )^2 =16]

[eqn: (x' )^2 +(y`' -5k )^2 =16k^2]

따라서  원 [eqn: C_2]의 방정식은 [eqn: x^2 +(y-5k )^2 =(4k )^2]이다.

두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2]가 외접할 때, 두 원의 중심사이의 거리는 반지름의 길이의 합이므로

[eqn: sqrt { 5^2 +(5k)^2} = 4+ 4k]

위 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 9k^2 -32 k +9 =0]

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여

위 방정식을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 32 over9]이다.

① [eqn: 10 over3]	② [eqn: 31 over9]	③ [eqn: 32 over9]	④ [eqn: 11 over3]	⑤ [eqn: 34 over9]

어느 상품의 수요량이 [eqn: D], 공급량이 [eqn: S]일 때의 판매가격을 [eqn: P]라 하면 관계식
[eqn: log`_2 ``P = C+log`_3 ``D - log`_9 ``S]
가 성립한다고 한다. 이 상품의 수요량이 [eqn: 9]배로 증가하고 공급량이 [eqn: 3]배로 증가하면 판매가격은 [eqn: k]배로 증가한다. [eqn: k]의 값은?

④

상품의 수요량이 [eqn: D], 공급량이 [eqn: S]일 때의 판매가격은 [eqn: P],

상품의 수요량이 [eqn: 9D], 공급량이 [eqn: 3S]일 때의 판매가격은 [eqn: kP]이므로

주어진 식에 의하여

[eqn: log`_2 ``P][eqn: = C+log`_3 ``D - log`_9 ``S]	⋯⋯ ㉠

[eqn: log`_2 ``kP][eqn: = C+log`_3 ``9D - log`_9 ``3S]	⋯⋯ ㉡

㉡[eqn: -]㉠에서

[eqn: log`_2 ``k][eqn: = log`_3 ``9 - log`_9 ``3][eqn: = 2 - 1 over2 = 3 over2]

∴ [eqn: k =2^{3 over2} = 2 sqrt { 2}]

[3점]

① [eqn: sqrt { 2}]	② [eqn: sqrt { 3}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 3sqrt { 3}]

함수

[eqn: f(x)=]	[eqn: cases{ matrix{it#it#it#it}]	[eqn: -1]		([eqn: x< -2])
		[eqn: x+1]		([eqn: -2 le x <2])
		[eqn: 3]		([eqn: x ge2])

가 있다. 그림은 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y= x+1 overx]의 그래프를 나타낸 것이다.

④

[eqn: x=-1]일 때, 함수 [eqn: f(x)][eqn: =0]이므로 분수식 [eqn: x+1 overf(x)]가 정의되지 않는다.

ⅰ) [eqn: x< -2]일 때,
[eqn: x+1 overf(x) >x] [eqn: LRARROW] [eqn: -(x+1) >x] [eqn: LRARROW] [eqn: x < - 1 over2]
∴ [eqn: x< -2]

ⅱ) [eqn: -2 < x<2]일 때,
[eqn: x+1 overf(x) >x] [eqn: LRARROW] [eqn: 1>x]
∴ [eqn: -2<x<1], [eqn: x!=-1]

ⅲ) [eqn: x ge2]일 때,
[eqn: x+1 overf(x) >x] [eqn: LRARROW] [eqn: x+1 over3 >x] [eqn: LRARROW] [eqn: x < 1 over2]
따라서 부등식 [eqn: x+1 overf(x) >x]을 만족시키는 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 부등식 [eqn: x+1 overf(x) >x]의 해는

[eqn: x< -1], [eqn: -1 <x<1]이다.

따라서 주어진 집합은 [eqn: left{-9 , ``-8 , ``cdots, ``-2 , ``0 right}]이다.

따라서 구하는 원소의 개수는 [eqn: 9]개다.

[다른 풀이]

주어진 등식의 양변에 [eqn: f(x) overx]를 곱하면 좌변은 [eqn: x+1 overx], 우변은 [eqn: f(x)]가 되므로 [eqn: x]와 [eqn: f(x)]의 부호가 바뀌는 [eqn: x]의 값을 기준으로 범위를 나누어 생각한다.

ⅰ) [eqn: x< -1]일 때,
[eqn: x<0], [eqn: f(x)<0]이므로
[eqn: x+1 overf(x) >x]에서 [eqn: x+1 overx >f(x)]
[eqn: x< -1]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y = x+1 overx]의 그래프의 아래쪽에 있으므로 [eqn: x+1 overx > f(x)]가 성립한다.
∴ [eqn: x< -1]

ⅱ) [eqn: -1 <x<0]일 때,
[eqn: x<0], [eqn: f(x)>0]이므로
[eqn: x+1 overf(x) >x]에서 [eqn: x+1 overx <f(x)]
[eqn: -1 <x<0]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y = x+1 overx]의 그래프의 위쪽에 있으므로 [eqn: x+1 overx <f(x)]가 성립한다.
∴ [eqn: -1 <x<0]

ⅲ) [eqn: x=0]일 때,
[eqn: x+1 overf(x) = 1]이므로 [eqn: x+1 overf(x) >x]가 성립한다.

ⅳ) [eqn: x>0]일 때,
[eqn: x>0], [eqn: f(x)>0]이므로
[eqn: x+1 overf(x) >x]에서 [eqn: x+1 overx >f(x)]
두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y = x+1 overx]의 그래프는 [eqn: x=1], [eqn: x=-1]일 때 만난다.

그림에서 [eqn: 0<x< 1]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y = x+1 overx]의 그래프의 아래쪽에 있으므로 [eqn: x+1 overx >f(x)]이 성립한다.
∴ [eqn: 0 <x<1]

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에서 주어진 집합은

[eqn: x < 1]이고 [eqn: x!=-1]이며 [eqn: |`x`|<10]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 집합으로

[eqn: left{-9 , ``-8 , ``cdots, ``-2 , ``0 right}]이다.

따라서 구하는 원소의 개수는 [eqn: 9]개다.

집합 [eqn: left{x `left| ``x+1 overf(x) >x], [eqn: x]는 [eqn: |`x`|<10]인 정수[eqn: matrix{it#it} right}]의 원소의 개수는?

[3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

포물선 [eqn: y^2 =8x]의 초점 [eqn: rm F]를 지나는 직선 [eqn: l]이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하자. [eqn: rm barAB =14] 를 만족시키는 직선 [eqn: l]의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, 양수 [eqn: m]의 값은? [3점]

④

[eqn: rm F (2, ``0)]이므로 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y=m(x-2)]

점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 [eqn: alpha], [eqn: beta]는

직선 [eqn: y=m(x-2)]과 포물선 [eqn: y^2 =8x]와의 교점의 [eqn: x]좌표이므로

방정식 [eqn: m^2 (x-2)^2 =8x]의 두 근이다.

또한, 포물선의 준선의 방정식이 [eqn: x=-2]이므로

[eqn: rm barAF][eqn: = alpha+2], [eqn: rm barBF = beta +2]

[eqn: rm barAB][eqn: = rm barAF +barBF][eqn: =alpha+beta+4]이므로

[eqn: rm barAB =14]에서 [eqn: alpha+beta +4 =14]

∴ [eqn: alpha +beta =10] ⋯⋯ ㉠

[eqn: m^2 (x-2)^2 =8x]에서

[eqn: m^2 x^2 -4(m^2 +2 ) x +4m^2 =0]

위의 이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha+beta][eqn: = { 4(m^2 +2 )} over { m^2}] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: { 4(m^2 +2 )} over { m^2} =10], [eqn: m^2 = 4 over3]

∴ [eqn: m = { 2 sqrt { 3} } over { 3}] (∵ [eqn: m >0])

① [eqn: sqrt { 6} over3]	② [eqn: { 2 sqrt { 2} } over { 3}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: { 2 sqrt { 3} } over { 3}]	⑤ [eqn: sqrt { 2}]

정규분포를 따르는 두 연속확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: {rm P}(X le k)= {rm P}(Y ge k)]를 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값은? [3점]

②

[eqn: {rmE}(X) =10]이므로

[eqn: {rmE}(Y)= {rmE}(3X) = 3 {rmE}(X) =30]

[eqn: sigma (X) = sigma]([eqn: >0])라 하면

[eqn: sigma (Y)= sigma (3X) = |`3|` sigma (X) =3 sigma]

[eqn: {rm P}(X le k)= {rm P}(Y ge k)]에서

[eqn: {rm P}left( Z le k-10 over sigma right) = {rm P}left( Z ge k-30 over3sigma right)]

따라서 [eqn: k-10 oversigma = - k-30 over3sigma]에서

[eqn: 3k-30 = 30- k]

∴ [eqn: k=15]

(가) [eqn: {rmE}(X) =10]

(나) [eqn: Y= 3X]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

주머니 [eqn: rm A]에는 흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있고, 주머니 [eqn: rm B]에는 흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있다. 주머니 [eqn: rm A]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: rm B]에 넣고 섞은 다음 주머니 [eqn: rm B]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: rm A]에 넣었더니 두 주머니에 있는 검은 공의 개수가 서로 같아졌다. 이때 주머니 [eqn: rm A]에서 꺼낸 공이 모두 검은 공이었을 확률은? [3점]

①

주머니 [eqn: rm A]에 있는 검은 공의 개수가 주머니 [eqn: rm B]에 있는 검은 공의 개수보다 크므로 시행을 마친 후 두 주머니 안에 있는 검은 공의 수가 같으려면 주머니 [eqn: rm A]에서 적어도 하나의 검은 공을 꺼내어 주머니 [eqn: rm B]에 넣어야 한다.

ⅰ) 주머니 [eqn: rm A]에서 검은 공 [eqn: 2]개를 꺼내어 주머니 [eqn: rm B]에 넣는 경우
주머니 [eqn: rm B]에서 검은 공 [eqn: 1]개, 흰 공 [eqn: 1]개를 꺼내어 주머니 [eqn: rm A]에 넣어야 두 주머니에 있는 검은 공의 개수가 서로 같아진다. 이때의 확률은
[eqn: rm {`_4 C_2 } over { `_6 C_2} times { `_4 C_1 times`_4 C_1} over { `_8 C_2}][eqn: = 8 over35]

ⅱ) 주머니 [eqn: rm A]에서 흰 공 [eqn: 1]개, 검은 공 [eqn: 1]개를 꺼내어 주머니 [eqn: rm B]에 넣는 경우
주머니 [eqn: rm B]에서 흰 공 [eqn: 2]개를 꺼내어 주머니 [eqn: rm A]에 넣어야 두 주머니에 있는 검은 공의 개수가 서로 같아진다. 이때의 확률은
[eqn: rm { `_2 C_1 times `_4 C_1} over { `_6 C_2} times { `_5 C_2} over { `_8 C_2}][eqn: = 4 over21]

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: { 8 over35} over { 8 over35 + 4 over21}][eqn: = 6 over11]

① [eqn: 6 over11]	② [eqn: 13 over22]	③ [eqn: 7 over11]	④ [eqn: 15 over22]	⑤ [eqn: 8 over11]

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A(-3, ``0)], [eqn: rm B(3, ``0)]을 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: 8]인 타원이 있다. 초점이 [eqn: rm B]이고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 타원과 만나는 한 점을 [eqn: rm P]라 할 때, 선분 [eqn: rm PB]의 길이는? [3점]

④

초점이 [eqn: rm B]이고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 준선은 [eqn: x = -3]이다.

그림과 같이 점 [eqn: rm P]를 제[eqn: 1]사분면 위의 점으로 정하고 [eqn: bar{rm PB}=a]라 하자.

점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 직선 [eqn: x=-3]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하면

포물선의 정의에 의하여 [eqn: bar{rm PH}=a]이므로

[eqn: bar{rm BH}= a]이고 [eqn: bar{rm AH} = 6-a]이다.

타원의 정의에 의하여 [eqn: rm bar{PA} +barPB =8]이므로 [eqn: bar{rm PA}=8-a]

직각삼각형 [eqn: rm PAH]와 [eqn: rm PBH]에서

[eqn: rm {barPA}^2 -{barAH}^2 = {barPB}^2 - {barBH}^2]

[eqn: (8-a)^2 -a^2 = a^2 -(6-a)^2]

∴ [eqn: a = 25 over7]

① [eqn: 22 over7]	② [eqn: 23 over7]	③ [eqn: 24 over7]	④ [eqn: 25 over7]	⑤ [eqn: 26 over7]

모든 실수에서 연속이고 역함수가 존재하는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 제[eqn: 1]사분면에 있는 두 점 [eqn: (2, ``a)], [eqn: (4, ``a+8)]을 지난다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
[eqn: lim_n->inf 2 overn sum_k=1^n f LEFT ( 2+ 2k overn RIGHT ) + lim_n->inf 8 overn sum_k=1^n g LEFT ( a+ 8k overn RIGHT )=50]
을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

③

[eqn: lim_n->inf 2 overn sum_k=1^n f LEFT ( 2+ 2k overn RIGHT )][eqn: = int_2^4 f(x)dx]

[eqn: lim_n->inf 8 overn sum_k=1^n g LEFT ( a+ 8k overn RIGHT )= int_a^a+8 g(x)dx]

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수에서 연속이고 역함수가 존재하므로

구간 [eqn: [`2, ``4`]]에서 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같이 [eqn: (2, ``a)]에서 [eqn: (4, ``a+8)]까지 증가하는 모양이다.

[eqn: int_2^4 f(x)dx]의 값은 위 그림의 [eqn: rm A]부분의 넓이와 같고,

[eqn: int_a^a+8 g(x)dx]의 값은 위 그림의 [eqn: rm B]부분의 넓이와 같다.

[eqn: int_2^4 f(x)dx + int_a^a+8 g(x)dx][eqn: =50]에서

[eqn: 4 (a+8)-2a][eqn: =50]

∴ [eqn: a =9]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

그림은 좌표평면에 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]를 나타낸 것이다. 선분 [eqn: rm OA]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 30DEG]일 때, 부채꼴 [eqn: rm OAB]의 내부를 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, 점 [eqn: rm B]는 제[eqn: 2]사분면에 있다.) [4점]

⑤

점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]는 원 [eqn: x^2 +y^2 =4] 위의 점이다.

따라서 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (sqrt { 3} , ``1)], 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: (-1 , `` sqrt { 3})]이고

직선 [eqn: rm OA]의 방정식은 [eqn: y = 1 over sqrt { 3}x], 직선 [eqn: rm OB]의 방정식은 [eqn: y =- sqrt { 3}x]이다.

따라서 구하는 회전체의 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: V][eqn: =pi int_{-1}^ sqrt { 3} (4- x^2 ) dx][eqn: - piint_-1^0 LEFT ( - sqrt { 3}x RIGHT )^2 dx][eqn: -pi int_0^ sqrt { 3} LEFT ( 1 over sqrt { 3}x RIGHT )^2 dx]
[eqn: =pi left[ 4x - x^3 over3 right]_-1^ sqrt { 3}][eqn: - pi left[ x^3 matrix{it#it} right]_-1^0][eqn: - pi left[ x^3 over9 right]_0^ sqrt { 3}]
[eqn: = { 8( sqrt { 3}+1) } over { 3}pi]

① [eqn: { 4( sqrt { 3}+1) } over { 3}pi]	② [eqn: { 5( sqrt { 3}+1) } over { 3}pi]	③ [eqn: 2 ( sqrt { 3}+1) pi]

④ [eqn: { 7( sqrt { 3}+1) } over { 3}pi]	⑤ [eqn: { 8( sqrt { 3}+1) } over { 3}pi]

그림과 같이 직선 [eqn: x=t] ([eqn: 0<t<1])이 세 곡선 [eqn: y=1- x^2 over2], [eqn: y= sqrt { 1-x^2}], [eqn: y=sin^4 x] 및 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. 두 삼각형 [eqn: rm AOB], [eqn: rmCOD]의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 0+} {} {S _{1}} over {S _{2}}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

①

두 삼각형 [eqn: rm AOB], [eqn: rm COD]의 넓이를 구할 때, 두 삼각형의 밑변을 각각 [eqn: rm barAB], [eqn: rm barCD]로 잡으면

점 [eqn: rm O]에서 직선 [eqn: x=t]에 이르는 거리가 두 삼각형의 높이이므로 [eqn: S_1 overS_2][eqn: = { rm barAB} over { rm barCD}]이다.

∴ [eqn: lim _{t -> 0+} {} {S _{1}} over {S _{2}}][eqn: = lim _{t -> 0+} {} {rm bar{AB} it} over {rm bar{CD} it}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {1- {t ^{2}} over {2} - sqrt {1-t ^{2}}} over {sin ^{4} t}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {{t ^{4}} over {4}} over {sin ^{4} t LEFT ( 1- {t ^{2}} over {2} + sqrt {1-t ^{2}} RIGHT )}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {1} over {LEFT ( {sint} over {t} RIGHT ) ^{4}} CDOT {1} over {4 LEFT ( 1- {t ^{2}} over {2} + sqrt {1-t ^{2}} RIGHT )}]
[eqn: = 1 cdot 1 over4cdot2][eqn: = 1 over8]

[eqn: x=t]

① [eqn: 1 over8]	② [eqn: 1 over4]	③ [eqn: 3 over8]	④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 5 over8]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B]가
[eqn: AB=O], [eqn: (A+2B)(2A-B)=E]
를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E]는 단위행렬이고, [eqn: O]는 영행렬이다.) [4점]

⑤

ㄱ. [eqn: (A+2B)(2A-B)=E]이므로
[eqn: (A+2B)^-1 = 2A-B]이다.
∴ [eqn: (2A-B)(A+2B)=E]
[eqn: (A+2B)(2A-B)][eqn: =(2A-B)(A+2B)]이므로
[eqn: AB = BA]
∴ [eqn: BA=O] (참)

ㄴ. [eqn: (A+2B)(2A-B)=E]에서
[eqn: 2A^2 -2B^2 = E]
[eqn: 2(A+B)(A-B) =E]
∴ [eqn: (A+B)^-1 = 2(A-B)] (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: 2A^2 -2B^2 = E]
즉, [eqn: A^2 = 1 over2 E +B^2]이므로
[eqn: A^2 +B^2 = 1 over2 E]이면
[eqn: LEFT ( 1 over2 E +B^2 RIGHT ) +B^2 = 1 over2 E]
∴ [eqn: B^2 =O]
따라서 [eqn: A^2 = 1 over2 E +B^2 = 1 over2 E]이므로 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재한다.
따라서 [eqn: AB=O]에서 [eqn: B=O]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: BA=O] ㄴ. 행렬 [eqn: A+B]의 역행렬이 존재한다. ㄷ. [eqn: A^2 +B^2 = 1 over2 E]이면 [eqn: B=O]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 [eqn: rm barAB = barAC =5], [eqn: rm barBC =6]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm BC]의 중점 [eqn: rm M_1]을 잡고 두 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC] 위에 각각 점 [eqn: rm B_1], [eqn: rm C_1]을 [eqn: rm angleB_1 M_1 C_1 =90DEG]이고 [eqn: rm bar{B_1 C_1}]//[eqn: rm barBC]가 되도록 잡아 직각삼각형 [eqn: rm B_1 M_1 C_1]을 만든다. 선분 [eqn: rm B_1 C_1]의 중점 [eqn: rmM_2]를 잡고 두 선분 [eqn: rm AB_1], [eqn: rm AC_1] 위에 각각 점 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2]를 [eqn: angle rm B_2 M_2 C_2 =90DEG]이고 [eqn: rm bar{B_2 C_2}]//[eqn: rm bar{B_1 C_1}]이 되도록 잡아 직각삼각형 [eqn: rm B_2 M_2 C_2]를 만든다.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 만든 직각삼각형 [eqn: {rmB}_n {rmM}_n {rmC}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^inf S_n]의 값은? [4점]

②

삼각형 [eqn: rm ABC]가 이등변삼각형이므로 △[eqn: rm AM_1 C]는 직각삼각형이다.

∴ [eqn: rm bar{AM_1][eqn: =sqrt { 5^2 -3^2}=4]

삼각형 [eqn: rm ABC]와 삼각형 [eqn: rm AB_1 C_1]이 닮음이므로 [eqn: rm M_2]는 직선 [eqn: rm AM_1] 위에 있고

삼각형 [eqn: rm AM_2 C_1]과 삼각형 [eqn: rm AM_1 C]는 닮음이다.

[eqn: bar{rm M_2 C_1} = a]라 하면 삼각형 [eqn: rm M_2 M_1 C_1]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: bar{rm M_2 M_1} =a]

[eqn: rm {barAM_2 }over{Bar{ M_2 C_1 }} = { barAM_1} over { bar{M_1 C}}]에서 [eqn: { 4-a} over { a} = 4 over3]

∴ [eqn: a = 12 over7]

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 [eqn: S_1 = a^2 = 144 over49]이고

공비가 [eqn: LEFT ( a over3 RIGHT )^2 = 16 over49]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf S_n][eqn: = { 144 over49} over { 1 - 16 over49}][eqn: = 48 over11]

① [eqn: 47 over11]	② [eqn: 48 over11]	③ [eqn: 49 over11]	④ [eqn: 50 over11]	⑤ [eqn: 51 over11]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(4)+g(4)]의 값은?

①

점 [eqn: {rm B}_n]이 직선 [eqn: x=a_n]과 [eqn: y=b_n x]의 교점이므로

[eqn: bar{{rm A}_n {rmB}_n }][eqn: =a_n b_n]이고

[eqn: bar{{rm O} {rmB}_n }][eqn: =sqrt {{bar{{rmO}{rm A}_n }}^2 +{bar{{rm A}_n {rmB}_n }}^2}][eqn: =sqrt {(a_n )^2 +(a_n b_n )^2}][eqn: =a_n sqrt { box{``_``1``^``}+b_n^2}]

∴ (가)[eqn: = p =1]

원 [eqn: T_n]이 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: bar{{rm A}_n {rmC}_n } =r_n]이다.

[eqn: bar{{rm O} {rmD}_n }][eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + bar{{rm B}_n {rmD}_n }]
[eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + bar{{rm B}_n {rmC}_n }]
[eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + (bar{{rm A}_n {rmB}_n } - bar{{rm A}_n {rmC}_n } )]
[eqn: =a_n sqrt { box{``_``1``^``}+b_n^2}][eqn: +a_n b_n -r_n]

[eqn: bar{{rm O} {rmE}_n }][eqn: =a_n +r_n]

[eqn: bar{{rm O} {rmD}_n }][eqn: =bar{{rm O} {rmE}_n }]이므로

[eqn: a_n sqrt {1+b_n^2}][eqn: +a_n b_n -r_n][eqn: =a_n +r_n]

∴ [eqn: r_n][eqn: = { a_n LEFT ( b_n -1 +sqrt {1+b_n^2} RIGHT ) } over { 2}]

∴ [eqn: a_n+1][eqn: =a_n +2 r_n]
[eqn: =left( b_n +sqrt {1+b_n^2} right) times a_n]

그런데 [eqn: b_n = 1 over2 LEFT ( n+1 - 1 overn+1 RIGHT )]이므로

[eqn: sqrt {1+b_n^2 } = 1 over2 LEFT ( n+1 + 1 overn+1 RIGHT )]

∴ [eqn: b_n +sqrt {1+b_n^2}][eqn: =n+1]

∴ [eqn: a_n+1][eqn: =left( b_n +sqrt {1+b_n^2} right) times a_n]
[eqn: =left(it matrix{it#it}][eqn: matrix{it#it} right) times a_n] ([eqn: n ge1])

[eqn: n+1]

∴ (나)[eqn: =][eqn: f(n) =n]

이때 [eqn: a_1 =2]이고

[eqn: a_n][eqn: =]  [eqn: times a_n-1]
[eqn: =]  [eqn: times a_n-2]
⋮
[eqn: =]  [eqn: times a_1]

[eqn: n]

[eqn: n(n-1)]

[eqn: n (n-1)(n-2) timescdots times2]

이므로

[eqn: a_n][eqn: =]

[eqn: 2n!]

∴ (다)[eqn: =g(n)][eqn: =2n!]

∴ [eqn: p+f(4)+g(4)][eqn: =1+5 +48][eqn: =54]

(Ⅰ) [eqn: a_1 =2]이고 [eqn: a_n < a_n+1]

(Ⅱ) [eqn: b_n = 1 over2 LEFT ( n+1 - 1 overn+1 RIGHT )] ([eqn: n ge1])이라 할 때, 좌표평면에서 네 직선 [eqn: x= a_n], [eqn: x=a_n+1], [eqn: y=0], [eqn: y=b_n x]에 동시에 접하는 원 [eqn: T_n]이 존재한다.

원점을 [eqn: rmO]라 하고, 원 [eqn: T_n]의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하자.

직선 [eqn: x=a_n]과 두 직선 [eqn: y=0], [eqn: y=b_n x]의 교점을 각각 [eqn: {rm A}_n], [eqn: {rm B}_n]이라 하고, 원 [eqn: T_n]과 세 직선 [eqn: x=a_n], [eqn: y=b_n x], [eqn: y=0]의 접점을 각각 [eqn: {rm C}_n], [eqn: {rm D}_n], [eqn: {rm E}_n]이라 하면

[eqn: bar{{rm A}_n {rmB}_n }][eqn: =a_n b_n]이고 [eqn: bar{{rm O} {rmB}_n }][eqn: =a_n sqrt { box{``_``(가)``^``}+b_n^2}]이다.

[eqn: bar{{rm O} {rmD}_n }][eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + bar{{rm B}_n {rmD}_n }][eqn: = bar{{rm O} {rmB}_n } + bar{{rm B}_n {rmC}_n }]
[eqn: =a_n sqrt { box{``_``(가)``^``}+b_n^2}][eqn: +a_n b_n -r_n]

[eqn: bar{{rm O} {rmE}_n }][eqn: =a_n +r_n]

[eqn: bar{{rm O} {rmD}_n }][eqn: =bar{{rm O} {rmE}_n }]이므로

[eqn: r_n][eqn: = { a_n LEFT ( b_n -1 +sqrt { box{```_```(가)```^```}+b_n^2} RIGHT ) } over { 2}]

∴ [eqn: a_n+1][eqn: =a_n +2 r_n][eqn: =left(`` box{```_```(나)```^```}``right) times a_n] ([eqn: n ge1])

이때 [eqn: a_1 =2]이고

[eqn: a_n][eqn: =]  [eqn: times a_n-1][eqn: =]  [eqn: times a_n-2][eqn: =] ⋯

[eqn: =]  [eqn: times a_1]

이므로

[eqn: a_n][eqn: =]

(다)

[4점]

① [eqn: 54]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 56]	④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 58]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log``n]의 지표를 [eqn: f(n)], 가수를 [eqn: g(n)]이라 할 때, 좌표평면에서 점 [eqn: {rmA}_n]의 좌표를 [eqn: (f(n) , ``g(n))]이라 하자. [eqn: 10]보다 크고 [eqn: 1000]보다 작은 두 자연수 [eqn: k], [eqn: m] ([eqn: k<m])에 대하여 세 점 [eqn: rm A_1], [eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]이 한 직선 위에 있을 때, [eqn: k+m]의 최댓값은?

③

[eqn: log`1 =0]이므로 [eqn: rm A_1 (0 , ``0)]

점 [eqn: {rmA}_n]의 [eqn: x], [eqn: y]좌표가 각각 [eqn: log`n]의 지표 [eqn: f(n)], 가수 [eqn: g(n)]이므로

점 [eqn: {rmA}_n]의 [eqn: x]좌표는 정수이고 [eqn: y]좌표는 [eqn: 1]보다 작고 [eqn: 0]보다 크거나 같다.

[eqn: 10 <n <1000]일 때, [eqn: 1 < log`n <3]이므로

[eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이다.

[eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]의 [eqn: x]좌표가 모두 [eqn: 1] 또는 모두 [eqn: 2]이면

세 점 [eqn: rm A_1], [eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]이 한 직선 위에 있지 않으므로

점 [eqn: {rmA}_k]와 [eqn: {rmA}_m]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 1], [eqn: 2]이어야 한다. (∵ [eqn: k<m])

∴ [eqn: f(k) =1], [eqn: f(m)=2] ⋯⋯ ㉠

이때, 두 점 [eqn: rm A_1], [eqn: {rmA}_k]를 잇는 직선의 기울기와 두 점 [eqn: {rmA}_k], [eqn: {rmA}_m]을 잇는 직선의 기울기는 같으므로

[eqn: g(k ) = g(m) over 2]가 성립한다.

한편, [eqn: log`k = f(k) +g(k)], [eqn: log`m = f(m) +g(m)]이므로

[eqn: g(k ) = g(m) over 2]에서 [eqn: log `k -1 = { log`m -2} over { 2}]

∴ [eqn: m = k^2] ⋯⋯ ㉡

㉠에서 [eqn: 10<k <100], [eqn: 100 le m <1000]이고

[eqn: 31^2 =961], [eqn: 32^2 = 1024]이므로

조건 ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 범위는

[eqn: 11 le k le 31]이다.

[eqn: k]가 최대일 때, [eqn: m]([eqn: =][eqn: k^2])도 최대가 되므로 [eqn: k+m]는

[eqn: k=31]일 때, 최댓값 [eqn: 31+31^2 =992]를 갖는다.

[4점]

① [eqn: 998]	② [eqn: 990]	③ [eqn: 992]	④ [eqn: 994]	⑤ [eqn: 996]

그림은 어떤 사면체의 전개도이다. 삼각형 [eqn: rm BEC]는 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형이고, [eqn: angle rm ABC =angle CFA =90DEG], [eqn: rm barAC =4]이다. 이 전개도로 사면체를 만들 때, 두 면 [eqn: rm ACF], [eqn: rm ABC]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: costheta]의 값은? [4점]

⑤

주어진 전개도로 사면체를 만들 때, 전개도의 점 [eqn: rm D], [eqn: rm E], [eqn: rm F]는 일치한다.

사면체에서 이 세 점을 [eqn: rm P]라 하자.

사면체 [eqn: rm PABC]의 점 [eqn: rm P]에서

면 [eqn: rm APC]와 면 [eqn: rm ABC]의 교선 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H],

점 [eqn: rm P]에서 평면 [eqn: rm ABC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm G]라 할 때,

이면각의 정의에 의하여 [eqn: cos theta][eqn: = rm { barHG} over { barPH}]이다.

삼각형 [eqn: rm PAC]와 삼각형 [eqn: rm FAC]가 합동이므로 [eqn: rm barPH bot barAC], [eqn: rm barFH bot barAC]이다.

따라서 삼수선의 정리에 의하여 점 [eqn: rm G]는 직선 [eqn: rm FH] 위에 존재한다.

점 [eqn: rm P]에서 면 [eqn: rm PBC]와 면 [eqn: rm ABC]의 교선 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하면

삼각형 [eqn: rm PBC]와 삼각형 [eqn: rm EBC]가 합동이므로 [eqn: rm bar PH bot barBC], [eqn: rm barEH bot barBC]이다.

따라서 삼수선의 정리에 의하여 점 [eqn: rm G]는 직선 [eqn: rm EI] 위에 존재한다.

[eqn: rm barCF = barCE =2]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ABC], [eqn: rm AFC]는 합동이다.

따라서 점 [eqn: rm F]와 점 [eqn: rm B]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발은 일치한다.

따라서 직선 [eqn: rm FH]는 점 [eqn: rm B]를 지난다.

[eqn: cos (angle rm ACB ) = 1 over2]이므로

[eqn: angle rm ACB =60DEG]이고 [eqn: angle rm CBH =30DEG]이다.

∴ [eqn: rm barFH = bar BH = 2 sin 60DEG = sqrt { 3}]

[eqn: bar{rm BG} `cos 30DEG = 1]에서 [eqn: rm barBG = {2sqrt { 3}} over 3]

[eqn: rm barHG][eqn: = rm barBH - barBG][eqn: = sqrt { 3} over3]

∴ [eqn: cos theta][eqn: = rm { barHG} over { barPH}][eqn: = { sqrt { 3} over3 } over { sqrt { 3} }][eqn: = 1 over3] (∵ [eqn: rm barPH = bar FH])

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: sqrt { 2} over6]	③ [eqn: 1 over4]	④ [eqn: sqrt { 3} over6]	⑤ [eqn: 1 over3]

좌표평면에 중심이 [eqn: (0, ``2)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C]가 있고, 이 원 위의 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: (0, ``3)]의 위치에 있다. 원 [eqn: C]는 직선 [eqn: y=3]에 접하면서 [eqn: x]축의 양의 방향으로 미끄러지지 않고 굴러간다. 그림은 원 [eqn: C]가 굴러간 거리가 [eqn: t]일 때, 점 [eqn: rm P]의 위치를 나타낸 것이다.

점 [eqn: rm P]가 나타내는 곡선을 [eqn: F]라 하자. [eqn: t= 2 over3 pi]일 때 곡선 [eqn: F] 위의 점에서의 접선의 기울기는? [4점]

⑤

원 [eqn: C]가 굴러간 거리가 [eqn: t]일 때, 원의 중심을 [eqn: rm C], 점 [eqn: (t , `3)]을 [eqn: rm Q]라 하면 주어진 조건에 의하여 [eqn: angle rm POQ = itt]이다.

원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P']에 대하여 동경 [eqn: rm OP']이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각이 [eqn: pi over2 +t]일 때, 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rm P']을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: t]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동시킨 것이다.

따라서 점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (x, ``y)]라 할 때,

[eqn: x = cos LEFT ( pi over2 +t RIGHT )+t = - sin t +t]

[eqn: y = sin LEFT ( pi over2 +t RIGHT ) + 2 = cos t +2]

이다.

따라서 원 [eqn: C]가 굴러간 거리가 [eqn: t]일 때, 곡선 [eqn: F] 위의 점에서의 접선의 기울기는

[eqn: dy overdx][eqn: = { dy overdt} over { dx overdt}][eqn: = { - sin t} over { -cost +1 }]이다.

따라서 구하는 값은

[eqn: dy overdx][eqn: = { -sin 2 over3 pi} over { - cos 2 over3 pi +1}][eqn: = - sqrt { 3} over3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - sqrt { 3} over2]	④ [eqn: - sqrt { 2} over2]	⑤ [eqn: - sqrt { 3} over3]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_2 +a_4 =16], [eqn: a_8 +a_12 =58]일 때, [eqn: a_17]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 50]

등차수열의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: (a_8 +a_12 ) - (a_2 + a_4 )][eqn: = (a_8 -a_2 ) +(a_12 - a_4 )][eqn: =6d +8d][eqn: =14d]

[eqn: 14d = 58-16]에서 [eqn: d =3]

[eqn: a_2 +a_4][eqn: = (a_1 +3 ) +(a_1 +9)][eqn: =16]

∴ [eqn: a_1 =2]

∴ [eqn: a_17][eqn: = a_1 +16d][eqn: =2+ 48][eqn: =50]

방정식 [eqn: sqrt { x+3} =|`x`|-3]의 모든 근의 합을 구하시오. [3점]

[eqn: 3]

[eqn: sqrt { x+3} =|`x`|-3]에서

[eqn: x+3 ge0]이고 [eqn: |`x`| -3 ge0]이어야하므로

[eqn: x =-3] 또는 [eqn: x ge3]이다.

ⅰ) [eqn: x =-3]일 때,
[eqn: sqrt { x+3} =|`x`|-3]이 성립하므로
[eqn: x=-3]은 근이 된다.

ⅱ) [eqn: x ge3]일 때,
[eqn: |`x`|-3 = x-3]이므로
[eqn: sqrt { x+3} =x-3]
위의 식의 양변을 제곱하면
[eqn: x+3 =(x-3)^2]
[eqn: x^2 -7x +6 =0]
[eqn: x= 6] (∵ [eqn: x ge3])

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 모든 실근의 합은 [eqn: -3+6 =3]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(10)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.) [3점]

[eqn: 250]

조건 (가)에서 [eqn: int_0^x t^2 f'(t)dt = 3 over2 x^4 +kx^3]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

[eqn: int_0^x t^2 f'(t)dt = 3 over2 x^4 +kx^3]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: x^2 f`' (x) = 6x^3 +3k x^2]

위의 식은 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야하므로

[eqn: f`'(x) = 6x +3k]

조건 (나)에 의하여 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖고 함수 [eqn: f(x)]가 다항함수이므로

[eqn: f`'(1)][eqn: =6+3k =0]

∴ [eqn: k =-2]

∴ [eqn: f`'(x) =6x-6]

∴ [eqn: f(x)][eqn: = int(6x-6) dx][eqn: = 3x^2 -6x +C]

조건 (나)에서 [eqn: f(1) = 3-6+C =7]

∴ [eqn: C =10]

∴ [eqn: f(x)][eqn: = 3x^2 -6x +10]

∴ [eqn: f(10)][eqn: = 3cdot10^2 -6cdot10 +10][eqn: =250]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_0^x t^2 f'(t)dt = 3 over2 x^4 +kx^3]이다.

(나) [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 7]을 갖는다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x^n ln``x]의 최솟값을 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: g(n) le - 1 over6e]을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 21]

[eqn: f`'(x)][eqn: =n x^n-1 cdot ln``x + x^n cdot 1 overx][eqn: = x^n-1 LEFT ( n ln`x +1 RIGHT )]

[eqn: f` ( sqrt { n}ofe ) =0]이고 [eqn: f`'(x)]의 부호를 이용하여 [eqn: f(x)]의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: 0]	⋯	[eqn: x = 1 over{ sqrt { n}ofe }]	⋯
[eqn: f`'(t)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(t)]		↘	극소	↗

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 1 over{ sqrt { n}ofe }]에서 극소이자 최소이다.

∴ [eqn: g(n)][eqn: = f LEFT ( 1 over sqrt { n}ofe RIGHT )][eqn: = - 1 over{n e}]

[eqn: g(n) le - 1 over6e]에서 [eqn: - 1 over{n e} le - 1 over6e]

∴ [eqn: n le 6]

따라서 구하는 자연수의 합은

[eqn: 1+2+3+4+5+6 = 21]

[3점]

이차함수 [eqn: f(x)=ax^2]에 대하여 구간 [eqn: [`0, ``2`]]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: g(x)]가

[eqn: g(x)=]	[eqn: cases{ matrix{it#it#it#it}]	[eqn: f(x)]		([eqn: 0 le x <1])
		[eqn: f(x-1)+f(1)]		([eqn: 1 le x le2])

일 때, [eqn: {rm P}(a le X le a+1 )= q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: 39]

함수 [eqn: g(x)]가 구간 [eqn: [`0, ``2`]]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수이므로

[eqn: {rm P}(0 le X le2 )][eqn: =][eqn: int_0^2 g(x)dx][eqn: =1]이다.

[eqn: int_0^2 g(x)dx][eqn: =int_0^1 g(x)dx][eqn: +][eqn: int_1^2 g(x)dx]
[eqn: =int_0^1 f(x)dx + int_1^2 left{ f(x-1)+f(1)right}dx]
[eqn: =int_0^1 f(x)dx + int_0^1 left{ f(x)+f(1)right}dx]
[eqn: = 2 int_0^1 f(x)dx +f(1)][eqn: = 2 int_0^1 ax^2 dx + a]
[eqn: = 2 left[ ax^3 over3 right]_0^1 +a]
[eqn: = 5 over3 a]

따라서 [eqn: 5 over3 a =1]에서 [eqn: a = 3 over5]이다.

∴ [eqn: f(x) = 3 over5 x^2]

∴ [eqn: {rm P}left(3 over5 le X le 8 over5 right)][eqn: = int_{3 over5}^{8 over5} g(x)dx]
[eqn: = int_{3 over5}^{1} g(x)dx + int_{1}^{8 over5} g(x)dx]
[eqn: = int_{3 over5}^{1}f(x)dx + int_{1}^{8 over5} left{f(x-1)+f(1) right}dx]
[eqn: = int_{3 over5}^{1}f(x)dx + int_{0}^{3 over5} left{f(x)+f(1) right}dx]
[eqn: = int_0^1 f(x)dx + 3 over5 f(1)]
[eqn: = int_0^1 3 over5 x^2 dx + LEFT ( 3 over5 RIGHT )^2]
[eqn: =left[ x^3 over5 right]_0^1 + 9 over25][eqn: = 14 over25]

∴ [eqn: p=25], [eqn: q=14]

∴ [eqn: p+q =39]

두 함수 [eqn: f(x) = 1 overx], [eqn: g(x) = k overx]([eqn: k>1])에 대하여 좌표평면에서 직선 [eqn: x=2]가 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)]에 대하여 점 [eqn: rm P]에서의 접선을 [eqn: l], 곡선 [eqn: y=g(x)]에 대하여 점 [eqn: rm Q]에서의 접선을 [eqn: m]이라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: pi over4]일 때, 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 3k]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 20]

[eqn: f(x) = 1 overx], [eqn: g(x) = k overx]이므로

[eqn: f`'(x) = - 1 overx^2], [eqn: g`'(x) = - k overx^2]

직선 [eqn: l]과 [eqn: m]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면

점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표가 모두 [eqn: 2]이므로

[eqn: tan alpha =f``'(2)=- {1} over {4}], [eqn: tan beta = g`'(2)=- k over4]

두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: pi over4]이므로

[eqn: left|`tan (beta- alpha)`right| =1]

[eqn: left|` { - k over4 - LEFT ( - 1 over4 RIGHT ) } over {1+ LEFT ( - k over4 RIGHT ) LEFT (- 1 over4 RIGHT ) } `right|=1]

[eqn: 4|`k-1`| =|`16 +k`|]

그런데 [eqn: k>1]이므로 [eqn: 4(k-1) =16 +k]

∴ [eqn: 3k =20]

좌표공간에서 구 [eqn: (x-6)^2 +(y+1)^2 +(z-5)^2 =16] 위의 점 [eqn: rm P]와 [eqn: yz]평면 위에 있는 원 [eqn: (y-2)^2 +(z-1)^2 =9] 위의 점 [eqn: rm Q] 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. [4점]

[eqn: 14]

구 [eqn: (x-6)^2 +(y+1)^2 +(z-5)^2 =16]는 중심이 [eqn: (6, ``-1, ``5)]이고 반지름이 [eqn: 4]이다.

원 [eqn: (y-2)^2 +(z-1)^2 =9]는 중심이 [eqn: (0, ``2, ``1)]이고 반지름이 [eqn: 3]이다.

구의 중심을 [eqn: rm C_1][eqn: (6, ``-1, ``5)], 원의 중심을 [eqn: rm C_2][eqn: (0, ``2, ``1)]라 하고

[eqn: rm C_1]에서 [eqn: yz]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H][eqn: (0, ``-1, ``5)]라 하자.

원위를 움직이는 점 [eqn: rm Q]를 고정시킬 때, 점 [eqn: rm Q]에 대하여

[eqn: bar{rm PQ}]가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: rm C_1][eqn: rm Q] 위에 놓인다.

이때, [eqn: bar{rm PQ}]의 최댓값은 [eqn: rm bar{PC_1} + bar{C_1 Q}=4+ bar{C_1 Q}]이다.

따라서 [eqn: rm bar{C_1 Q}]가 최대일 때, [eqn: bar{rm PQ}]가 최대가 된다.

[eqn: bar{rm C_1 Q}][eqn: rm=sqrt { {bar{C_ 1 H}}^2 + {barHQ}^2 }][eqn: rm=sqrt {6^2 + {barHQ}^2 }]

따라서 [eqn: rm barHQ]가 최대일 때, [eqn: bar{rm C_1 Q}]가 최대가 된다.

[eqn: rm barHQ]가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rm Q]는 직선 [eqn: rm H][eqn: rmC_2] 위에 놓인다.

이때, 최댓값은

[eqn: rm bar{HC_2} + bar{C_2 Q}][eqn: = sqrt { 0^2 +3^2 +(-4)^2} + 3][eqn: =8]이다.

따라서 [eqn: bar{rm C_1 Q}]의 최댓값은

[eqn: rm sqrt {6^2 + {barHQ}^2 }][eqn: =sqrt { 6^2 +8^2}][eqn: =10]이다.

따라서 [eqn: bar{rm PQ}]의 최댓값은 [eqn: rm 4+ bar{C_1 Q}][eqn: =14]이다.

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]에서 변 [eqn: rm AB]와 변 [eqn: rm AD]에 모두 접하고 점 [eqn: rm C]를 지나는 원을 [eqn: O]라 하자. 원 [eqn: O] 위를 움직이는 점 [eqn: rm X]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{rmAB}], [eqn: vec{rm CX}]의 내적 [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CX}]의 최댓값은 [eqn: a-b sqrt { 2}]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 자연수이다.) [4점]

[eqn: 80]

점 [eqn: rm X]에서 직선 [eqn: rm CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

[eqn: vec{rmCX}][eqn: = vec{rm CH} + vec{rmHX}]

[eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CX}][eqn: =vec{rmAB} cdot LEFT ( vec{rm CH} + vec{rmHX} RIGHT )]
[eqn: =vec{rmAB} cdot vec{rm CH}] (∵ [eqn: vec{rm AB} bot vec{rm HX}])

점 [eqn: rm H]는 다음 그림의 선분 [eqn: rm DE] 위에 존재한다.

ⅰ) 점 [eqn: rm H]가 점 [eqn: rm C]의 왼쪽에 위치하는 경우
[eqn: vec{rmAB}]와 [eqn: vec{rm CH}]의 방향은 서로 반대이다.
따라서 [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CH}][eqn: =-bar{rmAB} cdot bar{rm CH}]

ⅱ) 점 [eqn: rm H]가 점 [eqn: rm C]인 경우
[eqn: vec{rmCH}=vec0]이므로 [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CH}][eqn: =0]

ⅲ) 점 [eqn: rm H]가  점 [eqn: rm B]의 오른쪽에 위치하는 경우
[eqn: vec{rmAB}]와 [eqn: vec{rm CH}]의 방향이 같으므로
[eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CH}][eqn: =bar{rmAB} cdot bar{rm CH}]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 점 [eqn: rm H]가 점 [eqn: rm E]와 일치할 때,

[eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CH}]는 최댓값 [eqn: bar{rmAB} cdot bar{rm CE} = 4 bar{rmCE}]를 갖는다.

원의 중심을 [eqn: rm O], 반지름을 [eqn: r]이라 하면

[eqn: bar{rm AC}][eqn: = rm barAO +barOC][eqn: =][eqn: ( sqrt { 2}+1)r]

사각형 [eqn: rm ABCD]가 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형이므로

[eqn: bar{rm AC} = 4 sqrt { 2}]이다.

따라서 [eqn: ( sqrt { 2}+1)r][eqn: = 4 sqrt { 2}]에서

[eqn: r = { 4 sqrt { 2} } over { sqrt { 2}+1 }][eqn: =8-4 sqrt { 2}]

따라서 [eqn: rm barCE][eqn: =2r -4][eqn: =12-8 sqrt { 2}]이다.

따라서 [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rm CX}]의 최댓값은

[eqn: 4 (12-8 sqrt { 2} ) =48 -32 sqrt { 2}]이다.

∴ [eqn: a=48], [eqn: q =32]

∴ [eqn: a+b =80]

함수 [eqn: f(x)= -x e^2-x]과 상수 [eqn: a]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 9]

조건을 만족시키려면 점 [eqn: (a, ``f(a))]가 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이어야 한다.

[eqn: f(x)= -x e^2-x]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: = e^2-x (x-1)]

[eqn: f`'' (x) = e^2-x (2-x)]

함수 [eqn: f(x)]의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	⋯	[eqn: 1]	⋯	[eqn: 2]	⋯
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f`''(x)]	[eqn: +]			[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	□	극소	□	변곡	□

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f``'' (2)=0]이므로 [eqn: a=2]이고

[eqn: f`' (2) =1], [eqn: f(2) =-2]이므로 [eqn: g(x) = x-4]이다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int_0^2 left{ -x e^2-x - (x-4) right}dx]

[eqn: = left[x e^{2-x} + e^2-x - 1 over2 x^2 +4 x right]_0^2]

[eqn: =9-e^2]

∴ [eqn: k=9]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a, ``f(a))]에서의 접선의 방정식을
[eqn: y=g(x)]라 할 때, [eqn: x<a]이면 [eqn: f(x)>g(x)]이고,
[eqn: x>a]이면 [eqn: f(x)<g(x)]이다.

곡선 [eqn: y=f(x)]와 접선 [eqn: y=g(x)] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: k-e^2]이다. [eqn: k]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2015년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설